高中数学教科书pdf-高中数学与信息技术的整合
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
必 修 一
第一章 集合与函数的概念
一、集合：
1．集合的定义与表示
（
1）集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合
（
2）集合的表示：常用大写拉丁字母
A, B, C ,
表示，集合中的元素一般用小写拉丁字母
a,b, c,
表示
（ 3）集合的性质：确定性、互异性、无序性（集合中元素的性质）
（
4）元素与集合的关系：属于 (
a A
) , 不属于 (
a
A
)
（ 5）常用数集：
N,N
*
,Z,Q,
R
（ 6）集合的表示：列举法，描述法
2．集合间的基本关系
（ 1）子集：
一般地， 对于两个集合
A, B
，如果集合
A
中任意一个元素都是集合
（从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解）
B
中的元素，
称集合
A
是集合
B
的子集，记作
A B
（读作
A
含于
B
）或
B
A
（读作
B
包含
A
）。韦恩表示图略
（ 2）集合相等：
如果集合
A
是集合
B
的子集（
A B
），且集合
B
是集合
A
的子集（
B A
），称集合
A
与集合
B
相等。
记作
A B
。韦恩表示图略
（
3）真子集：
如果集合
A
真含于
B
）或
B
（ 4）空集：
不含任何元素的集合叫做空集。
B
，但存在元素
x
B,
且
x A,
称集合
A
是集合
B
的真子集，记作
A
B
（读作
A
A
（读作
B
真包含
A
）。韦恩表示图略
空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集
（5）集合的子集个数：
含有
n
个元素的集合的子集个数为
2
n
，真子集个数为
2
n
1
，非空真子集个数为
2
n
2
3．集合的基本运算 从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解）
（1）并集：
一般地，由所有属于集合
A
或属于集合
B
的元素组成的集合， 称为集合
A
与集合
B
的并集，记作
A
B
（读作： “
并
”），即
A
（2）交集：
B
A B x x A, 或x
B
，韦恩表示图略
一般地，由属于集合
A
且属于集合
B
的元素组成的集合， 称为集合
A
与集合
B
的交集，记作
A
B
（读
1
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作：“ 交
”），即
A
B
（3）补集：
A
B
x x A,且x
B
，韦恩表示图略，数轴表示略
对于一个集合
A
，由全集
U
中不属于集合
A
的所有元素组成的集合称为集合
A
相对于全集
U
的补集，
U , 且
简称为集合
A
的补集，记作
e
U
A
，即
e
U
A= x x
x
说明：
求并集、交集与补集时可借用数轴处理
4．集合的主要性质和运算律
A
，韦恩表示图略，数轴表示略
集合的主要性质和运算律
包含关系：
A A,
A
A,若A U则C
U
A U
C
B, B
A
C;(A B)
A, (A
B)
B; A
( A
B), B
(
A
B).
集合的运算律：
交换律：
A
B
B
A; A
B
B
A.
结合律：
(A B)
C A (B
分配律：
A
0—1 律：
等幂律：
A
求补律：
A
C);(A
B)
A, U
A; A
B)
C
A
( B
C )
U .
C ).
(B
A
C )
( A
,
A
A
( A
C);
A
A
B
A,U
(B
A
( A
B)
( A
C ).
A
A, A
C
U
A
A
B
A
A
B
B.
, A
C
U
A
U,C
U
U
C
U
(A
,C
U
U ,C
U
(C
U
A)
C
U
(A
A.
反演律：
(C
U
A)
二、函数及其表示
(C
U
B)
B); (C
U
A)
(C
U
B)
B).
1．函数的定义：（集合对应定义法）
设
A、B
是非空数集，如果按照某种确定的对应关系
唯一确定的数
f ( x)
和它对应，那么就称
f
: A
f
，使对于集合
A
中的任意一个
x
，在集合
B
中都有
B
为从集合
A
到集合
B
的一个函数，记作
y
f ( x), x A
，
其中，
x
叫做自变量，
x
的取值范围叫做函数的定义域；与
x
的值对应的
y
值叫做函数值，函数值的集合
f ( x) x
A
叫做函数的值域，值域是集合
B
的子集.
函数三要素：定义域（集合） ，值域（集合），解析式（表达式）
区间（集合的另一种表示方式） ：开区间、闭区间、半开半闭区间（左开右闭、左闭右开）
(a,b); a, b a, b , a, b
无穷大的引入：
, a ,
, a b,
, b,
,
,
,
,
2．函数的表示：
2
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解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图像法：用图表表示两个变量之间的对应关系
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系
分段函数：
映射：设
A、B
是非的集合，如果按某一个确定的对应关系
f
，使对于集合
A
中的任意一个元素
x
，在集
B
为从集合
A
到集合
B
的一个映射。
合
B
中都有唯一确定的元素
y
与之对应，那么就称对应
f : A
会区分函数与映射的关系
3．函数的性质：（主要从文字叙述，数学符号，图象特征方面理解）
（ 1）
单调性
① 增函数，增区间，递增性
一般地，设函数
f
( x)
的定义域为
I
：如果对于定义域
I
内某个区间
D
上的任意两个自变量的值
x
1
,
x
2
，当
x
1
x
2
时，都有
f (x
1
) f ( x
2
)
，那么就说函数
f ( x)
在区间
D
上是增函数；区间
D
叫做函数
f ( x)
的一个增
区间；这种性质叫做函数的递增性。
② 减函数，减区间，递减性
一般地，设函数
f ( x)
的定义域为
I
：如果对于定义域
I
内某个区间
D
上的任意两个自变量的值
x
1
,
x
2
，当
x
1
x
2
时，都有
f (x
1
) f (
x
2
)
，那么就说函数
f ( x)
在区间
D
上是减函数；区间
D
叫做函数
f ( x)
的一个减
区间；这种性质叫做函数的递减性。
注：会从文字叙述，数学符号，图象特征等方面
理解函数单调
性会用定义判断并证明函数单调性
（ 2）函数的最大值与最小值：
① 函数的最大值：
一般地，设函数
y
f ( x)
的定义域为
I
，如果存在实数
M
满足
:（1）对于任意的
x
f (x)
的最大值。
I
，都有
f ( x)
M
；
（2）存在
x
0
I
，使得
f ( x
0
) M
。那么，我们称
M
是函数
y
②
函数的最小值：
一般地，设函数
y
f (x)
的定义域为
I
，如果存在实数
M
满足（:1）对于任意的
x
f (x)
的最小值。
I
，都有
f ( x)
M
；
（2）存在
x
0
I
，使得
f ( x
0
) M
。那么，我们称
M
是函数
y
注：函数最小值的求法：基本函数法，图像法，单调性法等
（ 3）函数的奇偶性：
① 偶函数：
一般地，如果对于函数
f (x)
的定义域内任意一个
x
，都有
f (
x)
f ( x)
，那么函数叫做偶函数。偶函数
图象关于
y
轴对称。
② 奇函数：
一般地，如果对于函数
f (x)
的定义域内任意一个
x
，都有
f ( x)
f ( x)
，那么函数叫做奇函数。奇函
3
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数图象关于原点对称。
第二章
基本初等函数
一、指数与指数函数
1．指数与指数幂的运算
（1）根式：
一般地，如果
x
n
a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根；
当
n
是奇数时，正数的
n
次方根是一个正数，负数的
n
次方根是一个负数。
当
n
是偶数时，正数的
n
次方根有两个，它们是一对互为相反数，记作
n
a (a
0)
。
负数没有偶次方根。
式子
n
a
叫做根式，
n
是根指数，
a
叫做被开方数；由
n
次方根的意义得：
(
n
a)
n
a
（2）分数指数幂：
m
a
n
n
a
m
；0
的正分数指数幂等于
0，
0
的负分数指数幂没有意义
（3）指数幂的运算性质：
a
r
a
s
a
r s
,( a
r
)
s
a
rs
,( ab)
r
a
r
b
r
, 其中 a 0, b 0； r , s
Q
2．指数函数及其性质：
（1）指数函数：
一般地，形如
ya
x
( a
0, a 1)
的函数，叫做指数函数；其中
x
是自变量，函数的定义域为
R
。
（2）指数函数的图像与性质：
指数函数
y
a
x
( a
0, a
1)
的图象与性质
0
a 1
a
1
图
象
定义域
值域
R
(0,
)
1
（1）过定点
性
质
（2）单调性
3
（ ）范围
（0，1），即
x 0
时
y
在
R
上是减函数
在
R
上是增函数
x
0
时
y
1
；
x 0
时
0
y 1
；
4
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x
0
0
y 1
时
x 0
；
时
y
1
；
3．对数与对数的运算：
（1）对数：（定义、记法、读法，各部分符号及名称）
一般地，如果
a
x
N (a
0, a
1)
，那么数
x
叫做以
a
为底
N
的对数，记作
x log
a
N
注：理解对数定义的本质；熟记对数符号各部分名称，明确各部分的范围
常用对数：
log
10
N
lg
N
x
自然对数：
log
e
N ln
N
（2）对数与指数的互化：
a
x
N
（3）对数的性质：
log
a
N ,( a
0, a
1)
log
a
1
0, log
a
a
1
log
a
(M
N
)
log
a
M
log
a
N
（4）对数的运算性质：
log
a
M
N
log
a
M
n
log
a
N
log
a
M
n log
a
M ( a
0 , a
1, M
0 ,
N
0 )
（5）对数恒等式：
a
log
a
b
b( a
0,a
log
c
(a
log
c
a
1,b
0,a
0)
（6）对数换底公式：
log
a
b
b
1; c
0, c
1,b
0)
log
a
b
1
log
b
a
,log
a
b
log
b
c
log
c
d
log
a
d
4．对数函数及其性质：
（1）对数函数：
一般地，形如
y
log
a
x(a
0,
a
（2）对数函数的图象与性质：
1)
的函数，叫做对数函数； 其中
x
是自变量，函数的定义域为
0,
。
指数函数
y
log
a
x( a
0, a
1)
的图象与性质
0
a
1
a 1
图
象
定义域
值域
0,
R
x
1
时
性
1
（ ）过定点
（1，0），即
y
0
5
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质
（
）单调性
2
在
上是减函数
在
(0, )
上是增函数
0,
0 x
1
时
y
（3）范围
0
；
0
x 1
时
y
0
；
x
1
时
y
0
；
x
1
时
y
0
；
5．幂函数：
（1）幂函数定义：
一般地，形如
y
x
a
的函数，叫做幂函数；其中
x
是自变量，
a
是常数。
（2）幂函数的图象与性质：
y x
y
x
2
y
x
3
1
y
x
2
y x
1
图象
定义域
值域
奇偶性
对称性
R
R
R
0,
偶函数
R
R
奇函数
原点对称
0,
0,
无
x x
y y
奇函数
0
0
奇函数
原点对称
y
轴对称
原点对称
,0
上递减
,0
及
单调性
在
R
上递增
在
R
上递增
0,
上递增
0,
上递增
0,
上递减
公共点
1,1
6．函数图象变换
平移变换：左右平移与上下平移
翻折变换：如何由
y
对称变换：如何由
y
f ( x)
图象得到
y
f ( x)
图象得到
y
f ( x
), y
f (
x), y
f ( x)
图象
f ( x), y
f (
x)
图象
第三章
函数的应用
一、函数与方程
1．方程的根与函数的零点：
（1）函数的零点：对于函数
y
f (
x)
，我们把使
f (x) 0
的实数
x
叫做函数
y
f ( x)
的零点。
（2）方程的根与函数的零点的关系：
方程
f (x)
0
有实数根
函数
y
f (
x)
的图象与
x
轴有交点
6
函数
y
f ( x)
有零点
高中数学必备
(必须理解与记忆
)知识点归纳
（
3）方程的根与函数的零点存在性定理：
一般地，我们有：
如果函数
y
f ( x)
在区间
a, b
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f (a) f (b) 0
，那么，函数
y f ( x)
在区间
a, b
内有零点，即存在
c
a,b
，使得
f
( c) 0
，这个
c
也就是方程
f (x)
0
的根。
2．二分法：
（1）二分法定义：
对于区间
a, b
上连续不断且
f (a)
f (b) 0
的函数
y f ( x)
，通过不断地把函数
间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法
（2）给定精度
，用二分法求函数
f ( x)
零点近似值得基本步骤：
1. 确定区间
a,b
，验证
f (a)
f (b) 0
，给定精度
；
2. 求区间
a, b)
的中点
c
3. 计算
f (c)
（ 1）若
f ( c) 0
，则
c
就是函数的零点；
（2）若
f (a)
f (c)
0
，则令
b
c
（此时零点
x
0
(a, c)
）；
（3）若
f (c)
f (b)
0
，则令
a
c
（此时零点
x
0
(c, b)
）；
判断是否达到精度
：即若
，则得到零点近似值
a
（或
）；否则重复
。
4.
a b
b
2~4
二、函数模型及其应用：
1．几类不同增长的函数模型：
一次函数型（直线型）：均匀上升
指数型：爆炸式上升
对数型：缓慢式上升
幂函数型：爆炸或缓慢式上升
2．函数模型的应用：
必 修
二
第一章 空间几何体
1. 空间几何体的结构
（
1）柱、锥、台、球的结构特征：
棱柱：定义，基本元素（底面、侧面、侧棱、顶点）
，表示方法
棱锥：定义，基本元素（底面、侧面、侧棱、顶点）
，表示方法
棱台：定义，基本元素（底面（上、下）
、侧面、侧棱、顶点）
，表示方法
7
f ( x)
的零点所在的区
高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳
圆柱：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线）
，表示方法
圆锥：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线）
，表示方法
圆台：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线）
，表示方法
球：定义，基本元素（球心、半径（直径）
），表示方法
（
2）简单组合体：一种是由简单几何体拼接，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成
2. 空间几何体的三视图和直观图
（
1）中心投影与平行投影：投影，投影线，投影面；中心投影，平行投影
（ 2）空间几何体的三视图
三视图： 正视图：从前往后
侧视图：从左往右
俯视图：从上往下
画三视图的原则：长对正 （正视、
俯视有长）、高平齐（正视、侧视有高） 、宽相等（侧视、
（ 3）直观图：斜二测画法
平面图形斜二测画法
①
确定坐标系：
x o y
（
x o y
45
0
）
② 平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
③
平行于
y
轴的线长度变半，平行于
x
，
z
轴的线长度不变；
几何体斜二测画法：
一画轴
二画底面
三画侧棱
四成图
3.
