高中数学知识体系

高中数学知识体系

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如 ：集合A?
?
x|y?lgx
?
，B?
?
y|y?lgx< br>?
，C?
?
(x,y)|y?lgx
?
，A、B、C

中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
3. 注意下列性质：
（1）集合
?
a
1
，a
2
，……，a
n
?
的 所有子集的个数是2
n
；

（2）若A?B?A?B?A，A?B?B；

（3）德摩根定律：
C< br>?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
，
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?C
U
B
?

U
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和

“非”(?).


若p?q为真，当且仅当p、q均为真


若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真


若?p为真，当且仅当p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f： A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与
之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
10. 如何求复合函数的定义域？
如：函数 f(x)的定义域是a，b，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定

义域是_____________。
（答：a，?a）

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
12. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
13. 反函数的性质有哪些？
??
??

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
?1

③设y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f(b)?a


14. 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？
（y?f(u)，u??(x)，则y?f
?
?(x)
?
< br>?f
?1
?
f(a)
?
?f
?1
(b)?a ，ff
?1
(b)?f(a)?b
??

（外层）（内层）


当内、外层函数单调性相同时f
?
?(x)
?
为增 函数，否则f
?
?(x)
?
为减函数。）

如：求y?log
1
?x
2
?2x的单调区间
2

2

（设u??x?2x，由u?0则0?x?2

2
且log
1
u?，u??
?
x?1
?
?1，如图：
2

??
u




O 1 2 x


当x?(0，1]时，u?，又log
1
u?，∴y?

2

当x?[1，2)时，u?，又log
1
u?，∴y?
2

∴……）
15. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间
?
a，b
?
内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个 别点上导数等于

3
如：已知a?0，函数f(x)?x?ax在
?
1，??
?
上是单调增函数，则a的最大

值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
?
a
??
a
?
（令f'(x)?3x
2
?a?3
?
x?x?
???
?0
3
??
3
??

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？


则x??
a
或x?
3
a
3

∴a的最大值为3）
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称


若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶 函
数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。

17. 你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T?0），在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x)，则f(x)为周期

函数，T是一个周期。）
如：若f
?
x?a
?
??f(x)，则


（答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期）


又如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b
?
?
?


即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)


则f(x)是周期函数，2a?b为一个周期

如：
由已知f(x)在[1，??)上为增函数，则
a
?1，即a?3
3

18. 你掌握常用的图象变换了吗？
f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称

f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称

f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称

?1
f(x)与f(x)的图象关于直线y?x对称

f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称

f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称

左移a(a?0)个单位
y?f(x?a)
将y?f(x)图象????????? ?
右移a(a?0)个单位
y?f(x?a)

上移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b
??????????

下移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b

注意如下“翻折”变换：
f(x)???f(x)
??f(|x|)

f(x)?
19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
(k<0) y

(k>0)


y=b
O’(a,b)

O x

x=a

（1）一次函数：y?kx?b
?
k?0
?

kk
（2）反比例函数：y?
?
k?0
?
推广为y?b?
?
k? 0
?
是中心O'(a，b)
xx?a

的双曲线。

b
?
4ac?b
2
?
（3）二次函数y?ax? bx?c
?
a?0
?
?a
?
x?
?
?图象 为抛物线
??
2a4a

?
b4ac?b
2
?
b
顶点坐标为
?
?，
?
，对称轴x??
4a< br>?
2a

?
2a

2
2
4a c?b
2
开口方向：a?0，向上，函数y
min
?
4a

2
4ac?b
a?0，向下，y
max
?
4a

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方
程 < br>ax
2
?bx?c?0，??0时，两根x
1
、x
2
为二次函数y?ax
2
?bx?c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax
2
?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
x
（4）指数函数：y?a
?
a?0，a?1
?

（5）对数函数y?log
a
x
?
a?0，a?1
?

由图象记性质！ （注意底数的限定！）
y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1

O 1 x

(0k
?
k?0
?
x

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
（6）“对勾函数”y?x?
y



?k


O
k


x




20. 你在基本运算上常出现错误吗？
1
指数运算：a
0
?1(a?0)，a
?p
?
p
(a?0)
a

mm
?
1
m
n
n
a?a(a?0)，a
n
?(a?0)
m
n
a


对数运算 ：log
a
M·N?log
a
M?log
a
N
?< br>M?0，N?0
?

log
a

M1
?lo g
a
M?log
a
N，log
a
n
M?loga
M
Nn

log
a
x
?x

对数恒等式：a
log
c
b
n
对数换底公式：log
a
b??log
a
m
b
n
?log
a
b
log
c
am

21. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）

如：（1）x?R，f(x)满足f(x ?y)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。


（先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，……）


（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。

（先令x?y??t?f
?
(?t)(?t)
?
?f(t·t)


∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)


∴f(?t)?f(t)……）


（3）证明单调性：f(x
2
)?f
?
x
2
?x
1
?
?x
2
?……

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次 函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函
数单调性法，导数法等。）
如求下列函数的最值：

（1）y?2x?3?13?4x

??
2x?4
x?3

2x
2
（3）x?3，y?
x?3

（4）y?x ?4?9?x
2
设x?3cos?，??
?
0，?
?

