高中数学选择题策略-北京十一高中数学闫老师
高中数学知识点总结
1.
对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互
异性、无序性”
。
中元素各表示什么？
如
：集合A?x|y?lg|x，
B?yy?lgx，C?(x,y)|y?lgx，A、B、C
??????
.
进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。
2
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
2
如
：集合A?x|x?2x?3?0，B?x|ax?1
??
??
若B?Aa，则实数的值构成的集合为
（
答：
?1，0，）
??
?
3
?
?
1
?
3. 注意下列性质：
n
（
1）集合a，a，
??，a的所有子集的个数是2；
??
12n
2）若A?B?A?B?A，A?B?B
；
（
（3）德摩根定律：
C
A?B?
C
A?
C
B，
C
A?B?
C
A?
C
B
????
????????<
br>UUUUUU
ax?5
如：已知关于x的不等式?0的解集为M，若3?M且
5?M，求实数a
2
x?a
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
的取值范围。
a·3?5
（∵3?M，∴
2
?0
3?a
a·5?5
∵5?M，∴
2
?0
5?a
?
5
?
?a?1，?9，25
?
??
）
?
3
??
5
.
可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(??)，“且”()和
“非”(?).
p?q为真，当且仅当p、q均为真
若
p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真
若
?p为真，当且仅当p为假
若
6.
命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？
映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B
中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构
成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
8.
函数的三要素是什么？
如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
x4?x
??
例：函数y?的定义域是
2
lgx?3
??
（
答：0，2??2，33，4）
??????
10.
如何求复合函数的定义域？
义域是_____________。
（
答：a，?a）
??
如
：函数f(x)的定义域是a，b，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?
f(?x)的定
??
11. 求一个函数的解析式时，注明函数的定义域了吗？
x
如
：fx?1?ex?，求f(x).
?2
?
t?x?1，则t?0
令
x?t?1
∴
∴ft()?e
t?1
2
2
?t?1
2
2
∴
f(xe)???x1x?0
??
x?1
12.
如何用定义证明函数的单调性
？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？
（y?f(u)，u??(x)，则y?f?(x)
??
（外层）（内层）
：求y?log?x?2x的单调区间
如
??
1
2
2
当
内、外层函数单
调性相同时f?(x)为增函数，否则f?(x)为减函数。）
????
2
（
设u??x?2x，由u?0则0?x?2
logu?，u??x??1，如图：
且
??
1
1
2
2
u
O 1 2 x
2
x?(0，1]时，u?，又logu?，∴y?
当
1
x?[1，2)时，u?，又logu?，∴y?
当
1
2
∴??）
13.
如何利用导数判断函数的单调性？
区间a，b内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于
在
??
零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？
：已知a?0，函数f(x)?x?ax在1，??上是单调增函数，则a的最大
如
?
?
3
值是（ ）
A. 0
B. 1 C. 2 D. 3
????
aa
2
令f'()x?3x?a?3x?x??0
（
????
33
????
x??
则
aa
或x?
33
a
已知f(x)[在1，??)上为增函数，则?1，即a?3
由
3
∴a的最大值为3）
14.
函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）
若
f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称
若
f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶
函数；一
个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（
2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。
a·2?a?2
如：若f(x)?
x
为奇函数，则实数a?
2?1
（
∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)?0
a·2?a?
2
?0，∴a?1）
即
0
2?1
2如：f(x)为定义在(?1，1)上的奇函数，当x?(0，1)时，，f(x)?
又
x
4?1
x
x
0
求f(x)在?1，1上的解析式。
??
2
令x??1，0，则，?x?01，fx()??
（
????
?x
41?
22
f(x)为奇函数，
∴f(x)????
又
?xx
4?11?4
x<
br>?
2
?
x
?
1
?
4?
f(0)?0
，∴f(x)?
又
?
x
?
2
x
?
4?1
?
?x
?xx
x?(?1，0)
x?0
x?
0，1
??
）
15. 你熟悉周期函数的定义吗？
若存在实数T（T?0），在定义域内总有fx?T?f(x)，则f(x)为周期
（
??
函数，T是一个周期。）
：若fx?a??f(x)，则
如
??
答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期）
（
如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b?
又
??
f(a?x)(?fa?x)(，fb?x)(?fb?x)
即
则
f(x)是周期函数，2a?b为一个周期
如：
关于函数的周期性，有如下结论：
（1）若T为函数f(x)的一个周期，则kT(k?Z且k?0)也是f(x)的周期，即
f(x?kT)?f(x)。
（2）若f(x)是一个以T为周期的函数，则f(a
x?b)(a?0)是一个以
T
a
为周
期的函数。
证明：
（证明的方向f[a(x?
T
a
T
a
)?b]?f(ax?b)）
f[a(x?)?b]?f[(ax?b)?T]
f(u)?f(ax?b)
设u?ax?b
?
T
a
f(u?T)
由T是f(x)的周期
是函数f(ax?b)的周期
2?
如：y?sinx的周期为T?2
?
，则y?sin(
?
x?
?
)(
?
?0)的周期为
?
