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名师p高中数学知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 06:36
tags:高中数学知识点

高中数学外接圆公式-高中数学课堂 活跃


高中数学知识点总结
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如 :集合A?
?
x|y?lgx
?
,B?
?
y|y?lgx< br>?
,C?
?
(x,y)|y?lgx
?
,A、B、C

中元素各表示什么?

2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

如:集合A?x|x?2x?3?0,B?
?
x|ax?1
?

2
??

若B?A,则实数a的值构成的集合为
3. 注意下列性质:

(答:
?
?1,0,
?


?
?
1
?
3
?

(1)集合a1
,a
2
,……,a
n
的所有子集的个数是2;


(2)若A?B?A?B?A,A?B?B;

(3)德摩根定律:

C
U
?
A?B
?
?
??
n
?
C
A
?
?
?
C
B
?

C
?
A?B
?
?
?
CA
?
?
?
C
B
?

UUUUU
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)

如:已知关于x的不等式
的取值范围。
ax?5
?0的解集为M,若3?M且5?M,求实数a

2
x?a
(∵3?M,∴

a·3?5
?0
2
3?a
a·5?5
?0
5
2
?a
5
??
?a?
?
1,
?
?
?
9,25
?


3
?
?
∵5?M,∴

5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”(?),“且”(?)和“非”(?).


若p?q为真,当且仅当p、q均为真


若p?q为真,当且仅当p、q至少有一个为真


若?p为真,当且仅当p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么?
(互为逆否关系的命题是等价命题。)
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗?映射f: A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,


哪几种对应能构成 映射? (一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)
8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型?
例:函数y?

(答:0,2?2,3?3,4)

10. 如何求复合函数的定义域?

如:函数f(x)的定义域是a,b,b??a?0,则函数F(x)?f(x)?f (?x)的定

义域是_____________。
(答:a,?a)

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?

如:f
x
?
4?x
?
lg
?
x?3
?
2
的定义域是

??????
??
??
?
x?1?e
x
?x,求f(x).

令t?x?1,则t?0

∴x?t
2
?1

2
?
t

∴f(t)?e
?1
?t
2
?1

∴f(x )?e
x
2
?1
?x
2
?1
?
x?0?

12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)
?
?
1?x

如:求函数f(x)?
?
2< br>?
?
?x
?1
?
x?0
?
的反函数

x?0
??
?
?
x?1
?
x?1
?


(答:f(x)?
?
?
?
??x
?
x?0
?
13. 反函数的性质有哪些?
①互为反函数的图象关于直线y=x对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;

③设y?f(x)的定义域为A,值域为C,a?A,b?C,则f(a)=b?f(b)?a


?f
?1
?1
?
f(a)
?
?f
?1
(b)?a,f
?
f
?1
(b)
?
? f(a)?b

(y?f(u),u??(x),则y?f
?
?(x)
?
(外层)(内层)

14. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负)
如何判断复合函数的单调性?

f (x)?log
1
(x
2
?ax?a)
2
当内、外层函数单 调性相同时f
?
?(x)
?
为增函数,否则f
?
?(x)< br>?
为减函数。)


如:求y?log
1
?x?2x的单调区间

2
?
2
?

(设u??x?2x,由u?0则0?x?2

且log
1
u ?,u??
?
x?1
?
?1,如图:

2
2
2


u




O 1 2 x


2

当x?(0,1]时,u?,又log
1
u?,∴y?

当x?[1,2)时,u?,又log
1
u?,∴y?

2
已知
f(x)?log
1
(x
2
?ax?a)
的值域为R, f(x)在
(??,1?3)
上是增函数,则a的取值是
2
15. 如何利用导数判断函数的单调性?

在区间a,b内,若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于

??
零,不影响函数的单调性),反之也对,若f'(x)?0呢?


如:已知a?0,函数f(x)?x?ax在1,??上是单调增函数,则a的最大

值是( ) A. 0
2
3
?
?
B. 1 C. 2 D. 3
?
a
a
??
a
?
??
x?
?
?0

则x??或x?

(令f'(x)?3x?a?3
?
x?
3
3
??
3
??

由已知f(x)在[1,??)上为增函数,则
a

3
a
?1,即a?3
∴a的最大值为3)
3
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称


若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论:
(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶 函数;一个偶函数与奇
函数的乘积是奇函数。

(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则f(0)?0。

a·2
x
?a?2
为奇函数,则实数a?

如:若f(x)?
2
x
?1

a·2
0
?a?2
?0,∴a?1)

(∵f(x)为奇函数,x?R,又0?R,∴f(0)?0


0
2?1
2
x


又如:f( x)为定义在(?1,1)上的奇函数,当x?(0,1)时,f(x)?
x
4?1

< p>
2
?x
求f(x)在
?
?1,1
?
上的解析式 。

(令x?
?
?1,0
?
,则?x?
?< br>0,1
?
,f(?x)?
?x

4?1
2
?x
2
x
??

又f(x)为奇函数,∴f(x)??
?x

4?11?4
x
x?(?1,0)
?
x
2
?
?
?
?
4< br>x
?1

又f(0)?0,∴f(x)?
?

x?0

?
x
?
2
x?
?
0,1
?
x
?
?4?1
17. 你熟悉周期函数的定义吗?

(若存在实数T(T?0),在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x ),则f(x)为周期

函数,T是一个周期。)
如:若f
?
x?a
?
??f(x),则

(答:f(x)是周期函数,T?2a为f(x)的一个周期)


又如:若f(x)图象有两条对称轴x?a,x?b
?
?
?


即f(a?x)?f(a?x),f(b?x)?f(b?x)

则f(x)是周期函数,2a?b为一个周期

如:


18. 你掌握常用的图象变换了吗?

f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称


f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称


f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称


f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称


f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称


f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a,0)对称


左移a(a?0)个单位
y?f(x?a)
??

