高中数学知识拓展篇

知 识 拓 展 篇
第一篇、复合函数问题

一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A ?
B，则y关于
x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.
二、复合函数定义域问题：
（一）例题剖析：
(1)、已知
f(x)的定义域，求
f
?
g(x)
?
的定义域
思路：设函数
f(x)
的定义域为D，即
x?D
，所以
f
的作用范围为D ，又f对
g(x)
作
用，作用范围不变，所以
g(x)?D
，解得< br>x?E
，E为
f
?
g(x)
?
的定义域。
例1. 设函数
f(u)
的定义域为（0，1），则函数
f(lnx)
的定义域为_____________。
解析：函数
f(u)
的定义域为（0， 1）即
u?(0，1)
，所以
f
的作用范围为（0，1）
又f对lnx作用，作用范围不变，所以
0?lnx?1

解得
x?(1，e)
，故函数
f(lnx)
的定义域为（1，e）
1
，则函数
f
?
f(x)
?
的定义域为_____ _________。
x?1
1
解析：先求f的作用范围，由
f(x)?< br>，知
x??1

x?1
例2. 若函数
f(x)?
即 f的作用范围为
?
x?R|x??1
?
，又f对f(x)作用
所以
f(x)?R且f(x)??1
，即
f
?
f(x)
?
中x应满足
?
?
x??1

?
f(x)??1
?
x??1
?
即
?
1
，解得
x??1且x??2
??1
?
?
x?1
故函数
f
?
f( x)
?
的定义域为
x?R|x??1且x??2

（2）、已知f
?
g(x)
?
的定义域，求
f(x)
的定义域 思路：设
f
?
g(x)
?
的定义域为D，即
x?D，由此得
g(x)?E
，所以f的作用范围为E，
又f对x作用，作用范围不变， 所以
x?E，E
为
f(x)
的定义域。
例3. 已知
f( 3?2x)
的定义域为
x??1，2
，则函数
f(x)
的定义域为_ ________。

??
??

解析：
f(3 ?2x)
的定义域为
?1，2
，即
x??1，2
，由此得
3 ?2x??1，5

所以f的作用范围为
?1，5
，又f对x作用，作用范围 不变，所以
x??1，5

即函数
f(x)
的定义域为
?1，5

??????
????
??
x
2
例4. 已知
f( x?4)?lg
2
，则函数
f(x)
的定义域为_____________ _。
x?8
2
x
2
x
2
?0
解析：先 求f的作用范围，由
f(x?4)?lg
2
，知
2
x?8
x ?8
2
解得
x
2
?4?4
，f的作用范围为
(4， ??)
，又f对x作用，作用范围不变，所以
x?(4，??)
，即
f(x)
的定义域为
(4，??)

（3）、已知
f
?
g( x)
?
的定义域，求
f
?
h(x)
?
的定义域 < br>思路：设
f
?
g(x)
?
的定义域为D，即
x?D< br>，由此得
g(x)?E
，
f
的作用范围为E，又
f对
h(x)
作用，作用范围不变，所以
h(x)?E
，解得
x?F
，F 为
f
?
h(x)
?
的定义域。
例5. 若函数
f (2)
的定义域为
?1，1
，则
f(log
2
x)
的定义域为____________。
x
??
x
解析：
f(2)
的定义域为
?1，1
，即
x??1，1
，由此得
2?
?
，2
?

?
2
?
x
????
?
1
?
?
1
?
f
的作用范围为
?
，2
?

?
2
?
?
1
?
又f对< br>log
2
x
作用，所以
log
2
x?
?，2
?
，解得
x?
?
2
?
即
f(lo g
2
x)
的定义域为
?
2，4

?
?
2，4

?
评注：函数定义域是自变量x的取值范围（ 用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围
是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不 会变。利用这种理念求此类定义域
问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。
（二）同步练习：

2
1、 已知函数
f(x)
的定义域为
[0,1]
，求函数
f(x)
的定义域。
答案：
[?1,1]

2、 已知函 数
f(3?2x)
的定义域为
[?3,3]
，求
f(x)
的 定义域。
答案：
[?3,9]

3、 已知函数
y?f(x?2)
的定义域为
(?1,0)
，求
f(|2x?1|)
的定义域。
13
(?,0)?(1,)
2
答案：
2
4、设
f
?
x
?
?lg
2?x
?
x
??
2
?
，则
f
??
?f
??
的定义域为（ ）
2?x
?
2
??
x
?
A.
?
?4,0
?
?
?
0,4
?
B.
?
?4,?1
?
?
?
1,4
?

C.
?
?2,?1
?
?
?
1,2
?
D.
?
?4,?2
?
?
?
2,4
?
< br>?
?2?
?
2?x
?
解：选C.由
?0
得，
f(x)
的定义域为
?
x|?2?x?2
?
。故
?
2?x
?
?2?
?
?
x
?2,
2
，解得
2
?2.
x
x?
?
?4,?1
?
?
x
??
2
?
f?f
。故
1,4
????< br>的定义域为
?
?4,?1
???
?
2
??
x
?
13
22
33
?
1
?ax?,
?
??x?,
?
2a22a

?
?
x3
a3
?
??x?a.
??,
?
a2
2
?
2
?
1,4
?

x
a
5、已知函数
f(x)
的 定义域为
x?(?,)
，求
g(x)?f(ax)?f()(a?0)
的定义 域。
?
1
?
?
?
2
［解析］由已知，有
?
?
?
1
?
?
2
13
?x?}
；
22
1a
33
（2）当
?a
，即
0?a?1
时，有
???
，
2a2
2a2
a3
定义域为
{x|??x?a}
；
22
331a
（3）当
?a
，即
a?1
时，有
? ??
，
2a22a2
13
定义域为
{x|??x?}
.
2a2a
13
故当
a?1
时，定义域为
{x|??x?}< br>；
2a2a
（1）当
a?1
时，定义域为
{x|?

当
0?a?1
时，定义域为{x|?
a3
?x?a}.