（
3）若f(x)满足f(x?a)?f(x?b)恒成立，a,b为常数且a?b，则T?a?b
是f(x)的一个周期。
这是因为f(x?a?b)?f[(x?b)?a]?f[(x?b)?b]?f(x)
?T?a?b
（4）若f(x)满足f(x?a)??f(x?b
)，则f(x)以T?2(a?b)为一个周期。
证明：
f[x?2(a?b)]?f[(x?2b?a)?a]
??f[(x?2b?a)?b]
??f[(x?b)?a]
??[?f(x?b?b)]?f(x)
?T?2(a?b)
推论：
f(x?a)??f(x)
则f(x)以T?2a为一个周期
（只要令上式中的
b=0即可）
16. 你掌握常用的图象变换了吗
？
1. 函数图象变换：
（1）平移变换：
右平移a（a>0） f（x－a）图象
f（x）图象
左平移a（a>0） f（x＋a）图象
上平移b （ fx）＋b图象
f（x）图象
下平移b （ fx）－b图象
（2）对称变换：
?
f
?
?
?
?
f(x)图象与
?
?
?
f
?
?
?
f
(?x)图象关于y轴对称
f(x)图象关于x轴对称
f(?x)图象关于原点
对称
(2a?x)图象关于x?a对称
?1
(x)图象关于y?x对称
（3）伸缩变换：设A?0，
?
?0
横坐标缩短(
??1)
f(x)图象???????????????f(
?
x)图象
1
或伸长(0?
?
?1)到原来的倍
?
纵
坐标伸长(A?1)
f(x)图象???????????????Af(x)图象
或缩短（0
?A?1）到原来的A倍
（4）翻折变换：
将x轴下方部分f(x)图象??????????|f(x)|图象
作关于x轴对称
保留图象的x?0部分，去掉
f(x)图象???????????????f(|x|)图象
x?0部分，再作关于y轴对称
：f(x)l?ogx?1
如
??
2
出y??logx1及yx?log?1的图象
作
??
22
y
y=log
2
x
O 1 x
2. 函数的应用问题： 解答数学应用问题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，明确问题的实际背景，然后进行概括，归纳为相应的数学问题；二是合理选取参变数，设定变
元后，寻
找等量（或不等量）关系，建立相应的数学模型，求解数学模型，使问题获解。即
读题
?建模
（数学语言）
?
求解
（数学计算）
?
反馈
（检验作答）
（文字语言）
【典型例题】
例1.
（1）函数f(x)?x?bx?c对任意实数x，均有f(1?x)?f(1?x)，比较
f(0)，f(1)，f(3)的大小；
2
（2）若函数y?f(x)的图象关于x?1对称，且x?1时f(x)?x?1，则当x?1
时，求f(x)的表达式。
解：
（1）由f(1?x)?f(1?x)，可
知函数f(x)的图象关于x?1对称，又函数图
象是开口向上的抛物线，所以f(3)?f(0)?f(1)。
2
（2）当x?1时，有2?x?1
所以f(2?x)?(2?x)?1?x?4x?5
又由于y?f(x)图象关于x?1对称
?f(2?x)?f(x)
所以当x?1时，f(x)?x?4x?5
注：（2）题也可以根据图象的对称性，确定顶点坐标，直接写出解析式。
例2.
偶函数f(x)的定义域为R，若f(x?1)?f(x?1)对任意实数都成立，又当0
?x?1时，f(x)?2?1。
x
2
22
（1）求证f(x)是周期函数，并确定周期。
（2）求当1?x?2时，求f(x)的解析式。
解：
（1）令t?x?1，则x?1?t?2
由x?R时f(x?1)?f(x?1)恒成立
得t?R时f(t)?f(t?2)恒成立
因此f(x)是周期函数，且2k(k?Z且k?0)为其周期
（2）任取1?x?2
则?1?x?2?0
x
0??x?2?1
?0?x?1
时，
f
(
x
)
?2?1
?f(?x?2)?2
?x?2
?1
又f(x)的周期为2，且为偶函数
?f(?x?2)?f(?x)?f(x)
?1?x?2时，f(x)?2
x-2
x
-1 0 1 2 x
-x+2
?x?2
?1
17. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
(k<0) y
(k>0)
y=b
O’(a,b)
O x
x=a
1）一次函数：y?kx?bk?0
（
??
（
2）反比例函数：y?k?0推广为y?b?k?0是中心O'()a，b
????
xx?a<
br>2
kk
的双曲线。
4ac?b
?
b
?
（
3）二次函数y?ax?bx?ca?0?ax??图象为抛物线
??<
br>??
??
2a4a
2
2
2
?
b4acb?<
br>?
b
点坐标为?，，对称轴x??
顶
??
a4a
?
2a
?
2
4ac?b
开
口方向：a?0，向上，函数y?
min
4a
4ac?b
a
?0，向下，y?
max
4a
2
2
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
22
ax?bx?c?0，??0时，两根x、x为二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴
12
的两个交点，也是二次不等式ax?bx?c?0(?0)解集的端点值。
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
??0
?
?
?
b
2
如
：二次方程ax?bx??c0的两根都大于k???k
?
a
?
2<
br>fk()?0
?
?
y
(a>0)
O k x
1
x
2
x
2
一
根大于k，一根小于k?f(k)?0
4）指数函数：y?aa?01，a?
（
??
x
5）对数函数y?logxa?01，a?
