人教版高中数学知识点和练习题

人教版高中数学必修3知识点和练习题
第一章 算法初步
1.1.1 算法的概念
1、算法概念：
在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决 的某一类问题
是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内
完成 .
2. 算法的特点:
(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能
是无限的. < br>(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结
果，而不应当是模 棱两可.
(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步
骤只 能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才
能进行下一步，并且每一步都准 确无误，才能完成问题.
(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有
不同的算法.
(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算

器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.
1.1.2 程序框图
1、程序框图基本概念：
（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形 、指向线
及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分：表示相 应操作的程序框；带箭头的流程线；程
序框外必要文字说明。







（二）构成程序框的图形符号及其作用
程序框

起止框


输入、输出框


处理框
法中任何需要输入、输出的位置。
赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、
公式等分别写在不同的用以处理数据的处
理框内。
不可少的。
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算
名称 功能
表示一个算法的起始和结束， 是任何流程图

判断某一条件是否成立，成立时在出口处标

判断框

“N”。
明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或
学习这部分知识的时 候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框
图的规则如下：
1、使用标准的图形 符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、
除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入 点和一个退出点。判断框具有超
过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“ 否”
两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的
结果。5、在 图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构：顺序结 构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上
到
下
的顺序进行的，它 是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不
开的一种基本算法结构。
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而
下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B
A
框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执
B
行B框所指定的操作。

2、条件结构：
条件结构是指在算法中通过对条件的判断
根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 < br>条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A
框或B框之一，不可能 同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。
一个判断结构可以有多个判断框。
3、 循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处
理步骤的情况，这就 是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环
结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结 构，循环结构可细分为两类：
（1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件 P成
立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，
再执行A框， 如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再
执行A框，离开循环结构。
（2 ）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后
判断给定的条件P是否成立，如 果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某
一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结 构。


A
P
不成立
成立
成立
A
P
不成立

当型循环结构 直到型循环结构
注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环< br>结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累
加变量。 计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一
．．．．．．
般是 同步执行的，累加一次，计数一次。
1.2.1 输入、输出语句和赋值语句
p
1、输入语句
（1）输入语句的一般格式
图形计算器
格式
INPUT“提示内容”；变量 INPUT “提示内容”，变量
（2）输入语句的作用是 实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么
样的信息，变量是指程序在运行时其值 是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只
能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；（5） 提示内容与变量之间用分号“；”隔
开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。
2、输出语句
（1）输出语句的一般格式
图形计算器
格式
PRINT“提示内容”；表达式
Disp “提示内容”，变量
（2）输出语句 的作用是实现算法的输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么
样的信息，表达式是指程序要 输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式
的值以及字符。

3、赋值语句
（1）赋值语句的一般格式


（ 2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“＝”称作赋
值号，与数学中 的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边
的表达式的值赋给赋值号左边的变 量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达
式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（ 5）对于一个变量可以多次赋值。
注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X 是错误的。②赋值号
左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值 语句进
行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）④赋值号“=”与数学中的等号意义
不同。

1．2．2条件语句
1、条件语句的一般格式有两种：（1）IF—TH EN—ELSE语句；（2）IF—THEN语句。2、
IF—THEN—ELSE语句
IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。




图形计算器
格式
变量＝表达式
表达式
?
变量
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2

否
满足条件？
是
语句1
语句2

END IF
图1 图2
分析：在IF—THEN—ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件
时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条件语
句的结束。计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN
后面的语句 1；若条件不符合，则执行ELSE后面的语句2。
3、IF—THEN语句
IF—THEN语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4。
是
满足条件？
否
语句
IF 条件 THEN
语句
END IF
（图3）

（图4）

注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足
时，结 束程序；END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF后的条件进行
判断，如果条件 符合就执行THEN后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，
转而执行其它语句。

1．2．3循环语句

循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循 环结构，一般程序设
计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。即W HILE语句和UNTIL
语句。
1、WHILE语句
（1）WHILE语句的一般格式是 对应的程序框图是


WHILE 条件

循环体

满足条件？
WEND



否

循环体
是
（2）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符 合，就执行WHILE
与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环 体，这
个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳
到 WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试
型”循环。
2、UNTIL语句
（1）UNTIL语句的一般格式是 对应的程序框图是




DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
循环体
满足条件？
是
否

（2）直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析， 计算机执行该语
句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环< br>体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循
环体，跳到 LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语
句。
分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）
（1） 当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；
在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体 ，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执
行循环

1.3.1辗转相除法与更相减损术

1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
（1）：用较 大的数m除以较小的数n得到一个商
n为m，n的最大公约数；若
（3）：若
一个商< br>S
0
和一个余数
R
0
；（2）：若
R
0＝0，则
R
0
≠0，则用除数n除以余数
R
0
得到一个 商
S
1
和一个余数
R
1
；
R
1
＝ 0，则
R
1
为m，n的最大公约数；若
R
1
≠0，则用除数
R
0
除以余数
R
1
得到
S
2
和一 个余数
R
2
；…… 依次计算直至
R
n
＝0， 此时所得到的
R
n?1
即为所
求的最大公约数。
2、更相减损术
我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减
损术求最 大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相
减损，求其等也，以等数 约之。
翻译为：（1）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。（2）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大
数减小数 。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大
公约数。
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.

分析：（略）
3、辗转相除法与更相减损术的区别：
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以 除法为主，更相减损术以减法为主，
计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别 较大时计算次数的
区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余 数为0则得到，而更相减损
术则以减数与差相等而得到

1.3.2秦九韶算法与排序
1、秦九韶算法概念：
f(x)=a
nx
n
+a
n-1
x
n-1
+….+a
1
x+a
0
求值问题
f(x)=a
n
x
n
+a< br>n-1
x
n-1
+….+a
1
x+a
0
=(
=(( a
n
x
n-2
+a
n-1
x
n- 3
+….+a
2
)x+a
1
)x+a
0

=......=(...( a
n
x+a
n-1
)x+a
n-2
)x+...+a
1
)x+a
0

a
nx
n-1
+a
n-1
x
n-2
+….+a
1< br>)x+a
0
求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v
1
=a
n
x+a
n-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v
2
=v
1
x+a
n-2
v
3
=v
2
x+a
n-3
......

v
n
=v
n-1
x+a
0
、

这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序
1、直接插入排序
基本思想：插入排 序的思想就是读一个，排一个。将第１个数放入数组的第１个元素中，
以后读入的数与已存入数组的数进 行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置．将
该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的 新数填入空出的位置中．（由于算法
简单，可以举例说明）
2、冒泡排序
基本思想 ：依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1个数和第

2个数 ,大数放前,小数放后.然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.
第一趟结束, 最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数......
由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序.

1.3.3进位制
1、概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的 数值。可使用
数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十< br>进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进
位制来 表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、
用十六进制 表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：
a
na
n?1
...a
1
a
0(k)
(0?a
n< br>?k,0?a
n?1
,...,a
1
,a
0
?k)< br>，
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001
(2)
表示二进制数,34
(5)
表示5
进制数
2011届高一同步练习题 新课标必修
3
算法部分练习(一)
(定义及古算法案例)
1. 家中配电盒至电视机的线路断了，检测故障的算法中，为了使检测的次数
尽可能少，第一步检测的是
(A)靠近电视的一小段，开始检查 (B)电路中点处检查
(C)靠近配电盒的一小段开始检查 (D)随机挑一段检查
2. 早上从起床到出门 需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡
面(3min)、吃饭(10 min)、听广播(8min)几个步骤，从下列选项中选最好

的一种算法
(A)S1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播
(B)S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播
(C)S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播
(D)S1吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶
3. 算法:
S1 输入
n
；
S2 判断
n
是否是2，若
n?2
，则
n
满足条件，若
n?2
，则执行S3；
S3 依次从2到
n?1
检验能不能整除
n
，若不能整除
n
,则< br>n
满足条件；
满足上述条件的
n
是
(A)质数 (B)奇数 (C)偶数 (D)约数
4. 算法：S1 m=a；S2 若bS5 输出m。则输出的m表示
(A)a,b,c,d中最大值 (B) a,b,c,d中最小值
(C)将a,b,c,d由小到大排序 (D)将a,b,c,d由大到小排序
5. 给出以下四个问题：
①输入一个数x,输出它的相反数；
②求面积为6的正方形的周长；
③求三个数a,b,c,中的最大数；

?
x?1(x?0)
④求函数
f(x)?
?
的函数值；
x?2(x?0)
?
⑤求两个正整数a,b相除的商及余数.
其中不需要用条件语句来描述其算法的有____________.
6. 下面的问题中必须用条件分支结构才能实现的是____________.
①求面积为1的正三角形的周长；
②求方程
ax?b?0
(
a,b
为常数)的根；
③求两个实数
a,b
中的最大者；
④求1+2+3+…+100的值

7. 840和1764的最大公约数是 .