空间几何体的表面积与体积
（ 1）空间几何体的表面积
棱柱、棱锥的表面积：
各个面面积之和
圆柱的表面积
S
2 rl
2
r
2
圆锥的表面积
S
rl
r
2
圆台的表面积
S
( R
2
r
2
Rl rl )
球的表面积
S
4 R
2
（ 2）空间几何体的体积
柱体的体积
V
S
底
h
锥体的体积
V
1
S
3
底
h
1
S
上
S
台体的体积
V
（
S
上
下
S
下
) h
3
球体的体积
V
4
R
3
3
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
俯视有宽）
8
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1. 空间点、直线、平面之间的位置关系
（
1）平面含义：平面是无限延展的
（ 2）平面的画法及表示
D
C
A
45
0
，
α
B
① 平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成
且横边画成邻边的 2 倍长（如图）
②
平面通常用希腊字母 α 、 β 、γ 等表示，如平面
α 、平面
β等，也可以用表示平面的平行四边形的四
个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面
AC、平面
ABCD等。
（ 3） 三个公理：
公理
1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为： A∈
L， B∈L， 且 A∈ α ， B∈ α
l
A
α ·
公理 1
作用：判断直线是否在平面内
公理
2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
L
A
B
C
符号表示为： A、
B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面 α ，
α ·
·
·
使 A∈ α 、B∈ α 、
C∈ α 。
公理 2 作用：确定一个平面的依据。
公理
3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为： P∈ α∩ β => α ∩ β =L，且 P∈ L
公理
3 作用：判定两个平面是否相交的依据
β
α
P
2. 空间中直线与直线之间的位置关系
·
L
（
1）空间的两条直线有如下三种关系：
共面直线：相交直线（同一平面内，有且只有一个公共点）
平行直线（同一平面内，没有公共点）
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
（ 2）公理
4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设 a、 b、 c
是三条直线
a∥ b， c ∥ b
a ∥ c
强调：公理 4
实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理 4
作用：判断空间两条直线平行的依据。
（
3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
（
4）异面直线所成的角：已知异面直线
锐角（或直角）叫做异面直线
a, b
，经过空间任一点
O
作直线
a
a,b b
，则
a
与
b
所成的
a
与
b
所成的角（或夹角）
①
a
与
b
所成的角的大小只由
a, b
的相互位置来确定，与
O
的选择无关，为简便，点
O
一般取在两直
线中的一条上或空间图形的特殊位置上；
②
两条异面直线所成的角
(0,
2
；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作
9
a⊥ b；
高中数学必备
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④
两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤
计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
3.
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
平行问题：
（
1）直线与平面有三种位置关系：
直线在平面内——有无数个公共点
直线与平面相交——有且只有一个公共点
直线在平面平行——没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用
a
来表示
a
（ 2）直线与平面平行的判定
a
A
a
直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内
的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a, b
a
b
α
, 且 a b
a
（ 3）平面与平面平行的判定
两个平面平行的判定定理：
一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
简记为：线面平行，则面面平行
符号表示：
a
,b
,a b P, a ,b
判断两平面平行的方法有三种：
①用定义；
②判定定理；
③垂直于同一条直线的两个平面平行。
（ 4）直线与平面、平面与平面平行的性质
定理：一条直线与一个平面平行，则
过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行，则线线平行
符号表示：
a , a
,
b
a b
作用：利用该定理可判断直线的平行问题。
结论：
a
, b
,a
b
定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
10
高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳
简记为：面面平行，则线线平行。
符号表示：
,
a
a,
b
a b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
结论：夹在两平行平面间的平行线段相等。
垂直问题：
（
5）直线与平面垂直
l
l
与平面
互相
①定义
：如果直线
l
与平面
内的任意一条直线都垂直，我们就说直线
的垂线，平面
垂直，记作
l
⊥
，直线
l
叫做平面
平面垂直时 , 它们唯一公共点
叫做直线
l
的垂面。如图，直线与
P
叫做垂足。
P
②判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号表示：
l
a,l
b, a
, b
, a b
P l
a) 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)
定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
重要结论：
a b, a
b
a
P
A
的一条垂线，
③直线与平面所成的角：
O
如图：
PA
是平面
的一条斜线，
A
为斜足，
PO
是平面
上的射影 .
O
为垂足；则直线
AO
为斜线
PA
在平面内
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角
(6) 平面与平面垂直①二
面角（图形）
概念：从一直线出发的两个半平面所组成的图形
( 如图 ) ，这条直线叫做二
面角的棱（
AB
），两个半平面（
,
记法：二面角
P AB Q或 P
）叫做二面角的面
l Q或 -l
等
内分别作垂直于棱
P
M
l
B
二面角的平面角：如图：在平面
和
l
的射线
O
A
Q
N
OM , ON
,
则射线
OM
和ON
构成的
MON
叫做二面角的平面角
二面角的平面角的做法：垂线法与垂面法
当二面角的平面角为直角时叫做直二面角。
②两个平面垂直：
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
记作：
画法（略）
判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
图形（略）
符号：
a
, a
11
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
性质：
定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号：
a
, b
a b
定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号：
,
l , a
, a l
a
第三章
直线与方程
1. 直线的倾斜角和斜率①
直线的倾斜角的概念：
当直线
l
与
x
轴相交时
,
取
x
轴作为基准
,
x
轴正向与直线
l
向上方向之间所成的角
斜角 .
α叫做直线
l
的倾
特别地 , 当直线
l
与
x
轴平行或重合时 ,
规定 α = 0
° .
倾斜角 α 的取值范围： 0°≤ α ＜ 180° .
当直线
l
与
x
轴垂直时 , α= 90 ° .
②直线的斜率 :
一条直线的倾斜角 α
( α ≠90° ) 的正切值叫做这条直线的斜率
tan α
, 斜率常用小写字母
k 表示 , 也就是 k =
当直线
l
与 x 轴平行或重合时 , α =0° , k = tan0 °
=0;
当直线 l
与 x 轴垂直时 , α = 90 ° ,
k
不存在 .
由此可知 , 一条直线
l
的倾斜角 α 一定存在 , 但是斜率 k 不一定存在 .
③直线的斜率公式 :
给定两点
P
1
(
x
1
, y
1
), P
2
( x
2
, y
2
),且 x
1
x
2
；则直线
P
1
P
2
的斜率为
k
y
2
y
1
x
2
x
1
2. 两条直线的平行与垂直①两
条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，
如果它们的斜率相等，那
么它们平行，即
注意前提条件，若情况特殊则特殊判断
②两条直线都有斜率，如果它们互
相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒
数，那么它们互相垂直，即
l
1
l
2
k
1
k
2
1
注意前提条件，若情况特殊则特殊判断
3.
直线的方程
直线的
点斜式 方程：直线
l
经过点
P
0
(
x
0
, y
0
)
，且斜率为
k
的直线方程：
y y
0
k( x
x
0
)
直线的 斜截式
方程：已知直线
l
的斜率为
k
，且与
y
轴的交点为
(0, b)
（
b
为直线
l
在
y
轴上的
截距 ），
y kx
b
12
高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳
直线的 两点式 方程：已知两点
P
1
(
x
1
, x
2
), P
2
( x
2
, y
2
)
其中
( x
1
x
2
, y
1
y
2
)
，则直线方程为：
y
y
1
x
x
2
x
1
x
1
y
2
y
1
直线的 截距式 方程：已知直线
l
与
x
轴的交点为
y
b
1
A
(a,0)
，与
y
轴的交点为
B
( 0,b)
，其中
a 0,b 0
，则直线方程为
x
a
直线的一般式方程：关于
x, y
的二元一次方程
Ax
By
C 0
（
A，
B
不同时为
0）
注意：理解各种直线方程得推导过程
会对特殊情况进行分类讨论
各种直线方程之间的互化
4. 直线的交点坐标与距离公式
两直线的交点坐标：联立方程组求解即可
两点间的距离公式：若
P
1
(x
1
, x
2
),
P
2
(x
2
, y
2
)
，则
PP
12
(x
2
x
1
)
2
( y
2
y
1
)
2
Ax
0
By
0
C
A
2
点到直线距离公式：点
P( x
0
,
y
0
)
到直线
l : Ax
By C
0
的距离为：
d
B
2
两平行线间的距离公式：
已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式方程为
l
1
：
Ax
By C
1
0
，
l
2
：
Ax
By
C
2
0
，则
l
1
与
l
2
的距离为
d
C
1
C
2
A
2
B
2
第四章
1. 圆的标准方程
圆与方程
（
1）圆的标准方程：
(x
a) (
y
2
b)
2
r
2
A(a, b)
,
x
2 2
y 1
圆心为
半径为
r
；特别：
（单位圆）
（ 2）点
M
( x
0
, y
0
)
与圆
(
x
a)
2
( y
b)
2
r
2
的关系的判断方法：
( x
0
a)
2
( y
0
b)
2
>
r
2
，点在圆外
(
x
0
a)
2
( y
0
b)
2
=
r
2
，点在圆上
( x
0
a)
2
( y
0
b)
2
<
r
2
，点在圆内
2. 圆的一般方程
（ 1）圆的一般方程：
x
2
y
2
Dx Ey F
0
13
高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳
（
2）圆的一般方程的特点：
x
2
和
y
2
的系数相同，且不等于
0，没有
xy
这样的二次项，
D
2
E
2
4F 0
(3)
圆的一般方程与标准方程相比，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出
了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
3. 直线与圆的位置关系
（ 1）
d ,r
法：
当
d
r
时，直线
l
与圆
C
相离；当
d
r
时，直线
l
与圆
C
相切；当
d r
时，直线
l
与圆
C
相交。
（2）
法：
当
0
时，直线
l
与圆
C
相交；当
0
时，直线
l
与圆
C
相切；当
0
时，直线
l
与圆
C
相离。
4. 圆与圆的位置关系
设两圆的连心线长为
l
，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（ 1）当 l r
1
r
2
时，圆
C
1
与圆 C
2
相离；
（ 2）当 l
r
1
r
2
时，圆 C
1
与圆 C
2
外切；
（3）当 |
r
1
r
2
|
l r
1
r
2
时，圆 C
1
与圆 C
2
相交；
（ 4）当
l
| r
1
（ 5）当 l
|
r
1
r
2
| 时，圆 C
1
与圆
C
2
内切；
r
2
|时，圆
C
1
与圆 C
2
内含。
5. 直线与圆的方程的应用
（ 1）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（ 2）过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用
坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为
代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
R
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
M
6. 空间直角坐标系
P
O
Q
M'
y
（ 1）空间直角坐标系：坐标原点，坐标轴，坐标平面；右手直角坐标系
（
2）在空间直角坐标系中， 任一点 M 对应着唯一确定的有序实数组
(x, y, z)
，
x
、
x
y
y
( x, y, z)
P Q R
、
z
分别是
、 、 在
x
、
、
z
轴上的坐标；反之有序实数组
，
对应着空间直角坐标系中的一点。
（ 3）空间中任意点
M
的坐标都可以用有序实数组
z
(x, y, z)
来表示， 该数组叫
P
2
P
1
O
2
做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记
M
( x, y, z)
，
x
叫做点
M 的
2
M
H
N
y
M
1
M
N
1
x
14
N
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
横坐标，
y
叫做点
M
的纵坐标，
z
叫做点
M
的竖坐标。
会建空间直角坐标系，会确定点的坐标
7. 空间两点间的距离公式
空间中任意一点
P
1
(x
1
,
y
1
, z
1
)
到点
P
2
(x
2
, y
2
, z
2
)
之间的距离公式
P
1
P
2
(x
1
x
2
)
2
(
y
1
y
2
)
2
(z
1
z
2
)
2
必 修 三
第一章 算法初步
1. 算法的概念
（
1）算法概念：
最初指用阿拉伯数字进行算术运算的过程。在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的
明确和有限的步骤。
（ 2）算法的特点 :
①有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的
.
②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模
棱两可
.
③顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤
，每一个步骤只能有一个确定的后继步
骤，前一步是后一步的前提，
只有执行完前一步才能进行下一步，
并且每一步都准确无误，
才能完成问题
.
④不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法 . ⑤普遍性：
很
多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先
设计好的步骤加以解决 .
2. 程序框图
（
1）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用的
（
2）程序框图的基本要素：表示相应操作的
（ 3）构成程序框的图形符号及其作用
图形
程序框 、流程线 及文字说明 来表示算法的图形。
程序框 ；带箭头的 流程线
；程序框外必要 文字说明 。
名称
功能
表示一个算法的起始和结束，
是任何流程图不可
终端框（起止框）
少的。
表示一个算法输入和输出的信息，
任何需要输入、输出的位置。
可用在算法中
输入、输出框
赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式
处理框（执行框）
等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明
判断框
“是”或“
Y”；不成立时标明“否”或“
N”。
15
高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳
连结程序框
流程线
连接程序框图的两部分
连接点
学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：
（ 1）使用标准的图形符号。
（
2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
（ 3）除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入
点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯
一符号。
（ 4）判断框分两大
类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是
多分支判断，有几种不
同的结果。
（ 5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
3. 算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
（
1）顺序结构：
顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按
从上到下的顺序进行的，它是由若
干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序
执行算法步骤。如在示意图中，
A 框和 B
框是依次执行的，只有在执行完
A 框指定
A
的操作后，才能接着执行
B框所指定的操作。
（ 2）条件结构：
条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。
B
条件 P是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论
P 条件是否成立，只能执行 A 框或 B 框之一，不可能同时执行
A 框和 B 框，也不可能
A 框、 B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。
（
3）循环结构：
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环
结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重
复结构，循
环结构可细分为两类：
①一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件
毕后，再判断条件
P 是否成立，如果仍然成立，再执行
立为止，此时不再执行
A
框，离开循环结构。
P 成立时，执行
A 框， A
框执行完
A 框，如此反复执行 A 框，直到某一次条件 P 不成
②另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件
如果 P 仍然不成立，则
再执行 A 框，离开循环
P 是否成立，
继续执行 A
框，直到某一次给定的条件
结构。
P 成
立为止， 此时不
P
A
成立
16
P
A
不成立
成立
不成立
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
当型循环结构
直到型循环结构
注意：
（
1）循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条
件结构，但不允许“死循环” 。
（ 2）在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数
变量用于记录循环次数，累加变量用于输出
结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计
数一次。
4. 输入、输出语句和赋值语句
（
1）输入语句①输入语句
的一般格式
图形计算器
格式
INPUT
“提示内容”；变量
②输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；
INPUT “提示内容”，变量
③“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；
④输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；
⑤提示内容与变量之间用分号“；
”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，
”隔开。
（ 2）输出语句
图形计算器
格式
PRINT“提示内容”；表达式
Disp “提示内容”，变量
①输出语句的一般格式
②输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；
③“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；
④输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。
（
3）赋值语句
①赋值语句的一般格式
图形计算器
变量＝表达式
格式
表达式
变量
②赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；
③赋值语句中的“＝”称作赋值
号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，
它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；
④赋值语句左边只
能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；⑤对于
一个变量可以多次赋值。
17
高中数学必备
(必须理解与记忆
)知识点归纳
注意：
①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如： 2=X
是错误的。②赋值
号左右不能对换。如“ A=B”“
B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用
赋值语句进行代数式的演算。
（如化简、因式分解、解方程等）④赋值号“ =”
与数学中的等号意义不同。
5.