（
??
a
由图象记性质！
（注意底数的限定！）
y
y=a(a>1)
(0
x(a>1)
1
O 1 x
(0
（
6）“对勾函数”y?x?k?0
??
x
k
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
y
?k
O
k
x
18. 你在基本运算上常出现错误吗？
0?p
指
数运算：a?1(a?0)，a?(a?0)
p
1
a
m
n
m
n
a?a(a?0)，a?
m
?
n
1
n
m
(a?0)
a
数运算：logM·N?logM?logNM?0，N?0
对
??
aaa
n
l
og?logM?logN，logM?logM
aaaaa
M
N
1
n
logx
对
数恒等式：a?x
a
n
c
对
数
换底公式：logb??logb?logb
aa
a
logb
loga
c
n
m
m
19. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
如
：（1）x??R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。
（
先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??）
（
2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶
函数。
先令x?y??tf?(?t)(?t)(?ft·t)
（
??
∴
ft()??ft()??f(t)?f(t)
∴
f(?t)?f(t)??）
3）证明单调性：f(x)?fx?x?x???
（
??
?
2
?
212
20. 掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均
值定理法，判别式法，利用函数单调
性法，导数法等。）
如求下列函数的最值：
（
1）y?2x?3?13?4x
（）2y?
2x?4
x?3
2
2x
3）x?3，y?
（
x?3
2
（
4）y?x?4?9?x设x?3cos?，???0，
??
??
（
5）y?4x?，x?(01，]
x
9
21. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公
式和扇形面积公式吗？
2
（
l??·R，S?l·R??·R）
扇
1
1
22
R
1弧度
O R
22. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义
y
T
B S
P
α
O
M
A x
s
in??MP，cos??OM，tan??AT
如
<
br>：若????0，则sin?，cos?，tan?的大小顺序是
8
?
?
??
如：求函数y?12?cosx的定义域和值域。
又
?
?
?
??
2
（
∵1
?2cosx）?1?2sinx?0
?
?
?
sinx?
∴
2
，如图：
2
?
??
?
2
?
∴
2k???x??2k?k??Z，0y?1?2
??
44
5??
23.
你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出
单调区间、对称点、对称轴吗？
inx?1，cosx?1
s
y
x
?
?
O
2
y?tgx
?
2
?
对
称点为k，0，k?Z
??
?
?
?
2
?
?
??
??
?sinx的增区间为2k??，2k??k?Z
y
??
??
22
??
?3?
??
区间为2k??，2k??kZ?
减
??
??
22
??
?
象的对称点为k?，0，对称轴为x?k??k?Z
图
??
??
2
?cosx的增区间为2k?，2k???k?Z
y
??
??
减
区间为2k???，22k???k?Z
??
??
?<
br>?
?
图
象的对称点为k??，0，对称轴为x?k
?k?Z
??
??
?
2
?
26. 正弦型
函数y=Asin?x+?的图象和性质要熟记。或y?Acos?x??
????
??
??
??
y?tanx的增区间为k??，k??k?Z
??
??
22
2?
（1）振幅|A|，周期T?
|?|
若
fx??A，则x?x为对称轴。
??
00
fx?0，
则x，0为对称点，反之也对。
若
??
??
00
?3?
22
（
2）五点作图：令?x??依次为0，，?，，2?，求出x与y，依点
（x，y）作图象。
（
3）根据图象求解析式。（求A、?、?值）
?(x)???0
?
1
?
图列出
如
?
?
?(x)???
2
?
2
?
解
条件组求?、?值
?
?正切型函数y?Atan?x??，T?
??
|?|
25.
在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三
角函数值，再判定角的范围。
2?
?
?
??
3
?
如
：cosx???，x??，，求x值。
??
?
2
?
?6
?
2
??
∵??x?，∴?x??，∴x??，∴x??）
（
26636412
3??7?5??5?13
26. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有
界性了吗？
：函数y?sinx?sin|x|的值域是
如
x?0时，y?2sinx??2，2，x?0时，y?0，∴y??2，2）
（
????
27. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
?
x'?x?h
?
a?(h，k)
（
<
br>1）点P（x，y）???????P'（x'，y'），则
?
y'?y?k
平
移至
?
?
（
2）曲线f(x，y)?0沿向量a?(h，k)平移后的方程为f(x?h，y?k)?0
如
：函数y?2sin2x??1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的<
br>??
图象？
1?
?
?
?
?
横
??
坐标伸长到原来的2倍
?
（
y?2sin2x?
?1???????????y?2sin2x??1
????
??
?
4???
24
??
?
?
?
?
4
?
?
?
?
?
上平移1个单位
4
?2sinx??
1????????y?2sinx?1????????y?2sinx
??
?
4<
br>?
左平移个单位
纵坐标缩短到原来的倍
1
2
???????????y?sinx）
28.
熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？
?
4
2222
如
：1?sin??coss??ec??tan??tan?·cot??cos
?·sec??tan
?
?sin?cos0???称为1的代换。
2
?
“
k·??”化为?的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，
2
“奇”、“偶”
指k取奇、偶数。
如：cos?tan??sin21??
??
??
又如：函数y?
A. 正值或负值
9?
?
7?
?
?
4
?
6
sin??tan?
，则y的值为
cos??cot?
B. 负值
C. 非负值 D. 正值
sin?
sin??
2
in?cos??1<
br>??
cos?
s
（
y??
2?0，∵??0）
cos?
cos?sin??1
??
cos??
sin?
29. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
in????sin?cos??cos?sin??????sin2??2
sin?cos?
s
??
令???
令???
22
cos?cos??sin?sin??????cos2??cos??si
n?
?
???
?
?cos
tan
?
