高中数学选修内容知识点归纳

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选修之1 常用逻辑用语
一、命题及其关系
1.命题
（1）用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 其中判断为真的
语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
（2）对于“若p，则q”形式的例题，p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.
2.四种命题
原命题：若p，则q .
逆命题：若q，则p .
（2）如果q成立时，p一定成立，即q
?
p，则称p是q的必要条件；
（ 3）如果既有p
?
q，又有q
?
p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件 .







三、简单的逻辑联结词
1.联结词及记号

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逻辑联结词
且
或
非

记 号
p∧q
p∨q
意 义
p且q
p或q
非p
?p

（2）全称命题“对M中任意一个x，有p (x)成立”可用符号简记为
?x?M,p(x)
，
读作“对任意x属于M，有p (x)成立”.
2.存在量词
（1）短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符 号“
?
”
表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题．
注：常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等.
（2）特称命题“存在M中的一个x，使p (x)成立”可用符号简记为
?x?M,p(x)
，
读作“存在一个x属于M，使p (x)成立”.
3.含有一个量词的命题的否定
（1）全称命题
p:?x?M,p(x).

否定
?p:?x?M,?p(x).

（2）特称命题
p:?x?M,p(x).

否定
?p:?x?M,?p(x).

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选修之2 圆锥曲线
一、椭 圆
1.定义
平面内与两个定点F
1
，F
2
的距离的和等于常数（大于｜F
1
F
2
｜）的点的轨迹叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2.标准方程
x
2
y
2
（1）焦点在x轴上：
2
?
2
?1
.
ab

二、双曲线
1.定义
平面内与两个定点F
1
，F
2
的距离的差的绝对 值等于常数（小于｜F
1
F
2
｜）的点的轨迹
叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2.标准方程
x
2
y
2
（1）焦点在x轴上：
2
?
2
?1
.
ab
y
2
x
2
（2）焦点在y轴上：
2?
2
?1
.
ab
说明：注意双曲线中c为a，b，c中的最大 数，c
2
=a
2
+b
2
.

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3.双曲线的简单几何性质
性质
范围
对称性
顶点
渐近线
离心率

焦点在x轴
x
≤
－a或x≥a
关于x轴、y轴成轴对称，
关于原点成中心对称.
A
1
(－a , 0)，A
2
(a , 0)
焦点在y轴
y
≤
－a或y≥a
A
1
(0 , －B)，A
2
(0 , b)
y??
b
x

a
y??
a
x

b
e?
c

a
e?
c

a
（3）开口向上：x
2
=2py.
（4）开口向下：x
2
=－2py.
3.抛物线的简单几何性质
性质
范围
对称性
顶点
离心率
焦点
准线方程
开口向左
x≥0
x轴
O(0 , 0)
e=1
开口向右
x
≤
0
x轴
O(0 , 0)
e=1
开口向上
y≥0
y轴
O(0 , 0)
e=1
开口向下
y
≤
0
y轴
O(0 , 0)
e=1
p
(,0)

2
x??
p

2
(?
p
,0)

2
p

2
x?
p
(0,)

2
p
y??

2
p
(0,?)

2
y?
p

2

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四、直线与圆锥曲线的位置关系
1.交点
（1）将直线与圆锥曲线的方程联立得到方程组，则方程组的解就是交点的坐标.
（2）消掉一个未知数后可得关于另一个未知数的一元二次方程，设此方程的判别式为
Δ，则有
相交
?
方程有两不同解
?
Δ>0；
相切
?
方程有两相同解
?
Δ＝0；
相离
?
方程无实数解
?
Δ＜0.
2.弦长公式

P＝{M | p (M)}；
（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f (x , y)=0；
（4）化方程f (x , y)=0为最简形式；
（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
注：化简前后方程的解集一般是相同的，步骤（5）可省略不写. 如果有的点其坐标满
足求出 的方程，但该点不在方程的曲线上，一定要注意排除．步骤（2）有时也可省略.
3.求轨迹方程的常用方法
（1）标准方程法：如圆、椭圆、抛物线等都有标准方程，如能知 道轨迹是何种曲线则
可套用标准方程.
（2）待定系数法：有时标准方程中的参数不易直接计 算求得，则可用待定系数法，即
列方程（组）求之.
（3）代入法：若一个动点P与一条已知曲线f (x , y)=0上的点Q有联系，则可先找出