22
［点评］对于含有参数的函数 ，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字
母的方法。
三、复合函数单调性问题
（1）引理证明
已知函数
y?f(g(x))
.若
u?g(x)< br>在区间
(a,b
）上是减函数，其值域为(c，d)，又函
数
y?f (u)
在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数
y?f(g(x))
在区间< br>(a,b
）上是增
函数.
证明：在区间
(a,b
）内任取 两个数
x
1
,x
2
，使
a?x
1
?x2
?b

因为
u?g(x)
在区间
(a,b
） 上是减函数，所以
g(x
1
)?g(x
2
)
,记
u
1
?g(x
1
)
,
u
2
?g(x
2
)
即
u
1
?u
2,
且u
1
, u
2
?(c,d)

因为函数
y?f(u)
在区间(c,d )上是减函数，所以
f(u
1
)?f(u
2
)
,即
f(g(x
1
))?f(g(x
2
))
，
故函数
y?f(g(x))
在区间
(a,b
）上是增函数.
（2）．复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：
y?f(u)

u?g(x)

y?f(g(x))

增 ↗
增 ↗
增 ↗
减 ↘
减 ↘
增 ↗
减 ↘
减 ↘
减 ↘
增 ↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
（3）、复合函数
y?f(g(x))
的单调性判断步骤：
ⅰ 确定函数的定义域；
ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：
y?f(u)
与
u?g(x)
。
ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；
ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性 相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合
后的函数
y?f(g(x))
为增函数 ； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函
数，而另一个是减函数），则复合后的函 数
y?f(g(x))
为减函数。

（4）例题演练
例1、 求函数
y?log
1
(x?2x?3)
的单调区间，并用单调定义给予证明
2
2
解：定义域
x?2x?3?0?x?3或x??1

单调减区间是
(3,??)
设
x
1
,x
2< br>?(3,??)且x
1
?x
2
则
2
y
1
?log
1
(x
1
?2x
1
?3)

y
2
?log
1
(x
2
?2x
2
?3)

2
2
2
2
2
2
(x
1< br>?2x
1
?3)?
(x
2
?2x
2
?3)< br>=
(x
2
?x
1
)(x
2
?x
1< br>?2)

∵
x
2
?x
1
?3
∴
x
2
?x
1
?0

x
2
?x
1
?2?0

∴
(x
1
?2x
1
?3)
>
(x
2
?2x
2
?3)
又底数
0?
∴
y
2
?y
1
?0
即
y
2
?y
1

∴
y
在
(3,??)
上是减函数
2
2
1
?1

2
同理可证：
y
在
(??,?1)
上是增函数
［ 例］2、讨论函数
f(x)?log
a
(3x
2
?2x?1)
的单调性.
［解］由
3x
2
?2x?1?0
得函数的定义域为
1
{x|x?1,或x??}.

3
则当
a?1
时 ，若
x?1
，∵
u?3x
2
?2x?1
为增函数，∴
f(x)?log
a
(3x
2
?2x?1)
为增
函数.
若
x??
，∵
u?3x
2
?2x?1
为减函数.
∴
f(x)?log
a
(3x
2
?2x?1)
为减 函数。
2
)
为减函数，若
x??
当
0?a?1
时 ，若
x?1
，则
f(x)?log
a
(3x?2x?1
2< br>f(x)?log)
为增函数.
a
(3x?2x?1
1
3< br>1
，则
3
例3、.已知y=
log
a
(2-
a
)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.
解：∵a＞0且a≠1
当a＞1时，函数t=2-
a
>0是减函数
由y=
log
a
(2-
a
)在［0，1］上x的减函数， 知y=
log
a
t是增函数，
∴a＞1
由x
?
［0，1］时，2-
a
?
2-a＞0,得a＜2,
∴1＜a＜2
当0a
>0是增函数
x
x
x
x
x

由y=
log
a
(2 -
a
)在［0，1］上x的减函数，知y=
log
a
t是减函数，
∴0x
由x
?
［0，1］时，2-
a
?
2-1＞0, ∴0综上述，0x
例4
、
已知函 数
f(x?2)?ax
2
?(a?3)x?a?2
（
a
为负 整数）的图象经过点
(m?2,0),m?R
，设
g(x)?f[f(x)],F(x )?pg(x)?f(x)
.问是否存在实数
p(p?0)
使得
F(x)在区间
(??,f(2)]
上是减函数，且在区间
(f(2),0)
上是 减函数？并证明你的结论。
［解析］由已知
f(m?2)?0
，得
am2
?(a?3)m?a?2?0
，
其中
m?R,a?0.
∴
??0
即
3a
2
?2a?9?0
，
解得
1?271?27
?a?.

33
∵
a
为负整数，∴
a??1.

∴
f (x?2)??x
?
?4x?3??(x?2)
2
?1
，
即
f(x)??x
2
?1.

g(x)?f[f(x)]??(x?1)?1??x?2x
，
∴
F(x) ?pg(x)?f(x)??px
4
?(2p?1)x
2
?1.
< br>假设存在实数
p(p?0)
，使得
F(x)
满足条件，设
x< br>1
?x
2
，
2
?x
2
)[?p(x
2
?x
2
)?2p?1].
∴
F(x
1
)?F (x
2
)?(x
1212
2242
∵
f(2)??3
，当
x
1
,x
2
?(??,?3)
时，
F(x)
为减函数，
2
?x
2
?0,?p(x
2
?x2
)?2p?1?0.
∴
F(x
1
)?F(x
2)?0
，∴
x
1212
2
?x
2
?18
, ∵
x
1
??3,x
2
??3
,∴
x
12
2
?x
2
)?2p?1??16p?1
, ∴
?p(x
12
∴
?16p?1?0.
①
当
x
1
,x
2
?(?3,0)
时,
F(x)
增函数,∴
F(x
1
)?F(x
2
)?0.

2< br>?x
2
?0
,∴
?p(x
2
?x
2
)?2p?1??16p?1
, ∵
x
1212
∴
?16p?1?0
.
由①、②可知
p??
②
1
1
，故存在
p??.

16
16
（5）同步练习：
1．函数
y
＝
log
1
（
x
2
－3
x
＋2）的单调递减区间是（ ）
2
A．（－∞，1）
C．（－∞，






B．（2，＋∞）
D．（
3
）
2
3
，＋∞）
2
解析：先求函数定义域为（－
o
，1）∪（2，＋∞），令
t
（
x
）＝
x
2
＋3< br>x
＋2，函数
t
（
x
）

在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单 调递增，根据复合函数同增异减的原则，函
数
y
＝
log
1
（
x
2
－3
x
＋2）在（2，＋∞）上单调递减．
2
答案：B
2找出下列函数的单调区间.
（1）
y?a
?x
（2）
y?2
2
?3x?2
(a?1)
；
.