??
?
?
?
tan??tan?
1?tan?·tan?
?2cos??1?1?2sin??
22
tan2??
2tan?
2
1?tan?
1?cos2?
2
cos??
2
1?cos2?
2
sin??
2
b
a
22
a
sin??bcos??ab?sin???，tan??
??
s
in??cos??2sin??
??
s
in??3cos??2sin??
??
应用以上公式
对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含
三角函数，能求值，尽可能求值
。）
具体方法：
（
1）角的变换：如???
????，????????
??
????
???
2
?
22
????
?
?
???
?
?
?
?
?
3
?
?
?
?
?
4
（2）名的变换：化弦或化切
（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
如
：已知
?1，tan?????，求tan??2?的值。
????
1?cos2?3
sin
?cos?cos?1
（
由已知得：??1，∴tan??
2
2sin?2
2sin?
2
又
ta
n????
??
3
sin?cos?2
21
?
tan???
?tan?
3
??
1
2
tan??2??tan????????）
∴
????
??
1
21
8?tan???·tan?
??
1?·
32
30.
正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转
化，而解斜三角形？
b?c?a
弦定理：a?b?c?2bccosAA?cos?
余
2bc
222
222
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
a?2RsinA
?
abc<
br>?
弦定理：???2R?b?2RsinB
正
?<
br>sinAsinBsinC
?
c?2RsinC
?
1
?a·b
sinC
S
?
2
∵
A?B?C??，∴A?B???C
A?BC
?cos
22
A?B
2
如中
?ABC，2sin?cos2C?1
2
（
1）求角C；
∴sinA??BinC，sin
??
s
c
（
2）若ab??，求cos2A?cos2B的值。
2
22
2
（
（1）由已知式得：1?cosA?B??2cosC1?1
??
2
A?B???C，∴2cosC?cosC?1?0
又
2
∴
cosC?或cosC??1（舍）
2
1
又0?C??，∴C?
?
3
1
222
（
2）由正弦定理及a?b?c得：
2
?3
3
2222
1?cos2A??1cos2B?
2sinA?2sinB?sinC?sin?
34
4
3
∴
cos2A?cos2B??）
4
32.
不等式的性质有哪些？
c?0??acbc
（
（
1）a?b，
2）a?b，c?d?a?c?b?d
c?0??acbc
（
3）a?b?0，c?d?0?ac?bd
1111
（4）a?b?0??，a?b?0??
abab
nn
nn
（
5）a?b?0?a?b，a?b
6）|x|?aa?0??a?x?a
，|x|?a?x??a或x?a
（
??
：若??0，则下列结论不正确的是（）
如
ab
2
11
?
.|||||a?b?a?b|
C
2
?b
ab
D.??2
答案：C
ba
2
2
33. 利用均值不等式：
a?b
??
22?
a
?b?2aba，
b?R；；a?b?2abab?求最值时，你是否注
??
??
2
??
意到“a，b?R”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a?b)其中之一为定
值
？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：
a?bab?2ab
??ab?abR，?
且仅当a?b时等号成立。
?
当
22ab?
22
?
??
?b
?c?ab?bc?caa，b?R
且仅当a?b?c时取等号。
a
当
??
222
a
?
?b?0，m?0，n?0，则
4
bb?ma?na
??1?
aa?mb?nb
如：若x?0，2?3x?的最大值为
x
（
设y?2?3x??2?2122??43
??
当
且仅当3x?，又x?0，∴x?时，y?2?43）
max
x3
xy
又
如：x?2y?1，则2?4的最小值为
?
?
4
?
?
x
423
x2yx?2y1
（
∵2?2?22?22，∴最小值为22）
34.
不等式证明的基本方法都掌握了吗？
111
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。
如
：证明1??????2
222
23n
111111<
br>1???????1??????
（
222
?22?3n?1n
23n
1
??
11111
?1?1????????
223n?1n
1
?2??2）
n
f(x)
3
7.解分式不等式?aa?0的一般步骤是什么？
??
g(x)
（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）
36.
用“穿轴法”解高次不等式
——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
：x?1x?1x?2?0
如
??????
23
37. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
如
：对数或指数的底分a?1或0?a?1讨论
38. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）
如：解不等式|x?3|?x?1?1
例
（
解集为x|x?
?
）
?
?
2
?
?
1
?
1.会用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|证明
较简单的不等问题
4
如
：设f(
x)?x?x?13，实数a满足|x?a|?1
证：f(x)?f(a)?2(|a|?1)
求
2
f(x)(?fax)|?|(?x?13)?(a?a?13)|
证明：
|
22
?|(x?a)(x?a?1)|(
?
|x?a|?1)
?|x?a||x?a?1|?|x?a?1|
?|x|?|a|?1
又
∴
f(x)(?fa)?2|a|?2?2|a|?1
||x?|a||?x?a|?1，∴|||x?a|?1
??
（按不等号方向放缩）
40.
不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值
问题，或“△”问题）
如
：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值
a
?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值
a
?f(x)能成立?a?f(x)的最小值
例
如：对于一切实数x，若x?3?x?2?a恒成立，则a的取值范围是
（
设u?x?3?x?2，它表示数轴上到两定点?2和3距离之和
u
?3??2?5，∴5?a，即a?5
??
min
者：
x?3?x?2?x?3?x?2?55，∴a?）
或
????
