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高中数学选修2-2知识点总结(精华版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 06:22
tags:高中数学知识点

高中数学必修一同步学考-初高中数学多重要


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数学选修2-2知识点总结
一、导数
1.函数的平均变 化率为
f(x
2
)?f(x
1
)f(x
1
??x) ?f(x
1
)
?y?f
?

?
?
x
2
?x
1
?x
?x?x
注1:其中
?x
是自变量 的改变量,可正,可负,可零。
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数
y?f(x)

x?x
0
处的瞬时 变化率是
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
? y
,则
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
称函数
y?f(x)
在点
x
0
处可导,并把这个极限叫做
y?f( x)

x
0
处的导数,记作
f
'
(x
0< br>)

y
'
|
x?x
0
,即
f
'
(
x
0
)
=
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;
函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;

5、常见的函数导数
函数 导函数
y'?
0
y?c

y?x
n
n?N
*

y?a
x
?
a?0,a?1
?

y?e
x

??
y'?nx
n?1

y'?a
x
lna

y'?e
x

y?log
a
x
?
a?0,a?1,x?0
?

y'?
y?lnx

y?sinx

1

xlna
1
y'?

x
y'?cosx

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y?cosx







y'??sinx

6、常见的导数和定 积分运算公式:若
f
?
x
?

g
?
x?
均可导(可积),则有:
和差的导数运算
?
f(x)?g(x)< br>?
?f
'
(x)?g
'
(x)

'
积的导数运算
?
f(x)?g(x)
?
?f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)

特别地:
?
?
Cf
?
x
?
?
?
'?Cf'
?
x
?

?
f(x)
?
f
'
(x)g(x )?f(x)g
'
(x)
(g(x)?0)

?
g(x)< br>?
?
2
??
?
g(x)
?
'
'商的导数运算
?
1
?
?g'(x)
特别地:
?

?'?
2
g
?
x
?
?
g
?
x< br>?
?
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?

复合函数的导数
微积分基本定理
?
f
?
x
?
dx?

a
b
(其中
F'
?
x
?
?f
?< br>x
?

?
和差的积分运算
b
a
[f1
(x)?f
2
(x)]dx?
?
f
1
(x) dx?
?
f
2
(x)dx
aa
bb



特别地:
积分的区间可加性

?
b
a
kf(x)dx?k
?
f(x)dx(k为常数)
a
b
?
b
a
f
(
x
)
dx?
?
f
(
x
)
dx?
?
f
(
x
)
dx
(
其中a?c?b
)
ac
cb
用导数求函数单调区间的步骤:
①求函数
f
(
x
)的导数
f'(x)

②令
f'(x)
>0,解不等式,得
x
的范围就是递增区间.
③令
f'(x)
<0,解不等式,得
x
的范围,就是递减区间;
[注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
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7.求可导函数
f
(
x
)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数
f
(
x
)的导数
f'(x)

(3)求方程
f'(x)
=0的根
(4) 用函数的导数为0的点,顺次将 函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,
检查
f

(x)
在方 程根左右的值的符号,如果左正右负,那么
f
(
x
)在这个根处取得极大值; 如
果左负右正,那么
f
(
x
)在这个根处取得极小值;如果左右不改 变符号,那么
f
(
x
)在这个根处
无极值
8.利用导数求 函数的最值的步骤:求
f(x)

?
a,b
?
上的最大值与 最小值的步骤如下:
⑴求
f(x)

?
a,b
?
上的极值;
⑵将
f(x)
的各极值与
f(a),f(b)
比较,其中最大的一个是最大值 ,最小的一个是最小值。
[注]:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点;

9.求曲边梯形的思想和步骤:分割
?
近似代替
?
求和
?
取极限 (“以直代曲”的思
想)

10.定积分的性质
根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:
性质1
?
1
dx
?
b
?
a

a
b
性质5 若
f(x)?0,x?
?
a,b
?< br>,则
?
f
(
x
)
dx
?0

b
a
①推广:
?
[f
1
(x)?f
2
( x)?
L
?f
m
(x)]dx?
?
f
1
( x)dx?
?
f
2
(x)dx?
L
?
?
f
m
(x)

aaaa
bbbb
②推广:
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
L?
?
f(x)dx

aac
1
c
k
b c
1
c
2
b

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11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值,也可能取负值,还可能是0.
( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的值取正值,且等于x轴上方的图
形面积;
(2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的
值取负值,且等于x轴上方图形面积的相反数;
(3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x
轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为0,且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积.

12.物理中常用的微积分知识(1)位移的导 数为速度,速度
的导数为加速度。(2)力的积分为功。
二、推理与证明知识点

13.归纳推理的定义:
从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。
.......
归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。
....

