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详细版2020高中数学学业水平考试知识点

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 06:17
tags:高中数学知识点

学而思 高中数学60课时-高中数学对计算机有什么帮助


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2018年高中数学学业水平测试知识点
【必修一】
一、 集合与函数概念
并集:由集合A和集合B的元素合并在一起组成的集合,如果遇到重复的只取一次。记作:A∪B
交集:由集合A和集合B的公共元素所组成的集合,如果遇到重复的只取一次记作:A∩B
补集:就是作差。
1、集合
?
a
1
,a
2
,...,a
n
?
的子集个数共有
2
个;真子集有
2–1个;非空子集有
2
–1个;非空的真子有
2
–2个.
n nnn
2、求
y?f(x)
的反函数:解出
x?f(y)

x,y
互换,写出
y?f(x)
的定义域;函数图象关于y=x对称。
3、 (1)函数定义域:①分母不为0;②开偶次方被开方数
?0
;③指数的真数属于R、对数的真 数
?0
.
4、函数的单调性:如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量 x
1
,x
2
,当x
1
2
时,都有f( x
1
)<(
?
)f(x
2
),
那么就说f(x)在 区间D上是增(减)函数,函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质。
5、 奇函数:是
f(-x)=-f(x)
,函数图象关于原点对称(若
x?0
在其 定义域内,则
f(0)?0
);
偶函数:是
f(-x)=f(x)
,函数图象关于y轴对称。
6、指数幂的含义及其运算性质:
(1)函数
y?a(a?0且a?1)
叫做指数函数。
(2)指数函数
y?a
x
(a?0,a?1)

0?a?1
为减函数,当
a?1
为增函数;
rsr?s

a?a?a
;②
(a)?a
;③
(ab)?ab(a?0,b?0 ,r,s?Q)

(3)指数函数的图象和性质
7、对数函数的含义及其运算性质:

(1)函数
y?log
a
x(a?0,a?1)
叫对数
函数。

(2)对数函数
y?log
a
x(a?0,a?1)



0?a?1
为减函数,当
a?1
为增函数;
①负数和零没有对数;②1的对数
等于0 :
log
a
1?0
;③底真相同的对数
(1)定义域:R
等于1:
log
a
a?1

(2)值域:(0,+∞)

(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1

(3)对数的运算性质:如果
a
> 0 ,
a

(4)在 R上是增函数 (4)在R上是减函数
1 ,
M
> 0 ,
N
> 0,那么:
x
x
(5)
x?0,0?a?1
;
(5)
x?0,a?1
;
rsrsrrr
?1?1
x
log
a
MN?log
a
M?log
a
N< br>;

log
a
M
?log
a
M?log
a
N
; ③
log
a
M
n
?nlog< br>a
M(n?R)

N
log
c
b
(a?0 且a?1,c?0且c?1,b?0)

log
c
a
(4)换底公式 :
log
a
b?
(5)对数函数的图象和性质







(1)定义域:(0,+∞)
(2)值域:R


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(3)过定点(1,0),即x=1时,y=0
(4)在 (0,+∞)上是增函数 (4)在(0,+∞)上是减函数
(5)
x?1,log
a
x?0
; (5)
x?1,log
a
x?0

8、幂函数:函数
y? x
叫做幂函数(只
考虑
?
?1,2,3,?1,
?
1
的图象)。
2
9、方程的根与函数的零点:如果函数
,
b
] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有
f(a)?f(b)?0
,那么,函数
y?f (x)
在区间 (
a
,
y?f(x)
在区间 [
a

b
) 内有零点,即存在
c?(a,b)
,使得f(c)?0
这个
c
就是方程
f(x)?0
的根。
【必修二】
一、直线 平面 简单的几何体
1、长方体的对角线长
l2
?a
2
?b
2
?c
2
;正方体的对角线长< br>l?
2、球的体积公式:
v?
3a

