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高中数学选修2-1知识点总结概要

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 06:14
tags:高中数学知识点

锦囊妙解 创新导学专题 高中数学-张丹高中数学


高二数学选修2-1知识点
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.
真命题:判断为真的语句.
假命题:判断为假的语句.
2、“若
p
,则
q
”形式的命 题中的
p
称为命题的条件,
q
称为命题的结论.
3、对于两个命题 ,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,
则这两个命题称为互逆命题.其中一个命 题称为原命题,另一个称为原命题的逆
命题.
若原命题为“若
p
,则
q
”,它的逆命题为“若
q
,则
p
”.
4、对于两个命 题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定
和结论的否定,则这两个命题称为互否命 题.中一个命题称为原命题,另一个称
为原命题的否命题.
若原命题为“若
p
,则
q
”,则它的否命题为“若
?p
,则
?q
”. 5、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定
和条件的否定,则这 两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题,另
一个称为原命题的逆否命题.
若原 命题为“若
p
,则
q
”,则它的否命题为“若
?q
,则?p
”.
6、四种命题的真假性:

原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 真
假 假 假 假
四种命题的真假性之间的关系:
?
1
?
两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
?
2
?
两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
7、若
p?q
,则
p

q
的充分条件,
q

p
的必要条件.

p?q
,则
p

q
的充要条件(充分必要条件).
8、用联结词“且”把命题
p
和命题
q
联结起来,得到一个新命题,记作
p?q


p
、< br>q
都是真命题时,
p?q
是真命题;当
p

q
两个命题中有一个命题是假命
题时,
p?q
是假命题.
用联结词“或”把 命题
p
和命题
q
联结起来,得到一个新命题,记作
p?q


p

q
两个命题中有一个命题是真命题时,
p?q
是真命题;当
p

q
两个命
题都是假命题时,
p?q是假命题.
对一个命题
p
全盘否定,得到一个新命题,记作
?p


p
是真命题,则
?p
必是假命题;若
p
是假命题,则
?p
必是真命题.
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用 “
?
”表
示.
含有全称量词的命题称为全称命题.
全称命题“对
?
中任意一个
x
,有
p
?
x
?
成 立”,记作“
?x??

p
?
x
?
”.
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“
?
”表示.
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含有存在量词的命题称为特称命题.
特称 命题“存在
?
中的一个
x
,使
p
?
x
?< br>成立”,记作“
?x??

p
?
x
?
”.
10、全称命题
p

?x??

p
?
x< br>?
,它的否定
?p

?x??

?p
?x
?
.全称命题
的否定是特称命题.
11、平面内与两个定点
F
)的点的轨迹
1

F
2
的距离之和等于常数(大于
F
1
F
2
称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的 焦距.
12、椭圆的几何性质:
焦点在
y
轴上
焦点的位置 焦点在
x
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
准线方程
xy
??1
?
a?b?0
?

22
ab
?a?x?a

?b?y?b

2222

yx
??1
?
a?b?0
?

22
ab
?b?x?b

?a?y?a

?
1
?
?a,0
?

?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?

?
2
?
0,a
?

?
1
?
0,?b
?

?
2
?
0,b
?

F
1
?
?c,0
?

F
2
?
c,0
?

?
1
?
?b,0
?

?
2
?
b,0
?

F
1
?
0,?c
?

F
2
?
0,c
?

短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1< br>F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
a
2
x??

c
a
2
y??

c
13、设
?
是 椭圆上任一点,点
?

F
1
对应准线的距离为
d
1
,点
?

F
2
对应准线
的距离为
d
2
,则
?F
1
d
1
?
?F
2
d
2
?e

14、平面内与两个定点
F
1

F
2
的距离之差的绝对值等于常数(小于
F
1
F
2
)的
点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线
的焦距.





第 2 页 共 8 页



15、双曲线的几何性质:
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
准线方程
渐近线方程
a
2
x??

c
b
y??x

a
x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?
a
2
b
2
x??a

x?a
y?R


y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
y??a

y?a

x?R

?
1
?
?a,0?

?
2
?
a,0
?

F
1
?
?c,0
?

F
2
?
c,0
?

?
1
?
0,?a
?

?
2?
0,a
?

F
1
?
0,?c
?
F
2
?
0,c
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1< br>F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b2
?

关于
x
轴、
y
轴对称,关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
a
2
y??

c
a
y??x

b
圆的离心率=0
椭圆的离心率:e=ca(0,1)(c,半焦距;a,半长轴(椭圆)半实轴(双曲线) )
抛物线的离心率:e=1
双曲线的离心率:e=ca(1,+∞) (c,半焦距;a,半长轴(椭圆)半实轴(双曲
线) )
16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.
17、设
?
是双曲线上任 一点,点
?

F
1
对应准线的距离为
d
1
,点
?