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?
x
1
?
?
1
(x,y),
P (x , y)，Q(x
1
, y
1
)的坐标之间的关系
?
然后代入f (x
1
, y< br>1
)=0即可求出P的轨迹
y?
?
(x,y),
?
1 2
方程f (φ
1
(x,y) , φ
2
(x,y))=0.

选修之3 推理与证明
一、推 理
1.合情推理
(1)由某 类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的
推理，或者由个别事实概括 出一般结论的推理．称为归纳推理(简称归纳)．
(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象 的某些已知特征，推出另一类对象也
具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．类比推理是由特殊 到特征的推理.
要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.
2.分析法
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充
分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一 个明显成立的条件(已知条件、定理、

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定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法.
3.反证法
假 没原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了
原命题成立，这样的 证明方法叫做反证法.
4.数学归纳法(理科)
证明一个与正整数n有关的例题，可按下面步骤进行：
1°(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立；
2°(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方
法叫做 数学归纳法.
选修之4 复数
1.复数的概念
（1）虚数单位：i
2
=－1.
（2）形如a+bi的数叫复数，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部．
（3）复数a+b i当且仅当b=0为实数，当且仅当b≠0时为虚数，当且仅当a=0，b≠0时
为纯虚数，当且仅当a =b=0时为0．
2.复数相等的条件
a+bi=c+di
?
a=c，且b=d .
复数一般不能比较大小，当且仅当两个复数都是实数时才能比较大小.
3.复数的模及共扼复数

数加法、乘法满足实数运算的所有运算律.实数的整数指数幂的运算性质在复数集中仍
然成立．
注：在复数集中，①分数指数幂的运算性质不再成立；②中学阶段不研究复数的开方；
③一般地 ，|a|
2
≠a
2
.

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选修之5 统计案例
一、回归分析
1.线性回归分析
（1）函数关系是一种确定性关系，而 相关关系是一种非确定性关系．回归分析是对具
有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
（2）线性回归分析：方法是画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．其
回归 方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：
回归模型中，R
2
表示解释变量对于 预报变量变化的贡献率．R
2
越接近于1，表示回归的效果
越好．如果对某组数据可能 采取几种不同的回归方程进行回归分析，也可以通过比较几个
R
2
，选择R
2
大的模型作为这组数据的模型．
说明：r只能用于线性模型，R
2
则可用于任一种模型. 对线性回归模型来说，
R?r
.
22
二、独立性检验
1.基本概念
（1）对于性别变量，其取值为男和女两种．这种变量的不同“值”表示个体所 属的不
同类别，像这类变量称为分类变量．
（2）假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分 别为
?
x
1
,y
1
?
和
?
y1
,y
2
?
其样本频数列
联表称为2×2列联表：

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x
1
x
2
总计

（3）构造随机变量
y
1
a
c
a＋c
y
2
b
d
b＋d
总计
a＋b
c＋d
a＋b＋c＋d
a?b?c?d
??
ad?bc
??
2
K?,
< br>?
a?b
??
c?d
??
a?c
??
b?d
?
利用K
2
的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”， 这种方法称为
2
如：如果k＞7.879，就有99.5％的把握认为“X与Y有关系”.

选修之6 导数及其应用
一、变化率与导数
1.变化率
式子
f(x
2
)?f(x
1
)
叫做函数f (x)从x
1
到x
2
的平均变化率. 记Δ x =x
2
－x
1
，Δ y=f (x
2
)－
x
2
?x
1
f (x
1
)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.
2.导数定义
函数y= f (x)在x=x
0
处的瞬时变化率
lim
f ′(x
0
)或y′|x = x
0
，即
f'(x)?lim
?x?0
?y
.
称为函数y= f (x)在x = x
0
处的导数，记作
?x?0
?x
f(x
0
+?x)?f(x
0
)
.

