高中数学选修知识点总结(全)

高中数学选修4-1知识点总结

平行线等分线段定理
平行线等分线 段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理
平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

相似三角形的判定及性质
相似三角形的判定：
定义：对应角相等，对应边成比例的 两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
由于从定义出发判 断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，
显 然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：
（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或 两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三 角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三 角形相似。
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比 例，并且夹角相等，那么这两
个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 < br>判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相
似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
引理：如果一条直线截三角形的 两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
定理：如果一个直角三 角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相
似。
相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；
（2）相似三角形周长的比等于相似比；
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

直角三角形的射影定理
射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 ；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比
例中项。
圆周定理

圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形的性质与判定定理
定理1：圆的内接四边形的对角互补。
定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

圆的切线的性质及判定定理
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

弦切角的性质
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

与圆有关的比例线段
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 。


高中数学选修4-4知识点总结
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：
1．坐标系：
① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
③ 能在极坐 标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和
直角坐标的互化.
④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆） 的方程.通过比较这些图形在极坐标系
和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当 坐标系的意义.
2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.
② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
二、知识归纳总结：
1．伸缩变换 ：设点
P(x,y)
是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
?
:
?
?
x
?
?
?
?x,(
?
?0),
的作用下，点
P(x,y)
对应
?
y
?
?
?
?y,(
?
?0).
到点
P
?
(x
?
, y
?
)
，称
?
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点
O
，叫做极点；自极点O
引一条射线
Ox
叫做极轴；再选定一个长度单位、一
个角度单位(通常 取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点
M
的极坐标：设
M
是平面内一点，极点
O
与点
M
的距离
|OM|
叫做点
M
的极径，记为
?
；以极轴
Ox
为始边，
射线
OM
为终边的
?xOM
叫做点
M
的极 角，记为
?
。有序数对
(
?
,
?
)
叫做点
M
的极坐标，记为
M(
?
,
?
)
. < br>极坐标
(
?
,
?
)
与
(
?
,
?
?2k
?
)(k?Z)
表示同一个点。极点
O
的坐标为
(0,
?
)(
?
?R)
.
4.若
?
?0
,则
?
?
?0
,规定点
(?
?< br>,
?
)
与点
(
?
,
?
)
关 于极点对称，即
(?
?
,
?
)
与
(
?,
?
?
?
)
表示同一点。
如果规定
?
?0,0?
?
?2
?
，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标
(
?
,
?
)
表示；同时，极坐标
(
?
,
?
)
表示
的点也是唯一确定的。

222
?< br>?x?y,x?
?
cos
?
,
5．极坐标与直角坐标的互化：

y

y?
?
sin
?
,tan
?
?(x?0)
x

6。圆的极坐标方程：
在极坐标系中，以极点为圆心，
r
为半径的圆的极坐标方程是
?
?r
；
在极坐标系中，以
C(a,0)(a?0)
为圆心，
a
为半径的圆的极坐标方程是
?
?2acos
?
；
在极坐标系中，以
C(a,
?
2
)
(a?0)
为圆心，
a
为半径的圆的极坐标方程是
?
?2asin
?
；
7.在极坐标系中，
?
?< br>?
(
?
?0)
表示以极点为起点的一条射线；
?
?< br>?
(
?
?R)
表示过极点的一条直线.
在极坐标系中 ，过点
A(a,0)(a?0)
，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是
?
c os
?
?a
.

8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果 曲线上任意一点的坐标
x,y
都是某个变数
t
的函数
?
?< br>x?f(t),
并且对于
y?g(t),
?
t
的每一个允许 值，由这个方程所确定的点
M(x,y)
都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数 方程，联系
变数
x,y
的变数
t
叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
9．圆
(x? a)?(y?b)?r
的参数方程可表示为
?
222
?
x?a?rc os
?
,
(
?
为参数)
.
y?b?rsin?
.
?
?
x?acos
?
,
x
2y
2
椭圆
2
?
2
?1
(a?b?0)< br>的参数方程可表示为
?
(
?
为参数)
.
ab
?
y?bsin
?
.
?
x?2px
2
,
(t为参数)
. 抛物线
y?2px
的参数方程可表示为
?
?
y?2pt.
2
?
x?x
o
?tcos
?
,
?
M(x,y)
经过点
Ooo
，倾斜角为的直线
l< br>的参数方程可表示为
?
（
t
为参数）.
y?y?tsin< br>?
.
o
?
10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范 围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使
x,y
的取值范
围保持一致.

