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高中数学必修知识点总结归纳全

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 06:15
tags:高中数学知识点

高中数学qq群付费-高中数学主要读什么


高中数学必修2知识点

一、直线与方程
(1)直线的倾斜角 < br>定义:
x
轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线

x
轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是
0°≤α<180°
(2)直线的斜率
①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾 斜角的正切叫做这条直线的斜率。直
线的斜率常用k表示。即
k?tan
?
。 斜率反映直线与轴的倾斜程度。

?
?0
?
,90
??
时,
k?0
; 当
?
?
?
90?
,180
?
?
时,
k?0


?
?90
?
时,
k
不存在。
y?y< br>1
②过两点的直线的斜率公式:
k?
2
(x
1
?x< br>2
)

x
2
?x
1
注意下面四点:(1) 当
x
1
?x
2
时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)
k

P
1

P
2
的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐
标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程
①点 斜式:
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率
k,且过点
?
x
1
,y
1
?

注意:当 直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是
y
=
y
1

当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表
示.但因
l
上 每一点的横坐标都等于
x
1
,所以它的方程是
x
=
x
1

②斜截式:
y?kx?b
,直线斜率为
k
,直线在
y
轴上的截距为
b

③两点式:
y?y
1
x?x
1

x
1
?x
2
,y
1
? y
2
)直线两点
?
x
1
,y
1
?

?
x
2
,y
2
?

?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
?
④截矩式:?
y
?1

b
其中直线
l

x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即l

x
轴、
y
轴的截距分别
x
a
为< br>a,b

⑤一般式:
Ax?By?C?0

A
,< br>B
不全为0)
1
各式的适用范围 注意:○
2
特 殊的方程如:平行于
x
轴的直线:
y?b

b
为常数) ○;
平行于
y
轴的直线:
x?a

a
为常数);
(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
平行于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0

A
0
,B
0
是不全为0的常数)的直线系:
A
0
x? B
0
y?C?0

C
为常数)
(二)过定点的直线系 < br>(ⅰ)斜率为
k
的直线系:
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
,直线过定点
?
x
0
,y
0< br>?


(ⅱ)过两条直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0

l
2
: A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线
系方程为
,其中直线
l
2
不在直线系中。
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?
?0

?
为参数)
(6)两直线平行与垂直

l
1
:y?k
1
x?b
1

l
2
:y?k
2
x?b< br>2
时,
l
1
l
2
?k
1
?k2
,b
1
?b
2

l
1
?l< br>2
?k
1
k
2
??1


l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0< br>时
l

l
1
?
2
A
?
B< br>?
C
AB
C
11
22
1
2

l
?
l
12
?
AA
?
BB
121 2
?0

注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
(7)两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1y?C
1
?0

l
2
:A
2
x?B< br>2
y?C
2
?0
相交
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
交点坐标即方程组
?
的一组解。
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方程组无解
?l
1
l
2
; 方程组有无数解
?
l
1

l
2
重合
(8 )两点间距离公式:设
A(x
1
,y
1
),(
是平面直角坐 标系中的两个点,
Bx
2
,y
2


|AB|? (x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

(9)点到直线距离公式:一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C ?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C
A? B
22

(10)两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。
二、圆的方程
1、圆 的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,
定长为圆的半径。
2、圆的方程
22
(1)标准方程
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
,圆心
?
a,b
?
,半径为r;
(2)一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0


D
2
?E
2
?4F?0
时,方程表示圆,此时圆 心为
r?
1
D
2
?E
2
?4F
2
?
DE
?
?
?,?
?
2
??
2
, 半径为


D
2
?E
2
?4F?0
时,表示一个点; 当
D
2
?E
2
?4F?0
时,方程不表示
任何图形。
(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆
的标准方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心
的位置。
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:

(1)设直线
l:Ax?By?C?0
,圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
, 圆心
C
?
a,b
?

