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高中数学必修4重点知识点

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 06:30
tags:高中数学知识点

高中数学必修四一遍过BS答案-高中数学难题如何溯原


高中数学必修4知识点
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角

?
零角:不作任 何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合,角的始边与
x
轴的非负半轴重合,终边落在第几象
限,则称
?
为第几象限角.
??第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?< br>?k?360?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?18 0?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

4、已知
?
是第几象限角 ,确定
?
n??
?
所在象限的方法:先把各象限均分
n
等< br>?
n
*
份,再从
x
轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一 、二、三、四,则
?
原来
是第几象限对应的标号即为
?
终边所落在的 区域.
n
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度.
6 、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
7、弧度制与角度制的换算公式:
2?
?360

1?
l

r
?
180
?

1?
?
?57.3

?
180?
?
?
?
8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
,半径为
r
,弧长为
l
,周长为
C< br>,面积为
S

1 12


11

l ?r
?

C?2r?l

S?lr?
?
r
2

22
9、设
?
是一个任意大小的角,
?
的终 边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
,它与原点
的 距离是
rr?x
2
?y
2
?0
,则
sin
?
?
?
?
yxy

cos
?
?

tan
?
?
?
x?0
?

rrx
10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限
正切为正,第四象限 余弦为正.
11、三角函数线:
sin
?
???

cos
?
???

tan
?
???

12、同 角三角函数的基本关系:
?
1
?
sin
2
?
?co s
2
?
?1

y
P
T
OM
Ax
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
, cos
2
?
?1?sin
2
?
?

?2
?
sin
?
?tan
?

cos
?
sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??

tan
?
??
13、三角函数的诱导公式:
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?

cos
?
2k
?
?
?
?
? cos
?

tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?

?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
cos
?
?
?
?
?
??cos
?< br>,
tan
?
?
?
?
?
?tan
?< br>.
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?

cos
?
?
?
?
?co s
?

tan
?
?
?
?
??tan
?

?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?

cos
?
?
?
?
?
??cos
?

tan
?
?
?
?
?
??tan
?

口诀:函数名称不变,符号看象限.
?
5
?
sin
?
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?

cos
?
?
?
?
?sin
?

?
2
??
2
?
?
?
?
??
?
?

6sin?
?
?cos
?
cos?
?
??
????
??sin< br>?

?
2
??
2
?
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 14、函数
y?sinx
的图象上所有点向左(右)平移
?
个单位长度, 得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长(缩
2 12


短)到原来的
1
?
倍(纵坐标不变),得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y? sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短) 到原来的
?
倍(横坐标不
变),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
得到函数
y?sin
?
x
的图象;再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左(右)平移
1
?
倍(纵坐标不变),
?
个单
?
位长度,得到函数
y?sin
?
?
x?
?< br>?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所
有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
?
倍(横坐标不变),得到 函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,?
?0
?
的性质:

振幅:
?


周期:
??
2
?
?


频率:
f ?
1
?
?


相位:
?
x?
?< br>;

初相:
?2
?
?

函数
y? ?sin
?
?
x?
?
?
??
,当
x?x< br>1
时,取得最小值为
y
min
;当
x?x
2
时,取得
最大值为
y
max
,则
??
11?
?< br>y
max
?y
min
?

??
?
y
max
?y
min
?

?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?

222
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:





y?sinx

y?cosx

y?tanx






R

R



?
?
?
?
xx?k?
?,k??
?

2
??
3 12






x?2k
?
?
?
?1,1
?

?
2
?
?1,1
?

?
k??
?

x?2k
?
?
k??
?
时,
R


时,
y
max
?1
;当

x?2k
?
?
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小

?
2

?
k??
?
时,
y
min
??1

2
?

?
k??
?
时,
y
min
??1







奇函数 偶函数 奇函数
2
?

?

??
??

?
2k
?
?,2k
?
?
?

22
??


?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
??
??

k
?
?,k
?
?
?
k??
?
上是增函数;在
上是增函数;在
??

22
??
?
3
?
??

2k
?
?,2k
?
?
??
22

??
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

?
k??
?
上是减函数.
?
k??
?
上是增函数.
?
k??
?
上是减函数.





x?k
?
?
称中心
对称中心对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

称轴
?
??
k
?
?,0
?
?
k??
?

?
2
??
对称轴
x?k
?
?
k??
?

?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
2
??
?
2
?
k??
?

无对称轴
4 12


16、向量:既有大小,又有方向的量.
数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为
0
的向量.

单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向
量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.




⑶三角形不等式:
a?b?a?b?a?b

⑷运算 性质:①交换律:
a?b?b?a
;②结合律:
a?b?c?a?b?c
;③
????
a?0?0?a?a

⑸坐标运算:设
a?
?< br>x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

18、向量减法运算:
C

a

?

b

?

⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设
a?< br>?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?


?

?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y1
?