条件语句
（ 1）条件语句的一般格式有两种：① IF — THEN— ELSE语句；②
IF — THEN语句。
（ 2） IF — THEN— ELSE语句
IF —
THEN— ELSE语句的一般格式为图 1，对应的程序框图为图
2。
IF
条件
语句 1
THEN
否
满足条件？
是
语句 1
ELSE
语句 2
语句 2
END IF
图1
图2
注意 ：在 IF — THEN—
ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，
“语句
1”表示满足条件时执行的操作内
容；“语句
2”表示不满足条件时执行的操作内容；
END IF
表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先
对
IF 后的条件进行判断，如果条件符合，则执行 THEN后面的语句 1；若条件不符合，则执行
ELSE后面的语句 2。
（ 3） IF — THEN语句
IF —
THEN语句的一般格式为图
3，对应的程序框图为图 4。
是
满足条件？
IF 条件
THEN
语句
END IF
（图 3）
否
（图
4）
语句
注意：“条件”表示判断的条件；
“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；
END IF
表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对
IF
后的条件进行判断，如果条件符合就执行
THEN
后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。
6.
循环语句
循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也
有当型
（ WHILE型） 和直到型（ UNTIL 型）
两种语句结构。即
WHILE语句和 UNTIL 语句。
(1)WHILE 语句
① WHILE语句的一般格式是
对应的程序框图是
循环体
WHILE
循环体
条件
18
满足条件？
是
WEND
否
高中数学必备
(必须理解与记忆
)知识点归纳
②当计算机遇到
WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行
WHILE与 WEND之间的循
环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再
次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不
符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到
WEND语句后，接着执行
WEND之后的语句。因此，当
型循环有时也称为“前测试型”循环。
(2)UNTIL 语句
① UNTIL 语句的一般格式是
对应的程序框图是
DO
循环体
循环体
LOOP UNTIL
条件
满足条件？
是
否
②直到型循环又称为“后测试型”循环，从
UNTIL
型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次
循环体，然后进行条件的判断，如果条件
不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过
程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到
LOOP
UNTIL 语句后执行其他语句，是先执
行循环体后进行条件判断的循环语句。
分析： 当型循环与直到型循环的区别：
（先由学生讨论再归纳）
当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；
在
WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在
UNTIL
语句中，是当条件不满足时执行循环
7. 辗转相除法与更相减损术
（
1）辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
①用较大的数
m
除以较小的数
n
得到一个商
S
0
和一个余数
R
0
；
②若
R
0
0
，则
n
为
m, n
的最大公约数；若
R
0
0
，则用除数
n
除以余数
R
0
得到一个商
S
1
和一个余数
R
1
；
③若
R
1
0
，则
R
1
为
m,n
的最大公约数；若
R
1
0
，则用除数
R
0
除以余数
R
1
得到一个商
S
2
和一个
余数
R
2
；
??依次计算直至
（
2）更相减损术
R
n
0
，此时所得到的
R
n 1
即为所求的最大公约数。
我国早
期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公
约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母
?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
2
约简；若不是，执行第二步。②以较
翻译为：①任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用
大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到
19
高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳
所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
例：用更相减损术求
98 与 63 的最大公约数
.
（ 3）辗转相除法与更相减损术的区别：①都是求最大公约数的方法，计算上辗
转相除法以除法为主，更
相减损术以减法为主，计算次数上辗
转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
②从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为
0 而得到，而更相减损术则以减数与差
相等而得到
8. 秦九韶算法与排序
（ 1）秦九韶算法概念：
f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+?+a
1
x+a
0
求值问题
f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+
+a
1
x+a
0
=( a
n
x
n-1
+a
n-1
x
n-2
+ +a
1
)x+a
0
=(( a
n
x
n-2
+a
n-1
x
n-3
+ +a
2
)x+a
1
)x+a
0
=......=(...( a
n
x+a
n-1
)x+a
n-2
)x+...+a
1
)x+a
0
v
1
=a
n
x+a
n-1
求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v
=v
x+a
2
1n-2
v
=v x+a ......
3
2n-3
v
=v
x+a
n
n-1
0
这样，把
n
次多项式的求值问题转化成求
9. 进位制
n
个一次多项式的值的问题。
（ 1）进位制：
是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称
为基数，基数为
n
，即可称
n
进位制，简称
n
进制。现在最常用的是十进制，通常使用
10 个阿拉伯数字
0-9
进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数
57，可以用二进制表示
为 111001，也可以用八进制表示为
71、用十六进制表示为 39，它们所代表的数值都是一样的。一般
地，若
k
是一个大于
1
的整数，那么以
k
为基数的
k
进制可以表示为：
a
n
a
n 1
...a
1
a
0( k
)
(0 a
n
k ,0 a
n 1
,...,
a
1
,a
0
k)
，
, 如
111001
(2)
表示二进制数 ,34
(5)
表示 5
进制数
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示
（
2）各种不同进位制数的互化
二进制化为十进制：如
八进制化为二进制：如
十进制化为二进制：除
十进制化为
k( k 1,k
110011
(2)
1
2
5
1
2
4
0
2
3
7342
(8)
7
8
3
3
0
2
2
1
2
1
1
2
0
8
2
4
8
1
2
8
0
2
取余法（见课本）
N )
进制：除
k
取余法
第二章 统 计
一、简单随机抽样
1．总体和样本
在统计学中
,
把研究对象的全体叫做总体．把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的总数叫做总
20
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
体容量．为了研究总体
x
的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：
x
1
,
x
2
, x
3
,
, x
n
研究，我们称它为
样本．其中个体的个数称为样本容量．
2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。
特点是 ：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等） ，样本的每个单位完全独立，彼此间无一定
的
关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和
数目较少
时，才采用这种方法。
3．简单随机抽样常用的方法：
（ 1）抽签法（抓阄法） ；主要步骤：①编号，②制签，③抽签
（
2）随机数表法；主要步骤：①编号，②在随机数表中任取一数，③按规则依次取数
二、系统抽样
1. 系统抽样（等距抽样或机械抽样） ：
把总体的单位进行排
序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采
用简单随机抽样的办法抽
取。
k
（抽样距离）
=
N
（总体规模）
n
（样本规模）
2. 基本步骤：①编号，②确定分段间隔
抽取其他样本。
k
，③在第一段内用简单随机抽样确定第一个个体编号，④按规则
三、分层抽样
1．分层抽样（类型抽样）
：
先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再
在各个
类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，
将这些子样本合起来构成总体
的样本。
两种方法：
（
1）先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
（ 2）先以分层
变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样
的方法抽取样本。
2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中
的样本分别
代表该子总体，所有的样本进而代表总体。
分层标准：
（
1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
（
2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。
（
3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
三、用样本的数字特征估计总体的数字特征
1. 频率分布直方图：
（ 1）求极差；（ 2）决定组距与组数；
（3）将数据分组； （ 4）列频率分布表； （ 5）画频率分布直方图
注意
：横坐标——基本数据；纵坐标——频率
组距；小矩形面积——频率（小矩形面积之和为
21
1）
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
2. 总体密度曲线：有频率分布折线图而来
3. 茎叶图：①做法
②使用条件（数据较少）
③体现信息
4. 众数、中位数、平均数：
众数：
一组数据中出现次数最多的数值，亦叫高频数；原始意义是在统计分布上具有明显集中趋势点的
数值，
代表数据的一般水平，众数可以不存在或者多个。在频率从分布直方图中为最高的矩形的中点对应
的数值。
中位数：
一组数据中最中间的的数，可将数据按序排列找最中间的数即为之；在频率分布直方图中为面
积平分点的值，及中位数左右面积相等。
平均数：
可用公式计算
x
x
1
x
2
n
x
n
，在频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以相应小矩形
底边中点横坐标之和
4. 标准差：
x
1
x
2
（ 1）本均值：
x
x
n
n
（
2
）样本标准差：
s
s
2
1
(
xx)
2
( x
2
x)
2
n
( x
n
x)
2
说明：（
1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变
（
2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数
k，标准差变为原来的
k 倍
（
3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响较大，区间
( x 3s,
x 3s)
的应用；
“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理
5.
两个变量的线性相关
（ 1）基本概念 :
散点图：两个变量间的坐标图
正相关：散点的位置在从左下到右上的区域负
相关：散
点的位置在从左上到右下的位置，
回归直线（方程）
：散点图中心点的分布从整体上看大致在一条直线附近，这条直线叫回归直线，求
n
出的直线方程叫回归直线方程。
（ 2）最小二乘法：
i 1
x
i
y
i
nxy
回归直线方程：
?
，
b
n
i
y
bx a
x
i
2
nx
1
2
a
y
bx
（ 3）直线回归方程的应用①描述两变量之间的依存关系；利用直
线回归方程即可定量描述两个变
量间依存的数量关系
22
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
②利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量
x）代入回归方程对预报量（即因变量
Y）
进行估计，即可得到个体
Y值的容许区间。
Y 值的变化，通过控制 x 的范围来实现统计控制的目标。如
NO
2
的
③利用回归方程进行统计控制规定
已经得到了空气中
NO
2
的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中
浓度。
(4)
应用直线回归的注意事项①做回归分析
要有实际意义；②回归分析前 ,
最好
先作出散点图；③回归直线不要外延。
第三章 概 率
一、随机事件的概率及概率的意义
1．基本概念：
必然事件：在条件
S
下，一定会发生的事件，叫相对于条件
S 的必然事件，简称必然事件
不可能事件：在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件
S
的不可能事件，简称不可能事件
确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件
S 的确定事件，简称确定事件
S
的随机事件，简称随机事件
随机事件：在条件
S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件
2. 频数、频率及概率： 在相同的条件
S下重复
n
次试验， 观察某一事件
A
是否出现， 称
n
次试验中事件
A
出现的次数
n
A
为事件
A
出现的频数；称事件
A
出现的比例
f
n
( A)
n
A
n
为事件
A
出现的概率：对于
给定的随机事件
A
，如果随着试验次数的增加，事件
A
发生的频率
f
n
( A)
稳定在某个常数上，把这
个常数记作
P( A)
，称为事件
A
的概率。
3.
频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数
n
A
与试验总次数
n
的比值
n
A
，它
n
具有一定的稳定性，
总在某个常数附近摆动， 且随着试验次数的不断增多， 这种摆动幅度越来越小。我
们把这个常数叫做
随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试
验的前提下可以
近似地作为这个事件的概率。
二、
概率的基本性质
1．基本概念：
（ 1）事件的包含：如果事件
相等事件：如果事件
A
发生，则事件
B
一定发生，称事件
B
包含事件
A
，记作
A
A
发生，则事件
B
一定发生，反之也对，称这两个事件相等，记作
A
发生或事件
B
发生，称此事件为事件
B
(或
A B
)
A
发生且事件
B
发生，称此事件为事件
B
(或
AB
)
B
，
A B
并事件：若某事件发生当且仅当事件
件（或和事件） ，记作
A
交事件 :
若某事件发生当且仅当事件
件（或积事件） ，记作
A
A
发生与事件
B
的并事
A
发生与事件
B
的交事
上述事件可类比集合的关系，可用韦恩图表示
（ 2）若 A∩ B
为不可能事件，即 A∩ B=ф，那么称事件
A 与事件 B 互斥；
23
高中数学必备 (必须理解与记忆
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（ 3）若 A∩ B 为不可能事件， A∪ B
为必然事件，那么称事件
A 与事件 B 互为对立事件；
A∪ B
（ 4）当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：
P(A∪ B)= P(A)+ P(B)
；若事件
A 与 B
为对立事件，则
，于是有
P(A)=1 —P(B)
为必然事件，所以
P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1
2．概率的基本性质：
（ 1）必然事件概率为 1，不可能事件概率为
0，因此 0≤P(A) ≤ 1；
P(A∪ B)= P(A)+
P(B)
；
（ 2）当事件 A 与 B互斥时，满足加法公式：
（ 3）若事件 A 与 B 为对立事件， 则 A∪ B 为必然事件，
所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1 ，于是有 P(A)=1 — P(B) ；
（ 4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件
A
与事件
B 在一次试验中不会同时发生，其
具体包括三种不同的情形：①事件
A 发生且事件 B
不发生；②事件 A 不发生且事件 B 发生；③事件
A 与
A
与事件 B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；①事件
A 发
事件
B 同时不发生；而对立事件是指事件
生 B 不发生；②事件 B 发生事件 A
不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。四、
古典概型及随机数的产生
1. 古典概型
（ 1）古典概率模型：
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，
②每个基本事件出现的可能性相等；
（
2）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（ 3）古典概型的解题步骤：
①求出总的基本事件数；
②求出事件 A
所包含的基本事件数，然后利用公式
P( A)
A包含的基本事件的个数
基本事件的总数
；
2. 几何概型及均匀随机数的产生
（ 1）基本概念：
①几何概率模型： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度
（面积或体积）成比例，则称这样的
概率模型为几何概率模型；
②几何概型的概率公式：
P( A)
构成事件
A的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
；
(2) 几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个
；②每个基本事件出现的可
能性相等．
必 修 四
第一章三角函数
一、任意角和弧度制：
（一）任意角：
24
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1. 任意角的定义（旋转定义法）
：正角 零角 负角
2. 象限角与轴线角：
3. 终边相同角的集合：
终
边落在射线上（过原点）的角的集合：
终边落在直线上（过原点）的角的集合：
终边落在坐标轴
上的角的集合：
4. 基本题型：
判断给定角的终边的位置：如角
在给定范围内找与已知角终边相同的角
950
0
12
的终边位置。
:
如在
720
0
~
360
0
内找出终边与角
225
0
相同的所有角。
（二）弧度制：
1.