将y?f(x)图象????????

y?f(x?a)
右移a(a?0)个单位
??

????????
注意如下“翻折”变换:

上移b(b?0)个单位
下移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b

y?f(x?a)?b
f(x)???f(x)
f(x)???f(|x|)


如:f(x)?log
2
?
x?1
?


作出y?log
2
?
x?1
?
及y?lo g
2
x?1的图象

y

y=log
2
x


O 1 x


19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?

(k<0) y

(k>0)


y=b
O’(a,b)

O x

x=a

(1)一次函数:y?kx?b
?
k?0
?



(2)反比例函数:y?
的双曲线。
kk
?
k?0
?推广为y?b?
?
k?0
?
是中心O'(a,b)

x x?a
b
?
4ac?b
2
?
图象为抛物线

(3)二次函数y?ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?x?
?
?
??
2a4a
2
2
?
b4a c?b
2
?
b
,,对称轴x??

顶点坐标为
?
?

?
4a
?
2a
?
2a



开口方向:a?0,向上,函数y
min
4ac?b
2
?

4a

a?0,向下,y
max
4ac?b
2
?

4a
应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
ax
2
?bx?c?0,??0时,两根x
1
、x
2
为二次函数y?ax
2
?bx?c的图象与x轴

的两个交点,也是二次不等式ax
2
?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间[m,n]上的最值。
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
?
??0
?
?
b
2
?k

如:二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k?
?
?
?
2a
?
?
f(k)?0
y


(a>0)


O k x
1
x
2
x



一根大于k,一根小于k?f(k)?0


(4)指数函数:y?a
x
?
a?0,a?1
?

(5)对数函数y?logx
?
a?0,a?1
?

a
由图象记性质! (注意底数的限定!)
y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1

O 1 x

(0

(6)“对勾函数”y?x?
k
?
k?0
?

x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?


y



?k


O
k


x



20. 你在基本运算上常出现错误吗?

指数运算:a?1(a?0),a
0?p

?
1
?
p
(a?0)

a
n
?
n
a
m
(a?0),a
n
?
a
mm< br>1
n
a
m
(a?0)


对数运算: log
a
M·N?log
a
M?log
a
NM?0,N?0


log
a
??
M1
?log
a
M?log
a
N,log
a
n
M?log
a
M

Nn
log
a
x

对数恒等式:a?x


对数换底公式:log
a
b?
21. 如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)
log
c
b
n
?log
a
m
b
n
?log
a
b

log
c
am

如:(1)x?R,f(x)满足f(x?y )?f(x)?f(y),证明f(x)为奇函数。


(先令x?y?0?f(0)?0再令y??x,……)


(2)x?R,f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y),证明f(x)是偶函数。


(先令x?y??t?f
?
(?t)(?t)
?
? f(t·t)

∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)


∴f(?t)?f(t)……)


(3)证明单调性:f(x
2
)?f
?
x
2
?x
1
?
?x
2
?……

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗?
(二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等。)
如求下列函数的最值:

(1)y?2x?3?13?4x

(2)y?
??
2x?4

x?3
2x
2
2

(3)x?3,y?

(4)y?x?4?9?x设x?3cos?,??
?
0,?
?

x?3
??



(5)y?4x?
9
,x?(0,1]

x
23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?

(l??·R,S

?
11
l·R??·R
2


22


R


1弧度
O R

24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义

sin??MP,cos??OM,tan??AT

y
T
B S

P


α

O





M
A x





如:若?
?
??? 0,则sin?,cos?,tan?的大小顺序是
8


又如:求函 数y?1?2cos
?
?
?
?
?x
?
的定义域和值 域。

?
2
?

(∵1?
2
?
?
?
,如图:

2cos
?
?x
?
)?1?2sinx?0

∴sinx?
?
2
?
2




∴2k??
5??
?x?2k??
?
k?Z
?
,0 ?y?1?2

44
25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?


sinx?1,cosx?1

y
y?tgx




x
?
?


?


O
?

2
2






对称点为
?
k

?
?
?
,0
?
,k?Z

?
2
?

y?sinx的增区间为
?
2k? ?
?
?
??
?
,2k??
?
?
k?Z?

22
?
?3?
?
,2k??
?
?
k?Z
?

22
?
?
?
k?Z
?

2

减区间为
?
2k??
?
?

图象的对称点为k?,0,对称轴为x?k??
??



y?cosx的增区间为2k?,2k???
?
k?Z
?


减区间为2k???,2k??2?
??
??
?
k?Z
?< br>

图象的对称点为
?
k??
?
?
?
?
,0
?
,对称轴为x?k?
?
k?Z
?

?
2
??
?
,k??
?
k?Z

22
?

y?tanx的增区间为
?
k??
?
?

26. 正弦型函数y=Asin
?
?x+?
?
的图象和性质要熟记。或y?Acos
?
?x??
?


(1)振幅|A|,周期T?
??
2?

|?|
< br>若f
?
x
0
?
??A,则x?x
0
为对称轴 。

若f
?
x
0
?
?0,则x
0< br>,0为对称点,反之也对。


(2)五点作图:令?x??依次为0,
(x,y)作图象。

(3)根据图象求解析式。(求A、?、?值)

??
?3?
,?,,2?,求出x与y,依点

22

?
?(x
1
)???0
?

如图列出
?
?

?(x
2
)???
?
2
?

解条件组求?、?值

?正切型函数y?Atan
?
?x??
?
,T?
?

|?|
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。
< br>如:cos
?
x?
?
?
?
?
23?
??
??,x??,,求x值。

?
??
?
622
??
3?7??5??5?13
,∴?x??,∴x??,∴x??)

26636412

(∵??x?
28. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?



如:函数y?sinx?sin|x|的值域是


(x?0时,y?2sinx??2,2,x?0时,y?0,∴y??2,2)

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗? (平移变换、伸缩变换)
????
??
x'?x?h
a?(h,k)
??P'(x',y'),则
?
平移公式:
(1)点P(x,y)?????

