高中数学会考知识点大全学生版

2017年高中数学知识点学案
第一章 集合与简易逻辑
1、 集合 （1）、定义： ；集合中的每个对象叫集合
的 。
集合中的元素具有三个特征： 。
（2）、集合的三种表示法： 。
（3）、集合的分类：有限集、无限集和空集（记作
?
，是 的
?
是 的子集，
真子集）；
（4）、元素
a
和集合A之间的关系： ；
（5）、常用数集：自然数集： ；正整数集： ；整数集： ；有理数集： ；实
数集： 。
2、子集 （1）、定义： ，则A叫B的子集 ；记作： 。
注意：A
?
B时，A有两种情况： 。
（2）、性质：①、 ；②、 ；
③、 。
3、真子集 ：（1）、定义： ，记
作： ；
（2）、性质：①、 ；②、 ；
4、补集：①、定义： ，
A
记作： ；
②、性质： 。
5、交集与并集（1）、交集： ；
性质：①、 ，
②、 。
A
（2）、并集： ；
B
性质：①、 ，
②、 。
6、一元二次不等式的解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）
2
??0

??0

??0

判别式：△=
b
-4
ac

A
B
y
y
二次函数
y
的图象
一元二次方程
O
x
1
x
2

x
x
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根
x
一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解

O
x
1
=x
2


O
集
一元二次不等式

ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解
集
*：
不等式解集的边界值是相应方程的解。

*：
含参数的不等式ax
2
＋b x＋c>0恒成立问题
?
含参不等式ax
2
＋b x＋c>0的解集是R；

其解答分a＝0(验证bx＋c>0是否恒成立)、a≠0（a<0且△<0）两种情况。
7、绝对值不等式的解法：（“＞”取两边，“＜”取中间）
（1）、当
a?0
时，
|x|?a
的解集是 ，
|x|?a
的解集是 。
（2）、当
c?0
时，
|ax?b|?c?ax?b??c,或ax?b?c
，
|ax?b|?c??c?ax?b?c
。
（3）、含两个绝对值的不等式：零点分 段讨论法：例：
|x?3|?|2x?1|?2
。
8、简易逻辑： （1）命题： ；逻辑联结词： ；
简单命题： ；复合命
题： ；
三种形式： ；
判断复合 命题真假：（1）、思路：①、确定复合命题的结构，②、判断构成复合命题的简单
命题的真假，
③、利用真值表判断复合命题的真假；
（2）、真值表：p或q，同假为假，否则为真；p且q，同真为真；非p，真假相反。
（2）、四种命题：
互逆
逆命题
原命题
原命题：若p则q； 逆命题： ；
若q则p
若p则q
否命题： ； 逆否命题： ；
否
互
互为逆否的两个命题是 。
逆
为
互
互
原命题与它的逆否命题是 命题。
为
逆
否
否
（3）、反证法步骤：假设结论不成立→推出矛盾→否定假设。
互
否
（4）、充分条件与必要条件：
逆否命题
否命题
若
p?q
，则
p
叫
q
的 条件；
若
?
q则
?
p
若
?
p则
?
q
互逆
若
p?q
，则
p
叫
q
的 条件；
若
p?q
，则
p
叫
q
的 条件。
1
射
，
第二章 函数
、映
：
记作 ，若
a?A,b?B
，且元素a和元素b对应，那么b叫a的 ，a叫b
的 。
2、函数：（1）、定

义： ，就称
f
：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作 ；
（2）、函数的三要素： ；自变量x的取值范围叫函数
的 ，函数值
f
（
x
）的范围叫函数的 ，定义域和值域都要用集合或区间表
示；
（3）、函数的表示法常用： （画图象的三个步
骤： ）；
（4）、区间：满足不 等式
a?x?b
的实数
x
的集合叫闭区间，表示为： ；
满足不等式
a?x?b
的实数
x
的集合叫开区间，表示为： ；
满足不等式
a?x?b
或
a?x?b
的实数
x
的集合叫半开半闭区间，分别表示
为： ；
（5）、求定义域的一般方法：①、整式：全体实数，例一次函数、二次函数的定义域为R；
②、分式：分母
?0
，0次幂：底数
?0
，例：
y?
1
2?|3x|
1
③、偶次根式：被开方式
?0
，例：
y?25?x
2
④、对数：真数
?0
，例：
y?log
a< br>(1?)

x
（6）、求值域的一般方法：①、图象观察法：
y?0.2
|x|

1
②、单调函数：代入求值法：
y?log
2
(3x?1),x?[,3]