41. 等差数列的定义与性质
定义：为a?a?d(d常数)，a?a?n?1d
??
n?1nn1
等
差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y
前n项
和S?
n
a?an
??
1n
nn?1
??
?na?d
1
22
性
质：a是等差数列
??
n
1）若m?n?p?q，则a?a?a?a；
（
mnpq
（
2）数列a，a，ka?b仍为等差数列；
??????
2n?12nn
S
，S?S，S?S??仍为等差数列；
n2nn3n2n
3）若
三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d；
（
m2m?1
（
4）若a，b是等差数列S，T为前n项和
，则?；
nnnn
aS
bT
m2m?1
5）a为等差数列?S?an
?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为
（
??
nn
2
0的二次函数）
2
的最值可求二次函数S?an?bn的最值；或者求出a中的正、负分界
S
??
nnn
项，即：
a?0
?
n
a??0，d0，解不等式组得S达到最大值时的n值。
当
?
可
1n
a?0
n?1
?
a
?0，d?0，由得S达到最小值时的n值。
当
?
可1n
a?0
n?1
?
a?0
?
n
如
：等差数列a，S?18，a?a?a?3，S?1，则n?
??
nnnn?1n?23
由a?a?a?3?3a?3，∴a?1
（
nn?1n?2n?1n?1
aa?
??
1
13
S?·3?
3a?1，∴a?
又
322
23
1
??
1n
?
?
?
a?ana?a·n
??
????
3
1n2n?1
n?27）
∴
?
S????18
n
222
42.
等比数列的定义与性质
a
a
n
n?1
n?1
定
义：?q（q为常数，q?0），a?aq
n1
等
比中项：x、G、y成等比数列?G?xy，或G??xy
na(q?1
)
?
1
?
n
前
n项和：S?（
要注意!）
a1?q
?
n
1
(q?1)
?
?q?
1
2
??
性
质：a是等比数列
??
n
1m）若?n?p?qaaa，则·?·a
（
mnpq
（
2）S，S?S，S?S??仍为等比数列
nn2n3n2n
4
5.由S求a时应注意什么？
nn
（
n?1时，a?S，n?2时，a?S?S）
11nnn?1
44.
你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法
如
：a满足a?a????a?2n?5?1?
??
n1
2
2n
n
111
2
22
1
解：
n
?1时，a?2?1?5，∴a?14
11
2
111
n
?2时，a?a????a?2n?1?5?2?
1
2
2n?1
n?1
2
22
1
??
1??2?得：a?2
n
n
2
14(n?1)
?
n?1a?
?
n
∴
a?2
∴
n
n
?1
2(n?2)
?
5
列a满足S?S?
a，a?4，求a
［练习］
数
??
nnn?1n?11n
3
S
n?1
注意到a?S?S代入得：?4
（
n?1n?1n
S
n
又S?4，∴S是等比数列
，S?4
??
1nn
n
an
n?2时，
a?S?S????3·4
nnn?1
n?1
如：数列a中，a?3，?，求a
（2）叠乘法
例
??
n1n
n?1
an?1
n
解：
aaa
12n?1
a
23nn
1
·???·??，∴?
aaa23nan
12n?11
a?3，∴a?
又
1n
3
n
（3）等差型递推公式
由
a?a?f(n)，a?a，求a，用迭加法<
br>nn?110n
?
n?2时，a?a?f(2)
21
?
a?a
?f(3)
?
32
两边相加，得：
?
????<
br>?
a?a?f(n)
?
nn?1
?
a
?af?(2)??f(3)???f(n)
n1
∴
a?a??f(2)f(3)????f(n)
n0
［练习］
数列a，aa?1，?3?an?2，求a
??
??
n1nn?1n
n?1
1
n
（a?3?1）
n
2
??
（4）等比型递推公式
a
?ca?dc、d为常数，cc?0，?1，d?0
?
nn?1
?
可
转化为等比数列，设a?x?ca?x
?
nn?1
?
?
a?ca?c?1x
?
nn?1
?
<
br>令(c?1)x?d，∴x?
?
d
?
?1
?
c
?
d
c?1
∴
a?
?是首项为，a?c为公比的等比数列
?
n1
c?1
d
<
br>∴a?
n
d
?
n
?
?1
?a?·c
??
1
?
c?1
?
c?1
?
?
d
?
n
d
?1
c?
?
?
c?1c?1
n?1
d
∴a?a?
?
n1
［练习］
数
列a满足
a?9，，3a?a?4求a
??
n1n?1nn
?
4
?
（a?8?
??
n
?
3
?
?1）
，求a
n
a?2
n
2a
n
（5）倒数法
例如：a?1，a?
1n?1
n
已知得：?
由
?2
111
a
111
??
∴??
a2a2a
a
n?
a
n
2
n?1nn
1
??
111
111
为等差数列，?1，公差为
1?n?1·?
?
n?1
?
??
???
??
aa2
a22
n1
??
n
2
a
n
?
∴
n?1
45. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
n
1
：a是公差为d的等差数列，求
如
??
?
n
aa
k?1
kk?1
??
11111??d?0
解：
由
??
?
?
?aa?ddaa
a·a
??
??
kkkk?1
kk?1
?
111
?
??
∴
??
??
aadaa
?
k?1
kk
k?1
?
k
?1k?1
1
??
?
11
??
11
??
1
11
?
?
?
????????
??????
?
da
aaaaa
??????
223nn?1
??
