高中数学重点知识汇总

高中数学重点知识汇总

高中数学重点知识与结论分类解析
河南省信阳市 张宜玉
一、集合与简易逻辑
1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性．
2．对集合
A、B
，
AIB??
时，必须注意到“极端”情
况：
A??
或
B??
；求集合的子集时是否注意到
?
是
任何集合的子集、
?
是任何非空 集合的真子集．
3．对于含有
n
个元素的有限集合
M
，其子集、真
2
子集、非空子集、非空真子集的个数依次为
2，
2?2.2?1，

n
nn
n
?1，

4．“交的补等于补的并，即
C
的补等于补的交，即
C
U
U
(AIB)?C
U
AU C
U
B
”；“并
(AUB)?C
U
AIC
U
B
”．
5．判断命题的真假 关键是“抓住关联字词”；
注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”．
6．“或命题 ”的真假特点是“一真即真，要假全
假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全
真”； “非命题”的真假特点是“一真一假”．
7．四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’
也”．
原命题等价于 逆否命题，但原命题与逆命题、
否命题都不等价．反证法分为三步：假设、推矛、
得果．
第 2 页 共 33 页

注意：命题的否定是“命题的非命题， 也就是
‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是
“既否定原命题的条件作为条件，又 否定原命题
的结论作为结论的所得命题” ?．
8．充要条件
二、函 数
1．指数式、对数式，
a
m
n
?a
n
m
，
a
?
m
n
?
1
m
a
n
，
a
log
a
N
?N

a
b
?N?log
a
N?b(a?0,a?1,N?0)
，
e
a
0
?1
log1?0
，
log
，aa
a?1
log
，
lg2?lg5?1
，
x?lnx
logb
，，
logb?
loga
c
a
c
log
a
m
b
n
?
n
log
a
b
m
．
2．（1）映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射
中第一个集 合
A
中的元素必有像，但第二个集合
B
中的元素不一定有原像（
A< br>中元素的像有且仅有
下一个，但
B
中元素的原像可能没有，也可任意
个 ）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是
映射中像集
B
的子集”．
（2）函数图像与
x
轴垂线至多一个公共点，但
与
y
轴垂线的公共点 可能没有，也可任意个．
（3）函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐
标系中的曲线不一定能成为函数图像．
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3．单调性和奇偶性
（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有
单调性，则其单调性完全相同．
偶函数在关于原点对称的区间上若有
单调性，则其单调性恰恰相反．
注意：（1）确 定函数的奇偶性，务必先
判定函数定义域是否关于原点对称．确定函数奇
偶性的常用方法有：定 义法、图像法等等．对于
偶函数而言有：
f(?x)?f(x)?f(|x|)
． < br>（2）若奇函数定义域中有0，则必有
f(0)?0
．即
0?f(x)
的定义域时，
f(0)?0
是
f(x)
为奇函数
的必要非充分条件．
（3）确定函数的单调性或单调区间，在解
答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法（图
像法）、特殊值法等等．
（4）既奇又偶 函数有无穷多个（
f(x)?0
，定
义域是关于原点对称的任意一个数集）．
（7）复合函数的单调性特点是：“同性得增，
增必同性；异性得减，减必异性”．
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，
内奇同外”．复合函数要考虑定义域的变化。（即
第 4 页 共 33 页

复合有意义）
4．对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不
可强记）
（1）函数
y?f
?
x
?
与函数
y?f
?
?x
?
的 图像关于直线
x?0
（
y
轴）对称．
推广一：如果函数
y ?f
?
x
?
对于一切
x?R
，
都有
f?
a?x
?
?f
?
b?x
?
成立，那么
y?f
?
x
?
的图像关于直线
x?
a?b
2(b?x)
（由“
x
和的一半
x?
(a?x)?
确定” ）对称．
2
推广二：函数
y?f
?
a?x
?
，< br>y?f
?
b?x
?
的图像
a
关于直线
x?< br>b?
（由
a?x?b?x
确定）对称．
2
（2）函数
y?f
?
x
?
与函数
y??f
?
x
?< br>的图像关于直
线
y?0
（
x
轴）对称．
（3）函数
y?f
?
x
?
与函数
y??f
?
?x?
的图像关于坐
标原点中心对称．
推广：曲线
f(x,y)?0
关于直线
y?x?b
的对称
曲线是
f(y?b,x?b)?0
；
曲线
f(x,y)?0
关于直线
y??x?b
的对称曲线
是
f(?y?b,?x?b)?0
．
（5）类比“三角函数图像”得：若
y? f(x)
图像
有两条对称轴
x?a,x?b(a?b)
，则
y?f( x)
必是周期函
数，且一周期为
T?2|a?b|
．
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如果
y?f(x)
是R上的周期函数，且一 个
周期为
T
，那么
f(x?nT)?f(x)(n?Z)
．
特别：若
T?2a
f(x?a)??f(x)(a?0)
恒成立，则
．若< br>f(x?a)?
1
(a?0)
f(x)
恒成立，则
T?2a< br>．若
f(x?a)??
1
(a?0)
f(x)
恒成立，则T?2a
．
三、数 列
1．数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前
n
项和公式的关
系：
a
n
?
,(n?1)
（必要时请分类讨论）．
?
S
S?S,(n?2 )
1
nn?1
注意：
a
n
?
a
n
a
n?1
a
??L?
2
?a
1
a
n?1< br>a
n?2
a
1
n
a
n
?(a
n?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)?L?(a< br>2
?a
1
)?a
1
；
．
2．等差数列
{a}
中：
（1）等差数列公差的取值与等差数列的单
调性．
（2）
}
an
?a
1
?(n?1)d
?a
m
?(n?m)d
；
p?q?m?n?a
p
?a
q
?a
m
?an
．
n
（3）
{a
n
1
?(k?1)m、
{ka}
也成等差数列．
（4）两等差数列对应项和（差）组成的新
数列仍成等差数列．
a?a
（5 ）
12
?L?a
m
,a
k
?a
k?1
?L ?a
k?m?1
,L
第 6 页 共 33 页
仍成等差数列．