平移至
?
y'?y?k

(2)曲线f(x,y)?0沿向量a?(h,k)平移后的方程为f(x?h,y?k)?0


如:函数y?2sin
?
2x?
?
?
?< br>?
?
?
?1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的
图象?
4
?

(y?2sin
?
2x?
?
?
?
?
?
?
1
?
?
?
横坐标伸长 到原来的2倍
??y?2sin
?
2
?
x
?
??
?1

?
?1?????????
4
?
?< br>?
2
?
4
?
?
?
??
1个单位4
?2sin
?
x?
?
?1????????y?2sinx? 1?
上平移
???????y?2sinx

??
4
左平移个单位
1
2
?y?sinx)

??????????
纵坐标缩短到原来的倍
30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?

如:1?sin??cos??sec ??tan??tan?·cot??cos?·sec??tan
2222
?

4
?sin
?
?cos0?……称为1的代换。

2
?
??”化为?的三角函数——“奇变,偶不变,符号看象限”,

2

“k·
“奇”、“偶”指k取奇、偶数。
如:cos
9?
?
7?
?
?tan
?
?
?
?sin
?
21?
?
?
?
6
?
4


又如:函数y?
sin??tan?
,则y的值为< br>cos??cot?
B. 负值 C. 非负值

D. 正值 A. 正值或负值
sin?
2
sin?
?
cos??1
?
cos?
??0,∵??0)

(y?
cos?
cos
2
?
?
sin??1
?
cos??
sin?
sin??
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗?
理解公式之间的联系:


??sin2??2sin?cos?
sin
?
???
?
?sin?cos??cos?sin????
令???
cos
?
???
?
?cos?cos??sin?sin ??????cos2??cos
2
??sin
2
?

令? ??
tan
?
???
?
?
tan??tan?
22

?2cos??1?1?2sin??

1?tan?·tan?
1?cos2?
2

1?cos2?
sin
2
??
2
cos
2
??tan2??

2tan?

1?tan
2
?



asin??bc os??a
2
?b
2
sin
?
???
?
, tan??
b

a
?
?
?

3
?

sin??cos??
?
2sin
?
??
?
?
??
?

sin??3cos??2sin
?
??
?
4
?
应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能
求值 ,尽可能求值。)
具体方法:

(1)角的变换:如??
?
???
?
??,
???
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
??
?
… …

??
22
??
2
(2)名的变换:化弦或化切
(3)次数的变换:升、降幂公式
(4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。

如:已知
sin?c os?2
?1,tan
?
???
?
??,求tan
?
??2?
?
的值。

1?cos2?3
sin?cos?cos? 12
又tan????
??1,∴tan??

??
3
2sin?2
2sin
2
?

(由已知得:
21
?
tan
?
???
?
?tan ?
1
?
32
?)

∴tan
?
? ?2?
?
?tan
?
?
???
?
??
?< br>?
1?tan
?
???
?
·tan?
1?
2
·
1
8
32
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜三角形?
b
2
?c
2
?a
2

余弦定理:a?b?c?2bccosA?cosA?

2bc
222
(应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。)
?
a?2RsinA
abc
?
???2R?
?
b?2Rs inB

正弦定理:
sinAsinBsinC
?
c?2R sinC
?



S
?
?
1
a·bsinC

∵A?B?C??,∴A?B???C

2
A?BC
?cos

22

∴sin
?
A?B
?
?sinC,sin

如?ABC中,2sin
2
A?B
?cos2C?1

2
22
c
2
,求cos2A?cos2B的值。

(1)求角C;

(2)若a?b?
2
2
< br>((1)由已知式得:1?cos
?
A?B
?
?2cosC?1?1< br>

又A?B???C,∴2cosC?cosC?1?0

∴cosC?
2
1
或cosC??1(舍)

2

又0?C??,∴C?
?

3
22

(2)由正弦定理及a?b?
1
2
?3
c得:
2sin
2
A?2sin
2
B?sin
2
C?sin< br>2
?

234

1?cos2A?1?cos2B?
33

∴cos2A?cos2B??)

4
4
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

反正弦:arcsinx?
??
?
??
?

?
,x?
?
?1,1< br>?

2
??
2

反余弦:arccosx?0,?,x??1,1

????

反正切:arctanx?
?
?
?
??
?

?< br>,
?
x?R
?

?
22
?
34. 不等式的性质有哪些?

(1)a?b,
c?0?ac?bc
c?0?ac?bc

(2)a?b,c?d?a?c?b?d


(3)a?b?0,c?d?0?ac?bd

(4)a?b?0?
nn
n

(5)a?b?0?a?b,a?
1111
?,a?b?0??

abab
n
b


(6)|x|?a
?a?0
?
??a?x?a,|x|?a?x??a或x?a



如:若
11
??0,则下列结论不正确的是(
ab
2


ab
??2

ba

A.a?b
2
?b
2

C.|a|?|b|?|a?b|D.
答案:C
35. 利用均值不等式:
?
a?b
?
22?

a?b?2 aba,b?R;a?b?2ab;ab?
??
求最值时,你是否注

?2
?
??
2
意到“a,b?R
?
”且“等号成立”时的 条件,积(ab)或和(a?b)其中之一为定

值?(一正、二定、三相等)
注意如下结论:
a
2
?b
2
a?b2ab
??ab?a, b?R
?

当且仅当a?b时等号成立。

22a?b
??
222

a?b?c?ab?bc?caa,b?R

当且仅当a?b?c时取等号。

??

a?b?0,m?0,n?0,则

bb?ma?na
??1??

aa?mb?nb

如:若x?0,2?3x?
4
的最大值为
x

(设y ?2?
?
3x?
?
?
4
?
?
?2?212 ?2?43

x
?