?x
2
?2x?3
答案：(1)在
(??,]
上是增函数，在
[,??)
上是减函数。
（2）单调增区间是
[?1,1]
，减区间是
[1,3]
。
x
3、讨论
y?log
a
(a?1),(a?0,且a?0)
的单 调性。
3
2
3
2
答案：
a?1,
时
(0 ,??)
为增函数，
1?a?0
时，
(??,0)
为增函数。 4．求函数
y
＝
log
1
（
x
2
－5
x
＋4）的定义域、值域和单调区间．
3
解：由
?
（x
）＝
x
2
－5
x
＋4＞0，解得
x
＞4或
x
＜1，所以
x
∈（－∞，1）∪（4，＋∞），
当
x
∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛
?
｜
?
＝
x
2
－5
x
＋4｝＝R，所以函数的值域是R．因为
＋＋
函数
y
＝
log
1
（
x
2
－5
x
＋4 ）是由
y
＝
log
1
33
?
（
x
）与
?
（
x
）＝
x
2
－5
x
＋4 复合而成，函数
y
5
2
＝
log
1
3
?< br>（
x
）在其定义域上是单调递减的，函数
?
（
x
）＝
x
2
－5
x
＋4在（－∞，）上为
5
，＋∞］上为 增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，
y
＝
log
1
（< br>x
2
2
3
减函数，在［
－5
x
＋4）的增区 间是定义域内使
y
＝
log
1
3
?
（
x< br>）为减函数、
?
（
x
）＝
x
2
－5
x
＋4也为减函
?
（
x
）为数的区间，即（－∞，1）；
y
＝
log
1
（
x
2
－5
x
＋4） 的减区间是定义域内使
y
＝
log
1
33
减函数、
?
（
x
）＝
x
2
－5
x
＋4为增函数的区 间，即（4，＋∞）．



第二篇 函数图象问题

数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函
数图象 是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的
直观性，它是探求解 题途径，获得问题的结果的重要工具.
（一）知识方法
1.用描点法作函数的图象.
2.正比例函数、反比例函数、二次函数的图象及几种基本初等函数的图象.
3.图象变换与变量替换的关系
(1)平移变换（（2）变换作图法：
向右平移 a个单位
①平移：
y?f(x)????????
y?f(x?a)
；
个单位
???
b
????
y?f(x)?b.

y ?f(x)
?
向上平移
关于x轴对称
??
y?f(?x)
； ②对称：
y?f(x)
?????
关于y轴对称
??
y?f(?x)
；
y?f(x)
?????
??????
y??f(?x)
.
y?f(x)
?
关于原点对称
保留x轴上方图象,再把
??
y?| f(x)|
； ③其他：
y?f(x)
????????
x轴下方图象对称到 上方
x轴右边的图象,再把
??????????
y?f(|x|).
y?f(x)
?
保留
y轴右边图象对称到y轴左边
［例］作函数
y?|x|
2
?4|x|?1
的图象时，先用虚线作
y?|x|
2< br>?4x?1
的图象，再保留
y
轴右边图象，并把它对称翻到
y
轴左边，即得到
y?|x|
2
?4|x|?1
的图象，如图所示。
4．作函数图像的一般步骤是：
（1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函 数的性质（如奇偶性、周期性、
单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（ 4）利用基本函数的图
像画出所给函数的图像。

（二）例题演练：
例1．函数
y?1?
1
的图象是（ ）
x?1

11
图象以及坐标平移公式的理解，将函数
f(x)?
的图象变
xx
11
形到
f(x)?
，即向右平移一个单位，再变形到
f(x)??
，即将前面图象沿
x
轴翻转，
x?1
x?1
1
再变 形到
f(x)???1
，即将前面图象再向上平移一个单位，从而得到答案B。
x? 1
［解析］该题考查对
f(x)?
例2．如图所示，
f
1
( x),f
2
(x),f
3
(x),f
4
(x)
是定 义在
[0,1]
上的四个函数，其中满足性质：
“对
[0,1]
中任 意的
x
1
和
x
2
，
f(
x
1?x
2
1
)?[f(x
1
)?f(x
2
)]< br>恒成立”的只有（ ）
22

［解析］
f(
x
1
?x
2
x?x
2
“中点的纵坐标”，
)
为自变量< br>x
1
,x
2
的中点，
f(
1
)
对应 的函数值即
22
1
。再结
[f(x
1
)?f(x
2
)]
为自变量
x
1
,x
2
对应的函数值所对应的点 的中点，即“纵坐标的中点”
2
合
f(x)
函数图象的凹凸性，可得到答案A ，这是函数凹凸性的基本应用。故选A。
例3、利用函数
f(x)?2
x
的图象，作出下列各函数的图象：
（1）
f(x?1)
；（2）
f(|x|)
；（3）
f(x)?1< br>；（4）
?f(x)
；（5）
|f(x)?1|.

［解析］ 利用指数函数
y?2
x
的图象及变换作图法可作要作的函数图象，其图象如图（1）< br>—（5）中的实线部分。

［例4］已知
a?0
，且
a?< br>1，函数
y?a
x
与
y?log
a
(?x)
的图象只能是图中的（ ）

［分析］可以从图象所在的位置及单调 性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别
注意底数
a
对图象的影响。
解法一：首先，曲线
y?a
x
只可能在上半平面，
y?log
a(?x)
只可能在左半平面上，从
而排除A、C。
其次，从单调性着眼，
y?a
x
与
y?log
a
(?x)
的增减性正好相反，又 可排除D。
解法二：若
0?a?1
，则曲线
y?a
x
下降 且过点(0,1)，而曲线
y?log
a
(?x)
上升且过
(?1, 0)
，以上图象均不符合这些条件. 若
a?1
时，则曲线
y?a
x
上升且过(0,1)，而曲线
y?log
a
(?x)
下降且过
(?1,0)
，只有B满足条件。
gl
解法三：如果注意到
y?log< br>a
(?x)
的图象关于
y
轴的对称图象为
y?log
a
x
，又
y?o
与
y?a
x
互为反函数（图象关于 直线
y?x
对称），则可直接选定B。
［答案］B
［例5］作出
y?|log
2
(x?1)|?2
的图象.
［分析］利用图象变换作图（如图）
［解析］第一步：作出
y?log
2
x
的图象（图①）.
a
x
第二步：将
y?log
2
x
的图象沿
x
轴向左平移1个单位得
y?log
x
(x?1)
的图象（图②）.
第三步：将
y?log
2
(x?1)
的图象在
x
轴下方的 图象，以
x
轴为对称轴对称到
x
轴的上方
得
y?|log< br>2
(x?1)|
的图象）（图③）.
第四步：将
y?|log
2
(x?1)|
的图象沿
y
轴方向向上平移2个单位，得到
y?| log
2
(x?1)|?2
的图象（图④）.

