(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结

高中数学知识点大全—圆锥曲线
一、考点（限考）概要：
1、椭圆：
（1）轨迹定义：
①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是 椭圆，两定点是焦点，
两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为：
；
②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这
个点 的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心
率 用集合表示为：
；
（2）标准方程和性质：

注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
（3）参数方程：
3、双曲线：
（1）轨迹定义：
（θ为参数）；
①定义一：在平面内到两定点 的距离之差的绝对值等于定长的点
的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为 ：

②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数
e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
用集合表示为：

（2）标准方程和性质：


注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应
有两个。

4、抛物线：
（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的 点的轨迹是抛物线，定点是焦点，
定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为：
（2）标准方程和性质：


①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反； ②标准方程中一次项的字母
与 对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元
二次函数的图像 ；

二、复习点睛：
1、平面解析几何的知识结构：


2、椭圆各参数间的关系请记熟 “六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点 ，
两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形
则椭圆的各 性质（除切线外）均可在这个图中找到。
。

3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆 ，
则认为圆是椭圆在e=0时的特例。当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段
此 时也可认为是椭圆在e=1时的特例。
4、利用焦半径公式计算焦点弦长：若斜率为k的直 线被圆锥曲线所截得的弦为
AB，A、B两点的坐标分别为

，则弦长
，

这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想。
5、若过椭圆左（或右）焦点的焦点弦为AB，则
；
6、结合下图熟记双曲线的： “四点八线，一个三角形”，即：四点：顶点和焦
点；八线：实轴、虚轴、准线、渐进线、焦点弦、垂线 PQ。三角形：焦点三角形。

7、双曲线形状与e的关系：，e越大，即
渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲 线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲
线的离心率越大，它的开口就越阔。
8、双曲线的焦点到渐近线的距离为b。
9、共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚 轴为实轴，这样得到的双曲线称
为原双曲线的共轭双曲线。区别：三常数a、b、c中a、b不同（互换 ）c相同,它们共用一
对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线 的方法：
将1变为－1。
10、过双曲线
个公共点的情况如下：
外一点P（x,y）的直线与双曲线只有一
（1）P点在两条渐近线之间且不含 双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行
的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；
（2）P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行
的 直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；
（3）P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直
线，一条是切线；
（4）P为原点时不存在这样的直线；

11、结合图形 熟记抛物线：“两点两线，一个直角梯形”，即：两点：顶点和焦点；
两线：准线、焦点弦；梯形：直角 梯形ABCD。

12、对于抛物线上
13、抛物线
的点的坐标可设为
的焦点弦（过焦点的弦）为AB，且
，以简化计算；
，则有如下结论：

14、过抛物线外一点总有三条直线和 抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平
行于对称轴的直线；
15、处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法：即设
为曲线上不同的两点，
间关系：
是的中点，则可得到弦中点与两点

16、当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，即把直线方程代入
曲 线方程，消元后，用韦达定理求相关参数（即设而不求）；二是点差法，即设出交点坐标，
然后把交点坐 标代入曲线方程，两式相减后，再求相关参数。在利用点差法时，必须检验条

件△＞0是 否成立。

5、圆锥曲线：
（1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成 是这样的点集：
其中F为定点，d为点P到定直线的
l
距离，， e为常数，如图。
，

（2）当0＜e＜1时 ，点P的轨迹是椭圆；当e＞1时，点P的轨迹是双曲线；
当e=1时，点P的轨迹是抛物线。
（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的、固有的性质，不因为
位置的改变而改变。
①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上
ⅰ椭圆及双曲线：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；
ⅱ椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴为轴对称，关于
中心为中心对称；
ⅲ抛物线的对称轴是坐标轴，对称中心是原点。
②定量：

（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）
以焦点在x轴上的方程为例：

6、曲线与方程：
（1）轨迹法求曲线方程的程序：
①建立适当的坐标系；
②设曲线上任一点（动点）M的坐标为(x,y)；
③列出符合条件p(M)的方程f(x,y)=0；
④化简方程f(x,y)=0为最简形式；
⑤证明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上；
（2）曲线的交点：
由方程组确定，方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有
几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就 没有公共点。