9
（5）y?4x?，x?(0，1]
x

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积
公式吗？
11（l??·R，S
扇
?l·R??·R
2
）
22

（2）y?
??


R


1弧度
O R

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sin??MP，cos??OM，tan??AT

y
T
B S

P


α

O





M
A x




如：若?
?
???0，则si n?，cos?，tan?的大小顺序是
8

?
?
?
又如：求函数y?1?2cos
?
?x
?
的定义域和值域 。
?
2
?

?
?
?
（∵1?2c os
?
?x
?
）?1?2sinx?0
?
2
?

∴sinx?
2
，如图：
2
5??
?x?2k??
?
k?Z
?
，0?y?1?2
4 4

25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对
称点、对称轴吗？
∴2k??



sinx?1，cosx?1


y
y?tgx




x
?
?


?


O
?

2
2




?
?
?
对称点为
?
k，0
?
，k?Z
?< br>2
?

??
??
y?sinx的增区间为
?
2k??，2k??
?
?
k?Z
?
22
??

?3?
??
减区间为
?
2k??，2k ??
?
?
k?Z
?
22
??

?
图象的对称点为
?
k?，0
?
，对称轴为x?k???
k?Z
?
2

y?cosx的增区间为
?< br>2k?，2k???
?
?
k?Z
?

减区间 为
?
2k???，2k??2?
?
?
k?Z
?

?
??
图象的对称点为
?
k??，0
?
，对称轴为 x?k?
?
k?Z
?
??
2

??
??
y?tanx的增区间为
?
k??，k??
?
k?Z
?
22
?


26. 正弦型函数y=Asin
?
?x+?
?
的图象和性质要熟记。或y?Acos
?
?x???

2?
（1）振幅|A|，周期T?
|?|


若f
?
x
0
?
??A，则x?x
0
为对称轴。

??

若f
?
x
0
?
?0，则
?
x
0
，0
?
为对称点，反之 也对。

?3?
（2）五点作图：令?x??依次为0，，?，，2?，求出x与y， 依点
22

（x，y）作图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、?、?值）


?
?(x
1
)???0
?
如图列出
?
?
?(x)???
2
?
2

?


解条件组求?、?值

?
|?|

27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再
判定角的范围。
? 正切型函数y?Atan
?
?x??
?
，T?
?
?
23?
???
如：cos
?
x?
?
??，x?
?< br>?，
?
，求x值。
?
6
?
22
??

3?7??5??5?13
（∵??x?，∴?x??，∴x??，∴x??）
266 36412

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？
如：函数y?sinx?sin|x|的值域是


（x?0 时，y?2sinx?
?
?2，2
?
，x?0时，y?0，∴y?
?
?2，2
?
）

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
?
?
x' ?x?h
a?(h，k)
（1）点P（x，y）???????P'（x'，y'），则
?
平移至
?
y'?y?k


（2）曲线f(x，y)?0沿向量a?(h，k)平移后的方程为f(x?h，y?k)?0

?
??
如：函数y?2sin
?
2x?
?
?1的图 象经过怎样的变换才能得到y?sinx的
?
4
?

图象？
?
?
?
?
1
?
?
?
?
2 倍
（y?2sin
?
2x?
?
?1?
横坐标伸长到原来的< br>??????????y?2sin
?
2
?
x
?
?< br>?
?1
?
4
?
?
?
2
?
4
?

?
左平移个单位
?
??
1个单位4
?2sin
?
x?
?
?1????????y?2sinx? 1?
上平移
???????y?2sinx
?
4
?

1
纵坐标缩短到原来的倍
2
?y?sinx）??????????

30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？
?
如：1?sin
2
??cos
2
??sec
2
??tan
2
?? tan?·cot??cos?·sec??tan
4

?
?sin?cos0?……称为1的代换。
2

?
“k·??”化为?的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，
2

“奇”、“偶”指k取奇、偶数。
9?
?
7?
?
如：co s?tan
?
?
?
?sin
?
21?
?
?
?
6
?
4

sin??tan?
又如：函数y?，则y的值为
cos??cot?

A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值
sin?
sin??
2
sin?
?
cos??1
?
cos?
（y???0，∵??0）
cos?
cos
2
?
?
sin? ?1
?
cos??
sin?

31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
?

令???
sin????sin?cos??cos?sin??????si n2??2sin?cos?

??

令???
cos
?
???
?
?cos?cos??sin?sin??????cos2??cos
2
??sin
2
?

tan
?
????
?
tan??tan?
22

?2cos??1?1?2sin??

