关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

最全教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 06:07
tags:高中数学知识点

高中数学作业分层设计 期刊-上海高中数学xx个知识点


教师版2015高中数学必修+选修知识点归纳
引言
1.课程内容:
必修课程由5个模块组成:
必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂
函数)
必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3:算法初步、统计、概率。
必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角
恒等变换。
必修5:解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内 容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和
基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不
等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。
不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了 这些知
识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上
做过高的要求。
此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计
等内容。
选修课程有4个系列:
系列1:由2个模块组成。
选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及
其应用。
选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复
数、框图
系列2:由3个模块组成。
选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系的扩充
与复数
选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列,统计案
例。
系列3:由6个专题组成。
选修3—1:数学史选讲。
选修3—2:信息安全与密码。
选修3—3:球面上的几何。
选修3—4:对称与群。
选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。
选修3—6:三等分角与数域扩充。
系列4:由10个专题组成。
选修4—1:几何证明选讲。
选修4—2:矩阵与变换。
选修4—3:数列与差分。
选修4—4:坐标系与参数方程。
选修4—5:不等式选讲。
选修4—6:初等数论初步。
选修4—7:优选法与试验设计初步。
选修4—8:统筹法与图论初步。
选修4—9:风险与决策。
选修4—10:开关电路与布尔代数。
2.重难点及考点:
重点:函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,
立体几何,导数
难点:函数、圆锥曲线
高考相关考点:
⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充
要条件
⑵函数:映射与函数、 函数解析式与定义域、值域与最
值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指
数函数、对数与对 数函数、函数的应用

⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列
求和、数列的应用
⑷三角函数 :有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、
倍、半公式、求值、化简、证明、三角函
数的图象 与性质、三角函数的应用


⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、数量积
及其应用
则称集合A是集合B的真子集.记作:AB.
3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作:
?
.并规
⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式的证明、
定:空集合是任何集合的子集.
不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用
⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位置关系、
线性规划、圆、直线与圆的位置关系
⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥
曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用
4、 如果集合A中含有n个元素,则集合A有
2
个子
集,
2?1
个真子集.
§、集合间的基本运算
n
n
⑼直线、平面、简单几何体:空间直线、直线与平面、
平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量
⑽排列、组合和概率:排列、组合应用题、二项式定理
及其应用
⑾概率与统计:概率、分布列、期望、方差、抽样、正
态分布
⑿导数:导数的概念、求导、导数的应用
⒀复数:复数的概念与运算
必修1数学知识点
第一章:集合与函数概念
§、集合
1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体
叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集
合相等。
3、 常见集合: 正整数集合:
N
*

N
?
,整数集合:
Z

有理数集合:
Q
,实数集合:
R
.
4、集合的表示方法:列举法、描述法.
§、集合间的基本关系
1、 一般地,对 于两个集合A、B,如果集合A中任意
一个元素都是集合B中的元素,则称集合A是集合
B的子 集。记作
A?B
.
2、 如果集合
A?B
,但存在元素
x ?B
,且
x?A

1、 一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成的< br>集合,称为集合A与B的并集.记作:
A?B
.
2、 一般地,由属于集合A 且属于集合B的所有元素组
成的集合,称为A与B的交集.记作:
A?B
.
3、全集、补集
C
U
A?{x|x?U,且x?U}

§、函数的概念
1、 设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应
关系
f
,使对于集合A中的任意一个数
x
,在集
合B中都有惟一确定的数
f
?
x
?
和它对应,那么就

f:A?B
为集合 A到集合B的一个函数,记
作:
y?f
?
x
?
,x?A.
2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.
如果两个函数的定义域相同 ,并且对应关系完全一
致,则称这两个函数相等.
§、函数的表示法
1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法.
§、单调性与最大(小)值
1、注意函数单调性的证明方法:
(1)定义法:设
x
1
、x2
?[a,b],x
1
?x
2
那么
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是增函数;
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是减函数.
步骤:取值—作差—变形—定号—判断
格式:解:设
x
1
,x2
?
?
a,b
?

x
1
?x
2
,则:


f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
=…
(2)导数法:设函数
y?f(x)在某个区间内可导,
复合函数
y?f(g(x))
的导数和函数
y?f( u),u?g(x)
的导数间的关系为
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?


f
?
(x)?0
,则
f(x)
为增函数;

f
?
(x)?0
,则
f(x)
为减函数.
§、奇偶性
1、 一般地,如果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
x
,都有
f
?
?x
?
?f< br>?
x
?
,那么就称函数
f
?
x
?
为 偶
函数.偶函数图象关于
y
轴对称.
2、 一般地,如果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
x
,都有
f
?
?x
?
??f
?
x
?
,那么就称函数
f
?
x
?

奇函数.奇函数图象关于原点对称.
知识链接:函数与导数
1、函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义: < br>函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f( x)

P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率< br>f
?
(x
0
)
,相应的切线方
程是
y?y< br>0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
2、几种常见函数的导数

C
'
?0
;②
(x< br>n
)
'
?nx
n?1
; ③
(sinx)
'
?cosx
; ④
(cosx)
'
??sinx


(a
x
)
'
?a
x
lna
; ⑥
(e
x
)
'
?e
x
; ⑦
(log< br>1
a
x)
'
?
xlna
;⑧
(lnx)'
?
1
x

3、导数的运算法则
(1)
(u?v)
'
?u
'
?v
'
.
(2)
(uv)
'
?u
'
v?uv
'
.
(3)
(
u
'
'
uv?uv
'
v
)?
v
2
(v?0)
.
4、复合函数求导法则
y

x
的导数等于
y

u
的导数与
u

x
的导数的
乘积.
解题步骤:分层—层层求导—作积还原.
5、函数的极值
(1)极值定义:
极值是在
x
0
附 近所有的点,都有
f(x)

f(x
0
)
,则
f( x
0
)
是函数
f(x)
的极大值;
极值是在x
0
附近所有的点,都有
f(x)

f(x
0
)


f(x
0
)
是函数
f(x)
的极小 值.
(2)判别方法:
①如果在
x
0
附近的左侧
f'
(x)
>0,右侧
f
'
(x)
<0,

a?1

0?a?1




1
1
-4-2
0
-1

-4-2
0
-1


(1)定义域:R

(2)值域:(0,+∞)

(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
4在 R上是增函数 (4)在R上是减函数
(5)
x?0,a
x
?1
; (5)
x?0,0?a
x
?1
;
x?0,0?a
x
?1

x?0,a
x
?1

那么
f(x
0
)
是极大值;
②如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
<0,右侧
f
'
(x)
>0,
那么
f(x
0
)
是极小值.
6、求函数的最值
(1)求
y?f(x)

(a,b)
内的极值(极大或者极小值)
(2)将
y?f(x)
的各极值点与
f(a),f(b)
比较,其中


最大的一个为最大值,最小的一个为极小值。
注:极值是在局部对函数值进行比较(局 部性质);
最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。

第二章:基本初等函数(Ⅰ)
§、指数与指数幂的运算
1、 一般地,如果
x?a
,那么
x
叫做
a

n
次方根。
§、指数函数及其性质
1、记住图象:
y?a
?
a?0,a?1
?

x






2、性质:
y
y=a
x
01
o
x
a>1
n其中
n?1,n?N
?
.
2、 当
n
为奇数时,
n
a
n
?a


n
为偶数时,
n
a
n
?a
.
3、 我们规定:
n

a
m
?
m
a
n

?
a?0,m,n?N
*
,m?1
?

⑵< br>a
?n
?
1
a
n
?
n?0
?

4、 运算性质:

a
r
a
s
? a
r?s
?
a?0,r,s?Q
?


?
a
r
?
s
?a
rs
?
a?0,r,s?Q
?


?
ab
?
r
?a
r
b
r
?
a?0,b?0,r?Q
?
.

a?1

0?a?1


2.5
2.5
1.5
1.5

1
1
0. 5
0.5
-1
0
-1
-0.5
1
0
-0. 5
1
-1
-1
-1.5
-1.5

-2
-2
-2.5

-2.5


(1)定义域:(0,+∞)

(2)值域:R

(3)过定点(1,0),即x=1时,y=0
(4)在 (0,+∞)上(4)在(0,+∞)上
是增函数 是减函数
(5)
x?1,log
a
x?0
; (5)
x?1,log
a
x?0

0?x?1,log
a
x?0

0?x?1,log
a
x?0

§、对数与对数运算
1、 指数与对数互化式:
a
x
?N?x?log
a
N

2、对数恒等式:
a
log
a
N
?N
.
3、基本性质:
log
a
1?0

log
a
a?1
.
4、运算性质:当
a?0,a?1,M?0,N?0
时:
⑴< br>log
a
?
MN
?
?log
a
M?log< br>a
N


log
?
M
?
a
?
?
N
?
?
?log
a
M?log
a< br>N


log
n
a
M?nlog
a
M
. 5、换底公式:
log
a
b?
log
c
b
lo g

c
a
?
a?0,a?1,c?0,c?1,b?0
?
. < br>6、重要公式:
log
m
m
a
n
b?
nlog
a
b

7、倒数关系:
log
1
ab?
log
?
a?0,a?1,b?0,b?1
?
.
b
a
§2..、对数函数及其性质
1、记住图象:
y?log
ax
?
a?0,a?1
?


y

y=log
a
x

0
o
1
x

a>1
2、性质:


§、幂函数
1、几种幂函数的图象:


第三章:函数的应用
§、方程的根与函数的零点
1、方程
f
?
x
?
?0
有实根
< br>?
函数
y?f
?
x
?
的图象与
x
轴 有交点

?
函数
y?f
?
x
?
有零点.
2、 零点存在性定理:
如果函数
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断
的一条曲线,并且有
f
?
a
?
?f
?
b
?
?0
,那么函数
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
内有零点 ,即存在
c?
?
a,b
?

使得
f
?c
?
?0
,这个
c
也就是方程
f
?
x
?
?0
的根.
§、用二分法求方程的近似解
1、掌握二分法.
§、几类不同增长的函数模型
§、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法:先画散点图,再用适当的函
数拟合,最后检验.

必修2数学知识点
第一章:空间几何体
1、空间几何体的结构
⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体
有:圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并
且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些
面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面
与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。
2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点 向外散射形成的投影叫中心投影,中心
投影的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下
的投影 叫平行投影,平行投影的投影线是平行的。
3、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积;
S
侧面
?2
?
?r?l


⑵圆锥侧面积:
S
侧面
?
?
?r?l

⑶ 圆台侧面积:
S
侧面
?
?
?r?l?
?
?R?l< br>
⑷体积公式:
V
柱体
?S?h

V
1< br>锥体
?
3
S?h

V
1
台体
?< br>3
?
S

?S

?S

?S

?
h

⑸球的表面积和体积:
S
2
,V4

?4
?
R

?
3
?
R< br>3
.
第二章:点、直线、平面之间的位置关系
1、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么


这条直线在此平面内。
2、公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个
平面。
3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那
么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4、公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那
么这两个角相等或互补。
6、线线位置关系:平行、相交、异面。
7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、
直线和平面相交。
8、面面位置关系:平行、相交。
9、线面平行:
⑴判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,
则该直线与此平面平行(简称线线平行,则线面平行)。
⑵性质:一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的
任一平面与此平面的交线与该直线平行(简称线面
平行,则线线平行)。
10、面面平行:
⑴判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平
行,则这两个 平面平行(简称线面平行,则面面平行)。
⑵性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,
那么它们的交线平行(简称面面平行,则线线平行)。
11、线面垂直:
⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直
线,那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂
直,则该直线与此平面垂直(简称线线垂直 ,则线
面垂直)。
⑶性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直:
⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二
面角,就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这
两个平面垂直(简称线面垂直,则面面垂直)。
⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交
线的直线垂直于另一个平面。(简称面面垂 直,则
线面垂直)。
第三章:直线与方程
1、倾斜角与斜率:
k?tan
?
?
y
2
?y
1
x?x

21
2、直线方程:
⑴点斜式:
y?y
0
?k
?
x?x
0
?

⑵斜截式:
y?kx?b

⑶两点式:
y?y
1
y
2
?y
x?x
?
1

1
x
2
?x
1
⑷截距式:
x
a
?
y
b
?1

⑸一般式:
Ax?By?C?0


3、对于直线:
l< br>1
:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y?k2
x?b
2
有:

l?
?
?
k1
?k
2
1
l
2
?
b
1
?b

2

l
1

l
2
相交
?k
1
?k
2


l
1

l
2
重合
?
?
?
k
1
?k
2
?
b
1
?b

2

l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
4、对于直线:


l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0,
l
2
:A
2
x?B

2
y?C
2
?0
有:

l
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
1
l
2
?
?
?
B

1
C
2
?B
2
C< br>1

l
1

l
2
相交
?A
1
B
2
?A
2
B
1


lA
1
B
2
?A
2
B
1
1
和< br>l
2
重合
?
?
?
B

?
B
1
C
2
?
2
C
1

l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B< br>2
?0
.

5、两点间距离公式:
P
2
1
P
2
?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?