4
? R
3
; 球的表面积公式:
S?4
? R
2

3
3、柱体、锥体、台体的体积公式:
1
V
柱体
=
S
h (
S
为底面积,
h
为柱体高);
V
锥体
=
Sh
(
S
为底面积,
h
为柱体高)
3
1
V
台 体
=(
S
’+
S'S
+
S
)
h
(
S
’,
S
分别为上、下底面积,
h
为台体高)
3
4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理:
(1)四公理三推论:
公理1:若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内。
公理2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。
公理3:如果两个平面有一个公共 点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面。
公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
(2)空间线线,线面,面面的位置关系:
空间两条直线的位置关系:
相交直线——有且仅有一个公共点;
平行直线——在同一平面内,没有公共点;
异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。
空间直线和平面的位置关系:
(1)直线在平面内(无数个公共点);
(2)直线和平面相交(有且只有一个公共点);
(3)直线和平面平行(没有公共点)它们 的图形分别可表示为如下,符号分别可表示为
a?
?

aI
??A

a
?

空间平面和平面的位置关系:
(1)两个平面平行——没有公共点;
(2)两个平面相交——有一条公共直线。
5、直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么该直线与这个平面平行。 < br>a?
?
?
?
符号表示:
b?
?
?
? a
?
。图形表示:
ab
?
?
6、两个平面平行的判定定理 :如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行。
a?
?
?
b?
?
?
?
?
符号表示:
aIb?P
?
?
?

?
。图形表示:
?
a
?
?
b
?
?
?
7、. 直线 与平面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与已知平面相交,那么交线与
这条直线平行。


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?
?
符号表示:
a?
?
?
?ab
。 图形表示:
?
I
?
?b
?
?
a
?
8、两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们交线的平行。
符号表示:
?




?
,
?
I
?
?a,
?
I
?
?b?ab
9、直线 与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么
这条直线垂直于这个平面。
符号表示:
a?
?
,b?
?
,aIb?P,l?a,l?b?l?
?
10、.两个平面垂直的判定定理:一个平面 经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
符号表示:
l?
?
,l?
?
?
?
?
?
11、直线与平面垂直的性质:如果两 条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
a?
?
?
符号表示:
?
?ab

b?< br>?
?
12、平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么在其中一个平面内垂直 于交线的直线垂直于另一个平面。
符号表示:
l?
?
,
?
I
?
?m,l?m?l?
?
.
P
13、异面直线所成角:平 移到一起求平移后的夹角。
l
直线与平面所成角:直线和它在平面内的射影所成的角。(如右图)
14、异面直线所成角的取值范围是
?
0?,90?
?

?
直线与平面所成角的取值范围是
?
0?,90?
?

二面角的取值范围是
?
0?,180?
?

两个向量所成角的取值范围是
?
0?,180?
?

二、直线和圆的方程
1、斜率:
k?tan
?

k?(? ?,??)
;直线上两点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)
,则斜率为
2、直线的五种方程 :
(1)点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
,且斜率为
k
).
(2)斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
?
Hk?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
y?y
1
x?x
1
?
( (
P
1
(x1
,y
1
)

P
2
(x
2
, y
2
)
; (
x
1
?x
2
)、(
y
1
?y
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
(4)截距式
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距,
a、b?0
)
ab
(5)一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
(3)两点式
3、两条直线的平行、重合和垂直:
(1)若
l
1
:y?k
1
x?b
1

l
2
:y?k2
x?b
2


l
1

l
2
?k
1
?k
2
且b
1

b
2;


l
1
与l
2
重合时?k
1?k
2
且b?b
2


l
1
?l< br>2
?k
1
k
2
??1
.