（6）
S
a
n
?
S
2n ?1
2n?1
A
，
B
n
n
n
?
n (a
1
?a
n
)
2
，
S
n
?na
1
?
n(n?1)
d
2
，
S
n
?
d
2
d
n?(a
1
?)n
22
，
?f(n)?
a
n
?f(2n?1)
b
n
．
；（ 7）
a
p
?q,a
q
?p(p?q)?a
p?q
? 0
S
p
?q,S
q
?p(p?q)?S
p?q
?? (p?q)
；
S
m?n
?S
m
?S
n
?m nd
．
（8）“首正”的递减等差数列中，前
n
项和的
最大值是所有非负项之和；
“首负”的递增等差数列中，前
n
项和的
最小值是所有非正项之和；
（9）有限等差数列中，奇数项和与偶数项和
的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇
数决定．若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇
数项和”＝总项数的一半与其公差的积；若总项
数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列
的中项．
（10）两数的等差中项惟一 存在．在遇到三数
或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”
转化求解．
（11 ）判定数列是否是等差数列的主要方法
有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法
（也就是 说数列是等差数列的充要条件主要有
这五种形式）．
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3．等比数列
{a}
中：
n
（1）等比 数列的符号特征（全正或全负或
一正一负），等比数列的首项、公比与等比数列
的单调性． < br>（2）
a
n
?a
1
q
n?1
?a
m
q
n?m
n
n
1
?(k?1)m
；
p? q?m?n?b
p
?b
q
?b
m
?b
n
n n
．
n
（3）
{|a|}
、
{a
nn
}
{b}
成、
{ka}
成等比数列；
{a}、
等比数列
?{ab}
成等比数列．
（4）两等比数列对应项积（商）组成的新
数列仍成等比数列．
（5）
a? a
12
?L?a
m
,a
k
?a
k?1
?L ?a
k?m?1
,L
成等比数列．
．
．
（6）
?
na
1
(q?1)
?
na
1
(q?1)
??
S
n
?
?
a
1
?a
n
qa
1
(1?q
n
)
?
?
a
1
n
a
1
?q? (q?1)
? (q?1)
?
1?q< br>?
1?q
1?q
?
1?q
?
n
特别：
a
（7）
S
m?n
?b
n
?(a?b)(a
n? 1
?a
n?2
b?a
n?3
b
2
?L?ab
n?2
?b
n?1
)
?S
m
?q
m
S< br>n
?S
n
?q
n
S
m
．
（8）“ 首大于1”的正值递减等比数列中，
前
n
项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；
“首小于1”的正值递增等比数列中，前
n
项积的最
小值是所有小于或等于1 的项的积；
（9）有限等比数列中，奇数项和与偶数项
和的存在必然联系，由数列的总项数是 偶数还是
奇数决定．若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇
数项和”与“公比”的积；若总项 数为奇数，则“奇
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数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的
和．
（10）并非任何两数总 有等比中项．仅当实
数
a,b
同号时，实数
a,b
存在等比中项．对 同号两实
数
a,b
的等比中项不仅存在，而且有一对
G??ab
．也
就是说，两实数要么没有等比中项（非同号时），
如果有，必有一对（同号时）．在遇到三数或 四
数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”
转化求解．
（11）判定数列是否 是等比数列的方法主要
有：定义法、中项法、通项法、和式法（也就是
说数列是等比数列的充要 条件主要有这四种形
式）．
4．等差数列与等比数列的联系
}
A
（1）如果数列
{a}
成等差数列，那么数列
{A
（
n
a< br>n
a
n
总有意义）必成等比数列．
（2）如果数列
{a}< br>成等比数列，那么数列
n
{log
a
|a
n
|}(a ?0,a?1)
必成等差数列．
n
（3）如果数列
{a}
既成等差 数列又成等比数列，
那么数列
{a}
是非零常数数列；但数列
{a}
是常数数
nn
列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要
非充分条件．
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（4）如果两等差数列有公共项，那么由他们
的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新
等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公
倍数．
如果一个等差数列与一个等比数列有
公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到< br>一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为
主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并< br>构成新的数列．
注意：（1）公共项仅是公共的项，其项
数不一定相同，即研究
a
研究
a
n
n
?b
m
．但也有少数问题中
?b
n
，这时既要求项相同，也要求项数相
同．（2）三（四）个数成等差（比）的 中项转化
和通项转化法．
5．数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式（三种形
式），
②等比数列求和公式（三种形式），
1?2?3?L?n?
1
n(n?1)
③，
2
1
2
?2
2
?3
2
?L? n
2
?
1
n(n?1)(2n?1)
6
1?3?5?L?( 2n?1)?(n?1)
2
，
1?3?5?L?(2n?1)?n
2
，
．
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有
第 10 页 共 33 页