6、点到直线距离公式:
d?
Ax
0
?By
0
? C
A
2
?B
2

7、两平行线间的距离公式:
l
1

Ax?By?C
1
?0

l
2

Ax?By?C
2
?0
平行,

d?
C
1
?C
2
A
2
?B
2

第四章:圆与方程
1、圆的方程:
⑴标准方程:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2

其中圆心为
(a,b)
,半径为
r
.
⑵一般方程:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
.
其中圆心为
(?
D
2
,?
E
2
)
,半径为
r?
1
2
2
D?E
2
?4F
.< br>2、直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)< br>2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
弦长公式:
l?2r
2
?d
2

?1?k
2
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2

3、两圆位置关系:
d?O
1
O
2

⑴外离:
d?R?r

⑵外切:
d?R?r

⑶相交:
R?r?d?R?r

⑷内切:
d?R?r

⑸内含:
d?R?r
.
3、空间中两点间距离公式:
P
22
1
P
2
?
?
x
2
?x
1?
?
?
y
2
?y
1
?
?
?< br>z
2
?z
1
?
2


必修3数学知识点
第一章:算法
1、算法三种语言:
自然语言、流程图、程序语言;
2、流程图中的图框:
起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等
规范表示方法;
3、算法的三种基本结构:
顺序结构、条件结构、循环结构
?
?
当型循环结构
?
直到型循环结构

⑴顺序结构示意图:



语句n
语句n+1
(图1)


⑵条件结构示意图:
①IF-THEN-ELSE格式:







(图2)
②IF- THEN格式:




(图3)
⑶循环结构示意图:
①当型(WHILE型)循环结构示意图:







(图4)
②直到型(UNTIL型)循环结构示意图:








(图5)
4、基本算法语句:
①输入语句的一般格式:INPUT“提示内容”;变量
②输出语句的一般格式:PRINT“提示内容”;表达式

满足条件
语句

③赋值语句的一般格式:变量=表达式
(“=”有时也用“←”).
④条件语句的一般格式有两种:

满足条件


语句2
IF—THEN—ELSE语句的一般格式为:
语句1
IF 条件 THEN

条件IF THEN

语句1
语句

ELSE
END IF
(图3)

语句2



END IF
(图2)

IF—THEN语句的一般格式为:





⑤循环语句的一般格式是两种:
(图
4)

WHILE 条件
循环体
WEND

当型循环(WHILE)语句的一般格式:
循环体

直到型循环(UNTIL)语句的一般格式:
满足条件






⑹算法案例:
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
(图
5)

①辗转相除法—结果是以相除余数为0而得到
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:
循环体


满足条件

ⅰ):用较大的数m除以较 小的数n得到一个商
S
0

一个余数
R
0
ⅱ):若
R
0
=0,则n为m,n的最大公约数;若
R
0

0,则用除数n除以余数
R
0
得到一个商
S
1
和一个余数
R
1

ⅲ):若
R
1
=0,则
R
1
为m,n的最大公约数;若
R
1

0,则用除数R
0
除以余数
R
1
得到一个商
S
2
和 一个余数
R
2
;……
依次计算直至
R
n
=0,此 时所得到的
R
n?1
即为所求
的最大公约数。


②更相减损术—结果是以减数与差相等而得到
利用更相减损术求最大公约数的步骤如下:
ⅰ):任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。
若是,用2约简;若不是,执行第二步。
ⅱ):以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与
所得的差比较,并以大数减小数。继续这个 操作,直到
所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大
公约数。
③进位制
十进制数化为k进制数—除k取余法
k进制数化为十进制数
第二章:统计
1、抽样方法:
①简单随机抽样(总体个数较少)
②系统抽样(总体个数较多)
③分层抽样(总体中差异明显)
注意:在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本,
每个个体被抽到的机会(概率)均为
n
N

2、总体分布的估计:
⑴一表二图:
①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图:
①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据的
分布,以及中位数、众位数等。
②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大书
写,相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计:
⑴平均数:
x?
x
1
?x
2
?x
3
???x
n
n

取值为
x< br>1
,x
2
,?,x
n
的频率分别为
p
1,p
2
,?,p
n
,则其平
均数为
x
1
p
1
?x
2
p
2
???x
n
p
n

注意:频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差:一组样本数据< br>x
1
,x
2
,?,x
n

方差:
s
2
?
1
n
?
n
2
(x
i
?x)

i?1
2
标准差:
s?
1
n
?
n
(x
i
?x)

i?1
注:方差与标准差越小,说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平;方差与标准差反映数据的稳
定水平。
⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系;
②制作散点图,判断线性相关关系
③线性回归方程:
y
?
?bx?a
(最小二乘法)
?n
?
?
?
x
i
y
i
?nxy
?
i
?
b?
?1
n
?
?
x
2i
?nx
2

?
i?1
?
?
a?y? bx
注意:线性回归直线经过定点
(x,y)

第三章:概率
1、随机事件及其概率:
⑴事件:试验的每一种可能的结果,用大写英文字母表
示;
⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点;
⑶随机事件A的概率:
P(A)?m
n
,0?P(A)?1
.
2、古典概型:
⑴基本事件:一次试验中可能出现的每一个基本结果;
⑵古典概型的特点:


①所有的基本事件只有有限个;
②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式:一次试验的等可能基本事件
共有n个,事件A包含了其中的m个基本事件,则 事件
A发生的概率
P(A)?
m
n
.
3、几何概型:
⑴几何概型的特点:
①所有的基本事件是无限个;
②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式:
P(A)?
d的测度
D的测度

其中测度根据题目确定,一般为线段、角度、面积、体
积等。
4、互斥事件:
⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件;
⑵如果事件
A
1
,A
2
,?,A
n
任意两个都是互斥事件,则称
事件
A
1
,A
2
,?,A
n
彼此互斥。
⑶如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生的概率,等
于事件A,B发生的概率的和,
即:
P(A?B)?P(A)?P(B)

⑷如果事件
A
1
,A
2
,?,A
n
彼此互斥,则有:
P(A
1< br>?A
2
???A
n
)?P(A
1
)?P(A
2
)???P(A
n
)

⑸对立事件:两个互斥事件中必有一个要发生,则称这
两个事件为对立事件。
①事件
A
的对立事件记作
A

P(A)?P(A)?1,P(A)?1?P(A)

②对立事件一定是互斥事件,互斥事件未必是对立事
件。
必修4数学知识点
第一章:三角函数
§、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角
?
终边相同的角的集合:

?
???
?
?2k
?
,k?Z
?
.
§、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的
角.
2、
?
?
l
r
.
3、弧长公式:
l?
n?
R
180
?
?
R
.
S?
n
?
R
2
4、扇形面积公式:
360
?
1
2
lR
.
§、任意角的三角函数
1、 设
?
是一个任意角,它的 终边与单位圆交于点
P
?
x,y
?
,那么:
sin
?
?y,cos
?
?x,tan
?
?
y
x

2、 设点
A
?
x,y
?
为角
?
终边上任 意一点,那么:(设
r?x
2
?y
2


sin
?
?
y
r

cos
?
?
x
r

tan
?
?
y
x

cot
?
?
x
y

3、
sin
?

cos
?

tan
?
y
P
T
在四个象限的 符号和
O
M
A
x
三角函数线的画法.

正弦线:MP;
余弦线:OM;
正切线:AT
5、 特殊角0°,30°,45°,60°,
90°,180°,270等的三角函数值.
?

0
?
?
?
?
6

4

??
3

2

2
3

3
4

?

3
?
2

2
?


sin
?


cos
?


tan
?


§、同角三角函数的基本关系式
1、 平方关系:
s in
2
?
?cos
2
?
?1
.
2、 商 数关系:
tan
?
?
sin
?
cos
?
.
3、 倒数关系:
tan
?
cot
?
?1

§、三角函数的诱导公式
(概括为“奇变偶不变,符号看象限”
k?Z

1、 诱导公式一:
sin
?
?
?2k
?
??sin
?
,
cos
?
?
?2k
?
?
?cos
?
,
(其中:
k?Z

tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
.
2、 诱导公式二:
sin
?
?
?
?
?
??sin?
,

cos
?
?
?
?
???cos
?
,

tan
?
?
?
?< br>?
?tan
?
.
3、诱导公式三:
sin
?
?
?
?
??sin
?
,

cos
?
?
?
?
?cos
?
,

tan
?
?
?
?
??tan
?
.
4、诱导公式四:
sin
?
?
?
?
?
?sin< br>?
,

cos
?
?
?
?
?< br>??cos
?
,

tan
?
?
?
?
?
??tan
?
.
§、正切函数的图象与性质

1、记住正切函数的图象:
5、诱导公式五:
sin
?
?
?
?
?
?
?
?cos
?
,

?
2
?
cos
?
?
?
?
2
?< br>?
?

?
?
?sin
?
.
6、诱导公式六:
sin?
?
?
?
?
?
?
?

?
2
?
cos
?
,

cos
?< br>?
?
?
2
?
?
?
?
?
?? sin
?
.
§、正弦、余弦函数的图象和性质
1、记住正弦、余弦函数图象:
y


y=sinx

-5
?
-
?
3
?
7
?

2
2
1
2
-4
?
-7
?
-3
?< br>-2
?
-3
?
-
?
?
2
?
5
?3
?
4
?
x

?
2
2
-1
o
2
2
2


y=cosx
y

7
?
-3
-5
?
?
-
?
-
?
2
1
3
?
?
2
3
?
2

2
-4
?
-7
?< br>-2
?
-3
?
2
?5
?
4
?
x

2
2
-1
o
?
2
2
2、能 够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定
义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇
偶性、单调性、周期性.
3、会用五点法作图.
y?sinx

x?[0,2
?
]
上的五个关键点为: < br>(0,0)(,
?
2
,1)(,
?
,0)(,
3?
2
,-1)(,2
?
,0).

y
y=ta nx
-
3
?
2
-
?
-
?
?
?
x
2
o
?
3
2
2


2、记住余切函数的图象:


y
y=cotx
-
?< br>-
?
2
o
?
2
?
3
?
2< br>2
?
x
3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、 奇偶性、单调性、周期性.

周期函数定义:对于函数
f
?
x?
,如果存在一个非零常数T,使得当
x
取定义域内的每一个值时,都有
f
?
x?T
?
?f
?
x
?
,那么函数f
?
x
?
就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y?sinx

y?cosx

y?tanx


图象

定义域
值域
x?2k
?
?

R

[-1,1]
?
2
R

[-1,1]

{x|x?
?
2
?k
?
,k?Z}

R





,k?Z时,y
max
?1
最值
x?2k
?
?
?
2

,k?Z时,y
mi n
??1
x?2k
?
,k?Z时,y
max
?1
x ?2k
?
?
?
,k?Z时,y
min
??1
周期性
奇偶性
T?2
?


T?2
?


T?
?



[2k
?
?
?
,2k
?
?
?
]
上单调递增

[2k
?
?
?
,2k
?
]
上单调递增
单调性
22
?
3
?
k?Z


[2k
?
?,2k
?
?]
上单调递减

[2k
?
,2k
?
?
?
]
上单调递减
22

(k
?
?
?
,k
?
??
)
上单调递增
22
对称性
对称轴方程:
x?k
?
?
?
2

对称轴方程:
x?k
?

对称中心
(k
?
?
无对称轴
对称中心
(
k?Z

对称中心
(k
?
,0)

?
2
,0)

k
?
2
,0)
< /p>


§、函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
的图象
1、对于函数:
平移
|B|
个单位
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B

(上加下减)
3、三角函数的周期,对称轴和对称中心
y?Asin
?< br>?
x?
?
?
?B
?
A?0,
?
?0
?
有:振幅A,周

T?
2
?
,初相
?< br>,相位
?
x?
?
,频率
f?
1
T
?
2
?
?
.
?
2、能够讲出函数
y?sinx
的图象与
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B
的图象之间的平移伸缩变
换关系 .
① 先平移后伸缩:
y?sinx
平移
|
?
|
个单位
y?sin
?
x?
?
?

(左加右减)
横坐标不变
y?Asin
?
x?
?
?

纵坐标变为原来的A倍
纵坐标不变
y?Asin
?
?
x?
?
?

横坐标变为原来的
|
1
?
|

平移
|B|
个单位
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B

(上加下减)

② 先伸缩后平移:
y?sinx
横坐标不变
y?Asinx

纵坐标变为原来的A倍
纵坐标不变
y?Asin
?
x

横坐标变为原来的
|
1
?
|

平移
?
个单位
y?Asin
?
?
?
x?
?
?

(左加右减)
函数
y?sin(
?
x?
?
),x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)

x ∈R(A,
?
,
?
为常数,且A≠0)的周期
T?
2
?
|
?
|
;函

y?tan(
?
x?< br>?
)

x?k
?
?
?
2
,k?Z< br>(A,ω,
?