(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零,

l
1
||l
2
?
A< br>1
B
1
C
1
;②
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0< br>
??
A
2
B
2
C
2
22
4、两点P
1
(x
1
,y
1
)、P
2
(x
2
,y
2
)的距离公式 │P
1
P
2
│=
(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)

5、两点P
1
(x
1
,y
1
)、P< br>2
(x
2
,y
2
)的中点坐标公式 M(
x
1
?x
2
y?y
2

1

2
2
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
6、点P(x
0
,y
0
)到直线(直线方程必须化为一般式)A x+By+C=0的距离公式d=
7、平行直线Ax+By+C
1
=0、Ax+By+ C
2
=0的距离公式d=
22
2

C
2
?C
1
A?B
22

8、圆的方程: 标准方程
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r< br>,圆心
?
a,b
?
,半径为
r


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22
22
DED?E?4F

22
一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
,(配方:
(x?)?(y?)?
224
D2
?E
2
?4F?0
时,表示一个以
(?
D
, ?
E
)
为圆心,半径为
1
D
2
?E
2?4F
的圆;
22
2
9、点与圆的位置关系:

P (x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:

d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
,则
22
222
d?r?

P
在圆外;
d?r?
点< br>P
在圆上;
d?r?

P
在圆内.
10、直线与圆的位置关系:
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x? a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
222
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.其中
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
.
11、弦长公式:
若直线y=kx+b与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相交 于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
) 两点,则由
二次曲线方程
ax
2
+bx+c=0(a≠0)
y=kx+m
则知直线与二次曲线相交所截得弦长为:
AB
=
(x
2
? x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2< br> =
1?k
2
x
1
?x
2
=
(1 ?k
2
)(x
1
?x
2
)?4x
1
x2

2
??
11
2
2
=
1 ?
2
y
1
?y
2
?(1?
2
)(y
1
?y
2
)?4y
1
y
2
=
1?kkk
??
b
2
?4ac

a
13、 空间直角坐标系,两点之间的距离公式:
⑴ xoy平面上的点的坐标的特征A(x,y,0):竖坐标z=0
xoz平面上的点的坐标的特征B(x,0,z):纵坐标y=0
yoz平面上的点的坐标的特征C(0,y,z):横坐标x=0
x轴上的点的坐标的特征D(x,0,0):纵、竖坐标y=z=0
y轴上的点的坐标的特征E(0,y,0):横、竖坐标x=z=0
z轴上的点的坐标的特征E(0,0,z):横、纵坐标x=y=0
⑵│P
1
P
2
│=
(x
2
-x
1
)?(y
2
-y
1
)?(z
2
-z
1


【必修三】
算法初步与统计:
以下是几个基本的程序框流程和它们的功能
图形符号 名称
终端框(起止框)



输入、输出框
处理框(执行框)
222
功能
表示一个算法的起始和结束
表示一个算法输入输出的信息
赋值、计算(语句、结果的传送)
判断某一条件是否 成立时,在出口处
标明“是”或“Y”,不成立时标明
“否”或“N”
连接程序框(流程进行的方向)
连接程序框图的两部分
帮助注解流程图
程序做重复运算

判断框




流程线
连接点
注释框
循环框


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一、算法的三种基本结构:(1)顺序结构(2)条件结构(3)循环结构
二、算法基本语句:1、输入语句:输入语句的格式:INPUT “提示内容”; 变量。2、输出语 句:输出语句的一般格式:
PRINT“提示内容”;表达式。3、赋值语句:赋值语句的一般格式:变 量=表达式。4、条件语句(1)“IF—THEN—ELSE”
语句。5、循环语句:直到型循环结构 “DO—LOOP UNTIL”语句和当型循环结构“WHILE—WEND”。
三.三种常用抽样方法:
1、简单随机抽样;2.系统抽样;3.分层抽样。4.统计图表: 包括条形图,折线图,饼图,茎叶图。
四、频率分布直方图:具体做法如下:(1)求极差(即一组数 据中最大值与最小值的差);(2)决定组距与组数;
(3)将数据分组;(4)列频率分布表;(5 )画频率分布直方图。注:频率分布直方图中小正方形的面积=组距×频率。
2、频率分布直方图:
频率=小矩形面积
(注意:不是小矩形的高度)
计算公式:
频率=
频数
样本容量

