高中数学选修知识点总结版

高中数学选修2-2知识点总结

第一章、导数

f(x2
)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
?

??
x
2
?x
1
?x
?x?x
1．函数的平均变化率为
注1：其中
?x
是自变量的 改变量，平均变化率 可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数 在
x?x
0
处的瞬时变化率是
处可导，并把这个极限叫做
f
'
(x
0
)
y?f(x)
f(x
0
??x)?f( x
0
)
?y
lim?lim
，则称函数
y?
?x? 0
?x
?x?0
?x
y?f(x)
f(x)
在点
x
0
在
x
0
处的导数，记作或
y
'
|
x?x
0
，即
f(x
0
)
=
lim
'< br>f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
?lim
.

?x?0
?x
?x?0
?x
3.函数的平均变化率的 几何意义是割线的斜率；

函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；

5、常见的函数导数

函数

导函数

(1)
y?c

y'?
0

(2)
y?x
n
?
n?N
*
?


(3)
y?a
x
?
a?0,a?1
?


(4)
y?e
x


(5)
y?log
a
x
?
a?0,a?1,x?0
?


(6)
y?lnx


(7)
y?sinx


(8)
y?cosx


6、常见的导数和定积分运算公 式:若
f
?
x
?
，
g
?
x
?均可导（可积），则有：

和差的导数运算


积的导数运算

特别地：
?
?
Cf
?
x< br>?
?
?
'?Cf'
?
x
?

商的导数运算

特别地：
?
?
1
?
?g'(x)

?'?
2
g
?
x
?
?
g
?
x< br>?
?
复合函数的导数


?
f
?
x
?
dx?
F(a)--F(b)

a
b
微积分基本定理

（其中
F'
?< br>x
?
?f
?
x
?
）

和差的积分运算

特别地：
?
a
b
kf(x)dx ?k
?
f(x)dx(k为常数)
a
b

积分的区间可加性


.用导数求函数单调区间的步骤:

①求函数
f
(
x
)的导数
f'(x)

② 令
f'(x)
>0,解不等式，得
x
的范围就是递增区间.

③令
f'(x)
<0,解不等式，得
x
的范围，就是递减区间；

[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数
f
(
x
)的极值的步骤：

(1)确定函数的定义域。

(2) 求函数
f
(
x
)的导数
f'(x)


(3)求方程
f'(x)
=0的根

(4) 用函数的导数为0的点 ，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列
成表格，检查
f

(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么
f
(
x
)在这个根
处取得极大值；如果左负右正，那么
f
(
x
)在这个根处取得极小值；如果 左右不改变
符号，那么
f
(
x
)在这个根处无极值

8.利用导数求函数的最值的步骤:求
f(x)
在
?
a,b
?上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求
f(x)
在
?
a,b
?
上的极值；

⑵将
f(x)
的各极值与
f(a),f(b)
比较，其中最大的一个 是最大值，最小的一个是最小
值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

9．求曲边梯形的思想和步骤:分割
?
近似代替
?
求和
?< br>取极限 （“以直代曲”
的思想）

10.定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1
?
a
1dx?b?a

性质5 若
f(x)?0,x??
a,b
?
，则
?
a
f(x)dx?0
①推广：
?
a
[f
1
(x)?f
2
(x)?< br>L
?f
m
(x)]dx?
?
a
f
1
(x)dx?
?
a
f
2
(x)dx?
L
?
?
a
f
m
(x)

bbbb
b
b

②推广:
?
f(x) dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
L
?
?
f(x)dx

aac
1
c
k
bc
1c
2
b
11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可
能取负值， 还可能是0.

( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上
方的图形面积；

（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积
分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；

（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位
于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于
x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．

12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，
速度的导数为加速度。（ 2）力的积分为功。

第二章、推理与证明知识点

13.归纳推理的定义：

从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

．．．．．．．
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

．．．．
14.归纳推理的思维过程大致如图：

15.归纳推理的特点:

①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。

②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实
验检验，因此，它不能 作为数学证明的工具。

③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为 进一步研究
的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

16.类比推理的定义：

根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推 演出它们在其他方面也
相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。

．．．．
17.类比推理的思维过程


18.演绎推理的定义：


演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括 定义、公理、定理等）按照严格的
逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。< br>
．．．．
19．演绎推理的主要形式：三段论

20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M ③结论：S是P。

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特< br>殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

21.直接证明是 从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证
结论的真实性。直接证明包括综合法 和分析法。

22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条 件，
直至推出要证的结论。

23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分 条件替换前面的条件或者一定
成立的式子，可称为“由果索因”。

要注意叙述的形式 ：要证
A
，只要证
B
，
B
应是
A
成立的充 分条件. 分析法和综合法
常结合使用，不要将它们割裂开。

24反证法：是指从否 定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是
错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法 。

25.反证法的一般步骤

（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；

（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。

．．．
26常见的“结论词”与“反义词”

原结论词

反义词

原结论词

反义词

对所有的
x
都成
至少有一个

一个也没有

立

存在x使不成立

至多有一个

至少有两个

对任意
x
不成立

存在x使成立

至少有
n
个

至多有n-1个

p
或
q

?p
且
?q

至多有
n
个

至少有n+1个

p
且
q

?p
或
?q

27.反证法的思维方法:正难则反

．．．．
28.归缪矛盾

（1）与已知条件矛盾:

．．．．
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；

．．．．．．．．．．
（3）自相矛盾．

．．
29．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤

．．．
?
(1)证明：当
n
取第一个值
nn?N
??
时命 题成立；

00
．．．．
(2)假设当n=k (
k
∈N< br>*
，且
k
≥
n
0
)时命题成立，证明当n=k+1时 命题也成立.

．．．．．

由(1)，(2)可知，命题对于从
n
0
开始的所有正整数
n
都正确

[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

第三章、数系的扩充和复数的概念知识点

30.复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，
a
叫实部， < br>b
叫虚
．．．．
部，数集
C?
?
a?bi|a,b? R
?
叫做复数集。

规定：
a?bi?c?di?
a=c且，

．．．．
b=d
．．．
强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。

?
实数 (b?0)
?
31．数集的关系：
复数Z
?
?
?
一 般虚数(a?0)

虚数 (b?0)
?
?
?
?
纯 虚数(a?0)
?
32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数
z?a?bi
，都可以由一个有序 实数
对
(a,b)
唯一确定。

由于有序实数对
(a,b)
与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直
角坐标系中的点集之间可以建立一一对 应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平
面叫做复平面，
x
轴叫做实轴，
y
轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点
外，虚轴上的点都表示纯虚数。

34.求复数的模(绝对值)与复数
z
对应的向量
OZ
的 模
r
叫做复数
z?a?bi
的模(也叫
绝对值)记作
z或a ?bi
。由模的定义可知：
z?a?bi?a
2
?b
2

35.复数的加、减法运算及几何意义

①复数的加、减法法则：
z
1
?a?bi与z
2
?c?di
，则
z
1
?z2
?a?c?(b?d)i
。

注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。

．．
②复数的乘 法法则：
(a?bi)(c?di)?
?
ac?bd
?
?
?
ad?bc
?
i
。

③复数的除法法则：
a?bi (a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad
???i
其中
c?di
叫做 实数化因子

c?di(c?di)(c?di)c
2
?d
2
c
2
?d
2
36.共轭复数:两复数
a?bi与a?bi
互为共轭复数，当
b?0
时，它们叫做共轭虚数。

常见的运算规律

(9)
设
?
?
?1?3i
是1的立方虚根，则
1?
?
?
?
2
?0
，
?
3n?1
?< br>?
,
?
3n?2
?
?
,
?
3n?3
?1

2