常数,且A≠0)的周期
T?
?
|< br>?
|
.
对于
y?Asin(
?
x?
?)

y?Acos(
?
x?
?
)

说 ,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系.
求函数
y?Asin(
?
x?
?
)
图像的对称轴与对称中心,
只需令
?
x?
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)

?
x?
?
?k
?
(k?Z)

解出
x
即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征:
A?
y
max< br>?y
min
2

B?
y
max
?y
min
2
.
?
要根据周期来求,
?
要用图像的关键点来求.
§、三角函数模型的简单应用
1、 要求熟悉课本例题.

第三章、三角恒等变换
§、两角差的余弦公式
记住15°的三角函数值:
?

sin
?

cos
?

tan
?

?
12

6?2

6?2
44

2?3

§、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?< br>sin
?


2、
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?< br>sin
?

3、
cos
?
?
?
?< br>?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin< br>?

4、
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

5、
tan
?
?
?
?
?
?
t an
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
.
6、
tan
?
?
?
?
?
?
t an
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
.
§、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、
sin2
?
?2sin
?
cos
?

变形:
sin
?
cos
?
?
1
2
sin2
?
.
2、
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?

?2cos
2
?
?1

?1?2sin
2
?
.
变形如下:
2
升 幂公式:
?
?
?
1?cos2
?
?2cos
?cos2
?
?2sin
?

?
?
1?
2
?
降幂公式:
?
cos
2
?
?
1
?
2
(1?cos2
?
)

?
?
sin
2
?
?
1
2
(1?cos2
?
)
3、
tan2
?
?
2tan
?
.
1?tan2
?
4、
tan
?
?
sin2
?
1? cos2
?
1?cos2
?
?
sin2
?

§、简单的三角恒等变换
1、 注意正切化弦、平方降次.
2、辅助角公式 y?asinx?bcosx?a
2
?b
2
sin(x?
?)

(其中辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限 决
定,
tan
?
?
b
a
).
第二章:平面向量
§、向量的物理背景与概念
1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度.
2、 既有大小又有方向的量叫做向量.
§、向量的几何表示
1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三
个要素:起点、方向、长度.
2、 向量AB
的大小,也就是向量
AB
的长度(或称
模),记作
u
AB
uur
;长度为零的向量叫做零向量;长
度等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共
线向量).规定:零向量与任意向量平行.
§、相等向量与共线向量
1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§、向量加法运算及其几何意义
1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.






2、
a?b

a?b
.
§、向量减法运算及其几何意义
1、 与
a
长度相等方向相反的向量叫做
a
的相反向量.
2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.






§、向量数乘运算及其几何意义
1、 规定:实数
?
与向量a
的积是一个向量,这种运


算叫做向量的数乘.记作:
?
a
,它的长度和方向
规定如下:

?
a?
?
a
,
⑵当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向 相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反.
2、 平面向量共线定理:向量
a
?
a?0
?

b
共线,当
且仅当有唯一一个实数
?
,使
b?
?
a
.
§、平面向量基本定理
1、 平面向量基本定理:如果
e
1
,e< br>2
是同一平面内的两
个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量
a

有且只有一对实数
?
1
,
?
2
,使
a?< br>?
1
e
1
?
?
2
e
2
.
§、平面向量的正交分解及坐标表示
1、
a?xi?yj?
?
x,y
?
.
§、平面向量的坐标运算
1、 设
a?
?
x
1
,y
1
?
, b?
?
x
2
,y
2
?
,则:

a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
? y
2
?


a?b?
?
x
1
? x
2
,y
1
?y
2
?


?< br>a?
?
?
x
1
,
?
y
1
?


ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
.
2、 设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,则:

AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
.
§、平面向量共线的坐标表示
1、设< br>A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,C
?
x
3
,y< br>3
?
,则
⑴线段AB中点坐标为
?
x
1
? x
2
,
y
1
?y
2
22
?
, < br>⑵△ABC的重心坐标为
?
x
1
?x
2
?x
31
?y
2
?y
3
3
,
y
3
?< br>.
§、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、
a?b?abcos
?
.
2、
a

b
方向上的投影为:
acos
?
.
3、
a
2
?a
2
.
4、
a?a
2
.
5、
a?b?a?b?0
.
§、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、 设
a?
?
x1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则:

a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2


a?x
2
1
?y
2
1

r
a?
r
b?
r
a?
r
b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0


r
a
r
b?
r
a?
?
r
b?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

2、 设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?x
2
,y
2
?
,则:
AB?
?
x< br>2
?x
1
?
2
?
?
y
2
? y
1
?
2
.
3、 两向量的夹角公式
r

cos
?
?
a
r
?
r
b
x
1
x
2
?y
1
y
2
a
r
b?
x
2
?y
222

11
?x
2
?y
2
4、点的平移公式
平移 前的点为
P(x,y)
(原坐标),平移后的对应点

P
?
(x
?
,y
?
)
(新坐标),平移向量为
u
PP< br>uur
?
?(h,k)


?
?
x
?
?x?h
?
y
?
?y?k.

函数
y?f(x)
的图像按向量
r
a?(h,k)
平移后的
图像的解析 式为
y?k?f(x?h).

§、平面几何中的向量方法
§、向量在物理中的应用举例



知识链接:空间向量
空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.
⑴线线平行
rr
b
,则要证明
l
1
∥ 设直线
l
1
,l
2
的方向向量分别是
a、
rr
rr
下面对空间 向量在立体几何中证明,求值的应用进行
总结归纳.
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴.直线的方向向量:
若A、B是直线
l
上的任意两点,则
u
AB
uur
为直线
l

一个方向向量;与
uAB
uur
平行的任意非零向量也是直线
l
的方向向量.
⑵.平面的法向量:
若向量
r
n
所在直线垂直于平面
?
,则称这个向量
垂直于平面
?
,记作
r
n?
?< br>,如果
r
n?
?
,那么向量
r
n
叫做平面< br>?
的法向量.
⑶.平面的法向量的求法(待定系数法):
①建立适当的坐标系.
②设平面
?
的法向量为
r
n?(x,y,z)

③求出平面内两个不共线向量的坐标
r
a?(aa
ur
1
,
2
,a
3
),b?(b
1
,b
2
,b
3< br>)

r
④根据法向量定义建立方程组
?
?
?
n?
r
a?0
?
rr
.
?
n?b?0
⑤解方程组,取其中一组解,即得平面
?
的法向量.

(如图)






2、 用向量方法判定空间中的平行关系
l
2
,只需证明
a

b
,即
a?kb(k?R)
.
即:两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
⑵线面平行
①(法一)设直线
l< br>的方向向量是
r
a
,平面
?
的法向
量是
u< br>r
,则要证明
l

?
,只需证明
r
a?u< br>r
,即
r
a?u
r
?0
.
即:直线与平面平行直线的方向向量与该平面
的法向量垂直且直线在平面外
②(法二 )要证明一条直线和一个平面平行,也可
以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线
向 量即可.
⑶面面平行
若平面
?
的法向量为
u
r
,平面
?
的法向量为
r
v
,要

?
?
,只需证
u
r

r
v
,即证
ur
?
?
r
v
.
即:两平面平行或重合两平面的法向量共线。
3、用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直
设直线
l
rr
1
,l
2
的方 向向量分别是
a、b
,则要证明
l?l
r
a?b
r
,即
r
a?
r
12
,只需证明
b?0
.
即:两直线垂直两直线的方向向量垂直。
⑵线面垂直
①(法一)设直线
l
的方向向量是
r
a
,平面
?
的法向
量是
u
r
,则要证明
l?
?
,只需证明
r
a
∥< br>u
r
,即
r
a?
?
u
r
.
②(法二)设直线
l
的方向向量是
r
a
,平面
?
内的两
个相交向量分别为
u
m
r

uu
n
r
,若
?
?
r
?
a
ur
?
r?m
?
r
?0
n?0
,则l?
?
.

?
a
即:直线与平面垂直直线的方向向量与平面的
法向量共线直线的方向向量 与平面内两条不共线


直线的方向向量都垂直。
⑶面面垂直
若平面
?
的法向量为
u
r
,平面
?
的 法向量为
r
v
,要

?
?
?
,只需证u
r
?
r
v
,即证
u
r
?
r
v?0
.
即:两平面垂直两平面的法向量垂直。
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知
a,b
为两异 面直线,A,C与B,D分别是
a,b

的任意两点,
a,b
所成的 角为
?

uuuruuur

cos
?
?< br>AC
u
AC
uur
?BD
u
BD
uur.

⑵求直线和平面所成的角
①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成
的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
② 求法:设直线
l
的方向向量为
r
a
,平面
?
的法向 量

u
r
,直线与平面所成的角为
?

r
a

u
r
的夹角为
?


?

?
的余角或
?
的补角
的余角.即有:
rr
sin
?
?cos
?
?a
r
?u
au
.

⑶求二面角
①定义:平面 内的一条直线把平面分为两个部分,
其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个
半平面 所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面
角的棱,每个半平面叫做二面角的面
二面角的平 面角是指在二面角
?
?l?
?
的棱上
任取一点O,分别在两个半平面 内作射线
AO?l,BO?l
,则
?AOB
为二面角
?
?l ?
?
的平
面角.
如图:

A
B

l


O
O


A
B


②求法:设二面角
?
?l?
?
的两个半平面的法向量分别为
u
m
r

r
n
,再设
u
m
r

r
n
的夹角为
?
,二面角
??l?
?
的平面角为
?
,则二面角
?

um
r

r
n
的夹角
?
或其补角
??
?
.

根据具体图形确定
?
是锐角或是钝角: u
◆如果
?
是锐角,则
cos
?
?cos
?< br>?
m
r
u
?
r
n
m
rr
n

ur

?
?arccos
m
u
mr
?
r
n
r
n

u
◆ 如果
?
是钝角,则
cos
?
??cos
?
??
mr
u
?
r
n
m
rr
n

?
u

?
?arccos
?
m
r
?
r
n
?
?
?
urr
?
?
mn
?
.
?
5、利用法向量求空间距离
⑴点Q到直线
l
距离
若Q为直线
l
外的一点,
P
在直线
l
上,
a
r
为直线
l

方向向量,
b
r
=
u
PQ
uur
,则点Q到直线
l
距离为
h?
1
|a
r< br>|
(|a
r
||b
r
|)
2
?(a
r
?b
r
)
2

⑵点A到平面
?
的距离
若点
P
为平面
?
外一点,点
M
为平面
?< br>内任一点,
平面
?
的法向量为
r
n
,则P到平面< br>?
的距离就等于
u
MP
uur
在法向量
r
n
方向上的投影的绝对值.

d?
u
MP
uur
cos
r
n
u
,
u
MP
uur


?
u
ruuur
MP
uur
?
n
r
?MP
n
u
MP
uur

ru
?
n?MP
uur
r
n


⑶直线
a
与平面
?
之间的距离
当一条 直线和一个平面平行时,直线上的各点到平
面的距离相等。由此可知,直线到平面的距离可转化
为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离。
PO?
?
,O?
?< br>?
?
推理模式:
PAI
?
?A
?
?a?AO

a?
?
,a?AP
?
?
概括为:垂直于斜线就垂直于射影.


r

d?
n?
u
MP
uur
r
n
.


⑷两平行平面
?
,
?
之间的距离
利用两平 行平面间的距离处处相等,可将两平行平
面间的距离转化为求点面距离。
ruuur


d?
n?MP
r
n
.

⑸异面直线间的距离
设向量
r
n
与两异面直线
a,b
都垂直,
M?a,P?b,
则两异面直线
a,b
间的距离
d
就是
u
MP
uur
在向量
r
n
方向
上投影的绝对值。
r


d?
n?
u
MP
uur
r
n
.

6、三垂线定理及其逆定理
⑴三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个
平面 的一条斜线的
P
射影垂直,那么它
也和这条斜线垂直
O
推理模式:
A
a
PO?
?
,O?
?
?
?
PA I
?
?A
?
?
?a?PA
a?
?
,a?O A
?
?

概括为:垂直于射影就垂直于斜线.
⑵三垂线定理的逆定 理:在平面内的一条直线,如果
和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的
射影垂直
7、三余弦定理
设AC是平面
?
内的任一条直线,AD是
?
的一条
斜线AB在
?
内的射影,且BD⊥AD,垂足为D.设AB与
? (AD)所成的角为
?
1
, AD与AC所成的角为
?
2
, AB
与AC所成的角为
?
. 则
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2.


B

A
?
1
?

?
2
D

?
C
8、 面积射影定理
已知 平面
?
内一个多边形的面积为
S
?
S

?
,它在
平面
?
内的射影图形的面积为
S
?
?
S
?
,平面
?
与平

?
所成的二面角的大小为 锐二面角
?
,则

cos
?
?
S
'
S

S
=
S
.


9、一个结论
长度为
l
的线段在三条两两互相垂直的直线上的 射
影长分别为
l
1
、l
2
、l
3
,夹角分 别为
?
1

?
2

?
3
,则有
l
2
?l
22
1
?l
2
2
?l< br>3
?cos
2
?
1
?cos
2
?
2
?cos
2
?
3
?1

?sin
2< br>?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
3
?2
.
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).