8. 数4557，1953，5115的最大公约数为 .

9. 两个正整数120与252的最小公倍数为 .

10. 用等值法求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数是
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

11. 用秦九韶算法计算多项式
f(x)?1 2?35x?8x
2
?79x
3
?6x
4
?5x
5
?3x
6
，在

x??4
时的值时，
V
3
的值为
(A)-845 (B)220 (C)-57 (D)34

12. 用秦九韶算法求
n
次多项式
f(x)?a< br>n
x
n
?a
n?1
x
n?1
?
?< br>?a
1
x?a
0
，当
x?x
0
时，求
f
(
x
0
)
需要算乘方、乘法、加法的次数分别为
(A)
n(n?1)
2
,
n
,
n
(B)
n,2n,n
(C)
0,2n,n

2011届高一同步练习题
3
算法部分练习(二)
(程序框图)
(D)
0,n,n

新课标必修

1.阅读下面的程序框图，该程序输出的结果是________.















开始
a = 1 ,S = 1
a > 3
否
S = S + 9
a = a + 1
是
输
出S
结束
2.如图所示的程序框图输出的结果是 .















开始
A = 12 ,i = 1
i≤4
是
A = 1(2-A)
i = i + 1
否
输
出A
结束
3. (07-海南宁夏-5)如果执行下面的程序框图，那么输出的
S?

(Ａ)2450 (Ｂ)2500
(Ｃ)2550 (Ｄ)2652
开始

k = 1 ,S = 0



k≤50
否
是
S = S + 2k
k = k + 1
输
出S
结束

4.在如图所示的程序框图中输入3，结果会输出________.
















开始
输入
n
s = 1 ,k = 1
k≤n
是
s = s × 2
k = k + 1
否
输
出s
结束

5.(08-山东-13)执行下边的程序框 图，若
p?0.8
，则输出的
n?
．















开始
输
入p
n = 1 ,S = 0
S < p
是
否
S?S?
1
2
n

输
出n
结束
n = n + 1
6.（07-山东-10）阅 读右边的程序框图，若输入的
n
是100，则输出的变量
S
和
T的值依次是 .













7.(08-广东-9) 阅读下图的程序框图，若输入
m?4
，
n?3
，则输出
a?
，
n < 2
否
S = S + n
n = n - 1
T = T + n
n = n - 1
是
开始
输
入n
S = 0 ,T = 0
输
出S,T
结束
i?
；
若输入
m?4
，
n?6
,则输出
a?
____ _,
i?
_____.
开始
输
入m,n
i = 1

8．按如图所示的框图运算：若输入x=8,则输出k= ；若输出k=2，则输入
的x的取值范围是 .














开始
输入
x
k = 0
x = 2x + 1
k = k + 1
x>115
是
否
输
出x,k
结束

1
2
9. 阅读下面的程序框图，回答下列问题：若< br>a?log
3
2
、
b?
、
c?()
3
，则输
2
3
1
出的数是______














开始
输入
a,b,c
a>b且a>c
否
b>c
否
是
是
输
出a
输
出b
输
出c
结束
10.下面的程序框图循环体执行的次数是___ ___.

















开始
i = 2 ,sum = 0
sum = sum + i
i = i + 2
i≥100
是
否
输
出sum
结束
11. 阅读下边的程序框图，请你写出
y
关于
x
的函数解析式 .




开始
输入
x
x > 0
是
y = 1
否
x < 0
否

12. 下图给出的是计算
1?
111
的值的一个程序框图（其中
n
的值由键盘输入），其中①处
??
?
?
352n?1
应填 ，②处应填 .













开始
输入
n
s = 0 ,i = 1
i≤n
是
①
②
否
输
出s
结束

13.下面是一个 算法的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y的结果恰好是
13，则？处的关系式是 .













