高中数学逻辑推理考察-学高数 要掌握哪些高中数学
高考复习之参数方程
一、考纲要求
1.理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,掌握参数方
程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程.
2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为
直角坐标方程,会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数
方程
或极坐标方程求两条曲线的交点.
二、知识结构
1.直线的参数方程
(1)标准式
过点Po(x
0
,y
0
),倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是
?
x?x
0
?tcosa
(t为参数)
?
?
y?y
0
?tsina
(2)一般式 过定点P<
br>0
(x
0
,y
0
)斜率k=tgα=
b
的直
线的参数方程是
a
?
x?x
0
?at
(t不参数)
②
?
y?y?bt
0
?
在一般式②中,参数t不具备标准式中t的
几何意义,若a+b=1,②即为标准式,此时, |
t|表示直线上动点P到定点P
0的距离;若a+b≠1,则动点P到定点P
0
的距离是
22
22
a
2
?b
2
|t|.
直线参数方程的应用 设过点P
0
(x
0
,y
0
),倾斜角为α的直线l的参数方程是
?
?
x?x
0
?tcosa
(t为参数)
?
y?y
0
?tsina
若P
1
、P
2
是l上的两点,它们所对应的参数分别为t
1
,t
2
,则
(1)P
1
、P
2
两点的坐标分别是
(x
0+t
1
cosα,y
0
+t
1
sinα)
(
x
0
+t
2
cosα,y
0
+t
2
sin
α);
(2)|P
1
P
2
|=|t
1
-t
2
|;
(3)线段P
1
P
2
的中点P所对应的参数为t,则
t=
t
1
?t
2
2
t
1
?t
2
|
2
中点P到定点P0
的距离|PP
0
|=|t|=|
(4)若P
0
为线段
P
1
P
2
的中点,则
t
1
+t
2
=0.
2.圆锥曲线的参数方程
(1)圆 圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程是
?
?x?a?rcos
?
(φ是参数)
?
y?b?rsin
?φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角,φ∈[0,2π](见图)
x
2
y
2
(2)椭圆
椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)的参数方程是
ab
?
x?acos
?
?
?
y?bsin
?
(φ为参数)
y
2
y
2
椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)的参数方程是
ab
?
x?bcos
?
(φ为参数)
?
?
y?asin
?
3.极坐标
极坐标系
在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角度的
正
方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系,O点叫做极点,射线Ox叫
做极轴.
不可.
点的极坐标
设M点是平面内任意一点,用ρ表示线段OM的长度,θ表示射线Ox到OM的
角度
,那么ρ叫做M点的极径,θ叫做M点的极角,有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)
极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;
②极轴与x轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
三、知识点、能力点提示
(一)曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化
例1 在圆x+y-4x-2y-20
=0上求两点A和B,使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和
最长.
解:
将圆的方程化为参数方程:
22
①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的
正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一
?
x?2?5cos
?
(
?
为参数)
?
?
y?1?5sin
?
则圆上点P坐标为(2
+5cos
?
,1+5sin
?
),它到所给直线之距离d=
120
cos
?
?15sin
?
?30
4?3
22
故当cos(φ-θ)=1,即φ=θ时 ,d最长,这时,点A坐标为(6,4);当cos(φ-θ
)=-1,
即θ=φ-π时,d最短,这时,点B坐标为(-2,2).
(二)极坐标系,曲线的极坐标方程,极坐标和直角坐标的互化
说明
这部分内容自1986年以来每年都有一个小题,而且都以选择填空题出现.
例2
极坐标方程ρ=
A.直线
1
2?3sin
?
?cos
?
B.椭圆
所确定的图形是( )
C.双曲 D.抛物线
解:
ρ=
1
2[1?(
31
?cos
?
)]
22
1?
?
1
2
1?sin(
?
?
?
6
)
(三)综合例题赏析
?
x?3?cos?
例3
椭圆
?
(?是参数)的两个焦点坐标是
( )
y??1?5sin?
?
A.(-3,5),(-3,-3)
C.(1,1),(-7,1)
B.(3,3),(3,-5)
D.(7,-1),(-1,-1)
(x?3)
2
(y?1)
2
??1
解:化为普通方程得
925
∴a=25,b=9,得c=16,c=4.
∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)
∴在xOy坐标系中,两焦点坐标是(3,3)和(3,-5).
应选B.
例4
参数方程
222
1
)
2
1
C.双曲线的一支,这支过(-1,)
2
A.双曲线的一支
,这支过点(1,
解:由参数式得x=1+sinθ=2y(x>0)
即y=
2
1
)
2
1
D.抛物线的一部分,这部分过(-1,)
2
B.抛物线的一部分,这部分过(1,
1
2
x(x>0).
2
∴应选B.
例5 在方程
?
?
x?sin
?
(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )
?
y?cos
?