?
x
2
,y
2
?
,则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

19、向量数乘运算:
a?b??C?????C

5 12


⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a

?
a?
?
a

②当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
??0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反;当
?< br>?0
时,
?
a?0

⑵运算律:①
?
?< br>?
a
?
?
?
??
?
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a;③
?
a?b?
?
a?
?
b

⑶坐 标运算:设
a?
?
x,y
?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y?

20、向量共线定理:向量
aa?0

b
共线, 当且仅当有唯一一个实数
?
,使
b?
?
a

??
??
bb?0

a?
?
x
1
,y
1
?
,其中
b?0
,则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时,向量
a

b ?
?
x
2
,y
2
?

共线.
? ?
21、平面向量基本定理:如果
e
1

e
2
是同 一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面
内的任意向量
a
,有且只有一对实数< br>?
1

?
2
,使
a?
?
1
e
1
?
?
(不共线的向量
e
1

e
2

2
e
2

为这一平面内所有向量的一组基底) 22、分点坐标公式:设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点,
?
1

?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?

?
x
2
,y
2
?


?
1
??
?
??
2< br>时,点
?
的坐标是
?
23、平面向量的数量积:

a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
.零向量与 任一向量的数量积为
0

?
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
?

1?
?
??
1?
?
??
a?b?ab
;⑵性质:设
a

b
都是非零向量,则①
a?b?a?b? 0
.②当
a

b
同向时,
2

a

b
反向时,
a?b??ab

a?a?a?a

a?
2
a?a
.③
a?b?ab

⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?
?b?
?
a ?b?a?
?
b
;③
a?b?c?a?c?b?c

⑷坐 标运算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

22

a?
?
x,y
?
,则
a?x?y
,或
a?
2
??????
x
2
?y
2


a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x< br>1
x
2
?y
1
y
2
?0

6 12



a

b
都是非零向量,a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?

?

a

b
的夹角,则
cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y< br>2
1
2
1
x?y
2
2
2
2

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

cos
?
?< br>?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?


cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
s in
?


sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?


sin
?
?
?
?
?
?si n
?
cos
?
?cos
?
sin
?
; < br>⑸
tan
?
?
?
?
?
?
tan?
?tan
?

tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
ta n
?
?
);
1?tan
?
tan
?
ta n
?
?tan
?

tan
?
?tan
?< br>?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
).
1?tan
?
tan
?

tan
?
?
?
?
?
?
25、二倍角的 正弦、余弦和正切公式:

sin2
?
?2sin
?
cos
?


cos2
?
?cos
2
?
?sin
2< br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
1?cos2
?
).
2

cos
2
?
?
cos2
?
?1
2

sin
2
?
?

tan2
?
?
2tan
?

21?tan
?
?
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
,其中
tan
?
?
26、
?sin
?
??cos
?
?

?

?
高中数学必修5知识点
1、正弦定理:在
???C
中,
a

b

c
分别为角
?

?
、< br>C
的对边,
R

???C
的外接
圆的半径,则有abc
???2R

sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形公 式:①
a?2Rsin?

b?2Rsin?

c?2RsinC< br>;
7 12



sin??
abc
sin??

sinC?

2R2R2R

a:b:c?sin?:sin?:sinC

a?b?cabc
???

sin??sin??sinCsin?sin ?sinC
111
3、三角形面积公式:
S
???C
?bcsin? ?absinC?acsin?

222

4、余弦定理:在
?? ?C
中,有
a?b?c?2bccos?

b?a?c?2accos?
222222
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC

b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2< br>?c
2
5、余弦定理的推论:
cos??

cos??

cosC?

2bc2ac2ab
6、设
a

b

c

???C
的角
?

?

C
的对边,则:①若
a?b?c
,则
C?90

②若
a?b?c
,则
C?90
;③若
a?b?c
,则C?90

7、数列:按照一定顺序排列着的一列数.
8、数列的项:数列中的每一个数.
9、有穷数列:项数有限的数列.
10、无穷数列:项数无限的数列.
11、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列.
12、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.
13、常数列:各项相等的数列.
14、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
15 、数列的通项公式:表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与 序号
n
之间的关系的公式.
16、数列的递推公式:表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
(或前几项)间的关系的公式.
17、如 果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为
等差数列,这个常数 称为等差数列的公差.
18、由三个数
a

?

b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则
?
称为
a

b
8 12
222222
222


等差中项.若
b?
19、若等差数列
a?c
,则称
b

a
与< br>c
的等差中项.
2
1
?
a
n
?
的 首项是
a
,公差是
d
,则
a
n
?a
1?
?
n?1
?
d

20、通项公式的变形:①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
; ②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d< br>;③
d?
a
n
?a
1
n?1

a
n
?a
m
a
n
?a
1
?1
;⑤< br>d?

