高中数学选修2-2知识点总结及其应用(最全)

高中数学选修2-2知识点总结及其应用（最全）

导数及其应用
一.导数概念的引入
1. 导数的物理意义：
瞬时速率。一般的，函数
y ?f(x)
在
x
我们称它为函数
?x
0
处的瞬时变化率是< br>lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
，
?x?0
?x
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数，记作f
?
(x
0
)
或
y
?
|
x? x
0
，即
f
?
(x
0
)
=
?x? 0
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x
导数的几何意义： 2.
曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点
P
n
趋近于
P
时，直线
PT
与曲线相切。容易知道，割线PP
n
的
斜率是
k?
f(x
n
)?f(x0
)
，当点
P
n
趋近于
P
时，函数
n
x
n
?x
0
即
k?lim
f(x
n
)?f(x
0
)
?f
?
(x)

0
?x ?0
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数就是切线PT的斜率k，x
n
?x
0
3. 导函数：当x变化时，
也记作
f?
(x)
便是x的一个函数，我们称它为
f(x)
的导函数.
y?f(x)
的导函数有时
y
?
,即
f(x??x)?f(x)

?x
f
?
(x)?lim
?x?0
二.导数的计算
基本初等函数的导数公式:
1若
f(x)?c
(c为常数)，则
f
?
(x)?0
； 2 若
f(x)?x
?
,则
f
?
(x)?
?
x
3 若
f(x)?sinx
,则
5 若
7 若
?
?1
;
f
?
(x)?cosx
4 若
f(x)?cosx
,则
f
?
(x)??sinx
; < br>f(x)?a
x
,则
f
?
(x)?a
x
ln a
6 若
f(x)?e
x
,则
f
?
(x)?e
x

x
,则
f
?
(x)?
f(x)?log
a
1
8 若
f(x)?lnx
,则
f
?
(x)?
1

xlna
x
2.
导数的运算法则
1.
[f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g
?
(x)

[f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g(x)?f(x)?g
?
(x)

f(x)f
?
(x)?g(x)?f(x)?g
?
(x)
3.
[

]
?
?
2
g(x)[g(x)]
复合函数求导
y?f(u)
和
u?g(x)
,称则
y
可以表示成为
x的函数,即
y?f(g(x))
为一个复合函数
y
?
?f
?
(g(x))?g
?
(x)

三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
(a,b)
内

(1)如果
f
?
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间单调递增；(2)如果
f?
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这
个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数
y?f(x)
的极值的方法是:（1）如果在
x
0
附近的左 侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,那么
f(x
0
)
是极大值
（2）如果在
x
0附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x) ?0
,那么
f(x
0
)
是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数
求函数
y?f(x)
在
[a,b]
上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值；
（2） 将函 数
y?f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
，
f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的
是最小值.
推理与证明
考点一 合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质 的推理,叫做归纳推
理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理
根据两类不同事物之间 具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的
推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1) 找出两类事物的相似性或一致性;
(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3) 一般的,事物之 间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同
或相似,那么他们在 另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
(4) 一般情况下,如果类比的相似性越 多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越
可靠.
考点二 演绎推理(俗称三段论)
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.
考点三 数学归纳法
1. 它是一个递推的数学论证方法.
2. 步骤:A.命题 在n=1（或
n
0
）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k时命题成立； C.证明n=k+1时命
题也成立,
完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=
n
0
,且
n?N
)结论都成立。
考点三 证明
1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法:
数系的扩充和复数的概念
复数的概念
(1) 复数:形如
a?bi(a?R,b?R)
的数叫做复数 ，
a
和
b
分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数
a?bi(a?R,b?R)
中,当
b?0
,就是实数;
b?0
,叫做虚数;当
a?0,b?0
时,叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。

(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
复数的运算
1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行
设
z
1< br>?a?bi,z
2
?c?di(a,b,c,d?R)
则
（1）
z
1
?z
2
?(a?c)?(b?d)i
（2）
z
1
?z
2
?(ac?bd)?(ad?bc)i
（3）
z
1
(ac?bd)?(ad?bc)
z
?
i2
?d
2
(z
2
?0)

2
c
2,几个重要的结论
(1)
|z
2
21
?z
2
|?|z
1
?z
2
2
|?2 (|z
1
|
2
?|z
2
|
2
)
(2)
z?z?|z|?|z|
2

|z|
2
?z
2

3.运算律
(1)
z
m
?z
n
?z
m?n
;(2)
(z< br>m
)
n
?z
mn
;(3)
(z
1
? z
2
)
n
?z
n
1
?z
n
2(m,n?R)

4.关于虚数单位i的一些固定结论：
（1）
i
2
??1
（2）
i
3
??i
（3）
i
4
?1
（2）
i
n
?i
n?2
?i
n?3
?i
n ?4
?0


(3)若
z
为虚数,则