B.(A.(2,-7)
12
,)
33
C.(
11
,) <
br>22
D.(1,0)
解:y=cos2
?
=1-2sin2
?
=1-2x
2
将x=
11
代入,得y=
22
2
∴应选C.
例6
下列参数方程(t为参数)与普通方程x-y=0表示同一曲线的方程是( )
?
x?t
?
x?cost
A.
?
B.
?
2
?
y?cost
?
y?t
?
x?tgt
?
C.
?
1?cos2t
y?
?
1?cos2t
?
?
x?tgt
?
D.
?
1?cos2t
y?
?
1?cos2t
?
解:普通方程x-y中的x∈R,y≥0,
A.中x=|t|≥0,B.中x=cost∈〔-1,1〕,故排除
2
A.和B.
2cos
2
t
11
22
C.中y==ctgt==,即xy=1,故
排除C.
?
2
22
tgtx
2sint
∴应选D.
例7 曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化 成直角坐标方程为( )
+(y+2)=4 +(y-2)=4
解:将ρ=
∴应选B.
例8 极坐标ρ=cos(
A.双曲线
22
C.(x-2)+y=4
D.(x+2)+y=4
2222
2222
x
2
?y2
,sinθ=
y
x
2
?y
2
代入ρ=4si
nθ,得x+y=4y,即x+(y-2)=4.
?
4
?
?
)表示的曲线是( )
B.椭圆 C.抛物线
D.圆
解:原极坐标方程化为ρ=
1
2
(cosθ+sinθ)
?
2
?
2
=ρcosθ+ρsinθ,
∴普通方程为
应选D.
2
(x
2
+y
2
)=x+y,表示圆.
例9
在极坐标系中,与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是( )
A.ρsinθ=2
B.ρcosθ=2
C.ρcosθ=-2 D.ρcosθ=-4
例9图
解:如图.
⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ,CO⊥OX,OA为直径,|OA|=4,l和圆相切,
l 交极轴于B(2,0)点P(ρ,θ)为l上任意一点,则有
cosθ=
OB
OP
?
2
?
,得ρcosθ=2,
∴应选B.
例10 4ρsin
2
?
2
=5
表示的曲线是( )
C.双曲线的一支 D.抛物线 A.圆
B.椭圆
解:4ρsin
把ρ=
2
2
?
cos
?
?1
=5
?
4ρ·
?2
?
?2<
br>?
cos
?
?5.
2
2
x
2
?y
2
ρcosθ=x,代入上式,得
x
2
?y
2
=2x-5.
2
平方整理得y=-5x+
∴应选D.
25
.
.它表示抛物线.
4
2
例11
极坐标方程4sinθ=3表示曲线是( )
A.两条射线
B.两条相交直线
线
C.圆 D.抛物
y
2
22
解:由4sinθ=3,得4·
2
=3,即y=3
x,y=±
3x
,它表示两相交直线.
2
x?y
2
∴应选B.
四、能力训练
(一)选择题
1.极坐标方程ρcosθ=
4
表示( )
3
B.一条垂直于x轴的直线
D.一条抛物线
A.一条平行于x轴的直线
C.一个圆
2.直线:3x-4y-9=0与圆:
?
?
x?2cos
?
(
?
为参数)
的位置关系是( )
?
y?2sin
?
,
C.直线过圆心
D.相交但直线不过A.相切 B.相离
圆心
3.若(x,y)
与(ρ,θ)(ρ∈R)分别是点M的直角坐标和极坐标,t表示参数,则下列各组
曲 线:①θ=3
?
1
?
2
和sinθ=;②θ=和tgθ=,③ρ-9=0和
ρ= 3;④
3
626
其中表示相同曲线的组数为( )
4.设M(
ρ
1
,θ
1
),N(ρ
2
,θ
2
)两点的
极坐标同时满足下列关系:ρ
1
+ρ
2
=0
,θ
1
+θ
2
=0,则
M,N两点位置关系是( )
A.重合
对称
5.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是( )
A.直线
B.圆 C.双曲线 D.抛物线
B.关于极点对称
C.关于直线θ=
?
2
D.关于极轴
6.经过点M(1,5)且倾斜角为
( )
?
的直线,以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是
3
11
??
x?1?tx?1?t
??
22
??
A.
?
B.
?
?
y?5?
3
t
?
y?5?3
t
??
22
??
?
3
y?1?t
?
?
2
D.
?
?
x?5?
1
t
?
2
?
1
?
x?1?t
?
2
?
C.
?
?
y?5?
3
t
?
2
?
?
m2
?2m
x?a?
2
?
?
m?2m?2
(m是
参数,ab≠0)化为普通方程是( ) 7.将参数方
?
?
y?b?
2m?2
?
m
2
?2m?2
?
y
2
A.<
br>2
?
2
?1(x?a)
ab<
br>x
2
y
2
C.
2
?