3
③、二次函 数：配方法：
y?x
2
?4x,x?[1,5)
，
y??x
2
?2x?2

x

2x?1
2 ?sinx
⑤、“对称”分式：分离常数法：
y?
⑥、换元法：
y?x?1? 2x

2?sinx
（7）、求
f
（
x
）的一般方法：
④、“一次”分式：反函数法：
y?
①、待定系数法：一次函数
f
（
x
），且满足
3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17
，求
f
（
x
）
11
②、配凑法：
f(x?)?x
2
?< br>2
,
求
f
（
x
）③、换元法：
f(x?1) ?x?2x
，求
f
（
x
）
x
x
1
④、解方程（方程组）：定义在（-1，0）∪（0，1）的函数
f
（
x
） 满足
2f(x)?f(x)?
，
x
求
f
（
x
）
3、函数的单调性：
（1）、定义：区间D上任意两个值
x
1
,x
2
，若
x
1
?x
2
时有 ，称
f(x)
为D
上增函数；
若
x
1
?x
2
时有 ，称
f(x)
为D上减函数。（一致为增，不同为减）
（2）、区间D叫函数
f(x)
的 ，单调区间
?
定义域；
（3）、判断单调性的一般步骤：①、 ，②、 ，③、 ，④、 。
（4）、复合函数
y?f[h(x)]
的单调性：内外一致为增，内外不同为减；

4、指数及其运算性质：（1）、 ，那么这个数叫
a
的
n
次方根；
n
a
叫 ，当
n
为奇数时，
n
a
n
?
；当
n
为偶数时，
n
a
n
?
。
m
n
（2）、分数指数幂：正分数指数幂：
a
a
?m
n
?
；负分数指数幂：
?
。
0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂没有意义（0的负数指数幂没有意义）；
（3）、运算性质：当
a?0,b?0,r,s?Q
时， ；
5、对数及其运算性质：（1）、定义：如果
a
b
?N(a?0,a?1 )
，数
b
叫以
a
为底
N
的对数，
记作 ，其中
a
叫 ，
N
叫 ，以10为底叫 对数：记为 ，以e=…为底叫 对
数：记为 。
（2）、性质：①： ，②、 ，
③、 ，④、积的对数： ， 商的对
数： ，
幂的对数： ， 方根的对
数： 。
6、指数函数和对数函数的图象性质
函数 指数函数 对数函数
定义
y?log
a
x
（
a?0且a?1
）
y?a
x
（
a?0且a?1
）
图象
（非奇非
偶）
a>1

0
a>1

0
性 定义域
质
值域
单调性
函数值
变化
图 定 点
象
图象
特征
图象
关系
请把下列六个函数的图像补充完整：
y
y=a
|x|

y=a
|x|
y

y=|log
a
y=lo g
a
|y=log
a
|
x|

y y=|log
a
x|
y
x|
y
第三章 数列
O
1
x
x|
（一）、数列：（1）、定义： 叫数列；每个数都叫数列的 ；
x
x
数列是特殊的函数：定义域： ，
O
1
O
1
x
O
1
值域： ，对应法则： ；
（2）、通项公式： ；例：数列1，2，…，n的通项
公式
a
n
?
，
1，-1，1，-1，…，的通项公式
a
n
?
； 0，1，0，1，0，…，的通项公式
a
n
?
。 < br>（3）、递推公式：已知数列{
a
n
}的第一项，且任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的
关系用一个公式表示，这 个公式叫递推公式；例：数列{
a
n
}：
a
1
?1
，
a
n
?1?
列{
a
n
}的各项。
（4）、数列的前n项和：
S
n?a
1
?a
2
?a
3
???a
n
； 数列前n项和与通项的关
系： 。
（二）、等差数列 ：（1）、定
义： ，那么这个数列就
叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母 表示。
（2）、通项公式： （其中首项是
a
1
，公差是
d
；整理后是关于n
的一次函数），
（3）、前n项和：1． 2. （整理后是关于n的
没有常数项的二次函数）
（4）、等差中项：如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与b
的 。即：
或 。
[说明]： 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前
一项与后一项的等差中 项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
（5）、等差数列的判定方法：
①、定义法：对于数列
?
a
n
?
，若
a
n ?1
?a
n
?d
(常数)，则数列
?
a
n
?
是等差数列。
②、等差中项：对于数列
?
a
n
?，若
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
，则数列< br>?
a
n
?
是等差数列。
（6）、等差数列的性质： ①、等差数列任意两项间的关系：如果
a
n
是等差数列的第
n
项 ，
a
m
是等差数列的第
m
项，
且
m?n
， 公差为
d
，则有 ；
②、等差数 列
?
a
n
?
，若
n?m?p?q
，则 。
也就是：
a
1
?a
n
?a
n
???? ?
a
1
??????
a,a,a,?,a
n?2
,a
n?1
,a
n