1
?
111
?
?
?
?
?
daa
??
1n?1
nn
111
和：1??????
［练习］
求
1?21?2?3
1?2?3????n
（
a??????，S?2?）
nn
n?1
1
（2）错位相减法：
和，可由S?qS求S，其中q为b的公比。
??
n
nnn
23n?1
如
：S?1?2x?3x?4x????nx?1?
n
234n?1n
x
·S?x?2x?3x?4x????n?1x?nx?2?
??
n
2n?1n
?
1???2?：1?xS?1?x?x????x?nx
??
n
若
a为等差数列，b为等比数列，求数列ab（差比数列）前n项
????
??
nnnn
nx
x
?1时，S??
n
2
?x
1?x
??
1
nn?1
??
?1时
，S?1?2?3????n?
x
n
2
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
1?x
??
n
n
?
S?a?a????a?a
?
n12n?1n
相加?
?
S?a?a????a?a
nnn?121
?
2
S?a?a?a?a????a?a??
??????
n1n2
n?11n
［练习］
x111
??????
已知f(x)?，则f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f?
??
????
2
??????
234
1?x
2
2
1xx
1
??
由fx()?f????1
（
??
?
2222
??
1
x
?x1?x1?x
1
??<
br>1?
??
??
x
111
??????
??????<
br>原式??f(1)f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f
∴
<
br>??????
??????
??????
234
??????
111?3）
????
22
11
1
??
??
??
x
2
2
46.
你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：
nn?1
????
?p1?r?p1?2r????p1?nr?pn?r??等差问题
S
??????
??
n
2
??
△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归
还本息的借款种类
）
若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x
元，满
足
n
p
()1?r?x1?r?x1?r????x1
?r?x
??????
nn
?
1?1?r1?r1
??
?<
br>??
?
?
x?x
??
1?1?rr
?
??
?
?
?
n?1n?2
∴x?
pr
?
1?r
?
n
?
1?r
?
n
?1
p——贷款数，r——利率，n——还款期数
47.
解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，
无序组合。
（
1）分类计数原理：N?m?m????m
12n
（
m为各类办法中的方法数）
i
分
步计数原理：N?m·m??m
12n
（
m为各步骤中的方法数）
i
（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
m
列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A.
n
n!
m
?nn?1n?2??n?m?1?m?n
A
????????
n
n?m!
??
定：0!?1
规
（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不
同元素中
取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为C.
n
nn?1??n?m?1
????
A
n!
n
???
C
m
m!m!n?m!
A
??
m
m
m
n
m
规
定：C?1
n
4）组合数性质：
（
0
C
?C，C?C?C，C?CC?????2
nnnnn?1nnn
48.
解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问
题分类法；至多至少问
题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
x?89，90，9
1，92，93，(i?1，2，3，4)且满足x?x?x?x，
i1234
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）
A. 24 B. 15 C.
12 D. 10
解析：可分成两类：
1）中间两个分数不相等，
（
mn?mmm?1m01nn
??
4
有
C?5（种）
5
（2）中间两个分数相等
x
?x?x?x
1234
相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。
∴共有5＋10＝15（种）情况
49. 二项式定理
n0n1n?12n?22rn?rrnn
(
a?b)?
Ca?Cab?Cab????Cab??Cb
nnnnn
rn?rr
二
项展开式的通项公式：T?Cab(r?0，1??n)
r?1n
r
C
为二项式系数（区别于该项的系数）
n
性质：
rn?r
（
1）对称性：C??Cr0，1，2，??，n
??
nn
01nn
（
2）系数和：C?C???C?2
nnn
135024n?1
C
?C?C???C?C?C???2
nnnnnn
（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
n
??
2
?1项，二项式系数为C；n为奇数时，(n?1)为偶
数，中间两项的二项式
??
n
??
2
n?1n?1
22
系数最大即第项及第?1项，其二项式系数为C?C
nn
22
11n?1n?1
n
如
：在二项式x?1的展开式中，系数最小的项系数为（用数字
??
表示）
∵＝n11
（
12
∴共有12项，
中间两项系数的绝对值最大，且为第?6或第7项
2
r11?rr
由
Cx(?1)，∴取r?5即第6项系数为负值为最小：
11
65
?
C??C??426
1111
如：1?2x?a?ax?ax?
???axx?R，则
又
???
0122004
?
22004
2004
a?a?a?a?a?a???（?a?a?用数字作答）
????????
（
令x?0，得：a?1
0
令
x?1，得：a?a?????a1
022004
∴
原式?2003a?a?a????a?2003?1?1?2004）
??
001200
4
50. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？
（
<
br>1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0
2）包含关系：A?B，“AB发
生必导致发生”称B包含A。
（
A B
3）事件的和（并）：A?B或A?B“A与B至少有一个发生”叫做A与B
（
的和（并）。
4）事件的积（交）：A·B或A?B“A与B同时发生”叫做A与B的积。
（
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。
A·B??
（6）对立事件（互逆事件）：
A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A
“
A
?A??，A?A??
（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立
事件。
与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。
A
51. 对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即
()A?
P
m
?
n
一次试验的等可能结果的总数
A包含的
等可能结果
2）若A、B互斥，则PA?B?P(A)?P(B)
（
??
（
3）若A、B相互独立，则PA·B?PA·PB
????
??