开始
输入
x
x=x-2
x≤0
是
?
否
输
出y
结束
1 4.(08-宁夏-5)下面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数
中最大的数 ，那么在空白的判断框中，应该填入 .


















开始
输入
a、b、c
x = a
b > x
否

否
是
x = b
是
x = c
输
出x
结束
100
15.下面的程序框图 可以计算
?
(2n?1)
2
的值，则在判断框中可以填写的表达式
n ?1
为 .

开始
S = 0 ,i = 1
S = S + i
2
i = i + 2

是
否
输
出S
结束
16.下图是计算
11
??
1?22?3
?
1
的值 的算法框图，其中在判断框中应填入的
9?10
条件是 .









开始
i = 1 ,m = 0, n = 0

是
i = i + 1
否
输
出n
m =m + 1
2011届高一同步练习题
结束


新课标必修3
n = n + 1(m×i)
算法部分练习(三)
(基本算法语句)
13. 下列给出的赋值语句中正确的是
(A)
4?M
(B)
M??M
(C)
B?A?3
(D)
x?y?0

14. 下列给变量赋值的语句正确的是
(A)
3?a
(B)
a?1?a
(C)
a?b?c?3
(D)
a?a?8

15. 下列赋值语句中错误的是

(A)
N?N?1
(B)
K?K*K
(C)
C?A(B?D)
(D)
C?AB

16. 已知变量
a,b
已被赋值，要交换
a,b
的值，应使用的算法语句是
.
17. 下边程序运行后的结果是
(A)1,2,3 (B)2,3,1 (C)2,3,2 (D)3,2,1
18. 阅读下面的程序，当
x?3
时，该程序运行后，输出的结果是
(A)3 (B)9 (C)
N
(D)
x
2

19. 下面的程序是用来计算( )的值
(A)3
?10
(B)
3
55
(C)
3
10
(D)
1?2?3???10


a=1;b=2;c=3;

a

=

b

;

b

=c;c=a;



（第5题）

（第6题）

（第7题）

print(%io(2),c,b,a)
x=input(“x=”)
if x>3 y=x*x;
print(%io(2),y)
else disp(“N”)
end

S=1;
for i=1:1:10
S=(3^i)*S;
end
print(%io(2),S)

20. 下面为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为
(A)
i?20
(B)
i?20
(C)
i??20
(D)
i??20

21. 下面的程序运行后的输出结果为 .
22. 下面的程序运行后的输出结果为
(A)17 (B)19 (C)21
S?0;i?1;
while _______
x?input(?
S?S?x;
i?i?1;
end
a?S20;
a
(D)23



s=0;
for i?1:2:7
s=2*i+s;
end
print(%io(2),s)

i=1；
while i<8
i = i +2；
s = 2 * i +3；
i = i –1；

(第8题) (第9题) (第10题)


23. 已知语句for i=1:2:99，该语句一共执行循环次数为 次.
24. for i=-100:10:190，该语句共执行循环 次.
25. 下面的程序语句执行后的输出是 .
26. 下面的程序语句执行后的输出是i= ,j= .
27. 下面的程序语句执行后的输出是j= .
j=1;


a=1;b=2;c=3;
(a*a+b*b+c*c)(2*a*b*c)

i=5;j=-2
i=i+j,j= i+j
while j*j<100,j=j+1;end
disp(j)
(第13题) (第14题) (第15题)
28. 右面程序运行的结果为
(A)17 (B)19 (C)21 (D)23
i=1；while i<8 i=i+2; S=2*i+3;end
print(%io(2),S)
29. Sc ilab中用rand()函数产生(0,1)的均匀随机数，要想得到(-2,6)之间的随机数
需使 用变换 .
30. 下面的程序输出的结果是 .
31. 为了在运行下面的程序之后得到输出
y?9
，键盘输入应该是 .
32. 下面的程序语句执行后输入a=3,b=-1,n=5,输出的是 .