2
?1(x?a
)
ab
8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+
x
2
x
2
y
2
B.
2
?
2
?1(x??a)<
br>
ab
x
2
y
2
D.
2
?
2
?1(x??a)
ab
?
),则圆心的极坐标和半径分别为( )
6
?
?
?
A.(1,),r=2
B.(1,),r=1 C.(1, ),r=1 D.(1,
363
-
?
),r=2
3
1
?
x?t?
?
9.参数方程
?
t
(t为参数)所表示的曲线是( )
?
?
y??2
A.一条射线 B.两条射线
C.一条直线 D.两条
直线
10.双曲线
?
=
?
?
x??2?tg
?
(θ为参数)的渐近线方 程为( )
?
y?1?2sec
?
=
?2(x?2)
+1=
?2(x?2)
11
(x?2)
=
?x
22
?
x?4?at
22
11.若直线
?
(
(t为参数)与圆x+y-4x+1=0相切,则直线的倾斜角为( )
?
y?bt
A.
?
2
?
B.
33
C.
?
2
?
或
33
D.
?
或
3
5
?
3
?
x?2pt
2
12.已知曲线
?
(t为参数)上的点M,N对应的参数分别为t
1
,t
2
,且t
1
+t
2
=0,那
?
y?2pt
么M,N间的距离为(
)
(t
1
+t
2
)
(t
1
+t
2
)
运动,其运动规律是( )
A.角速度ω,顺时针方向
C.角速度2ω,顺时针方向
2
22
C.│2p(t
1
-t
2
)│
(t
1
-t
2
)
2
22
13.若点P(
x,y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动,点M(-2xy,y-x)也在单位圆上
2
B.角速度ω,逆时针方向
D.角速度2ω,逆时针方向
14.抛物线y=x-10xcosθ+25+3sinθ-25sinθ与x轴两个交点距离的最大值是(
)
15.直线ρ=
3
3
?
与直线l关于直线θ=(ρ∈R)对称,则l的方程是( )
2c
os
?
?sin
?
4
33
A.
?
?
B.
?
?
2cos
?
?sin
?
2cos
?
?cos
?
33
C.
?
? D.
?
?
cos
?
?2sin
?
cos
?
?2sin
?
(二)填空题
4
?<
br>x?3?t
?
?
5
16.若直线l的参数方程为
?
(
t为参数),则过点(4,-1)且与l平行的直线在
3
?
y??2?t
?<
br>5
?
y轴上的截距为
.
cos?
?
x?
?
?
1?cos
?
17.参数方程<
br>?
(
?
为参数)化成普通方程为 .
sin?
?
y?
?
1?cos
?
?
18.极坐标方程
ρ=tgθsecθ表示的曲线是 .
19.直线
?
?
x??1?3t
(t为参数)的倾斜角为
;直线上一点P(x ,y)与点M(-1,2)
?
y?2?3t
的距离为
.
(三)解答题
20.设椭圆
?
P的坐标.
?
x?4cos
?
?
y?23sin
?
(θ为参数) 上一点
P,若点P在第一象限,且∠xOP=
?
,求点
3
?
x?2pt2
21.曲线C的方程为
?
(p>0,t为参数),当t∈[-1,2]时 ,曲
线C的端点为
?
y?2pt
A,B,设F是曲线C的焦点,且S
△AFB=14,求P的值.
x
2
?y
2
=1及点B(0,-2),过
点B作直线BD,与椭圆的左 半部分交于C、D22.已知椭圆
2
两点,又过椭圆的右焦点F
2作平行于BD的直线,交椭圆于G,H两点.
2
(1)试判断满足│BC│·│B
D│=3│GF│·│F
2
H│成立的直线BD是否存在?并说明理由 .
(2)若点M为弦CD的中点,S
△BMF2
=2,试求直线BD的方程.
23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线
?
?
x?8?4sec
?<
br>(θ为参数)的左焦点和左
?
y?3tg
?
顶点,且焦点到相应的准线
的距离为
9
,求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.
4
x
2
y
2
,B为椭圆
2
?
2
=1,(a>b>0)
上的两点,且OA⊥OB,求△AOB的面积的最大值和最
ab
小值.
x
2
y
2
xy
??
25.已知椭圆=1,直线l∶=1,P是l上一点,
射线OP交椭圆于点R,
2416128
又点Q在OP上且 满足│OQ│·│OP│=│OR
│,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程.并
说明轨迹是什么曲线.
2
参考答案
(一)
(二);=-2(x-
2
11
),(x≤);18.抛
物线;°,|3
2
t|
22
);21.(三)20.(
85415
,
55
23
;
3
1ab
22.(1)不
存在,(2)x+y+2=0;23.(27-3
41
);=,s
max
a<
br>2
b
2
=;
5
25.
(x?1)
2(y?1)
2
5
?
5
=1(x,y)不同时为零)
22
2
a
2
?b
2
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