频数=样本容量?频率

频率=小矩形面积=组距?
频率
组距

各组频数之和=样本容量, 各组频率之和=1
3、茎叶图:茎表示高位,叶表示低位。
折线图:连接频率分布直方图中小长方形上端中点,就得到频率分布折线图。
4、刻画一组数据集中趋势的统计量:平均数,中位数,众数。
在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数;
将一组数据按照从大到小(或从小到 大)排列,处在中间位置上的一个数据(或中间两位数据的平均数)叫做这组
数据的中位数;
5、刻画一组数据离散程度的统计量:极差 ,极准差,方差。
(1)极差一定程度上表明数据的分散程度,对极端数据非常敏感。
(2)方差,标准差越大 ,离散程度越大。方差,标准差越小,离散程度越小,聚集于平均数的程度越高。
(3)计算公式:
标准差:
方差:
?
,截距为
a
?
x+
a
?
=
b
?
,即回归方程为
y
?
(此直线必过点(
x

y
)直线回归方程的斜率为
b
)。
6、频率分布直方图:在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,方长方形的高与频 数成正比,
各组频数之和等于样本容量,频率之和等于1。
五、随机事件:在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母A,B,C…表示.
随机事件的概率:在大量重复进行同一试验时,事件
A
发生的频率 总接近于某个常 数,在它附近摆动,这时就把
这个常数叫做事件
A
的概率,记作
P

A
)。由定义可知0≤
P

A
)≤1,显然必然事件的概率 是1,不可能事件的概率
是0。
1、事件间的关系:
(1)互斥事件:不能同时发生的两个事件叫做互斥事件;
(2)对立事件:不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件;
(3)包含:事件A发生时事件B一定发生,称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A);
(4)对立一定互斥,互斥不一定对立。
2、概率的加法公式:
(1)当
A

B
互斥时,事件
A
+
B
的概率满足加法公式:
P

A
+
B
)=
P

A
)+
P

B
)(
A

B
互斥)(2)若事 件A与B为对
立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B).
3、古典概型:
(1)正确理解古典概型 的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2)每个基本事件出现的可能
性相等;( 2)掌握古典概型的概率计算公式:
P(A)?
事件A包含的基本事件个数
实验中基 本事件的总数
?
m

n
4、几何概型:
(1)几何概率模 型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率
模型为 几何概率模型。
(2)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2 )每个基本事件出现的可能性相
等.
(3)几何概型的概率公式:
P(A)?
【必修四】
一、 三角函数
事件A构成的区域的长度(面积或 体积)
实验的全部结果构成的区域的长度(面积或体积)


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1、弧 度制:(1)、
180?
?
弧度,1弧度
?(
?
180?
)
?
?57
?
18
'
;弧长公式:
l?|
?
|r

l

?
所对的弧长,
r
为半径,
正负号的确定:逆时针为正,顺时针为负)。
2、三角函数:
yxyx
(1)、定义:
sin
?
?  
r?
cos
?
?
 
 tan
?
?  cot
?
?  
rrxy
3、特殊角的三角函数值:
x
2
?y
2















?
的角度

?
的弧度

















2





2




















4、同角三角函数基本关系式:
sin
?
?cos
??1

tan
?
?
sin
?

tan
?
cot
?
?1

cos
?
3、诱导公式三:
5、诱导公式:(众变横不变,符号看象限) 正弦上为正;余弦右为正;正切一三为正。
1、 诱导公式一: 2、 诱导公式二:
4、诱导公式四: 5、诱导公式五: 6、诱导公式六:
6、两角和与差的正弦、余弦、正切:
S
(
?
?
?
)

sin(
?
?
?
)?sin?
cos
?
?cos
?
sin
?

S
(
?
?
?
)

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
si n
?

C
(
?
?
?
)

cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

C
(
?
?
?
)

cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

T
(
?
?
?
)

tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?

T
(
?
?
?
)

tan(
?< br>?
?
)?
tan
?
?tan
?

1 ?tan
?
tan
?
1?tan
?
tan
?
tan
?
+tan
?
= tan(
?
+
?
)(
1?
tan
?
tan
?
) tan
?
-tan
?
= tan(
?
-
?
)(
1?
tan
?
tan
?
)
7、辅助角公式:
asinx?bcosx?a
2
?b
2
?
?
??< br>ab
?
sinx?cosx
?

