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高中数学知识点考点例题解析
第一章 空间几何体
知识点:
1、空间几何体的结构
⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:
圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相
邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些
面所围成的多面
体叫做棱柱。
⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面<
br>之间的部分,这样的多面体叫做棱台。
2、长方体的对角线长
l
2
?
a
2
?b
2
?c
2
;正方体的对角线长
l?3a<
br>
3、球的体积公式:
V?
? R
3
,球的表面积公式:S?4
? R
2
2
1
S
1
h1
4、柱体
V?s?h
,锥体
V?s?h
,锥体截面积比:?
2
3
S
2
h
2
4
35、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积;
S
侧面
?2
?
?r?l
⑵圆锥侧面积:
S
侧面
?
?
?r?l
典型例题:
★例1:下列命题正确的是( )
A.棱柱的底面一定是平行四边形
B.棱锥的底面一定是三角形
C.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
D.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
★★例2:若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图
面积是原三角形面积的(
)
2
1
A
2
倍 B
4
倍 C 2倍 D
2
倍
★例3:
已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体,其三
视图如下图所示,则这个组合体的上、下两部
分分别是( )
A.上部是一个圆锥,下部是一个圆柱
B.上部是一个圆锥,下部是一个四棱柱
C.上部是一个三棱锥,下部是一个四棱柱
D.上部是一个三棱锥,下部是一个圆柱
★★例4:一个体积为
8cm
3
的正方体的顶点都在球面上,则球的表面
积是
A.
8
?
cm
2
B
12
?
cm
.
C
16
?
cm
.
D.
20
?
cm
2
2
2
正视图
侧视图
俯视图
二、填空题
★例1:若圆锥的
表面积为
a
平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,
则这个圆锥的底面的直径为___
____________.
★例2:球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的
_________ 倍.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
知识点:
1、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直
线在此平面内。
2、公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有
且只有一条过该点的公共直线。
4、公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两
个角相等或互补。
6、线线位置关系:平行、相交、异面。
7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直线和
平面相交。
8、面面位置关系:平行、相交。
9、线面平行:
⑴判定:平面外一条直线与此平
面内的一条直线平行,则该直
线与此平面平行(简称线线平行,则线面平行)。
⑵性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面
与此平
面的交线与该直线平行(简称线面平行,则线
线平行)。
10、面面平行:
⑴判定
:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这
两个平面平行(简称线面平行,则面面平行)。
⑵性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们
的交线平行(简称面面平行,则线
线平行)。
11、线面垂直:
⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那
么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该
直线与此平面垂直(简称线线垂直
,则线面垂直)。
⑶性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直:
⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,
就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面
垂直(简称线面垂直,则面面垂直)。
⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线
垂直于另一个平面。(简称面面垂
直,则线面垂直)。
典型例题:
★例1:一棱锥被平行于底面的
平面所截,若截面面积与底面面积之
比是1:2,则此棱锥的高(自上而下)被分成两段长度
之
比为
A、1:
2
D、1:
(2?1)
B、1:4
C、1:
(2?1)
★ 例2:已知两个不同平面
?
、
?
及
三条不同直线a、b、c,
?
?
?
,
?
?
?
?c
,
a?
?
,
a?b
,c与b不平行,则( )
A.
b
?
且
b
与
?
相交 B.
b?
?
且
b
?
C.
b
与
?
相交 D.
b?
?
且与
?
不相交
★★ 例3:有四个命题:①平行于
同一直线的两条直线平行;②垂直
于同一平面的两条直线平行;③平行于同一直线的两个平面平行;④<
br>垂直于同一平面的两个平面平行。其中正确的是
A.①②
D.①④
( )
B.②③ C.③④
★★例4:在正
方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
E,F
分别是
DC和CC
1
的中点.求
证:
D
1
E?平面ADF
例5:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1
中,E、F为棱AD、AB的中点.
(1)求证:EF∥平面CB1D1;
(2)求证:平面CAA1C1⊥平面
CB1D1
A
E
D
F
B
C
A
1
D
1
B
1
C
1
第三章 直线与方程
知识点:
1、倾斜角与斜率:
k?tan
?
?
2、直线方程:
⑴点
斜式:
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
⑵斜截式:
y?kx?b
⑶两点式:
y?y
1
y
2
?y
1
?
x?x
1
x
2?x
1
y
2
?y
1
x
2
?x
1
⑷截距式:
??1
⑸一般式:
Ax?By?C?0
3、对于直线:
l
1:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y?k
2
x?b
2
有:
⑴
l
1
l
2
?
?
?
k
1
?k
2
;
?
b
1?b
2
x
a
y
b
⑵
l
1
和<
br>l
2
相交
?k
1
?k
2
;
⑶l
1
和
l
2
重合
?
?
?
k<
br>1
?k
2
;
?
b
1
?b
2
⑷
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??
1
.
4、对于直线:
⑴
l
1
l
2
??
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1?0,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
有:
?
A
1
B
2
?A
2<
br>B
1
;
?
B
1
C
2
?B
2
C
1
⑵
l
1
和
l
2
相交
?A
1
B
2
?A
2
B
1
;
⑶
l
1
和
l
2
重合
?
?
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
;
?B
1
C
2
?B
2
C
1
⑷
l<
br>1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
.
5、两点间距离公式:
P
1
P
2
?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
6、点到直线距离公式:
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
7、两平行线间的距离公式:
l
1:
Ax?By?C
1
?0
与
l
2
:
A
x?By?C
2
?0
平行,则
d?
C
1
?C
2
A?B
22
典型例题:
★例1:若过坐标原点的直线
l
的斜率为
?3
,则在直线
l
上的点是( )
A
(1,3)
B
(3,1)
C
(?3,1)
D
(1,?3)
★例2:
直线
l
1
:kx?(1?k)y?3?0和l
2
:(k?1)x?(
2k?3)y?2?0
互相垂直,则
k
的值是( )
A
.-3 B .0 C . 0或-3 D . 0或1
第四章
圆与方程
知识点:
1、圆的方程:
⑴标准方程:
?
x?a?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
,其中圆心为
(a,b)
,半径为
r
.
⑵一般方程:
x<
br>2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
.其中圆心为
(?
径
为
r?
1
2
D
2
?E
2
?4F
D
2
,?
E
2
)
,半
.
2、直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三
种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
3、两圆位置关系:
d?O
1
O
2
⑴外离:
d?R?r
; ⑵外切:
d?R?r
;
⑶相交:
R?r?d?R?r
; ⑷内切:
d?R?r
;
⑸内含:
d?R?r
.
4、空间中两点间距离公式:
P
1
P
2
?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
?
?
z
2
?z
1
?
2
典型例题:
★例1:圆心在直线y=2x上,且与x轴相切与点(-1,0)的圆的标
准方程是
_________________________.
★★
例2:已知
圆C:x
2
?y
2
?4
,
(1)过点
(?1,3)
的圆的切线方程为________________.
(2)过点
(3,0)
的圆的切线方程为________________.
(3)过点
(?2,1)
的圆的切线方程为________________.
(4)斜率为-1的圆的切线方程为__________________.
★★例3:已知圆C经过A(3,2)、B(1,6)两点,且圆心在直线y=2x
上。
(1)求圆C的方程;
(2)若直线L经过点P(-1,3)且与圆C相切,
求直
线L的方程。
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