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高中数学知识点总结54545教学文案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 06:50
tags:高中数学知识点

使用高中数学新教材的体会-行测与高中数学






高数学知识点总结
54545


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高中数学知识点总结
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无
序性”。
< br>如:集合A?
?
x|y?lgx
?
,B?
?
y|y? lgx
?
,C?
?
(x,y)|y?lgx
?
,A、B、C

中元素各表示什么?

2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

如:集合A?x|x
2
?2x?3?0,B?
?
x|ax?1
?


若B?A,则实数a的值构成的集合为
1
??

(答:
?
?1,0,
?


3
??
??

3. 注意下列性质:

(1)集合a
1
,a
2
,……,a
n
的所有子集的个数是 2
n



(2)若A?B?A?B?A,A?B?B;

(3)德摩根定律:

C
U
?
A?B
?
?
??
?
C
A
?
?
?
C
B
?

C
?
A?B
?
?
?
C
A
?
??
C
B
?

UUUUU
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)

如:已知关于x的不等式
ax?5
?0的解集为M,若3?M且5?M,求实数a

x
2
?a
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的取值范围。
(∵3?M,∴
a·3?5
?0
2
3?a
a·5?5
?0
5
2
?a

∵5?M,∴
5
??
?a?
?
1,
?
?< br>?
9,25
?


3
?
?

5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”(?),“且”(?)和

“非”(?).


若p?q为真,当且仅当p、q均为真


若p?q为真,当且仅当p、q至少有一个为真


若?p为真,当且仅当p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么?
(互为逆否关系的命题是等价命题。)
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗?映射f: A→B,是否注意到A中元素的任意性和
B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)
8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型?

例:函数y?
x
?
4?x
?
lg
?
x?3
?
2
的定义域是

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(答:
?
0,2
?
?
?
2,3
?
?< br>?
3,4
?


10. 如何求复合函数的定义域?

如:函数f(x)的定义域是a,b,b??a?0,则函数F(x)?f(x)?f (?x)的定

义域是_____________。

(答:a,?a)

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?

如:f
??
??
?
x?1?e
x
?x,求f(x).

?

令t?x?1,则t?0


∴x?t
2
?1


∴f(t)?e
t

∴f(x)?e
2
?1
?t
2
?1

x< br>2
?1
?x
2
?1
?
x?0
?

12. 反函数存在的条件是什么?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)
?
?
1?x

如:求函数f(x)?
?
2< br>?
?
?x
?1
?
x?0
?
的反函数

?
x?0
?
?
?
x?1
?
x?1
?


(答:f(x)?
?
?
?
??x< br>?
x?0
?
13. 反函数的性质有哪些?
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①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;

③设y?f(x)的定义域为A,值域为C,a?A,b?C,则f(a)=b?f< br>?1
(b)?a


?f
?1
?
f( a)
?
?f
?1
(b)?a,ff
?1
(b)?f(a)? b

14. 如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
如何判断复合函数的单调性?

??
(y?f(u),u? ?(x),则y?f
?
?(x)
?
(外层)(内层)


当内、外层函数单调性相同时f
?
?(x)
?
为增函数,否则f?
?(x)
?
为减函数。)


如:求y?log
1
?x
2
?2x的单调区间

2
??

(设u??x
2
?2x,由u?0则0?x?2


且log
1
u?,u??
?
x?1
?
?1,如图:

2
2
u




O 1 2 x



当x?(0,1]时,u?,又log
1
u?,∴y?

2

当x?[1,2)时,u?,又log
1
u?,∴y?

2
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∴……)
15. 如何利用导数判断函数的单调性?

在区间
?
a,b
?
内,若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于< br>
零,不影响函数的单调性),反之也对,若f'(x)?0呢?

< br>如:已知a?0,函数f(x)?x
3
?ax在
?
1,??
?
上是单调增函数,则a的最大

值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
?
a
??
a
?

(令f'(x)?3x
2
?a?3
?
x?
??
x?
?
?0

3
??
3
??

则x??
a
或x?
3
a

3
a
?1,即a?3

3

由已知f(x)在[1,??)上为增函数,则
∴a的最大值为3)
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称


若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论:
(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是< br>偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
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(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则f(0)?0。

a·2
x
?a?2
为奇函数,则实数a?

如:若f(x)?
x
2?1


(∵f(x)为奇函数,x?R,又0?R,∴f(0)?0

a·2
0
?a?2
?0,∴a?1)


2
0
?1
2
x


又 如:f(x)为定义在(?1,1)上的奇函数,当x?(0,1)时,f(x)?
x
4?1< br>求f(x)在
?
?1,1
?
上的解析式。

2
?x

(令x?
?
?1,0
?
, 则?x?
?
0,1
?
,f(?x)?
?x

4?1
2
?x
2
x
??

又f(x)为奇函数,∴f(x)??
?x

4?11?4
x
?
2
x
?
?
x
?
4?1

又f(0)?0,∴f(x)?
?
x
?
2
?
?
4
x
?1
x?(?1,0)
x?0
x?
?
0,1?


17. 你熟悉周期函数的定义吗?

(若 存在实数T(T?0),在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x),则f(x )为周期

函数,T是一个周期。)

如:若f
?
x?a
?
??f(x),则


(答:f(x)是周期函数,T?2a为f(x)的一个周期)


又如:若f(x)图象有两条对称轴x?a,x?b
?
?
?

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即f(a?x)?f(a?x),f(b?x)?f(b?x)


则f(x)是周期函数,2a?b为一个周期

如:

18. 你掌握常用的图象变换了吗?

f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称


f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称


f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称


f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称


f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称


f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a,0)对称

左移a(a?0)个单位
y?f(x?a)

将y?f(x)图象? ?????????
右移a(a?0)个单位
y?f(x?a)
上移b(b?0)个单 位
y?f(x?a)?b

????????

??
y?f(x?a)?b
下移b(b?0)个单位
注意如下“翻折”变换:
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f(x)???f(x)
f(x)???f(|x|)


如:f(x)?log
2
?
x?1
?