F
2
对应准
线的距离为
d
2,则
?F
1
d
1
d
2
18、平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定

F
称为抛物线的焦点,定直线
l
称为抛物线的准线.
19、过抛物线的焦点 作垂直于对称轴且交抛物线于
?

?
两点的线段
??
,称为
抛物线的“通径”,即
???2p

20、焦半径公式:
若点< br>?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y2
?2px
?
p?0
?
上,焦点为
F
,则?F?x
0
?
p

2
?
?F
2
?e

第 3 页 共 8 页 < /p>


若点
?
?
x
0
,y
0
?在抛物线
y
2
??2px
?
p?0
?
上,焦点 为
F
,则
?F??x
0
?
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x
2
?2py< br>?
p?0
?
上,焦点为
F
,则
?F?y
0< br>?
p

2
p

2
p
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x
2
??2py
?
p?0
?
上,焦点为
F
,则
?F??y
0
?

2
21、抛物线的几何性质:
y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

标准方程
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

图形

顶点



?
0,0
?

x

?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
x??
p

2
y

对称轴
焦点
?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
x?
p

2
p
??
F
?
0,
?

2
??
y??
p

2
p
??
F
?
0,?
?

2
??
y?
p

2
准线方程
离心率
e?1

范围
x?0

x?0

y?0

y?0

22、空间向量的概念:
?
1
?
在空间,具有大小和方向的量称为空间向量.
?
2
?
向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指
的方向表 示向量的方向.
,记作
??

?
3
?
向量??
的大小称为向量的模(或长度)
?
4
?
模(或长度)为0
的向量称为零向量;模为
1
的向量称为单位向量.
?
5?
与向量
a
长度相等且方向相反的向量称为
a
的相反向量,记作
?a

?
6
?
方向相同且模相等的向量称为相等向量.
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23、空间向量的加法和减法:
?
1
?
求两个向量和的运算称为向量的加法,它遵
循平行四边形法则.即:在空间以同 一点
?

起点的两个已知向量
a

b
为邻边作平行 四边形
??C?
,则以
?
起点的对角线
?C
就是
a

b

和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行
四边形法则.

?
2
?
求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵
循三角 形法则.即:在空间任取一点
?
,作
???a

???b
, 则
???a?b

24、实数
?
与空间向量
a
的 乘积
?
a
是一个向量,称为向量的数乘运算.当
?
?0
时,
?
a

a
方向相同;当
?
?0
时,
?
a

a
方向相反;当
?
?0
时,
?< br>a
为零向量,
记为
0

?
a
的长度是
a
的长度的
?
倍.
25、设
?

?
为 实数,
a

b
是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结
合律 .
分配律:
?
a?b?
?
a?
?
b
;结 合律:
?
?
?
a
?
?
?
??
?< br>a

26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线
向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线.
27、向量共线的充要条件:对于空间任 意两个向量
a

bb?0

ab
的充要条
件是存在 实数
?
,使
a?
?
b

28、平行于同一个平面的向量称为共面向量.
29、向量共面定理:空间一点
?< br>位于平面
??C
内的充要条件是存在有序实数对
x

y
,使
???x???y?C
;或对空间任一定点
?
,有
????? ?x???y?C
;或
??
??
若四点
?

?
?

C
共面,则
???x???y???z?C
?< br>x?y?z?1
?

???
??a

???b,30、已知两个非零向量
a

b
,在空间任取一点?,作
?< br>则?
称为向量
a

b
的夹角,记作
?a,b?
.两个向量夹角的取值范围是:
?a,b??
?
0,
?
?

31、对于两个非零向量
a

b
,若
?a,b???
2
,则向量
a

b
互相垂直,记作
a?b< br>.
?
称为
a

b
的数量积,记作
a?b< br>.即
osab,?
32、已知两个非零向量
a

b
, 则
abc
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a?b?abcos?a,b?< br>.零向量与任何向量的数量积为
0

33、
a?b
等于a
的长度
a

b

a
的方向上的投影
bcos?a,b?
的乘积.
34、若
a

b
为非零向量 ,
e
为单位向量,则有
?
1
?
e?a?a?e?acos? a,e?

