江苏省高中数学知识点总结

高中数学第一章-集合

考试内容：
集合、子集、补集、交集、并集．
逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．
考试要求：
（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了 解属于、包含、相等关系的意
义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件
及充要条件的意义．
§01. 集合与简易逻辑 知识要点
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：

二、知识回顾：
（一） 集合
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为
A?A
；
②空集是任何集合的子集，记为
?
?A
；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果
A?B
，同时
B?A
，那么A = B.
如果
A?B，B?C，那么A?C
.
[注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N； A=
N
?
，则C
s
A= {0}）
③ 空集的补集是全集.

④若集合A=集合B，则C
B
A =
?
， C
A
B =
?
C
S
（C
A
B）= D （ 注 ：C
A
B =
?
）.
3. ①{（x
，
y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x
，
y）|xy＜0，x∈R，y∈R
?
二、四象限的点集.
③{（x
，
y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.
[注]：①对方程组解的集合应是点集.
例：
?
?
x?y?3
解的集合{(2，1)}.
2x?3y?1
?
②点集与数集的交集是
?
. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x
2
+1} 则A∩B =
?
）
4. ①n个元素的子集有2
n
个. ②n个元素的真子集有2
n
－1个. ③n个元素的非空真子集有2
n
－2个.
5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题
?
逆命题.

②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题
?
逆否命题.
例：①若
a?b?5，则a?2或b?3
应是真命题.
解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.
②
x?1且y?2，

x?y?3
.
解：逆否：x + y =3
?x?1且y?2
x = 1或y = 2.
x?y?3
,故
x?y?3
是
x?1且y?2
的既不是充分，又不是 必要条件.
⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.
3. 例：若
x?5，?x?5或x?2
.
4. 集合运算：交、并、补.
交：A
I
B?{x|x?A,且x?B}
并：A
U
B?{x|x? A或x?B}

补：C
U
A?{x?U,且x?A}
5. 主要性质和运算律
（1） 包含关系：
A?A,??A,A?U,
C
UA?U,
A?B,B?C?A?C;AIB?A,AIB?B;AUB?A,AUB?B.
（2） 等价关系：
A?B?AIB?A?AUB?B?C
U
AUB?U

（3） 集合的运算律：
交换律：
A?B?B?A;A?B?B?A.

结合律:
(A?B)?C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C)

分配律:.
A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A? C)

0-1律：
?IA??,?UA?A,UIA?A,UUA?U

等幂律：
A?A?A,A?A?A.

求补律：A∩C
U
A=φ A∪C
U
A=U C
U
U=φ C
U
φ=U
反演律：C
U
(A∩B)= (C
U
A)∪(C
U
B) C
U
(A∪B)= (C
U
A)∩(C
U
B)
6. 有限集的元素个数
定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式：

(1)card(A
U
B)?card(A)?ca rd(B)?card(A
I
B)
(2)card(A
U
B
U
C)?card(A)?card(B)?card(C)
?card(A
I
B)?card(B
I
C)?card(C
I
A)
?card(A
I
B
I
C)
(3) card(
U

A)= card(U)- card(A)

(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
根轴法（零点分段法）
①将不等式化为a
0
(x-x
1
) (x-x
2
)…(x-x
m
)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+ ”；(为了统一方便)


②求根，并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（x的系数化“+”后 ）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”
在x轴下方的区间.
x
1
x
2
x
3
x
m-3
-
x
m-2
x
m-1
+
-
x
m
+
x

（自右向左正负相间）
则不等式
a
0
x< br>n
?a
1
x
n?1
?a
2
x
n?2
???a
n
?0(?0)(a
0
?0)
的解可以根据各区间 的符号确定.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
2
②一元二次不等式ax+box>0(a>0)解的讨论.


??0

??0

??0

二次函数
y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象

一元二次方程

有两相等实根


无实根

R


?

ax?bx?c?0
2
有两相异实根

?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

b

x
1
?x
2
??
2a
2

?
xx?x或x?x
?

1
?
b
?
xx??
??

2a
??

?


?
xx
1
?x?x
2
?


2.分式不等式的解法
f(x)f(x)f(x)f(x)
>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，
g(x)g(x)g(x)g(x)
f(x)f(x)
f(x)g(x)?0

?0?f(x)g(x)?0;?0?
?
（2）转化为整式不等式（组）
?< br>g(x)?0
?
g(x)g(x)
（1）标准化：移项通分化为
3.含 绝对值不等式的解法
（1）公式法：
ax?b?c
,与
ax?b?c(c? 0)
型的不等式的解法.
（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
2
一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)
（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.
（三）简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。
3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断
互
逆
原命题逆命题
（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反； < br>若p则q若q则p
互
否
（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真， 其他
为
逆
互
互
情况时为假；
否否
逆
为< br>（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他
否
互
逆否命题否命题
情况时为真．
若┐q则┐p
若┐p则┐q
互
逆