弧度制定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
2.
弧度数公式：
1
弧度的角。
l
r
3.
弧度与角度之间的互化：
rad
180
0
0
,1
rad
180
4.
0
0
~ 180
0
之间特殊角的弧度数与角度数：
30
0
,45
0
,60
0
,90
0
,120
0
,135
0
,150
0
,180
0
,270
0
,360
0
5.
扇形的面积公式：
S
1
2
lR
,
与
l
结合后有三种形式
r
6.
基本题型：
角度数与弧度数的互化
弧度数公式及扇形面积公式的应用
二、任意角的三角函数：
( 一 )
任意角的三角函数：
1.
任意角的三角函数的定义：坐标定义法：
sin
y
r
cos
x
r
tan
y
x
2.
三个三角函数的符号（从定义出发）
3.
公式一：
sin(2k ) sin ,cos(
：一全（正） ，二正弦（正） ，三正切（正） ，四余弦（正）
2k ) cos , tan(
2k )
tan ,( k Z )
4
．三个三角函数线：正弦线、余弦线、正切线
5. 同角三角函数的基本关系：
sin
2
cos
2
1,
sin
cos
tan
（变形）
6．基本题型：
利用定义求一些特殊角的三个三角函数值：如：求
5
3
的正弦、余弦与正切值
给出角终边上的点或其他信息求三个三角函数值：
三角函数符号的应用：
作出已知角的三角函数线：
25
高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳
利用三角函数线比较三角函数值的大小与解简单的三角不等式：
利用同角三角函数的基本关系进行简单的计算、化简与证明：
（二）三角函数的诱导公式：
1. 基本公式：
公式一：
k 2
与
2k
)
sin
的三个三角函数值的关系：
sin(
公式二：
cos(
2k
)
cos
tan(
2k
)
tan ,( k Z )
与
的三个三角函数值的关系：
sin(
)
与
sin
cos(
)
cos
tan(
)
tan
公式三：
的三个三角函数值的关系：
sin(
)
sin
与
cos( ) cos
tan( )
tan
公式四：
的三个三角函数值的关系：
sin(
) sin
cos(
)
cos
tan(
)
tan
以上公式特点：
函数名不变，符号看象限
公式五：
与
的正余弦的关系：
2
)
cos
2
sin(
公式六：
cos(
)
sin
2
与
的正余弦的关系：
2
)
cos
2
sin(
cos(
)
2
sin
以上公式特点：
函数名改变，符号看象限
对上述公式要求理解证明方法，牢记公式
2. 基本题型：
利用基本公式进行计算与化简
三、三角函数的图像与性质
1. 正弦曲线、余弦曲线，五点作图法及换元五点法
2.
正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
性
质
函
数
y sin x
y
cosx
y tan x
图象
26
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
定义域
R
R
x x
k
2
R
, k
值域
1,1
k
2
y
max
1
；当
x
1,1
当
x
当
x 2k
时 ，
2k k
时，
最值
2k
2
y
max
1
；当
x
2k
既无最大值也无最小值
k
周期性
时，
y
min
1
．
k
时，
y
min
1
．
2
2
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
在
2k
,2k
2
2
在
2k
,2 k
k
上是
在
k
k
单调性
上是增函数；在
, k
2
增函数；在
2k ,2 k
2
2k
, 2k
2
3
k
上是增函数．
2
k
上是减函数．
k
上是减函数．
对称中心
k ,0
k
对称中心
k
2
,0 k
k
对称中心
对称性
对称轴
x
k
2
k
对称轴
x
2
,0 k
k
k
x
A 0,
无对称轴
3.
函数
y
Asin x
A 0,
0 及y Asin
0
的图象与性质：
（
1）图象：可用换元五点法或图像变换作图；
（ 2）性质：用整体代换思想结合相应基本三角函数求
解，主要包括以下几个方面：周期，最值（相应
自变量的值），单调区间，对称轴方程及对称轴点坐标等
。
4. 函数
y
①振幅：
sin
x
2
0,
0
的性质：
1
；②周期：
；③频率：
f
；④相位：
x
；⑤初相：．
2
函数
y
sin
y
max
1
2
y
x
min
，
，当
x
x
1
时，取得最小值为
1
y
，
y
max
min
y
min
；当
x
x
2
时，取得最大值为
y
max
，则
x
2
x
1
x
1
x
2
．
2
2
5. 图像变换：平移变换（水平方向与竖直方向）
①的图象上所有点向左（右）平移
，周期变换，振幅变换
个单位长度，得到函数
y
sin x
的图象；再将函数
27
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
y sin x
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
倍（纵坐标不变
），得到函 数
倍
y
sin x
的图象； 再将函数
y sin
x
x
的图象上所有点的纵坐标伸长 （缩短） 到原来的
（横坐标不变） ，得到函数
y
sin
的图象．
②数
y
sin x
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
倍（纵坐标不变） ，得到函数
y sin x
的图象；再将函数
y sin x
的图象上所有点向左（右）平移
个单位长度，得到函数
y
sin x
的图象； 再将函数
y sin
x
x
的图象上所有点的纵坐标伸长 （缩短） 到原来的
倍
（横坐标不变） ，得到函数
y
sin
的图象．
6. 三角函数模型的简单应用：
第二章
平面向量
一、平面向量的基本概念
1．平面向量的定义：既有大小，又有方向的量叫做向量
2
．平面向量的表示：几何表示——带方向的线段；字母表示：
a
或
AB
3
．向量的模：向量的长度
( a 或 AB )
、零向量（
0
）、单位向量（
e
）
4
．相等向量：长度相等且方向相同的向量
5．共线向量：即平行向量
二、平面向量的线性运算
1 ．向量加法运算及其几何意义：
向量加法的代数表示（
a
b
），向量加法的三角形法则与平行四边形法则（合成与分解）
2
．向量减法运算及其几何意义：
向量减法的代数表示（
a
b
），向量减法的三角形法则（合成与分解）
a
b
（注意取“
=”条件）
3．向量不等式：
a b
4．向量数乘运算及其几何意义：
向量数乘定义：实数
与向量
a
的积，记作
a
向量数乘规定： （ 1）
a
a
；（2）当
0
时，
a
的方向与
a
的方向相同；当
0
时，
a
的
方向与
a
的方向相相反；当
向量数乘运算律：
(
0
时，
a 0
a )
(
) a;(
) a
28
a
a; ( a b)ab
高中数学必备
(必须理解与记忆
)知识点归纳
5．向量共线定理：
向量
a(a
0)
与
b
共线
存在实数
，使
b
a
（用于判断向量共线与多点共线等）
三、平面向量的基本定理及坐标表示
1
．平面向量基本定理：如果
e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
a
，
、
有且只有一对实数
1
2
，使
a
1 1
e
2
e
2
。不共线向量
e
1
、e
2
叫做一组基底
0
2
．向量夹角（定义及范围） 、向量垂直（夹角
90
，记作
a b
3
．平面向量的正交分解及坐标表示：
4
．平面向量的坐标运算：设
加法：
a b
a
( x, y)
a ( x
1
,
y
1
), b
( x
2
,
y
2
),
R
( x
1
x
2
, y
1
y
2
)
；减法：
a
b
( x
1
x
2
, y
1
y
2
)
；数乘：
a
(
x, y)
；
A( x
1
, y
1
),
B( x
2
, y
2
)
，则
AB
向量坐标与两个端点坐标的关系：若
5
．平面向量共线的坐标表示：已知
(x
2
x
1
, y
2
y
1
)
a
( x
1
,
y
1
), b ( x
2
, y
2
),
则
a
与
b
x
1
y
2
x
2
y
1
四、平面向量的数量积
1
．两个向量的数量积（内积）
：
a b
2．向量的投影：向量
a b cos
（其中
是两个向量的夹角）
a
在向量
b
方向上的投影为
a
cos
a
b
a b
0;
当 与 同向时，
；当 与 反向时,
a b
a
b= a b
a
b
a
b=- a b
3
．数量积的性质：
2
2
特别：
或
a a= a = a
a =
a a
4
．数量积的运算律：
已知向量 a、b、c
和实数
a b
b a
(
)
(
)
，则
(
)
a
b
a b
a
b
(a
b) c
a c
b c
5．平面向量数量积的坐标表示：设
a (
x
1
, y
1
), b
( x
2
,
y
2
)
，则
2
a b
x
1
x
2
a b
y
1
y
2
0
a
x
1
x
2
y
1
y
2
x
1
2
y
1
2
, a
0
x
1
2
y
1
2
2
a b
cos
a b
a b
x
1
2
x
1
x
2
y
1
y
2
y
1
2
x
2
2
y
2
五、平面向量应用举例
1 ．平面几何中的向量方法
2 ．向量在物理中的应用举例
第三章
三角恒等变换
29
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1. 基本公式：
sin(
cos(
tan(
)
sin
cos
)
cos
cos
)
cos
sin
sin
sin
( S
(
(C
(
tan(
)
)
sin(
cos(
)
)
sin
cos
)
cos
cos
tan
tan
cos
sin
sin
sin
(T
(
)
(S
(
(C
(
)
)
)
)
)
)
tan
tan
(T
( )
)
)
1
tan tan
1
tan
tan
2. 重要结论：
sin x
cos x
2 sin( x
)
4
)
3
sin x
cos x
2 sin( x
4
)
sin x
3 cos
x
2sin( x
sin x
3 cos x 2sin( x
)
3
a sin x
b cos x
a
2
)
4
b
2
sin( x
)
tan
)
1
tan
tan(
1
tan
b
a
tan(
1
tan
3. 重要方法：
1
tan
4
对公式会顺用、逆用、变形用、构造用（辅助角公式）；整体变角思想（角的拆分与拼凑）
二、二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2
cos2
2sin
cos
2
2cos
2
1
cos
sin
2
1
S
2
2sin
2
2 tan
C
2
T
2
tan 2
1
tan
2
三、简单的三角变换
2
将次扩角公式：
sin
1 cos 2
2
2
,cos
2
2
1 cos2
, tan
2
2
1
cos2
2 1
cos 2
半角公式：
和差化积公式：
必 修 五
第一章 解三角形
一、正弦定理
1．正弦定理：
a
sin A
b
sin B
c
sin C
2R
(
R
为
ABC
外接圆的半径
)
2．解三角形：已知三角形的几个元素（边或角）求其它元素的过程。
3．正弦定理一般使用条件：
已知“两角一边”求其它边和角，此种情况解唯一；
已知“两边一对角”求其它边和角，此种情况存在多解；
30
高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳
4．已知“两边一对角”求其它边和角时多解问题的处理方法。
（
1）初步判断方法：用大边对大角判断，
在有解的前提下，若所求角为较大角且不为直角时存在两解；
在
有解的前提下，若所求角直角或所求角为较小角时只有一解；
（ 2）求解方法：
一用正弦定理求另一边对角的正弦；
二用该角正弦值结合大边对大角判断。
二、余弦定理
1．余弦定理：
推论：
a
2
b
2
c
2
2bc cos A, b
2
a
2
c
2
2ac cos B, c
2
a
2
b
2
2ab cosC
b
2
c
2
a
2
cos A
2bc
,cos B
a
2
c
2
b
2
,cos C
2ac
a
2
b
2
c
2
2ab
2．余弦定理一般使用条件：
已知“两边夹角”求其它边和角；
已知“两边一对角”列等式。
三、应用举例
四、重要结论
在实际问题中能构造三角形而后求解相关问题。
1．三角形面积公式：
S
ABC
1
ab sin C
1
2
bc sin A
1
2
ac sin B
2
a
2．三角形中的射影定理：
3．三角形中线公式：
m
a
4．设
p
b cosC
c cos B,b
c cos A
a cosC , c
a cos B
b cos A
1
2(a
2
c
2
)
b
2
, m
c
1
2
2
1
2
1
2(b
2
c
2
)
a
2
, m
b
2
2(a
2
b
2
)
c
2
( a
b
c)
（1）
S
p( p
a)( p
b)( p
c)
(
p
a)( p
b)( p
c)
p
p( p
a)( p
（ 2）
r
（
3
）
h
a
2
b)( p
c), h
b
2
b
p( p
a)( p b)( p
c),
h
c
2
c
p(
p
a)( p
b)( p c)
a
第二章 数 列
一、数列的概念与简单表示法
1．基本概念：
数列：按照一定顺序排列着的一列数。
数列是有序的。 数列是定义在自然数 N*
或它的有限子集 {1,2,3, ? ,n} 上的
函数。 项，首项
通项公式：数列
a
n
的第
n
项
a
n
与序号
n
之间的关系可以用一个式子来表示，这个公式叫做这个数列
31
高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳
的通项公式。如
:
a
n
2n
2
1
。
数列的表示方法：
列举法：如 1， 3， 5， 7，9，
?
解析法：用通项公式表示。
图象法：用（ n, an）孤立点表示。
递推法：用递推公式表示。
数列的分类：
按项数
有穷数列
无穷数列
按单调性
常数列 : a
n
递增数列
递减数列
2
: a
n
: a
n
2 n
1, a
n
2
n
n
2
n
1
递推公式：已知数列
a
n
摆动数列
: a
n
( 1)
2 n
的第 1
项（或前几项） ，且任一项
a
n
与他的前一项
a
n 1
（或前几项）可以用
一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式。
2.
常见数列的通项公式：
二、等差数列
1. 等差数列的概念：
如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
公差 ，通常用字母
那么这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的
d
表示。即
a
n 1
a
n
d (n
N *, d为常数）
。
2. 等差中项：
若三个数
a, A, b
组成等差数列，此时
A
叫做
a与
b
的等差中项，即
A
a
2
b
或
2A a b
。
3.