必修5数学知识点
第一章:解三角形
1、正弦定理:
a
sin A
?
b
sinB
?
c
sinC
?2R
.
(其中
R

?ABC
外接圆的半径)


?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC;

?s inA?
ab
2R
,sinB?
2R
,sinC?
c
2R
;

?a:b:c?sinA:sinB:sinC.

用途:⑴已知三角形两角和任一边,求其它元素;
⑵已知三角形两边和其中一边的对角,求其它
元素。

2、余弦定理:
?
?
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA,
?
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB,

?
?
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC.
?
?
cosA?
b
2
?c
2
?a
2
,
?
2bc
?
cosB?
a
2
?c
2
?b
2
?
,

?
2a c
?
a
2
?b
2
?c
2
?
?cosC?
2ab
.
用途:⑴已知三角形两边及其夹角,求其它元素;
⑵已知三角形三边,求其它元素。
做题中两个定理经常结合使用.
3、三角形面积公式:
S?
1
2
absinC?
1
2
bcsinA?
1
?ABC
2
acsinB

4、三角形内角和定理:
在△ABC中,有
A?B?C?
?
? C?
?
?(A?B)

?
C
?
A?B
2< br>?
2
?
2
?2C?2
?
?2(A?B)
.
5、一个常用结论:

?ABC
中,
a?b?sinA?sinB?A?B;


sin2A?sin2B,则A?B或A?B?
?
2
.
特别注意,
在三角函数中,
sinA?sinB?A?B
不成立。

第二章:数列
1、数列中
a
n

S
n
之间的关系:
a ?
?
?
S
1
,(n?1)
n
注意通项能否合并。
?
S
n
?S
n?1
,(n?2).
2、等差数列:
⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前
一项的差等于同一个常数,即
a< br>n

a
n?1
=d ,(n≥
2,n∈N
?
),
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等 差中项:若三数
a、A、b
成等差数列
?A?
a?b
2
< br>⑶通项公式:
a
n
?a
1
?(n?1)d?a
m?(n?m)d


a
n
?pn?q(p、q是常数).

⑷前
n
项和公式:
S
n
?
n?1
?n
?
a
1
?
n
?na
1
?
2
d?
a
n
?
2

⑸常用性质:
①若m?n?p?q??
?
m,n,p,q?N
?
?
,则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

②下 标为等差数列的项
?
a
k
,a
k?m
,a
k?2m
,?
?
,仍组成
等差数列;
③数列
?
?
a
n
?b
?

?
,b
为常数)仍为等差数列; < br>④若
{a
n
}

{b
n
}
是等差数 列,则
{ka
n
}

{ka
n
?pb
n< br>}
(
k

p
是非零常数)、
{a
p?nq< br>}(p,q?N
*
)
、,…也成
等差数列。
⑤单调性:
?
a
n
?
的公差为
d
,则:
ⅰ)
d?0?
?
a
n
?
为递增数列;
ⅱ)
d?0?
?
a
n
?
为递减数列;
ⅲ)
d?0?
?
a
n
?
为常数列;
⑥数 列{
a
n
}为等差数列
?a
n
?pn?q
(p,q 是常数)
⑦若等差数列
?
a
n
?
的前
n
项 和
S
n
,则
S
k

S
2k
?S< br>k



S
3k
?S
2k
… 是等差数列。
3、等比数列
⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前
一项的比等于同一 个常数,那么这个数列就叫做等
比数列。
⑵等比中项:若三数
a、G、b
成 等比数列
?G
2
?ab,

ab
同号)。反之不一定成立。
⑶通项公式:
a
n?1n?m
n
?a
1
q?am
q

⑷前
n
项和公式:
S
a
1?
1?q
n
?
1
?a
n
q
n
?
1?q
?
a
1?q

⑸常用性质
①若
m?n?p?q??
?
m,n,p,q?N
?
?
,则
am
?a
n
?a
p
?a
q


a
k
k
,a
k?m
,a
k?2m
,?
为 等比数列,公比为
q
(下标成
等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列< br>?
?
a
n
?

?
为不等于零的常数)仍是公 比为
q

等比数列;正项等比数列
?
a
n
?
;则
?
lga
n
?
是公差为
lgq
的等差数列;
④若
?
a
n
?
是等比数列,则
?
can
?

?
a
2
n
?


?
?
1
?
?


?
a
n
?
?
a
r
n
?
(r?Z)
是等比数列,公 比依次是
q,q
2

1
q
,q
r
.

⑤单调性:
a
1
?0,q?1或a
1
?0,0?q? 1
?
?
a
n
?
为递增数列;
a
1
?0,0?q?1或a
1
?0,q?1?
?
a
n
?
为递减数列;
q?1?
?
a
n
?
为常数列;
q?0?
?
a
n
?
为摆动数列;
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
,则
S
k< br>、
S
2k
?S
k

S
3k
?S2k
… 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ 观察法:已知数列前若干项,求该数列
的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从
而根 据规律写出此数列的一个通项。
类型Ⅱ 公式法:若已知数列的前
n
项和
S
n

a
n
的关系,求数列
?
a
n
?
的通项
a
n
可用公式
a?
S
1
,(n?1)
n
?
?
?
Sn
?S
n?1
,(n?2)
构造两式作差求解。
用此公式时要 注意结论有两种可能,一种是“一
分为二”,即分段式;另一种是“合二为一”,即
a
1

a
n
合为一个表达,(要先分
n?1

n?2
两种情况分别进
行运算,然后验证能否统一)。
类型Ⅲ 累加法:
形 如
a
n?1
?a
n
?f(n)
型的递推数列(其中
f(n)
是关
?
?
a
n
?a
n?1
?f( n?1)

n
的函数)可构造:
?
?
a
n?1< br>?a
n?2
?f(n?2)
?
...

?
?
a
2
?a
1
?f(1)
将上述
n?1
个式 子两边分别相加,可得:
a
n
?f(n?1)?f(n?2)?...f(2)?f( 1)?a
1
,(n?2)

①若
f(n)
是关于
n
的一次函数,累加后可转化为等差
数列求和;
② 若
f(n)
是关于
n
的指数函数,累加后可转化为等
比数列求和;
③若
f(n)
是关于
n
的二次函数,累加后可分组求和;
④若
f(n)
是关于
n
的分式函数,累加后可裂项求和.


类型Ⅳ 累乘法:
?
a
?
形如a
n?1
?a
n
?f(n)
?
n?1
?f(n )
?
型的递推数列(其
a
?
n
?
等比数列的通项公 式求出
?
a
n
?
?
?
q
?
?的通项整理可
p?1
?

a
n
.

?
a
n
法二:

a
n?1
?pa
n
?q

a
n
?pa
n?1
?q(n?2)
两式?
a
?f(n?1)
?
n?1
a
n?1
?a< br>n
?a
n?1
?p,

?
a
n?1
?a
n
?
构成以相减并整理得
?f(n?2)
?
a?ann?1

f(n)
是关于
n
的函数)可构造:
?a
n?2

?
?
...
?
?
a2
?
a
?f(1)
1
将上述
n?1
个式子两边 分别相乘,可得:
a
n
?f(n?1)?f(n?2)?...?f(2)f(1)a
1
,(n?2)

有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这
种方法求解。
类型Ⅴ 构造数列法:
㈠形如
a
n?1
?pa
n
?q
(其 中
p,q
均为常数且
p?0

型的递推式:
(1)若
p?1
时,数列{
a
n
}为等差数列;
(2)若
q?0
时,数列{
a
n
}为等比数列;
(3)若
p?1

q?0
时,数列{
a
n
}为线性 递推数列,
其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有
如下两种:

法一:

a
n?1
?
?
?p(a
n< br>?
?
)
,展开移项整理得
a
n?1
?pa
n
?(p?1)
?
,与题设
a
n?1
?pa
n
?q
比较系
数(待定系数法)得
?
?
q
p?1
, (p?0)?a
qq
n?1
?
p?1
?p(a
n
?
p?1
)
?a
q
p?1
p(a
q
?
q
?
n
??
n?1
?
p?1
)
,即?
?
a
n
?
p?1
?
构成
?

a
1
?
q
p?1
为首项,以
p
为公比的 等比数列.再利用
a
2
?a
1
为首项,以
p
为公比 的等比数列.求出
?
a
n?1
?a
n
?
的通项再转 化为类型Ⅲ(累加法)便可求

a
n
.

㈡形如
a
n?1
?pa
n
?f(n)
(p?1)
型的递推式:
⑴当
f(n)
为一次函数类型(即等差数列)时:
法一:

a
n
?An?B?p
?
a
n?1
?A(n?1)?B?

通过待定系数法确定
A、B
的值,转化成以
a
1< br>?A?B
为首项,以
p
为公比的等比数列
?
a
n?An?B
?
,再利
用等比数列的通项公式求出
?
a
n
?An?B
?
的通项整
理可得
a
n
.
< br>法二:

f(n)
的公差为
d
时,由递推式得:
a< br>n?1
?pa
n
?f(n)

a
n
?pa< br>n?1
?f(n?1)
两式相减
得:
a
n?1
?a< br>n
?p(a
n
?a
n?1
)?d
,令
bn
?a
n?1
?a
n
得:
b
n
?pb
n?1
?d
转化为类型Ⅴ㈠求出
b
n
,再用类型Ⅲ
(累加法)便可求出
a
n
.

⑵当
f(n)
为指数函数类型(即等比数列)时:
法一:

a
n
?
?
f(n)?p
?
a
n?1
?< br>?
f(n?1)
?
,通过
待定系数法确定
?
的值,转 化成以
a
1
?
?
f(1)
为首项,

p< br>为公比的等比数列
?
a
n
?
?
f(n)
?< br>,再利用等比数
列的通项公式求出
?
a
n
?
?
f(n)
?
的通项整理可得
a
n
.

法二:

f(n)
的公比为
q
时,由递推式得:
an?1
?pa
n
?f(n)
——①,
a
n
?p a
n?1
?f(n?1)
,两
边同时乘以
q

a< br>n
q?pqa
n?1
?qf(n?1)
——②,由
①②两式相 减得
a
n?1
?a
n
q?p(a
n
?qa
n?1
)
,即
a
n?1
?qa
n
a
?p< br>,在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
a
n
.

n
?qan?1
法三:
递推公式为
a
n
n?1
?pa
n
?q
(其中p,q均
为常数)或
a?pa
n
n?1n
?rq
(其中p,q, r均为常
数)时,要先在原递推公式两边同时除以
qn?1
,得:
a
n?1
q
n?1
?
p
q
?
a
n
1
q
n
?
q
,引入辅助 数列
?
b
n
?
(其中
b
a
n
q< br>n
),得:
b
n?1
?
p
n
?
q< br>b
n
?
1
q
再应用类型Ⅴ㈠的方
法解决。
⑶当
f(n)
为任意数列时,可用通法:

a(n)
两边同时除以
p
n?1
n?1
?pa
n
?f
可得 到
a
n?1
a
n
f(n)
a
n
p
n?1
?
p
n
?
p
n?1
,令
p
n
?b
f(n)
n
,则
b
n?1
?b
n< br>?
p
n?1

在转化为类型Ⅲ(累加法),求出
b
n
n
之后得
a
n
?pb
n
.

类型Ⅵ 对数变换法:
形如
a
q
n?1
?pa(p? 0,a
n
?0)
型的递推式:
在原递推式
a
q
n ?1
?pa
两边取对数得
lga
n?1
?qlga
n
?lgp
,令
b
n
?lga
n
得:
b
n ?1
?qb
n
?lgp
,化归为
a
n?1
?pa< br>n
?q
型,求出
b
n
之后得
a
b
n
?10
n
.
(注意:底数不一定要取10,可根据
题意选择)。
类型Ⅶ 倒数变换法:
形如
a
n?1
?a
n
?pa
n?1
a
n

p
为常数且
p?0
) 的递推
式:两边同除于
a
n?1
a
n
,转化为
11
a
??p
形式,
n
a
n?1
化归为
an?1
?pa
n
?q
型求出
1
的表达式,再求
a
a
n

n
还有形如
a
ma
n
n?1
?
的递推式,也可采用取倒数方
pa
n
?q
法转化成
1
a
?
m1
?
m
形式,化归为
a
n?1
?pa
n
?q
n?1
qa
n
p
型求 出
1
的表达式,再求
a
a
n
.
n

类型Ⅷ 形如
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
型的递推式:
用待定系数法,化为特殊数列
{a
n
?a
n?1
}
的形式
求解。方法为:设
a
n?2
?ka
n?1
?h(a< br>n?1
?ka
n
)
,比较
系数得
h?k?p,?hk ?q
,可解得
h、k
,于是
{a
n?1
?ka
n< br>}
是公比为
h
的等比数列,这样就化归为
a
n?1
? pa
n
?q
型。
总之,求数列通项公式可根据数列特点采用以上
不 同方法求解,对不能转化为以上方法求解的数列,
可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
a
n
.