4、四种命题的形式：
原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题
?
逆否命题)
①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知p
?
q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
若p
?
q且q
?
p,则称p是q的充要条件，记为p?q.
7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明
原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
















高中数学第二章-函数
考试内容：
映射、函数、函数的单调性、奇偶性．
反函数．互为反函数的函数图像间的关系．
指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．
对数．对数的运算性质．对数函数．
函数的应用．
考试要求：
（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
（ 2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．
（3）了解反函 数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．
（4）理解分数指数幂的概念 ，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像
（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．
（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．

§02. 函数 知识要点
一、本章知识网络结构：

定义
F: A
?
B
反函数
映射
一般研究
图像
函数
性质
二次函数
具体函数指数
指数函数
对数
对数函数


二、知识回顾：
和性质．

（一） 映射与函数
1. 映射与一一映射
2.函数
函 数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，
值 域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数
y?f(x)(x?A)
的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=
?
(y).
若对于y在C中的任何一个值，通过 x=
?
(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=
?
(y)就表示 y
是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=
?
(y) (y
?
C)叫做函数
作
x
y?f(x)(x?A)
的反函数，记
?f?1
(y)
,习惯上改写成
y?f
?1
(x)

（二）函数的性质
⒈函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间 上的任意两个自变量的值x
1
,x
2,

⑴若当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
),则说f(x) 在这个区间上是增函数；
⑵若当x
1
2
时，都有f(x
1
)>f(x
2
),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
若函数y= f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一
区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
2.函数的奇偶性
正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：
（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数
f(x)
为奇
函数或偶函数的必要不充分条件；（2）
f(?x)?f(x)
或
f(?x)??f(x)
是定义域上的恒等式。
2．奇函数的图象关于原 点成中心对称图形，偶函数
的图象关于
y
轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也
可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。
3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增
减性相反.
4．如果
f(x)
是偶函数，则
f(x)?f(|x|)
，反之亦成立。
若奇函数在< br>x?0
时有意义，则
f(0)?0
。

7. 奇函数，偶函数：
⑴偶函数：
f(?x)?f(x)

设（
a,b
）为偶函数上一点，则（
?a,b
）也是图象上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于
y
轴对称，例如：< br>y?x
2
?1
在
[1,?1)
上不是偶函数.
②满 足
f(?x)?f(x)
，或
f(?x)?f(x)?0
，若
f(x )?0
时，
⑵奇函数：
f(?x)??f(x)

设（
a,b
）为奇函数上一点，则（
?a,?b
）也是图象上一点.
f(x)
?1
.
f(?x)

奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原 点对称，例如：
y?x
3
在
[1,?1)
上不是奇函数.
②满足
f(?x)??f(x)
，或
f(?x)?f(x)?0
，若
f(x)?0
时，
y轴对称
???y?f（?x）
8. 对称变换：①y = f（x）
??

x轴对称
???y??f（x）
②y =f（x）
??

f(x)
??1
.
f(?x)
????y??f（?x）
③y =f（x）
?
原点对称

9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
(x
1
?x
2
)

f(x)?f(x)?x
2
?b
2
?x
2
?b
2
?
（x
1
?x
2
）
1212
22

x
x
?b
2
?x
1
?b
2
在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.
例如：已知函数f（x）= 1+
x
的定义域 为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则集合A与集合B之间的关系
1?x
A
. 是
B

?

解：
f(x)
的值域 是
f(f(x))
的定义域
B
，
f(x)
的值域
? R
，故
B?R
，而A
?
?
x|x?1
?
， 故
B?A
.
11. 常用变换：
①
f(x?y)?f(x)f( y)?f(x?y)?
证：
f(x?y)?
f(x)
.
f(y)< br>f(y)
?f(x)?f[(x?y)?y]?f(x?y)f(y)

f(x )
x
②
f()?f(x)?f(y)?f(x?y)?f(x)?f(y)

y
xx
证：
f(x)?f(?y)?f()?f(y)

yy
12. ⑴熟悉常用函数图象：
?
1
?
例：
y?2
→
|x|
关于
y
轴对称. y?
??
?
2
?
|x|
▲
▲
|x?2 |
?
1
??
1
?
→
y?
??
→< br>y?
??
?
2
??
2
?
▲
|x|| x?2|

y
y
y
(0,1)
x
(-2,1)x
x

y?|2x?2x?1|
→
|y|
关于
x
轴对称.
2

▲

y

⑵熟悉分式图象：
2x?17
?
定义域例：
y??2?
x ?3x?3
值域
{y|y?2,y?R}
→值域
?
x
前的系 数之比.
（三）指数函数与对数函数





指数函数

x
{x|x?3,x?R}
，
▲
y< br>2
x
3
y?a
x
(a?0且a?1)
的图象和性质

a>1

0

图

象
4.5
4.5
4
4
3.5
3.5
3< br>3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
y=1
1
y=1
0.5
0.5
-4-3-2-11234
-4
-0.5
-3-2-11234
-0.5
-1