?
aba与b同向
2
?

a?a?a

a?a?a

?
2
?
a?b?a?b?0
?
3
?
a?b?
?
?aba与b反向
??
??
??
?
4
?
cos?a,b??
a?b
ab

?
5
?
a?b?ab

35、向 量数乘积的运算律:
?
1
?
a?b?b?a

?
2
?
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b

????
?
3
?
?
a?b?
?c?a?c?b?c

36、若
i

j

k
是空间三个两两垂直的向量,则对空间任一向量
p
,存在有序
实 数组
?
x,y,z
?
,使得
p?xi?yj?zk
,称xi

yj

zk
为向量
p

i
j

k

的分量.
37、空间向量基本定理:若三 个向量
a

b

c
不共面,则对空间任一向量
p< br>,
存在实数组
?
x,y,z
?
,使得
p?xa?yb ?zc

38、若三个向量
a

b

c
不共面,则所有空间向量组成的集合是
?
pp?xa?yb?zc,x,y,z?R
?
.这个集合可看作是由向量
a

b

c
生成的,
?
a,b,c
?
称为空间的一个基底,
a

b
c
称为基向量.空间任意三个不共面的向
量都可以构成空间的一个基底. 39、设
e
1

e
2

e
3
为有公共起点
?
的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位
正交基底),以
e
1

e
2

e
3
的公共起点
?< br>为原点,分别以
e
1

e
2

e
3
的方向为
x
轴,
y
轴,
z
轴的正方向建立空间直角 坐标系
?xyz
.则对于空间任意一个向量
p

一定可以把它平移, 使它的起点与原点
?
重合,得到向量
???p
.存在有序实
数组?
x,y,z
?
,使得
p?xe
1
?ye
2< br>?ze
3
.把
x

y

z
称作向量
p
在单位正交基底
e
1

e
2

e
3
下的坐标,记作
p?
?
x,y,z
?
.此时, 向量
p
的坐标是点
?
在空间直角
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坐标系
?xyz
中的坐标
?
x,y,z
?

40、设
a?
?
x
1
,y
1
,z
1
?

b?
?
x
2
,y
2
,z< br>2
?
,则
?
1
?
a?b?
?
x1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?

?
2
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?

?
3
?
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
,
?
z
1
?

?
4
?
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2

?
5
?

a

b
为非零 向量,则
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
?0

?
6?

b?0
,则
ab?a?
?
b?x
1
?
?
x
2
,y
1
?
?
y
2,z
1
?
?
z
2

?
7
?
a?a?a?x
1
2
?y
1
2
?z
12

?
8
?
cos?a,b??
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
x?y?z?x?y?z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2

d
??
????
?
x
??
?
x2
,y
2
,z
2
?

?
9
?
?
?
x
1
,y
1
,z
1
?

2
x?
1
?
?
?zz
?
1
?
y
?
2
?
2
y
1
22
?
2
?

41、在空间中,取一定点
?
作为基点,那么空间中任意一 点
?
的位置可以用向量
??
来表示.向量
??
称为点
?
的位置向量.
42、空间中任意一条直线
l
的位置可以由
l< br>上一个定点
?
以及一个定方向确定.点
?
是直线
l
上 一点,向量
a
表示直线
l
的方向向量,则对于直线
l
上的任 意一点
?


???ta
,这样点
?
和向量
a
不仅可以确定直线
l
的位置,还可以具体表示出直
线
l
上的任意一点.
43、空间中平面
?
的位置可以由
?
内的两条相交 直线来确定.设这两条相交直线
相交于点
?
,它们的方向向量分别为
a

b

?
为平面
?
上任意一点,存在有序
实数对
?
x,y
?
,使得
???xa?yb
,这样点
?< br>与向量
a

b
就确定了平面
?
的位置.
4 4、直线
l
垂直
?
,取直线
l
的方向向量
a
,则向量
a
称为平面
?
的法向量.
45、若空间不重合两条直线
a

b
的方向向量分别为
a

b
,则ab?ab?

a?
?
b
?
?
?R
?

a?b?a?b?a?b?0

46、若直线
a
的方向 向量为
a
,平面
?
的法向量为
n
,且
a?
?
,则
a
?
?a
?

?a?n?a?n?0

a?
?
?a?
?
?an?a?
?
n

47、若空间不重合的两个平面
?

?
的法向量分别为
a< br>,
b
,则
?

?
?ab?

a??
b

?
?
?
?a?b?a?b?0

第 7 页 共 8 页


48、设异面直线
a

b
的夹角为
?
,方向向量为
a

b
,其夹角为
?
,则有
cos
?
?cos
?
?
a?b
ab
. < br>49、设直线
l
的方向向量为
l
,平面
?
的法向量为
n

l

?
所成的角为
?

l< br>与
n
的夹角为
?
,则有
sin
?
?cos< br>?
?
l?n
ln

50、设
n
1

n
2
是二面角
?
?l?
?
的两个面
?< br>,
?
的法向量,则向量
n
1

n
2
的夹
角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.若二面角
?
?l?
?
的平面角为
?


cos
?
?
n
1?n
2
n
1
n
2

51、点
?与点
?
之间的距离可以转化为两点对应向量
??
的模
??
计算.
52、在直线
l
上找一点
?
,过定点
?
且垂直于直线
l
的向量为
n
,则定点
?
到直线
l< br>的距离为
d???cos???,n??
???n
n

53 、点
?
是平面
?
外一点,
?
是平面
?
内的 一定点,
n
为平面
?
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则点
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