2222
a?b?
a?b
?
2222
8、二倍角公式:(1)、
S
2< br>?

sin2
?
?2sin
?
cos
?
C
2
?

cos2
?
?cos
?
?sin
?
?1?2sin
?
?2cos
?
?1

T
2
?

tan2
?
?
2tan
?

2
1?tan
?
(2)、降次公式:(多用于研究性质)
9、在< br>y?sin
?
,y?cos
?
,y?tan
?
,y? cot
?
四个三角函数中只有
y?cos
?
是偶函数,其它三个是寄 函数。(指数
函数、对数函数是非寄非偶函数)
10、在三角函数中求最值(最大值、最小值 );求最小正周期;求单调性(单调第增区间、单调第减区间);求对称轴;
求对称中心点都要将原函数 化成标准型;
y?
y?
如:
y?
y?
Asin(
?
x?
?
)?b
Acos(
?
x?
?
)? b
再求解。
Atan(
?
x?
?
)?b
Acot (
?
x?
?
)?b
y=sinx



奇函数 偶函数
y=cosx



奇函数
y=tanx
11、三角函数的图象与性质:
函数
图象
定义域
值域
奇偶性



周期性


[2k
?
?

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,2k
?
?]
(k?Z)


[2k
?
?
?
,2k
?
](k?Z)

22

(k?Z)

单调性
?
3
?

[2k
?
,2k
?
?
?
]
(k?Z)


[2k
?
?,2k
?
?]
(k?Z)

22

x?
?
?2k
?
,k?Z
时,y
max
?1


x?2k
?
,k?Z
时,
y
max
?1

2
最值 无
?
y??1
当时,
x?(2k?1)
?
,k?Z

x???2k
?
,k?Z
时,
y
min
??1< br>
min
2
对称中心
(k
?
,0)

k?Z

对称中心
(k
?
?
?
,0)

k?Z

对称中心
(k
?
,0)

k?Z

2
对称性
?
对称轴:
x?k
?
?
(k?Z)

对称轴:无
对称轴:
x?k
?
(k?Z)

2< br>12.函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
的图 象:
(1)用“图象变换法”作图
由函数
y?sinx
的图象通过变换得 到
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象,有两种主要途径“先 平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。
法一:先平移后伸缩
纵坐标变为原来的A倍
? ??????
1
??y?Asin(
?
x?
?
)
y ?sinx?????????y?sin(x?
?
)
横坐标变为原来的倍
横 坐标不变
平移|
?
|个单位
?


?
x?
?


?????????y?sin
??
向左(
?
?0)或向右(
?
?0)
纵坐标不变
法二:先伸缩后平移
当函数
y?Asin(
?
x?
?
)
(A> 0,
?
?0

x?[0,??)
)表示一个振动量时,A就表示这个 量振动时离开平衡
位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次所需要的时间
T?
间内往复振动的次数
f?
二、平面向量
1、平面向量的概念: < br>2
?
?
,它叫做振动的周期;单位时
12
?
,它叫做 振动的频率;
?
x?
?
叫做相位,
?
叫做初相(即当x=0 时的相位)。
?
T
?
?
1
?
在平面内,具有大小 和方向的量称为平面向量.
?
2
?
向量可用一条有向线段来表示.有向线段 的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.
uuur
uuur
,记作
??