等差数列的通项公式：
a
n
a
1
n
4.
等差数列的前
n
项和：
1 d
（ 1）数列的前
n
项和
S
n
a
1
a
2
a
3
a
n
，
a
n
S
1
, ( n 1)
S
n
S
n 1
, ( n 2)
d
（ 2）等差数列的前
n
项和公式：
S
n
n
a
1
a
n
na
1
n n
1
2
2
5. 常见结论（公式） ：
（ 1）
a
n
a
m
n
m d , a
n
a
m
n
m d ,
a
n
n
a
m
m
d
（广义通项公式）
（ 2）
a, b,
c成等差
（ 3）若
m
2b a
c
，称
b
为
a
与
c
的等差中项
*
n
p
q
（
m
、
n
、
p
、
q
a
n k
a
n k
( n、 k
N
*
,
k
），则
a
m
a
n
a
p
a
q
，
特别
2a
n
n)
（等差数列的 等和性 ）
（ 4）
S
n
，
S
2n
S
n
，
S
3
n
S
2 n
成等差数列
32
高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳
（ 5）
S
n
n(a
1
a
n
)
中
a
1
a
n
的灵活变化
2
三、等比数列
1.
等比数列的概念：
如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等比数列，
q(q
a
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母
n 1
0)
表示。即
q(q为常数 ,
且
。
q
0）
a
n
2.
等比中项：
若三个数
a, G ,b
组成等比数列，此时
G
叫做
a与
b
的等比中项，即
G
2
a b
。
3.
等比数列的通项公式：
a
n
a
1
q
n 1
4. 等比数列的前
n
项和：
na
1
(q
1)
等比数列的前
n
项和公式：
S
n
n
a
1
(1
q )
(q 1)
1 q
5.
常见结论（公式） ：
（
1
）
a
n
a
m
q
n
m
,
a
n
q
n
m
，（广义通项公式）
a
m
（ 2）
2
，称
成等比
为
a
与
c
的等比中项
a, b, c
b
ac
b
（ 3）若
m
n
p
q
（
m
、
n
、
p
、
q
*
），则
a
m
a
n
a
p
a
q
，
特别
a
n
2
a
n
k
a
n k
(k、 n
N
*
, k
n)
（等比数列的 等积性 ）
（ 4）
S
n
，
S
2n
S
n
，
S
3 n
S
2 n
成等比数列
6. 求数列通项公式的常见方法：
（ 1）公式法：先判断为等差或等比数列，在用相应公式求解。已知
S
n
求
a
n
（
2）累加（积）法：
a
n 1
a
n
f (n)
（
a
n 1
f (n)
）型求通项
a
n
（ 3）构造法：构造为特殊数列而后求和。
7. 数列求和的常见方法：
（
1）公式法：等差（比）数列求和，特殊数列求和（如
a
n
n
2
, S
n
1
n ( n
1)(2 n 1);
6
2
a
n
n
3
, S
n
1
n (n 1)
）
2
33
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
（
2）分组求和（拆项求和） ：将数列通项中的等差与等比部分分开，而后求和
（ 3）错位相减：
（ 4）倒序相加：
（ 5）裂项相消：
第三章
不等式
1．大小关系与不等关系：
2．不等式的性质：
①
a
b
0
a
b
；
a
b 0
a b
；
a b 0 a b
．
a
b
b,
b
b
a
；
c
②
a
③
a
c
；
a
b
b, c
b, c
b
a
c b
0
d
c
；
④
a
⑤
a
⑥
a
⑦
a b
⑧
a b
ac
bc
，
a b, c 0
a
c
b
0
ac
d
；
ac
bc
；
0, c
d
bd
；
0
a
n
0
n
b
n
n
n
,n
1
；
, n
1
．
a
b n
小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）
、判断、结论。
在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。
3．一元二次不等式解法：
（ 1）化成标准式：
ax
2
bx c 0,( a
0)
；
（ 2）判断判别式；若有根，求出对应的一元二次方程的根；
（ 3）根据不等号方向取出相应的解集（结合对应的二次函数的图象）
。
（ 4）将结果写成集合形式。
4.
线性规划问题：
（
1）会确定不等式及不等式组表示的区域
（
2）基本概念：线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解
（
3）线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
（
4）解线性规划实际问题的步骤：
① 将数据列成表格；
②
列出约束条件与目标函数；
③
根据求最值方法：一画：画可行域；二移：移与目标函数一致的平行直线；三求：求最值点坐标；
四答；求最值；
34
高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳
④
验证。
（ 5）两类主要的目标函数的几何意义
:
①
z ax by
-----
直线的截距；
②
z (x a)
2
( y b)
2
-----
两点的距离或圆的半径；
5. 均值定理：
若
a
0
，
b
0
，则
a b 2 ab
，即
a
b
ab
．
ab
a
b
2
a 0,b 0
；
a b
2
2
称为正数
a
、
b
的算术平均数，
ab
称为正数
a
、
b
的几何平均数．
2
6. 均值定理的应用：设
x
、
y
都为正数，则有
⑴若
x
y
s
（和为定值） ，则当
x
y
时，积
xy
取得最大值
s
2
．
4
⑵若
xy
p
（积为定值）
，则当
x
y
时，和
x
y
取得最小值
2
p
．
注意：（ 1）在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。
（
2）主要技巧：拆项凑积为常数；变指数，配系数，凑和为常数。
选修 2—1
第一章 常用逻辑用语
一、命题及其关系
1．命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句
.
命题分为真命题和假命题；真命题：判断为真的语句
.
假命题：判断为假的语句
.
2．本节主要研究“若
p
，则
q
”形式的命题； “若
p
，则
q
”形式的命题中的
p
称为命题的条件，
命题的结论 .
3．四种命题：原命题，逆命题，否命题，逆否命题
若原命题为“若
p
，则
q
”，
它的逆命题为“若
q
，则
p
”.
它的否命题为“若
p
，则
q
”
.
它的否命题为“若
q
，则
p
”
.
注意：在处理否命题时既要否定条件，又要否定结论
4.
四种命题的真假性：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
35
q
称为
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
真
假
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
四种命题的真假性之间的关系：
（
1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（
2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关
系．二、充分条件与必要条件
1. 若
p
q
，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件．
2. 若
p
q
，则
p
是
q
的充要条件（充分必要条件）
．
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p
q
．
p
q
是假
三、简单的逻辑联结词
1. 用联结词“且”把命题
当
p
、
q
都是真命题时，
p
q
是真命题；当
p
、
q
两个命题中有一个命题是假命题时，
p
q
．
命题．
2. 用联结词“或”把命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
当
p
、
q
两个命题中有一个命题是真命题时，
p q
是真命题；当
p
、
q
两个命题都是假命题时，
p
q
p
．
p
必是真命题．
是假命题．
3. 对一个命题
p
全盘否定，得到一个新命题，记作
若
p
是真命题，则
p
必是假命题；若
p
是假命题，则
说明： (1)
处理否命题问题时只否定结论。
(2)
1.
全称量词：
“且”“或”“非”类似于“交” “并”“补”
四、全称量词与存在量词
短语“对所有的” 、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“
”表示．含有全
称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对
中任意一个
x
，有
p x
成立”，记作“
x
，
p x
”．
2. 存在量词
短语“存在一个”
、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“ ”表示．含有
存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在
中的一个
x
，使
p x
成立”，记作“
x
，
p x
”．
3. 含有一个量词的否定
全称命题
p
：
x
p
：
x
，
p x
，它的否定
，
p x
，它的否定
p
：
x
p
：
x
，
，
p x
．全称命题的否定是特称命题；
p x
．特称命题的否定是全称命题．
特称命题
36
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
第二章
圆锥曲线与方程
一、椭圆：
1.
椭圆定义：
平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之和等于常数（大于
F
1
F
2
）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点
焦距 ．
称为椭圆的 焦点
，两焦点的距离称为椭圆的
2. 椭圆方程及其简单的几何性质：
焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形
标准方程
x
2
a
2
y
2
b
2
1 a
b
0
y
2
a
2
x
2
b
2
1 a
b 0
范围
a
A
1
x
a
且
b y b
a,0
、
A
2
a,0
b x b
且
a y a
A
1
0, a
、
A
2
0,a
顶点
B
1
0,
b
、
B
2
0, b
轴长
焦点
焦距
对称性
短轴的长为
B
1
b,0
、
B
2
b,0
2b
，短半轴的长为
b
；长轴的长为
2a
，长半轴的长为
a
F
1
c,0
、
F
2
c,0
F
1
0, c
、
F
2
0,c
F
1
F
2
2c c
2
关于
x
轴、
a
2
b
2
, 半焦距
c
y
轴及原点对称
b
2
2
离心率
e
c
a
1
0
e
1
a
准线方程
x
a
2
c
y
a
2
c
焦半径公式
r
左
a
r
右
a
ex
0
ex
0
r
下
a
ex
0
r
上
a
ex
0
说明：熟练点的坐标、线段长度、线的方程，会数形结合，抓住特征三角形。
37
高中数学必备
(必须理解与记忆 )知识点归纳
3.
椭圆的第二定义：
设
M
是椭圆上任一点，点
M
到
F
1
对应准线的距离为
d
1
，点
M
到
F
2
对应准线的距离为
d
2
，则
MF
1
d
1
MF
2
d
2
e
．由此可推出焦半径公式。
二、双曲线：
1. 双曲线的定义：
平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之差的绝对值等于常数
（小于
F
1
F
2
）的点的轨迹称为双曲线．
这
两个定点称为双曲线的 焦点 ，两焦点的距离称为双曲线的
焦距 ．
2. 双曲线的方程及简单的几何性质：
焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形
标准方程
x
2
y
2
y
2
x
2
a
2
b
2
1
a
0, b 0
a
2
1
a
0, b 0
b
2
范围
x
a
或
x
a
，
y R
y
a
或
y
a
，
x R
顶点
A
1
a,0
、
A
2
a,0
A
1
0,
a
、
A
2
0,a
轴长
虚轴的长为
2b
；实轴的长为
2a
焦点
F
1
c,0
、
F
2
c,0
F
1
0,
c
、
F
2
0,c
焦距
F
1
F
2
2c c
2
a
2
b
2
对称性
关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
离心率
e
c
1
b
2
2
e
1
a
a
准线方程
a
2
a
2
x
y
c
c
渐近线方程
y
b
x
y
a
x
a
b
焦半径公式
r
左
a
ex
0
r
下
a
ex
0
r
右
a
ex
0
r
上
a
ex
0
说明
：熟练点的坐标、线段长度、线的方程，会数形结合，抓住特征三角形。
38
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
3.
等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
4.
双曲线的第二定义：
设
M
是双曲线上任一点，点
M
到
F
1
对应准线的距离为
d
1
，点
M
到
F
2
对应准线的距离为
d
2
，则
MF
1
d
1
MF
2
d
2
e
．由此可推出焦半径公式。
三、抛物线：
1. 抛物线的定义：
平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点
F
称为抛物线的焦
点，定直线
l
称为抛物线的准线．
2.
过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
A
、
B
两点的线段
AB
，称为抛物线的“通径”
，即
AB 2 p
．
3. 抛物线的方程及简单的几何性质：
y
2
标准方程
2 px
y
2
2 px
x
2
2
py
x
2
2 py
p
0
p
0
p 0
p
0
图形
顶点
0,0
对称轴
x
轴
y
轴
0,
焦点
F
p
, 0
F
p
2
x
, 0
F
p
F 0,
2
x
2
y
p
2
p
2
p
2
准线方程
p
2
p
2
y
离心率
范围
e 1
y
p
2
F
x
F
0
x
0
p
2
F
x
0
x
0
0
y
0
y
p
2
F
0
焦半径公
y
0
p
2
四、曲线与方程：
1. 曲线的方程与方程的曲线：
（ 1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（
2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
2. 求曲线的方程：
（ 1）建：建立适当的坐标系；
39
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
（ 2）设：设坐标，引参数；用有序实数对
( x, y)
表示曲线上任意一点
M
的坐标，引入必要的参数；
；
（ 3）限：找出满足条件的等式（几何等式）
（ 4）带：将变量及参数带入等式；
（
5）化：对上述代数等式进行化简；
（
6）验：说明化简后的方程就是所求曲线的方程（一般省略）。
3．求曲线方程的常用方法：
（
1）定义法：先判断曲线类型，而后用设出方程并求解；或先确定几何等式而后代数化并化简求出方程；
（ 2）参数法：引入必要的参数，建立变量间的间接关系，而后消元得方程；
（
3）转移法：通过多动点建立关系。
第三章
空间向量与立体几何
一、空间向量及其运算：
1. 空间向量的概念：
（ 1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．
（
2）向量可用一条有向线段来表示．用向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方
向．
a或 AB
(3) 向量
AB
的大小称为向量的模（或长度） ，记作
AB
．
(4) 模（或长度）为
0
的向量称为零向量
,
记为
0
；模为
1
的向量称为单位向量．
（ 5）与向量
a
长度相等且方向相反的向量称为
a
的相反向量，记作
a
．
（ 6）方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2. 空间向量的基本运算（加法，减法与数乘） ：
（ 1）加法：
求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在
空间以同一点
为起点的两个已知向量
a
、
b
为邻边作平行四边形
C
，
称为向
则以
起点的对角线
C
就是
a
与
b
的和，这种求向量和的方法，
量加法的平行四边形法则．
（ 2）减法：
求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空
间任取一点
（ 3）数乘：
实数
，作
a
，
b
，则
a b
．
与空间向量
a
的乘积
a
是一个向量，称为向量的数乘运算．当
40
0
时，
a
与
a
方向相同；
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
当
0
时，
a
与
a
方向相反；当
a
a
。
，
0
时，
a
为零向量，记为
0
．
a
的长度是
a
的长度的
倍，即
（ 4）设
分配律：
为实数，
a
，
b
是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．
a b
a
b
；结合律：
a
a
．
3. 共面向量：
（
1）共面向量：平行于同一平面的向量称为共面向量
.