S=0;
for i=1:2:11
S=2S+3;
if S>20
S=S-20;
end
end
S
x=input(“x=”);
if x<0
y= (x+1)*(x+1)
else y= (x-1)*(x-1)
end
y
a=input(“a=”);
b=input(“b=”);
c=input(“c=”);
for i=1:1:n-2
c=a+b;
a=b;b=c；
end
c
(第18题) (第19题) (第20题)
33. 右面的程序语句执行后输入40，输出的是
y?
.

34. 请写出一个程序,找出这样的矩形,使它满足以
下三个条件
①四条边均为整数；
②面积数与周长相等；
③各边长不超过400.



x=input(“x=”);
if x>50,y=x*x+2;
else if x<=10,y=0;
else if x<=30,y=0.1*x;
else y=0.25*x;
end
end
end
y
开始
i = 0 , p = 1 , s = 0


是


i = i + 1

否
35. 给出30个数：1，2，4，7，11，……，其规律是：
第1个数是1，第2个数比第1个数大1， 第3

个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推，要计算这30
个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图.
(1)补充右边的程序框图，使之能完成该题算法功能.
(2)根据程序框图写出程序.(所用变量要与算法中一致)




24. 有一个正方形的网格，其中每一个最小正方形的边长都等于6cm，现用直
径为2cm的硬币投掷到此网格上.
(1)求硬币落下后与格线有公共点的概率;
(2)编写一个Scilab程序模拟这个试验.

2011届高一年级数学同步练习之必修3 2009年3月
参考答案
算法部分练习(一)
01-05.B，C，A，B，①②⑤ 06-10.②③，84，93，2520，C 11-12.B，D

算法部分练习(三)
01-05.B，D，C，
c?a;a?b;b?c
，C 06-10.C，B，D，32，C
7
11-16.50，30，，3；1，10，C ()*8-2或6-rand()*8
6
18-21.9，-4或4，3，10
22.
for a=1:1:400








23.
i?30
,
p=p+i，s=s+p，输出n
24.59



for b=1:1:400
if a*b==2*(a+b)
a,b
end
end
end
p=1;s=0;
for i=1:1:29
p=p+i;s=s+p
end
s
第二章 统计
简单随机抽样

1. 简单随即抽样的含义

一般地,设一个总体有N个个体, 从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n
≤N）, 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 则这种抽样方法
叫做简单随机抽样.
⑴每个个体每次被抽到的概率是 ；
⑵每个个体被抽到的概率是 ；
●根据你的理解，简单随机抽样有哪些主要特点？
⑴总体的个体数有限；
⑵样本的抽取是逐个进行的，每次只抽取一个个体；
⑶抽取的样本不放回，样本中无重复个体；
⑷每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性.
2．简单随机抽样常用的方法：
⑴抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。
★抽签法的操作步骤？
第一步，将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上.
第二步，将号签放在一个容器中，并搅拌均匀
第三步，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样
本.
●抽签法有哪些优点和缺点？

优点：简单易行，当总体个数不多的时候搅拌均 匀很容易，个体有均等的机
会被抽中，从而能保证样本的代表性.
缺点：当总体个数较 多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大；
误差相比其它抽样也比较大。
★利用随机数表法从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，其抽样
步骤如何？

第一步，将总体中的所有个体编号.
第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数.
第三步，从选定的数开始依次向右（向左、向 上、向下）读，将编号范围内
的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满n个号码为止，就得到一个容量 为n
的样本.
系统抽样：
1. 系统抽样的定义：
一般地，要从容量为 N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均
衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分 抽取一个个体，得到所需
要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样.
●由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特征：
⑴当总体容量N较大时，采用系统抽样。
⑵将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因
此，系统抽 样又称等距抽样，间隔一般为k＝
N
.
n
⑶预先制定的规则指的是 ：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编
号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编 号
★系统抽样的一般步骤
⑴用系统抽样从总体中抽取样本时，首先要做的工作是什么？将总体中的所
有个体编号. 如果用系统抽样从605件产品中抽取60件进行质量检查，由于605件产品不
能均衡分成60部 分，⑵应先从总体中随机剔除5个个体，再均衡分成60