［点评］（1）一 般地，函数
y?f(x?a)?b(a,b为正数)
的图象可由函数
y?f(x)的图
象变换得到。
将
y?f(x)
的图象向左或向右平移
a< br>个单位可得到函数
y?f(x?a)
的图象，向下或向上

平移
b
个单位可得到函数
y?f(x?a)?b
的图象（记忆口诀：上加下减）。
（2）含有绝对值的函数的图象变 换是一种对称变换，一般地，
y?f(|x?a|)
的图象是
关于
x?a对称的轴对称图形；函数
y?|f(x)|
的图象与
y?f(x)
的图象 在
x
轴上方相同，在
x
轴下方关于
x
轴对称。
（ 3）
y?f(x)
的图象
y?f(?x)
的图象关于
y
轴对 称，
y?f(x)
的图象与
y??f(x)
的
图象关于
x< br>轴对称。
［例6］函数
y?f(x)
与函数
y?g(x)
的 图象如右，则函数
y?f(x)
·
g(x)
的图象是（ ）

［解析］由图象可知，
f(x)
是偶函数，
g(x)
是奇函数，且< br>f(x)
与
g(x)
的公共定义域为
x?0
，排除C、D。令
F(x)?f(x)
·
g(x)
，则
F(?x)?f(?x)?g( ?x)??f(x)
·
g(x)
，所以
F(x)?f(x)?g(x)
为奇函数，其图象关于原点对称，排除B。故选A。
三、同步练习：
1：如图所示，单位 圆中弧
AB
的长为
x,f(x)
表示弧
AB
与弦
A B
所围成的弓形面积的２倍，则函数
y?f(x)
的图象是

答案：( D )
设计意图：考察图象与式子运算的能力
2、为了稳定 市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格
a
与其前三个月的市场收购

价格有关，且使
a
与其前三个月 的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前
6个月的市场收购价格：
月份
价格（元担）
1
68
2
78
3
67
4
71
5
72
6
70
7

则7月份该产品的市场收购价格应为
A．69元
答案：C
B．70元
（ ）
C．71元 D．72元
3、已知函数
f(x)
是
R
上的增函数，
A(0,?1),(3,1)
是其函数 图象上的两点，那么
（ ）
f(x?1)?1
的解集的补集是：
A.(?1,2)

B.(1,4)

C(??,?1]?[4,??)

D(??,?1]?[2,??)

答案：D
4、方程
2
答案D
5．为了得到函数
y?3?()
x的图象，可以把函数
y?()
x
的图象（ ）
A．向左平移3个单位长度
C．向左平移1个单位长度




B．向右平移3个单位长度
D．向右平移1个单位长度
X
?x
2
的实根的个数为（ ）A：0 B：1 C：2 D：3
1
3
1
3
［解析］∵
y?3?()
x?()
x?1
，∴由
y?()
x
的图象向右平移1个单位长度。
6．已知函数
f(x)?2
x
，则
f(1?x)
的图象为图 中的（ ）
1
3
1
3
1
3

［解析］
f(1?x)?2
1?x
?2?2
?x
?2?()
x
?()
x?1
，这是把函数
y?()
x
的图象向右平
移1 个单位而得。
故选C。
7。要得到
y?lg(3?x)
的图像，只需作< br>y?lgx
关于_____轴对称的图像，再向____平移
3个单位而得到。
答案：
y
轴，右
1
2
1
2
1
2

8。已知
f(x)
是 偶函数，则
f(x?2)
的图像关于__________对称；已知
f(x?2)< br>是偶函
数，则函数
f(x)
的图像关于____________对称.
答案：直线
x??2
；直线
x?2

9 、写出函数
y?log
4
(1?2x?x)
的图像经过怎样的变换可得到函数
y?log
2
x
的图
像。
答案、左移1个单位
10、 若
0?a?1
,则方程
a?log
a
x
有几个实根
答案：（1） 2个
11、设曲线C的方程是
y?x?x
,将C沿 x轴,y轴正方向分别平行移动t,s单位长度后得
曲线
C
1
。 (1)写出 曲线
C
1
的方程；(2)证明曲线C与
C
1
关于点
A
?
答案：（1）
y?(x?t)?(x?t)?s
（2）略
12 、将函数
y?log
1
x
的图像沿x轴向右平移1个单位，得到图像C，图像 C
1
与C关于
原点对称，图像C
2
与C
1
关于直线 y=x对称，求C
2
对应的函数。
答案、
y??1?2

13、试讨论方程
1?x?kx
的实数根的个数。
答案、
k?0或 k?1或k<-1
时有一解；当
0?k?1
时有二解；当
?1?k?0
无解
14、设a是常数，函数f(x)对一切实数x都满足
f(a?x)??f(a? x)
，求证函数f(x)的
图像关于点(a,0)成中心对称图形。
答案：略 x
3
2
x
3
?
ts
?
,
?< br>对称
2
?
2
?
2


第三篇 函数的解析式问题

（一）、知识回顾：
1、求函数解析式的常用方法：
ⅰ、换元法（ 注意新元的取值范围）

ⅱ、待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）
ⅲ、整体代换（配凑法）
ⅳ、构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）
2、求 函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的的取值范围，
同时也要注意变量的实 际意义。
3、理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。
（二）、例题演练：
例1、求下列函数的解析式：
（1）已知
f(x)?x
2
?2x< br>，求
f(2x?1)
；
（2）已知
f(x?1)?x?2x
，求
f(x)
；
（3）已知
f(x)?2f()?3x?2
，求
f(x).

［解析］（1）
f(2x?1)?(2x?1)
2
?2(2x?1)?4x
2
?8x?3.

（2）解法一（拼凑法）：
f(x?1)?(x?1)2
?4(x?1)?3
，而
x?1??1.
故所求的
函数
f(x)?x
2
?4x?3(x??1).

解法二（换元法）：令
t?
1
x
x?1
，则
t??1,且x?t?1
，
∴
f(t)?(t?1)
2
?2(t?1)?t
2
?4t?3.< br>
故所求的函数为
f(x)?x
2
?4x?3(x??1).

1113
，则
x?
，∴
f()?2f(t)??2
，
xttt
13
即
f()?2f(x)??2
.与原式联立，得 xx
1
?
f(x)?2f()?3x?2,
?
2
?x
解得
f(x)??x??2.

?
x
?
f(
1
)?2f(x)?
3
?2,
?
x
?
x< br>（3）令
t?
∴所求的函数为
f(x)??x?
2
?2.
x
［点评］由
y?f[g(x)]
的解析式，求出函数
y?f (x)
后，应注意函数的定义域。此时
x
的
取值不仅要使
y?f(x )
有意义，同时还要使
y?f[g(x)]
也有意义，也就是
y?f(x)< br>的定义域
包含于
t?g(x)
的值域之中。

例2、设二次函数
f(x)
满足
f(x?2)?f(?x?2)
，且图象在
y
轴上的截距为1，被
x
截得
的线段长为
22
，求
f(x)
的解析式。
［ 解析］解法一：设
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
.由
f( x?2)?f(?x?2)
得
4a?b?0
①；
又
|x
1
?x
2
|?
?
?22
，∴
b
2
?4ac?8a
2
②；
|a|
又由已知得
c?1
③；
由①②③得
b?2,
a?
11
,c?1
，∴
f(x)?x
2
?2x?1.