困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，
再运用公式法求和．
（3）倒序 相加法：在数列求和中，若和式中
到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通
项与组合数相关 联，则常可考虑选用倒序相加
法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前
n
和公式 的推导方法）．
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个
等差数列的通项与一个等比数列 的通项相乘构
成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一
个新的的等比数列的和”求解（注 意：一般错位
相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项
数减一的差”！）（这也是等比数 列前
n
和公式的推
导方法之一）．
（5）裂项相消法：如果数列的通项可“ 分裂成
两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么
常选用裂项相消法求和．常用裂项形式有 ：
①
n(n
1
?1)
?
1
?
1
，
nn?1
1
(
1
?
1
)
， ②
n (n
1
?k)
?
knn?k
特别声明：?运用等比数列求和公式，< br>务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论．
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（6）通项转换法。
四、三角函数
1．
?终边与
?
终边相同（
?
的终边在
?
终边所在射
线上）
?
?
?
?
?2k
?
(k?Z)
．
?
终边与
?
终边共线（
?
的终边在
?
终边 所在直
终边与
?
终边关于
x
轴对称
?
?
? ?
?
?2k
?
(k?Z)
．
终边与
?
终 边关于
y
轴对称
?
?
?
?
?
?
? 2k
?
(k?Z)
．
终边与
．
?
线上）
?
．
?
?
?
终边关于原点对称
?
?
?
?
?
?
?2k
?
(k?Z )
一般地：
?
终边与
?
终边关于角
?
的终边对称< br>?
?
?2
?
?
?
?2k
?
(k?Z )
．
?
与
?
的终边关系由“两等分各象限、一二三
22
四”确定．
lR?
1
|
?
|R
，2．弧长 公式：扇形面积公式：
S?
1
l?|
?
|R
，
22
1弧度（1rad）
?57.3
．
o
3．三角函数符号特征是：一是全正、二正弦正、
三是切正、四余弦正．
2
,sin75??cos15??
注意：
sin15??cos75??
6 ?
4
sin18??
5?1
4
6?2
4
，
，
tan15
o
?cot75
o
?2?3,tan75
o
?cot15
o
?2?3
．
4．三角函数线的特征是：正弦线“站在
x
轴上（起
第 12 页 共 33 页

点在
x
轴上）”、余弦线“躺在
x
轴 上（起点是原
点）”、正切线“站在点
A(1,0)
处（起点是
A
） ”．务
必重视“三角函数值的大小与单位圆上相应点的
坐标之间的关系，‘正弦’
?< br>‘纵坐标’、‘余弦’
?
‘横
坐标’、‘正切’
?
‘纵坐标除 以横坐标之商’”；务必
记住：单位圆中角终边的变化与
sin
?
?cos< br>?
值的大小
变化的关系．
?
为锐角
?
sin
?
?
?
?tan
?
．
5．三角函数同角关系中，平方关系 的运用中，
务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取
值，精确确定角的范围，并进行定号” ；
6．三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，
符号看象限．
7．三角函数变换主要是：角、函数名、次数、
系数（常值）的变换，其核心是“角的变换”!
角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已
知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角< br>与其和差角的变换．
如
?
?(
?
?
?
)?
?
?(
?
?
?
)?
?
，
2?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)
，
2
?
?(
?
?
?
)?(
?< br>?
?
)
?
?
?
??
，
?
?
?
?2?
?
?
，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
等．
222
2
常值变换主要指“1”的变换：
1?sin
2
x ?cos
2
x?sec
2
x?tan
2
x?tanx?co tx?tan
?
?sin
?
?cos0?L
42
等．
第 13 页 共 33 页