（
2）向量共面定理：
空间一点
P
在平面
ABC
内的充要条件是存在有序实数对
x, y
，使
AP
xAB
y
AC
或对空间任意一点
O
，有
OP
OA xAB
y AC
空间任意一点
O
和不共线的三点
A, B, C
；点
P
与点
A, B,C
共面的充要条件是存在实数对
x, y,
z
，使
OP xOA yOB zOC (其中 x y z
1)
4. 共线向量：
（
1）定义：如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，
并规定零向量与任何向量都共线．
a,
b
共线（平行） ，记作
a b
。
（
2）向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量
a
，
b b
0
，
a
b
的充要条件是存在实数
，使
a
b
．
5. 空间向量的数量积运算：
（ 1）向量的夹角：
已知两个非零向量
a
和
b
，在空间任取一点
O
，作
OA
a, b
a
，
OB
b
，则
AOB
称为向量
a
，
b
的
夹角，记作
a, b
．两个向量夹角的取值范围是：
(2)
向量的垂直：
0,
．
对于两个非零向量
a
和
b
，若
a, b
，则向量
a
，
b
互相垂直，记作
a
b
．
2
(3)
向量的数量积：
已 知 两
个 非 零 向 量
a
和
b
， 则
a b c o s a ,b
称 为
a
，
b
的 数 量 积 ， 记 作
a b
．
即
a b
a bc o s a,
．
b
零向量与任何向量的数量积为
0
．
a b
等于
a
的长度
a
与
b
在
a
的方向上的投影
b cos a,b
的乘积．
向量数量积的意义：
（ 4）数量积的性质：
41
高中数学必备
(必须理解与记忆 )知识点归纳
若
a
，
b
为非零向量，
e
为单位向量，则有
①
e a
②
a
b
a e
a cos a,e
a b 0
a b
a与 b同
向
2
③
a b
a b a与 b反向
，
a a a
，
a
a a
④
cos a,b
a b
a b
a b
⑤
a b
（ 5）向量数乘积的运算律：
①
a b b a
；②
a b
a b
a
b
；③
a b c a c b
c
．
6.
空间向量的正交分解及其坐标表示：
（ 1）若
i
，
j
，
k
是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量
p
，存在有序实数组
x, y, z
，使得
p
xi
yj
zk
，称
xi
，
yj
，
zk
为向量
p
在
i
，
j
，
k
上的分量．（图形略）
（
2）空间向量基本定理：
若三个向量
a
，
b
，
c
不共面，则对空间任一向量
p
，存在实数组
x, y, z
，使得
p
xa yb zc
．
若三个向量
a
，
b
，
c
不共面，则所有空间向量组成的集合是
p p xa yb
zc, x, y, z R
．这个集
合可看作是由向量
a
，
b
，
c
生成的，
a,b, c
称为空间的一个基底，
a
，
b
，
c
称为基向量．空间任意
三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
（
3）空间向量的坐标表示：
设
e
1
，
e
2
，
e
3
为有公共起点
O
的三个两两垂直的单位向量
O
为原点，分别以
（称它们为单位正交基底） ，以
e
1
，
e
2
，
e
3
的公共起点
e
1
，
e
2
，
e
3
的方向为
x
轴，
y
轴，
z
轴的正方向建立空间直角坐标系
p
，一定可以把它平移，使它的起点与原点
O
OP
xyz
．则对于空间任意一个向量
p
．存在有序实数组
O
重合，得到向量
x, y, z
，使得
p
xe
ye
1 2
ze
．把
x
，
y
，
z
称作向量
p
在单位正交基
3
底
e
1
，
e
2
，
e
3
下的坐标，记作
p
x,
y, z
．此时，向量
p
的坐标是点
P
在空间直角坐标系
O xyz
中的
坐标
x, y, z
．
（
4）空间向量的坐标运算：
42
高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳
设
a x
1
, y
1
, z
1
，
b
x
2
,
y
2
, z
2
，则
x
1
①加法与加法：
a b
x , y
2 1
y , z
2 1
z
，
a
b
2
x
x
, y
1
2
1
y
, z
z
2 1 2
②数乘：
a
x
1
,
y
1
, z
1
③数量积：
a b
x
1
x
2
y
1
y
2
z
1
z
2
④垂直：若
a
、
b
为非零向量，则
a b
⑤平行：若
b
⑥模：
a
a b
x
1
0
x
1
x
2
y
1
y
2
z
1
z
2
0
．
0
，则
a b
a
b
x
2
, y
1
y
2
, z
1
z
2
．
a a
x
1
2
y
1
2
z
1
2
a b
⑦夹角：
cos a,b
x
1
x
2
y
1
y
2
z
1
z
2
．
a b
x
1
2
y
1
2
z
1
2
x
2
2
y
2
2
z
2
2
⑧两点间的距离公式：
A x
1
, y
1
,
z
1
，
B
2 2
x
2
, y
2
, z
2
，
2
则
d
AB
AB
x
2
x
1
y
2
y
1
z
2
z
1
．
7. 立体几何中的向量表示：
（
1）空间中点的位置的向量表示：
在空间中，取一定点
O
作为基点，那么空间中任意一点
P
的位置可以用向量
OP
来表示．向量
OP
称
为点
P
的位置向量．
(2)
空间中的直线的向量表示：
空间中任意一条直线
l
的位置可以由
l
上一个定点
A
以及一个定方向确定．
点
A
是直线
l
上一点， 向量
a
表示直线
l
的方向向量，则对于直线
l
上的任意一点
P
，有
AP
ta
，这样点
A
和向量
a
不仅可以确定
直线
l
的位置，还可以具体表示出直线
l
上的任意一点．
O
，它们的方
yb
，这样点
O
与
（
3）空间中平面的向量表示：
空间中平面
的位置可以由
内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点
上任意一点，
存在有序实数对
向向量分别为
a
，
b
．
P
为平面
x, y
，使得
OP
xa
向量
a
，
b
就确定了平面
的位置．
(4) 平面的法向量：
直线
l
垂直
，取直线
l
的方向向量
a
，则向量
a
称为平面
的法向量．
8.
立体几何中基本关系的向量表示
(1) 空间两直线垂直和平行关系的向量表示：
若空间不重合两条直线
a
，
b
的方向向量分别为
a
，
b
，则
a b
43
a b
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
a b
R
，
a b
a b
a b 0
．
（
2）空间直线与平面平行和垂直关系的向量表示：
若直线
a
的方向向量为
a
，平面
a
的法向量为
n
，且
a
，则
a
a
a n
a n 0
，
a
a n
a
n
．
（ 3）空间两个平面平行和垂直关系的向量表示：
若空间不重合的两个平面
，
的法向量分别为
a
，
b
，则
a b
ab
，
a
b
a b
0
．
9.
立体几何中空间运算的向量表示
角的计算：
（
1）异面直线所成的角：
a b
设异面直线
a
，
b
的夹角为
，方向向量为
a
，
b
，其夹角为
，则有
cos
cos
a b
．
（ 2）直线与平面所成的角：
设直线
l
的方向向量为
l
，平面
的法向量为
n
，
l
与
所成的角为
，
l
与
n
的夹角为
，则有
sin
cos
l
n
．
l
n
（
3）二面角：
设
n
1
，
n
2
是二面角
l
的两个面
， 的法向量，则向量
n
1
，
n
2
的夹角（或其补角）就是二
面角的平面角的大小．若二面角
l
的平面角为
，则
cos
n
1
n
2
n
1
n
2
．
距离的计算：
（ 4）两点间的距离：
点
A
与点
B
之间的距离可以转化为两点对应向量
AB
的模
AB
计算．
（ 5）点到直线的距离：
在 直 线
l
上 找
一 点
P
， 过 定 点
a
且 垂 直 于 直
线
l
的 向 量 为
n
， 则 定 点
A
到
直 线
l
的 距 离 为
d
P A c o
s P A, n
P A n
n
．
（
6）点到平面的距离：
点
P
是平面
外一点，
A
是平面
内的一定点，
n
为平面
的一个法向量，则点
P
到平面
的距离
为
d
PA cos PA, n
PA n
n
．
44
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
选修 2—2
第一章 导数及其应用
一、变化率与导数
1. 平均变化率：从气球的膨胀率、高台跳水中引出变化率问题
f
x
f (x
2
)
x
2
x
1
f (x)
1
, f
f (
x
2
)
f ( x
1
), x
x
2
x
1
2.
导数的概念：
函数
y
f ( x)
在
x
x
处的瞬时变化率是
0
lim
f ( x
0
x)
f ( x
0
)
x
0
x
lim
x 0
f
，称它为函数
y f ( x)
x
在
x
x
0
处的导数，记作
f
( x
)或 y
0
x x
0
,即 f (x
)
lim
0
x
f ( x
0
0
x)
x
f ( x)
0
.
3. 导数的几何意义：
函数
y
4. 导函数：
f ( x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y
f (
x)
在
P( x
0
, f ( x
0
))
处的切线的斜率
f ( x
0
)
，
当
x
变化时，
f
( x)
是
x
的一个函数，称为函数
即：
f (x)
的导函数，简称导数，记作
f (x)
或
y
f ( x)
y lim
x
0
f ( xx ) f ( x)
x
二、导数的计算
1. 基本初等函数的导数：
c
(e
x
)
0
（
c
为常数），
(x
n
) nx
n 1
(n
e
x
,
N
*
)
；
(sin x)
1)
；
cos x,
1
,
x
(cos x)
sin x
；
1
log
a
e( a 0, a
1)
x
(a
x
)
a
x
lna( a 0, a
(ln x)
(log
a
x)
2. 导数的运算法则：
和与差的导数：
积的导数：
f ( x)
g
(x)f (x)
f ( x) g( x)
g (x)
.
f ( x) g (x)
.
f ( x) g
( x)
商的导数：
f ( x)
g
( x)
f ( x)g (x) f ( x)g ( x)
2
( g( x) 0)
.
g( x)
3. 符合函数的导数：
（ 1）复合函数：
45
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
对于两个函数
y f ( u)和 u g( x)
，若通过变量
u
，
y
可以表示成
g(
x)
的复合函数，记作
y
y
x
y
u
u
x
x
的函数，称这个函数为函数
y f (u)和
u f (g( x))
（ 2）符合函数的导数：
三、导数在研究函数中的应用
（ 1）函数的单调性与导数：
在区间
( a,b)
内，如果
f ( x)
0
，则函数
y
0
，则函数
y
f (x)
在这个区间内单调递增；
f ( x)
在这个区间内单调递减。
如果
f ( x)
（
2）函数的极值与导数：①函数的极大值、极小值及极值
的概念（刻画局部性质）
②函数极值的求法：解方程
f
如果在
x
0
附近的左侧
f ( x)
如果在
x
0
附近的左侧
f (
x)
(x) 0, 得 x
x
0
0
，右侧
f (x)
0
，右侧
f (x)
（两步）
0
，那么
f (
x
0
)
是极大值；
0
，那么
f (
x
0
)
是极小值。
（ 3）函数的最大（最小）值与导数：
①求函数
y
f ( x)
在
(
a,b)
的极值；
②将函数
y
f (
x)
的各极值与端点处的函数值
f (a), f (b)
比较，可得最大值与最小值。
四、生活中的优化问题
函数导数的应用（略）
五、定积分
1. 两个引例：
n n
曲边梯形的面积（以直代曲）
：
S lim
x 0
i 1
f (
i
) x
lim
n
n
i 1
1
f
(
i
)
n
n
汽车的行驶路程（以匀速代变速）
：
S lim
x 0
v(
i
) t
i 1
lim
n
i 1
1
n
v(
i
)
2. 定积分
(1) 定积分的概念：
如果函数
f (x)
在区间
a, b
上连续，用分点
a
x
0
x
1
x
i 1
x
i
x
n
b
将区间
a, b
等
46
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
n n
分成
n
个区间，在每个小区间
x
, x
上任取一点
i
(i 1,2, , n)
，作和式
f (
i
) x
ba
f (
i
)
，
i 1
i
i 1 i 1
n
当
n
时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数
f (x)
在区间
a,b
上的积分，记作
b b n
a
f ( x)dx,即 f ( x)dx
a
i
)
.
a
lim
n
b
f (
i 1
n
a与
b
分别叫做积分的下限与上
限，
x
叫积分变量，
f ( x) dx
叫做被积式
.
(2)
定积分的几何意义：
b
a
f ( x)dx
表示直线
x
a, x
b(a
b), y 0
和曲线
y f ( x)
所围成的曲边梯形的面积
（图形略）
(3) 定积分的性质：
b
a
kf (
x )dx k
b
a
f ( x) dx (
k为常数）；
b
f
1
(x)
f
b b
2
(x) dx
f
1
( x)dx
f
2
( x)dx
；
a
a
a
b
f ( x) dx
c
f (x)dx
b
f ( x)dx(其中 a c b)
a a c
六、微积分基本定理
1. 微积分基本定理
一般地，
如果
f (x)
是区间
a, b
上的连续函数，并且
F (x)
f ( x)
，那么
b
a
f ( x)dx F (b)
F ( a)
.
这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式
.
b b
b
为方便，将
F (b)
F ( a)
记成
F (x)
a
，有
a
f (x)dx
F (x)
a
F (b) F (a)
2.
定积分与曲边梯形的面积
当对应的曲边梯形位于
x
轴上方时，定积分为正值，且等于曲边梯形的面积；
当对应的曲边梯形位于
x
轴下方时，定积分为负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
当
x
轴上方的曲边梯形的面积等于
x
轴下方的曲边梯形的面积时，
定积分的值为
0（上方面积减去下方
面积） .
七、定积分的简单应用
1. 定积分在几何中的应用：计算曲线围成的面积（见课本例题）
2.
定积分在物理中的应用：
（ 1）求变速直线运动的路程；
（ 2）变力做功 .
47
.
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
第二章
推理与证明
一、合情推理与演绎推理
1.
合情推理
（
1）定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类
比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理
.
（
2）合情推理的主要过程：
从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想
2.
演绎推理
（
1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论；即由一般到特殊的推理
（
2）演绎推理的一般模式（三段论） ：
①大前提（已知的一般原理）
②小前提（所研究的特殊情况）
③结论（根据一般原理，对特殊情况做出的判断）
二、直接证明与间接证明
1. 综合法与分析法：
（
1）综合法：
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后
推导出所要证明的结论
成立的方法 .