< br>作出y?log
2
?
x?1
?
及y?log
2
x?1的图象

y

y=log
2
x


O 1 x



19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
(k<0) y

(k>0)


y=b
O’(a,b)

O x

x=a


(1)一次函数:y?kx?b
?
k?0
?


(2)反比例函数:y?
的双曲线。

kk
?
k? 0
?
推广为y?b?
?
k?0
?
是中心O'(a,b)
xx?a
b
?
4ac?b
2
?
(3)二次函 数y?ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?
x?
?< br>?图象为抛物线

??
2a4a
2
2
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?
b4ac?b
2
?
b

顶点坐标为
?
?,
?
,对称轴x??

4a
?
2a
?
2a

开口方向:a?0,向上,函数y
min
4ac?b
2
?

4a

a?0,向下,y
max
4ac?b
2
?

4a
应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二
次方程
ax
2
?bx?c?0,??0时,两根x
1
、x
2
为二次函数y?a x
2
?bx?c的图象与x轴

的两个交点,也是二次不等式ax
2
?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间[m,n]上的最值。
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
?
??0
?
?
b
2

如:二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k?
?
??k

?
2a
?
?
f(k)?0
y


(a>0)


O k x
1
x
2
x


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一根大于k,一根小于k?f(k)?0


(4)指数函数:y?a
x
?
a?0,a?1
?

(5)对数函数y?log
a
x
?
a?0,a?1
?

由图象记性质! (注意底数的限定!)
y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1

O 1 x

(0

(6)“对勾函数”y?x?
k
?
k?0
?

x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?
y



?k


O
k


x




20. 你在基本运算上常出现错误吗?

指数运算:a
0
?1(a?0),a
?p
?

a
m
n
1
(a?0)

p
a
?a
n
m
(a?0),a
?
m
n
?
1
n
a
m
(a?0)

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对数运算:log
a
M·N?l og
a
M?log
a
N
?
M?0,N?0
?


log
a
M1
?log
a
M?log
a
N,log
a
n
M?log
a
M

Nn

对数恒等式:a
log
a
x
?x


对数换底公式:log
a
b?
log
c
b
n
?l og
a
m
b
n
?log
a
b

log
c
am
21. 如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)

如:(1)x?R,f(x)满足f(x?y)?f(x) ?f(y),证明f(x)为奇函数。


(先令x?y?0?f(0)?0再令y??x,……)


(2)x?R,f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y),证明f(x)是偶函数。


(先令x?y??t?f
?
(?t)(?t)
?
? f(t·t)


∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)


∴f(?t)?f(t)……)


(3)证明单调 性:f(x
2
)?f
?
x
2
?x
1
??x
2
?……

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗?
(二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,
利用函数单调 性法,导数法等。)
如求下列函数的最值:

(1)y?2x?3?13?4x

??
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(2)y?
2x?4

x?3
2x
2

(3)x?3,y?

x?3

(4)y?x?4?9?x< br>2
设x?3cos?,??
?
0,?
?


(5)y?4x?
??
9
,x?(0,1]

x
23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α,半径为R的弧长公式和扇形
面积公式吗?

(l??·R,S

?
11
l·R??·R
2
)< br>
22


R


1弧度
O R

24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义

sin??MP,cos??OM,tan??AT

y
T
B S

P


α

O





M
A x




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如:若?
?
???0,则sin ?,cos?,tan?的大小顺序是
8

?
?
?

又如:求函数y?1?2cos
?
?x
?
的定义域和值域。

?
2
?
?
?
?

(∵1?2cos
?
?x
?
)?1?2sinx?0

?
2
?

∴sinx?
2
,如图:

2


∴2k??
5??
?x?2k??
?
k?Z
?
,0?y?1?2

44
25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区
间、对称点、对称轴吗?


sinx?1,cosx?1


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y
y?tgx




x
?
?


?


O
?

2
2




?
?
?

对称点为
?
k,0
?
,k?Z

?
2
?

??
??

y?sinx 的增区间为
?
2k??,2k??
?
?
k?Z
?

22
??
?3?
??

减区间 为
?
2k??,2k??
?
?
k?Z
?

22
??

图象的对称点为
?
k?,0
?
,对称轴为x?k??

y?cosx的增区间为
?
2k?,2k???
?
?
k?Z
?


减区间为
?
2k??? ,2k??2?
?
?
k?Z
?

?
?
k?Z
?

2
?
??

图象的对称点为
?
k??,0
?
,对称轴为x?k?
?k?Z
?

??
2
??
??

y?tanx的增区间为
?
k??,k??
?
k?Z

?
22
?

26. 正弦型函数y=Asin
?
?x+?
?
的图象和性质要熟记。
?
或y?Acos
?
?x ??
?
?


(1)振幅|A|,周期T?
2?

|?|

若f< br>?
x
0
?
??A,则x?x
0
为对称轴。

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若f
?
x
0
?
?0,则
?
x
0
,0
?
为对称点,反之也对。


(2)五点作图:令?x??依次为0,
(x,y)作图象。
?3?
,?,,2?,求出x与y,依点

22

(3)根据图象求解析式。(求A、?、?值)


?
?(x
1
)???0
?

如图列出
?
?

?(x)???
2
?
2
?

解条件组求?、?值


?正切型函数y?Atan
?
?x??
?
,T?
?

|?|
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数
值,再判定角的范围。
?
?
23?
???

如:cos
?
x?
?
??,x?
?
?,
?
,求x值。

?
6
?
22
??

(∵??x?
3 ?7??5??5?13
,∴?x??,∴x??,∴x??)

26636412
28. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了
吗?
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如:函数y?sinx?sin|x|的值域是


(x?0时,y? 2sinx?
?
?2,2
?
,x?0时,y?0,∴y?
?
?2,2
?


29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗?
(平移变换、伸缩变换)
平移公式:
?
?
x'?x?h
a?(h,k)

(1)点P(x,y)?????

??P'(x',y'),则
?
y'?y?k
平移至
?