?x

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（3）(sin x)′=cos x
（4）(cos x)′=－sin x
（5）(ax)′=axlna
（6）(ex)′=ex
1
（7）
(log
a
x)'?

xlna
1
（8）
(lnx)'?

x
2.求导法则
（1）[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)
（2）[f(x)·g(x) ]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
（3）f(x)g(x)′=f′(x)g(x)－f(x)g′(x) [g(x) ]
2

（4）[Cf(x) ]′=Cf′(x)（C为常数）
3.复合函数的导数（理科）
（1）复合函数：对于两个函数y= f (u)和u= g (x)，如果通过变量u，y可以表示成x的
函数，那么称这个函数为函数y＝ f (u)和u = g (x)的复合函数，记作y = f (g(x))．
（2）复合函数求导法则：
y
x
'?y
u
'?u
x
'

即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
三、导数的应用
1.单调性与导数
（1）在某个区间(a , b)内，如果f ′(x)≥0，且f ′(x)=0仅在一些孤立点上成立，那么函
数y=f (x)在(a , b)内单调递增；如果f ′(x)
≤
0，且f ′(x)=0仅在一些孤立点上成立，那么函数
y=f (x)在(a , b)内单调递减.
（2）用导数单调区间：①求f ′(x)；②解不等式f ′(x)≥0，可得f (x)的单调递增区间，
解不等式f ′(x)
≤
0，可得f (x)的单调递减区间（注意定义域）.

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注意：上述定理的逆命题不成立.
（3）求函数的极值的方法
求函数y= f (x)在区间[a , b]上的最值的步骤如下：
①解方程f ′(x)=0；
②当f ′(x
0
)=0时，如果在x
0
附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x
0
)是极大值；
如果在x
0
附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么f (x
0
)是极小值．
（4）求函数的最值的方法
①求函数y= f (x)在(a , b)内的极值；
②将函数y= f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值．


四、定积分（理科）
1.定积分的概念
函数f (x)在区间[a , b]上连续，用分点
a=x
0
1
＜…i
－
1
i
＜…n
=b
将区间[a , b]等分成n个小区间，在每个小区间[x
i
－
1
, x
i
]上任取一点ξ
i
(i=1，2，…，n)，
作和式
?
i?1
分，记作
?
f(x)dx
，即
a
b
n
f(
?
i
)?x?
?
b?a
f(< br>?
i
),

n
i?1
n
当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x)在区间[a , b]上的定积
?
a
b
f(x)dx?lim
?
b?a
f(
?
i
),

n??
n
i?1
n
这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a , b]叫做积分区间，函数f (x)叫做
被积函数，x叫做积分变量，f (x)dx叫做被积式．

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由y= f (x)，x=a，x=b和x轴围成的曲边梯形的面积为
S?
?
f(x)dx.

a
b
注：对于稍复杂些的 图形的面积，可通过向x轴作垂线，转化为求几个曲边梯形的面积
的和或差.
（2）求变速直线运动的路程
位移：
s?
?
v(t)dt

a
b
路程：
s?
?
v(t)dt
，其中v(t)表 示速率.
a
b
（3）变力作功
W?
?
F(x)dx
，其中F (x)表示变力.
a
b

选修之7 空间向量与立体几何（理科）
一、空间向量及其运算
空间向量的有关概念及运算与平面向量形式上完全相同，只是由平面拓 展到空间.下面
仅列举空间向量特有的内容.
（1）平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
（2）向量共面的条件：如果两个向量a， b不共线，那么向量p与a，b共面的充要条
件是存在惟一的有序实数对(x , y)，使
p=xa+yb.