-1

性
质

(1)定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1

(4)x>0时，y>1;x<0时，0
(4)x>0时，01.
（5）在 R上是增函数


对数函数y=log
a
x的图象和性质:
对数运算：
（以下
M?
（5）在R上是减函数
0,N?0,a?0,a?1,b?0, b?1,c?0,c?1,a
1
,a
2
...a
n
?0且? 1
）
log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N
(1)
log
a
M
?log
a
M?l og
a
N
N
1
log
a
M
n
< br>log
a
M
n
?nlog
a
?
?M
?
12)
log
a
n
M?
a
log
aN
?N
log
b
N
log
b
a
换底公 式：log
a
N?
推论：log
a
b?log
b
c ?log
c
a?1
?log
a
1
a
2
?l og
a
2
a
3
?...?log
a
n?1
a
n
?log
a
1
a
n

注⑴：当
a,b?0
时，
log(a?b)?log(?a)?log(? b)
.
⑵：当
M?0
时，取“+”，当
n
是偶数时且M?0
时，
M
n
?0
，而
M?0
，故取“—” .
2
例如：
log
a
x?2log
a
x?(2l og
a
x
中x＞0而
log
a
x
2
中x∈ R）.
⑵
y?a
x
（
a?0,a?1
）与
y?l og
a
x
互为反函数.
a>1
y
0y=log
a
x
a>1
图
象
O
x
x=1
a<1

（1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0
性
质
（4）
x?(0,1)
时
y?0

x?(0,1)
时
y?0

x?(1,??)
时 y>0
（5）在（0，+∞）上是增函数
x?(1,??)
时
y?0

在（0，+∞）上是减函数
当
a?1
时，
y?log
a
x
的
a
值越大 ，越靠近
x
轴；当
0?a?1
时，则相反.


（四）方法总结
⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.
⑴对数运算：
注⑴：当
a,b?0
时，
log(a?b)?log (?a)?log(?b)
.
⑵：当
M?0
时，取“+”，当
n< br>是偶数时且
M?0
时，
M
n
?0
，而
M?0
，故取“—”.
例如：
log
a
x
2
?2log
a
x?(2log
a
x
中x＞0而
log
a
x
2
中x∈R）.
⑵
y?a
x
（
a?0,a? 1
）与
y?log
a
x
互为反函数.
当
a?1< br>时，
y?log
a
x
的
a
值越大，越靠近
x
轴；当
0?a?1
时，则相反.
⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
⑶.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函 数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及
到的 依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；
④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或 四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；
⑥函数的单调性法.
⑹.单 调性的判定法：①设x
1
,x
2
是所研究区间内任两个自变量，且x
1
＜x
2
；②判定f(x
1
)与f(x
2
)的大< br>小；③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算 f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)
为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函 数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、 连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻
转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图 象.

高中数学 第三章 数列
考试内容：
数列．
等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．
等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．
考试要求：
（1）理解数列的概 念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写
出数列的前几项 ．
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．
（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．
§03. 数 列 知识要点


数列的定义 项


数列的有关概念 项数

数列

数列的通项 通项

等比数列的定义
等差数列的定义

数列与函数的关系

等比数列的通项
等差数列的通项
等比数列

等差数列

等比数列的性质
等差数列的性质


等比数列的前n项和
等差数列的前n项和




定义
递推公
式
通项公
式
中项
等差数列
a
n?1
?a
n
?d

a
n
?a
n?1
?d
；
a
n
?a
m?n
?md
a
n
?a
1
?(n?1)d

a
n ?k
?a
n?k
2
（
n,k?N
*
,n?k?0< br>）
A?
等比数列
a
n?1
?q(q?0)
a
n
a
n
?a
n?1
q
；
a
n
?a
m
q
n?m

a
n
?a
1
q
n?1
（
a
1
,q?0
）
G??a< br>n?k
a
n?k
(a
n?k
a
n?k
?0)
（
n,k?N
*
,n?k?0
）

前
n
项
和
S
n
?
n(a
1
?a
n
)

2
n(n?1)
S
n
?na
1
?d
2
?
na
1
(q?1)
?
S
n
??
a
1
1?q
n

a
1
?a
n
q
?(q?2)
?
1?q
?
1?q
??
重要性
质


*

a
m
?a
n
?a
p
?a
q
(m,n,p,q?N,

m?n?p?q)
：

a
m
?a
n
?a
p
?a
q
(m,n,p,q?N
*
,m?n?p?q)1. ⑴
等
差
、
等
比
数
列
























定义
通项公
式
求和公
式
等差数列

等比数列

{a
n
}为A?P?a
n?1
?a
n
?d(常数）

{a
n
}为G?P?
a
n?1
a
n
?q(常数）
a
n
=
a
1
+（n-1）d=
a
k
+（n-k）d=
dn
+
a
1
-d
a
n
?a
1
q
n?1
?a
k
q
n? k


n(a
1
?a
n
)
n(n?1)< br>?na
1
?d
22

d
2
d
?n? (a
1
?)n
22
s
n
?