(2)曲线f(x,y)?0沿向量a?(h,k)平移后的方程为f(x?h,y?k)?0

?
??

如:函数y?2sin
?
2x?
?
?1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的

?
4
?
?
图象?
?
?
?
?1
?
?
?
?
2倍

(y?2sin?
2x?
?
?1?
横坐标伸长到原来的
??????????y ?2sin
?
2
?
x
?
?
?
?1

?
4
?
?
?
2
?
4
?
?
?
??
1个单位
4
?2sin
?
x?
?< br>?1????????y?2sinx?1?
上平移
???????y?2sinx
?
4
?
左平移个单位
1
2
?y?sinx)

??????????
纵坐标缩短到原来的倍
30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?

如:1?sin
2
? ?cos
2
??sec
2
??tan
2
??tan?·co t??cos?·sec??tan
?sin
?

4
?
?cos0?……称为1的代换。

2
?

“k·??”化为?的三角函数——“奇变,偶不变,符号看象限”,

2
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“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

如:cos
9?
?7?
?
?tan
?
?
?
?sin
?
2 1?
?
?
?
6
?
4


C. 非负值 D. 正值

又如:函数y?
A. 正值或负值
sin??tan?
,则y的值为
cos??cot?
B. 负值 sin?
sin
2
?
?
cos??1
?
cos ?

(y???0,∵??0)

cos?
cos
2
?
?
sin??1
?
cos??
sin?
sin? ?
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗?
理解公式之间的联系:
令???
??sin2??2sin?cos?
< br>sin
?
???
?
?sin?cos??cos?sin????令???
cos
?
???
?
?cos?cos??sin?si n??????cos2??cos
2
??sin
2
?

t an
?
???
?
?
tan??tan?
22

?2cos??1?1?2sin??

1?tan?·tan?
1?cos2?
2

1?cos2?
sin
2
??
2
cos
2
??tan2??
2tan?

1?tan
2
?



asin??bcos??a
2
?b
2
sin
?
???
?
,tan??
?

sin??cos??2sin
?
??
?
?
?
?

4
?
b

a
?
??

sin??3cos??2sin
?
??
?

?
3
?
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应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求:项数最少、 函数种类最
少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值。)
具体方法:

(1)角的变换:如??
?
???
?
??,
(2)名的变换:化弦或化切
(3)次数的变换:升、降幂公式
(4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。
???
?
?
???
?
?
?
??
?
?
?
??
?
……

??
22
??
2
sin?cos?2
?1,tan
?
???
?
??,求tan
?
??2??
的值。

1?cos2?3
sin?cos?cos?1

(由已知得:

??1,∴tan??
2sin?2
2sin
2
?
2

又tan
?
???
?
?

3
21
?
tan
?
???
?
?tan?
32
?
1


∴tan
?
??2?
?
?tan?
?
???
?
??
?
??
1?tan
?
???
?
·tan?
1?
2
·
1
832

如:已知
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解
斜三角形?
b
2
?c
2
?a
2

余弦定理:a?b?c?2bccosA?cosA?

2bc
222
(应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。)
?
a?2RsinA
abc
?
???2R?
?
b?2Rs inB

正弦定理:
sinAsinBsinC
?
c?2R sinC
?
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S
?
?
1
a·bsinC

2

∵A?B?C??,∴A?B???C


∴sin
?
A?B
?
?sinC,sin

如?ABC中,2sin
2

(1)求角C;

c
2

(2)若a?b?,求cos2A?cos2B的值。

2
22
A?BC
?cos

22
A?B
?cos2C?1

2

((1 )由已知式得:1?cos
?
A?B
?
?2cos
2
C?1 ?1


又A?B???C,∴2cos
2
C?cosC?1?0

1
或cosC??1(舍)

2
?

又0?C??,∴C?

3
1

(2)由正弦定理及 a
2
?b
2
?c
2
得:

2
?3

2sin
2
A?2sin
2
B?sin
2
C?sin
2
?

34
3

1?cos2A?1?cos2B?

4
3

∴cos2A?cos2B??)

4

∴cosC?
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
?
??
?

反正弦:arcsinx?
?
? ,
?
,x?
?
?1,1
?

2
??
2

反余弦:arccosx?
?
0 ,?
?
,x?
?
?1,1
?

?
??
?

反正切:arctanx?
?
? ,
?

?
x?R
?

?
22
?
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34. 不等式的性质有哪些?

(1)a?b,
c?0?ac?bc
c?0?ac?bc


(2)a?b,c?d?a?c?b?d


(3)a?b?0,c?d?0?ac?bd


(4)a?b?0?
1111
?,a?b?0??

abab

(5)a?b?0?a
n
?b
n

n
a?
n
b


(6)|x|?a
?
a?0
?
??a?x?a,|x|?a?x??a或x?a


如:若
11
??0,则下列结论不正确的是(
ab
?b
2< br>



A.a
2
?b
2

C.|a|?|b|?|a?b|
答案:C
35. 利用均值不等式:

D.
ab
??2

ba
?
a?b
?
a
2
?b
2
?2aba,b?R
?
;a ?b?2ab;ab?
??
求最值时,你是否注

?
2
?< br>??
2
意到“a,b?R
?
”且“等号成立”时的条件,积(ab)或 和(a?b)其中之一为定

值?(一正、二定、三相等)
注意如下结论:
a
2
?b
2
a?b2ab

??ab?a,b?R
?

22a?b
??
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当且仅当a?b时等号成立。


a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca
?
a,b?R
?


当且仅当a?b?c时取等号。


a?b?0,m?0,n?0,则

bb?ma?na
??1??

aa?mb?nb
4

如:若x?0,2?3x?的最大值为
x

?

(设y?2?
?
3x?
?
4
?
?
?2?212? 2?43

x
?


当且仅当3x?
423
,又x?0,∴x?时,y
max
?2?43)

x3

又如:x?2y?1,则2
x
?4
y
的最小值为


(∵2
x
?2
2y
?22
x?2y
?22
1
,∴最小值为22)

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗?
(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)
并注意简单放缩法的应用。

如:证明1?