三角式变换主要有：三角函数名互化 （切割化
弦）、三角函数次数的降升（降次、升次）、运算
结构的转化（和式与积式的互化）． 解题时本着
“三看”的基本原则来进行:“看角、看函数、看特
征”,基本的技巧有:巧变角, 公式变形使用,化切割
为弦,用倍角公式将高次降次．
注意：和（差）角的函数结构与符号特 征；余
弦倍角公式的三种形式选用；降次（升次）公式
中的符号特征．“正余弦‘三兄妹—sinx?cosx、 sinxcosx
’
的联系”（常和三角换元法联系在一起
t?sinx?cosx
?[?2,2],sinxcosx?
）．
辅助角公式中辅助角的确定：
asinx?bcosx?a
2
?b
2
sin
?
x?
?
?
（其中
?
角所在的象限 由a, b
的符号确定，
?
角的值由
tan
?
?
b
确定）在求最值、
a
化简时起着重要作用．尤其是两者系数绝对值之
比为1或3
的情形．
Asinx?Bcosx?C
有实数解
?A
2< br>?B
2
?C
2
．
8．三角函数性质、图像及其变换：
（1）三角函数的定义域、值域、单调性、奇
偶性、有界性和周期性
注意：正切函数、余切函数的定义域；
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绝对值对三角函数周期性的影响：一般说来，某
一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性< br>是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数
的函数自变量加绝对值，其周期性不变；其他不< br>定．如
y?sin
2
x,y?sinx
的周期都是
2
?
, 但
y?sinx?cosx
y?sinx?cosx
的周期为
?
2
， y=|tanx|的周期不
变，问函数y=cos|x|,
y?si nx,y?sinx,y?cosx
，y=cos|x|
是周期函数吗？
（2）三角函数图像及其几何性质：
（3）三角函数图像的变换：两轴方向的平移、
伸缩及其向量的平移变换．
（4）三角函数图像的作法：三角函数线法、
五点法（五点横坐标成等差数列）和变换法．
9．三角形中的三角函数：
（1）内角和定理：三角形三角和为
?
，任意两
角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个
角的半角总互余．锐角三角形
?
三内角都是锐角
?
三内角的余弦值为正值
?
任两角和都是钝角
?< br>任意两边的平方和大于第三边的平方．
a
?
b
?
c
?2R
（R为三角形（2）正弦定理：
sinAsinBsinC
外接圆的半径）．
注意：已知三角形两边一对角，求解三
第 15 页 共 33 页

角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两
解．
（
222
3） 余弦
22
222
(b?c)?a
a?b?c?2bccosA,cosA?< br>b?c?a
?
2bc2bc
定理：
常选用余
?1
等，
弦定理鉴定三角形的类型．
ah?
1
absinC?
abc
． （4）面积公式：
S?
1
224R
a
五、向 量
1．向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：
向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征．
2．几个概念：零向量、单位向量（与
单位向量是
uuur
AB
r< br>?
uuu
|AB|
，特别：
uuur
AB
uuuru uuruuuruuur
ABACABAC
(
uuur
?
uuur< br>)?(
uuur
?
uuur
)
ABACABAC
r< br>0
共线的
）、平
行（共线）向量（无传递性，是因为有）、相等
向量（ 有传递性）、相反向量、向量垂直、以及
一个向量在另一向量方向上的投影（在上的投
影是rr
rrr
a?b
?acos?a,b??
v
?R
b< br>r
a
r
b
）．
3．两非零向量平行（共线）的充要条件
rrrr
ab?a?
?
b

rr
2
rr
2
?(a?b)?(|a||b|)

?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
两个非零向量垂直的充要条件
rrrrrrrr
a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|

?x1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
特别：零向量和任何向量共线．
a?
?
b
是向
量平行的充分不必要条 件!
第 16 页 共 33 页

4．平面向量的基本定理：如 果e
1
和e
2
是同一平
面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任 一
?
，向量a，有且只有一对实数
?
、使a=
?
e
1
＋
?
e
2
．
1
2
12
5．三 点
A、B、C
共线
向量
uuuruuuruuur
PA、 PB、 PC
uuuruuur
AC
?
AB、
共线；
中三终点< br>A、B、C
共线
?
存在实数
且
?
?
?
?1
．
，
rrrr
a?b?|a||b|cos
?
?x
1
x
2
?y
1
y
2
r
2
r
2
rr
|a|?(a)?a?a
?
、
?
使得：< br>uuuruuuruuur
PA?
?
PB?
?
PC
6 ．向量的数量积：
rr
a?b
r
?cos
?
?
r< br>|a||b|
x?y
2
1
2
1
，
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
2
2
2
，
．
rr
a、 b
rr
rrrr r
a?b
x
1
x
2
?y
1
y
2< br>a
在
b
上的投影
?|a|cos?a,b??
r
?< br>22
|b|
x
2
?y
2
注意：
rr
?a,b?
rr
?a,b?
rr
?a,b?
为锐角
rr?
a?b?0
rr
?
a?b?0
rrr
a、 b?0
且不同向；
为直角
rr
?a,b?
且
rr
a、 b
；
为钝角
是
rr
?
a?b?0
且不反向；
rr
a?b?0
为钝角的必要非充分条件．
向量运算和实数运算有类似的地 方也有区别：
一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，
这是题目中的天然条件，要注意运 用；对于一个
向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一
个实数，两边同时取模，两边同乘 以一个向量，
但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一
个向量；向量的“乘法”不满足结 合律，即
a(b?c)?(a?b)c
，切记两向量不能相除（相约）．
第 17 页 共 33 页