1?tan?·tan?
1?cos2?
2

1?cos2?
sin
2
??
2
cos
2
??tan2??
2tan?

1?tan
2
?



asin??bcos??a
2
?b
2< br>sin
?
???
?
，tan??
b
a


?
??
sin??cos??2sin
?
??
?
?
4
?

?
??
sin??3cos?? 2sin
?
??
?
?
3
?

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母
中不含三角函数，能求值 ，尽可能求值。）
具体方法：
???
?
?
??
?
?
（1）角的变换：如??
?
???
?
??，?
?
??
?
?
?
??
?
……
??
2 2
??
2

（2）名的变换：化弦或化切
（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 < br>sin?cos?2
如：已知?1，tan
?
???
?
??， 求tan
?
??2?
?
的值。
1?cos2?3

sin?cos?cos?1
（由已知得：??1，∴tan??
2sin?2

2sin
2
?

2
又tan
?
???
?
?
3
< br>21
?
tan
?
???
?
?tan?
1∴tan
?
??2?
?
?tan
?
???
?< br>????
32
?）
1?tan
?
???
?
· tan?
1?
2
·
1
8
32

32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三
角形？
b
2
?c
2
?a
2
222
余弦定理：a?b?c?2 bccosA?cosA?
2bc

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
??

?
a?2RsinA< br>abc
?
正弦定理：???2R?
?
b?2RsinB
sin AsinBsinC
?
c?2RsinC
?

1
S
?
?a·bsinC
2

∵A?B?C??，∴A?B???C

A?BC
∴sin
?
A?B
?
?sinC，sin?cos
22

A?B
如?ABC中，2sin
2
?cos2C?1
2

（1）求角C；

22
c
2
（2）若a?b?，求cos2 A?cos2B的值。
2

2

（（1）由已知式得 ：1?cos
?
A?B
?
?2cosC?1?1

2
又A?B???C，∴2cosC?cosC?1?0

1
∴cosC?或cosC??1（舍）
2

?
又0?C??，∴C?
3

1
（2）由正弦定理 及a
2
?b
2
?c
2
得：
2
< br>?3
2sin
2
A?2sin
2
B?sin
2
C?sin
2
?
34

3
1?cos2A?1?cos2B?
4

3
∴cos2A?cos2B??）
4

33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
?
??
?
反正弦：arcsinx ?
?
?，
?
，x?
?
?1，1
?
2
??
2


反余弦：arccosx?0，?，x??1，1

????
?
??
?
反正切：arctanx?
?
?，
?
，
?
x?R
?
?
22
?

34. 不等式的性质有哪些？
c?0?ac?bc
（1）a?b，
c?0?ac?bc


（2）a?b，c?d?a?c?b?d


（3）a?b?0，c?d?0?ac?bd

1111
?，a?b?0??
abab

nn
nn

（5）a?b?0?a?b，a?b


（6）|x|?a
?
a?0
?
??a?x?a，|x|?a?x?? a或x?a

35. 利用均值不等式：
（4）a?b?0?
?
a?b
?
a
2
?b
2
?2aba，b?R
?；a?b?2ab；ab?
??
求最值时，你是否注
??
2

意到“a，b?R
?
”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a?b)其中之一 为定

值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：
??
2
a
2
?b
2
a?b2ab
??ab?a，b?R
?
22a?b


当且仅当a?b时等号成立。

222
a?b?c?ab?bc?ca
?
a，b?R
?

??

当且仅当a?b?c时取等号。


a?b?0，m?0，n?0，则

bb?ma?na
??1??
aa?mb?nb

4
如：若x?0，2?3x?的最大值为
x

4
? ?
（设y?2?
?
3x?
?
?2?212?2?43
?x
?

423
当且仅当3x?，又x?0，∴x?时，y
max
?2?43）
x3

xy
又如：x?2y?1，则2?4的最小值为

x2yx?2y
?22
1
，∴最小值为22）

（∵2?2?22
36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。
111< br>如：证明1?
2
?
2
?…?
2
?2
23n< br>
111111
（1?
2
?
2
?……?2
?1???……?
1?22?3
23n
?
n?1
?< br>n

11111
?1?1????……??
223n?1n< br>1
?2??2）
n

f(x)
?a< br>?
a?0
?
的一般步骤是什么？
g(x)

（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
37.解分式不等式


如：
?
x?1
??
x?1
??
x ?2
?
?0

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a?1或0?a?1讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

例如：解不等式|x?3|?x?1?1

1
??
（解集为
?
x|x?
?
）
2
?

?