(1?
111
??…??2

222
23n
111111
??……??1???……?

1?22?3n?1n
2
2
3
2
n
2
??
?1?1?

11111
???……??
223n?1n
1< br>?2??2)
n

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37.解分式不等式
f(x)
?a< br>?
a?0
?
的一般步骤是什么?

g(x)
(移项通分,分子分母因式分解,x的系数变为1,穿轴法解得结果。)
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开始


如:
?
x?1
??
x?1
??
x?2
?
? 0

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如:对数或指数的底分a?1或0?a?1讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解?
(找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。)

例如:解不等式|x?3|?x?1?1

1
??

(解集为
?
x|x?
?


2
??
23

41.会用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|证明较简单的不等问题


如:设f(x)?x
2
?x?13,实数a满足|x?a|?1


求证:f(x)?f(a)?2(|a|?1)

证明:
|f(x) ?f(a)|?|(x
2
?x?13)?(a
2
?a?13)|

?|(x?a)(x?a?1)|(?|x?a|?1)

?|x?a||x?a?1|?|x?a?1|

?|x|?|a|?1
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又|x|?|a|?|x?a|?1,∴|x|?|a|?1


∴f(x)?f(a)?2|a|?2?2
?
|a|?1
?

(按不等号方向放缩)
42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或
“△”问题)

如:a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值


a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值


a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值


例如:对于一切实数x,若x?3?x?2?a恒成立,则a的取值范围是


(设u?x?3?x?2,它表示数轴上到两定点?2和3距离之和


u
min
?3?
?
?2
?
?5,∴5?a,即a?5

或者:x?3?x?2?
?
x?3
?
??
x?2
?
?5,∴a?5)

43. 等差数列的定义与性质

定义:a
n?1
?a
n
?d(d为常数),a
n
?a
1
?
?
n?1
?d


等差中项:x,A,y成等差数列?2A?x?y


前n项和S
n
?
?
a
1
?an
?
n
?na
2
1
?
n
?
n ?1
?
2
d


性质:
?
a
n
?
是等差数列

< br>(1)若m?n?p?q,则a
m
?a
n
?a
p
?a
q


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(2)数列
?
a
2n? 1
?

?
a
2n
?

?
kan
?b
?
仍为等差数列;


S
n,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
… …仍为等差数列;


(3)若三个数成等差数列,可设为a?d,a,a?d;


(4) 若a
n
,b
n
是等差数列S
n
,T
n
为前 n项和,则
a
m
S
2m?1
?;

b
m
T
2m?1

(5)
?
an
?
为等差数列?S
n
?an
2
?bn(a,b为常数 ,是关于n的常数项为

0的二次函数)

S
n
的 最值可求二次函数S
n
?an
2
?bn的最值;或者求出
?
a
n
?
中的正、负分界

项,即:
?
a
n
?0

当a
1
?0,d?0 ,解不等式组
?
可得S
n
达到最大值时的n值。

a?0
?
n?1
?
a?0

当a
1
?0,d?0,由
?
n
可得S
n
达到最小值时的n值。
a?0
?
n?1

如:等差数列
?
a
n
?
,S
n
?18,a
n
?a
n?1?a
n?2
?3,S
3
?1,则n?

(由a< br>n
?a
n?1
?a
n?2
?3?3a
n?1
?3,∴a
n?1
?1


又S
3
?

?
a
1
?a
3
?
·3?3a
2
2
?1,∴a
2
?
1

3
?
1
?
?
?1
?
n
a
1
?a
n
?
n
?
a
2
?a
n?1
?
·n
?
3
?
?
???18

∴S
n
?
222

?n?27)

44. 等比数列的定义与性质
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定义:
a
n?1
?q( q为常数,q?0),a
n
?a
1
q
n?1

a
n

等比中项:x、G、y成等比数列?G
2
?xy,或G??xy

?
na
1
(q?1)

前n项和:S
?n
?
?
a
?
1
?
1?q
n
?
(要注意!)
?
1?q
(q?1)


性质:
?
a
n
?
是等比数列

< br>(1)若m?n?p?q,则a
m
·a
n
?a
p
·a
q


(2)S
n
,S
2n
?S< br>n
,S
3n
?S
2n
……仍为等比数列


45.由S
n
求a
n
时应注意什么?

< br>(n?1时,a
1
?S
1
,n?2时,a
n
?Sn
?S
n?1


46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗?
例如:(1)求差(商)法

如:
?
a
?
满足
1
2
a
11
n 1
?
2
2
a
2
?……?
2
n
a< br>n
?2n?5
解:
n?1时,
1
2
a
1
?2?1?5,∴a
1
?14


n?2时,< br>1
2
a
11
1
?
2
2
a
2
?……?
2
n?1
a
n?1
?2n?1?5

?1???2?得:
1
2
n
a
n
?2


∴a
n?1
n
?2


∴ a
?
14(n?1)
n
?
?
?
2
n?1< br>(n?2)

[练习]
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?1?

?2?


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5

数列
?
a
n
?
满足S
n
?S
n? 1
?a
n?1
,a
1
?4,求a
n

3

(注意到a
n?1
?S
n?1
?Sn
代入得:
S
n?1
?4

S
n

又S
1
?4,∴
?
S
n
?
是等比数列,S
n
?4
n


n?2时,a
n
?S
n
?S
n?1
?……?3·4
n?1

(2)叠乘法

例如:数列
?
a
n
?
中, a
1
?3,
a
n?1
n
?,求a
n

a
n
n?1
解:
a
2
aaa
12 n?11
·
3
……
n
?·……,∴
n
?

a
1
a
2
a
n?1
23na
1
n

又a
1
?3,∴a
n
?
3

n
(3)等差型递推公式

由a
n
?a< br>n?1
?f(n),a
1
?a
0
,求a
n
, 用迭加法

n?2时,a
2
?a
1
?f(2)
?< br>?
a
3
?a
2
?f(3)
?