l

距离为
d?
Aa?Bb?C
A
2
?B
2
,则有
d?r?l 与C相离

d?r?l与C相切

d?r?l与C相交

( 2)设直线
l:Ax?By?C?0
,圆
C:
?
x?a
?< br>2
?
?
y?b
?
2
?r
2
,先将方 程联立消元,
得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为
?
,则有
?? 0?l与C相离

??0?l与C相切

??0?l与C相交
2
注:如果圆心的位置在原点,可使用公式
xx
0
?yy
0?r
去解直线与圆相切的问
题,其中
?
x
0
,y
0
?
表示切点坐标,r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程:
① 圆
x
2
+y
2
=r
2
,圆上一点为(x
0
,y
0
),则过此点的切线方程为
xx
0
?yy
0
?r
2
(课
本命题).
②圆
(x-a)
2< br>+(y-b)
2
=r
2
,圆上一点为
(x
0
,y
0
)
,则过此点的切线方程为
(x
0
-a)(x-a) +(y
0
-b)(y-b)= r
2
(课本命题的推广).
4、 圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(
d
)之间的大小比
较来确定 。
设圆
C
1
:
?
x?a
1
?
2
?
?
y?b
1
?
2
?r
2
C
2
:
?
x?a
2
?
2
?
?
y?b
2
?
2
?R
2

两圆的位置关系常 通过两圆半径的和(差),与圆心距(
d
)之间的大小比较来确
定。

d?R?r
时两圆外离,此时有公切线四条;

d?R?r
时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;

R?r?d?R?r
时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;

d?R?r
时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;

d?R?r
时,两圆内含; 当
d?0
时,为同心圆。
三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征












( 1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四
边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体。
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各顶点 字母,如五棱柱
ABCDE?A
'
B
'
C
'
D'
E
'
或用对角线的端点字母,
如五棱柱
AD
'

几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;
侧棱平行且 相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥
定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所
围成的几何体
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等


表 示:用各顶点字母,如五棱锥
P?A
'
B
'
C
'
D
'
E
'

几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与 底面相似,其相似比
等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的
部分
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱台、四棱台、五棱台等
表示:用各顶点字 母,如五棱台
P?A
'
B
'
C
'
D
'E
'

几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱
锥的顶点
(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋 转所成的曲面
所围成的几何体
几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆 的半径垂直;④
侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所
围成的几何体
几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的
部分
几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图
是一个弓形。
(7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几
何体
几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向
右)、
俯视图(从上向下)
注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点:①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
'
(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,
h
为斜高,l为母 线)

S
直棱柱侧面积
?ch

S
圆柱侧
?2
?
rh

S
正棱锥侧面积
?
1
ch'

2
S
圆锥侧面积
?
?
rl


S
正棱台侧面积
?
S
圆柱表
?2
?
r
?
r?l
?

S
圆锥表
?
?
r
?
r?l
?

S
圆台表
?
?
?
r
2
?rl?Rl?R< br>2
?

(3)柱体、锥体、台体的体积公式
1
(c
1
?c
2
)h'

S
圆台侧面积
?(r?R)
?
l

2
V

?Sh

V
圆柱
?Sh?
?
r
2
h

V

?
1
Sh

V
圆锥
?
1
?
r
2
h

3
3
1
'
1
1
'22
V

?(S
'
?S
'
S?S)h

V
圆台
?(S?SS?S)h?
?
(r?rR?R)h

33
3










(4)球体的表面积和体积公式:V

=
4
?
R
3
; S
球面
=
4
?
R
2

3
4、空间点、直线、平面的位置关系
(1)平面
① 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的;
② 平面的表示:通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐
角内);
也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC。
③ 点与平面的关系:点
A在平面
?
内,记作
A?
?
;点
A
不在平面?
内,记作
A?
?

