高中数学全参数方程知识点大全

精品教育
高考复习之参数方程
一、考纲要求

1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参
数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.
2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化
为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参
数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.
二、知识结构
1.直线的参数方程
(1)标准式 过点Po(x
0
,y
0
)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是
?
x?x
0
?tcosa
(t为参数)
?
y?y?tsina
0
?
(2)一般式 过定点P
0
(x
0
,y
0
)斜率k=tgα=
b
的直线的参数 方程是
a
?
x?x
0
?at
(t不参数) ② ?
?
y?y
0
?bt
在一般式②中，参数t不具备标准式中t的 几何意义，若a
2
+b
2
=1,②即为标准式，此时， ｜
t｜表 示直线上动点P到定点P
0
的距离；若a
2
+b
2
≠1，则 动点P到定点P
0
的距离是
a
2
?b
2
｜t｜.
直线参数方程的应用 设过点P
0
(x
0
,y
0
),倾斜角为α的直线l的参数方程是
?
x?x
0
?tcosa

?
（t为参数）
y?y?tsina
0
?
若P< br>1
、P
2
是l上的两点，它们所对应的参数分别为t
1
,t< br>2
，则
(1)P
1
、P
2
两点的坐标分别是 (x
0
+t
1
cosα,y
0
+t
1
sinα)
(x
0
+t
2
cosα,y
0
+t< br>2
sinα)；
(2)｜P
1
P
2
｜=｜t
1
-t
2
｜;
(3)线段P
1
P
2
的中点P所对应的参数为t，则
t=
t
1
?t
2

2
t
1
?t
2
｜
2
中点P到定点P0
的距离｜PP
0
｜=｜t｜=｜
(4)若P
0
为线段 P
1
P
2
的中点，则
t
1
+t
2
=0.



-可编辑-

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2.圆锥曲线的参数方程
(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是
?
?
x?a?rcos
?(φ是参数)
?
y?b?rsin
?
φ是动半径所在的直线与x轴正向 的夹角，φ∈［0,2π］(见图)
x
2
y
2
(2)椭圆 椭圆
2
?
2
?
1
(a＞b＞0)的参数方程是
ab

?
x?acos
?
?
?
y?bsin
?
(φ为参数)
y
2
y
2
椭圆
2
?
2
?
1
(a＞b＞0)的参数方程是
ab
?
x?bcos
?
(φ为参数)
?
?
y?asin
?
3.极坐标
极坐标系 在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算
角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，
射线Ox叫 做极轴.
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，
缺一不可.
点的极坐标 设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到
OM的角度 ，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见
图)
极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
②极轴与x轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
?
?
2?x
2
?y
2
?
x?
?
cos
??

?

?
y
?
y?
?< br>sin
?
'
?
tg
?
?(x?0)
x
?
三、知识点、能力点提示
(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化
例1 在圆x
2
+y
2
-4x-2y-20=0上求两点A和B， 使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最
短和最长.
解： 将圆的方程化为参数方程：

-可编辑-

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?
x?2?5cos
?
（
?
为参数）
?
?
y?1?5sin
?
则圆上点P坐标为(2+5cos
d=
?，1+5sin
?
)，它到所给直线之距离
120cos
?
?1 5sin
?
?30
4?3
22

故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(φ-θ )=-1,即θ=φ-π
时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).
(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化
说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.
例2 极坐标方程ρ=
A.直线
1
2?3sin
?
?cos
?
B.椭圆
所确定的图形是（ ）
C.双曲 D.抛物线
解： ρ=
1
2[1?(
31
?cos
?
)]
22
1?
?
1
2
1?sin(
?
?
?
6
)
(三)综合例题赏析
例3 椭圆
?
?
x? 3?cos?
(
?
是参数)的两个焦点坐标是
（ ）
?
y??1?5sin?




B.(3，3)，(3，-5)
D.(7，-1)，(-1，-1)
A.(-3，5)，(-3，-3)
C.(1，1)，(-7，1)
(x?3)
2
(y?1)
2
??
1

解： 化为普通方程得
925
∴a
2
=25,b
2
=9,得c2
＝１６,c=4.
∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)
∴在xOy坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).
应选B.
例4 参数方程
?
??
x?cos?sin
?
?
22
( 0?
?
?2
?
)表示

?
?
y?
1
(1?sin
?
)
?
2
?
A.双曲线的一支，这 支过点(1，
C.双曲线的一支，这支过(-1，
1
)
2





1
)
2
1
2
1
D.抛物线的一部分，这部分过(-1，)
2
B.抛物线的一部分，这部分过(1，)
-可编辑-

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解：由参数式得x
2
=1+sinθ=2y(x＞0)
即y=
1
2
x(x＞0).
2
∴应选B.
例5 在方程
?
?
x?sin
?
(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是 ( )
y?cos
?
?
12
，）
33
C.(A.(2,-7) B.（
11
，)
22
D.(1，0)
解：y=cos2
?
=1-2sin2?
=1-2x
2

将x=
11
代入，得y=
22
∴应选C.
例6 下列参数方程(t为参数)与普通方程x
2
-y=0表示同一曲线的方程是( )
?
x?t
?
x?cost
A.
?
B.
?