?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
，如图所示：
1
?
2
?
3
???????
a
2
?a
n?1

y
1
a
n?1
，求数

③、若数列
?
a
n
?
是等差数列，
S
n
是其前n项的和，k?N
*
，那么
S
k
，
S
2k
?S< br>k
，
S
3k
?S
2k
成
????????? ???
S
?
3k
????????????
?a?a???a?a< br>1
???a
2k
?a
2k?1
???a
3k
等差数列。如下图所示：
a
?
1
??
2
??
3????
k
?
k?
?????????????
S
k< br>S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k
④、 设数列
?
a
n
?
是等差数列，
S
奇
是奇数 项的和，
S
偶
是偶数项项的和，
S
n
是前n项的和，
则有：前n项的和
S
n
?S
奇
?S
偶
， 当n为偶数时，
S
偶
?S
奇
?d
，其中d为公差；
当n为奇数时，则
S
奇
?S
偶
?a
中
，
S
奇
?
a
n
S
2n?1
?
'
b< br>n
S
2n?1
n?1n?1
a
中
，
S
偶
?a
中
（其中
a
中
是等差数列的中间一项）。
22
n
2
'
⑤、等差数列
?
a
n
?的前
2n?1
项的和为
S
2n?1
，等差数列
?
b
n
?
的前
2n?1
项的和为
S
2n?1
，则
。
（三）、等比数列：（1）、定
义： ，
那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示
（
q?0
）。
（2）、通项公式： （其中：首项是
a
1
，公比是
q
）
（3）、前n项和： （推导方法：乘公比，错位相减）
a?aq
a
1
(1?q
n
)
(q?1)

○
说明：①
S
n
?
2
S
n
?1n
(q?1)

1?q
1?q
3当
q?1时为常数列，
S
n
?na
1
，非0的常数列既是等差数列，也是 等比数列
○
（4）、等比中项：
如果在a与
b
之间插入一个数< br>G
，使a，
G
，
b
成等比数列，那么
G
叫做 a与
b
的 。
也就是，如果是的等比中项，那么
（5）、等比数列的判定方法：
①、定义法：对于 数列
?
a
n
?
，若
a
n?1
?q(q?0 )
，则数列
?
a
n
?
是等比数列。
a
n
Gb
?
aG
，即 （或
G??ab
，等比中项有 个）
2
②、等比中项：对于数列?
a
n
?
，若
a
n
a
n?2
?a
n?1
，则数列
?
a
n
?
是等比数列。
（6）、等比数列的性质：
①、等比数列任意两项间的关系：如果
a
n是等比数列的第
n
项，
a
m
是等比数列的第
m
项，
且
m?n
，
公比为
q
，则有 。
②、对于等比数列
?
a
n
?
，若
n?m?u? v
，则 。
也就是：
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3?a
n?2
???
1
?a
n
?????
a??????
,a,?,a
n?2
,a
n?1
,a
n< br> 。如图所示：
a
1
,a
?
2
?
3
???????
a
2
?a
n?1
③、若数列
?
a< br>n
?
是等比数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N*
，那么
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S
3k
?S
2k
成等
比数列。

????????????
S
?
3k
????????????
? a?a???a?a
1
???a
2k
?a
2k?1
???a
3k
如下图所示：
a
?
1
??
2
??< br>3
????
k
?
k?
?????????????
S
k
S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k
（7）、求数列的前n项和的常用方法：分析通项，寻求解法
n(n?1)
1?3?5???(2n?1)?n
2
，，
1?2? 3???n?
2
1
1
2
?2
2
?3
2???n
2
?n(n?1)(2n?1)

6
①公式法：“差比 之和”的数列：
(2?3?5
?1
)?(2?3?5
?2
)???( 2?3?5
?n
)?

②、并项法：
1?2?3?4???(?1)
n?1
n?

111
?
③、裂项相消法：
1?????
26(n?1)n
④、到序相加法：
⑤、错 位相减法：“差比之积”的数列：
1?2x?3x
2
???nx
n?1
?

第四章 三角函数
1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角 ，顺时针方向旋转负角，不做任何旋
转零角；
（2）、与
?
终边相同的角， 连同角
?
在内，都可以表示为集
合： 。
（3）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，
角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角
y
P（x，y）
不属于任何象限。
r
2、弧度制：（1）、定义： 叫做1弧度的角，
用弧度做单位叫弧度制。
（2）、度数与弧度数的换算： 。
0
（3）、弧长公式： 。
x
扇形面积： 。
3、三角函数 （1）、定义：（如图） （2）、各象限的符号：
y
y
y
（3）、 特殊角的三角函数值
_
_
+
+
+
+
?
的角

度
O
x
x
O x
O
?
的弧

度














_



_



_




+




_
+










（4）同角三角函数的常见变形：（活用“1”）
①、
sin
2
?
?1?cos
2
?
， < br>sin
?
??1?cos
2
?
；
cos
2< br>?
?1?sin
2
?
，
cos
?
??1?sin
2
?
；
③
(s in
?
?cos
?
)
2
?1?2sin
?
cos
?
?1?sin2
?
，
1?sin2
??|sin
?
?cos
?
|

5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）
公式一：
公式二： 公式三： 公式四： 公式五：

补充：
?
2
补充：
6、两角和与差的正弦、余弦、正切
?
?
,
3
?
?
?
与
?
的三角函数关系：
2
S
(
?< br>?
?
)
：
sin(
?
?
?
)?
S
(
?
??
)
：
sin(
?
?
?
)?