当且仅当3x?
423
,又x?0,∴x?时,y
max
?2?43)

x3
xy

又如:x?2y?1,则2?4的最小值为

(∵2?2
x2y

?22
x?2y
?22
1
,∴最小值为22)

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗? (比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)
并注意简单放缩法的应用。

如:证明1?
111
??…??2

222
23n

(1?
111111
??……??1???……?

1?22?3n ?1n
2
2
3
2
n
2
??


?1?1?

11111
???……??
223n?1n
1< br>?2??2)
n


37.解分式不等式
f(x)
?a
?
a?0
?
的一般步骤是什么?

g(x)
(移项通分,分子分母因式分解,x的系数变为1,穿轴法解得结果。)
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开始


如:
?
x?1
??
x?1
??
x?2
?
? 0

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如:对数或指数的底分a?1或0?a?1讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解?(找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。)

例如:解不等式|x?3|?x?1?1

(解集为
?
x|x ?
23
?
?
1
?
?


2
?

41.会用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|证明较简单的不等问题

2

如:设f(x)?x?x?13,实数a满足|x?a|?1

求证:f(x)?f(a)?2(|a|?1)

证明:
|f(x)?f(a)|?|(x?x?13)?(a?a?13)|

22
?|(x?a)(x?a?1)|(?|x?a|?1)

?|x?a||x?a?1|?|x?a?1|

?|x|?|a|?1

又|x|?|a|?|x?a|?1,∴|x|?|a|?1

∴f(x)?f(a)?2|a|?2?2
?
|a|?1
?
(按不等号方向放缩)
42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△”问题)

如:a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值


a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值


a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值


例如:对于一切实数x,若x?3?x?2?a恒成立,则a的取值范围是

(设u?x?3?x?2,它表示数轴上到两定点?2和3距离之和



u
min
?3?
?
?2
?
?5,∴5?a,即a?5


或者:x?3?x?2?
?< br>x?3
?
?
?
x?2
?
?5,∴a?5)

43. 等差数列的定义与性质

定义:a
n?1
? a
n
?d(d为常数),a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d


等差中项:x,A,y成等差数列?2A?x?y


前n项和Sn
?
?
a
1
?a
n
?
n
?n a
2
1
?
n
?
n?1
?
2
d

性质:
?
a
n
?
是等差数列

(1 )若m?n?p?q,则a
m
?a
n
?a
p
?a
q



(2)数列
?
a
2n?1
?

?
a
2n
?

?
ka
n
?b
?
仍为等差数列;


S
n
,S2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
……仍为等差数 列;


(3)若三个数成等差数列,可设为a?d,a,a?d;


(4)若a
n
,b
n
是等差数列S
n,T
n
为前n项和,则
a
m
S
2m?1
?;< br>
b
m
T
2m?1
2

(5)
?
a
n
?
为等差数列?S
n
?an?bn(a,b为常数 ,是关于n的常数项为

0的二次函数)
2

S
n
的最值可求二次函数S
n
?an?bn的最值;或者求出
?
a
n
?
中的正、负分界
项,即:
?
a
n
?0可得S
n
达到最大值时的n值。

当a
1
?0 ,d?0,解不等式组
?
a?0
?
n?1

当a1
?0,d?0,由
?
?
a
n
?0
可得Sn
达到最小值时的n值。

?
a
n?1
?0

如:等差数列
?
a
n
?
,S
n
?18,a
n
?a
n?1
?a
n?2
?3,S
3
?1 ,则n?

(由a
n
?a
n?1
?a
n?2
?3?3a
n?1
?3,∴a
n?1
?1


又S
3
?
?
a
1
?a
3
?
·3?3a
2
2
?1,∴a
2
?
1

3
?
1
?
?
?1
?
n
a
1
?a
n
?
n
?
a
2
?a
n?1
?
·n
?
3
?
?
???18

?n?27)

∴S
n
?
222
44. 等比数列的定义与性质



定义:
a
n?1< br>?q(q为常数,q?0),a
n
?a
1
q
n?1

a
n
2

等比中项:x、G、y成等比数列?G?xy,或G??xy

?
na
1
(q?1)
?
(要注意!)
< br>前n项和:S
n
?
?
a
1
1?q
n
(q?1)
?
?
1?q
??

性质:
?
a
n
?
是等比数列

(1 )若m?n?p?q,则a
m
·a
n
?a
p
·a
q


(2)S
n
,S
2n
?S
n< br>,S
3n
?S
2n
……仍为等比数列


45.由S
n
求a
n
时应注意什么?

< br>(n?1时,a
1
?S
1
,n?2时,a
n
?Sn
?S
n?1


46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗?
例如:(1)求差(商)法

如:
?
a
n
?
满足
111
a
1
?
2
a
2
?……?
n
a
n
?2n?52
22
1
a
1
?2?1?5,∴a
1
?14< br>
2
?1?

解:
n?1时,
n?2时,
111
a
1
?
2
a
2
?… …?
n?1
a
n?1
?2n?1?5
2
22
?2?

?
14(n?1)
1
n?1
∴a?2

?1???2?得:
n
a
n
?2

∴a
n
?
?
n?1

n
2
2(n?2)
?
[练习]
数列
?a
n
?
满足S
n
?S
n?1
?
5a
n?1
,a
1
?4,求a
n

3
S
n?1
?4

又S
1
?4,∴
?
S
n
?
是等比数列,S
n
?4
n

S
n
n?1

(注意到a
n?1
?S< br>n?1
?S
n
代入得:

n?2时,a
n?S
n
?S
n?1
?……?3·4

(2)叠乘法
例如:数列
?
a
n
?
中,a
1
?3,
a
n?1
n
?,求a
n

a
n
n?1
解:
a
2
aaa
12 n?11
3
·
3
……
n
?·……,∴
n
?