2
?
y?cost
?
y?t
C.
?
x?tgt
?
1?cos2t

?
y?
?
1?cos2t
?

?
x?tgt
?
D.
?
1?cos2t

y?
?
1?cos2t
?

解：普通方程x
2-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除
A .和B.
2cos
2
t
11
2
?
C.中y==c tgt=
=，即x
2
y=1，故排除C.
2
22
tgtx
2sint
∴应选D.
例7 曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为( )
A.x
2
+(y+2)
2
=4 B.x
2
+(y-2)
2
=4 C.(x-2)
2
+y
2
=4
D.(x+2)
2
+y
2
=4
解：将ρ=
x
2
?y
2
，sinθ=
∴应选B.
例8 极坐标ρ=cos(
A.双曲线
y
x2
?y
2
代入ρ=4sinθ，得x
2
+y
2
=4y，即x
2
+(y-2)
2
=4.
?
4

?
?
)表示的曲线是( )
B.椭圆 C.抛物线 D.圆
解：原极坐标方程化为ρ=
1
2
(cosθ+sinθ)
?
2
?
2
=ρcosθ+ρsinθ，
-可编辑-

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∴普通方程为
2
(x
2
+y2
)=x+y，表示圆.
应选D.
例9 在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是( )
A.ρsinθ=2 B.ρcosθ=2
C.ρcosθ=-2 D.ρcosθ=-4
例9图
解：如图.
⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA为直径，｜OA｜=4,l和圆相切，
l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l上任意一点，则有
cosθ=

OB
OP
?
2
?
，得ρcosθ=2，
∴应选B.
?
例10 4ρsin=5 表示的曲线是( )
2
2
A.圆 B.椭圆
2
?
cos
?
?1
解：4ρsin=5
?
4ρ·
?< br>2
?
?
2
?
cos
?
?
5.

2
2
把ρ=
x
2
?y
2
ρcosθ=x，代入上式，得
2
x
2
?y
2
=2x-5.
平方整理得y
2
=-5x+
C.双曲线的一支 D.抛物线
25
.
.它表示抛物线.
4
∴应选D.
例11 极坐标方程4sin
2
θ=3表示曲线是( )
A.两条射线 B.两条相交直线
线
C.圆 D.抛物
2
y
解：由4sin
2
θ=3,得4·
2
＝3,即y
2
=3 x
2
，y=±
3x
,它表示两相交直线.
2
x?y
∴应选B.


四、能力训练
(一)选择题
1.极坐标方程ρcosθ=
4
表示( )
3


B.一条垂直于x轴的直线
D.一条抛物线
A.一条平行于x轴的直线
C.一个圆
2.直线：3x-4y-9=0与圆：
?
?
x?2cos
?
(
?
为参数
)
的位置关系是( )
?
y?2sin
?
,
-可编辑-

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A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不
过圆心
3.若(x，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M的直角坐标和极坐标，t表示参数，则下列各组曲 线：
①θ=
3
?
1
?
和sinθ=；②θ=和tgθ=，③ ρ
2
-9=0和ρ= 3；④
3
626
?
2
x? 2?t
?
?
?
2
和
x?2?2t

??< br>1
?
y?3?t
?
y?3?t
?
2
?

其中表示相同曲线的组数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.设M(ρ
1
，θ
1
)，N(ρ
2
，θ
2
)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ
1+ρ
2
=0 ，θ
1
+θ
2
=0，则M，
N两点位置关系是( )
A.重合 B.关于极点对称 C.关于直线θ=
?

2
D.关于极轴
对称
5.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是( )
A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
6.经过点M(1，5)且倾斜角为
是( )
?
的直线，以定点M到动 点P的位移t为参数的参数方程
3
1
?
x?1?t
?
2?

?
?
y?5?
3
t
?
2
?
11
??
x?1?tx?1?t
??
22
??
A．
?
B.
?

?
y?5?
3
t
?
y?5?
3
t
??
22
??
?
3
y?1?t
?
?
2
D.
?