7．
rrrrrr
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
r
rrrr
rrrr
0
?
|a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b||?|a?b|
注意：
rr
a、 b
同向或有
rr
a、 b
rr
a、 b
；
； 反 向或有
r
rrrr
rrrr
0
?
|a?b|?|a|?|b |
?
||a|?|b||?|a?b|
rrrrrr
不共线
?
||a
（这些和
|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
．
实数集中类 似）
8.中点坐标公式
点．
?ABC
uuuruuuruuuruuur
ABACABAC
r
?
uuur
)?(
uuur
?
uuur
)(
uuu
|AB||AC||AB||AC|
x
1
?x
2
?
x?
?
?
2
?
?y?
y
1
?y
2
?
?2
，
uuuu ruuuur
uuur
MP?MP
12
MP??P
2
为PP
的中
12
中，
；
uuuruuur
AB?AC< br>过
BC
边中点；
uuur
uuur
AB
r
与
AB
共线的单位向量是
?
uuu
|AB|
．
uuu ruuuruuuruuur
1
PG?(PA?PB?PC)
?
G
3
为
?ABC
的重心；
特别
uuuruuuruuurr
P A?PB?PC?0?P
为
?ABC
的重心．
为
?ABC
的垂心；
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
PA?PB?PB?PC?PC?PA?P
uuur
uuur
AC
A B
uur
?
uuur
)(
?
?0)
?
(< br>u
|AB||AC|
所在直线过
?ABC
的内心
（是
?BAC
的角平分线所在直线）；
uuuruuuruuuruuuruuuruuurr< br>|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P
?ABC
S
V
A BC
vuuuv
1
uuu
1
?ABACsinA?
22的内心．
．
uuuv
2
uuuv
2
uuuvuuu v
2
ABAC?(AB?AC)
六、不等式
1．（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必
第 18 页 共 33 页

有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是
不等式对应方程的根 或不等式有意义范围的端
点值．
f
?
x
?
（2）解分式不 等式
g
?a
?
a?0
?
的一般解题思路
?
x
?
是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x的
系数变为正值，标根及奇穿过偶弹 回）；
（3）含有两个绝对值的不等式如何去绝对
值？（一般是根据定义分类讨论、平方转化 或换
元转化）；
（4）解含参不等式常分类等价转化，必要
时需分类讨论．注意：按 参数讨论，最后按参数
取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后
应求并集．
2．利用重要不等式
a?b?2ab
b
)
等 以及变式
ab ?(
a?
2
2
求函数的最值时，务必注意a，b
?R
（或a ，b
?
非负），且“等号成立”时的条件是积ab或和a＋
b其中之一应是定值（一正 二定三等四同时）．
3．常用不等式有：
a
2
?b
2
?< br>a?b
?ab?
2
221
?
1
ab
（根据目
标不等式左右的运算结构选用）
a、b、c
?
R，
a
取等号）
第 19 页 共 33 页
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca
（当且仅 当
a?b?c
时，

4．比较大小的方法和证明不等式的方法 主要有：
差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分
析法
5．含绝对值不等式的性质：
a、b
a、b
同号或有
0
?
|a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b||?|a?b|
；
异号或有
0
?
|a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b|| ?|a?b|
．
注意：不等式恒成立问题的常规处理方式？
（常应用方程函数思想和 “分离变量法”转化为
最值问题）．
6．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题
（1）．恒成立问题
若不等式
f
?
x
?
?A在区间
D
上恒成立,则等
价于在区间
D
上
f
?
x
?
价于在区间
D
上
f
?
x
?< br>min
?A


若不等式
f
?
x
?
?B
在区间
D
上恒成立,则等
max
?B
（2）． 能成立问题
若在区间
D
上存在实数
x
使不等式
f
?
x
?
?A
成立,即
f
?
x
?
? A
在区间
D
上能成立, ,则等价于在区
间
D
上
f
?
x
?
max
?A

若在区间
D
上存在实数
x
使不等式
f
?
x
?
?B
成立 ,即
f
?
x
?
?B
在区间
D
上能成立, ,则等价于在区
间
D
上的
f
?
x
?
min
?B
．
第 20 页 共 33 页