(q?1)< br>?
na
1
?
s
n
?
?
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q

(q?1)
?
1?q
?
1?q
?
中项公
式
性
质
2
2
a?b
G?ab
。推广：
an
?a
n?m
?a
n?m

A= 推广：2
a
n
=
a
n?m
?a
n?m
< br>2
若m+n=p+q，则
a
m
a
n
?a
p< br>a
q
。
1
若m+n=p+q则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
（其中
k
n
?N
）则
{a
k
n
}若
{k
n
}
成等比数列 （其中
k
n
?N
），
2
若
{k
n
}
成A.P
则
{a
k
n
}
成等比数列。
也为A.P。


s
n
,s
2n
?s< br>n
,s
3n
?s
2n
成等比数列。
3
．
s
n
,s
2n
?s
n
,s
3n
? s
2n
成等差数列。

4
d?
a
n
?a
1
a
m
?a
n
?(m?n)

n?1m?n
a
n
a
1
(m?n)

q
n?1
?

，
q
n?m
?
a
n

a
m
5

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
a
n
?a
n?1
?d(n?2,d为常数)
< br>②2
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
)
③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①
a
n
?a
n ?1
q(n?2,q为常数,且?0)

2
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
，
a
n
a
n?1
a
n?1
?0
)②
a
n
①


注①：i.
b?ac
，是a
、
b
、
c成等比的双 非条件，即
b?ac
ii.
b?ac
（ac＞0）→为a
、
b
、
c等比数列的充分不必要.
iii.
b??ac
→为a
、
b
、
c等比数列的必要不充分.
iv.
b??ac
且
ac?0
→为a
、
b
、
c等比数列的充要.
a
、
b
、
c等比数列.
注意：任意两数a
、
c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.
③
a
n
?cq
n
(
c,q
为非零常数).
④正数列{
a
n
}成等比的充要条件是数列{
log
xa
n
}（
x?1
）成等比数列.
?
s
1?a
1
(n?1)
a?
⑷数列{
a
n
}的前< br>n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系：
n
?

?
s
n
?s
n?1
(n?2)
[注]： ①
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d?nd?< br>?
a
1
?d
?
（
d
可为零也可不为零→为等 差数列充要条件（即常数列也是等差数列）
→若
d
不为0，则是等差数列充分条件）.
②等差{
a
n
}前n项和
S
n
?An
2< br>?Bn?
??
n
2
?
?
a
1
??
n
→
?
?
d
?
?
2
?
?
d
?
2
?
d
可以为零也可不为零→为等差的充要 条件→若
d
2
为零，则是等差数列的充分条件；若
d
不为零，则是等 差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
．．
2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k
2
倍
S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?S
2k
...
；
?
，则
S
偶
?S奇
?nd，
S
偶
③若等差数列的项数为
2n?1
?n?N
?
，则
S?
?
2n?1
?
a
， 且
S
②若等差数列的项数为2
nn?N
?
?
?
S< br>奇
?
a
n
a
n?1
；
S
奇
S
偶
?
n

n?1
2n?1 n
奇
?S
偶
?a
n
，

?代入n到2n?1得到所求项数
.
n
?
n?1
?
3. 常用公式：①1+2+3 …+n =
2
n
?
n?1
??
2n?1
?
②
1
2
?2
2
?3
2
??n
2
?

6
?
n
?
n?1
?
?
③
1
3
?2
3
?3
3
?n
3
?
??

?
2
?
2
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…
? a
n
?10
n
?1
； 5，55，555，…
?a
n
?
5
n
10?1
.
9
??
4. 等比数列的前
n
项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为
a
，年增长率为
r
，则每年的产量成等比数列，公
比为
1?r
. 其中第
n
年产量为
a(1?r)
n?1
，且过
n
年后总产量为：
a ?a(1?r)?a(1?r)?...?a(1?r)
2n?1
a[a?(1?r)
n
]
?.

1?(1?r)
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如： 一年中每月初到银行存
a
元，利息为
r
，每月利息按复利计算，则每月
的
a
元过
n
个月后便成为
a(1?r)
n
元. 因此，第二年年初可存款：

a(1?r)
12
?a(1?r)?a( 1?r)
1110
a(1?r)[1?(1?r)
12
]
?...? a(1?r)
=.
1?(1?r)
x
?
1?r
?
m
?1ar
?
1?r
?
m
??x?