?
两边相加,得:

…………
?
a
n
?a
n?1
?f(n)
?
?

a
n
?a
1
?f(2)?f(3)?……?f(n)


∴a
n
?a
0
?f(2)?f(3)?……?f(n)

[练习]

数列
?
a
n
?
,a< br>1
?1,a
n
?3
n?1
?a
n?1
?n?2
?
,求a
n


(a
n
?
1
n
3?1)

2
??
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(4)等比型递推公式

a
n
?ca
n? 1
?dc、d为常数,c?0,c?1,d?0


可转化为等比数列 ,设a
n
?x?c
?
a
n?1
?x
?


?a
n
?ca
n?1
?
?
c?1
?
x


令(c?1)x?d,∴x?
??
d

c?1
d
?
d
?
,c为公比的等比数列


?
a
n
?
?
是首项为a
1
?< br>c?1
?
c?1
?

∴a
n
?
dd
??
n?1
?
?
a
1
?
?
·c

c?1
?
c?1
?
d
?
n?1d
?

∴a
n
?
?
a
1
?

?
c?
?
c?1
?
c?1
[练习]

数列
?
a
n
?
满足a
1
?9,3a
n?1
?a
n
?4,求a
n

?
4
?

(a
n
?8
?
?
?
?
3
?
(5)倒数法
n?1
?1)


例如:a
1
?1,an?1
?
1
a
n?1
2a
n
,求a
n

a
n
?2

由已知得:
1
an?1
?
a
n
?2
11
??

2a
n
2a
n

∴?
11
?

a
n
2
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?
?
?
1
?< br>a
?
为等差数列,
11
?
n
?
a
? 1,公差为

1
2

?
1
a
?1?
?
n?1
?
·
1
?
1
?
n?1< br>?

n
22

∴a
2
n
?
n?1

47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗?
例如:(1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为
相反数的项。
n

如:
?
a
n
?
是公差为d的等 差数列,求
?
1

k?1
a
k
a
k?1
解:

1< br>a·a
?
1
?
1
?
?
1
?
1
?
?
?
d?0
?

kk?1
a
k
?
a
k
?d
?
d
?
a
k
a
k?1
?
n


?
1
n
?
k?1
a
k
a
k?1
?
1
?
?
1
?
1
?
?

k?1
d
?a
k
a
k?1
?
?
1
?
?
1 1
??
11
??
11
?

d
?
?
?
?
a
?
?
?
?
?
?
?……?
?
?
?
?
?
1a
2
??
a
2
a
3
??
a
n
a
n?1
?
?
?
1
?
d
?
1
?
a
?
1
?
?
1
a
n?1< br>?
[练习]

求和:1?
111
1?2
?< br>1?2?3
?……?
1?2?3?……?n


(a< br>n
?……?……,S
1
n
?2?
n?1


(2)错位相减法:
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?
a
n
?< br>为等差数列,
?
b
n
?
为等比数列,求数列
?
a
n
b
n
?
(差比数列)前n项

和,可由S< br>n
?qS
n
求S
n
,其中q为
?
b
n
?
的公比。


如:S
n
?1?2x?3 x
2
?4x
3
?……?nx
n?1
?1?

?2?

x·S
n
?x?2x
2
?3x
3
?4x
4
?……?
?
n?1
?
x
n?1
?nx
n

?1???2?:
?
1 ?x
?
S
n
?1?x?x
2
?……?x
n?1?nx
n


x?1时,S
n
1?x
?
nx
?
??
n
n
?
1?x
?
2< br>1?x

n
?
n?1
?
2

x?1时,S
n
?1?2?3?……?n?

(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

S
n
?a
1
?a
2
?……?a
n?1
?a
n
?
?
?
相加

S
n
?a
n
?a
n?1
?……?a
2
?a
1
?
?

2S
n
?
?
a
1
?a
n
?
?
?
a
2
?a
n?1
?
?……?
?a
1
?a
n
?
……

[练习]
x< br>2
?
1
??
1
??
1
?
,则f(1 )?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f

已知f(x)?
????? ?
?
2
?????
4
?
23
1?x

x
?
1
?
?

(由f(x)?f
? ?
?
?
x
?
1?x
2
2
x
21
???1

222
1?x1?x
?
1
?1?
??
?
x
?
?
1
?
??
?
x
?
2
?
?
1
?
??
?
1
?
??
?
1
?
?

∴原式?f (1)?
?
f(2)?f
??
?
?
?
f(3)?f
??
?
?
?
f(4)?f
??
?

?
2
?
??
?
3
?
??
?
4< br>?
??

?
11
?1?1?1?3)

22
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48. 你知道储蓄、贷款问题吗?
△零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:
若每期存入本金p元,每期利率为r,n期后,本利和为:
n
?
n?1
?
??

S
n
?p
?
1?r
?
?p
?
1?2r
?
?…… ?p
?
1?nr
?
?p
?
n?r
?
……等 差问题

2
??
△若按复利,如贷款问题——按揭贷款的每期还款计 算模型(按揭贷款—
—分期等额归还本息的借款种类)
若贷款(向银行借款)p元, 采用分期等额还款方式,从借款日算起,一
期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,第n次还清。如 果每期利率为r
(按复利),那么每期应还x元,满足

p(1?r)
n
?x
?
1?r
?
n?1
?x
?
1?r
?
n?2
?……?x
?
1?r
?
?x
< br>n
?
1?
?
1?r
?
n
?
1?r< br>?
?1
?

?x
?

?
?x
1?1?rr
??
??
??

∴x?
pr
?
1?r
?
n
?
1?r
?< br>n
?1

p——贷款数,r——利率,n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组
合。

(1)分类计数原理:N?m
1
?m
2
?……?m
n


(m
i
为各类办法中的方法数)


分步计数原理:N?m
1
·m
2
……m
n

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(m
i
为各步骤中的方法数)

(2)排列:从n个不同元 素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺
序排成一
列,叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列,所有排列的个数记为A
m
n
.


A
m
n
?n
?
n?1
??
n?2
?
……
?
n?m?1
?
?