（3）．恰成立问题
若不等式
f
?
x
?
?A在区间
D
上恰成立, 则等
价于不等式
f
?
x
?
?A
的解集为
D
．
若不等式
f
?
x< br>?
?B
在区间
D
上恰成立, 则等
价于不等式
f?
x
?
?B
的解集为
D
,
七、直线和圆 < br>1．直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围；
r
直线方向向量的意义（
a?< br>?
(1,k)
或
?
(0,1)(
?
?0)
） 及其直
线方程的向量式（
r
(x?x
0
,y?y
0
)?
?
a
（为直线的方向向
r
a
量））．应用直线方程的点 斜式、斜截式设直线方
程时，一般可设直线的斜率为k，但你是否注意
到直线垂直于x轴时，即 斜率k不存在的情况？
2．知直线纵截距
b
，常设其方程为
y?kx?b< br>或
x?0
；
知直线横截距
x
，常设其方程为
x?my ?x
（直线斜
00
率k存在时，
m
为k的倒数）或
y?0< br>．知直线过点
(x
0
,y
0
)
，常设其方程为
y?k(x?x)?y
或
x?x
．
000
注意：（1）直线方程 的几种形式：点斜式、
斜截式、两点式、截矩式、一般式、向量式．以
及各种形式的局限性．（ 如点斜式不适用于斜率
不存在的直线，还有截矩式呢？）
与直线
l:Ax?By?C ?0
平行的直线可表示为
Ax?By?C
1
?0
；
第 21 页 共 33 页

与直线
l:Ax?By?C?0
垂直的直线可表示为
Bx?Ay?C
1
?0
；
00
过点< br>P(x,y)
与直线
l:Ax?By?C?0
平行的直线可
表示为：
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
00
； < br>过点
P(x,y)
与直线
l:Ax?By?C?0
垂直的直线可
表示为：
B(x?x
0
)?A(y?y
0
)?0
． < br>（2）直线在坐标轴上的截距可正、可负、
也可为0．直线两截距相等
?
直线的 斜率为-1或
直线过原点；直线两截距互为相反数
?
直线的斜
率为1或直线过 原点；直线两截距绝对值相等
?
直线的斜率为
?1
或直线过原点．
（3）在解析几何中，研究两条直线的位置
关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何
中一 般提到的两条直线可以理解为它们不重合．
3．相交两直线的夹角和两直线间的到角是
两个不 同的概念：夹角特指相交两直线所成的较
]
，而其到角是带有方向的角，小角，范围是
(0,
?
2
范围是
(0,
?
)
．
注：点到直线的距离公式
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
．
第 22 页 共 33 页

特别：
l?l
12
?k
1
k2
??1(k
1
、k
2
都存在时)?A
1
A< br>2
?B
1
B
2
?0
；
l
1
l
2
?
?
k
1
?k
2
AB?A
2
B
1
(k
1
、k
2
都存在时)?
12< br>b
1
?b
2
AC
12
?A
2
C1
?
；
．
l
1
、l
2
重合??
AB?A
2
B
1
k
1
?k
2
(k
1
、k
2
都存在时)?
12
b
1
= b
2
AC
12
?A
2
C
1
或B
1
C
2
?B
2
C
1
?
4．线性规划中几个概 念：约束条件、可行解、
可行域、目标函数、最优解．
5．圆的方程：最简方程
x< br>(x?a)
2
?(y?b)
2
?R
2
2
?y
2
?R
2
；标准方程
；
；
2
一般式方 程
x?y
2
?Dx
?Ey?F?0(D
2
?E
2< br>?4F?0)
?Rcos
?
(
?
为参数）参数方程
?
x
；
y?Rsin
?
直径式方程
(x?x)(x?x)? (y?y)(y?y)?0
．
1212
注意：
（1）在圆的一般式方程中 ，圆心坐标和半
,?
E
),R?
1
D?E?4F
． 径分别 是
(?
D
222
22
（2）圆的参数方程为“三角换元”提供了样< br>板，常用三角换元有：
x
2
?y
2
?1?x?cos
?
,y?sin
?
，
x
2
?y
2
?2? x?2cos
?
,y?2sin
?
，
x
2
?y< br>2
?1?x?rcos
?
,y?rsin
?
(0?r?1)< br>，
．
x
2
?y
2
?2?
x?rcos< br>?
,y?rsin
?
(0?r?2)
6．解决直线与圆的关系问题有“ 函数方程思想”
和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解，重
第 23 页 共 33 页