C
(
?
?
?
)
：
cos(a?
?
)?

C
(
?
?
?
)
：
cos(a?
?
)?

T
(
?
?
?
)
：
tan(
?
?
?
)?

T
(
?
?
?
)
：
tan(
?
?
?
)?

T
(
?
?
?
)
的整式形式为：
tan?
?tan
?
?tan(
?
?
?
)?(1?t an
?
tan
?
)

例：若
A?B?45?
，则
(1?tanA)(1?tanB)?2
．（反之不一定成立）
??
ab
7、辅助角公式：
asinx?bcosx?a
2
?b
2
??
sinx?cosx
?
2
?

222
a?b
?
a?b
?
（其中
?
称为辅助角，
?
的终 边过点
(a,b)
，
tan
?
?
b
） （多用于研究性质）
a
8、二倍角公式：（1）、
S
2
?
：
sin2
?
?
（2）、降次公式：（多用于研究性质）

C
2
?
：
cos2
?
?

sin
?
cos
?
?
1
sin2
?

2
1?cos2
?
11
T
2
?
：
tan2
?
?

cos
2
?
??cos2
?
?

222
1?cos2
?
?2|cos
?
|
； （3 ）、二倍角公式的常用变形：①、
1?cos2
?
?2|sin
?
|
，
11
?cos2
?
?|cos
?
|
②、
1
?
1
cos2
?
?|sin
?
|< br>，
22
22
sin
2
2
?
③、
sin
?
?cos
?
?1?2sin
?
cos
?< br>?1?
；
cos
4
?
?sin
4
?< br>?cos2
?
；
2
4422
sin
④半角：
?
2
??
1?cos
?
?
1?cos
?
?
1?cos
?
1?cos
?
sin
?
cos??
??
，，
tan??

22221?cos
?
si n
?
1?cos
?
9、三角函数的图象性质
（1）、函数的周期性 ：①、定义：对于函数
f
（
x
），若存在一个非零常数T，当
x取定义域
内的每一个值时，都有： ，那么函数
f
（
x
）叫周期函数，非零常数
T叫这个函数的 ；
②、如果函数
f
（
x
）的所有周期中存在一个最小的 正数，这个最小的正数叫
f
（
x
）
的 。 < br>（2）、函数的奇偶性：①、定义：对于函数
f
（
x
）的定义域内的任 意一个
x
，
都有： ，则称
f
（
x
）是奇函数， 则称
f
（
x
）是偶函数。
②、奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称；

③、奇函数，偶函数的定义域关于 对称；
（3）、正弦、余弦、正切函数的性质（
k?Z
）
函数 定义域 值域 周期性 奇偶
性



递增区间



递减区间
y?sinx
图象的五个关键点： ；
y

y?cosx
图象的五个关键点：
1


0
y
x
x
y
1
；对称轴是直线 ；
y?Asin(
?
x?
?
)
的周期
y?s inx
的对称中心为
o
-
1

为 ；
0
；对称轴是直线
?
x?< br>?
)
的周期
y?cosx
的对称中心为
x
；
y?Acos(
为 ；
y?tanx
的对称中心为点 和点 ；
y?Atan(
?
x?
?
)
的周期
为 ；
(4)、函数
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0,< br>?
?0)
的相关概念：
函数

定义
域

值域

振幅

周期

频率 相位

初
相

图象

-
1

y?Asin(
?
x?
?
)
的图象与
y?sinx
的关系：
当A
?1
时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍
①、振幅变换：
y?sinx
当

0?
A
?1
时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍
1
当
?
?1
时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍
②、周期变换：
y?sinx

?
1
当时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍
0?
?
? 1
当
?
?0
时，图象上的各点向左平移
?
个单位倍
③、相位变换：
y?sinx

?
当
?
?0
时，图象上的各点向右平移
|
?
|
个单位倍
?
④、平移变换：
y?Asin
?
x

当
?
?0
时，图象上的各点向左平移个单位倍
?
||
个单位倍
?
?0
时，图象上的各点向右平移当 ?0
时）平移|
?
|个单位
?
?0
时）或向右（
?
常叙述成： ①、把
y?sinx
上的所有点向左（
?
?
得到
y?sin(x?
?
)
；
②、再把
y?sin(x ?
?
)
的所有点的横坐标缩短（
?
?1
）或伸长（
0?
?
?1
）到原来的
1
倍
?