又a
1
?3,∴a
n
?

a1
a
2
a
n?1
23na
1
n
n (3)等差型递推公式



由a
n
?a< br>n?1
?f(n),a
1
?a
0
,求a
n
, 用迭加法

n?2时,a
2
?a
1
?f(2)
?< br>?
a
3
?a
2
?f(3)
?

?
两边相加,得:

…………
?
a
n
?a
n?1
?f(n)
?
?

a
n
?a
1
?f(2)?f(3)?……?f(n)

∴a
n
?a
0
?f(2)?f(3)?……?f(n)

n?1
[练习]
数列
?
a
n
?
, a
1
?1,a
n
?3?a
n?1
?
n?2
?
,求a
n


(a
n
?
1
n
3?1)

2
??
(4)等比型递推公式

a
n?ca
n?1
?dc、d为常数,c?0,c?1,d?0

< br>可转化为等比数列,设a
n
?x?c
?
a
n?1
?x
?


?a
n
?ca
n?1
??
c?1
?
x

令(c?1)x?d,∴x?
??
d

c?1
d
?
d
?
∴a?是首项为a?,c为公比的等比数列

?
n
?
1
c?1
?
c?1
?

∴a
n
?
dd
?
d
?
n?1
d< br>??
n?1
?
?
a
1
?

?
·c

∴a
n
?
?
a
1
?
?
c?
?
c?1
?
c?1
?
c ?1
?
c?1
n?1
?
4
?
[练习] 数列
?
a
n
?
满足a
1
?9,3a
n ?1
?a
n
?4,求a
n

(a
n
?8
?
?
?
?
3
?
(5)倒数法
?1)

例如:a
1
?1,a
n?1
?
1
a
n?1
2a
n
,求a
n

a
n
?2
?
a
n
?2
11111
????


2a
n
2a
n
a
n?1
a
n< br>2


由已知得:

?
?
?
1
?
11
为等差数列,?1,公差为
?
aa
12
?
n
?
2

n?1
?
111
?1?
?
n?1
?
·?
?
n?1
?

a
n
22
∴a
n
?
47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗?
例如:(1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。



如:
?
a
n
?
是公差为d 的等差数列,求
1

?
aa
k?1
kk?1
n
解:

n
111
?
11
?
??
?
?
?
?
d?0
?

a
k
·a
k?1
a
k
?
a
k
?d
?
d
?
a
k
a
k?1
?
n
11
?
11
?
?
?
?
?


?
?

aadaa
?
k?1
kk?1
k?1
kk?1
?

?
11
?
?
11
??
11
?
1< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?< br>?
?……?
?
?
?
?
d
?
?
a
1
a
2
??
a
2
a
3
??< br>a
n
a
n?1
?
?
?
1
?
11
?
?
?
?
d
?
a
1
a
n?1
?

[练习]
求和:1?
111
??……?

1?21?2?3
1?2?3?……?n

(a
n
?……?……,S
n
?2?
(2)错位相减法:
1


n?1


?
a
n
?
为等差数列,
?
b
n
?
为 等比数列,求数列
?
a
n
b
n
?
(差比数列)前n 项

和,可由S
n
?qS
n
求S
n
,其中 q为
?
b
n
?
的公比。


如:S
n
?1?2x?3x?4x?……?nx
23n?1
?1?

?2?

234n?1
?nx
n

x·S
n
?x?2x?3x?4x?……?
?
n?1
?
x
2n?1
?nx
n

?1???2?:
?
1?x
?
S
n
?1?x?x?……?x

x?1时, S
n
1?x
?
nx
?
??
n
n
?
1?x
?
2
1?x

x?1时,S
n
?1?2?3?……?n?
n
?
n?1
?
2

(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

S
n
?a
1
?a
2
?……?a
n?1
?a
n
?
?
?
相加

S
n
?a
n
?a
n?1
?……?a
2
?a
1
?
?

2S
n
?
?
a
1
?a
n
?
?
?
a
2
?a
n?1
?
?……?
?a
1
?a
n
?
……

x
2
?
1
??
1
??
1
?
,则f(1)?f(2)?f? f(3)?f?f(4)?f
[练习]
已知f(x)?
??????
?
?
2
??
3
??
4
?
1?x
2


x
?
1
?
?

( 由f(x)?f
??
?
?
x
?
1?x
2
2
x
2
1
???1

222
1?x1?x
?
1
?
1?
??
?
x
?
?
1
?
??
?
x
?
2

∴原式?f(1)?< br>?
f(2)?f
??
?
?
?
f(3)?f
? ?
?
?
?
f(4)?f
??
?

???? ??
?
?
?
1
?
??
2
??
?< br>1
?
??
3
??
?
1
?
?
4
?

?
11
?1?1?1?3)

22
48. 你知道储蓄、贷款问题吗?
△零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:
若每期存入本金p元,每期利率为r,n期后,本利和为:
n
?
n?1
?< br>??
r
?
……等差问题

S
n
?p
?
1?r
?
?p
?
1?2r
?
?……?p
?
1?nr
?
?p
?
n?
2
??
△若按复利,如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类)
若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一 次还
款日,如此下去,第n次还清。如果每期利率为r(按复利),那么每期应还x元,满足

p(1?r)?x
?
1?r
?
n
n?1
?x
?
1?r
?
n?2
?……?x
?
1?r
?
?x

n
n
?
1?
?
1?r
?
n
?
1?r
?
?1
pr
?
1?r
?
?
?
?x

?x
?

∴x?

n
1?1?rr
??
?
1?r
?
?1
??
??
p——贷款数,r——利率,n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。

(1)分类计数原理:N?m
1
?m
2
?……?m
n

(m
i
为各类办法中的方法数)


分步计数原理:N?m
1
·m
2
……m
n

(m
i
为各步骤中的方法数)

(2)排列:从n个不同元 素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一
列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 排列,所有排列的个数记为A
m
n
.