5、非等差、等比数列前
n
项和公式的求法
⑴错位相减法
①若数 列
?
a
n
?
为等差数列,数列
?
b
n?
为等比数列,
则数列
?
a
n
?b
n
?
的求和就要采用此法.
②将数列
?
a
n
?b
n
?
的每一项分别乘以
?
b
n
?
的公比,
然 后在错位相减,进而可得到数列
?
a
n
?b
n
?
的 前
n

和.
此法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方
法.


⑵裂项相消法
如果一个数列
?
a
n
?,与首末两项等距的两项之和等于
首末两项之和,则可用把正着写与倒着写的两个和式
c< br>一般地,当数列的通项
a
n
?

(an?b
1
)(an?b
2
)
(a,b
1
,b
2
,c为常数 )
时,往往可将
a
n
变成两项的差,
采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项:

a
n
?
?
an?b
?
?
1
an?b
,通分整理后与原式相
2
比较,根 据对应项系数相等得
?
?
c
b?b
,从而可得
21
cc1
(an?b?b
=(?
1
).

1
)(an
2
)(b
2
?b
1
)an?b
1
an?b
2

常见的拆项公式有:

111
n(n?1)
?
n
?
n?1



1(2n?1)(2n?1)
?
1
2
(
1
2n?1
?
1
2n?1
);


1
a?b
?
1
a?b
(a?b);
< br>④
C
m?1
n
?C
mm
n?1
?C
n
;


n?n!?(n?1)!?n!.


⑶分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,
若将这类数列适当拆 开,可分为几个等差、等比或常
见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两
步:①找 通向项公式②由通项公式确定如何分组.

⑷倒序相加法
相加,就得到了一个常数 列的和,这种求和方法称为
倒序相加法。特征:
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?...

⑸记住常见数列的前
n
项和:

1?2?3?...?n?
n(n?1)
2
;


1?3?5?...?(2n?1)?n
2
;


1
2
?2
2
?3
2
?...?n
2
?< br>1
6
n(n?1)(2n?1).

第三章:不等式
§、不等关系与不等式
1、不等式的基本性质
①(对称性)
a?b?b?a

②(传递性)
a?b,b?c?a?c

③(可加性)
a?b?a?c?b?c

(同向可加性)
a
?
b
,
c
?
d
?
a
?
c
?
b
?
d

(异向可减性)
a
?
b
,
c
?
d
?
a
?
c
?
b
?
d

④(可积性)
a
?
b
,
c
?0?
ac
?
bc

a
?
b
,
c
?0?
ac
?
bc

⑤(同向正数可乘性)
a?b?0,c?d?0?ac?bd

(异向正数可 除性)
a?b?0,0?c?d?
a
c
?
b

d< br>⑥(平方法则)
a?b?0?a
n
?b
n
(n?N,且n?1 )

⑦(开方法则)
a?b?0?
n
a?
n
b(n ?N,且n?1)

⑧(倒数法则)
a?b?0?
1
a
?< br>111
b
;a?b?0?
a
?
b

2、几个重要不等式

a
2
?b
2
?2ab?
a,b?R
?
,(当且仅当
a?b
时取
?
号 ). 变形公式:
ab?
a
2
?b
2
2
.


a?b
②(基本不等式)
?ab

?
a ,b?R
?
?
,(当
2
且仅当
a?b
时取到等号) .
?
a,b?R
?
,(当且仅当
a?b
时取
?< br>号).
?
(即调和平均
?
几何平均
?
算术平均?
平方平均).
变形公式:
2
22
?
a?b< br>?
a?b
ab?
?
;

?
?
2< br>?
2
?
2
?
a?b
?
变形公式:
a?b?2ab

ab?
??
.

2
??
用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最
大),要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”.
(a?b)
2
a?b?.

2
22

③(三个正数的算术—几何平均不等式)
a?b?c
3
?
3
abc
(a、b、c?R
?
)
(当且仅当
a?b?c
时取到 等号).

a
2
?b
2
?c
2
?ab? bc?ca
?
a,b?R
?

(当且仅当
a?b?c
时取到等号).

a
3
? b
3
?c
3
?3abc(a?0,b?0,c?0)

(当且仅当
a?b?c
时取到等号).

若ab?0,则
ba
a
?
b
?2
(当仅当a=b时取等号)
若ab?0, 则
ba
a
?
b
??2
(当仅当a=b时取等号)

bb?ma?n
a
?
a?m
?1?
b?n
?a
b

其中
(a?b?0,m?0,n?0)

规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小.

当a?0时,x?a?x
2
?a
2
?x??a或x?a;

x?a?x
2
?a
2
??a?x?a.

⑨绝对值三角不等式
a?b?a?b?a?b.


3、几个著名不等式
①平均不等式:
2a?ba
2
?b
2
a
?1
?b
?1
?ab?
2
?
2

②幂平均不等式:
a
22
?...?a
2
1
2< br>1
?a
2n
?
n
(a
1
?a
2?...?a
n
).

③二维形式的三角不等式:
x
2
1
?y
222
1
?x
2
?y
2
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

(x
1
,y
1
,x
2
,y
2
?R).

④二维形式的柯西不等式:
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(a c?bd)
2
(a,b,c,d?R).
当且
仅当
ad?bc
时,等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式:
(a
222
1
?a
2
?a
3
)(b
2
1
?b
2
2< br>?b
2
3
)?(a
1
b
1
?a
2< br>2
b
2
?a
3
b
3
).
⑥一般形式 的柯西不等式:
(a
2
1
?a
2
2
?...?a
2
n
)(b
2
1
?b
2
2
?.. .?b
2
n
)

?(a
1
b
1
? a
2
b
2
?...?a
2
n
b
n
).

⑦向量形式的柯西不等式:

?
ur
,
u
?
r
是两个向量,则
?
ur
?
u
?
r
?
?
uru
?
r
,
当且仅当
u
?
r
是零向量,或存在实数
k
,使
?
ur
?k< br>?
ur
时,等号成
立.
⑧排序不等式(排序原理):
设< br>a
1
?a
2
?...?a
n
,b
1
?b
2
?...?b
n
为两组实
数.
c
1
,c
2
,...,c
n

b
1
,b
2,...,b
n
的任一排列,则


a
1
b
n
?a
2
b
n?1
?...?a
n
b
1
?a
1
c
1
?a
2
c
2
?... ?a
n
c
n

?a
1
b
1
?a< br>2
b
2
?...?a
n
b
n
.
(反 序和
?
乱序和
?
顺序和)
三求:求对应方程的根.
四画:画出对应函数的图象.
当且仅当
a
1
?a
2
?...?a
n

b
1
?b
2
?...?bn
时,反序
和等于顺序和.
⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数)
若定义在某区间上的函数
f(x)
,对于定义域中任
意两点
x
1< br>,x
2
(x
1
?x
2
),

f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(
2
)?
x
2
)
2
或f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)?
2
)

2
.
则称f(x)为凸(或凹)函数.
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、
分析法;
其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,
函数单调性法,数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法:
①舍去或加上一些项,如
(a?
1
)2
?
3
24
?(a?
1
2
)
2
;

②将分子或分母放大(缩小),如
1
k
2
?
1
k(k?1)
,

1
k
2
?
1
k(k?1)
,

(
22
2k
?
k?k
?)
1
k
?
2
k?k?1
,

1
k
?
2
k?k?1(k?N
*
,k?1)
等.
5、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0(或?0)

(a?0,??b
2
?4ac?0)
解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数.
二判:判断对应方程的根.
五解集:根据图象写出不等式的解集.
规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两
边.
6、高次不等式的解法:穿根法.
分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿
(奇穿偶切),结合原式不等号的方向,写出不等式的
解集.
7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
f(x)
g(x)
?0?f (x)?g(x)?0
f(x)
?
f(x)?g(x)?0

“?或?”
时同理)
g(x)
?0?
?
?
g( x)?0
规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解

f(x)?a(a?0)?
?
?
f(x)?0
?
f(x)?a
2



f(x)?a(a?0)?
?
?
f(x)?0
f(x)?a
?
2
?
f(x)?0

f(x)?g(x)?
?
?
g(x)?0

?
f(x)?0

?
?
?
f(x)?[g(x)]
2
?
g(x)?0
?
f(x)?0

f(x)?g(x)?
?
?
g(x)?0

?
?
f(x)?[g(x)]
2
?
f(x)?0

f(x)?g(x)?
?
?
g(x)?0

?
?< br>f(x)?g(x)
规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在
于从“小”的一 边分析求解.


9、指数不等式的解法:
⑴当
a?1
时,< br>a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)

⑵当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)

规律:根据指数函数的性质转化.
10、对数不等式的解法
⑴当
a?1
时,
?
f(x)?0
logf(x)?log
?
aa
g(x)?
?
g(x)?0

?
?
f(x)?g(x)
⑵当
0?a?1
时,
?
f(x)?0
logx)?logg(x)?
?
a
f(
a< br>?
g(x)?0.

?
?
f(x)?g(x)
规律:根据对数函数的性质转化.
11、含绝对值不等式的解法:
⑴定义法:
a?
?
?
a( a?0)
?
?a(a?0)
.

⑵平方法:
f(x)?g( x)?f
2
(x)?g
2
(x).

⑶同解变形法,其同解定理有:

x?a??a?x?a(a?0);


x?a?x?a或x??a(a?0);


f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)(g(x)?0)


f(x)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)(g(x)?0)

规律:关键是去掉绝对值的符号.
12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法:
规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中
取交集,最后取各段的并集.
13、含参数的不等式的解法
解形如
ax
2
?bx?c?0
且含参数的不等式时,要
对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有:
⑴讨论
a
与0的大小;
⑵讨论
?
与0的大小;
⑶讨论两根的大小.
14、恒成立问题
⑴不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集是全体实数(或恒成
立)的条件是:
①当
a?0

?b?0,c?0;

②当
a?0

?
?
?
a?0
?0.

?
?< br>⑵不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集是全体实数(或恒成
立 )的条件是:
①当
a?0

?b?0,c?0;

②当< br>a?0

?
?
?
a?0
?
??0.


f(x)?a
恒成立
?f(x)
max
?a;

f(x)?a
恒成立
?f(x)
max
?a;


f(x)?a
恒成立
?f(x)
min
?a;

f(x)?a
恒成立
?f(x)
min
?a.

15、线性规划问题
⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断:
法一:取点定域法:
由于直线
Ax?By?C?0
的同一侧的所有点的
坐标 代入
Ax?By?C
后所得的实数的符号相同.所
以,在实际判断时,往往只需在直线 某一侧任取一特
殊点
(x
0
,y
0
)
(如原点), 由
Ax
0
?By
0
?C
的正负即可
判断出
Ax?By?C?0
(

?0)
表示直线哪一侧的


平 面区域.
即:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选
原点.
法二:根据
Ax?By?C?0
(

?0)
,观察
B

符号 与不等式开口的符号,若同号,
Ax?By?C?0
(

?0)
表示 直线上方的区域;若异号,则表示直线上
方的区域.即:同号上方,异号下方.
⑵二元一次不等式组所表示的平面区域:
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的
平面区域的公共部分.
⑶利用线性规划求目标 函数
z?Ax?By
(A,B
为常
数)的最值:
法一:角点法:
如果目标函数
z?Ax?By

x、y
即为公共 区域
中点的横坐标和纵坐标)的最值存在,则这些最值都
在该公共区域的边界角点处取得,将这 些角点的坐标
代入目标函数,得到一组对应
z
值,最大的那个数为
目标函数< br>z
的最大值,最小的那个数为目标函数
z

最小值
法二:画——移——定——求:
第一步,在平面直角坐标系中画出可行域;第二步,
作直线
l
0
:Ax?By?0
,平移直线
l
0
( 据可行域,将
直线
l
0
平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解
(x,y)
;第四步,将最优解
(x,y)
代入目标函数
z?Ax?By即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法:
利用
z
的 几何意义:
y??
A
B
x?
z
B
,
zB
为直线的
纵截距.
①若
B?0,
则使目标函数
z? Ax?By
所表示直
线的纵截距最大的角点处,
z
取得最大值,使直线的纵截距最小的角点处,
z
取得最小值;
②若
B?0,
则使目标 函数
z?Ax?By
所表示直
线的纵截距最大的角点处,
z
取得最小 值,使直线的
纵截距最小的角点处,
z
取得最大值.

⑷常见的目标函数的类型:
①“截距”型:
z?Ax?By;

② “斜率”型:
z?
yy?b
x

z?
x?a
;
③“距离”型:
z?x
2
?y
2

z?x< br>2
?y
2
;

z?(x?a)
2
?(y?b )
2

z?(x?a)
2
?(y?b)
2
.