22
解法二：
f(x?2) ?f(?x?2)
，故
y?f(x)
的图象有对称轴
x??2
，可设 依题意可设设
f(x)?a(x?2)
2
?c
，有
f(0)??1? c??1

11
22?(x
1
?x
2
)
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?16?4(4?),?a?

a2
解法三：∵
y?f( x)
的图象有对称轴
x??2
，又
|x
1
?x
2< br>|?22
，
∴
y?f(x)
与
x
轴的交点为
(?2?2,0),(?2?2,0).

故可设
f(x)?a(x?2?2)(x?2?2).

∵
f(0)?1
，∴
a?
1
（其余略）。
2［点评］三种方法均是待定系数法求二次函数的解析式，可以得到充分挖掘题目的隐含
条件及充分利 用图形的直观性，是简化运算的有效手段。
［例3］设
f(x)
是R上的函数，且满 足
f(0)?1
，并且对任意实数
x
、
y
有
f(x ?y)?f(x)?y(2x?y?1)
，求
f(x)
的表达式。
［解］解法一：由
f(0)?1,f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)
，
设
x?y
，得
f(0)?f(x)?x(2x?x?1).

∵
f(0)?1
，∴
f(x)?x(2x?x?1)?1
，
即
f(x)?x
2
?x?1
。
又令
?t?x，代入上式得
f(x)?1?(?x)(x?1)?1?x(x1)
，
∴
f(x)?x
2
?x?1.

[点 评]：赋值法（亦称特殊值法），可以取特殊值，亦可以是变量换变量，然后通过解方

程组求出参数。
例4、（1）已知f(x)?ax?b(a?0)
，且
af(x)?b?9x?8
，求
f( x).

（2）已知
f(x)?ax
2
?bx?c
，若f(0)?0
，且
f(x?1)?f(x)?x?1
，试求
f(x)的表
达式。
［解析］（1）∵
af(x)?b?a(ax?b)?b?a
2
x?ab?b
，
?
a
2
?9,
?
a ?3,
?
a??3,
解得
?
或
?
∴
?
b?2b??4.
ab?b?8,
??
?
∴
f(x) ?3x?2
或
f(x)??3x?4.

（2）∵
f(0)?c?0
，∴
f(x?1)?a(x?1)
2
?b(x?1)?c?ax
2< br>?(2a?b)x?a?b
，
f(x)?x?1?ax
2
?bx?x? 1?ax
2
?(b?1)x?1
，
1
?
a?,
?
2a?b?b?1,
?
11
?
2
∴
?
∴< br>f(x)?x
2
?x.

?
?
22
?
a?b?1,
?
b?
1
.
?
2
?
［点评 ］此题通过待定系数法来求函数的解析式。这是已知函数类型求其解析式的常用
方法。
例5、 已知函数
y?x?x
与
y?g(x)
的图象关于点（--2，3）对称，求< br>g(x)
的解析式。
解：设
g(x)
上任意一点为
(x,y )
，则
(?4?x,6?y)
在
y?x?x
上，代入整理得
2
2
g(x)??x
2
?7x?6

（三）、同步练习：
1、下列各函数解析式中，满足
f(x?1)?
（A）
1
f(x)
的是 （ ）
2
x1
?x
（B）
x?
（C）
2
（D）
log
1
x

22
2
答案：C
1
2
13
13
（A）
?
（B） （C） （D）
?

42
42
答案：A
2、已知
f(x?1)?2x?3
，且
f(m)?6
，则
m
等于 （ ）

3、已知
f(x?1)?x?1
，则函数
f(x)
的解析式为 （ ）
2
（A）
f(x)?x
（B）
f(x)?x?1(x?1)

2
（C）
f(x)?x?2x?2(x?1)
（D）
f(x)?x?2x(x?1)

答案：C
22
1?x1? x
2
4、已知
f(
，则
f(x)
的解析式可取为
y
等于（ ）
)?
1?x1?x
2
x2x2xx
A． B．
?
C． D．
?

2222
1?x1?x1?x1?x
答案：C
?
x
2?bx?c,x?0,
5.设函数
f(x)?
?
若
f(?4)? f(0),f(?2)??2
则关于x的方程
2,x?0.
?
f(x)?x< br>的解的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
答案：C
6、若函数
f(x)
满足关系式
f(x)?2f()?3x
，则
f(x)
的表达式为_____ _____
答案：
1
x
2
?x

x
1
的图象为
C
1
，若函数
g(x)
的图象
C
2
与
C
1
关于
x
轴对称，则
g(x)
x? 1
7、设函数
f(x)?
的解析式为________________.
答案：
?
1
、
x?1
8、若一次函数y=f (x)在区间
[?1,2]
上的最大值为3，最小值为1，则y=f (x)的解析式为
_____________．
答案：
f(x)??
27 25
x?
或
f(x)?x?

3333
1
,则
f(x)
= ___
x?1< br>9、已知
f(x)
是奇函数,
g(x)
是偶函数,且
f(x) ?g(x)?
答案：
x

2
x?1
10、二次函数
f(x)
满足
f(x?1)?f(x)?2x
，且
f(0)?1
。 ⑴ 求
f(x)
的解析式；
⑵ 在区间
[?1,1]
上，
y?f(x)
的图象恒在
y?2x?m
的上方，试确定
m
的范围。
答案（1）
f(x)?x?x?1
（2）
m??1


2

11、已知
f(x)?log
2
(x?1)
，当点
(x,y)
在函数
y?f(x)
的图象上运动时，点
(,)
在
函数
y?g(x)
的图象上运动
（1） 写出
y?g(x)
的解析式；
（2） 求出使
g(x)?f(x)
的
x
的取值范围；
（3） 在（2）的范围内，求
y?g(x)?f(x)
的最大值。
答案：（1）
g(x)?


xy
32
13
log
2
(3x?1)
（2）
0?x?1
（3）
log
2
3?