（ 2）分析法：
从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判断一个明显
成立的条件为止的方法
.
2. 反证法：
假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题
成立的
方法 .
3. 数学归纳法：
证明一个与正整数
n
有关的命题，可按下列步骤进行：
（ 1）证明当
n
取第一个值
n
0
时命题成立；（只需验证，是归纳的基础）
；
（ 2）假设
n k(k n
0
,
k
N
*
)
时命题成立，证明当
n
k
1
时命题也成立
.
（循环的保证）
只要完成这两个步骤，就可以判定命题从
上述方法叫做数学归纳法 .
n
0
开始的所有正整数
n
都成立
.
第三章
数系的扩充与复数的引入
一、数系的扩充和复数的概念
48
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
1．复数的概念：
形如
a
bi (a,b R)
的数叫做复数，其中
i
叫做虚数单位
(i
2
1)
，全体复数构成的集合
C
叫做复数
集；
复数常用字母
z
表示，即
z a bi (a,b R)
，称之为复数的代数形式；
其中
a
叫做实部，
b
叫做虚部 .
2. 复数相等：
a bi c
di
a c且b
d
3. 复数的分类：
复数包括：实数，虚数，纯虚数
4. 复数的几何意义：
（
1）基本概念：复平面，实轴，虚轴
（ 2）复数的几何意义：
z a
bi
一一对应
复平面内的点 Z (a, b)
一一对应
复平面内的向量 OZ
5. 共轭复数：复数
a
bi (a, b R)
与
a bi (a, b
R)
叫做互为共轭复数
.
二、复数代数形式的四则运算
1. 复数的加法：
（ 1）加法法则：
若
z
1
a
bi , z
2
c di
，则
z
1
z
2
(a bi ) (c di ) (a c) (b
d )i
（同类合并）
（ 2）加法运算律：满足加法交换律和结合律
（
3）加法的几何意义：平行四边形法则（同向量加法）
2. 复数的减法：
（
1）减法法则：若
z
1
a bi , z
2
c di
，
则
z
1
z
2
(a bi )
(c di ) (a c) (b d)i
（同类合并）
（
2）减法的几何意义：三角形法则（同向量减法）
3. 复数的乘法：
（ 1）乘法法则：
若
z
1
a bi , z
2
c di
，则
z
1
z
2
(a bi ) ( c di
) ( ac bd ) ( ad
bc )i
（多项式乘法，合并同
类项）
（
2）运算律：乘法结合律，乘法对加法的分配率
4. 复数的除法：
若
z
1
a bi , z
2
c di
，
49
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
则
z
1
a
bi
z
2
c
di
(a
bi )(c
di )
(c
di )(c
di )
ac
bd
c
2
bc
ad
c
2
d
2
d
2
i
（分母实数化，合并同类项）
选修 2—3
第一章 计数原理
一、分类加法原理与分步乘法原理
1. 分类加法原理 ：
完成一件事有两类不同方案，
在第 1 类方案中有
m
种不同的方法， 在第
2
类方案中有
n
种不同的方法。
那么完成这件事共有
N m
n
种不同的方法。
加法原理的推广：
注：①
理解“分类”的含义：各类方法相互独立，每类方法均可完成该件事
②
分类时要合理确定分类标准，确保“不重复，不遗漏”
2.
分步乘法原理：
完成一件事需要两个步骤，做第
共有
N
1
步有
m
种不同的方法，做第
2 有
n
种不同的方法。那么完成这件事
m
n
种不同的方法。
乘法原理的推广：
注：①
理解“分步”的含义：各个步骤相互依存，每步方法都完成才能完成该件事
② 分步时要合理确定分步标准，确保“步骤完整”
3.
n
元集合的不同子集的个数：
2
n
个
二、排列与组合
1. 排列：
从 n 个不同元素中取出
m(m n)
个元素，按照一定顺序
排成一列，叫做从
．．．．．．
n
个不同元素中取出
m
个
元素的一个排列。
2. 排列数 ：
从 n 个不同元素中取出
m(m
n)
个元素的所有不同排列的个数叫做从
n 个不同元素中取出 m
个元素
的排列数，用符号
A
n
m
表示。
相关公式：
A
n
m
n( n
1)(n 2) ( n m
1)
（理解填空法推到排列数公式）
3 2 1 n!
（
n
个元素的全排列，读作
n
的阶乘
0!
A
n
n
n( n
1)(n 2)
A
n
m
n(n 1)(n 2)
1
）
(n m
1)
3 2
1
n(n 1)(n 2) (n m 1)(n m) 3 2 1
(n m)
n!
( n
m)!
50
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
即
A
n
m
n!
(n
m)!
3. 组合：
从
n
个不同元素中取出
m( m n)
个元素合成一组， 叫做从
n
个不同元素中取出
4.
组合数：
m
个元素的一个组合。
从
n
个不同元素中取出
m(m
元素的组合数，用符号
相关公式：
C
n
m
n)
个元素合的所有不同组合的个数，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个
C
n
m
表示。
A
m
n
n( n
A
m
m
1)( n
2)
( n
m
!
m 1)
（可从
A
n
m
C
n
m
A
m
m
中得出）
C
n
m
n!
m!( n
m)!
组合数的两个性质：
性质 1 C
n
m
C
n
n m
(C
n
0
性质 2 C
n
m
1
1)
C
n
m
C
n
m 1
5. 解决排列组合问题的基本方法
列举法（树形图）
:
位置法（位置选元素）
插空法（不相邻问题）
元素法（元素选位置）
直接法
间接法
捆绑法（相邻问题）
挡板法（相同元素问题）
三、 二项式定理
1.
二项式定理
(a b)
n
C
n
0
a
n
C
1
n
a
n
1
b
1
C
n
k
a
n k
b
k
C
n
n
b
n
(n
N
*
)
二项式系数：
C
n
k
(k
二项展开式的通项：
0,1,2,
, n)
T
k 1
C
n
k
a
n
k
b
k
(k
0,1,2,
, n)
(1 x)
n
C
n
0
C
n
1
x
若
a 1,b
x
，得到如下公式：
C
n
k
x
k
C
n
n
x
n
(n N
*
)
2. “杨辉三角”与二项式系数的性质
杨辉三角形：探究与发现材料
( a b)
1
?????????????????
1
1
( a
b)
2
????????????????
( a
b)
3
???????????????
( a
b)
4
??????????????
(
a
b)
5
?????????????
( a
b)
6
????????????
( a
b)
7
???????????
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
5
1
10 10
5
1
51
6
15 20
15 6
1
35 35 21
7
1
7
21
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
(1) 杨辉三角形与二项式系数的关系
(2) 杨辉三角形中相邻两行的数的关系
（ 3）
1
2
3
1
3
6
1
4
10
C
r
r
C
r
r
二
项 式
C
n
1
1
C
n
2
1
C
n
3
C
r
r
2
1
C
n
2
C
n
3
C
n
4
C
n
r
1
1
C
n
r 1
系数的性质：
（ 1）对称性 .
C
n
m
C
n
n m
（ 2）增减性与最值 .
先逐渐增大，再逐渐减小，中间项最大
n
当
n
为偶数时，展开式共有
n
1
（奇数）项，此时中间一项
C
n
2
取得最大值
n 1 n 1
当
n
为奇数时，展开式共有
（偶数）项，此时中间两项
2
2
相等，且同时取得最大值
n
1
C
n
, C
n
第二章
随机变量及其分布列
一、离散型随机变量及其分布列
1. 随机变量
：
如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量
那么这样的变量叫做随机变量．
X
来表示，并且
X
是随着试验的结果的不同而变化，
等表示。
随机变量常用大写字母
X ,Y
等或希腊字母
,
2. 离散型随机变量： 在的射击、产品检验等例子中，对于随机变量
一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3．离散型随机变量的分布列
X
可能取的值，
我们可以按一定次序一
：一般的 , 设离散型随机变量
X
可能取的值为
x
1
, x
2
,
, x
i
,
x
n
,
X
取每一个值
x
i
(i 1,2,
, n)
的概率
P(X
x
i
)
p
i
，则称下表为离散型随机变量
x
1
p
1
x
2
p
2
?
?
n
X
的概率分布，简称
X
的分布列。
?
?
X
P
4．分布列性质 ①
0 p
i
x
i
p
i
x
n
p
n
1,i
1,2, , n
；②
i
1
p
i
1
．
5.
两点分布：又称或 0— 1 分布或伯努利分布
若随机变量
X
的分布列具有如下形式，则称
X
服从两点分布，并称
52
p P( X
1)
为成功概率，
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
X
p
0
1
1 p
p
6. 超几何分布：
一般地，在含有
M
件次品的
N
件产品中，任取
0,1, 2,
m,
，得分布列：
n( n
N )
件，其中恰有
X(X M )
件次品，则
p(X
k)
C
M
k
C
N
n k
M
,
k
C
N
n
X
p
0
1
?
m
C
M
0
C
N
n
0
M
C
M
1
C
N
n 1
M
C
N
C
M
m
C
N
n m
M
?
C
N
n
n
C
N
n
其中
m
min M , n
，
n N , m
N , n, M , N
N
*
.
如果随机变量
X
具有以上分布列形式，则称随机变量
二、二项分布及其应用
X
服从超几何分布。
1. 条件概率 ：
一般地，设
A, B
为两个事件，且
P( A) 0
，在事件
A
发生的条件下，事件
B
发生的概率，叫做条件
概率 . 记作
P(B A)
，读作
A
发生的条件下
B
的概率
.
P(AB)
P( A)
概率公式：
0 P(B
A) 1
,
P(B A)
若
B
和
C
至两个互斥事件，则
P(B C A)
P(B A) P(C A)
2. 相互独立事件 ：
事件
A
(
或
B
)
是否发生对事件
B
(
或
A
)
发生的概率没有影响
, 这样的两个事件叫做相互独立事件。
概率公式：
P(A B)
P(A) P(B)
若事件
A
与
B
相互独立，则
A与 B,
A与 B, A与 B
也都相互独立
3.
n
次独立重复事件：
一般地，在相同条件下重复做的
n
次试验称为
n
次独立重复试验。
4. 二项分布
：
设在
n
次独立重复试验中，用
则
P( X k )
得随机变量
X
表示事件
A
发生的次数，设每次试验中事件
0,1,2,
, n
A
发生的概率为
p
，
C
n
k
p
k
(1 p)
n k
,k
X
的概率分布如下：
0
1
X
?
53
k
?
n
0 0 n1 1
高中数学必备 (必须理解与记忆
n 1
)知识点归纳
k k n k n n 0
?
p
此时随机变量
C
n
p (1 p)
C
n
p (1 p)
C
n
p (1
p)
?
C
n
p (1 p)
X
服从二项分布，记为
X
B(n,
p)
，并称
p
为成功概率。
3.
离散型随机变量的均值与方差
（
1）离散型随机变量的均值
①基本概念：
一般地，若离散型随机变量
X
的概率分布为
X
P
则称
E( X )
x
1
p
1
x
2
p
2
x
1
p
1
x
i
p
i
x
2
p
2
?
?
x
i
p
i
?
?
x
n
p
n
x
n
p
n
为随机变量
X
的数学期望或平均数、
均值，数学期望又简称为
期望．他反映了离散型随机变量取值的平均水平。
②数学期望运算公式：
若
Y aX
由于
P(Y
b
，其中
a, b
为常数，则
Y
也是随机变量，则
E(aX
ax
i
b)
b) aE( X
)
b
P( X
x
i
), i
1,2,
,n,
则
Y
的分布列为
Y
P
ax
1
b
p
1
ax
2
b
p
2
b)
?
?
ax
i
b
p
i
?
?
ax
n
b
p
n
易得
E(Y )
aE (X )
b
，即
E( aX
aE
( X ) b
（ 2）离散型随机变量的方差
①方差概念：
若离散型随机变量
X
的概率分布为
X
P
则
( x
i
x
1
p
1
x
2
p
2
?
?
x
i
p
i
?
?
x
n
p
n
E( X ))
2
描述了
x
i
(i
1,2, , n)
相对于均值
E( X )
的偏离程度
,
n
而
D(X)
i
( x
i
E( X ))
2
p
i
为这些偏离程度的加权平均，
1
刻画了随机变量
X
及其均值
E( X )
的平均
偏离程度，称
D ( X )
为随机变量
X
的方差，其算数平方根
②方差公式：
D( X )
为随机变量
X
标准差。
Y aX
b
，其中
a, b
为常数，则
D (aX
b)
a
2
D ( X )
54
高中数学必备 (必须理解与记忆
（
3）几种特殊分布的期望与方差
)知识点归纳
分布类型
期望
方差
两点分布
E( X )
p
D ( X ) p(1
p)
D ( X ) np(1 p)
二项分布，即
X
B(n, p)
E( X ) np
M
超几何分布：
E( X )
D ( X ) np (1 p)
N
n
（不作要求）
n
N
1
4. 正态分布①正
态曲线：
概率密度曲线就是或近似地是函数
,
(x)
1
2
( x
)
2
2
e
2
, x ( , )
的 图 象 ， 其 中 实 数
、 （
态曲线。
0)
是参数，分别表示总体的平均数与标准差．称
,
( x)
的图象为正态分布密度曲线，简称正
b
根据频率分布直方图的意义，随机变量
X
落在
a,b
上的概率为
P(a
X
b)
a
,
(x)dx
，即在
正态曲线中，直线
②正态分布：
x
a, x b
，
x
轴与曲线围成的平面图形的面积就是
X
落在
a, b
的概率的近似值。
b
a
一般地，如果对于任何实数
a b
，随机变量
X
满足
P( a
X
b)
,
(x)dx
，则称
X
的分布为
2
正态分布，记作
N (
,
)
。如果随机变量
X
服从正态分布，记为
X
N (
,
2
)
。
5.
正态曲线的基本性质：
（ 1）曲线在
x
轴的上方，与
x
轴不相交；
55
高中数学必备
(必须理解与记忆
)知识点归纳
（
2）曲线是单峰的，关于直线
x
对称，且在
x
时达到峰值
1
2
；
（ 3）当时
x
，曲线上升；当时
x
，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以
x
轴为渐
近线，向它无限靠近；
（ 4）当
一定时，曲线的形状由
确定．
越大，曲线越“矮胖”
，表示总体的分布越分散；
越小，
曲线越“瘦高” ，表示总体的分布越集中；
（
5）当
相同时 , 正态分布曲线的位置由期望值
来决定；
（ 6）正态曲线与
x
轴之间的面积为 1.