要的是发挥“圆的平面几何性质（如半径、半弦
长、弦心距构成直角 三角形，切线长定理、割线
定理、弦切角定理等等）的作用!”
（1）过圆
x
是：
xx?yy
00
2
?y
2
?R
2
上 一点
P(x,y)
圆的切线方程
00
?R
2
，
2
过圆
(x?a)
方程是：
(x?a)(x
0
2
?( y?b)
2
?R
2
上一点
P(x,y)
圆的切线
0 0
?a)?(y?a)(y
0
?a)?R
2
2
，
22
过圆
x?y?Dx?Ey?F?0
(D?E?4F?0)
上一点
P(x,y)
圆的切线方程是：
xx?yy?
D
(x?x)?
E(y?y)?F?0
．
22
00
0000
如果点
P( x,y)
在圆外，那么上述直线方程
00
表示过点
P
两切线上两切点 的“切点弦”方程．
如果点
P(x,y)
在圆内，那么上述直线方程
00< br>表示与圆相离且垂直于
OP
（
O
为圆心）的直线方
1
1
程，
|OP|?d?R
（
d
为圆心
O
到直线的距 离）．
2
1
1
7．曲线
C:f(x,y)?0
与
C
12
:g(x,y)?0
的交点坐标
?
方程组
?
f(x,y)?0
g(x,y)?0
的解；
1
过两圆
C:f(x, y)?0
、
C
系为
f(x,y)?
?
g(x,y)?0f(x,y)?
?
g(x,y)?0
2
:g(x,y)?0
交点 的圆（公共弦）
，当且仅当无平方项时，
八、圆锥曲线
为两圆公共弦所在直线方程．
1．圆锥曲线的两个定义，及其“括号”内的限制
第 24 页 共 33 页

条件，在圆锥曲线问题中，如果涉及到其两焦点
（两相异定点），那 么将优先选用圆锥曲线第一
定义；如果涉及到其焦点、准线（一定点和不过
该点的一定直线）或 离心率，那么将优先选用圆
锥曲线第二定义；涉及到焦点三角形的问题，也
要重视焦半径和三角 形中正余弦定理等几何性
质的应用．
（1）注意：①圆锥曲线第一定义与配方法的
综合运用；
②圆锥曲线第二定义是：“ 点点距为分
子、点线距为分母”，椭圆
?
点点距除以点线距
商是小于1的正数 ，双曲线
?
点点距除以点线距
商是大于1的正数，抛物线
?
点点距除 以点线距
商是等于1．③圆锥曲线的焦半径公式如下图：
a?ex
a?ex
a?ex
?(a?ex)
a?ex

x?
p
2

?(a?ex)


2．圆锥曲线的几何性质：圆锥曲线的对称性、
圆锥曲线的范围、圆锥曲 线的特殊点线、圆锥曲
c
，椭圆中
b
?1?e
、双曲线的变化趋势． 其中
e?
aa
2
第 25 页 共 33 页

?
线中
b
a
e
2
?1
．
重视“ 特征直角三角形、焦半径的最值、焦
点弦的最值及其‘顶点、焦点、准线等相互之间
与坐标系无 关的几何性质’”，尤其是双曲线中焦
半径最值、焦点弦最值的特点．
注意：等轴双曲线的意义和性质．
3．在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函
数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价
转化求解．特别是：
①直线与圆锥曲线相交 的必要条件是他们构
成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，
务必“判别式≥0”，尤其 是在应用韦达定理解决问
题时，必须先有“判别式≥0”．
②直线与抛物线（相交不一定交于 两点）、双
曲线位置关系（相交的四种情况）的特殊性，应
谨慎处理．
③在直线与圆 锥曲线的位置关系问题中，常与
“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中
点弦”问 题关键是“韦达定理”或“小小直角三角
形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长
度 （弦长）公式
（
|AB|?(x
1
?x
2
)
2< br>?(y
1
?y
2
)
2
，
|AB|?1?k< br>2
|x
2
?x
2
|?1?k
2
?
?
x
|a|
,
第 26 页 共 33 页

?
y
1
1
|AB|?1?
2
|y
1
? y
2
|
?1?
2
?
k|a|
k
）或“小小 直角三角形”．
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的
点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化． < br>4．要重视常见的寻求曲线方程的方法（待定系
数法、定义法、直译法、代点法、参数法、交轨< br>法、向量法等）, 以及如何利用曲线的方程讨论
曲线的几何性质（定义法、几何法、代数法、方
程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和等
价转化思想等），这是解析几何的两类基本问题 ，
也是解析几何的基本出发点．
注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那
么应从 已知向量的特点出发，考虑选择向量的几
何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向
量的 代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化．
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个
不同的概 念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹
上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．
③在与 圆锥曲线相关的综合题中，常借助于
“平面几何性质”数形结合（如角平分线的双重身
份）、“ 方程与函数性质”化解析几何问题为代数
问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求
第 27 页 共 33 页