规定:0!?1

(3)组合:从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并组成一组,叫做
从n个不< br>同元素中取出m个元素的一个组合,所有组合个数记为C
m
n
.

n!
?
m?n
?

n?m!
??
n
?
n?1
?
……
?
n?m?1
?
A
m< br>n!
??

C?
n

m
m!m!?
n?m
?
!
A
m
m
n

规定:C
0
n
?1


(4)组合数性质:

n?mm?101nn
,C
m
?C
m

C< br>m
n
?C
nn
?C
nn?1
,C
n
?C
n
?……?C
n
?2

50. 解排列与组合问题的规律是:
相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问 题分类
法;至多至少问题间接法;相同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐
一排出结果。
如:学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩
x
i
?89, 90,91,92,93,(i?1,2,3,4)且满足x
1
?x
2
?x< br>3
?x
4


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??


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则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( )
A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
解析:可分成两类:

(1)中间两个分数不相等,


4
?5(种)

有C
5

(2)中间两个分数相等

x
1
?x
2
?x
3
?x
4

相同两数分别取90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有3,4,3
种,∴有10种。
∴共有5+10=15(种)情况
51. 二项式定理
n1n?1n ?22n?rrn
b?C
2
b?…?C
r
b?…?C
n
(a?b)
n
?C
0
n
a?C
na
n
a
n
a
n
b


二项展开式的通项公式:T
r?1
?C
r
n
a
n?r
b
r
(r?0,1……n)


C
r
n
为二项式系数(区别于该项的系数)

性质:
n?r

(1)对称性:C
r
?Cr?0,1,2,……,n

nn
1nn

(2)系数和:C
0
n
?C< br>n
?…?C
n
?2

35024n?1

C
1

n
?C
n
?C
n
?…?C
n
?C
n
?C
n
?…?2
??
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(3)最值:n为偶数时,n+1为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第
?
n
?
2
;n为奇数时,(n?1)为偶数,中间两项的二项式
?
?1
?< br>项,二项式系数为C
n
?
2
?

n?1n?1
系数最大即第项及第?1项,其二项式系数为C
n
2
?C
n
2
22
n?1n?1
n

如:在二项式
?
x?1
?
的展开式中,系数最小的项系数为
表示)

(∵n=11


∴共有12项,中间两项系数的绝对值最大,且为第
11
(用数字

12
?6或第7项

2
r
x
11?r
(? 1)
r
,∴取r?5即第6项系数为负值为最小:

由C
11
65
??C
11
??426

?C
11

又如:
?
1?2x
?
2 004
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
?……?a
2004
x
2004
?
x?R
?
,则

(用数字作答)
?
a
0
?a
1
?
?
?
a
0
?a
2
?
?
?
a0
?a
3
?
?……?
?
a
0
?a2004
?
?


(令x?0,得:a
0
?1


令x?1,得:a< br>0
?a
2
?……?a
2004
?1


∴原式?2003a
0
?a
0
?a
1
?……?a< br>2004
?2003?1?1?2004)

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗?

(1)必然事件?,P??)?1,不可能事件?,P(?)?0


(2)包含关系:A?B,“A发生必导致B发生”称B包含A。

??
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A B




(3)事件的和(并):A?B或A?B“A与B至少有一个发生”叫做A与B

的和(并)。


(4)事件的积(交):A·B或A?B“A与B同时发生”叫做A与B的积。


(5)互斥事件(互不相容事件):“A与B不能同时发生”叫做A、B互
斥。

A·B??


(6)对立事件(互逆事件):

“A不发生”叫做A发生的对立(逆)事件,A


A?A??,A?A??

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(7)独立事件:A发生与否对B发生的概率没有影响,这样的两个事件叫
做相互独立事件。

A与B独立,A与B,A与B,A与B也相互独立。

53. 对某一事件概率的求法:
分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即

P(A)?
A包含的等可能结果m
?

一次试验的等可能结果的总数
n

(2)若A、B互斥,则P
?
A?B
?
?P(A)?P(B)


(3)若A、 B相互独立,则PA·B?P
?
A
?
·P
?
B
?< br>

(4)P(A)?1?P(A)

(5)如果在一次试验中A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中A
恰好发生
k
k次的概率:P
n
(k)?C
k
p
?
1?p
?< br>n
n?k
??

如:设10件产品中有4件次品,6件正品,求下列事件的概率。
(1)从中任取2件都是次品;
?
C
2
2
?

?
P
1
?
2
4
?
?

C
10
15
??
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(2)从中任取5件恰有2件次品;
3
?
C
2
10
?
4
C
6

?
P
2
?
5
?
?

21
?
C
10
?
(3)从中有放回地任取3件至少有2件次品;
解析:有放回地抽取3次(每次抽1件),∴n=10
3

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
213

∴m?C
2
3
·46?4

23
C
2
44
3
·4·6?4
?

∴P
3
?

125
10
3
(4)从中依次取5件恰有2件次品。
解析:∵一件一件抽取(有顺序)
523
,m?C
2
AA

∴n?A
10456

23
C
2
10
4< br>A
5
A
6

∴P
4
?

?
5
21
A
10
分清(1)、(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复
排列问题。
54. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体
个数较少时,它的特征是 从总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较
多时,它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一 个;分层抽样,主要
特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特征是每
个个体被抽到的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。
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55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率, 用样本的期望
(平均值)和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法:

(1)算数据极差
?
x
m ax
?x
min
?


(2)决定组距和组数;
(3)决定分点;
(4)列频率分布表;
(5)画频率直方图。

其中,频率?小长方形的面积?组距×

样本平均值:x?
频率

组距
1
x
1
?x
2
?……?x
n

n
1
222

样本方差:S
2
?
?
x
1
?x
?
?
?
x
2
?x
?
?……?
?
x
n
?x
?

n
??
??
如:从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛,如 果按性别分层随机
抽样,则组成此参赛队的概率为____________。
42
C
10
C
5


6


C
15
56. 你对向量的有关概念清楚吗?
(1)向量——既有大小又有方向的量。

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(2)向量的模——有向线段的长度,|a|

?
?