6.3
原则：
经计算可得：
P(
P(
P(
从以上数据可得 , 正态总体在
X
2
3
(
)
2
)
3
)
0.6826
0.9544
0.9974
X
X
2
,
2 )
以外取值的概率只有
4.6%,在
(3 ,
3 )
以
外取值的概率只有
0.3% 由于这些概率很小
, 通常称这些情况发生为小概率事件
. 也就是说
, 通常认为这些
情况在一次试验中几乎是不可能发生的.
第三章
统计案例
1. 回归分析
回归直线方程：
y
?
?
a
bx
其中：
a
?
y
bx
n
?
n
i 1
n
?
b
i 1
(
x
i
x )( y
i
y )
n
x
i
y
i
nxy
x
i
2
nx
2
(
x
i
i 1
x
x)
2
1
n
i
i 1
1
n
n
i 1
x
i
,
y
n
y
i
，
( x,
y )
称为样本中心。
1
2.
独立性检验
假设有两个分类变量
X
和
Y
，它们的值域分另为
x
1
, x
2
和
y
1
, y
2
，其样本频数列联表为：
y
1
x
1
a
y
2
总计
b
56
a
b
高中数学必备
(必须理解与记忆
)知识点归纳
x
2
总计
c
d
b d
c
a b
d
c
d
a c
若要推断的论述为
H
1
：“
X
与
Y
有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能
较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量
K
2
的值
（
K
2
(a
n(ad bc)
2
b)(c d)( a c)(b
，其中
n
a b c d
为样本容量），
K
2
的值越大，说明“
X
与
Y
d )
有关系”成立的可能性越大。
选修 4— 5 不等式选讲
一、不等式和绝对值不等式
1．不等式的性质：
（
1）大小关系与不等关系：
a b
a
b 0
a b
a b 0
a b
a b
0
（ 2）不等式的基本性质：
①
对称性：
a
②
传递性：
a
③
可加性：若
a
④
可乘性：若
a
b
b,b
b
a
c
a
c
b
，则
a
c
b
c
b, c
0
，则
ac
bc
；若
a
b, c
0
，则
ac bc
2)
⑤ 乘方：若
a
b
0
，则
a
n
b
n
(n N , n
n
⑥ 开方：若
a
b
0
，则
n
a
b (n
N , n
2)
1
b
1
b
；若
a
⑦ 倒数：若
a b 0
，则
0
1
b 0
，则
1
a
1
b
即：若
ab 0, a b
，则
2.
基本不等式：
1
a
a
0
；
（ 1）两个正数的基本不等式：
定理：如果
a,b
0
，那么
a
b
2
ab
，当且仅当
a b
时取等号。
a
可表述为：两个正数的算术平均数（
重要公式：
b
2
）不小于它们的几何平均数（
ab
）
a
2
b
2
变形：
ab
2ab
a
a b
b
2
2
2
ab (a,b
R )
当且仅当
a b
时取等号
2
ab
(
a
b
)
2
2
57
当且仅当
a b
时取等号
高中数学必备
(必须理解与记忆
)知识点归纳
（
2）三个正数的基本不等式：
定理：如果
a,b,c
R
，那么
a
bc
3
3
abc
，当且仅当
a
b
c
时取等号。
3
可表述为：三个正数的算术平均数（
abc
）不小于它们的几何平均数（
abc
）
3
重要公式：
a
3
变形：
abc
b
3
c
3
3abc
a
3
a
b
c 3
abc (a, b, c
R )
abc
2
当且仅当
a
b c
时取等号
b
c
3
33
(
a
b
c
)
3
当且仅当
a
3
b c
时取等号
（ 3）
n
个正数的基本不等式：
如果
a
1
,
a
2
,
, a
n
R
，那么
aa
1
n
a
n
n
a a
a
，当且仅当
a
1
a
2
2
a
n
时取等号。
可表述为：
n
个正数的算术平均数（
a
1
a
2
a
n
1
n
）不小于它们的几何平均数（
n
a
1
a
2
a
n
）
n
说明：（
1）在利用上述基本不等式时注意使用条件和取等条件；
（
2）在利用上述基本不等式求最值时注意：一正，二定，三相等；
（
3）技巧：拆项凑积为常数；变指数，配系数凑和为常数。
3．绝对值三角不等式
定理 1：如果
a,b
是实数，则 |
a
b
|
≤
|
a
|+|
b
|,
当且仅当
ab
≥0
时，等号成立。
a
，
b
不共线时，
|
a
+
b
|
≤
|
a
|+|
b
|
，它的几何意
说明： 绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当
义就是三角形的两边之和大于第三边。
结论：
|a|-|b|
≤|a ± b| ≤ |a|+|b|
说明： 不等式 |a|-|b|
不等式 |a|-|b|
≤ |a ± b| ≤ |a|+|b|
中“ =”成立的条件分别是：
≤ |a+b| ≤|a|+|b| ，右侧“ =”成立的条件是
ab≥
0，左侧“ =”成立的条件是
ab≤ 0
且 |a| ≥
|b|;
不等式 |a|-|b|
≤ |a-b|
≤|a|+|b| ，右侧“ =”成立的条件是
ab≤ 0，左侧“
=”成立的条件是
ab≥ 0
且 |a| ≥ |b| 。
定理 2：如果 a,b,c
是实数，那么 |a-c|
≤ |a-b|+|b-c|,
当且仅当 (a-b)(b-c)
0
时，等号成立。
4．绝对值不等式的解法
（
1）含绝对值的不等式 |x| ＜ a 与 |x| ＞ a 的解集
不等式
a＞ 0
{x|-a
＜
x＜ a}
{x|x ＞ a 或 x＜ -a }
a=0
a＜ 0
|x| ＜ a
|x| ＞
a
{x|x ∈ R且 x≠ 0}
R
）
注： |x| 以及 |x-a|
± |x-b|
表示的几何意义（
|x| 表示数轴上的点
表示数轴上的点
x 到点 a,b 的距离之和（差）
x 到原点
O
的距离； | x-a | ± |x-b|
（ 2） |ax+b| ≤ c(c ＞0)
和 |ax+b| ≥ c(c ＞ 0) 型不等式的解法
① |ax+b|
≤ c
-c ≤ ax+b≤c;
58
高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳
②
|ax+b|
≥ c
ax+b ≥ c 或
ax+b≤-c.
≥c(c ＞ 0) 和 |x-a|+|x-b|
≤
c(c ＞ 0) 型不等式的解法
（ 3） |x-a|+|x-b|
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。
二、证明不等式的基本方法
1．比较法
（
1）作差比较法
① 理论依据： a＞ b
a-b ＞0;a ＜ b
a-b ＜0.
②
证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论。
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与
0 的大小关系。
（ 2）作商比较法
①
理论依据：若
a,b
0
；则
1
b
a
a
b
;
a
b
1
a
b
;
a
b
1
a
b
② 证明步骤：作商→变形→判断与
2．综合法
1
的大小关系→得出结论。
（ 1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，
经过一系列的推理、论证而得到命题
成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法
。
（ 2）思路：综合法的思索路线是“由因导果” ，也就是从一个（组）已知的不等式
出发，不断地用必要条件
代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。
3．分析法
（
1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成
立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等）
，从而得出要证的命题成立，这种
证明方法叫做分析法。
（ 2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”
，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不
等式，直到打到已知不等式为止。
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚。
当问题
比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表
达整个
证明过程。
4. 反证法
（ 1）定义：先假设要证
的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，
进行正确的推理，得到
和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明
假设不正确，从而证明
原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
（ 2）思路：假设原命题不成立，即原命题的反
面成立，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，
进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证
明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，从而证
明原命题成立。
5．放缩法
（
1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的
59
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
目的，这种证明方法称为放缩法。
（ 2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键。
三、柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式：
定理
1：（二维形式的柯西不等式）若
a, b,c, d R
则
(a
2
b
2
)(c
2
d
2
)
(ac
bd )
2
，当且仅当
ad bc
是取等号。
α， β 是两个向量，则
定理
2：（柯西不等式向量形式）设
| α | ·|β | ≥|α ·β | ，当且仅当
β 是零向量，或存在实数
定理 3：（二维形式的三角不等式）设
k
使
α
=
k
β
是等号成立。
x
1
, y
1
,
x
2
, y
2
R
，则有
x
1
2
a
i
y
1
2
x
2
2
y
2
2
( x
1
x
2
)
2
( y
1
y
2
)
2
2.
n
维形式的柯西不等式（柯西不等式的推广）：
定理：若
,
b
i
R i
(
1,2, ,
)
n
n
，则
n
2
b
i
n
2
a
i
i 1
(
a
i
b
i
)
2
；
i
1
i 1
当且仅当
b
i
0(i 1,2,
, n)
或存在一个实数
k
，使得
a
i
kb
i
(i 1,2,
,n)
时等号成立。
选修 4—1
几何证明选讲
一、相似三角形的判断及有关性质：
1. 平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
2. 平分线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
3. 相似三角形的判定及性质
（ 1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个
三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做
相似比（或相似系数） 。
（ 2）判断方法：
①两角对应相等，两三角形相似；
②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
60
高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳
③三边对应成比例，两三角形相似。
（ 3）判定定理：
①预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形
相似。
判定定理 1：对于任意两个三角形，
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，
这两个三角形相似。简述为：
两角对应相等，两三角形相似
。
判定定理 2：对于任意两个三角形，
如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，
角相等，那么这两个三角形相似。简述为：
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
。
判定定理
3：对于任意两个三角形，
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，<
br>么这两个三角形相似。简述为：
三边对应成比例，两三角形相似。
② 引理 ：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线<
br>平行于三角形的第三边。
定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
定理： 如果
一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这
两个直角三角形
相似。
（ 4）相似三角形的性质：
①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对
应平分线的比都等于相似比；
②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
④相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。
4. 直角三角形的射影定理
（ 1）射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上
射影的比例中项；两直角边分别是它们在
斜边上射影与斜边的比例中项。
5.
直线与圆的位置关系
（ 1）圆周定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆
心角的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论
1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
推论
2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。
（ 2）圆内接四边形的性质与判定定理
61
那么
并且夹
那
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
定理 1：圆的内接四边形的对角互补。
定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
（ 3）圆的切线的性质及判定定理
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论
1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（ 4）弦切角的性质
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
（ 5）与圆有关的比例线段
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
。
选修 4— 4 坐标系与参数方程
一、极坐标
1. 极坐标系的概念：
在平面内取一个定点
O
，叫做 极点 ；自极点
O
引一条射线
Ox
叫做 极轴 ；再选定一个长度单位、一个
角度单位 ( 通常取弧度 )
及其正方向 ( 通常取逆时针方向 ) ，这样就建立了一个
极坐标系 。
2．点
M
的极坐标：
设
M
是平面内一点，极点
射线
OM
为终边的
O
与点
M
的距离
| OM |
叫做点
M
的极径 ，记为
；以极轴
Ox
为始边，
xOM
叫做点
M
的极角 ，记为
。有序数对
( , )
叫做点
M
的极坐标 ，记为
M( , )
.
说明：（ 1）极坐标
(
, )
与
( ,
2k )(k Z)
表示同一个点。极点
0,0
O
的坐标
(0, )(
R )
.
（
2）一般情况下
0
，
为任意实数，如果规定
2
，那么除极点外，
( ,
)
所表示
的点是惟一的。
（3）若
0
,
则
0
,
规定点
( , )
与点
( ,
)
关于极点对称，即
(
62
, )
与
(
,
)
表示同
高中数学必备 (必须理解与记忆
)知识点归纳
一点。
3．极坐标与直角坐标的互化：
设平面内任一点
①
M
的直角坐标为
(x, y)
，极坐标为
( , )
，则得到以下互化公式：
cos
, y
sin
y
x
2
②
x
2
y
2
,tan
(x 0)
x
4.
简单曲线的极坐标方程：
（ 1）圆的极坐标方程：
在极坐标系中，以极点为圆心，
在极坐标系中，以
在极坐标系中，以
r
为半径的圆的极坐标方程是
0)
为圆心，
r
；
C (a,0) (a
C
(a,
) ( a
2
a
为半径的圆的极坐标方程是
2acos
；
2asin
；
0)
为圆心，
a
为半径的圆的极坐标方程是
（
2）直线的极坐标方程：
在极坐标系中，
(
0)
表示以极点为起点的一条射线；
(R )
表示过极点的一条直线
.
在极坐标系中，过点
A( a,0)(a
二、参数方程
1．参数方程的概念：
0)
，且垂直于极轴的直线
l
的极坐标方程是
cos
a
.
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
x, y
都是某个变数
t
的函数
x
y
f (t),
g(t),
并且对于
t
的
每一个允许值，由这个方程所确定的点
M (x, y)
都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的
参数
方程，联系变数
x, y
的变数
t
叫做 参变数 ，简称 参数
。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做
普通方程
。
2. 简单曲线的参数方程：
（
1）直线的参数方程：
经过点
M
O
(x
o
, y
o
)
，倾斜角为
的直线
l
的参数方程可表示为
x
y
x
o
tcos ,
y
o
tsin .
（
t
为参数）
.
（ 2）圆的参数方程：
圆
( x a)
( y b)
22
r
的参数方程可表示为
2
x
a
r cos ,
(
为参数)
.
y
b
rsin .
63
高中数学必备
(必须理解与记忆
)知识点归纳
特别：圆
x
2
y
2
r
的参数方程可表示为
2
x
r cos
,
y
r sin .
( 为参数)
.
（ 3）椭圆的参数方程：
椭圆
x
2
a
2
y
1 (a b 0)
的参数方程可表示为
b
2
2
( 为参数 )
.
x
y
bsin .
acos
,
3. 参数方程与普通方程的互化：
选择参数，建立方程
普通方程
参数方程
消去参数，化简方程
说明：（
1）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
（
2）在参数方程与普通方程的互化中，必须使
x, y
的取值范围保持一致
.
64
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