值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等．
九、直线、平面、简单多面体
1．计算异面直线所成角的关键是平移（补形）
转化为两直线的夹角计算
2．计算直 线与平面所成的角关键是作面的垂线
找射影，或向量法（直线上向量与平面法向量夹
角的余角） ，三余弦公式（最小角定理，
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2
），或先运用等积法求点到直线的距
离，后虚拟直角三角形求解．注：一 斜线与平面
上以斜足为顶点的角的两边所成角相等
?
斜线
在平面上射影为角的 平分线．
3．空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定
义、公理、定理和空间向量进行，请 重视线面平
行关系、线面垂直关系（三垂线定理及其逆定理）
的桥梁作用．注意：书写证明过程 需规范．
特别声明：
①证明计算过程中，若有“中点”等特殊点
线，则常借助于“中位线、重心”等知识转化．
②在证明计算过程中常将运用转化思想，将
具体问题转化 （构造） 为特殊几何体（如三棱
锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等）中问
题，并获得去解决．
第 28 页 共 33 页

③如果根据已知条件，在几何体中有 “三条
直线两两垂直”，那么往往以此为基础，建立空
间直角坐标系，并运用空间向量解决问题 ．
4．直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正
方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、 侧面、
对角面、平行于底的截面的几何体性质．
如长方体中：对角线长
l?
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
? 2ab?2bc?2ca
a
2
?b
2
?c
2
，棱长 总和
为
4(a?b?c)
，全（表）面积为
2(ab?bc?ca)
，（结合
可得关于他们的等量关
系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关
系式） ，
cos
?
?cos
22
?
?cos
2
?
?2(1)
；
如三棱锥中：侧棱长相等（侧棱与底面所成
角相等）
?
顶点在底上射影为底面外心，侧棱两
两垂直（两对对棱垂直）
?
顶点在底上 射影为底
面垂心，斜高长相等（侧面与底面所成相等）且
顶点在底上在底面内
?
顶点在底上射影为底面
内心．
如正四面体和正方体中：
6
a
3
arccos
1
3
arccos
3
3
V?
2
a
3
12
3
a
3
a
3
a6

5．求几何体体积的常规方法是：公式法、割补
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法、等积（转换）法、比例（性质转换）法等．注
意：补形：三棱锥
?
三棱柱
?
平行六面体 分
割：三棱柱中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积
关系是 ．
6．多面体是由若干个多边形围成的几何体．棱
柱和棱锥是特殊的多面体．
正多面体 的每个面都是相同边数的正多边形，
以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的
多面体只有 五种， 即正四面体、正六面体、正
八面体、正十二面体、正二十面体．

9．球体积公式
V?
4
?
R
，球表面积公式
S?4
?
R
，
3
3
2
是两个关于球的几何度量公式．它们 都是球半径
及的函数．
十、导 数
1．导数的意义：曲线在该点处的切线的斜率 （几
何意义）、瞬时速度、边际成本（成本为因变量、
产量为自变量的函数的导数）．
(x)
?
?nx
，
(C)
?
?0
（C
nn ?1
为常数），
[f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)? g
?
(x)
，
[Cf(x)]
?
?Cf
?
(x)
．
2．多项式函数的导数与函数的单调性：
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在一个区间上
f
?
(x)?0
（个别点取 等号）
?
f(x)
在
此区间上为增函数．
在一个区间上
f
?
(x)?0
（个别点取等号）
?
f(x)
在
此区 间上为减函数．
3．导数与极值、导数与最值：
（1）函数
f(x)
在< br>x
处有
f
?
(x)?0
且“左正右负”
?
f (x)
0
0
在
x
处取极大值；
0
函数
0
f(x)
在
x
0
处有
f
?
(x
0
)?0
且“左负右
正”
?
f(x)
在
x
处 取极小值．
注意：①在
x
处有
f
?
(x)?0
是 函数
f(x)
在
x
处
0
0
0
取极值的必要 非充分条件．
②求函数极值的方法：先找定义域，再
求导，找出定义域的分界点，列表求出极 值．特
别是给出函数极大（小）值的条件，一定要既考
虑
f
?
(x) ?0
，又要考虑验“左正右负”（“左负右正”）
0
的转化，否则条件没有用完，这一 点一定要切记．
③单调性与最值（极值）的研究要注意
列表！
（2）函数
f(x)
在一闭区间上的最大值是此函数
在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”； < br>函数
f(x)
在一闭区间上的最小值是此函
数在此区间上的极小值与其端点值中 的“最小
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值”；
注意：利用导数求最值的步骤：先找定
义域 再求出导数为0及导数不存在的的点，然
后比较定义域的端点值和导数为0的点对应函
数值的大小，其中最大的就是最大值，最小就为
最 小值．
4．应用导数求曲线的切线方程，要以“切点坐标”
为桥梁，注意题目中是“处?”还 是“过?”，对“二
次抛物线”过抛物线上一点的切线
?
抛物线上该
点处的切 线，但对“三次曲线”过其上一点的切线
包含两条，其中一条是该点处的切线，另一条是
与曲线 相交于该点．
5．注意应用函数的导数，考察函数单调性、最
y
f
?
(x)
值（极值），研究函数的性态，数形结合解决方
x
程不等式等相关问题．







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?2
1
?3
?1
O
4

十一、概率、统计、算法（略）
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