高中数学选修4-5知识点总结
1、不等式的基本性质
①（对称性）
a?b?b?a
②（传递性）
a?b,b?c?a?c

③（可加性）
a?b?a?c?b?c

（同向可加性）
a?
b
,
c
?
d
?
a
?
c?
b
?
d

（异向可减性）
a
?
b< br>,
c
?
d
?
a
?
c
?
b< br>?
d

④（可积性）
a
?
b
,
c< br>?0?
ac
?
bc
,
a
?
b
,
c
?0?
ac
?
bc

⑤（同向正数可乘性）
a?b?0,c?d?0?ac?bd
（异向正数可除性）
a?b?0,0?c?d?
a
?
b

c d
⑥（平方法则）
a?b?0?a
n
?b
n
(n?N,且n ?1)
⑦（开方法则）
a?b?0?
n
a?
n
b(n?N, 且n?1)

⑧（倒数法则）
a?b?0?


2、几个重要不等式
1111
?;a?b?0??

abab
a
2
?b
2
.
①
a?b?2a b
?
a，b?R
?
,（当且仅当
a?b
时取
?号）. 变形公式：
ab?
2
22
②（基本不等式）
a?b
?ab

?
a，b?R
?
?
,（当 且仅当
a?b
时取到等号）.
2
2
?
a?b
?
变形公式：
a?b?2ab

ab?
??
.

2
??
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等” .

③（三个正数的算术—几何平均不等式）
a?b?c
3
?ab c
(a、b、c?R
?
)
（当且仅当
a?b?c
时取到等号 ）.
3
④
a?b?c?ab?bc?ca
?
a，b?R
?
（当且仅当
a?b?c
时取到等号）.
222
⑤
a?b? c?3abc(a?0,b?0,c?0)
（当且仅当
a?b?c
时取到等号）. < br>⑥
若ab?0,则
333
ba
ba
??2
（当仅当a =b时取等号）
若ab?0,则???2
（当仅当a=b时取等号）
ab
ab
⑦绝对值三角不等式
a?b?a?b?a?b.


3、几个著名不等式
2a?ba
2
?b
2
（a,b?R< br>?
，当且仅当
a?b
时取
?
号）. ①平均不等式：
?1
，
?ab??
?1
a?b22
（即调和平均
?
几何平均
?
算术平均
?
平方平均）.
22
(a?b)2
?
a?b
?
a?b
22
.
变形公式：
ab?
?
;

a?b?
?
?
2
2
?
2
?
2

4、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)
(a?0,??b?4ac ?0)
解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
5、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的 解集.
6、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
2
2
f(x)?0?f(x)?g(x)?0
g(x)
?
f(x)?g(x)?0
f( x)
?0?
?
g(x)
?
g(x)?0
（时同理）
“?或?”
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
7、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
⑴
?
f(x)?0
⑵
f(x)?a(a?0)?
?
2
?
f(x)?a
?
f(x)?0

f(x)?a(a?0)?
?
2
?
f(x )?a
⑶
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
f(x )?g(x)?
?
g(x)?0
或
?

?
f(x) ?[g(x)]
2
?
g(x)?0
?
⑷
?
f(x) ?0
?
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
⑸
?
f(x)?[g(x)]
2
?
?
f(x)?0
?
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0

?
f(x)?g(x)?
规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.
8、指数不等式的解法：
⑴当
a?1
时,
a
f(x)?a
g(x)
?f(x)?g(x)
⑵当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)

规律：根据指数函数的性质转化.
9、对数不等式的解法
?
f(x)?0
?
f(x)?0
??
.
⑴当
a?1
时,
log
a
f(x)?log
a
g (x)?
?
g(x)?0
⑵当
0?a?1
时,
loga
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
?< br>f(x)?g(x)
?
f(x)?g(x)
??
规律：根据对数函数的 性质转化.
10、含绝对值不等式的解法：
⑴定义法：
a?
?
?
a(a?0)
.
⑵ 平方法：
f(x)?g(x)?f
2
(x)?g
2
(x).

?
?a(a?0)
⑶同解变形法，其同解定理有：
①
x?a??a?x?a(a?0);
②
x?a?x?a或x??a(a?0);

③
f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)(g(x)?0)
④
f(x)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)(g(x)?0)

规律：关键是去掉绝对值的符号.
11、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.
12、含参数的不等式的解法

解形如
ax?bx?c?0
且 含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：
⑴讨论
a
与0的大小；⑵讨论
?
与0的大小；⑶讨论两根的大小.
13、恒成立问题
⑴不等式
ax?bx?c?0
的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
①当
a?0
时
?b?0,c?0;
②当
a?0< br>时
?
?
2
2
2
?
a?0

?
??0.
⑵不等式
ax?bx?c?0
的解集是全体实数（或恒成立）的条 件是：
①当
a?0
时
?b?0,c?0;
⑶
f(x)?a
恒成立
?f(x)
max
?a;
⑷
f(x)?a
恒 成立
?f(x)
min
?a;


②当
a?0
时
?
?
?
a?0

?
??0.
f(x)?a
恒成立
?f(x)
max
?a;
f(x)?a
恒成立
?f(x)
min
?a.