22
第四篇 二次函数问题
一、知识要点：
1、二次函数的三种表示方 法：（1）一般式
y?ax?bx?c
（2）顶点式
y?a(x?m)?n

（3）两点式
y?a(x?x
1
)(x?x
2
)

2、一元二次方程与二次函数的关系。
3、一元二次函数在区间的最值问题。
4、．二次函数的图象与二次方程根的分布
由于二次函数图象与
x
轴交点的 横坐标即为二次方程的根，所以我们通常可借助二次函数
22
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
的图象来讨论二次方程
ax
2
?bx?c?0
的实根分布情况。
二、例题演练
例1、求
f(x)?x
2
?2 ax?1
在区间
[0,2]
上的最大值和最小值。
［分析］解决这类问题的 关键是判别函数的定义域各区间上的单调性，再利用函数的单
调性解决问题。
［解析］
f(x)?(x?a)
2
?1?a
2
，对称轴为
x?a
.
（1）当
a?0
时，由图（1）可知，
f(x)
min
?f(0)??1
，
f(x)
max
?f(2)?3?4a.

（1） （2）
（2）当
0?a?1
时，由图（2）可知，
f(x)
min
?f(a)??1?a
2
，
f(x)
max
?f(2)?3?4a

（3）当
1?a?2
时，由图（3）可知，
f(x)
min
?f(a)??1?a
2
，
f(x)
max
?f(0)??1.

（3） （4）
（4）当
a?2
时，由图（4）可知，
f(x)
min
?f(2)?3?4a
，
f(x)
max
?f(0)??1.

［点评］（1）利用单调性求最值或值域应先判断函数在给定区间上的单调性。
（2）求解二 次函数在某区间上的最值，应判断它的开口方向、对称轴与区间的关系，若
含有字母应注意分类讨论，解 题时最好结合图象解答。
例2、已知函数
f(x)?ax
2
?(2a?1) x?3
在区间
[?,2]
上的最大值为1，求实数
a
的值。
［解析］首先应搞清二次项系数
a
是否为零，如果
a?0,f(x)
的最大 值与二次函数系数
a
的正负有关，也与对称轴
x
0
?
32
1?2a
的位置有关，解答时必须用讨论法。
2a
a?0
时，
f(x)??x?3
，
3
f(x )
在
[?,2]
上不能取得1，故
a?0
.
2
f (x)?ax
2
?(2a?1)x?3(a?0)
的对称轴方程为
x
0
?
1?2a
.

2a
3
2
233
此时
x
0
???[?,2]
，
202
（1）令
f(?)?1
，解得
a??
10
，
3
因为
a?0
，
f(x
0
)
最大，所以< br>f(?)?1
不合适。
（2）令
f(2)?1
，解得
a?< br>此时
x
0
???[?,2]
，
3
2
3
，
4
1
3
3
2
313
?0,x
0
???[?,2]
，且距右端点2较远，所以
f( 2)
最大，合适。
432
1
（3）令
f(x
0
) ?1
，得
a?(?3?22)
，
2
1
验证后知只有
a?(?3?22)
才合适。
2
因为
a?

综上所述，
a?
31
，或
a??(3?22).

42
3
,2
2
［点评］这里函数
f(x)
的最大值一是与< br>a
的符号有关。另外也与对称轴和区间的端
?
的远近有关，不分情况讨论就无法 确定
例3、（1）关于
x
的方程
x
2
?2(m?3)x? 2m?14?0
有两个实根，且一个大于1，一个
小于1，求
m
的取值范围；
（2）关于
x
的方程
x
2
?2(m?3)x?2m?14? 0
有两实根，在
[0,4)
内，求
m
的取值范围；
（3） 关于
x
的方程
mx
2
?2(m?3)x?2m?14?0
有 两实根，且一个大于4，一个小于4，
求
m
的取值范围.
［解析］（1）令
f(x)?x
2
?2(m?3)x?2m?14
，∵对应抛物线开口向上，∴ 方程有两
个实根，且一个大于1，一个小于1等价于
f(1)?0
（思考：需要
??0
吗？），即
m??
（2）令
f(x)?x
2
?2( m?3)x?2m?14
，原命题等价于
21
.

4
?< br>f(0)?0
?
2m?14?0
?
f(4)?0
?
1 6?8(m?3)?2m?14?0
?
27
??
????m??5.

2(m?3)
??
?7?m??3
5
?4
?
0??
?
2
??
?
m??5,m?1
2
?
4(m ?3)?4(2m?14)?0
?
（3）令
g(x)?mx
2
?2( m?3)x?2m?14
，依题得
?
m?0
?
m?0
19
或得
??m?0.

,
??
13
?
g(4)?0
?
g(4)?0
[评注]求解二次方程根的分布问题，结合二次函数图象，主要考虑三个方面
的问题（1）判别式（2 ）对称轴（3）区间端点函数值
例4：已知二次函数
f(x)?ax?bx?c
．
（1）若a>b>c， 且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=
－
a成立时，f（m+3）为正数，若存
在，证明你的结论，若不存在，说明理由；
（3）若对
x
1
,x
2
?R,且x
1
?x
2
,f(x
1
)?f(x
2
)
，方程
f(x)?
不等 实根，
证明必有一个根属于(x
1
,x
2
)

解: （1）

2
1
[f(x1
)?f(x
2
)]
有2个
2

?f(1)?a?b?c?0且a?b?c,?a?0且c?0,???b
2
?4ac ?0,?f(x)

的图象与x轴有两个交点.
c
f(1)?0
，∴1是
f(x)?0
的一个根，由韦达定理知另一根为，
a
c
∴
a?0且c?0,??0?1,又a?b?c,b??a?c,

a
ccc

则a(m?)(m?1)??a?0??m?1?m?3??3??2?3?1

aaa
（2）

?f(x)
在（1，+∞）单调递增，
?f (m?3)?f(1)?0
，即存在这样的m使
f(m?3)?0

（3 ）令
g(x)?f(x)?
?g(x
1
)?g(x
2
)?[ f(x
1
)?
1
[f(x
1
)?f(x
2
)]
，则
g(x)
是二次函数.
2
f(x
1
)? f(x
2
)f(x
1
)?f(x
2
)1
][f(x
2
)?]??[f(x
1
)?f(x
2
)]
2?0

224

又f(x
1
)?f(x
2),g(x
1
)?g(x
2
)?0,?g(x)?0
有两个不等 实根，且方程
g(x)?0
的根
必有一个属于
(x
1
,x< br>2
)
.
例5：（1）已知函数
f(x)?ax
2
? a?2
，若
f(x)?0
有解，求实数
a
的取值范围；
（ 2）已知
f(x)??x
2
?4x
，当
x?[?1,1]
时 ，若
f(x)?a
恒成立，求实数
a
的取值范围。
解：（1）f(x)?0
有解，即
ax
2
?a?2?0
有解
?a( x
2
?1)?2
有解
?a?
2
有解
x
2< br>?1
?
a?|
2
|
min
?2.
所以
a?(??,2).