（纵 坐标不变）得到
y?sin(
?
x?
?
)
；③、再把
y?sin(
?
x?
?
)
的所有点的纵坐标伸长（
A?1
）
11、三角函数求值域
（1）一次函数型：
y?Asinx?B
，例：
y??2sin(3x?
?
12
)?5
，
y?sin xcosx

用辅助角公式化为：
y?asinx?bcosx?
a
2
?b
2
?sin(x?
?
)
，例：
y?4sin x?3cosx

（2）二次函数型：①、二倍角公式的应用：
y?sinx?cos2x

②、代数代换：
y?sinxcosx?sinx?cosx

第五章、平面向量
1、空间向量：（1）、定义： 叫做向量，向量都可用同一平面内的
表示。
（2）、零向量：长度为 的向量叫零向量，记作
0
；零向量的方向是任意的。
（3）、单位向量：长度等于 的向量叫单位向量；
（4）、平行向量： 的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作
ab
；
规定
0
与任何向量平行；
（5）、相等向量： 的向量叫相等向量，零向量与零向量相等；
2、向量的运算：（1）、向量的加减法：
向量的减
向量的加
法
法
三角形法
平行四边形法
（2）、实数与向量的积：①、定义：实数
则
则
?
与向量
a
的积是一个向量，记作： ；

②：它的长度：
|
?
a|?
；
③：它的方向：当
?
?0
，
?
a
与向量a
的方向 ；当
?
?0
，
?
a
与向量
a
的方向 ；当
指向被减
首位连结
数
3、平面向量基本定理：如果
e
1
,e
2
是同一平面内的两个不共线的向量，那么对平面内的任一
向量a
，有且只有一对实数
?
1
,
?
2
，使 ；不共线的向量
e
1
,e
2
叫这个
平面内所有向量的一组基 向量，{
e
1
,e
2
}叫 。
4、平面向量 的坐标运算：（１）、运算性质：
a?b?b?a,a?b?c?a?b?c,a?0?0?a?a
（２）、坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1< br>?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则a?b?
。
设A、B两点的坐标分别为 （x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），则< br>AB?
。
?
??
?
?0
时，
?
a
=
0
；
????
??

（3）、实数与向量的积的运算律: 设
a?
?
x,y
?
，则λ
a?
。
（4）、平面向量的数量积：①、 定义：
a?b?
，
0?a?
。
①、平面向量的数量积的几何意义：向量
a的长度|
a
|与
b
在
a
的方向上的投影|
b< br>|
cos
?
的
乘积；
③、坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
；
向量
a
的模|
a
|：
|a|
2
?a? a
?x
2
?y
2
；模|
a
|
?

④、设
?
是向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
的夹 角，则
cos
?
?
，
a

??
??
?
?
????
??
?
b
?
。
5、重要结论：（1）、两个向量平行的充要条件：
ab?

(
?
?R)

设
a?
?
x
1,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
ab?
。
（2）、两个非零向量垂直的充要条件：
a?b?
，
设
a?
?
x
1
,y
1
?,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
。
（3） 、两点
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
的距离：
|AB|?

（4）、P分线段P
1
P
2
的：设P（x，y） ，P
1
（x
1
，y
1
） ，P
2
（x
2
，y
2
） ，且
P
1
P?
?
PP
2
，（即
????
??
??
??
??
??
?
??
| P
1
P|
|PP
2
|
）
?
x?
?
x?
则定比分点坐标公式
?
， 中点坐标公式
?
。
?
y?
?
y?
'
?
?
x?,
（5）、平移公式：如果点 P（x，y）按向量
a?
?
h,k
?
平移至P′（x′，y′），则
?
'

?
?
y?.
?
S
?
?
。 6、解三角形：（1）、三角形的面积公式：
（2）、在△
ABC
中：
A?B?C?180?
，
因为
A?B?180??C
：
sin(A?B)?sinC
，
cos(A?B)??cosC
，
tan(A?B)??tanC

因为
A?B
?90??
C
：
sin(
A?B
)? cos
C
，
cos(
A?B
)?sin
C
，
tan(
A?B
)?cot
C

222222
22
（3）、正弦定理，余弦定理
①、正弦定

理： ；
②、余弦定
理： 。
求角：
cosA?
。
第六章：不等式
1、不等式的性质：（1）、对称性：
a?b?
；（2）、传递性：
a?b,b?c?
；
（3）、
a?b? a?c?b?c
；
a?b,c?d?a?c?b?d

（4）、
a? b,
若
c?0?ac?bc
，若
c?0?ac?bc
；
a? b?0,c?d?0?ac?bd

（5）、
a?b?0?a
n
?b
n
,
n
a?
n
b,(n?N,n?1)
（没有减法 、除法）
1、 基本不等式：（1）、

（2）、
a?b?2ab
或
ab?(
22
a?b
（
ab?
）
2
y
a?b
2
)
一正、二定、三相等
2
x
不满足相等条件时，注意应用函数
f(x)?x?
1
图象性质（如图）
x
应用：证明（注意1的技巧），求最值，实际应用
（3）、对于n个正数：
a
1
,a
2
,a
3
?,a
n
(n?2)
，
那么：
a
1
?a
2
???a
n
叫做n个正数的算术平均数，
n
a
1
a
2
?a
n
叫做n个正数的几何平均数；
n
3、不等式的证明，常用方法：
（1）比 较法：①、作差：
a?b?0?a?b,a?b?0?a?b
，（作差、变形、确定符号） < br>②、作商：
a
?1(b?0)?a?b(b?0),
a
?1(b?0) ?a?b(b?0)

bb
（2）综合法：由因到果，格式：
??,　??;　　??,　??;