(3)单位向量|a
0
|?1,a
0
?

(4)零向量0,|0|?0

??
??
a
|a|
?

?
长度相等
??

(5)相等的向量?
?
a?b

?
方向相同
在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。
(6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b?0)?存在唯一实数?,使b??a

(7)向量的加、减法如图:
??????

???

OA?OB?OC

???

OA?OB?BA

(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)

e
1
,e
2
是平面内的两个不共线向量,a为该平面任一向量,则存在唯一

? ??
实数对?
1
、?
2
,使得a??
1
e
1
??
2
e
2
,e
1
、e
2
叫做 表示这一平面内所有向量

的一组基底。
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?????


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(9)向量的坐标表示


i,j是一对互相垂直的单位向量,则有且只有一对实数x,y,使得
?
??
a?xi?yj,称(x,y)为向量a的坐标,记作:a?
?
x ,y
?
,即为向量的坐标
????

表示。
设a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?x
2
,y
2
?


则a?b?
?
x
1
,y
1
?
?
?
y
1
,y
2
?
?
?
x
1
?y
1
,x
2
?y
2
?


?a??
?< br>x
1
,y
1
?
?
?
?x
1
,?y
1
?


若A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?

?

则AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

?

|AB|?
?
??
??
?
x
2
?x
1< br>?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
,A、B两点间距离公式

57. 平面向量的数量积

(1)a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a与b的数量积(或内积)。


?为向量a与b的夹角,??
?
0,?
?

??
??????
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B
?

b

O
?

?
a

D A

数量积的几何意义:

?
?
b等于|
?
a|与
?
b在
?
a 的方向上的射影|b|cos?的乘积。
(2)数量积的运算法则


?

?
b?
?

?
a


②(
?
a?
?
b)
?
c?
?

?
c?
?

?
c



?

?
b?
?
x
1
,y1
?
·
?
x
2
,y
2
?
?x
1
x
2
?y
1
y
2

注意:数量积不满足结合律(
?

?
b)·
?
c?< br>?
a·(
?

?
c)


(3)重要性质:设
?
a?
?
x
?
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?



?
a⊥
?
b?
?

?
b?0?x
1
·x
2
?y
1
·y
2?0



?
a∥
?
b?
?< br>a·
?
b?|
?
a|·|
?
b|或
?

?
b??|
?
a|·|
?
b|


?
?
a??
?
b(
?
b?0,?惟一确定)


?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0



?
2
a ?|
?
a|
2
?x
2
?y
2
,|
????
11
a·b|?|a|·|b|

??

④ cos??
a·b
1
x
2
?y
1
y
2|
?
?
x
a|·|
?
b|
x
2
?y
222

11
·x
2
?y
2
[练习]

( 1)已知正方形ABCD,边长为1,AB
?
?
?
a,BC
?
?
?
b,
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AC
?
?
?
c,则


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|a?b?c|?
???

答案:
22


(2)若向量a?
?
x,1
?
,b?
?
4,x
?
,当x?
答案:2

(3)已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a?3b|?
答案:
13

58. 线段的定比分点

设P
1
?
x
1
,y
1
?
,P
2
?x
2
,y
2
?
,分点P
?
x,y
?< br>,设P
1
、P
2
是直线l上两点,P点在

??
o
??
??
时a与b共线且方向相同

??

??
l上且不同于P
1
、P
2
,若 存在一实数?,使P
1
P??PP
2
,则?叫做P分有向线段
?
P
1
P
2
所成的比(??0,P在线段P
1
P
2
内,??0,P在P
1
P
2
外),且

x
1
??x
2
x
1
?x
2
?
?
x?
x?
?
?
??
1??
2
,P为P1
P
2
中点时,
?

?

y? ?yy?y
22
?
y?
1
?
y?
1
??
1??2
?
?

如:?ABC,A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y< br>2
?
,C
?
x
3
,y
3
?

y?y
2
?y
3
??
x?x
2
?x
3

1

则?ABC重心G的坐标是
?
1
?

??
33
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗?
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗?
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:
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线∥线???线∥面???面∥面
判定性质

????线⊥线???线⊥面???面⊥面????

线∥线???线⊥面???面∥面
线面平行的判定:

a∥b,b?面?,a???a∥面?

a

b
??


线面平行的性质:

?∥面?,??面?,????b?a∥b

三垂线定理(及逆定理):

PA⊥面?,AO为PO在?内射影,a?面?,则


a⊥OA?a⊥PO;a⊥PO?a⊥AO






P
??
O
a

线面垂直:

a⊥b,a⊥c,b,c??,b?c?O?a⊥?

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a


O
α b c

面面垂直:

a⊥面?,a?面???⊥?


面?⊥面?,????l,a??,a⊥l?a⊥?


α a


l


β


a⊥面?,b⊥面??a∥b


面?⊥a,面?⊥a??∥?

a b



??

60. 三类角的定义及求法
(1)异面直线所成的角θ,0°<θ≤90°

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(2)直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90°

?=0
o
时,b∥?或b??



(3)二面角:二面角??l??的平面角?,0
o
???180
o



(三垂线定理法:A∈α作或证AB⊥β于B,作BO⊥棱于O,连
AO⊥棱l,∴∠AOB为所求。)
三类角的求法:
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义,并指出所求作的角。
③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。
[练习]
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AO,则


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(1)如图,OA为α的斜线OB为其在α内射影,OC为α内过O点任一直
线。

证明:cos??cos?·cos?

A



θ
O
β


B
????????????????????????C?
D
α


(?为线面成角,∠AOC=?,∠BOC=?)