?
x?5?
1
t
?
2
?
C.
?
m
2
?2m
x?a?
2
?
?
m?2m?2
(m是参数，ab≠0)化为普通方程是( ) 7.将参数方
?
?
y ?b?
2m?2
?
m
2
?2m?2
?
y
2
A.
2
?
2
?
1(
x?a
)

ab
x
2
y
2
C.
2
?
2
?
1(
x?a
)

ab
x
2

x
2
y
2
B.2
?
2
?1(x??a)

ab
x
2
y
2
D.
2
?
2
?1(x??a)

ab

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?
)，则圆心的极坐标和半径分别为( )
6
???
A.(1,),r=2 B.(1,),r=1 C.(1, ),r=1 D.(1,
363
8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+
-
?
),r=2
3
1
?
?
x?t?
9.参数方程
?
t (t为参数)所表示的曲线是( )
?
?
y??2
A.一条射线 B.两条射线
直线
C.一条直线 D.两条
?
x??2?tg
?
10.双曲线
?
(θ为参数)的渐近线方 程为( )
y?1?2sec
?
?
A.y- 1=
?
11
(
x?
2)
B.y=
?x

22
C.y-1=
?2(x?2)

D.y+1=
?2(x?2)

?
x?4?at
11.若直线
?
( (t为参数)与圆x
2
+y
2
-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为( )
?
y?bt
A.
或
?
2
?
B.
33
C.
?
2
?
?
或 D.
333
5
?

3
?
x?2pt
2
12.已知曲线
?
(t为参数)上的点M，N对应的参数分别为t
1
，t
2
，且t
1
+t
2
=0，
y?2pt
?
那么M，N间的距离为( )
A.2p(t
1
+t
2
) B.2p(t
2
1
+t
2
2
) C.│2p(t
1
-t
2
)│ D.2p(t
1
-t
2
)
2

13.若点P(x， y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy，y
2
-x
2
)也在单位圆
上运动，其运动规律是( )
A.角速度ω，顺时针方向 B.角速度ω，逆时针方向
C.角速度2ω,顺时针方向 D.角速度2ω，逆时针方向
14.抛物线y=x
2
-10xcosθ+25+3s inθ-25sin
2
θ与x轴两个交点距离的最大值是( )
A.5 B.10
15.直线ρ=
C.2
3
D.3
3
?
与直线l关于直线θ=(ρ∈R)对称，则l的方程是( ) 2cos
?
?sin
?
4
33
A．
?
?
B．
?
?

2cos
?
?sin< br>?
2cos
?
?cos
?
33
C．
?
?
D．
?
?

cos
?
?2sin
?
cos
?
?2sin
?
-可编辑-

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(二)填空题
4
?
x?3?t
?
?
5
16.若直线l的参数方程为
?
(t为参数)，则过点(4 ，-1)且与l平行的直线在y
3
?
y??2?t
?
5
?< br>轴上的截距为
.
cos
?
?
x?
?
?
1?cos
?
17.参数方程
?
（?
为参数）化成普通方程为 .
sin
?
?
y?
?
1?cos
?
?
18.极坐标方程ρ=tgθsecθ表示 的曲线是 .
19.直线
?
?
x??1?3t
(t为参数)的倾斜角为 ；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)
?
y?2?3t
的距离为 .
(三)解答题
?
x?4cos
?
?
20.设椭圆
?
(θ为参数) 上一点P，若点P在第一象限，且∠xOP=，求
3
?
y?23sin
?点P的坐标.
?
x?2pt
2
21.曲线C的方程为
?
(p＞0，t为参数)，当t∈［-1，2］时 ，曲线C的端点为
?
y?2pt
A ，B，设F是曲线C的焦点，且S
△AFB
=14，求P的值.
x
2
?y
2
=1及点B(0，-2)，过点B作直线BD，与椭圆的左 半部分交于C、
22.已知椭圆
2
D两点，又过椭圆的右焦点F2作平行于BD的直线，交椭圆于G，H两点.
(1)试判断满足│BC│·│BD│=3│GF
2
│·│F
2
H│ 成立的直线BD是否存在?并说明
理由 .
(2)若点M为弦CD的中点，S
△BMF2
=2，试求直线BD的方程.
23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线
?
顶点，且焦点到相应的准线的距离为
?
x?8?4sec
?
(θ为参数)的左焦点和左
?
y?3tg< br>?
9
，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.
4
x
2
y
2
24.A，B为椭圆
2
?
2
=1，(a＞b＞ 0) 上的两点，且OA⊥OB，求△AOB的面积的最
ab
大值和最小值.
-可编辑-

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x
2
y
2
xy
??
25.已知椭圆
=1，直线l∶=1，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R ，
2416128
又点Q在OP上且 满足│OQ│·│OP│=│OR│
2
，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹
方程.并说明轨迹是什么曲线.


-可编辑-

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参考答案
(一)1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D
(二)16.-4；17.y
２
=-2(x-

11
),(x≤);18.抛 物线；19.135°,|3
2
t|
22
)；21.(三)20.(
85415
,
55
23
;

3
;
a
2
b
2
1ab
22. (1)不存在，(2)x+y+2=0；23.(27-3
41
)；24.S
max< br>=，s
max
=
22
5
2
25.
(x?1 )
2
(y?1)
5
?
5
=1(x,y)不同时为零)
22

-可编辑-
2
a?b