（3）分析法：执果索因，格式：原式
?，　

??，　??，　??，
（4）反证法：从结论的反面出发，导出矛盾。
4、不等式的解法：（不等式解集的边界值是相应方程的解）
一元二次不等式（
x< br>2
的系数为正数）：
??0
时“>”取两边,“<”取中间
绝对值不等式：含一个绝对值符号的：“>”取两边,“<”取中间
含两个绝对值符号的： 零点分段讨论法（注意取“交”，还是取“并”）
高次不等式的解法：根轴法 （重根：奇穿偶不穿）
分式不等式的解法：移项、通分、根轴法
第七章：直线和圆的方程
1、倾斜角和斜率：（1）、倾斜角： ①、范围：
?
?

②、定义：在平面直角坐标系中， 对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴饶交点按逆时针
方向旋转到和直线重合时的最小正角记为
?
，则
?
叫直线的倾斜角；

当直线与和x轴平行或重合时，倾斜角为 ；
当直线与和x轴垂直时，倾斜角为 。
（2）、斜 率： ，
k?(??,??)

当
k
是特殊角的三角函数值时，直接写出角；
（3）、直线上两点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)
，则斜率为 ，
2、直线方程：直线方程的五种形式（1）、点斜式： ；
（2）、斜截式： ；（3）、两点式： ；
（4）、截距式： （截距是直线与坐标轴的交点坐标，可正可负可为零）
AC
（5）、一般式： （A、B不同时为0） 斜率
k??
，
y
轴截距为
?
BB
3、两直线的位置关系（1）、平行：
l
1
l
2
?

A
1
?
B
1
?
C
1
时 ，
A
2
B
2
C
2
o
l
1
l
2
；
垂
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0?l
1
?l
2
；
直：
k
1
?k
2
??1?

A
1
x?B
1
y?C
1
?0;
（2）、相 交：
k
1
?k
2

A
1
?
B
1
，交点就是方程组
?
的解。
?
A
2
B
2
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0.
f
1
(x,y)?0
任意曲线 的交点就是：曲线方程构成的方程组
?
的解
?
?
f
2
(x,y)?0
（3）、点到直线的距离公式 （直线方程必须化为
一般式）
两平行线间的距离公式： （即一条直线上任一点到另一条直线
的距离）
4、 线性规划：（1）、二元一次不等式表示的平面区域： 不等式
Ax
2
?Bx?C?0
（或≤，或>，
或< ）表示直角坐标系中以直线为分界的直线某一侧的平面区域。
（2）、求线性目标函数在线性约束条件 下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。满
足线性约束条件的解
(x,y)
叫 做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。最优解常在区域的交点或边界上。
（3）、具体解题的步骤：画出图形，求交点，代入目标函数求值，确定最大值或最小值
注意实际问题中的整数解（整点）
5、 曲线方程：（1）、曲线和方程的关系：在直角坐标 系中，曲线C的点与方程F（x，y）=0
的实数解满足：
①、曲线C上的点的坐标都是方程F（x，y）=0的解，
②、方程F（x，y）=0的解为 坐标的点都在曲线C上，那么，方程叫曲线的方程，曲线叫方
程的曲线
（2）曲线方程步骤：①建系，设点； ②列方程；③化简（注明条件）。

（3）、方法：直接法：直接把相等关系转化为方程；
定义法：常用的是圆、椭圆、双曲线的定义；
代入法：用所求的点的坐标表示已知曲线上的点的坐标，代入已知曲线方程；
参数法：常用的参数有角、斜率、题中的字母系数；
6、圆的方程：（1）、圆的标准方程为 ，圆心为
C(a,b)
，半
径为
r

（2）圆的一般方程为 （配方：
D
2
E
2
D
2
?E
2
? 4F
）
(x?)?(y?)?
224
D
2
?E
2
?4F?0
时，表示一个以
(?
D
,?
E
)< br>为圆心，半径为
22
1
2
D
2
?E
2
?4F
的圆
?
y?rsin
?
?
x?rcos
?
（3）、圆的参数方程为 （
?
为参数 ），圆心在原点时：
?
（4）、点与圆的位置关系：判断方法
上(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
，外?0,内?0
，上=0
（5）、直线与圆位置关系：已知直线
Ax?By?C?0
和圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2

①、圆心到直线的距离
d
与
r
比较，相离
d?r
，相切
d?r
，相交d?r
；
?
Ax
2
?Bx?C?0
?
②、利 用根的判别式：联立
?
消元后得一元二次方程的判别式
?
，
222
?
?
(x?a)?(y?b)?r
??0?
直线和圆相交，
??0?
直线和圆相切，
??0?
直线和圆相离；
相关问题：求弦长：弦心距，半径，弦的一半组成
Rt?