n?
n?m
d

21、若
?
a
n
?
是等差数列,且
m?n?p?q

m
、< br>n

p

q??
*
),则
a
m?a
n

?
a
n
?
是等差数列,且
2 n?p?q

n

p

q??
*
),则< br>2a
n
?a
p
?a
q

?a
p?a
q

n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
S?
d
. 22、等差数列的前< br>n
项和的公式:①
n
;②
S
n
?na
1?
2
2
*
23、等差数列的前
n
项和的性质:①若项数 为
2nn??
,则
S
2n
??
?n
?
a< br>n
?a
n?1
?
,且
S

?S
奇< br>?nd

S

a
?
n
S

a
n?1

*
②若项数为
2n?1n??
,则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
,且
S

?S

?a
n

??
S

n
(其中
?
S

n?1

S

?na
n

S

?
?
n?1
?< br>a
n

24、如果一个数列从第
2
项起,每一项与它的前一项 的比等于同一个常数,则这个数列称为
等比数列,这个常数称为等比数列的公比.
25、在< br>a

b
中间插入一个数
G
,使
a

G

b
成等比数列,则
G
称为
a

b的等比中项.若
G
2
?ab
,则称
G

a
b
的等比中项.
26、若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
,公比是
q
,则
a
n?a
1
q
n?1

n?m
a?aq
27、通 项公式的变形:①
n
;②
a
1
?a
n
q
m
?
?
n?1
?
;③
q
n?1
?
a
n
;④
a
1
q
n?m
?
a
na
m

*
28、若
?
a
n
?
是等比数列,且
m?n?p?q

m

n

p< br>、
q??
),则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

9 12



?
an
?
是等比数列,且
2n?p?q

n

p< br>、
q??
*
),则
a
n
2
?a
p< br>?a
q

?
na
1
?
q?1
?< br>?
29、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和的公式:
S
n
?
?
a
1
?
1?qn
?
a?aq

1n
?
?
q?1
?
?
1?q1?q
?
*
30、等比数列的前
n
项和的 性质:①若项数为
2nn??
,则
??
S

S
奇< br>?q


S
n?m
?S
n
?q
n
?S
m


S
n

S
2n?S
n

S
3n
?S
2n
成等比数列. 31、
a?b?0?a?b

a?b?0?a?b

a?b?0 ?a?b

32、不等式的性质: ①
a?b?b?a
;②
a?b ,b?c?a?c
;③
a?b?a?c?b?c


a?b,c? 0?ac?bc

a?b,c?0?ac?bc
;⑤
a?b,c?d?a?c ?b?d

nn

a?b?0,c?d?0?ac?bd
;⑦a?b?0?a?b
?
n??,n?1
?


a?b ?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?

33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是
2
的不等式.
34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式
??b?4ac

2
??0

??0

??0

二次函数
y?ax
2
?bx?c

?
a?0
?
的图象

有两个相异实数根
一元二次方程
ax?bx?c?0

2


?
a?0
?
的根
x
1,2
?
?b??

2a
有两个相等实数根?
x
1
?x
2
?

b
x
1
?x
2
??

2a
没有实数根
10 12


ax
2
?bx?c?0

一元二次
不等式的
?
xx?x或x?x
?
12
?
a?0
?

ax
2
?bx?c?0


?b?
?
xx??
?

2a
??
R

解集
?
a?0
?

?
xx
1
?x?x
2
?

?

?

35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是
1
的不等式.
36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
37、二元一次不等式( 组)的解集:满足二元一次不等式组的
x

y
的取值构成有序数对
?
x,y
?
,所有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的 集合.
38、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
,坐标平面内的点
?
?
x
0
,y
0
?

①若??0

?x
0
??y
0
?C?0
,则点?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y ?C?0
的上方.
②若
??0

?x
0
??y< br>0
?C?0
,则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方.
39、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0

??yC?< br>①若
??0
,则
?x?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区域;
?x??y?C?0

示直线
?x??y?C?0
下 方的区域.
??yC?
②若
??0
,则
?x?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域;
?x??y?C?0

示直线?x??y?C?0
上方的区域.
40、线性约束条件:由
x

y
的不等式(或方程)组成的不等式组,是
x

y
的线性约束条< br>件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x

y
的解析式.
线性目标函数:目标函数为
x

y
的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解
?
x,y
?

11 12


可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
41、设
a

b
是两个正数,则
几何平均数.
42、均值不等式定理: 若
a?0

b?0
,则
a?b? 2ab
,即
22
a?b
称为正数
a

b
的 算术平均数,
ab
称为正数
a

b

2
a ?b
?ab

2
a
2
?b
2
43、常用 的基本不等式:①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
;②
ab ?
?
a,b?R
?

2
a
2
?b
2
?
a?b
??
a?b
?

ab?
?< br>?
??
?
a?0,b?0
?
;④
?
?
a,b?R
?

2
?
2
??
2
?44、极值定理:设
x

y
都为正数,则有
22
s< br>2
⑴若
x?y?s
(和为定值),则当
x?y
时,积
xy
取得最大值.
4
⑵若
xy?p
(积为定值),则当
x ?y
时,和
x?y
取得最小值
2p



12 12

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