?
3
?
向量
??
的大小称为向量的模(或长度)
?
4
?
模 (或长度)为
0
的向量称为零向量;模为
1
的向量称为单位向量.
rr
r
?
5
?
与向量
a
长度相等且方向相反的向量 称为
a
的相反向量,记作
?a

?
6
?
方向相同且模相等的向量称为相等向量.
2、实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,那么
?
?
?
??
????
(1) 结合律:λ(μ
a< br>)=(λμ)
a
;(2)第一分配律:(λ+μ)
a

a

a
;(3)第二分配律:λ(
a?b
)=λ
a

b
.
?
?
?
?
3、向量的数量积的运算律:(1)
a
·
b
=
b
·
a
(交换律); ??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
(2)(
?
a
)·
b
=
?

a
·
b
)=
?
a
·
b
=
a
·(
b
?
);(3)(
a?b
) ·
c
=


a
·
c
+
b
·
c
.
4、平面向量基本定理:
?
?如果
e
1

e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么 对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ
1
、λ
2
,使得
?
?
?
a

1
e
1

2
e
2

?
?
不共线的向量
e1

e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
????
5、坐标运算:(1)设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
? y
2
?

数与向量的积:λ
a?
?
?
x< br>1
,y
1
?
?
?
?
x
1
,
?
y
1
?
,数量积:
a?b?x
1
x2
?y
1
y
2

(2)、设A、B两点的坐标分别为( x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),则AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y1
?
.(终点减起点)
?
???
uuuruuuruuur< br>22
6、平面两点间的距离公式:(1)
d
A,B
=
|AB |?AB?AB
?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y< br>1
)


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(2) 向量
a
的模|
a
|:
|a|
2
?a?a
? x?y

22
(3)、平面向量的数量积:
a?b?a?bcos
?
, 注意:
0?a?0

0?a?0

a?(?a)?0
(4)、向量
a?
?
x
1
,y
1
?
, b?
?
x
2
,y
2
?
的夹角
?
, 则,
x
2
?y
2
x
2
?y
2
7、重要结论:(1)、两个向量平行:
ab?a?
?
b

(
?
?R)

ab?

x
1
y< br>2
?x
2
y
1
?0

(2)、两个非零向量垂直
a?b?x
1
x
2
?y1
y
2
?0

(3)、P分有向线段
P
1
P
2
的:设P(x,y) ,P
1
(x
1
,y
1
) ,P
2
(x
2
,y
2
) ,且
P
1
P?
?
PP
2

则定比分点坐标公式 中点坐标公式
三、空间向量
1、空间向量的概念:(空间向量与平面向量相似)
??
????
11?
????
????
??
cos
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?
22
?< br>1
?
在空间中,具有大小和方向的量称为空间向量.
?
2
?
向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.
uuur
uuur
,记作
??

?
3
?
向量
??
的大小称为向量的模(或长度)
?
4
?
模 (或长度)为
0
的向量称为零向量;模为
1
的向量称为单位向量.
rr
r
?
5
?
与向量
a
长度相等且方向相反的向量 称为
a
的相反向量,记作
?a

?
6
?
方向相同且模相等的向量称为相等向量.
2、实数
?
与空间向量
a
的乘积
?
a
是一个向量,称为向量的数乘运 算.当
?
?0
时,
?
a

a
方向相同;当
?
?0
时,
r
rr
r
r
r
rrr
r
?
a

a
方向相反;当
?
?0
时,
?
a
为零向量,记为
0

?
a
的长度是
a
的长度的
?
倍.
r
r
3、设
?

?
为实数,
a

b
是空间任意两个向量,则 数乘运算满足分配律及结合律.
r
r
r
r
rr
分配律:< br>?
a?b?
?
a?
?
b
;结合律:
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
. < br>??
4、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向 量,并规定零向量与任何
向量都共线.
r
r
r
r
r
rr
5、向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量
a

bb?0

ab
的充要条件是存在实数
?
,使
a?
?
b< br>.
??
6、平行于同一个平面的向量称为共面向量.
uuuruuuruu ur
7、向量共面定理:空间一点
?
位于平面
??C
内的充要条件是 存在有序实数对
x

y
,使
???x???y?C
uuur
r
uuur
r
r
r
r
r
8、 已知两个非零向量
a

b
,在空间任取一点
?
,作
???a

???b
,则
????
称为向量
a
,< br>b
的夹角,记作
r
r
r
r
?a,b?
.两个 向量夹角的取值范围是:
?a,b??
?
0,
?
?
r
r
?
r
r
r
r
r
r
9、对 于两个非零向量
a