2
x?1
（2）当
x?[?1,1]
时，
f(x)?a
恒成立
?
[f(x)]
min
?a.< br>又当
x?[?1,1]
时，
[f(x)]
min
?f(?1) ??5
，所以
a?(??,?5).

点评：
“有解”与“恒成立”
是很容易搞混的两个概念。一般地，对于“有解”与“恒
成立”，有下列常用结论：（1）f(x)?a
恒成立
?
[f(x)]
min
?a
；（2 ）
f(x)?a
恒成立
?
[f(x)]
max
?a
;（3）
f(x)?a
有解
?
[f(x)]
max
?a；（4）
f(x)?a
有解
?
[f(x)]
min
?a .

例6:（1）若函数
y?4?3
x
?m?9
x
在区间
(??,2]
上有意义，求实数
m
的取值范围；
（2）若函 数
y?4?3
x
?m?9
x
的定义域为
(??,2]
，求实数
m
的取值范围。
解：（1）由题意知，当
x?(??,2]时，恒有
4?3
x
?m?9
x
?0
，即恒有
3
x
?411
m??
x
??[()
x
?4()2x
]
.
933
1113
又因为
f(x)??[()
x
?4()
2x
]
在
(??,2]
上单调递增，所 以
m?[f(x)]
max
?f(2)

??
，
33
81
13
所以
m??.

81

（2）由题意知，不等式
4?3
x
?m?9
x
?0
，即
4()
2x
?()
x
?m?0
的解是
x?2< br>，易解
1
3
1
3
1?1?1?16m
得，
( )
x
?
，
38
则
x?log
1
3
?1?1?16m?1?1?16m
13
?2
，解方程
log
1< br>?2
，得
m??.

88
81
3
[点评]： “有意义”与“定义域”是两个不同的概念。一般地，在某个条件下函数“有意
义”，是指在该条件下， 使得函数有意义的某个式子总成立；而若某个条件为函数的“定义域”，
则是指使得函数有意义的自变量 的范围就是该条件。
（三）、|同步练习：
1．设
b?0
，二次函数y?ax
2
?bx?a
2
?1
的图象为下列之一：

则
a
的值为（ ）
A．1 B．
?1
C．
?1?5

2
D．
?1?5

2
［解析］∵
b?0
，∴图象①②不可能，又③④过原点O，∴
f(x)?0
， 即
a
2
?1?0
，
故
a??1
，又
b?0
，如果
a?1
，则
?
b
?0
，与③④图象矛盾. ∴
a??1
，故选B。
2a
C．
(??,?2)
D．
(??,?5)?(?5,?4]

2．方程
x
2
?( m?2)x?5?m?0
的两根都大于2，则
m
的取值范围是（ ）
A．
(?5,?4]
B．
(??,?4)

［解析］ 令
f(x)?x
2
?(m?2)x?5?m
要使
f(x)?0
的两根都大于2，则
?
?
??(m?2)
2
?4(5?m)?0,
?

?
f(2)?0,
?
2?m
?
?2.
?
2
解得
?5?m??4.

故选A。
3、已知关于
x
的方程
ax?2(a?1)x?a?1?0
，探究
a

为何值时（ 1）方程有一根（2）方程有一正一负两根（3）两根都大于1（4）一根大于1
一根小于1
2

答案：（1）
a?0,或a??
2
1
（2）
0?a?1（3）无解（4）
a?0

3
4、若关于
x
的方程2ax?x?1?0
在（0，1）内恰有一解，求实数
a
的取值范围。。
答案：
a?1

5、已知二次函数
y?f(x)
的两个零点
x
1
?0,x
2
?1,
且其图象的顶点恰好在
y? log
2
x
的图象上。
（1）求
f(x)
的解析式。 < br>（2）设
f(x)
在
[t,t?1]
的最小值为
g(t)，求
g(t)
的表达式
答案：（1）
f(x)?4x?4x

2
?
4t
2
?4t,t??0.5
?
（2）
g(t)?
?
?1,?0.5?t?0.5

?
4t
2< br>?4t,t?0.5
?
6．设
f(x)?3ax
2
?2bx? c
，若
a?b?c?0,f(0)?f(1)?
0，求证：
（1）方程
f(x)?0
有实根；
（2）
?2?
b
??1
；
a
32
?|x
1
?x
2
|?.

33
（3）设
x
1
,x
2
是方程
f(x)?0的两个实根，则
［解析］（1）若
a?0
，则
b??c,

f(0)?f(1)?c(3a?2b?c)??c
2
?0,

与已知矛盾，
∴
a?0.

方程
3ax
2
?2bx?c?0
的判别式
??4(b
2
?3ac)
，
由条件
a?b?c?0
，消去
b
，得
??4(a
2
?c
2
?ac)?4[(a?
故方程
f(x)?0
有实根.
（2）由
f(0)?f(1)?0
，得
c(3a?3b?c)?0,

由条件
a?b?c?0
，消去
c
，得
(a?b)(2a?b )?0.

∵
a
2
?0,

∴
(1?)(2?)?0,

故
?2?
1
2
3
2
c)?c]?0,

24
b
a
b
a
b
??1.

a
2bca?b
,x
1
x
2
???
， < br>3a3a3a
（3）由条件，知
x
1
?x
2
??

∴
(x
1
?x
2
)
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?
∵
?2?
∴
4b3
2
1
(?)?.

9a23
b
??1,

a
14
?(x
1< br>?x
2
)
2
?.

39
32
?|x
1
?x
2
|?.

33
故
7．已知
a?R,
二次函数
f(x)?ax
2?2x?2a.
设不等式
f(x)?0
的解集为A，又知集合
B?{x| 1?x?3}.
若
A?B?
?
，求
a
的取值范围。
［解析］由
f(x)
为二次函数
a?0.

令
f( x)?0
解得其两根为
x
1
?
由此可知
x
1
?0,x
2
?0.

1111
?2?
2
,x2
??2?
2
.

aaaa
（1）当
a?0< br>时，
A?{x|x?x
1
}?{x|x?x
2
}.

A?B?
?
的充要条件是
x
2
?3
，即
11
?2?
2
?3.

aa
解得
a?
6
.

7
（2）当
a?0
时，
A?{x|x
1
?x?x
2
}.

A?B?
?
的充要条件是
x
2
?1
，即
11
?2?
2
?1,

aa
解得
a??2
.
综上，使
A?B?
?
成立的
a
的取值范围为
(??,?2)?(,??).