部分.
一般地，用系统抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，其操
作步骤如何？
第一步，将总体的N个个体编号.
第二步，确定分段间隔k，对编号进行分段.
第三步，在第1段用简单随机抽样确定起始个体编号l.
第四步，按照一定的规则抽取样本.
分层抽样
1. 分层抽样的定义:
若总体由差异明显的几部分组成，抽样 时，先将总体分成互不交叉的层，然
后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，再将各层取 出的个体合
在一起作为样本，这样的抽样叫做分层抽样. 所以分层抽样又称类型抽样.
●应用分层抽样应遵循以下要求及具体步骤：
⑴分层：将相似的个体归入一类，即为 一层，分层要求每层的各个个体互不
交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则。
⑵分层抽样为保证 每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每
层样本数量与每层个体数量的比与这层个体 数量与总体容量的比相等。
★一般地，分层抽样的操作步骤如何？
第一步，计算样本容量与总体的个体数之比.
第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数.
第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体.
第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本
2. 简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样的类比学习
方法
类别
共同
特点
抽样特征相互联系适应范围
简单随
机抽样
系统
抽样
抽样过< br>程中每
个个体
被抽取
的概率
相等
从总体中
逐个不放< br>回抽取
将总体分成
均衡几部
分，按规则
关联抽取
将总体分成几层，
按比例分
层抽取
用简单随
机抽样抽
取起始号
码
用简单随
机抽样或
系统抽样
对各层抽
样
总体中
的个 体
数较少
总体中
的个体
数较多
总体由
差异明
显的几
部分组
成
分层
抽样

练习题：
一、选择题：
1．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的
身体状况，需从他 们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是
( )．
A．简单随机抽样 B．系统抽样
C．分层抽样 D．先从老年人中剔除一人，然后分
层抽样
2．某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意 见，打算从高一年级
2007名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下2000人再按系统抽样的方法进行，则每人
入选的机会（ ）
A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等 D. 无法确定
3．有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系
统抽样方法确定所
抽的编号为( )
A.5，10，15，20 B.2，6，10，14 C.2，4，6，8 D.5，8，
11，14
4．某公司在甲、乙、丙、丁四个地 区分别有150个、120个、180个、
150个销售点，公
司为了调查产品销售的情况， 需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样
本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大 型销售点，要从中抽取7个调查

其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)。则完 成(1)、(2)这两项调查宜采
用的抽样方法依次是（ ）
A.分层抽样法，系统抽样法 B.分层抽样法，简单随机抽样
C.系统抽样法，分层抽样法 D.简单随机抽样法，分层抽样法
5. 某校 1000名学生中，O型血有400人，A型血有250人，B型血有250
人，AB型血有100人， 为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个容量为
40的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则O型 血、A型血、B型血、AB
型血的人要分别抽的人数为（ ）
A.16、10、10、4 B.14、10、10、6 C.13、12、12、3
D.15、8、8、9
6. 为了了解广州地区初三学生升学考试数学成绩的情况，从中抽取50本密
封试卷，每本3 0份试卷，这个问题中的样本容量是（ ）
A.30 B.50 C.1500 D.150
7. 某单位有技工18人、技术员12人、工程师6人，需要 从这些人中抽取
一个容量为
n
的样本.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用 剔除个体；
如果容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，则样本
容量
n
为（ ）
A.4

B.5 C.6 D.无法确定
二、填空题
8.（2008·安庆模拟）某校高中生共有900人，其中高一 年级300人，高
二年级200人，高
三年级400人，现分层抽取容量为45的样本，那么 高一、高二、高三年级抽取

的人数分别为 .
9.某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，则该抽样方法为①；从
某中学的30名数
学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽样方法为②.那么①，②分别
为 .
10.下列抽样实验中，最适宜用系统抽样的是 （填序号）.
①某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶
2，从中抽取200人入样；
②某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样；
③从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样；
④从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样；
11.（2008·重庆文）某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该
年级学生 的健康情
况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方
法是 .
12.某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生200人，学校
团委欲用 分层抽样的
方法抽取18名学生进行问卷调查，则下列判断不正确的是 （填序
号）.
①高一学生被抽到的概率最大
②高三学生被抽到的概率最大
③高三学生被抽到的概率最小