b
,若
?a,b??
,则向量
a

b
互相垂直,记作
a?b

2
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
10、已知两个非零向量
a

b
,则
abcos?a,b?
称为
a

b
的数量积, 记作
a?b
.即
a?b?abcos?a,b?
.零向量
r
r
r
r
r
r
r
r
r
b
a?bbcos?a,b?
的乘积. 11、等于
a
的长度
a
与在a
的方向上的投影
r
r
r
r
r
rrrrrrr
rr
12、若
a

b
为非零向量,
e
为单 位向量,则有
?
1
?
e?a?a?e?acos?a,e?

?
2
?
a?b?a?b?0

r
r
r
r
r
r
?
aba与b同向
r
r
r
a?br
rrr
2
rrr
?
a?b?
cos?a,b??,,;
a?a?a
a?a?a
34
????
?
r
r
r
r
r
r

ab
?aba与b反向
?
?
r
r
rr
r
r
r
r
r
rr
r
rrr
r
r
13、量数乘积的运算律:
?
1
?
a?b?b?a

?
2
?
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b

?< br>3
?
a?b?c?a?c?b?c

r
r
r
r
r
r
14、若空间不重合两条直线
a

b
的方 向向量分别为
a

b
,则
ab?ab?
a?
?b
?
?
?R
?

r
r
r
r
异面垂直时
a?b?a?b?a?b?0

r
r
r
r
r
r
15、若空间不重合的两个平面
?

?
的 法向量分别为
a

b
,则
?

?
?ab?< br>a?
?
b

与任何向量的数量积为
0

??
??
??????


r
r
r
r
?
?
?
?a?b?a?b?0

rr
16、直线
l
垂直
?
,取直线
l
的方向向量
a
,则向量
a
称为平面
?
的法向量.
【必修五】:
一、解三角形:(1)三 角形的面积公式:
S
?
?
(2)正弦定理:
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111
absinC?acsinB?bcsinA

222
ab c
???2R,边用角表示:a?2RsinA, b?2RsinB,c?2RsinC
< br>sinAsinBsinC
a
2
?b
2
?c
2
?2bc?cosA
(3)、余弦定理:
b
2
?a
2< br>?c
2
?2ac?cosB
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC?(a?b)
2
?2ab(1?cocC)
(4 )求角:
二. 数列
?
a
1
?S
1
(n?1 )
1、数列的前n项和:
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n
; 数列前n项和与通项的关系:
a

n
?
?
?
S
n
?S
n?1
(n? 2)
2、等差数列 :(1)、定义:等差数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数< br>(a
n
?a
n?1
?d)

(2)、通项公式:
a
n
?a
1
?(n?1)d
(其中首项是
a
1
,公差是
d
;)
na
1
(d?0)
(3)、前n项和:
S
n
?

n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
(d≠0)
?na
1
?d
22
(4)、等差中项:
A

a

b
的等差中项: 或
2A ?a?b
,三个数成等差常设:
a-d

a

a+d

a
3、等比数列:(1)、定义:等比数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一 个常数
(
n
?q)

q?0
)。
a
n? 1
a
1
q
n?1
(其中:首项是(2)、通项公式:
an
?
?
na
1
,(q?1)
a
1
,公 比是
q

(3)、前n项和:
S

n
?
?
?
a
1
?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
?,
b
(q?1)
2
?
a
1
G
(4)、等比中项:
G
是与的等比中项:, 即
G?ab
(或
G??ab
,等比中项有两个)
b
?q1?q
?
?
aG
三:不等式
22
22
1、重要不等式:(1)
a,b?R
?
a?b?2ab
或 (当且仅当a=b时取“=”号).
ab?
2、均值不等式:(2)
a,b?R
?

?
a?b
?ab

ab?()
2
2
2
a?b
2
?ba
(当且 仅当a=b时取“=”号).
一正、二定、三相等
注意:解指数、对数不等式的方法:同底法,同时对数的真数大于0;

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