(2)如图,正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1< br>D
1
中对角线BD
1
=8,BD
1
与侧面
B
1
BCC
1
所成的为30°。
①求BD
1
和底面ABCD所成的角;
②求异面直线BD
1
和AD所成的角;
③求二面角C
1
—BD
1
—B
1
的大小。
D
1
C
1


A
1
B
1
H

G
D C

A B

36


(①arcsin;②60
o
;③arc sin
43
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(3)如图ABCD为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面ABCD,且PD=AD,求
面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。
P F



D C


A E B

(∵A B∥DC,P为面PAB与面PCD的公共点,作PF∥AB,则PF为面
PCD与面PAB的交线…… )
61. 空间有几种距离?如何求距离?
点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离, 构造三角形,解三角形求线段的长(如:
三垂线定理法,或者用等积转化法)。
如:正方形ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,棱长为a,则:
(1)点C到面AB
1
C
1
的距离为___________;
(2)点B到面ACB
1
的距离为____________;
(3)直线 A
1
D
1
到面AB
1
C
1
的距离为___ _________;
(4)面AB
1
C与面A
1
DC< br>1
的距离为____________;
(5)点B到直线A
1
C
1
的距离为_____________。
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D C

A B




D
1
C
1


A
1
B
1


62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质?
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:

R

t?SOB,Rt?SOE,Rt?BOE和Rt?SBE
它们各包含哪些元素?
1
?C·h'(C——底面周长,h'为斜高)

S

正棱锥侧
2
1
?底面积×高

V


3
63. 球有哪些性质?
22
1)球心和截面圆心的连线垂直于截面r?R?d



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(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此,要找球心
角!
(3)如图,θ为纬度角,它是线面成角;α为经度角,它是面面成角。


(4)S

?4?R
2
,V

?
4
?R< br>3

3
(5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半 径R与内
切球半径r之比为R:r=3:1。

如:一正四面体的棱长均为2,四个顶点都在同一球面上,则此球的表面

积为( )

A.3?
答案:A
64. 熟记下列公式了吗?

(1)l直线的倾斜角??
?
0,?
?
,k?ta n??
y
2
?y
1
?
?
?
?
?? ,x
1
?x
2
?

?
x
2
?x< br>1
?
2
?
B.4?C.33?D.6?

< br>P
1
?
x
1
,y
1
?
,P
2
?
x
2
,y
2
?
是l上两点,直线l的方向向量 a?
?
1,k
?

(2)直线方程:
< br>点斜式:y?y
0
?k
?
x?x
0
?
(k存 在)

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斜截式:y?kx?b


截距式:
xy
??1

ab

一般式:Ax?By?C?0(A、B不同时为零)

Ax
0
?By
0
?C

(3)点P
?
x
0
,y
0
?
到直线l:Ax?By?C?0的距离d?

(4)l
1
到l
2
的到角公式:tan??
k
2
?k
1
1?k

1
k
2

l
?k
1
1
与l
2
的夹角公式:tan??
k
2
1?k

1
k
2
65. 如何判断两直线平行、垂直?

A
1
B
2
?A2
B
1
?
AC
?
?l
1
∥l
2

12
?A
2
C
1
?

k
1
?k
2
?l
1
∥l
2
(反之不一定 成立)


A
1
A
2
?B
1
B
2
?0?l
1
⊥l
2


k
1
·k
2
??1?l
1
⊥l
2

66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系?
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。
67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置?

联立方程组?关于x(或y )的一元二次方程?“?”
??0?相交;??0?相切;??0?相离
68. 分清圆锥曲线的定义
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A
2
?B
2


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?
椭圆?PF
1
?PF
2
?2a,2a?2c?F
1F
2
?
?

第一定义
?
双曲线?PF< br>1
?PF
2
?2a,2a?2c?F
1
F
2

?
?
?
抛物线?PF?PK

第二定义:e?
PF
PK
?
c

a

0?e?1?椭圆;e?1?双曲线;e?1?抛物线

y


b

O
F
1
F
2
a x


a
2
x?

c

x
2
y
2

2
?
2
?1
?
a?b?0
?

ab

a
2
?b
2
?c
2

??

x
2
y
2

2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?

ab


c
2
?a
2
?b
2

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??


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e>1 e=1

P
0
F
k



x
2
y
2
x
2
y
2

69.与双曲线
2
?
2
?1有相同焦点的双曲线系为
2
?< br>2
??
?
??0
?

abab
70. 在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系
数是否为零?△≥0的限制。(求 交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问
题都在△≥0下进行。)

弦长公式 P
1
P
2
?
?
1?k
?
?
?x
2
1
?x
2
?
?4x
1
x
2

2
?
1
?
2
?

?
?
1?
2
?
?
y
1
?y
2
?
?4y
1
y
2

?
k
?
71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗?
如:
y
P(x
0
,y
0
)

K


F
1
O F
2
x


l

??

x
2
y
2

2
?
2
?1

ab
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?
a
2
?

?e,PF
2
?e?
x
0
?
?
?ex
0
?a

PKc
??

PF
1
?ex
0
?a

y
A P
2



O F x

P
1
B

PF
2


y
2
?2px
?
p?0
?

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如:椭圆mx
2
?ny2
?1与直线y?1?x交于M、N两点,原点与MN中点连

线的斜率为
2m
,则的值为
2n

答案:
m2
?

n2
73. 如何求解“对称”问题?
(1)证明曲线C:F(x,y)=0关于点M(a,b)成中心对称,设A
(x,y )为曲线C上任意一点,设A'(x',y')为A关于点M的对称点。

(由a?
x?x'y?y'
,b??x'?2a?x,y'?2b?y)

22

只要证明A'
?
2a?x,2b?y
?
也在曲线C上,即f(x')?y'

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?
AA'⊥l

(2)点A、A'关于直线l对称?
?

?
AA'中点在l上

?
?
?
k
A A'
·k
l
??1
?
AA'中点坐标满足l方程

74.圆x
2
?y
2
?r
2
的参数方程为
?
?
x?rcos?
y?rsin?

?
?为参数)

x
2
y
2

椭圆
?
x?acos?
a
2
?
b
2
?1的参数方程为
?
?
y?bsin?
(?为参数)

75. 求轨迹方程的常用方法有哪些?注意讨论范围。
(直接法、定义法、转移法、参数法)
76. 对线性规划问题:作出可行域,作出以目标函数为截距的直线,在可行
域内平移直 线,求出目标函数的最值。


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