41.会用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|证明较简单的不等问题

23
2

如：设f(x)?x?x?13，实数a满足|x?a|?1


求证：f(x)?f(a)?2(|a|?1)

22
|f(x)?f(a)|?|(x?x?13)?(a?a?13)|
证明：
?|(x?a)(x?a?1)|(?|x?a|?1)
?|x?a||x?a?1|? |x?a?1|

?|x|?|a|?1


又|x|?|a|?|x?a|?1，∴|x|?|a|?1


∴f(x)?f(a)?2|a|?2?2
?
|a|?1
?

（按不等号方向放缩）
42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”
问题）

如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值


a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值


a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值

例如：对于一切实数x，若x?3?x?2?a恒成立，则a的取值范围是


（设u?x?3?x?2，它表示数轴上到两定点?2和3距离之和


u
min
?3?
?
?2
?
?5，∴5?a，即a?5

或者：x?3?x?2?
?
x?3
?
??
x?2
?
?5，∴a?5）

43. 等差数列的定义与性质

定义：a
n?1
?a
n
?d(d为常数)，a
n
?a
1
?
?
n?1
?d

等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y

?
a?a
n?
n
?na?
n
?
n?1
?
d前n项和Sn
?
1
1
22


性质：
?
a
n
?
是等差数列

< br>（1）若m?n?p?q，则a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；


（2）数列
?
a
2n?1
?
，
?
a
2n
?
，
?
ka
n
?b
?
仍为等差数列；


S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
…… 仍为等差数列；


（3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d；

aS
（4）若a
n
，b
n
是等差数列S
n
，T
n
为前n项 和，则
m
?
2m?1
；
b
m
T
2m?1< br>
2

（5）
?
a
n
?为等差数列?S
n
?an?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为

0的二次函数）
2
S的最值可求二次函数S?an?bn的最值；或者求出
?
a
n
?
中的正、负分界

nn

项，即：
?
a
n
?0
当a
1
?0，d? 0，解不等式组
?
可得S
n
达到最大值时的n值。
a?0
?
n?1

?
a
n
?0
当a
1?0，d?0，由
?
可得S
n
达到最小值时的n值。
a?0?
n?1

如：等差数列
?
a
n
?< br>，S
n
?18，a
n
?a
n?1
?a
n?2
?3，S
3
?1，则n?


（由a
n
?a
n?1
?a
n?2
?3?3a
n?1
?3， ∴a
n?1
?1

?
a?a
?
1
又S3
?
13
·3?3a
2
?1，∴a
2
?
23

?
1
?
?
?1
?
na
1
?a
n
?
n
?
a
2
?a
n?1
?
·n
?
3
?
?
∴S
n< br>????18
222


?n?27）

44. 等比数列的定义与性质
a
定义：
n?1
?q（q为常 数，q?0），a
n
?a
1
q
n?1
a
n

2
等比中项：x、G、y成等比数列?G?xy，或G??xy

?
na
1
(q?1)
?
前n项和：S
n
?
?
a
1
1?q
n
（要注意!）
(q?1)
?
1?q
?


??

性质：
?
a
n
?
是等比数列

< br>（1）若m?n?p?q，则a
m
·a
n
?a
p
·a
q


（2）S
n
，S
2n
?S< br>n
，S
3n
?S
2n
……仍为等比数列

45.由S
n
求a
n
时应注意什么？

< br>（n?1时，a
1
?S
1
，n?2时，a
n
?Sn
?S
n?1
）

46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法
111
如：
?
a
n
?
满足a
1
?
2
a< br>2
?……?
n
a
n
?2n?5
2
22

1
n?1时，a
1
?2?1?5，∴a
1
?14
2
解：
111
n?2时，a
1
?
2a
2
?……?
n?1
a
n?1
?2n?1?5
2
22

1
?1???2?得：
n
a
n
?2
2

n?1

∴a
n
?2

?
14(n ?1)
∴a
n
?
?
n?1
(n?2)

?
2

［练习］
5
数列
?
an
?
满足S
n
?S
n?1
?a
n?1
，a
1
?4，求a
n
3

S
（注意到a< br>n?1
?S
n?1
?S
n
代入得：
n?1
? 4
S
n

?1?

?2?

n
又S?4，∴S是等比数列，S?4
??
1nn

n?1

n?2时，a
n
?S
n
?S
n?1
?……?3·4

（2）叠乘法
an
例如：数列
?
a
n
?
中，a
1
?3，
n?1
?，求a
n
a
n
n?1

a
2
a aa
12n?11
·
3
……
n
?·……，∴
n?
a
2
a
n?1
23na
1
n
解：
a
1
3
又a
1
?3，∴a
n
?
n

（3）等差型递推公式

由a
n< br>?a
n?1
?f(n)，a
1
?a
0
，求a
n
，用迭加法

n?2时，a
2
?a
1
?f(2)
?
?
a
3
?a
2
?f(3)
?
?
两边相加，得：
…………
?
a
n
?a
n?1
?f(n)
?
?


a
n
?a
1
?f(2)?f(3)?……?f(n)


∴a
n
?a
0
?f(2)?f(3)?……?f(n)

［练习］

n?1
数列a，a?1，a?3?a
n?1
?
n?2
?
，求a
n

??
n1n

1
（a
n
?3
n
?1）
2

（4）等比型递推公式
??

a
n
?ca
n?1
?dc、d为常数，c?0，c?1，d?0
?