（6）、求圆的切线方程：设点斜式，用圆心到切线的距离等于半径，求斜率；
①、过圆x
2
?y
2
?r
2
上一点
M(x
0< br>,y
0
)
的切线只有一条，方程为： 。
②、过圆外一点的切线一定有两条；（若只解出一个斜率，另一条没有斜率，切线方程为：
x?x
0
）
③、斜率确定的切线一定有两条。
（7）、圆中的最值问题：数形结合，寻求解法。
第八章：圆锥曲线
1、 圆锥曲线的定义、标准方程、图象、几何性质
曲线 椭圆 双曲线
定义
抛物线


标准
方程

图象
y
0
x

y
0
x

y
0
x

F
1
F
2

F
1
F
2

F
x
2
y
2
x
2
y
2
y
2
x
2
yxb
由双曲线求渐近线：
2
?
2
?1?
2
?
2
?0?
2
?
2
????y??x

baa
ababba
byxy2
x
2
x
2
y
2
x
2
y2
由渐近线求双曲线：
y??x????
2
?
2
?2
?
2
?0?
2
?
2
?
?

aba
baabab
2、求离心率
e
：方法一：用
e
的定义
e?
求
c
；
a
c
；法二：得到与
a、b、c
有关的方程，解方程，
a
b
2
b
2
（ 离心率
e
与
a、b、c
的关系可以互相表示：椭圆
e?1?
2
，双曲线
e?1?
2
）
aa
3、直线和圆锥曲线的位置关系：
（1）、判断直线与圆锥曲线的位置关系的方法（基本思路）
?
直线方程
→消元→一元二次方程→判别式 Δ
联立
?
（方程的思想）
?
圆锥曲线方程
（2）、求弦长的方法： ①求交点，利用两点间距离公式求弦长；
②弦长公式
l?1?k
2
x1
?x
2
?(1?k
2
)[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]　　（消y）
（ 3）、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：
11
?1?
2
|y
1
?y
2
|?(1?
2
)[(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2
]　　　（消x）
把弦 的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差→弦的斜率与中点的关系；
kk
（弦的中点与弦的斜率可以相互表示）
（4）、与双曲线只有一个交点的直线：一相切，二与渐近线平行
与抛物线只有一个交点的直线：一相切，二与对称轴平行
4、圆锥曲线的最值问题：
（1）、利用第二定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离求最值；
（2）、结合曲线上的点的坐标，利用点到直线的距离公式转化为二次函数求最值；
y
2
x
2
2
在
y?2px
上的点常设
(,y)，在
x?2py
上的点常设
(x,)

2p2p
2
（3）、利用数形结合求最值；基本思路：与直线平行，与曲线相切.
（椭圆中，长轴是最长的弦；双曲线中，实轴是最短的弦。）
第九章 直线 平面 简单的几何体
1、 平面的性质：
公理1： 。
公理2： 。
（两平面相交，只有一条交线）
P?
?
?
?
?
?
?
?
?l
且
P?l

公理3： 。(强调“不共线”)

（三个推论：1、直线和直线外一点，2、两条相交直线，
3、两条平行直线，确定一个平面）
空间图形的平面表示方法：斜二测画法（水平长不变，竖直长减半）
2、 两条直线的位置关系： 。不同在任何一个平面内的两条直线
叫 。
（1）、异面直线判断方法：①定义，
②判定：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面不经过此点的直线是异面直
a
线．（两在两不在）
（2）、两条直线垂直：两条异面直线所成的角是直角，这两条直线互相垂直．
A
α
垂直相交（共面）、异面垂直，都叫两条直线互相垂直．
a∩
α
=A
（3）、空间平行直线：公理4： 。
3、直线与平面的位置关系： 直线在平面内，记作
直线在平面外 直线与平面相交，记作
直线与平面平行，记作
4、直线与平面平行：定义： 。
a
（1）、判定定理： 。
（线线平行
?
线面平行）
l?
?
,m?
?
,且lm
?
l
?

α
a
α

（2）、性质定理： 。（线面平
行
?
线线平行）
l
?
,l?
?
,
?
?
?
?m
?
lm

5、两个平面平行：定义： 。
（1）、判定定理： 。（线面平行
?
面面平行）
推
论：
。
（2）、性质定理：① 。（面面平行
?
线线平行）
② ；（面面平行
?
线面平行）
③夹在两个平行平面间的两条平行线段相等。
平行间的相互转化关系：线线平行 线面平行 面面平行
6、直线和平面垂直：定义： 。
（常用于证明线线垂直：线面垂直
?
线线垂直）
（1）、判定定理： 。（线线垂直
?
线面垂直）
（2）、性质定理：①过一点和已知平面垂直的直线只有 一条，过一点和已知直线垂直的平面
只有一条。
②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面。
③线段垂直平分面内的任意一点到线段两端点距离相等。
（3）正射影：自一点P 向平面< br>?
引垂线，垂足P
‘
叫点P在
?
内的正射影（简称射影） < br>斜线在平面内的射影：过斜线上斜足外一点，作平面的垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在
平面内 的射影。
（4）三垂线定理： 。
逆定理： 。