14.归纳推理的思维过程大致如图:
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论

15.归纳推理的特点:
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳 推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实验检验,
因此,它不能作为数学 证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理的猜想,可以作为进一步研究的起点 ,
帮助人们发现问题和提出问题。
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16.类比推理的定义:
根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们 在其他方面也相似或
相同,这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
....

17.类比推理的思维过程


18.演绎推理的定义:
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等 )按照严格的逻辑法
则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。
....

19.演绎推理的主要形式:三段论

20.“三段论”可以表示为:①大前题:M是P②小前提:S是M ③结论:S是P。
其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理;②是小前提,它指出了一个特殊对象;
③是结论,它是根 据一般性原理,对特殊情况做出的判断。

21.直接证明是从命题的条件或结论出发,根据 已知的定义、公理、定理,直接推证结论的
真实性。直接证明包括综合法和分析法。

22.综合法就是“由因导果”,从已知条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推
出要证的 结论。

23.分析法就是从所要证明的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一 定成立的
式子,可称为“由果索因”。
观察、比较 联想、类推 推测新的结论

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要注意叙述的形式:要证
A
, 只要证
B

B
应是
A
成立的充分条件. 分析法和综合法常结合
使用,不要将它们割裂开。

24反证法:是指从否定的结论 出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,
从而肯定原结论是正确的证明方法。

25.反证法的一般步骤
(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立;
(2)从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;
(3)从矛盾判定假设不正确,即所求证命题正确。
...



26常见的“结论词”与“反义词”
原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有
n

至多有
n


27.反证法的思维方法:正难则反

....

28.归缪矛盾
(1)与已知条件矛盾:
....
(2)与已有公理、定理、定义矛盾;
..........
(3)自相矛盾.
..
反义词
一个也没有
至少有两个
至多有n-1个
至少有n+1个
原结论词 反义词
对所有的
x
都成立 存在x使不成立
对任意
x
不成立 存在x使成立
p

q

p

q

?p

?q

?p

?q

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29.数学归纳法(只能证明与正整数有关的数学命题)的步骤
...
?
( 1)证明:当
n
取第一个值
....
n
0
?
n0
?N
?
时命题成立;
(2)假设当n=k (
k
∈ N
*
,且
k

n
0
)时命题成立,证明当n=k+ 1时命题也成立.
.....
由(1),(2)可知,命题对于从
n
0开始的所有正整数
n
都正确
[注]:常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
三、数系的扩充和复数的概念知识点

30.复数的概念:形如a+bi的数叫做复数,其中i叫虚数单位,
a
叫实部, < br>b
叫虚部,数
....

C?
?
a?bi|a,b? R
?
叫做复数集。
规定:
a?bi?c?di?
a=c且,
....
b=d
...
强调:两复数不能比较大小,只有相等或不相等。

?
实数 (b?0)
?
31.数集的关系:
复数Z
?
?
?
一般虚数(a?0)

虚数 (b?0)
?
?
?
?
纯虚数(a?0)
?

32.复数的几何意义:复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33.复平面 :根据复数相等的定义,任何一个复数
z?a?bi
,都可以由一个有序实数对
(a, b)
唯一确定。
由于有序实数对
(a,b)
与平面直角坐标系中的点一一对 应,因此复数集与平面直角坐标
系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫做复平面,
x
轴叫做实轴,
y
轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数,除 了原点外,虚轴上的点都表示纯
虚数。
34.求复数的模(绝对值)与复数
z
对应的向量
OZ
的模
r
叫做复数
z?a?bi
的模(也叫 绝对值)
记作
z或a?bi
。由模的定义可知:
z?a?bi?a
2
?b
2

35.复数的加、减法运算及几何意义
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①复数的加、减法法则:
z
1
?a?bi 与z
2
?c?di
,则
z
1
?z
2
?a? c?(b?d)i

注:复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。
. .
②复数的乘法法则:
(a?bi)(c?di)?
?
ac?bd
?
?
?
ad?bc
?
i

③复数的除法法则:a?bi(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad
???i
其中
c?di
叫做实数化因子
c?di(c?di)(c?di)c
2
?d
2< br>c
2
?d
2
36.共轭复数:两复数
a?bi与a?bi互为共轭复数,当
b?0
时,它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律
(1)z?z;
2
(2)z?z?2a,z?z?2bi;

2(3)z?z?z?z?a
2
?b
2
;(4)z?z;(5)z?z?z ?R

(6)i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i4n?3
??i,i
4n?4
?1;

2
(7)
?
1?i
?
2
1?i1?i
?
1?i
?
??i;(8)?i,??i,
??
??i

1?i1?i
?
2
?
?1?3i
3n?1
2
?
?
,
?< br>3n?2
?
?
,
?
3n?3
?1
是1的立 方虚根,则
1?
?
?
?
?0

?
2
(9)

?
?

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