可转 化为等比数列，设a
n
?x?c
?
a
n?1
?x
?


?a
n
?ca
n?1
?
?c?1
?
x

d
令(c?1)x?d，∴x?
c?1

d
?d
?
∴
?
a
n
?，c为公比的等比数列
?是首项为a
1
?
c?1
?
c?1

?

dd
??
n?1
∴a
n
??
?
a
1
?
?
·c
c?1
?
c?1
?

d
?
n?1
d
?
∴a
n?
?
a
1
?
?
c?
?
c?1
?
c?1

（5）倒数法
2a
n
例如： a
1
?1，a
n?1
?，求a
n
a?2
n

a?2
111
由已知得：?
n
??
a
n?1
2a
n
2a
n

111
∴??
a
n?1
a
n
2

?

?
1
?
11
?
??
为等差数 列，?1，公差为
a
1
2

?
a
n
?
111
??1?
?
n?1
?
·?
?
n ?1
?
22

a
n

2
∴a
n
?
n?1

47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反
数的项。
n< br>1
如：
?
a
n
?
是公差为d的等差数列，求
?
k?1
a
k
a
k?1

由
解：
n
111
?
11
?
??
?
?
?
?
d?0
?
a
k
·a
k?1
a
k
?
a
k
?d
?
d
?
a
k
a
k?1
?

n
11
?
11
?
∴
?
?
?
?
?
?
aadaa
?
k
k?1
kk?1
k?1
k?1
?

?
11
?
?
11
??
11
?
1< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?< br>?
?……?
?
?
?
?
d
?
?
a
1
a
2
??
a
2
a
3
??< br>a
n
a
n?1
?
?
1
?
11
?
?
?
?
?
daa
?
1n?1
?

（2）错位相减法：

若< br>?
a
n
?
为等差数列，
?
b
n
?< br>为等比数列，求数列
?
a
n
b
n
?
（差比数 列）前n项

23n?1
如：S?1?2x?3x?4x?……?nx?1?

n

234n?1n
x·S?x?2x?3x?4x?……?n?1x ?nx
??
n

和，可由S
n
?qSn
求S
n
，其中q为
?
b
n
?
的公比 。

2n?1n
?1???2?：1?xS?1?x?x?……?x?nx
? ?
n

n
1?x
nx
n
x?1时，Sn
??
2
?
1?x
?
1?x

n
?
n?1
?
x?1时，S
n
?1?2?3?……?n?
2

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
?2?

? ?
S
n
?a
1
?a
2
?……?a
n?1< br>?a
n
?
?
?
相加
?

S< br>n
?a
n
?a
n?1
?……?a
2
?a1
?


2S
n
?
?
a
1
?a
n
?
?
?
a
2
?a
n? 1
?
?……?
?
a
1
?a
n
?
… …

48. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：
n
?
n?1
?< br>??
S
n
?p
?
1?r
?
?p
?< br>1?2r
?
?……?p
?
1?nr
?
?p
?
n?r
?
……等差问题
2
??

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分
期等额归还本息的借款种类 ）
若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如
一 年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），
那么每期应还x元，满 足
n
p(1?r)?x
?
1?r
?
?x
?
1?r
?
?……?x
?
1?r
?
?x

n
?
1?
?
1?r
?
n
?
1?r
?
?1
?
?x
??
?x
r
?
?< br>1?
?
1?r
?
?
?

n
pr
?
1?r
?
∴x?
n
1?r?1< br>
??

p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
n?1n?2

（1）分类计数原理：N?m
1
?m
2
?……?m
n


（m
i
为各类办法中的方法数）


分步计数原理：N?m
1
·m
2
……m
n


（m
i
为各步骤中的方法数）

（2）排 列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排
成一
列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A
m
n
.

n !
A
m
?nn?1n?2……n?m?1?
???????
m?n< br>?
n
n?m
?
!
?


规定：0!?1

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并 组成一组，叫做从n
m
个不
同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为C< br>n
.

n
?
n?1
?
……
?
n?m?1
?
A
m
n!
C?
n
??
m< br>m!m!
?
n?m
?
!