8、（1）求
y?4?2
x
xx?1
6
7
的值域
（2）关于
x
的
4?2
x?1
?a?0
方程有解， 求实数的
a
范围。
解析：本题是可转化为二次函数区间最值问题的题目。
答案：（1）
[?1,??)
（2）
a?1

第五篇、抽象函数问题
一 定义：是指概括总结出一类函数所具有的共同特性，而没有给出具 体的解析式（或图象）
的一类函数，中学阶段的抽象函数，一般是以所学的基本函数为背景，概括其共同 的本质特
征而形成的。因此，在学习中要注意总结概括基本函数的共同特征，从特殊到一般，从具体到抽象，建立抽象函数与具体函数的对应关系。
二、举例说明：
到目前为止常见抽象函数与我们已学过的具体函数的对应关系如下表：
抽象函数模型 具体函数模型（举其中一例）
f(x?y)?f(x)?f(y)

y?kx?b(k?0)

f(m?x)?f(m?x)
f(x)?f(2m?x)

y?a(x?m)
2
?n

f(x?y)?f(x)f(y)
f(x)
f(x?y)?
f(y)
f(xy)?f(x)?f(y)

x
f()?f(x)?f(y)
y

y?a
x
(a?0,a?1)

y?log
a
x
，（
a?0,a?1)

二、例题演练
［例1］已知函数
f(x)
对任意
x,y?R
，总有
f(x)?f(y)?f(x?y)
，且当
x?0
时，
2< br>f(x)?0,f(1)??.

3
（1）求证
f(x)
在R上是减函数；
（2）求
f(x)
在
[?3,3]
上的最大值和最小值。
［解析］（1）令
x?y?0,f(0)?0
，令
x??y
可得
f( ?x)??f(x)
，
在R上任取
x
1
?x
2

则
f(x
1
)?f(x
2
)?f(x
1
) ?f(?x
2
)?f(x
1
?x
2
).

∵
x
1
?x
2
，∴
x
1
?x
2< br>?0.

又∵
x?0
时，
f(x)?0
，∴
f(x
1
?x
2
)?0
，

即
f(x
1
)?f(x
2
)?0.

同定义可知
f(x)
在R上为单调递减函数。
（2）∵
f(x)< br>在R上是减函数，∴
f(x)
在
[?3,3]
上也是减函数。
∴
f(?3)
最大，
f(3)
最小。
2
f(3) ?f(2)?f(1)?f(1)?f(1)?f(1)?3?(?)??2.

3
∴
f(?3)??f(3)?2.

即
f(x)
在
[?3,3]
上最大值为2，最小值为
?2.

［点评］抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。
［例2］已知
f( x)
的定义域为R，对任意
x,y?R
，有
f(x?y)?f(x?y)?< br>
2f(x)?f(y)
，
且
f(0)?0.

（1）求证：
f(0)?1
；
（2）求证：
y?f(x)
为偶函数。
［解析］（1）由题意得：
f(x?y)?f(x?y)?2f(x)?f(y).

令
x?y?0
，则
f(0)?f(0)?2f(0)?f(0)
，则
f
2
(0)?f(0).

∵
f(0)?0,
∴
f(0)?1.

（2）令
x ?0
，则
f(y)?f(?y)?2f(0)f(y)?2f(y).

∴
f(?y)?f(y)
. ∴函数
y?f(x)
是偶函数。 ［点评］对于这类问题的求解，充分运用
x
、
y
为任意实数这一条件，对
x
、
y
取定一些
特殊值，如
x?y?0,y??x
等。
[例3]、定义在
[?2,2]
上的偶函数
g(x)
，当x?0
时，
g(x)
单调递减，若
g(1?m)?g(m)
成< br>立，求
m
的取值范围。
［解］因为函数
g(x)
在
[?2,2]
上是偶函数，
则由
g(1?m)?g(m)
，
可得到
g(|1?m|)?g(|m|).

因为偶函数图象关于
y
轴对称，
所以有
|1?m|?|m|
.又当
x?0
时，
?
|1?m|?2,
1
?
解之得
?1?m?.
< br>g(x)
单调递减，得到
?
|m|?2,
2
?
?|1?m|?|m|,
[点评]利用偶函数这一特性解决有关抽象函数的问题可以避免分类讨论。
［例题4］函数
y?f(x)(x?0)
是奇函数，且当
x?(0,??)< br>时是增函数，若
f(1)?0
，求
不等式
f[x(x?)]?0
的解集。
［分析］注意
f(1)?0
，不等式可转化为
f[x(x?)] ?f(1)
，联系
f(x)
在
(0,??)
上递增，
不难得 出
0?x(x?)?1.

1
2
1
2
1
2
还要注意，
f(x)
是奇函数，它在对称区间上的单调性相同，且
f(?1) ??f(1)
=0，于是又
1
2
1
2
得
f[x(x ?)]?f(1)
，即
x(x?)??1.

分别解两个不等式即可。
11?171 ?17
1
［解析］解不等式
0?x(x?)?1
，得
,x?
或
?x?0.

244
2
解不等式
x(x?)??1
，得
x??.

∴原不等式的解集是
{x|
1
2
11?171?17
?x? ,或?x?0}

244
［点评］在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反。
三、同步练习题：
1.已知：
f(x?y)?f(x)?f(y)
对任意实 数
x,y
都成立，则（ ）
（
A
）
f
（0）＝0 （B）
f
（0）＝1
（C）
f
（0）＝0或1 （D）以上都不对
2. 若对任意实数
x
、
y
总有
f(x y)?f(x)?f(y)
，则下列各式中错误的是（ ）
（
A
）
f
（1）＝0 （B）
f(x)?f(?x)

x
（C）
f()
＝
f
（
x
）－
f
（
y
） （D ）
f(x
n
)?nf(x)
（
n
∈
N
）
y
3、.已知函数
f
（
x
）对一切实数
x
、
y
满足：
f
（0）≠0，
f
（
x
＋< br>y
）＝
f
（
x
）
f
（
y
） ，且当
x
＜0时，
f
（
x
）＞1，则当
x
＞0时，
f
（
x
）的
取值范围是（ ）
（
A
）（1，＋∞） （B）（－∞，1）
（C）（0，1） （D）（－1，＋∞）
4 .已知不恒为零的函数
f
（
x
）对任意实数
x
、
y
满足
f
（
x
＋
y
）＋
f
（
x
－
y
）＝
2[
f
（
x
）＋
f
（
y
）]，则函数
f
（
x
）是（ ）

（
A
）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
参考答案1．A 2．B 3．C 4．B