在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线
性规划与代数式的几何意义求解,从而使问 题简单化.
选修数学知识点
专题一:常用逻辑用语
1、命题:可以判断真假的语句叫命题;
逻辑联结词:“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑
联结词;
简单命题:不含逻辑联结词的命题;
复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题. 常用小写的拉丁字母
p

q

r

s
,……表示命


题.
2、四种命题及其相互关系








四种命题的真假性之间的关系:
⑴、两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
⑵、两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性
没有关系.
3、充分条件、必要条件与充要条件
⑴、一般地,如果已知
p?q
,那么就 说:
p

q

充分条件,
q

p
的必要条件;

p?q
,则
p

q
的充分必要条 件,简称充要条件.
⑵、充分条件,必要条件与充要条件主要用来区分命
题的条件
p
与结论
q
之间的关系:
Ⅰ、从逻辑推理关系上看:
①若
p?q
,则
p

q
充分条件,
q< br>是
p
的必要条件;
②若
p?q
,但
q

p
,则
p

q
充分而不必要条件;
③若
p

q
,但
q?p
,则
p

q
必要而不充分条件;
④若
p?q

q?p
, 则
p

q
的充要条件;
⑤若
p

q

q

p
,则
p

q
的既不充分也不必要
条件.
Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看:
已知
A?xx
满足条件
p?

B?xx
满足条件
q
?

①若
A?B
,则
p

q
充分条件;
②若
B?A
,则
p

q
必要条件;
专题二:圆锥曲线与方程
1.椭圆
焦点的位置 焦点在
x
轴上
③若A B,则
p

q
充分而不必要条件;
④若B A,则
p

q
必要而不充分条件;
⑤若
A?B
,则
p

q
的充要条件;
⑥ 若
A?B

B?A
,则
p

q
的既不充分 也不必要
条件.
4、复合命题
⑴复合命题有三种形式:
p
q

p?q
);
p

q

p?q);非
p

?p
).
⑵复合命题的真假判断

p

q
”形式复合命题的真假判断方法:一真必真;

p

q
”形式复合命题的真假判断方法:一假必假;
“非
p
”形式复合命题的真假判断方法:真假相对.
5、全称量词与存在量词
⑴全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称
量词,并用符号“
?
”表示.含有全称量词的命题,叫
做全称命题.
⑵存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做< br>存在量词,并用符号“
?
”表示.含有存在量词的命题,
叫做特称命题.
⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定
①全称命题
p

?x?? ,p(x)
,它的否定
?p

?x
0
??,?p(x
0
).
全称命题的否定是特称命题.
②特称命题
p

? x
0
??,p(x
0
),
,它的否定
?p

??
?x??,?p(x).
特称命题的否定是全称命题.
焦点在
y
轴上


图形

标准方程
x
2
y
2
??1
?
a?b?0
?

a
2
b
2

y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
第一定义
第二定义
范围
F
2
的距离之和等于常数2
a
,即
|MF
1
|?|MF
2
|?2a

2a?|F
1
F
2
|
) 到两定点< br>F
1

与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数
e
,即
MF
?e(0?e?1)

d
?a?x?a

?b?y?b

?b?x?b

?a?y?a

?
1
?
? a,0
?

?
2
?
a,0
?

顶点
?
1
?
0,?a
?

?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?

?
2
?
b,0
?

?
1
?
0,?b
?

?
2
?
0,b
?

轴长
对称性
焦点
焦距
c
e??
a
长轴的长
?2a
短轴的长
?2b

关于
x
轴、
y
轴对称,关于原点中心对称
F
1< br>?
?c,0
?

F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?

F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c(c2
?a
2
?b
2
)

c
2
?
a
2
a
2
?b
2
?
a
2
b
2
1?
2
a
(0?e?1)

离心率
准线方程
a
2
x??

c
左焦半径:
MF

1
?a?ex
0
右焦 半径:
MF
2
?a?ex
0

a
2
y??

c
下焦半径:
MF

1
?a?ey
0
上焦半径:
MF
2
?a?ey
0
焦半径
M(x
0,
y
0
)

焦点三角形面积

S
?MF
1
F
2
?b
2
tan
?
2
(
?
??F
1
MF
2
)

通径
b
2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径:
HH
?
?

a
A(x
1,
y
1
),B(x
2,
y2
)

AB?1?k
2
x
1
?x
2< br>?1?k
2
(x
1
?x
2
)
2
?4 x
1
x
2

(焦点)弦长公式
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上


图形


标准方程
x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
?2a

0
第一定义
第二定义
范围
顶点
图形
轴长
对称性
焦点
焦距
F
2
的距离之差的绝对值等于常数
2a
,即
|MF
1
|?|MF
2
|
到两定点
F
1

与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数
e
,即
?2a ?|F
1
F
2
|

MF
?e(e?1)

d
x??a

x?a

y?R

y??a

y?a

x?R

?
1
?
?a,0
?

?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?

?
2
?
0,a
?


实轴的长
?2a
虚轴的长
?2b



x
关于轴、
y
轴对称,关于原点中心对称

F
1
?
?c,0
?

F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?

F
2?
0,c
?

F
1
F
2
?2c(c< br>2
?a
2
?b
2
)

cc
2
a
2
?b
2
b
2
e????1?
222
aaaa
a
2
x??

c
离心率
(e?1)

a
2
y??

c
准线方程
渐近线方程
y??
b
x

a
y??
a
x

b
焦半径
?MF
1
?ex
0
?a
?
左焦:

M
在右支
?
右焦:MF?ex?a
?
20
?
?M F
1
?ey
0
?a
?
左焦:

M
在上支
?
右焦:MF?ey?a
?
20
?
M(x
0 ,
y
0
)

?MF
1
??ex
0
?a
?
左焦:
M
在左支
?
MF
2
??ex
0
?a
?
?
右焦:
?MF
1
??ey
0
?a
?左焦:

M
在下支
?
MF
2
??ey
0
?a
?
?
右焦:
焦点三角形面

S
? MF
1
F
2
?b
2
cot
?
2
(
?
??F
1
MF
2
)

通径
2.双曲线
b
2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径:
HH
?
?

a


y
2
?2px

标准方程
y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

定义
顶点
离心率
对称轴
范围
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

与一定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点
F
不在定直线
l
上)
?
0,0
?

e?1

x

y

x?0

?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
x?0

?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
y?0

p
??
F
?
0,
?

2
??
y?0

p
??
F
?
0,?
?

2
??
焦点
准线方程
焦半径
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
M(x
0,
y
0
)

通径
焦点弦长
公式
参数
p

MF?x
0
?
p

2
MF??x
0
?
p

2
MF?y
0
?
p

2
MF??y
0
?
p

2
过抛物线的焦点 且垂直于对称轴的弦称为通径:
HH
?
?2p

AB?x
1
?x
2
?p

参数
p
表示焦点到准线的距离,
p
越大,开口越阔
几何意义
3.抛物线
关于抛物线焦点弦的几个结论:
2
B(x
2
,y
2
)
,直线
AB
的倾斜角为
?,则 设
AB
为过抛物线
y?2px(p?0)
焦点的弦,
A( x
1
,y
1
)、
p
2
2p
,y
1
y
2
??p
2
;

AB?;

x
1
x
2
?
2
4
sin
?
⑶ 以
AB
为直径的圆与准线相切;
B
在准线上射影的张角为⑷ 焦点
F

A、

?
2


112
??.
|FA||FB|P


专题三:定积分
1、定积分的概念
如果函数
f(x)
在区间
[a,b]
上 连续,用分点
a?x
0
?x
1
?…?x
i?1
?x
i
?…?x
n
?b
将区间
[a,b]
等分成
n
个小区间,在每个小区间
[x
i?1
,x
i
]
上任取一点
?
i
(i?1,2,…,n)
,作和式
nn
L< br>n
?
?
f(
?
i
)?x?
b?a
n
f(
?
i
),
,当
n??
时,上
i?1< br>?
i?1
述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数
f(x)
区间
[a,b]
上的定积分.记作
?
b
a
f
(
x
)
dx
,即
n
?
b
f(x)dx?li m
?
b?a
a
f(
?
i
)
,这里,
a

b
分别叫
n??
i?1
n
做积分下限与积分 上限,区间
[a,b]
叫做积分区间,函

f(x)
叫做被积函数,
x
叫做积分变量,
f(x)dx

做被积式.
说明:
(1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可
为零;
(2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;
②近似代替;③求和;④取极限.
2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)
如果
F
?
(x)?f (x)
,且
f(x)

[a,b]
上可积,则
?
b
a
f(x)dx?F(x)
b
a
?F(b)?F(a)

【其中
F(x)
叫做
f(x)
的一个原函数,因为
?
F(x)?C
?
?
?F
?
(x)?f(x)

3、常用定积分公式

?0dx?c

c
为常数)

?1dx?x?c

x
?
dx?
x
?< br>?1

?
?
?1
?c(
?
??1)


?
1
x
dx?lnx?c


?e
x
dx?e
x
?c


? a
x
dx?
a
x
lna
?c(a?0,a?1)


?sinxdx??cosx?c


?cosxdx?sinx?c


?sinaxdx??
1
a
cosax?c(a?0)


?cosaxdx?
1
a
sinax?c(a?0)

4、定积分的性质

?
b
a
kf(x)dx?k
?
b
a
f(x)dx

k
为常数);

?
bbb
a
f(x)?g(x)dx?
?
a
f(x)dx?
?
a
g(x)dx


?
b
a
f(x)dx?
?
c
f(x)dx?
?
b
ac
f( x)dx
(其中
a?c?b)
;
⑷利用函数的奇偶性求定积分:若
f(x)

[?a,a]

的奇函数,则
?
a
f( x)dx?0
;若
f(x)

[?a,a]
上的偶
?a函数,则
?
a
f(x)dx?2
?
a
?a0
f (x)dx
.
5、定积分的几何意义
定积分
?
b
af(x)dx
表示在区间
[a,b]
上的曲线
y?f(x)
与直 线
x?a

x?b
以及
x
轴所围成的平面
图形(曲 边梯形)的面积的代数和,即
?
b
a
f(x)dx?S
x
轴 上方
-S
x
轴下方
.(在x轴上方的面积取
正号,在x轴下方的面积 取负号)
6、求曲边梯形面积的方法与步骤
⑴画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致


图像;
⑵借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积
分的上、下限;
⑶写出定积分表达式;
⑷求出曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和.
7、定积分的简单应用
⑴定积分在几何中的应用:
几种常见的曲边梯形面积的计算方法:
(1)
x
型区域:
①由一 条曲线
y?f(x)(其中f(x)?0)
与直线
x?a,x?b(a?b)
以及
x
轴所围成的曲边梯形的面
积:
S=
?
a
b< br>f(x)dx
(如图(1));







图(1)
②由一条曲线
y?f(x)(其中f(x)?0)< br>与直线
x?a,x?b(a?b)
以及
x
轴所围成的曲边梯形的面积:
S=
?
b
a
f(x)dx=-
?
b
a
f(x)dx
(如图(2));







图(2)
③由一条曲线
y?f(x)

【当
a?x?c
时,
f(x)?0?
?
c
a
f(x)d x?0;


c?x?b
时,
f(x)?0?
?
b
c
f(x)dx?0.

与直线
x?a,x?b(a?b)
以及
x
轴所围成的曲边梯形
的面积:
S=
?
c
a
f(x)dx?
?
b
c
f(x)dx



?
cb
a
f(x)dx?
?
c
f(x) dx.
(如图(3));





图(3)
④由两条曲线
y?f(x),y?g(x)

f(x)?g(x))

直线
x?a,x?b(a?b)
所围成的曲边梯形的面积:
S?
?
b
f(x)dx?
?
b
g
b
aa
(x)d x?
?
a
?
f(x)?g(x)
?
dx.
(如图(4))







图(4)
(2)
y
型区域:
①由一条曲线
y?f(x) (其中x?0)
与直线
y?a,y?b(a?b)
以及
y
轴所围成的 曲边梯形的面积,
可由
y?f(x)

x?h(y)
,然后利用S=
?
b
a
h(y)dy

出(如图(5));








图(5)
②由一条曲线
y?f(x)(其中x?0)
与直线
y?a,y?b(a?b)
以及
y
轴所围成的曲边梯形的面
积,可由
y?f(x)
先求出
x?h(y)
,然后利用
S=
?
b
a
h(y)dy=-
?
b
a
h(y)dy
求出 (如图(6));








图(6)
③由两条曲线
y?f(x),y?g(x)
与直线
y?a ,y?b(a?b)
所围成的曲边梯形的面积,可由
y?f(x),y?g(x)
先分 别求出
x?h
1
(y)

x?h
2
(y)
,然后利用
S=
?
b
a
|h
1
(y)-h
2
(y)|dy
求出(如
图(7));








图(7)
⑵定积分在物理中的应用:
①变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程
S
,等于其速
度函数
v?v(t)(v(t)?0)
在时间区间
?
a,b
?
上的定积
分,即
S?
?
b
a
v(t)dt.
.
②变力作功
物体在变力
F(x)
的作用下做直线运动,并且物体沿
着与
F(x)
相同的方向从
x?a
移动到
x?b(a?b)

那么变力
F(x)
所作的功
W?
?
b
aF(x)dx
.
专题四:推理与证明
知识结构
合情推理
归纳推理
推理 类比推理

演绎推理


比较法

直接证明

综合法

证明

分析法
间接证明

反证法

数学归纳法
1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归
纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般
的推理。
归纳推理的一般步骤:
?
通过观察个别情况发现某些相同的性质;
?
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题
(猜想);
?
证明(视题目要求,可有可无).
2、类比推理
由两类对象具有某些类 似特征和其中一类对象的
某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推
理称为类比推理( 简称类比).
简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤:
?
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
?
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,
从而得出一个猜想;
?
检验猜想。
3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观


察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提
出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,
合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演绎推理
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结
论,这种推理称为演绎推理.
简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.
⑶反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确 的
推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明
了原命题成立.的证明方法.它是一种间 接的证明方
法.
反证法法证明一个命题的一般步骤:
(1)(反设)假设命题的结论不成立;
(2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止;
演绎推理的一般模式———“三段论”,包括
⑴大前提----- 已知的一般原理;
⑵小前提-----所研究的特殊情况;
⑶结论 -----据一般原理,对特殊情况做出的判
断.
用集合的观点来理解:若集合
M< br>中的所有元素都
具有性质
P
,
S

M
的一个 子集,那么
S
中所有元素
也都具有性质P.