A
n
?n
?
n?1
??
n?2
?
……
?n?m?1
?
?
m
n!
?
m?n
?

规定:0!?1

?
n?m
?
!
(3)组 合:从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从n个不
同元素中取出m个元素的一个 组合,所有组合个数记为C
m
n
.

n
?
n?1< br>?
……
?
n?m?1
?
A
m
n!
0
n
?

C?
m
?

规定:C
n
?1

m!m!
?
n?m
?< br>!
A
m
m
n

(4)组合数性质:

C
n
?C
n
50. 解排列与组合问题的规律是:
m n?mm?101nn
,C
m
?C
m
n
?C
nn? 1
,C
n
?C
n
?……?C
n
?2


相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多 至少问题间接法;相
同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。
如:学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩
x
i
?89,90,91,92, 93,(i?1,2,3,4)且满足x
1
?x
2
?x
3
? x
4


则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( ) A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
??
解析:可分成两类:
(1)中间两个分数不相等,


有C
5
?5(种)

(2)中间两个分数相等
x
1
?x
2
?x
3
?x
4

4

相同两数分别取90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有3,4,3种,∴有10种。
∴共有5+10=15(种)情况
51. 二项式定理
(a?b)?C
n
a?C
n
a

二项展开式 的通项公式:T
r?1
?C
n
a
r
r
n0n1n? 1n?22n?rrn
b?C
2
b?…?C
r
b?…?C
n
n
a
n
a
n
b

n?r
b
r
(r?0,1……n)


C
n
为二项式系数(区别于该项的系数)

性质:
(1)对称性:C
n
?C
n
01n
rn?r
?r?0,1,2,……,n
?

n
135024n?1

(2)系数和:C
n
?C
n
?…?C
n
?2

C
n
?C
n
?C
n
?…?C
n
?C
n
?C
n
?…?2

(3)最值:n为偶数时,n+1为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第
?
n
?
2
;n为奇数时,(n?1)为偶数,中间两项的二项式

?
?1< br>?
项,二项式系数为C
n
?
2
?
n?1n?1
系数最大即第项及第?1项,其二项式系数为C
n
2
?C
n
2
22

如:在二项式
?
x?1
?
的展 开式中,系数最小的项系数为
11
n?1n?1
n
(用数字
表示)
12
?6或第7项

2

(∵n=11

∴共有12项,中间两项系数的绝对值最大,且为第
r11?r

由C
11
x
65
??C
11
??426

(?1)
r
,∴取r?5即第6项系数为负值为最小:

?C
11

又如:
?
1?2x
?
2 004
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
?……?a
2004
x
2004
?
x?R
?
,则

(用数字作答)

?
a
0
?a
1
?
?
?
a
0
?a
2
?
?
?a
0
?a
3
?
?……?
?
a
0
?a
2004
?
?

(令x?0,得:a
0
?1

令x?1,得:a
0< br>?a
2
?……?a
2004
?1



∴原式?2003a
0
?a
0
?a
1
?……?a< br>2004
?2003?1?1?2004)

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗?

(1)必然事件?,P??)?1,不可能事件?,P(?)?0


(2)包含关系:A?B,“A发生必导致B发生”称B包含A。



A B


??


(3)事件的和(并):A?B或A?B“A与B至少有一个发生”叫做A与B
的和(并)。


(4)事件的积(交):A·B或A?B“A与B同时发生”叫做A与B的积。


(5)互斥事件(互不相容事件):“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。
A·B??


(6)对立事件(互逆事件):
“A不发生”叫做A发生的对立(逆)事件,A


A?A??,A?A??


(7)独立事件:A发生与否对B发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。

A与B独立,A与B,A与B,A与B也相互独立。

53. 对某一事件概率的求法:


分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即

P(A)?
A包含的等可能结果m
?

一次试验的等可能结果的总数
n

(2)若A、B互斥,则P
?
A?B
?
?P(A)?P(B)


(3)若A、 B相互独立,则PA·B?P
?
A
?
·P
?
B
?< br>
(4)P(A)?1?P(A)

(5)如果在一次试验中A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中A恰好发生
k
k次的 概率:P
n
(k)?C
k
n
p
?
1?p
?
n?k
??

如:设10件产品中有4件次品,6件正品,求下列事件的概率。
?
C
2
2
?
4
(1)从中任取2件都是次品;
?
P
1
?
2
?
?

C
1 0
15
??
3
?
C
2
C
10
?< br>46
P??
(2)从中任取5件恰有2件次品;
?
2
?

5
21
?
C
10
?
(3)从中有放回地任取3件至少有2件次品;
3
解析:有放回地抽取3次(每次抽1件),∴n=10
而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
∴m?C
3
·46?4

23
C
2
44
3
·4·6?4
?

∴P
3
?

125
10
3
2213
(4)从中依次取5件恰有2件次品。 解析:∵一件一件抽取(有顺序)
23
C2
10
4
A
5
A
6
?

∴n?A,m?CAA

∴P
4
?

521
A
10
5
10
2
4
2
5
3
6
分清(1)、(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,它的特征是从
总体中 逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一个;
分层 抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到
的概 率相等,体现了抽样的客观性和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的 概率,用样本的期望(平均值)和方差去估计总体
的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法:

(1)算数据极差
?
x
m ax
?x
min
?

(2)决定组距和组数; (3)决定分点;
(4)列频率分布表; (5)画频率直方图。

其中,频率?小长方形的面积?组距×
频率

组距

样本平均值:x?
1
x
1
?x
2
?……?x
n
n
??



样本方差:S?
2
1
?
x
1
?x
?
2
?
?
x
2
?x
?
2
?……?
?
x
n
?x
?
2

n
??
如:从10名女生与5名男生中选6名学生参 加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组成此参赛队的
42
C
10
C
5

概率为____________。

6
C
15
56. 你对向量的有关概念清楚吗?
(1)向量——既有大小又有方向的量。


(2)向量的模——有向线段的长度,|a|

?
??
?