m< br>r
?
1?r
?
?1
⑶分期付款应用题：
a
为 分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；
r
为年利率.
a
?< br>1?r
?
?x
?
1?r
?
mm?1
?x?
1?r
?
m?2
?......x
?
1?r
?
?x?a
?
1?r
?
m
5. 数列常见的几种形式： < br>⑴
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
（p、
q为二阶常数）
?
用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程< br>x
2
?Px?q
（
x
2
对应
a
n? 2
，x对应
a
n?1
），并设二根
x
1
,x
2
②若
x
1
?x
2
可设
n
n
a
n.
?c
1
x
n
1
?c
2
x2
，若
x
1
?x
2
可设
a
n
?(c
1
?c
2
n)x
1
；③由初始值
a
1
,a
2
确定
c
1
,c
2
.
?
用①转化等差，⑵
a
n
?Pa
n?1
?r
（P、
r为常数）等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为
a
n?2
?P a
n?1
?qa
n
的形式，再用特征根方法求
a
n
；④
a
n
?c
1
?c
2
P
n?1
（公式法），
c
1
,c
2
由
a
1
,a2
确定.
r
.
P?1
rr
)P
n?1??(a
1
?x)P
n?1
?x
②选代法：
a
n
?Pa
n?1
?r?P(Pa
n?2
?r)?r?
?? a
n
?(a
1
?
P?1P?1
?P
n?1
a
1
?P
n?2
?r???Pr?r
.
①转化等差，等比 ：
a
n?1
?x?P(a
n
?x)?a
n?1
?P a
n
?Px?x?x?
a
n?1
?Pa
n
?r?
?
a
n?1
?a
n
?Pa
n
?Pa
n?1
?a
n?1
?（P?1）a
n
?Pa
n?1
.
?
相减，
a
n
?Pa
n?1
?r?
rrrr
，c
2
?a
1
?，a
n
? c
2
P
n?1
?c
1
?（a
1
?）Pn?1
?
④由选代法推导结果：
c
1
?
.
1?PP?1P?11?P
③用特征方程求解：
6. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前
n
项和为
S
n
，在
d?0
时，有最大值. 如何确定使
S
n
取最大值时的
n
值，有两种方法：
一是求使
a
n
?0,a
n?1
?0
，成立的
n
值；二是由
S
n
?
d
2
d
n?(a< br>1
?)n
利用二次函数的性质求
n
的值.
22
⑵如 果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前
n
项和可依照等比数 列前
n
111
项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
1?,3,...(2n?1)
n
,...

24
2
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项， 公
差是两个数列公差
d
1
，d
2
的最小公倍数.


2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意 自然数,验证
a
n
?a
n?1
(
2
为同一常数。( 2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
2a
n?1
?a
n
?a< br>n?2
(a
n?1
?a
n
a
n?2
)n?N
都成立。
a
n
)
a
n?1
?
a
m
?0
3. 在等差数列｛
a
n
｝中,有关S
n
的最值问题：(1)当
a
1
>0,d<0时，满足
?
的项数m使得< br>s
m
取最大值.
a?0
?
m?1
?
am
?0
(2)当
a
1
<0,d>0时，满足
?
的项数m使得
s
m
取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思
a ?0
?
m?1
想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
?
c
?
2.裂项相消法:适用于
??
其中{
a
n
}是各项不为0的等差数 列，c为常数；部分无理数列、含阶
aa
?
nn?1
?
乘的数列等。
3.错位相减法:适用于
?
a
n
b
n
?
其中{ < br>a
n
}是等差数列，
?
b
n
?
是各项不为0 的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
n(n?1)

2

2） 1+3+5+...+(2n-1) =
n

2
?
1
?
3）
1
3
?2
3???n
3
?
?
n(n?1)
?

?
2
?
1
2222
4）
1?2?3???n?n(n?1)(2n?1)

6
1111111
???(?)
5）
n(n?1)nn?1n(n?2)2nn?2
1111
?(?)(p?q)
6）
pqq?ppq
2
1




高中数学第四章-三角函数
考试内容：

角的概念的推广．弧度制．
任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．
两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．
正弦函数、余弦函数的图像和 性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知
三角函数值求角 ．
正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．
考试要求：

（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．
（2）掌握任意角的 正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系
式；掌握正弦、 余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．
（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
（5）理解正 弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．
（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示．
（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
（8）“同角三角函数基本 关系式：sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanα,tanα?cosα=1”．

§04. 三角函数 知识要点
②终边在x轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180
?
,k?Z

??
?
1. ①与
?
（0°≤
?
＜360°）终边 相同的角的集合（角
?
与角
?
的终边重合）：
?
|
?
?k?360
?
?
?
,k?Z

③终边在y轴上 的角的集合：
?
?
|
?
?k?180?90,k?Z
?
④终边在坐标轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?90 ,k?Z
?

⑤终边在y=x轴上的角的集合：
?
?
|< br>?
?k?180?45,k?Z
?

⑥终边在
y??x轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?180?45,k?Z
?

??
??
??
??
▲
y
2
sinx
1
cosx
cosx
sinx
3
4
3sinx
4
cosx
cosx
?360
?
k
1
?
?
x
⑦若角
?
与角
?
的终边关于x轴对 称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?
?
sinx
?
2
⑧若角
?
与角
?
的终边关于y轴 对称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360k?180??

⑨若角
?
与角
?
的终边在一条直线上，则角
?
与角
?
的关系：
?
?180k?
?