A
m

0
规定：C
n
?1


（4）组合数性质：

mn?mmm?1m01nn
C?C，C?C?C，C ?C?……?C?2
nnnn?1nnn

n

50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问 题分类法；至
多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
m
n
x
i
?89，90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且满足x
1
?x2
?x
3
?x
4
，
??
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）
A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
解析：可分成两类：

（1）中间两个分数不相等，



4

有C
5
?5（种）

（2）中间两个分数相等

x
1
?x
2
?x
3
?x
4

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴
有10种。
∴共有5＋10＝15（种）情况
51. 二项式定理
n0n1n? 12n?22rn?rrnn
(a?b)?Ca?Cab?Cab?…?Cab?…?C
nnn nn
b

rn?rr

二项展开式的通项公式：T< br>r?1
?C
n
ab(r?0，1……n)

r

C
n
为二项式系数（区别于该项的系数）

性质：

01nn

（2）系数和：C
n
?C
n
?…?C
n
?2

135024n?1

C
n
?C
n
?C
n
?…?C
n
? C
n
?C
n
?…?2

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
n?r
（1）对 称性：C
r
r?0，1，2，……，n
n
?C
n
??
?
n
?
2
；n为奇数时，(n?1)为偶数，中间两项的二项式
?
?1
?
项，二项式系数为C
n
?
2
?
< br>n?1n?1
系数最大即第项及第?1项，其二项式系数为C
n
2
?C
n
2
22

11
如：在二项式
?
x?1< br>?
的展开式中，系数最小的项系数为（用数字

表示）

（∵n＝11

12
∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第?6或第7项
2

r11?rr

由C
11
x(?1)，∴取r?5即第6项系数为负值为最小：

65

?C
11
??C
11
??426

2004
22004
又如：1?2x?a?ax?ax?……?ax
???
x?R
?
，则

0122004

n?1n?1
n
?
a
0
?a
1
?
?
?
a
0
?a
2
?
?
?
a
0
?a
3
??……?
?
a
0
?a
2004
?
?（用数字作 答）


（令x?0，得：a
0
?1


令x?1，得：a
0
?a
2
?……?a
2004
? 1

∴原式?2003a
0
?a
0
?a
1
?……?a
2004
?2003?1?1?2004）

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0

??

（2）包含关系：A?B，“A发生必导致B发生”称B包含A。



A B




（3）事件的和（并）：A?B或A?B“A与B至少有一个发生”叫做A与B

的和（并）。


（4）事件的积（交）：A·B或A?B“A与B同时发生”叫做A与B的积。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

A·B??

（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A


A?A??，A?A??



（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相
互独立事件。

A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

53. 对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即
A包含的等可能结果m
P(A)??
一次试验的等可能结果的总数
n


（2）若A、B互斥，则P
?
A?B
?
?P(A) ?P(B)

（3）若A、B相互独立，则PA·B?P
?
A
?·P
?
B
?


（4）P(A)?1?P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰
好发生
k
k次的概率：P
n
(k)?C
k
n
p
?
1?p< br>?

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取2件都是次品；
?
C
2
2
?4
?
P
1
?
2
?
?
C
10< br>15
?

?
（2）从中任取5件恰有2件次品； < br>3
?
C
2
10
?
4
C
6
?
P
2
?
5
?
?
21
?

C
10

?
（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10
3

n?k
??

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
2213

∴m?C
3
·46?4

23
C
2
44< br>3
·4·6?4
∴P
3
??
125

10
3

（4）从中依次取5件恰有2件次品。
解析：∵一件一件抽取（有顺序）
5223

∴n?A
10
，m?C
4
A
5
A
6

23
C
2
AA
10
56
∴P
4
?
4
5
?< br>21

A
10

分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数
较少时，它的特征是从总体中 逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的
主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层 抽样，主要特征是分层按比例
抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概 率相等，
体现了抽样的客观性和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作 为总体的概率，用样本的期望（平均
值）和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：

（1）算数据极差
?
x
m ax
?x
min
?
；

（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。
频率
其中，频率?小长方形的面积?组距×
组距

1
样本平均值：x?x
1
?x
2
?……?x
nn

1
222
样本方差：S
2
?
?< br>x
1
?x
?
?
?
x
2
?x
?
?……?
?
x
n
?x
?
n

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，
则组 成此参赛队的概率为____________。
42
C
10
C
5
（
6
）
C
15

56. 你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。
??
??

（2）向量的模——有向线段的长度，|a|

?
?
（3）单位向量 |a
0
|?1，a
0
?
??
a


（4）零向量0，|0|?0

?
长度相等
??
（5）相等 的向量?
?
a?b
?
方向相同

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b?0)?存在唯一实数?，使b??a

（7）向量的加、减法如图：
??????
??
|a|

?
???

OA?OB?OC

???

OA?OB?BA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）
???
?????


e
1
，e
2
是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

实数对?
1
、?
2
，使得a??
1
e
1
??
2
e
2
，e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量

的一组基底。
（9）向量的坐标表示

i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得

?
??