(3)单位向量|a
0
|?1,a
0
?
a
|a|< br>
(4)零向量0,|0|?0

??
?

?
长度相等
??
a?b

(5)相等的向量?
?
?
方向相同
在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。
(6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b?0)?存在唯一实数?,使b??a

(7)向量的加、减法如图:
??????

??????

OA?OB?OC

OA?OB?BA

(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)

e
1
,e
2
是平面内的两个不共线向量,a为该平面任一向量,则存在唯一

???
实数 对?
1
、?
2
,使得a??
1
e
1
??< br>2
e
2
,e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所 有向量

的一组基底。
(9)向量的坐标表示
?????




i,j是一对互相垂直的单位向量,则有且只有一对实数x,y,使得

?
? ?
a?xi?yj,称(x,y)为向量a的坐标,记作:a?
?
x,y
?< br>,即为向量的坐标
表示。
?
????

设a?x1
,y
1
,b?x
2
,y
2


则a?b?x
1
,y
1
?y
1
,y
2?x
1
?y
1
,x
2
?y
2

?a??x
1
,y
1
??x
1
,?y
1< br>
??
??
?
??
??????
?
????
?

若A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?

则 AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

?

|AB|?
?
?
x2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
,A、B两点间距离公式

?????
57. 平面向量的数量积

(1)a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a与b的数量积(或内积)。


?为向量a与b的夹角,??0,?


B
??
??
?

b

O
?

数量积的几何意义:
?
a


D A

a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos?的乘积。

(2)数量积的运算法则

①a·b?b·a

②(a?b)c?a·c?b·c


③a·b?x
1
,y
1
·x
2
,y
2
?x
1
x
2
?y
1
y
2


注意:数量积不满足结合律(a·b)·c?a·(b·c)


(3 )重要性质:设a?x
1
,y
1
,b?x
2
,y
2


①a⊥b?a·b?0?x
1
·x
2
? y
1
·y
2
?0

????
?
??
?????
????
???????
????
??????
??< br>?
??



②a∥b?a·b?|a|·|b|或a·b??|a|·|b|


?a??b(b?0,?惟一确定)

?x
1y
2
?x
2
y
1
?0


③a?|a|?x?y,|a·b|?|a|·|b|

?
?
2?
22
1
2
1
????
??????????
???

④cos??
a·b
?
?
|a|·|b|< br>?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y·x?y
2
1
2
1
2
2
2
2

?
?
?
?
?
?
[练习]
(1)已知正方形ABCD,边长为1,AB?a,BC?b,AC?c,则

|a?b?c|?
?
???
答案:
22


(2)若向量a?x,1,b?4,x,当x?
??
??
?
??时a与b共线且方向相同
答案:2
o
??
??

(3)已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a?3b|?
58. 线段的定比分点
答案:
13


设P
1< br>x
1
,y
1
,P
2
x
2
,y
2
,分点Px,y,设P
1
、P
2
是直线l上两点,P点在

??????
??
l上且不同于P
1
、P
2
, 若存在一实数?,使P
1
P??PP
2
,则?叫做P分有向线段
< br>?
P
1
P
2
所成的比(??0,P在线段P
1
P
2
内,??0,P在P
1
P
2
外),且
x
1
??x
2
x
1
?x
2
?
?
x?
x?
?
?
??
1??
2
,P为P< br>1
P
2
中点时,
?

?

y ??yy?y
22
?
y?
1
?
y?
1
?< br>?
1??2
?
?

如:?ABC,Ax
1,y
1
,Bx
2
,y
2
,Cx
3
,y
3


则?ABC重心G的坐标是
?
??????< br>y?y
2
?y
3
??
x
1
?x
2< br>?x
3

1
?

??
33
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗?
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗?
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:
线∥线???线∥面???面∥面
??线⊥面???面⊥面????

????线⊥线?
线∥线???线⊥面???面∥面
线面平行的判定:

a∥b,b?面?,a???a∥面?

判定性质


a

b
??

线面平行的性质:

?∥面?,??面?,????b?a∥b

三垂线定理(及逆定理):


PA⊥面?,AO为PO在?内射影,a?面?,则

a⊥OA?a⊥PO;a⊥PO?a⊥AO






P
??
O
a

线面垂直:
a⊥b,a⊥c,b,c??,b?c?O?a⊥?

a


O
α b c

面面垂直:
a⊥面?,a?面???⊥?


面?⊥面?,????l,a??,a⊥l?a⊥?


α a


l


β


a⊥面?,b⊥面??a∥b

面?⊥a,面?⊥a??∥?

a b



??

60. 三类角的定义及求法
(1)异面直线所成的角θ,0°<θ≤90°



(2)直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90°

?=0时,b∥?或b??

o


(3)二面角:二面角??l??的平面角?,0???180

oo


(三垂线定理法:A∈α作或证AB⊥β于B,作BO⊥棱于O,连AO,则AO⊥ 棱
l
,∴∠AOB为所求。)
三类角的求法:
①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义,并指出所求作的角。
③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。
[练习]
(1)如图,OA为α的斜线OB为其在α内射影,OC为α内过O点任一直线。

证明:cos??cos?·cos?

A



θ
O
β


B
????????????????????????C?
D
α



(?为线面成角,∠AOC=?,∠BOC=?)