④每名学生被抽到的概率相等
13. 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分
别有40种、10种、
30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分
层抽样的方法抽取样本 ，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 .
14.（2008·天津文，11 ）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的
有120人，超过45
岁的有80人.为 了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一
个容量为25的样本，应抽取超过45岁 的职工 人.
15.将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下0001，0002，0003，…，1000，
打算从中抽取
一个容 量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号
为0001，0002，…，0 020，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40
个号码为 .
16．管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘。10天后，
又从池塘内捞出50条鱼 ，其中有标记的有2条。根据以上数据可以估计该池塘
内共有 条鱼。
17 .某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法
抽取一个容量为185
的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有
__ __学生。
用样本的频率分布估计总体分布

一、我们把样本抽取后，要对样 本进行分析来研究总体的分布情况，对样本进
行分析常采取两种
方式：⑴列频率分布表； ⑵做频率分布直方图.
●列频率分布表的步骤：
⑴求极差（即样本中的最大值与最小值的差）；
⑵决定组距与组数（
组数?
⑶将数据分组；
⑷列频率分布表.
●根据频率分布表做频率分布直方图应注意两点：
⑴纵轴的意义：
频率

组距
极差
）；
组距
⑵横轴的意义：样本内容（每个矩形下面是组距）.
二、典例精析
例1：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身
高(单位ｃｍ)
区间界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,1 42)[142,146)
人数5810223320
区间界限[146,150)[150, 154)[154,158)
人数1165

(1)列出样本频率分布表﹔
(2)一画出频率分布直方图;
(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.。

例2：为了了解高一学生的体能情况,某校
抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，
将所得 数据整理后，画出频率分布直方图(如
图)，图中从左到右各小长方形面积之比为
2：4：17 ：15：9：3，第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多
少？
(2)若次数在110以上（含110次）为达标，
试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落
在哪个小组内？请说明理由。 < br>分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形
的高与频数成正比 ，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。






1．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图如下．从图中< br>可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ）
A．48米 B．49米 C．50米 D．51米

0.036
0.032
0.028
0.024
0.020
0.016
0.012
0.008
0.004
o
100 110 120 130 140 150
次数
频率

组距
90

2．常用的抽样方法有： 。


3．(2002年新课程卷文第13题)据新华社
2002年3月12日电，1985年～2000年我 25.0
国农村人均居住面积如图所示，其中，从 20.0
年到 年的五年间增长最快． 15.0


1985 1990 1995 2000
4 已知
200
辆汽车通过某一段公路时的时速
频率
的频率分布直方图如右图所示，则时速在
组距
0 04
[60,70]
的汽车大约有_________辆.
0 03

0 02

0 01

40 50 60 70 80 时速（km）

]


5．(12分)为了解某地初三年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样< br>本(60名男生的身
高)，分组情况如下：
分组
频数
频率
147.5～155.5
6

155.5～163.5
2l

163.5～171.5

a
171.5～179.5
m
0.1
(1)求出表中a，m的值． (2)画出频率分布直方图和频率折线图

答案：一、选择题：1.D 2.C 3.A 4.B 5.A 6.C 7.C
二、填空题：8.15，10，20 9.系统抽样，简单随机抽样 10.③

11.分层抽
样法

12.①②③ 13.
6
14.
10
15.0795 16.750 17.3700
解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，
因此第二小组的频率为：
4
?0.08

2?4?17?15?9?3
又因为频率=
第二小组频数

样本容量
第二小组频数12
??150

第二小组频率0.08
所以
样本容量?
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为
17?15?9?3
?100%?88%

2?4?17?15?9?3（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，< br>前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。

第三章 概 率

3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义

1、基本概念：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；

（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（ 5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试
验中事件A出现 的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例
n
A
fn(A)=
n< br>为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数
的增加，事件A发生的频率fn (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），
称为事件A的概率。
（6）频率与概率 的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n
n
A
的比值
n
，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数
的不断增多，这种 摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，
概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的 大小。频率在大量重复试验的前
提下可以近似地作为这个事件的概率

3.1.3 概率的基本性质

1、基本概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立
事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—
P(B)
2、概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于
是有P(A)=1—P(B)；
4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互 斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不

会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（ 1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件
A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生 ，而对立事件是指事件A 与
事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生； （2）事件B发
生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生

1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
A包含的基本事件数
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
总的基本事件个数


3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生

1、基本概念：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）
成比例，则称 这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
构成事件A的区域长度（面 积或体积）
P（A）=
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
；
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每
个基本事件出 现的可能性相等．