点与直线的关系:点
A
的 直线
l
上,记作:
A

l
; 点
A
在直线
l
外,记作
A
?
l

直线与平面的关系:直线
l
在平面α内,记作
l
?
α;直线
l
不在平面α内,
记作
l
?
α。
(2)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都
在这个平面内。
(即直线在平面内,或者平面经过直线)
应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1:
A?l,B?l,A?
?
,B?
?
?l?
?

(3)公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行
直线确定一平面。
公理2及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的
依据
(4)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该
点的公共直线
符号:平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a。
符号语言:
P?
?< br>?
?
?
?
?
?
?l,P?l

公理3的作用:


①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。
(5)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行
(6)空间直线与直线之间的位置关系
① 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线
② 异面直线性质:既不平行,又不相交。
③ 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线
是异面直线
④ 异 面直线所成角:直线
a

b
是异面直线,经过空间任意一点
O
,分别引直线
a
’∥
a

b
’∥
b
,则 把直线
a
’和
b
’所成的锐角(或直角)叫做异面直线
a

b
所成的角。两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成
的 角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。
说明:(1)判定空间直线是异面直线方法:①根据异面直线的定义;②异面直线
的判定定理
(2)在异面直线所成角定义中,空间一点O是任取的,而和点O的位置无关。
②求异面直线所成角步骤:
A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移 到某个特殊的
位置,顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用
三角形来求角
(7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相
等或互补。
(8)空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点.



三种位置关系的符号表示:
a?
?

a?
?
?A

a
?

(9)平面与平面之间的位置关系:平行——没有公共点;
?

?

相交——有一条公共直线。
?
?
?
?b

5、空间中的平行问题
(1)直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此
平面平行。
线线平行
?
线面平行
线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这
个平面相交,
那么这条直线和交线平行。线面平行
?
线线平行
(2)平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平

(线面平行→面面平行),
(2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。
(线线平行→面面平行),


(3)垂直于同一条直线的两个平面平行,
两个平面平行的性质定理
(1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平 行。(面面平
行→线面平行)
(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。(面面平行
→线线平行)
7、空间中的垂直问题
(1)线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直
线互相垂直。
②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和
这个平面垂直。
③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个
半平面所组成的 图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直。
(2)垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂
直这个平面。
性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
性质定理: 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线
垂直于另一个平面。
9、空间角问题
(1)直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角:规定为
0
?

②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所
成的角。 ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点O,分别作与两条异面直线
a

b
行的直线
a
?
,b
?
,形成两条相交直线,这两条相 交直线所成的不大于直角的角
叫做两条异面直线所成的角。
(2)直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角:规定为
0
?
。 ②平面的垂线与平面所成的角:
规定为
90
?

③平面的斜线与平 面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐
角,叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角:“一作,二证,三计算”。
在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,
在解题时, 注意挖掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过
斜线上的一点或过斜线的平面与 已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。
(3)二面角和二面角的平面角
①二面角的定义: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条
直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二 面角的面。
②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于
. ....
棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角 ,那么这两个平面垂直;反过来,
如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法


定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂 直于棱的射线得到平
面角
垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两 个面的交线
所成的角为二面角的平面角
7、空间直角坐标系
(1)定义:如图,< br>OBCD?D
,
A
,
B
,
C
,
是单 位正方体.以A为原点,
分别以OD,O
A
,
,OB的方向为正方向,建立 三条数轴
x轴.y轴.z轴

这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
1)O叫做坐标原点 2)x 轴,y轴,z轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的
平面叫做坐标面。
(2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相 互垂直时,可能形成的位置。
大拇指指向为x轴正方向,食指指向为y轴正向,中指指向则为z轴正向, 这
样也可以决定三轴间的相位置。
(3)任意点坐标表示:空间一点M的坐标可以用有序实数 组
(x,y,z)
来表示,有
序实数组
(x,y,z)
叫做点M在 此空间直角坐标系中的坐标,记作
M(x,y,z)
(x
叫做点M的横坐标,y叫做点 M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标)
(4)空间两点距离坐标公式:







































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