M
·a S


从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正
确,有待进一步证 明;演绎推理在前提和推理形式都
正确的前提下,得到的结论一定正确.
5、直接证明与间接证明
⑴综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定
理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明
的结论成立.
框图表示:
要点:顺推证法;由因导果.
⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立
的充分条件 ,直至最后,把要证明的结论归结为判定
一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理
等 )为止.
框图表示:
要点:逆推证法;执果索因.
(3)(归谬)断言假设不成立;
(4)(结论)肯定原命题的结论成立.
6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数
n
的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤;
(1)(归纳奠基)证明当
n
取第一个值< br>n(n
*
00
?N)
时命题成立;
(2)(归纳递推)假设
n?k(k?n
*
0
,k?N)
时命
题成立,推证当
n?k?1
时命题也成立.
只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对从
n
0

始的所有正整数
n
都成立.
用数学归纳法可以证明许 多与自然数有关的数学
命题,其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几
何中的计算问题等.

专题五:数系的扩充与复数
1、复数的概念
⑴虚数单位
i

⑵复数的代数形式
z?a?bi(a,b?R)

⑶复数的实部、虚部,虚数与纯虚数.
2、复数的分类
复数
z?a?bi
?
a,b?R
?

?
实 数
?
(b?0)
?
?
虚数
(b?0)
?
纯 虚数
(a?0,b?0)

?
?
?
非纯虚数
(a?0,b?0)
3、相关公式



a?bi?c?di?a?b,且c?d


a?bi?0?a?b?0


z?a?bi?a
2
?b
2


z?a?bi

z,z
指两复数实部相同,虚部互为相反数(互为共
轭复数).
4、复数运算
⑴复数加减法:
?
a?bi
?
?
?
c?di
?
?
?
a?c
?
?
?
b ?d
?
i

⑵复数的乘法:
?
a?bi
??c?di
?
?
?
ac?bd
?
?
?
b c?ad
?
i

⑶复数的除法:
a?bi
?
a? bi
??
c?di
c?di
?
?
?
c?di
??
c?di
?

?
?
ac?bd
?
?
?
bc?ad
?
i
c
2
?d
2
?
ac?bd
c
2
?d
2
?
bc?ad
c< br>2
?d
2
i

(类似于无理数除法的分母有理化
?
虚数除法的分
母实数化)
5、常见的运算规律
(1)z?z;(2)z?z?2a,z?z?2bi;
(3)z?z?z
2
?z
2
?a
2
?b
2;(4)z?z;(5)z?z?z?R

(6)i
4n?1
?i,i< br>4n?2
??1,i
4n?3
??i,i
4n?4
?1;
2
(7)
?
1?i
?
2
??i;(8)1?i
1?i
?i,
1?i
1?i
??i,
?
?
1?i
?
?
2
?
?
??i

( 9)

?
?
?1?3i
2
是1的立方虚根,则
1?
?
?
?
2
?0

?
3n?1
?< br>?
,
?
3n?2
?
?
,
?
3n?3
?1

6、复数的几何意义
复平面:用来表示复数的直角坐标系,其中x
轴叫
做复平面的实轴,
y
轴叫做复平面的虚轴.
复数
z?a?bi????
一一对应
?
复平面内的点
Z(a,b)
< br>复数
z?a?bi????
一一对应
?
平面向量
u
O Z
uur


专题六:排列组合与二项式定理
1、基本计数原理
⑴ 分类加法计数原理:(分类相加)
做一件事情,完成它有
n
类办法,在 第一类办法中有
m
1
种不同的方法,在第二类办法中有
m
2
种不同的方
法……在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法.那 么完成
这件事情共有
N?m
1
?m
2
???m
n< br>种不同的方法.
⑵ 分步乘法计数原理:(分步相乘)
做一件事情,完成它需要n
个步骤,做第一个步骤有
m
1
种不同的方法,做第二个步骤有
m
2
种不同的方
法……做第
n
个步骤有
m
n
种不同的方法.那么完成这
件事情共有
N?m
1
?m
2
? ??m
n
种不同的方法.
2、排列与组合
⑴排列定义:一般地,从
n
个不同的元素中任取
m
?
m?n
?
个元素,按照一定的 顺序排成一列,叫做从
n
个不同的元素中任取
m
个元素的一个排列.
⑵组合定义:一般地,从
n
个不同的元素中任取
m
?
m?n
?
个元素并成一组,叫做从
n
个不同的元素中
任取
m
个元 素的一个组合.
⑶排列数:从
n
个不同的元素中任取
m
?
m?n
?
个元素
的所有排列的个数,叫做从
n
个不同的元素中任取< br>m
个元素的排列数,记作
A
m
n
.
⑷组合数:从< br>n
个不同的元素中任取
m
?
m?n
?
个元素
的所有组合的个数,叫做从
n
个不同的元素中任取
m
个元素的组合数,记作< br>C
m
n
.
⑸排列数公式:

A
m
n
?n
?
n?1
??
n?2
?
?
?n?m?1
?

A
m
n
?
n!
?n?m
?
!


A
n
n
?n!
,规定
0!?1
.


⑹组合数公式:

C
m
n
?
n? 1
??
n?2
?
?
?
n?m?1
?
n?
m!

C
m
n!
n
?
m!
?
n?m
?
!


C
m
?C
n ?m
0
nn
,规定
C
n
?1
.
⑺排列与组合的区别:排列有顺序,组合无顺序.
⑻排列与组合的联系:
A
m
?C
mm
nn
?A
m
,即排列就是先
组合再全排 列.
A
m
C
m
n
n?(n?1)?L?(n< br>n
?
A
m
?
?m?1)n!
m
m?(m?1 )?L?2?1
?
m!
?
n?m
?
!
(m?n)< br>⑼排列与组合的两个性质性质
排列
A
mmm?1mmm?1
n?1< br>?A
n
?mA
n
;组合
C
n?1
?C
n
?C
n
.
⑽解排列组合问题的方法
①特殊元素、特殊位置优 先法(元素优先法:先考虑
有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优
先法:先考虑有 限制条件的位置的要求,再考虑其他
位置).
②间接法(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再
把不符合条件的所有情况去掉).
③相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑”
为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排 列,
最后再“松绑”,将特殊元素在这些位置上全排列).
④不相邻(相间)问题插空法(某 些元素不能相邻或某
些元素要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好
没有限制元条件的元素 ,然后再把有限制条件的元素
按要求插入排好的元素之间).
⑤有序问题组合法.
⑥选取问题先选后排法.
⑦至多至少问题间接法.
⑧相同元素分组可采用隔板法.
⑨分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组,
平均分成n组问题别忘除以n!.
3、二项式定理
⑴二项展开公式:
?
a?b
?
n
?C
0
a
n
?C
1n?1
?C
2n?22rn?r
b
r
nn
ab
n
ab?L?C
n
a

?L?C
nn
n
b
?
n?N
?
?
.
⑵二项展开式的通项公式:
T
rn?r
b
r
r?1
?C
n
a
?
0?r?n,r?N,n?N
?
?
.主要用途
是求指定的项.
⑶项的系数与二项式系数
项的 系数与二项式系数是不同的两个概念,但当
二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系
数.如

(ax?b)
n
的展开式中,第
r?1
项的二项 式系数

C
r
n
,第
r?1
项的系数为
C
r?r
n
a
n
b
r
;而
(x?
1
x
)
n

展开式中的系数等于二项式系数;二项式系数一定为
正,而项的系数不一定为正.

?
1?x
?
n
的展开式 :
?
1?x
?
n
?C
01n?12n?2n0
n< br>x
n
?C
n
x?C
n
x???C
n
x

若令
x?1
,则有
?
1?1
?
n
?2
n
?C
012n
n
?C
n
?C
n
???C
n
.
二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.
C
0
?C
213n?1
nn
?????C
n
?C
n
?????2

⑸二项式系数的性质:
(1)对称 性:与首末两端“等距离”的两个二项
式系数相等,即
C
mn?m
n
?C
n

(2)增减性与最大值:当
r?
n?1
2
时,二项式系
数C
r
n?1
n
的值逐渐增大,当
r?2
时,C
r
n
的值逐渐减小,
且在中间取得最大值。当n为偶数 时,中间一项(第
n
2
n
+1项)的二项式系数
C
n
2
取得最大值.当n为奇数时,
中间两项(第
n?1n?1
2
和< br>2
+1项)的二项式系数


n?1n?1
C
n
2
?C
n
2
相等并同时取最大值.
⑹系数最大项的求法
设 第
r
项的系数
A
?
A
r
?A
r?1
r
最大,由不等式组
?
?
A
r
?A

r?1
可确定
r
.
⑺赋值法

(ax?b)< br>n
?aa
2n
0
?
1
x?a
2
x? ...?a
n
x,

则设
f(x)?(ax?b)
n
.
有:

a
0
?f(0);


a
0
? a
1
?a
2
?...?a
n
?f(1);


a
n
0
?a
1
?a
2
?a
3
?...?(?1)a
n
?f(?1);


a?a
f(1)?f(?1)
02
?a
4
?a
6
?...?2
;


a
f(1)?f(?1)
1
?a3
?a
5
?a
7
?...?
2
.


专题七:随机变量及其分布
知识结构

1、基本概念
⑴互斥事件:不可能同时发生的两个事件.
如果事件
A、B、C
,其中任何 两个都是互斥事
件,则说事件
A、B、C
彼此互斥.

A、B是互斥事件时,那么事件
A?B
发生(即
A、B
中有一个发生)的概率, 等于事件
A、B
分别发
生的概率的和,即

P(A?B)?P(A)?P(B)
.
⑵对立事件:其中必有一个发生的两个互斥事 件.事件
A
的对立事件通常记着
A
.
对立事件的概率和等于1.
P(A)?1?P(A)
.
特别提醒:“互斥事件”与“对立事件”都是就
两个事件而言的,互斥事件是不可能同时发生的两个
事件,而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件 ,
因此,对立事件必然是互斥事件,但互斥事件不一定
是对立事件,也就是说“互斥”是“对立 ”的必要但
不充分的条件.
⑶相互独立事件:事件
A
(或
B
)是否发生对事件
B
(或
A
)发生的概率没有影响,(即其中一个事件是< br>否发生对另一个事件发生的概率没有影响).这样的两
个事件叫做相互独立事件.
当< br>A、B
是相互独立事件时,那么事件
A?B
发生
(即
A、B< br>同时发生)的概率,等于事件
A、B
分别发
生的概率的积.即

P(A?B)?P(A)?P(B)
.
若A、B两事件相互独立,则A与
B

A
与B、
A

B
也都是相互独立的.
⑷独立重复试验
①一般地,在相同条件下重复做的
n
次试验称为
n
次独立重复试验.
②独立重复试验的概率公式
如果在1次试验中某事件发生的概率是
p
,那么

n
次独立重复试验中这个试验恰好发生
k
次的概率
< br>P
k
n
(k)?C
kk
n
p(1?p)
n?
?
k?0,1,2,Ln
?
.

⑸条件概率:对任意事件A 和事件B,在已知事件A
发生的条件下事件B发生的概率,叫做条件概率.记作


P(B|A),读作A发生的条件下B发生的概率.

公式:
P(BA)?
P(AB)
P(A)
,P(A)?0.

2、离散型随机变量
⑴随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量
来表示,那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用
字母
X,Y,
?
,
?
等表示.
⑵离 散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可
以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型
随机变量.
⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,
可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续
型随机变量.
⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联
系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用 变量表
示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以
按一定次序一一列出,而连续性随机 变量的结果不可
以一一列出.

X
是随机变量,
Y?aX?b( a,b
是常数)则
Y
也是随机变量 并且不改变其属性(离散型、连续型).
3、离散型随机变量的分布列
⑴概率分布(分布列)
设离散型随机变量
X
可能取的不同值为
x
1
,x
2
,…,
x
i
,…,
x
n

X
的每一个值
x
i

i?1,2,?,n
)的概率
P(X?x
i
)?p
i< br>,则称表
X

x
1

x
2


x
i


x
n

P

p
1

p
2


p
i


p
n

为随机变量
X
的概率分布,简称
X
的分布列.
n
性质:①
p
i
?0,i?1,2,...n;

?
p
i
?1.

i?1
⑵两点分布
如果随机变量
X
的分布列为

X

0 1

P

1?p

p




则称
X
服从两点分布,并称
p?P(X?1)
为成功概
率.
⑶二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是
p
,那么在
n< br>次独立重复试验中这个事件恰好发生
k
次的概率是
P(X?k)?C
k
p
k
n
(1?p)
n?k
.