90
?

、4表示第一、二、三、
⑩角
?
与角?
的终边互相垂直，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?
?
?
1、2、3
SINCOS
三角 函数值大小关系图
2. 角度与弧度的互换关系：360°=2
?
180°=
?
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
四象限一半所在区域

、弧度与角度互换公式： 1rad＝
180
°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝
?
≈0.01745（rad）
?
180
3、弧长公式：
l?|
?
|?r
. 扇形面积公式：
s
扇形
?lr?|
?
|?r
2

?
x
；
tan
?
?
y
；
x
r
y
1
2
1
2
4、三角函数：设
?是一个任意角，在
?
的终边上任取（异于
P与原点的距离为r，则
sin
?
?
y
；
cos
?
r
sec
?
?
原点的）一点P（x,y）
a
的终边
cot?
?
P（x,y)
r
x
y
；
r
r
；.
csc
?
?
.
x
y
y
y
y
o
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余< br>x
T
弦）
+
+
o
x
-
-
正弦、余割
y
-+
o
-+
x
余弦、正割
-
+
o
x
+-
正切、余切
O
P
M
A
x

6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：

7. 三角函数的定义域：

16. 几个重要结论
:
(1)
y
(2)
y
AT.
|si nx|>|cosx|
sinx>cosx
O
x
|cosx|>|sinx|
O
|cosx|>|sinx|
x
cosx>sinx
|sinx| >|cosx|
?
(3) 若 o2
三角函数
f(x)?
sinx
f(x)?
cosx
f(x)?
tanx
f(x)?
cotx
f(x)?
secx
f(x)?
cscx
定义域
?
x|x?R
?

?
x|x?R
?
1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且x?k
?
,k ?Z
?

1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且 x?k
?
,k?Z
?

cos
?
cos
?
?cot
?

sin< br>?
8、同角三角函数的基本关系式：
sin
?
?tan
?
tan
?
?cot
?
?1

csc??sin??1

sec??cos??1


sin
2
?
?cos
2
?
?1

sec
2
?
?tan
2
?
?1

csc
2
?
?cot
2
?
?1


9、诱导公式：
把
k
?

?
?
的三角函 数化为
?
的三角函数，概括为：
2
“奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式：（一）基本关系

公式组一
公式组二 公式组三
sin(2k< br>?
?x)?sinx
sin(?x)??sinx
sinx
sinx
·
csc
x
=1tan
x
=sin
2
x
+cos
2
x
=1
cosx
cos(2k
?< br>?x)?cosxcos(?x)?cosx

cos

x

2

tan(2k
?
?x)?tanx
tan(?x)??tanx
x< br>=cos
x
·
sec
x
=1
1+tan
x< br>=sec
2
x
sinx
cot(2k
?
?x)?co tx
cot(?x)??cotx
22
tan
x
·
cot< br>x
=1 1+cot
x
=csc
x

公式组四 公式组五 公式组六
sin(
?
?x)??sinxsin(2
?
?x)??sinxsin(
?
? x)?sinx
cos(
?
?x)??cosxcos(2
?
?x) ?cosxcos(
?
?x)??cosx

tan(
?
?x)?tanxtan(2
?
?x)??tanxta n(
?
?x)??tanx
cot(
?
?x)?cotxcot(2
?
?x)??cotxcot(
?
?x)??cotx
（二）角与角 之间的互换


公式组一 公式组二
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos< br>?
?sin
?
sin
?

sin2
?
?2sin
?
cos
?

co s(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?si n
?
sin
?

cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1? 1?2sin
2
?

sin(
?
?
?
)? sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

tan2
?
?
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
< br>sin
tan(
?
?
?
)?
tan(
??
?
)?
2tan
?
1?tan
?
2

?
2
??
1?cos
?

2
tan
?
?tan
?
?
1?cos
?

cos??

1?tan
?
tan
?
22< br>tan
?
?tan
?

tan

?
??
1?cos
?
?
sin
?
?
1?cos
?
1?tan
?
tan
?
21?cos
?
1?cos
?
sin
?











公式组三 公式组四
1
公式组五
sin
?
cos
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?< br>?
?
?
1
2
2tan
cos(
?
?
?
)?sin
?
2

2
1
sin
?
?
cos
?
sin
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?sin
?
??
?
?
?
?
1?tan
2
2
1
2
sin(
?
?
?
)?cos
?
1
2< br>cos
?
cos
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
??
?
1
1?tan
2
2
tan(
?
?
?
)?cot
?
2

2
cos
?< br>?
1
sin
?
sin
?
??
?
co s
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?< br>?
?
?
2
?
?
?
??
?
?
1?tan
1
sin
?
?sin
?
?
2< br>2sincos
2
cos(
?
?
?
)??sin?
22
2
?
?
?
??
?
?
1
2tan
sin
?
?sin
?
?2cossin
t an(
?
?
?
)??cot
?
2
22
?< br>?
??
?
?