（
4）P(A)?1?P(A)
（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生
k次的概率：P(k)?Cp1?p
nn
??
kk
n?k
如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
2
?
C
4
2
?
P??
（1）从中任取2件都是次品；
?
1
?
2
C10
15
??
23
??
CC
10
46
P??
（2）从中任取5件恰有2件次品；
?
2
?
5
21
C
??
10
（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10
3
而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
C·4·64?
44
3
∴
∴
P??
m?C·46?4
3
3
125
10
（4）从中依次取5件恰有2件次品。
2
3
213
5223
解析：∵一件一件抽取（有顺序）
∴
nAm?，?CAA
1
0456
223
CAA
10
456
∴P??
4
5
21
A
10
223
分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
52. 抽样方法主要有：
简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征
是从总体中
逐个抽取；
系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；
分层
抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征
是每个个体被抽到的概
率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
53. 对总体分布的估计——用样本的频率作为
总体的概率，用样本
的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：
（
1）算数据极差x?x；
??
maxmin
（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。
频率
组距
中，频率?小长方形的面积?组距×
其
样
本平均值：x?xx?????x
??
12n
1
n
1
222
2
样
本
方差：S??xx?x?x????x?x
??????
12n
n
??
如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组
成此参
赛队的概率为____________。
（
C
10
C<
br>5
C
15
6
42
）
54.
你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。
?
2）向量的模——有向线段的长度，||a
（
?
??
（
3）单位向量|a|?1，a
00
?
?
|a|
a
??
（
4）零向量0，|0|?0
??
长度相等
?
（5）相等的向量?a?b
?
方向相同
?
在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
??????
b
∥a(b?0)?存在唯一实数?，使ba??
（7）向量的加、减法如图：
???
O
A?OB?OC
???
O
A?OB?BA
（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）
???
e
，e是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一
12
?????
实数对?、?，使得a??e??e，e、e叫做表示这一平面内所有向量
1212
1
212
的一组基底。
（9）向量的坐标表示
??
??
i
，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对
实数x，y，使得
???
a?xi?yj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：a?x，y，
即为向量的坐标
??
??
表示。
a?x，y，b?x，y
设
????
1122
a?b?x，yy?，y?x?y，x?y
则
??????
11121122
a??x，y??x，?y
?
????
1111
?
??
Ax，y，Bx，y
若
????
1122
?
AB?x?x，y?y
则
??
2121
?
22
AB|?
x?x?y?y，A、B两点间距离公式
|
????
2121
55. 平面向量的数量积
??????
（
1）a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a与b的数量积（或内积）。
?
为向量a与b的夹角，??0，?
??
B
??
b
O
?
?
?
a
D
A
数量积的几何意义：
?????
a
·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos?的乘积。
（2）数量积的运算法则
????
①·
ab?b·a
???????
②
(ab?)c?a·cb?·c
a·b?x，y·x，y?xx?yy
③
????
11221212
??????
??
注
意：数量积不满足结合律(a·b)·c?a·(b·c)
3）重要性质
：设a?x，yb，?x，y
（
????
1122
????
??
①
a⊥b?a·b?0?x·x?y·y?0
1212
??????????
②
a∥b?a·b?|a|·|b|或a·ba??||·|b|
???
?
a??b（b?0，?惟一确定）
??
xyxy?0
1221
③
a???||axy，|a·b|||?a·||b
??
2
??
22
1
2
1
????
④cos??
?
［练习］
xx?yy
a·b
1212
?
?
2222
x?y·x?y
|a|·|b|
1122
?
?
?
?
?
?
（
1）已知正方形ABCD，边长为1，AB?a
，BC?b，AC?c，则
???
|a?b?c|?
答案：
22
????
2）若向量a?x，1，b?4，x，当x?时a与b共线且方向相同
（
????
答案：2
??
3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?3b|?
（
o
??
答案：
13
56. 线段的定比分点
Px，y，Px，y，分点Px，y，设P、P是直线l上两点，P点在
设
??????
11122212
??
l上且不同于P、
P，若存在一实数?，使PP??PP，则?叫做P分有向线段
1212
?
PP所成的比（??0，P在线段PP内，??
0，P在PP外），且
121212
??x
?x
?
x
?x
12
12
x?
x?
?
?
??
1??
2
?
，P为PP中点时，
?
12
y??yy?y
22
??
y?
1
y?
1
?
?
1??2
?
?
：?ABC，Ax，y，Bx，y，Cx，y
如
??????
112233
12
则?
ABC重心G的坐标是
?
x?x?xy?y?y
??
3123
，
?
?
33
?
※.
你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
57.
立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线∥线???线∥面???面∥面
?
???线⊥线???
线⊥面???面⊥面????
线∥线???线⊥面???面∥面
判定性质
∥b，b?面
?，a???a∥面?
线面平行的判定：
a
a
b
??
线面平行的性质：
?
∥面?，??面?，????b?a∥b
A⊥
面?，AO为PO在?内射影，a?面?，则
三垂线定理（及逆定理）：
P
⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO
a
P
O
a
??
⊥b，a⊥c，b，cb??，?c?O?a⊥?
线面垂直：
a
a
O
α b c
面面垂直：
a
⊥面?，a?面???⊥?
面
?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?
α
a
l
β
⊥面?，b⊥面??ab∥
a
面
?⊥a，面?⊥a??∥?
a b
??
5
8. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
＝0时，b∥?或b??