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cos?a,b??

a
1
b
1
?a< br>2
b
2
?a
3
b
3
a?b
?.
222222
ab
a
1
?a
2
?a
3
b
1
?b
2
?b
3
二、立体几何中的向量方法
1.用向量解决立体几何问题的一般步骤
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量 表示问题中涉及的点、直线、平面，
把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等
问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
2.用向量解决的几类立体几何问题
（1）证明平行或垂直
①线线平行：证明直线的方向向量平行.
②线线垂直：证明直线的方向向量垂直.
③线面平行：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
④线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量平行.
⑤面面平行：证明两平面的法向量平行.
⑥面面垂直：证明两平面的法向量垂直.
（2）计算距离
①点到平面的距离：设v是平面α的法向量，P为α外一点，A为α内任一点 ，P到平

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③二面角：求两平面法向量的平角θ，二面角的大小可能是θ，也可能是180°－θ，可
结合 图形或其他条件确定.

选修之8 排列组合与二项式定理（理科）
一、计数原理
1.加法原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案 中有n
种不同的方法．那么完成这件事共有
N＝m＋n
种不同的方法．
2.乘法原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的 方法，

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（3）排列数的计算
m
A
n
?n
?
n?2
??
n?m?1
?
?
n
.
n!
.
?
n?m
?
m
A
n
?n!?1?2?3
0!＝1
2.组合
（1）从n个不同元素中取出m(m
≤
n)个元素合成一组，叫做 从n个不同元素中取出m
个元素的一个组合．
（2）从n个不同元素中取出m(m
≤
n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元
素中取出m个元素的组合数，用符号
C
n
表示．
（3）组合数的计算
m
n
?
n? 1
??
n?2
?
A
n
C?
m
?
A
n
m!
m
n
m
?
n?m?1
?
?
n!
.
m!
?
n?m
?
!
（4）组合数的性质
mn?m
①
C
n
?C
n
.
mmm?1
②
C
n?1
?C
n
?C
n.
注：排列与的区别：排列有顺序，组合无顺序. 一种简便的判定方法是，任取一种情况，交换其中两个元素，如果变成了另一种情况，则是排列，如果仍是同一种情况或变成了一种
不可能的 情况，则是组合.

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两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．
（3）各二项式系数的和．
01

C
n
?C
n
?
k
?Cn
?
m
?C
n
?2
n
.
注：二项式 系数指的是
C
n
，
C
n
，
者的区别.

01
，
C
n
，而某一项的系数包含其他常数，要注意二
n< br>选修之9 随机变量及其分布（理科）
一、离散型随机变量及其分布
1.基本概念
（1）随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.
（2）所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.
2.分布列
（1）若离散型随机变量X可能取的不同值为
x
1
，x
2
，…，x
i
，…,x
n
，
X取每一个值x
i
(i=1，2，…，n)的概率P (X=x
i
)=p
i
，以表格的形式表示如下：

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（1）定义：设A，B为两个事件，如果P (AB) = P (A) P (B)，则称事件A与事件B相
互独立．
（2）性质：如果事件A与B相互独立，那么A与< br>B
，
A
与B，
A
与
B
也都相互独立.
3.独立重复试验与二项分布
（1）在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.
（2）在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的
概率为p ，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
kk
P(X?k)?C
n
p(1?p)
n?k
,k?0,1,2,???,n.
n.
此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B (n , p)，并称p为成功概率．
三、离散型随机变量的均值与方差
1.均值
(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为
X
P
x
1

p
1

x
2

p
2

…
…
x
i

p
i

…
…
x
n

p
n

则称EX = x
1
p
1
＋x
2
p
2
＋…＋x
i
p
i
＋…＋x
n
p
n
为随机变量X的均值或数学期望．
（2）几个重要结论
①E(aX+b)=aEx+b.

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四、正态分布
（1）如果对于任何实数aP(a?X?b) ?
?
?
?
,
?
(x)dx
，
a
b
则称X的分布为正态分布．记作N (μ , σ
2
)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X~N
(μ , σ
2
)．
（2）正态曲线的特点：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x= μ对称；
1
③曲线在x= μ处达到峰值；
?
2
?
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越 小，曲线越瘦高，总体分布越集中；σ越大，
曲线越矮胖，总体分布越分散.
（3）3σ原则
P (μ－σ < X≤

μ+σ)=0.6826，
P (μ－2σ < X≤

μ+2σ)=0.9554，