2
tan
?
?
cos
?
?cos
?
?2coscos
?
22
1
1?tan
2
?
?
??
?
?
s in(
?
?
?
)?cos
?
2
cos
?< br>?cos
?
??2sinsin
2
?
2
?
2
?
6?2
,
tan
6?2
,
??
,
??
tan75?cot15
?
?2?3
.
15?cot75? 2?3
sin75?cos15?
sin15?cos75?
4
4


10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

定义域
值域

y?sinx
R
[?1,?1]


y?cosx
R
[?1,?1]

y

?tan x
1
??
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z??

2
??

y?cotx

?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?
R
y?Asin
?
?
x?
?
?

（A、
?
＞0）
R
R
?
?A,A
?

周期性
奇偶性






单调性

2
?

奇函数
[?
2
?

?

?

2
?
偶函数 奇函数 奇函数
?
当
?
?0,
非奇非偶
当
?
?0,
奇函数
?
?
2k
?
?
?
?
?
2k
?
?
?
?
?
2
(A),
?
?
?
?
1
?
?
?
?
?
2
(?A)
?
?
?
??
?< br>
?
2
?2k
?
,
?2k
?
]2
上为增函
?
数；
?
[?2k
?
,
2
3
?
?2k
?
]
2
上为减函
数（
k?Z
）
[
?
2k?1
?
?
,
???
；
?
?
??k
?
,?k
?
?
2k
?
]
2
?
2
?
上为增函
上为增函数
数
（
k?Z
）
[2k
?
,

?
2k?1
?
?
]
?
k
?
,
?k?1
?
?
?
上为减函
数（
k?Z
）
?
上为减函
数
（
k?Z
）

上为增函数；
?
?
2k
?
??
?
??
?
2
(A),
??
?
??
??
3< br>?
2k
?
?
2
?
?
?
?
( ?A)
??
?
??
上为减函数
（
k?Z
）



注意：①
y??sinx
与
y?sinx< br>的单调性正好相反；
y??cosx
与
y?cosx
的单调性也同样相 反.一般地，若
y?f(x)
在
[a,b]
上递增（减），则
y?? f(x)
在
[a,b]
上递减（增）.
▲
y
②
y ?sinx
与
y?cosx
的周期是
?
.
③
y? sin(
?
x?
?
)
或
y?cos(
?
x ?
?
)
（
?
?0
）的周期
T?
2
?
?
.
x
O
x
y?tan
的周期为2
?
（
T?
?
?T?2
?
，如图，翻折无效）.
2
?
?
④
y?sin(
?
x?
?
)
的对称轴方程是
x?k
?
?
（
k?Z
），对称中心（
k
?
,0
）；
y?cos(
?
x?
?
)
的对称轴方程是
x?k
?
2
（
k?Z
），对称中心 （
k
?
?
1
?
,0
）；
y?tan(?
x?
?
)
的对称中心（
2
k
?
,0
）.
2
?
y?cos2x?????y??cos(?2x)??cos2x
< br>原点对称
⑤当
tan
?
·
tan
?
?1,< br>?
?
?
?k
?
?(k?Z)
.
22
?
?
⑥
y?cosx
与
y?sin
?
?
x??2k
?
?
是同一函数,而
y?(
?
x?
?< br>)
是偶函数，则
2
??
1
y?(
?
x?< br>?
)?sin(
?
x?k
?
?
?
)??co s(
?
x)
.
2
?
(k?Z)
；
tan
?
·
tan
?
??1,
?
?
?
? k
?
?
⑦函数
y?tanx
在
R
上为增函数.（× ） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，
y?tanx
为增函
数，同样也是错误的].
⑧定义域关 于原点对称是
f(x)
具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原 点对
称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：
f(?x)?f(x)
，奇函数 ：
f(?x)??f(x)
）
1
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：y?tanx
是奇函数，
y?tan(x?
?
)
是非奇非偶.（ 定义域不关于原点对
3
称）
奇函数特有性质：若
0?x
的定义域， 则
f(x)
一定有
f(0)?0
.（
0?x
的定义域，则无 此性质）
y
y
⑨
y?sinx
不是周期函数；
y?sin x
为周期函数（
T?
?
）；
▲
▲
y?cosx< br>是周期函数（如图）；
y?cosx
为周期函数（
T?
?
）；
1
y?cos2x?
的周期为
?
（如图），并非所有周期函数都有最 小正周期，例如：
2
x
12
x
y?f(x)?5?f(x?k),k?R
.
y=cos|x|图象
y=|cos2x+12|图象
⑩
y?acos
?
?bsin
?
?a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)?cos
?
?
b
有
a
2
?b
2
?y
.
a