(2)如图,正四棱柱A BCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中对角线BD
1
=8,BD
1
与侧面B
1
BCC
1
所成 的为30°。
①求BD
1
和底面ABCD所成的角; ②求异面直线BD
1
和AD所成的角; ③求二面角C
1
—BD
1
—B
1
的大小。
D
1
C
1


A
1
B
1
H

G
D C

A B

36
o
(①arcsin;②60;③arcsin)

43
(3)如图ABCD为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面ABCD,且PD=A D,求面PAB与面PCD所成的锐二面角
的大小。
P F



D C


A E B

(∵AB∥DC,P为面PAB与面PCD的公共点,作PF∥AB,则PF为面PCD与面PAB的交线……)
61. 空间有几种距离?如何求距离?
点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离, 构造三角形,解三角形求线段的长(如:三垂线定理法,或者用等积
转化法)。
如:正方形ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,棱长为a,则:
(1)点C到面AB
1
C
1
的距离为___________; (2)点B到面ACB
1
的距离为____________;
(3)直线 A
1
D
1
到面AB
1
C
1
的距离为___ _________; (4)面AB
1
C与面A
1
DC
1< br>的距离为____________;
(5)点B到直线A
1
C
1
的距离为_____________。
D C

A B




D
1
C
1


A
1
B
1


62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质?
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:
Rt?SOB,Rt?SOE,Rt?BOE和Rt?SBE

它们各包含哪些元素?

S
正棱锥侧
?
1
1
C·h'(C——底面周长,h'为斜高)

V

?底面积×高

2
3
63. 球有哪些性质?

(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面r?R
2
?d
2

(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此,要找球心角!
(3)如图,θ为纬度角,它是线面成角;α为经度角,它是面面成角。


(4)S

?4?R,V

?
2
4
?R
3

3
(5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R:r=3:1。

如:一正四面体的棱长均为2,四个顶点都在同一球面上,则此球的表面

积为( )
A.3?
64. 熟记下列公式了吗?

(1)l直线的倾斜角??0,?,k?tan??
B.4?C.33?D.6?
答案:A
?
?
y
2
?y
1
?
?
?
??,x
1
?x
2
?

?
?
x
2
?x
1
?
2
?

P
1
x
1
,y
1
,P
2
x
2
,y
2
是l上两点,直线l的方向向量a?1,k

(2)直线方程:

点斜式:y?y
0
?k
?
x? x
0
?
(k存在)

斜截式:y?kx?b


截距式:
??????
xy
??1

一般式:Ax?By?C?0(A、B不同时为零)

ab



(3)点Px
0
,y
0
到直线l:Ax?By?C?0的距离d?< br>??
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22


(4)l
1
到l
2
的到角公式:tan??
65. 如何判断两直线平行、垂直?
k
2
?k
1
k?k
1

l
1
与l
2
的夹角公式:tan??
2

1?k
1
k
2
1?k
1
k
2
A
1
B
2
?A
2
B
1
?

?
?l
1
∥l
2

k
1
?k
2
?l
1
∥l
2
(反之不一定成立)

A
1
C
2
?A
2
C
1
?

A
1
A
2
?B
1
B
2
?0?l< br>1
⊥l
2

k
1
·k
2
??1?l
1
⊥l
2

66. 怎样判断直线
l
与圆C的位置关系?
圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。
67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置?

联立方程组?关于x(或y)的一元二次 方程?“?”
??0?相交;??0?相切;??0?相离

68. 分清圆锥曲线的定义
?
椭圆?PF
1
?PF
2
?2a,2 a?2c?F
1
F
2
?
?

第一定义
?
双曲线?PF
1
?PF
2
?2a,2a?2c?F
1< br>F
2

?
?
?
抛物线?PF?PK

第二定义:e?
PF
PK
?
c

a

0?e?1?椭圆;e?1?双曲线;e?1?抛物线

y


b

O
F
1
F
2
a x


a
2
x?

c

x
2
y
2
222

2
?
2
?1
?
a?b?0
?

a?b?c

ab
??



x
2
y
2
222

2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?

c?a?b

ab
??


e>1 e=1

P
0
F
k



x
2
y
2
x
2
y
2

69.与双曲线
2
?
2
?1有相同焦点的双曲线系为
2
?< br>2
??
?
??0
?

abab
70. 在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零?△≥0的限制。
(求 交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△≥0下进行。)

弦长公式P
1
P
2
?

?
?
1?k
2
2
x?x
??
?
?
12
?4x
1
x
2
?

1
?2
?
?
1?
2
?
?
y
1
?y
2
?
?4y
1
y
2

?
k
?
??
71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗?
如:
y
P(x
0
,y
0
)

K


F
1
O F
2
x


l


x
2
y
2

2
?
2
?1

ab


?
a< br>2
?
?e,PF
2
?e
?
x
0
?< br>?
?ex
0
?a

PKc
??

PF
1
?ex
0
?a

y
A P
2



O F x

P
1
B

2

y?2px
?
p?0
?

PF
2

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如:椭圆mx?ny?1与直线y?1?x交于M、N两点,原点与MN中点连

22
线的斜率为
2m
,则的值为
2n

答案:
m2
?

n2
73. 如何求解“对称”问题?
(1)证明曲线C:F(x,y)=0关于点M(a,b)成中心对称,设A(x,y)为曲线 C上任意一点,
设A'(x',y')为A关于点M的对称点。

(由a?
x?x'y?y'
,b??x'?2a?x,y'?2b?y)

22

只要证明A'2a?x,2b?y也在曲线C上,即f(x')?y'

??
?
AA'⊥l

(2)点A、A'关于直线l对称?
?

AA'中点在l上
?

?
?
?
k
A A'
·k
l
??1
?
AA'中点坐标满足l方程
22

?
x?rcos?
74.圆x?y?r的参数方程为
?
(?为参 数)

y?rsin?
?
2
?
x?acos?
x< br>2
y
2

椭圆
2
?
2
?1的 参数方程为
?
(?为参数)

ab
?
y?bsin?


75. 求轨迹方程的常用方法有哪些?注意讨论范围。
(直接法、定义法、转移法、参数法)
76. 对线性规划问题:作出可行域,作出以目标函数为截距的直线,在可行域内平移直线,求出 目标函
数的最值。

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