其中k?0,1,2,...,n,q?1?p
,于是得到随机
变量
X
的概率 分布如下:
X

0 1 …
k

n

P

C
00
q
n

C
11n?1
kkn?knn
0
n
p
n
pq


C
n
pq


C
n
pq
我们称这样的随机变量
X
服从二项分布,记作
X~B
?
n,p< br>?
,并称
p
为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有三点:
①对立性:即一次试验中事件发生与否二者必居其一;
②重复性:即试验是独立重复地进行了
n
次;
③等概率性:在每次试验中事件发生的概率均相等.
注:⑴二项分布的模型是有放回抽样;
⑵二项分布中的参数是
p,k,n.

⑷超几何分布
一般地, 在 含有
M
件次品的
N
件产品中,任取
n
件,其中恰有
X
件次品数,则事件
?
X?k
?
发生的
kn?k
概 率为
P(X?k)?
C
M
C
N?M
C
n
( k?0,1,2,L,m)
,于
N
是得到随机变量
X
的概率分布如下 :



其中
m?min
?
M,n
?
,
n≤N,M≤N,n,M,N?N
*
.
我们称这样的随机变量
X
的分布列为超几何分布列,
且称随机变量
X
服从超几何分布.
注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样;
⑵超几何分布中的参数是
M,N,n.
其意义分别是
总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量.
4、离散型随机变量的均值与方差
⑴离散型随机变量的均值
一般地,若离散型随机变量
X
的分布列为
X

x
1

x
2


x
i


x
n

P

p
1

p
2


p
i


p
n

则称
E
?
X
??x
1
p
1
?x
2
p
2
?L?xi
p
i
?L?x
n
p
n
为离散型
随机 变量
X
的均值或数学期望(简称期望).它反映
了离散型随机变量取值的平均水平.
性质:①
E(aX?b)?aE(X)?b.

②若
X
服从两点分布,则
E(X)?p.

③若
X~B?
n,p
?
,则
E(X)?np.

⑵离散型随机变量的方差
一般地,若离散型随机变量
X
的分布列为
X

x
1

x
2


x
i


x
n

P

p
1

p
2


p
i


p
n

则称
n
D(X)?
?
(x
i
?E(X))
2
p
i
为离散型随机变量
X

i?1
方差,并称其算术平方根
D(X)
为随机变量
X< br>的标
准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动,集
中与离散的程度.
X

0 1 …
m


C
0n?01n?1

mn?m
P
M
C
N ?M
C
M
C
N?M
C
M
C
N?M

C
n

n

N
C
N

C
n

N

D(X)
越小,
X
的稳定性越高,波动越小,取值
越集中;
D(X)
越大,
X
的稳定 性越差,波动越大,
取值越分散.
性质:①
D(aX?b)?a
2
D(X).

②若
X
服从两点分布,则
D(X)?p(1?P).

③若
X~B
?
n,p
?
,则
D(X)?np(1?P).

5、正态分布
正态变量概率密度曲线函数表达式:
f
?
x
?
?
1
?
?
x?
?
?
2
2
?
2
2
?
?
?
e,x?R
,其中
?,
?
是参数,

?
?0,???
?
???.记作
N(
?
,
?
2
).
如下图:








专题八:统计案例
1、回归分析
回归直线方程
y
?
?a?bx

?
n
?
?
n
x
i
?x
??
yi
?y
?
?
b?
??
x
i
y
i
?nxy
i?1?1
其中
?
n
?
i
?< br>x?x
?
2
n
x
2

?
?
ii
?nx
2
?
i?1
?
i?1
?
a?y ?bx


n
?
x
i
?x
??
y
i
?y
?
相关系数:
r?
?
i?1

?
n
?
x
2
?
n
?
y
2
i
?x
?
i
?y
?
i?1i?1
n
x
i
y
i
?nxy
?
?
i?1

?
nn
?
?
?
x
2
i
?nx
2
? ?
??
?
y
22
?
i
?ny
i?1
??
i?1
?
?
2、独立性检验
假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分另为{x
1
,
x
2
}和{y
1
, y
2
},其样本频数2
?
2列联表为:
y
1
y
2
总计
x
1
a b a+b
x
2
c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
若要推断的论述为H
1
:“X与Y有关系”,可以利用
独立性检验来考察两个变量是否 有关系,并且能较精
确地给出这种判断的可靠程度.
具体的做法是,由表中的数据算出随机变 量
K
2

2
?
n(ad?bc)
2
K
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
,其中
n?a?b?c?d
为样本容量,K
2
的值越大,说明“X
与Y有关系”成立的可能性越大.
随机变量
K
2
越大,说明两个分类变量,关系越强;
反之,越弱。
K
2
?3.841
时,X与Y无关;
K
2
?3.8 41
时,X
与Y有95%可能性有关;
K
2
?6.635
时 X与Y有99%
可能性有关.


专题九:坐标系与参数方程
1、平面直角坐标系中的伸缩变换
设点
P(x,y)
是平面直角坐标系中的 任意一点,在
变换
?
:
?
?
x
?
?
?
?x,(
?
?0),
?
y
?
?
??y,(
?
?0).
的作用下,点
P(x,y)

应到 点
P
?
(x
?
,y
?
)
,称
?< br>为平面直角坐标系中的坐标伸
缩变换,简称伸缩变换。
2、极坐标系的概念
在平面内取一个定点
O
,叫做极点;自极点
O

一条射线
O x
叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角
度单位(通常取弧度)
M
及其正方 向
(
?
,
?
)

(通常取逆时针方
向),这样就建立了一个极坐标系。








O
x



图1

M
的极坐标:设
M
是平面内一点,极点
O


M
的距离
|OM|
叫做点
M
的极径, 记为
?
;以极

Ox
为始边,射线
OM
为终边的< br>?xOM
叫做点
M
的极角,记为
?
。有序数对
(?
,
?
)
叫做点
M
的极坐标,
记为
M (
?
,
?
)
.
注:
极坐标
(
?
,
?
)

(
?
,
?
?2k< br>?
)(k?Z)
表示同一个
点。极点
O
的坐标为
(0 ,
?
)(
?
?R)
.

?
?0
,则
?
?
?0
,规定点
(?
?
,
?
)
与点
(
?
,
?
)
关于极点对称,即
( ?
?
,
?
)

(
?
,
?
?
?
)
表示同一点。
如果规定
?
?0,0?
?< br>?2
?
,那么除极点外,平
面内的点可用唯一的极坐标
(
?< br>,
?
)
表示(即一一对应
的关系);同时,极坐标
(
?
,
?
)
表示的点也是唯一确定
的。
极坐标与直角坐标都 是一对有序实数确定平面
上一个点,在极坐标系下,一对有序实数
?

?对应
惟一点
P
(
?

?
),但平面内任一个点
P
的极坐标不
惟一.一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有规律

可循的,
P
(
?

?
)(极点除外)的全部坐标为(< br>?
,
?

2k
?
)或(
?
?

?

(2k?1)
?
),(
k?
Z).极点的
极径为0,而极角任意取.若对
?

?
的取值范围加
以限制 .则除极点外,平面上点的极坐标就惟一了,
如限定
?
>0,0≤
?

2
?

?
<0,
?
?

?
?
等.
②以
(a,0)(a?0)
为圆心,
a
为半径的圆的极坐标方
程是
?
?2acos
?
;(如图2)
③以
(a,
?< br>2
)
(a?0)
为圆心,
a
为半径的圆的极坐标方
极 坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点
与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一
多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的.
3、极坐标与直角坐标的互化

M
是平面内任意一点,它的直角坐标是
(x,y)

极坐标是
(
?
,
?
)
,从图中可以得出:
x?
?
cos< br>?
,y?
?
sin
?
?
2
?x
2< br>?y
2
,tan
?
?
y

x
(x?0).

y




N
x
M



y





H



x


cos



O



x


y










y


sin







tan


y


x

(
x

0


)


(直极互化 图)
4、简单曲线的极坐标方程
⑴圆的极坐标方程
①以极点为圆心,
a
为半径的圆的极坐标方程是
?
?a
;(如图1)
M
M
a
?
?
M
?
?
?
O
?
aO
x
x
Oa
x
图1
图2
图3
?
?a
?
?
??2acos
?
?2acos
?
?
M
O
xM
a
?
?
M
a
?
a
(a,
?
)
?
?
O
x
图5
Ox
图4
图6< br>?
?2asin
?
?
??2asin
?
?
? 2acos(
?
?
?
)
程是
?
?2asin
?
;(如图4)
⑵直线的极坐标方程
①过极点的直线的极坐标方程是
?
?
?
(
?
?0)

?
?
?
?
?
(
?
?0)
. (如图1)
②过点
A(a ,0)(a?0)
,且垂直于极轴的直线
l
的极坐
标方程是
?
cos
?
?a
. 化为直角坐标方程为
x?a
.
(如图2)
③过点
A(a,
?
2
)
且平行于极轴的直线
l
的极坐标方程

?< br>sin
?
?a
. 化为直角坐标方程为
y?a
.(如图
4)
5、柱坐标系与球坐标系
M
( , )
?
?
M
?
M
?< br>?
0
Ox
?
O
a
?
a
图1
O
图2
图3
?
?
?
0
?
?
acos
?
?
??
a
cos
?
M
( , )
?
?
M
?
a
?
O
?
a
N
(a,
?
)
?
a
O
M
O图4
图5
p
a
?
??
a
图6
?
?
sin
?
sin
?
?
?
a
cos(< br>?
?
?
)
⑴柱坐标:空间点
P
的直角坐标
( x,y,z)
与柱坐标
?
(
?
,
?
,z)
的变换关系为:
?
x?
?
cos
?
?
y?
?
sin
?
.
?
?
z?z


⑵球坐标系
空间点
P
直角坐标
(x,y,z)
与球坐标
(r,
?
,
?
)
的变
?
?
x
2
?y
2
?z
2?r
2
换关系:
?
?
x?rsin
?
cos< br>?
?rsin
?
sin
?
.
?
y
?
?
z?rcos
?
6、参数方程的概念 < br>在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标
x,y
都是某个变数
t
的函数
?
?
x?f(t),
?
y?g(t),
并且对于
t

每一个允许值,由这个方程所确定的点
M(x,y)
都在
这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方
程,联系变数
x,y
的变数t
叫做参变数,简称参数。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方
程叫做普通方程。
7、常见曲线的参数方程
(1)圆
(x?a)
2
?(y?b)2
?r
2
的参数方程为
?
?
x?a?rcos
?
y?b?rsin
?

?
为参数);
?
x< br>2
2)椭圆
y
2

a
2
?
b
2
?1(a?b?0)
的参数方程为
?
?
x?acos
?

?
为参数);
?
y?bsin
?
22
椭圆
y
a
2
?
x
b
2
?1(a?b?0 )
的参数方程为
?
?
x?bcos
?

?
为参数);
?
y?asin
?


)双曲线
x
2
y
2
(3
a
2
?
b
2
?1(a?b?0)
的参数方程
?
?
x?asec
?
?
y?btan
?

?
为参数);
双曲线
y
2
x
2
a2
?
b
2
?1(a?b?0)
的参数方程
?
?
x?bcot
?
csc
?

?
为参数);
?
y?a

(4)抛物线
y2
?2px
参数方程
?
?
x?2pt
2
pt< br>
(t
为参
?
y?2
数,
t?
1
t an
?
);
参数
t
的几何意义:抛物线上除顶点外的任意一点
与原点连线的斜率的倒数.
(6)过定点
P(x
0
,y
0
)
、倾斜角为
?
(
?
?
?
2
)
的直线
的参数方程?
?
x?x
0
?tcos
?

t
?< br>y?y
为参数).
0
?tsin
?
8、参数方程与普通方程之间的互化
在建立曲线的 参数方程时,要注明参数及参数的取
值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必须使
x,y< br>的取值范围保持一致.
参数方程化为普通方程的关键是消参数,并且要保
证等价性。若 不可避免地破坏了同解变形,则一定要
通过
x?f(t),y?g(t)
。根据t的取 值范围导出
x,y
的取值范围.

苏教版高中数学书-高中数学ppt模板免费


高中数学教师励志一句话-初中考不好高中数学怎么办


高中数学课改体会-高中数学函数定义如何理解


极限是高中数学哪个部分学的-江苏高中数学书有哪些


郑州高中数学编制教师招聘-对高中数学讲题评课用语


河北高中数学会考范围-高中数学技巧线性规划


高中数学兴趣小组工作计划-苏教版高中数学38


高中数学什么软件好-高中数学联赛平面几何讲义



本文更新与2020-09-15 06:07,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/395967.html

最全教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》的相关文章

最全教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》随机文章