11、三角函数图象的作法：
１）、几何法：
２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.
３）、利用图象变换作三角函数图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y＝Asin（ωx＋φ）的 振幅|A|，周期
T?
2
?
，频率
f?
1
?
|
?
|
，相位
?
x?
?
;
初相
?
（即当x＝0时
|
?
|
T2
?
的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐 标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|
倍，得到y＝Asinx的图象， 叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用yA替换y）
由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不 变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的
|
1
|
倍 ，
?
得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)
由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin（x
＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)
由 y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx ＋b
的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）
由y＝sinx的图象利用图 象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注
意：当周期变 换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。
4、反三角函数：
函数y ＝sinx，记作y＝arcsinx，它的定义域是［－1，1］，值域是
?
－
?< br>，

?
?
．
?
?
??
?
?
的反函数叫做反正弦函数，
??
?
x?
?
?
2，
?
2
?
??
??
?
?
22
?
?
函数y＝cosx，（x∈［0，
π
］）的反应函数叫做反余弦函数，记 作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，
值域是［0，
π
］．
函数y＝tanx，
?
值域是
?
?
?
，
?
?
．
?
?
?
22
?
?
??
?< br>?
的反函数叫做反正切函数，记作
?
?
?
?
x??
?
2
，
2
?
?
?
??
y＝ arctanx，它的定义域是（－∞，＋∞），
函数y＝ctgx，［x∈（0，
π
）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋
∞），值域是（0，
π
）．



II. 竞赛知识要点
一、反三角函数.
1. 反三角函数：⑴反正弦函数
y?arcsinx
是 奇函数，故
arcsin(?x)??arcsinx
，
x?
?
?1 ,1
?
（一定要注明定义
域，若
x?
?
??,??
?
，没有
x
与
y
一一对应，故
y?sinx
无反函 数）
注：
sin(arcsinx)?x
，
x?
?
?1, 1
?
，
arcsinx?
?
?
?
,
??
.
?
22
?
??
⑵反余弦函数
y?arc cosx
非奇非偶，但有
arccos(?x)?arccos(x)?
?
? 2k
?
，
x?
?
?1,1
?
.
注：①< br>cos(arccosx)?x
，
x?
?
?1,1
?
，
arccosx?
?
0,
?
?
.
②
y ?cosx
是偶函数，
y?arccosx
非奇非偶，而
y?sinx
和
y?arcsinx
为奇函数.
⑶反正切函数：
y?arctanx< br>，定义域
(??,??)
，值域（
?
arctan(?x)??arc tanx
，
x?
(??,??)
.
??
,
），
y?arctanx
是奇函数，
22
注：
tan(arctanx)?x
，
x?
(??,??)
.

⑷反余切函数：
y?arccotx
，定义域
(??,??)，值域（
?
??
,
），
y?arccotx
是非奇非偶 .
22
arccot(?x)?arccot(x)?
?
?2k
?
，
x?
(??,??)
.
注：①
cot(arccotx )?x
，
x?
(??,??)
.
②
y?arcsinx< br>与
y?arcsin(1?x)
互为奇函数，
y?arctanx
同理 为奇而
y?arccosx
与
y?arccotx
非奇非偶但满足
a rccos(?x)?arccosx?
?
?2k
?
,x?[?1,1]ar ccotx?arccot(?x)?
?
?2k
?
,x?[?1,1]
.

⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：
a
的取值范围 解集
a
的取值范围 解集
①
sinx?a
的解集 ②
cosx?a
的解集
a
＞1
?

a
＞1
?

a
=1
?
x|x?2k
?
?arcsina,k?Z
?

a
=1
?
x|x?2k
?
?arccosa,k?Z
?

a
＜1
?
x|x?k
?
?
?
? 1
?
k
arcsina,k?Z

?
a
＜1
?
x|x?k
?
?arccosa,k?Z
?

③
tanx?a
的解集：
?
x|x?k
?
?arctana, k?Z
?

③
cotx?a
的解集：
?
x |x?k
?
?arccota,k?Z
?







二、三角恒等式.
sin2
n?1
?
组一
n
cos
?
co s2
?
cos4
?
...cos2
?
?
n?12sin
?

组二
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
cos3
?
?4cos
3
?
?3cos
?
sin
2
?
?sin
2
?
?sin
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?cos
2
?
?cos
2
?
?
cos
2
k?1
n
?
k
?cos?
2
cos
?
4
cos
?
8
?cos
?
2
n
?
sin
?
2
n
sin< br>?
2
n

sin((n?1)d)cos(x?nd)
sind
?
cos(x?kd)?cosx?cos(x?d)???cos(x?nd) ?
k?0
n
?
k?0
n
sin(x?kd)?sinx?s in(x?d)???sin(x?nd)?
sin((n?1)d)sin(x?nd)
< br>sind
tan(
?
?
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
?tan
?
?tan
?
tan
?
tan
?

1?tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?
组三 三角函数不等式
?
sinx
在
(0,
?
)
上是减函数
sinx
＜
x
＜
tanx,x?(0,)

f(x)?
2
x
若
A?B?C?
?
，则
x
2
?y
2
?z
2
?2yzcosA?2xzcosB?2x ycosC