??
a?xi?yj，称(x，y)为向量a的坐标，记作 ：a?
?
x，y
?
，即为向量的坐标
设a?
?
x< br>1
，y
1
?
，b?
?
x
2
，y2
?
??
??
表示。

则a?b?
?
x
1
，y
1
?
?
?
y
1
，y
2
?
?
?
x
1
?y
1
，x
2
?y
2
?< br>?
??

?a??
?
x
1
，y
1< br>?
?
?
?x
1
，?y
1
?


若A
?
x
1
，y
1
?
， B
?
x
2
，y
2
?

?
则AB?
?
x
2
?x
1
，y
2
?y
1?

?
22
|AB|?
?
x
2
?x
1
?
?
?
y
2
?y
1
?< br>，A、B两点间距离公式

57. 平面向量的数量积

（1）a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a与b的数量积（或内积）。


?为向量a与b的夹角，??
?
0，?
?
?

b

O
?

??
??????

?
a


B
D A
数量积的几何意义：
?????


a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos?的乘积。

（2）数量积的运算法则

①a·b?b·a

???
?
????

②(a?b)c?a·c?b·c


③a·b?
?
x
1
，y
1
?
·
?
x
2
，y2
?
?x
1
x
2
?y
1
y
2
????
??
?
????


注意：数量积不满足结合律(a·b)·c?a·(b·c)


（3 ）重要性质：设a?
?
x
1
，y
1
?
，b?
?
x
2
，y
2
?
????
??????????
??


①a⊥b?a·b?0?x
1
·x
2
?y
1
·y
2
?0


?a??b（b?0，?惟一确定）


?x1
y
2
?x
2
y
1
?0


③a?|a|?x?y，|a·b|?|a|·|b|

?

②a∥b?a·b?|a|·|b|或a·b??|a|·|b|

???
?
2
?
22
1
2
1
????
④cos??< br>a·b
?

［练习］
???
|a|·|b|
??
?
x
1
x
2
?y
1
y
2222
x
1
?y
1
·x
2
?y
22< br>
?
?
?
?
?
?

（1）已知正方形ABCD，边长为1，AB?a，BC?b，AC?c，则

|a?b?c|?

答案：
22

（2）若向量a?
?
x，1
?
，b?
?
4，x
?< br>，当x?

答案：2
??
??
时a与b共线且方向相同
o
??
??

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?3b|?

答案：
13

58. 线段的定比分点

设P
1
?
x
1
，y
1
?
，P
2
?x
2
，y
2
?
，分点P
?
x，y
?< br>，设P
1
、P
2
是直线l上两点，P点在

??l上且不同于P
1
、P
2
，若存在一实数?，使P
1
P ??PP
2
，则?叫做P分有向线段

?
P
1
P< br>2
所成的比（??0，P在线段P
1
P
2
内，??0，P在P
1
P
2
外），且

x
1
??x
2
x
1
?x
2
?
?
x?
x?
??
??
1??
2
，P为PP中点时，
??
12
?
y?
y
1
??y
2
?
y?
y
1
?y
2
?
?
1??2

?

?

如：?ABC，A
?
x
1
，y
1
?
，B
?
x
2
，y
2
?
，C< br>?
x
3
，y
3
?

y?y
2
?y
3
??
x?x
2
?x
3
则?ABC重心G的 坐标是
?
1
，
1
?
??

33

※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线∥线???线∥面???面∥面
判定性质
????线⊥线???线⊥面???面⊥面 ????
线∥线???线⊥面???面∥面

线面平行的判定：

a∥b，b?面?，a???a∥面?

a

b
??


线面平行的性质：

?∥面?，??面?，????b?a∥b

三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面?，AO为PO在?内射影，a?面?，则


a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO

P
??
O
a
线面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?


a


O
α b c
面面垂直：

a⊥面?，a?面???⊥?


面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?


α a


l


β



a⊥面?，b⊥面??a∥b


面?⊥a，面?⊥a??∥?

a b



??
60. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
o
?＝0时，b∥?或b??

o
（3）二面角：二面角??l??的平面角?，0???180

o


（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于 O，连AO，则AO
⊥棱l，∴∠AOB为所求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。

证明：cos??cos?·cos?

A



θ
O
β


B
????????????????????????C?
D
α


（?为线面成角，∠AOC=?，∠BOC=?）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1< br>D
1
中对角线BD
1
＝8，BD
1
与侧面B
1
BCC
1
所成的为30°。
①求BD
1
和底面ABCD所成的角；
②求异面直线BD
1
和AD所成的角；
③求二面角C
1
—BD
1
—B
1
的大小。

D
1
C
1


A
1
B
1
H

G
D C

A B

36
（①arcsin；②60
o
；③arcsin）
43

（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。
P F



D C


A E B

（∵A B∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD
与面PAB的交线…… ）
61. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离， 构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂
线定理法，或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，棱长为a，则：
（1）点C到面AB
1
C
1
的距离为___________；
（2）点B到面ACB
1
的距离为____________；
（3）直线 A
1
D
1
到面AB
1
C
1
的距离为___ _________；
（4）面AB
1
C与面A
1
DC< br>1
的距离为____________；
（5）点B到直线A
1
C
1
的距离为_____________。
D C

A B




D
1
C
1


A
1
B
1


62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？

正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

Rt?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE

它们各包含哪些元素？
1
S
正棱锥侧
?C·h'（C——底面周长，h'为 斜高）
2

1
V
锥
?底面积×高
3

63. 球有哪些性质？
22

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r?R?d

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

4
?R
3
3

（5）球内接长方体的对角 线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球
半径r之比为R：r＝3：1。
（4）S
球
?4?R
2
，V
球
?