?
o
o
（
3）二面角：二面角??l??的平面角??，01??80
o
（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱
l
，∴∠AOB为所求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。
证
明：cos??cos?·cos?
A
θ
O B
β
????????????????????????C?
α
（
?为线面成角，∠AOC=B?，∠OC=?）
（2）如图，正四棱柱ABCD—A<
br>1
B
1
C
1
D
1
中对角线BD
1<
br>＝8，BD
1
与侧面B
1
BCC
1
所成的
为
30°。
①求BD
1
和底面ABCD所成的角；
②求异面直线BD
1
和AD所成的角；
③求二面角C
1
—BD
1
—B
1
的大小。
D
1
C
1
A
1
B
1
H
G
D
C
A B
D
①arcsin；②60；③arcsin）
（
43
3
o
6
（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°
，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与
面PCD所成的锐二面角的大小。
P F
D C
A E
B
（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为
面PCD与面PAB
的交线??）
59 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转
化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，
或者用等积转
化法）。
如：正方形ABCD—A
1
B
1
C1
D
1
中，棱长为a，则：
（1）点C到面AB
1
C
1
的距离为___________；
（2）点B到面ACB
1
的距离为____________；
（3）直线
A
1
D
1
到面AB
1
C
1
的距离为___
_________；
（4）面AB
1
C与面A
1
DC<
br>1
的距离为____________；
（5）点B到直线A
1
C
1
的距离为_____________。
D C
A
B
D
1
C
1
A
1
B
1
60.
你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性
质？
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：
R
t?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE
它们各包含哪些元素？
1
2
?C·h'（C——底面周长，h'为斜高）
S
正棱锥侧
?底面积×高
V
锥
3
1
61. 球有哪些性质？
（
1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r??Rd
（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。
22
23
（
4）S?4?R，V??R
球球
4
3
（5）球内接长方体的
对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之
比为R：r＝3：1。
如
：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面
积为（ ）
A.3?B.4?
答案：A
C.33?D.6?
64. 熟记下列公式了吗？
y?y
?
?
?
21
（
1）l直线的倾斜角??0，?，k?tan????，x?x
???
?
12
??
x?x2
21
x，y，Px，y是l上两
点，直线l的方向向量a?1，k
P
??????
111222
?
（2）直线方程：
点
斜式：y?y?kx?x（k存在）
?
0
?
0
斜截式：y?kxb?
截
距式：??1
xy
ab
一
般式：Ax?By?C?0（A、B不同时为零）
（3）点Px，y到直线l
：Ax?By?C?0的距离d?
??
00
2
（4）l到l
的到角公式：tan??
12
Ax?By?C
00
A?B
22
k?k
1
1?kk
12
k?k
21
与l的夹角公式：tan??
l
12
1?kk
12
63. 如何判断两直线平行、垂直？
AB?AB
?
1221
?l∥l
?
12
AC?AC
1221
?
k
?k?l∥l（反之不一定成立）
1212
A
A?BB?0?l⊥l
121212
k
·k??1?l⊥l
1212
64.
怎样判断直线l与圆C的位置关系？
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
65. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？
联立方程组?关于x（或y）的一元二次方程?“?”
??0?相交；??0?相切；??0?相离
66. 分清圆锥曲线的定义 ?
椭圆?PF?PF?2a，2a?2c?FF
1212
?
?
第
一定义双曲线?PF?PF?2a，2a?2c?FF
?
121
2
?
抛物线?PF?PK
?
?
0
?e?1?椭圆；e?1?双曲线；e?1?抛物线
xyxy
6
9.与双曲线有??1相同焦点的双曲线系为?????0
??
2222
abab
68. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二
次项系数是否为零？
△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。
）
2
弦
长公式
PP?1?kx??xxx
??
4
??
121212
2
2<
br>?
1
?
?
?
1?
2
y?y?4yy
??
?
12
?
k
?
12
2222
?
?
?
?
69. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？
y
A P
2
O F x
P
1
B
2
y
?2pxp?0
??
通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。
70.
有关中点弦问题可考虑用“代点法”。
答案：
m
n
?
2
2
22
如
：椭圆mx?ny?1与直线y?1?x交于M、N两点，原点与MN中点连2m
线的斜率为，则的值为
2n
71. 如何求解“对称”问题？
（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线
C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。
（
由a?，b??x'?2a?x，y'?2b?y）
22
x?x'y?y'
要
证明A'2a?x，2b?y也在曲线C上，即f(x')?y'
只
??
AA'⊥l
?
2）点A、A'关于直线l对称?
（
?
AA'中点在l上
?
k·k??1
?
AA'l
?
?
AA'中点坐标满足l方程
?
72. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。
（直接法、定义法、转移法、参数法）
73. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为
截距的直线，在可行域内平移直线，
求出目标函数的最值。
高中数学4-4题目答案-高中数学必修四每一章节的知识结构图
高中数学选修12课后习题答案-高中数学最易失分知识点
高中数学教师如何打造高效课堂-高中数学百度云群组链接
高中数学所有知识点的目录-高中数学所有知识点有多少个
2018高中数学教研组工作总结-高中数学必修一阅读
高中数学预科公开课-高中数学选修郭化楠4
高中数学齐次化消元-高中数学知识整合框架
高中数学导数是必修几-高中数学重要的基础章节
-
上一篇：高中数学知识拓展篇
下一篇：重点高中数学参数方程知识点大全