P
A
7、两个平面垂直：定义：平面角是直角的二面角叫直二面角，相交成直二面角的两个平面
D
a
垂直。
O
A
B E
（1）、判定定理： 。（线面垂直
?
a
C
面面垂直）
（2）、性质定理： 。（面面垂直
?
线面垂直）
垂直间的相互转化关系：线线垂直 线面垂直 面面垂直
10、角
（1）、等角定理： ，那么这
两个角相同。
（2）、最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条 斜线和这个平面内任一
条直线所成的角中最小的．公式： ；
O
（3）、角的范围：
①、异面直线所成的角的范围：
两条直线所成的角的范围：
两个向量所成的角的范围：
B
②、斜线与平面所成的角的范围：
A
直线与平面所成的角的范围：
C
③、二面角的范围：
（4）、定义及求法：
①、异面直线所成的角：已知两条异面直线
a
、b
，经过空间任一点
O
作
a'
∥
a
，
b'
∥
b
，
a'
与
b'
所成的锐角（或直角）叫做 异面直线
a
与
b
所成的角（或夹角）．
范围：
?
?(0,]
．
2
求法一：作平行线；
求法二：（向量）两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦。
②、斜 线和平面所成的角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角；斜线和平面不
垂直，不平行。
如果直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角是0
。
的角。
求法 一：公式
cos
?
?cos
?
1
?cos
?
2
；
A
O
求法二：解直角三角形，斜线、斜线的射影、垂线构成直角三角形；
B
A’
③、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，直线叫二面角的棱；
O’
二面角的平面角：垂直于二面角的棱，且与两个半平面的交线所成的角。
B’
求法 一：几何法：一作二证三计算.利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角，再解直
角三角形；
11、距离（满足最小值原理）
（1）、点到平面的距离：一点到它在平面内的正射影的距离；
求法一：解直角三角形；
求法二：等积法，利用体积相等；
求法三：向量法：如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，
平面的法向量为n,过点P作平面?的垂线PO，记PA和平面?所成的角为?，
求法一：解直角三角形；
12、棱柱
?

（1）、定义： 的多
面体叫棱柱。
斜棱柱（侧棱不垂直底面）——直棱柱（侧棱垂直底面）——正棱柱（底面 是正多边形的直
棱柱）
（2）、性质：①、棱柱的侧面是 ，所有侧棱都 ；过不相邻的两条侧棱的截
面是 ；
直棱柱的各个侧面都是 ；正棱柱的各个侧面都是 的矩形。
c
b
②、棱柱的两个底面与平行于底面的截面是 的多边形。
a
（3）、平行六面体——直平行六面体——长方体——正方体，平行六面体
?
四棱柱
①、平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；
②、长方体的对角线长的平方等于 ；
③、正方体的对角线长
l?
，正方体的面对角线可构成一个正四面体（如图）。
13、棱锥
（1）、定义： 的多面体叫棱锥；
的棱锥叫正棱锥。
ShVh
P
（2）、性质：①、棱 锥被平行于底面的平面所截，则
1
?
1
2
,
1
?< br>1
3
；中截面。
S
2
h
2
V
2< br>h
2
23
‘
C
A
O
②、正棱锥各侧棱 ，斜高 ，各侧面是 三角形；
B
③、正棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成 三角形，
高、侧棱和侧棱在底面的射影组成 三角形。
A
14、正多面体：每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点都有相同的棱数。
O
正多边形 顶点数面 数F 棱 数E 以各面的中心为顶点的正多面体
B
V
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
欧拉公式：
15、球：
（1）、定义： 的集合叫球体；
的集合叫球面；
O
（2）、性质：①、截圆：一个平面截一个球面，截面是一个 ；
R
d
22

r?R?d
圆心是球心在圆面上的射影，；
N
O
‘
r
‘
P
过球心的截圆叫 ，过球面上任意两点的大圆有一个或无数个；
O
B

A
不过球心的截圆叫 。平行于 的小圆叫纬线或纬圆。
②、纬度：纬线上一点的球半径与赤道面所成的线面角的度数；
O
T
'
图中：
?AOC,?BOA
都是纬度；常用
?OAO ??AOC

D

C
经度： 以南北轴SN为棱的二面角的度数；
C
图中：
?TOD,?TOC
都是经度；常用经度差
?COD?? AOB

S
（3）、两点的球面距离：经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度， 是球面上两点的最短

连线的长度。
求法：球心角的弧度数乘以球半径，即 。
（4）、球的体积公式： ，球的表面积公式： ，柱体
V?
，
锥体
V?
。