高中数学函数及其表示知识点

第二章 函数
第一课时
（一）知识梳理
1．映射的概念 设
A、B
是两个集合，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A< br>中的任意元素，在集合
B
中都
有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应 叫做从
A
到
B
的映射，通常记为
f:A?B

，
f
表示对应法则
注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2．函数的概念
(1)函数的定义：
设
A、B
是两个非空的数集 ，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中的
x
，在集合
B
中都有 的数和它对应，那么这样的对应叫做从< br>A
到
B
的一个函数，通常记为
__________

(2)函数的定义域、值域
在函数
y?f(x),x?A
中，
x< br>叫做自变量，
x

A
叫做
y?f(x)
的 定义域；与
x
的值相
对应的
y
值叫做函数值，
f(x)x?A
称为函数
y?f(x)
的值域。
(3)函数的三要素： 、 和
3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析
考点1：映射的概念
例1．下述两个个对应是
A
到
B
的映射吗？
??
A?R
，
B?{y|y?0}
，
f:x?y?|x|
；
考点2：判断两函数是否为同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。
例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）
f(x)?x
2
，
g(x)?
3
x
3
；
x
?
1
（2）f(x)?
，
g(x)?
?
x
?
?1
（3）< br>f(x)?

x?0,
x?0;

x
x?1
，
g(x)?x
2
?x
；
1

（4）
f(x)?x
2
?2x?1
，
g(t )?t
2
?2t?1

考点3：求函数解析式
方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数
f[g(x)]
的解析式，则可用换元法或配凑法；
（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出
f(x)

题型1：用待定系数法求函数的解析式
例1.已知函数
f
?
x?
是一次函数,且
f[f(x)]?9x?4
,求
f
?
x
?
表达式.

例2.已知
f
?
x
?< br>是一次函数且
2f
?
2
?
?3f
?
1
?
?5,2f
?
0
?
?f
?
?1
??1,
则
f
?
x
?
?
（
A．
3x?2


B．
3x?2
C．
2x?3
D．
2x?3

）
例3.二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f (x)＞2x＋5.




题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式
2
例1．已 知二次函数
f(x)
满足
f(2x?1)?4x?6x?5
，求
f( x)

例2.已知
f
?
x?1?x?1,
则
f?
x
?
?
_____________。
1
x
?
题型3：求抽象函数解析式
例1．已知函数
f( x)
满足
f(x)?2f()?3x
，求
f(x)

例2、 已知：
2f(x)?3f(?x)?x?1
，求
f
?
x
?< br>表达式.
考点4：求函数的定义域
题型1：求有解析式的函数的定义域
（ 1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的
x
的取值范围，实 际
操作时要注意：分母不能为0；偶次根式中被开方数应为非负数.
例1.函数
f< br>?
x
?
?x
2
?4?
1
的定义域为（
x?3


）
A．
?
2，??
??
?
??，?2
?
B．
?
2,3
?
?
?
3，??
?

D．
?
??，?2
?

2
C．
?
??，?2
?
?
?
2,3
?
?
?
3，? ?
?

例2、函数
f(x)?
(x?1)
0
x?x
的定义域是（ ）
A.
?
x|x?0
?
B.
?
x|x?0
?
C.
?
x|x?0且x??1
?
D.
?
x|x?0且x??1
?

题型2：求复合函数和抽象函数的定义域
例1．已知
y?f(x?2)
的定 义域是
[a，b]
，求函数
y?f(x)
的定义域
例2．已知y?f(2x?1)
的定义域是（-2，0），求
y?f(2x?1)
的定义域
考点5：求函数的值域
1． 求值域的几种常用方法
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，
例1、
y??x
2
?2x?3

例2、
y??2x
2
?8x?5
（1）
x?[?1,1]
（2）
x?[1,4]
（3）
x?[4,8]


（2）分段函数分别求函数值域，
例2、
y?x?3?x?5

2
?
?
2x?x(0 ?x?3)
例3、函数
f(x)?
?
2
的值域是（ ）
?
?
x?6x(?2?x?0)
A．
R
B．
?
?9,??
?
C．
?
?8,1
?
D．
?
?9,1
?


（3）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域



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