如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面

积为（ ）
B.4?C.33?D.6?

A.3?
答案：A
64. 熟记下列公式了吗？
< br>（1）l直线的倾斜角??
?
0，?
?
，k?tan??
y< br>2
?y
1
?
?
?
?
??，x
1?x
2
?
?
x
2
?x
1
?
2

Px，y
1
?
，P
2
?
x
2< br>，y
2
?
是l上两点，直线l的方向向量a?
?
1，k
?

1
?
1

（2）直线方程：

点斜式：y?y
0
?k
?
x?x
0
?
（k存在）

?

斜截式：y?kx?b

xy
截距式：??1
ab


一般式：Ax?By?C?0（A、B不同时为零）



（3）点P
?
x
0
，y
0
?到直线l：Ax?By?C?0的距离d?
Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2
（4）l
1
到l
2
的 到角公式：tan??
l
1
与l
2
的夹角公式：tan??
k
2
?k
1
1?k
1
k
2
k
2< br>?k
1
1?k
1
k
2



65. 如何判断两直线平行、垂直？


k
1
?k
2
?l
1
∥l
2
（反之不一定成立）


A
1
A
2
?B
1
B
2
?0?l
1
⊥l
2


k
1
·k
2
??1?l
1
⊥l
2

66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？
联立方程组?关于x（或y）的一元二次方程?“?”

??0?相交；??0?相切；??0?相离
68. 分清圆锥曲线的定义
?< br>椭圆?PF
1
?PF
2
?2a，2a?2c?F
1
F
2
?
?
第一定义
?
双曲线?PF
1
?PF
2
?2a，2a?2c?F
1
F
2
?
?
?
抛物线?PF?PK
A
1
B
2
?A
2
B< br>1
?
?
?l
1
∥l
2
A
1
C
2
?A
2
C
1
?



PK


0?e?1?椭圆；e?1?双曲线；e?1?抛物线

y
第二定义：e?
PF
?
c
a



b

O
F
1
F
2
a x


2
a
2
x?

c
a

?
?b
2
?c
2
?

x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
2
ab

22

xy
22 2
??1
?
a?0，b?0
?
22
c?a?b
b< br>
a

??



e>1 e=1

P
0
F
k


22

70. 在圆锥曲线 与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是
否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长 ，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0
下进行。）

弦长公式P
1
P
2
?
69.与双曲线
xyx
2
y
2< br>??1有相同焦点的双曲线系为???
?
??0
?
a
2
b
2
a
2
b
2


?
1?k< br>?
?
?
x
2
1
?x
2
?
? 4x
1
x
2
2
?

?

71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？
如：
1
?
2
?
?
?
1?
2
?
?
y
1?y
2
?
?4y
1
y
2
?
k
?
?
y
P(x
0
,y
0
)

K


F
1
O F
2
x


l


x
2
y
2
?
2
?1
2
b

a

PF
2

?
a
2
?< br>?e，PF
2
?e
?
x
0
?
?
?e x
0
?a
PKc
??


PF
1
?ex
0
?a

y
A P
2



O F x

P
1
B

2

y?2px
?
p?0
?

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。
22

如：椭圆mx?ny?1与直线y?1?x交于M、N两点，原点与MN中点连

2m
线的斜率为，则的值为
2n

m2
?
2
答案：
n
73. 如何求解“对称”问题？
（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对 称，设A（x，y）
为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。
x?x'y?y'
（由a?，b??x'?2a?x，y'?2b?y）
22


只要证明A'
?
2a?x，2b?y
?
也在曲线C 上，即f(x')?y'

?
AA'⊥l
（2）点A、A'关于直线l对称?
?
?
AA'中点在l上



?< br>k
AA'
·k
l
??1
?
?
?
AA '中点坐标满足l方程

?
x?rcos?
74.圆x
2
? y
2
?r
2
的参数方程为
?
（?为参数）
y?rs in?
?

?
x?acos?
x
2
y2
椭圆
2
?
2
?1的参数方程为
?
（?为参数 ）
y?bsin?
ab
?

75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。
（直接法、定义法、转移法、参数法）
76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内
平移直 线，求出目标函数的最值。