高中数学知识点总结54545教学文案

高数学知识点总结
54545
中

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高中数学知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无
序性”。
< br>如：集合A?
?
x|y?lgx
?
，B?
?
y|y? lgx
?
，C?
?
(x,y)|y?lgx
?
，A、B、C

中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A?x|x
2
?2x?3?0，B?
?
x|ax?1
?


若B?A，则实数a的值构成的集合为
1
??

（答：
?
?1，0，
?
）

3
??
??

3. 注意下列性质：

（1）集合a
1
，a
2
，……，a
n
的所有子集的个数是 2
n
；


（2）若A?B?A?B?A，A?B?B；

（3）德摩根定律：

C
U
?
A?B
?
?
??
?
C
A
?
?
?
C
B
?
，
C
?
A?B
?
?
?
C
A
?
??
C
B
?

UUUUU
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式
ax?5
?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a

x
2
?a
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的取值范围。
（∵3?M，∴
a·3?5
?0
2
3?a
a·5?5
?0
5
2
?a

∵5?M，∴
5
??
?a?
?
1，
?
?< br>?
9，25
?
）

3
?
?

5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和

“非”(?).


若p?q为真，当且仅当p、q均为真


若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真


若?p为真，当且仅当p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f： A→B，是否注意到A中元素的任意性和
B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数y?
x
?
4?x
?
lg
?
x?3
?
2
的定义域是

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（答：
?
0，2
?
?
?
2，3
?
?< br>?
3，4
?
）

10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f (?x)的定

义域是_____________。

（答：a，?a）

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：f
??
??
?
x?1?e
x
?x，求f(x).

?

令t?x?1，则t?0


∴x?t
2
?1


∴f(t)?e
t

∴f(x)?e
2
?1
?t
2
?1

x< br>2
?1
?x
2
?1
?
x?0
?

12. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
?
?
1?x

如：求函数f(x)?
?
2< br>?
?
?x
?1
?
x?0
?
的反函数

?
x?0
?
?
?
x?1
?
x?1
?
）

（答：f(x)?
?
?
?
??x< br>?
x?0
?
13. 反函数的性质有哪些？
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①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f< br>?1
(b)?a


?f
?1
?
f( a)
?
?f
?1
(b)?a，ff
?1
(b)?f(a)? b

14. 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？

??
（y?f(u)，u? ?(x)，则y?f
?
?(x)
?
（外层）（内层）


当内、外层函数单调性相同时f
?
?(x)
?
为增函数，否则f?
?(x)
?
为减函数。）


如：求y?log
1
?x
2
?2x的单调区间

2
??

（设u??x
2
?2x，由u?0则0?x?2


且log
1
u?，u??
?
x?1
?
?1，如图：

2
2
u




O 1 2 x



当x?(0，1]时，u?，又log
1
u?，∴y?

2

当x?[1，2)时，u?，又log
1
u?，∴y?

2
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∴……）
15. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间
?
a，b
?
内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于< br>
零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？

< br>如：已知a?0，函数f(x)?x
3
?ax在
?
1，??
?
上是单调增函数，则a的最大

值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
?
a
??
a
?

（令f'(x)?3x
2
?a?3
?
x?
??
x?
?
?0

3
??
3
??

则x??
a
或x?
3
a

3
a
?1，即a?3

3

由已知f(x)在[1，??)上为增函数，则
∴a的最大值为3）
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称


若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是< br>偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
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（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。

a·2
x
?a?2
为奇函数，则实数a?

如：若f(x)?
x
2?1


（∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)?0

a·2
0
?a?2
?0，∴a?1）

即
2
0
?1
2
x
，

又 如：f(x)为定义在(?1，1)上的奇函数，当x?(0，1)时，f(x)?
x
4?1< br>求f(x)在
?
?1，1
?
上的解析式。

2
?x

（令x?
?
?1，0
?
， 则?x?
?
0，1
?
，f(?x)?
?x

4?1
2
?x
2
x
??

又f(x)为奇函数，∴f(x)??
?x

4?11?4
x
?
2
x
?
?
x
?
4?1

又f(0)?0，∴f(x)?
?
x
?
2
?
?
4
x
?1
x?(?1，0)
x?0
x?
?
0，1?
）

17. 你熟悉周期函数的定义吗？

（若 存在实数T（T?0），在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x)，则f(x )为周期

函数，T是一个周期。）

如：若f
?
x?a
?
??f(x)，则


（答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期）


又如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b
?
?
?

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即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)


则f(x)是周期函数，2a?b为一个周期

如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称


f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称


f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称


f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称


f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称


f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称

左移a(a?0)个单位
y?f(x?a)

将y?f(x)图象? ?????????
右移a(a?0)个单位
y?f(x?a)
上移b(b?0)个单 位
y?f(x?a)?b

????????

??
y?f(x?a)?b
下移b(b?0)个单位
注意如下“翻折”变换：
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f(x)???f(x)
f(x)???f(|x|)


如：f(x)?log
2
?
x?1
?

< br>作出y?log
2
?
x?1
?
及y?log
2
x?1的图象

y

y=log
2
x


O 1 x



19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
(k<0) y

(k>0)


y=b
O’(a,b)

O x

x=a


（1）一次函数：y?kx?b
?
k?0
?


（2）反比例函数：y?
的双曲线。

kk
?
k? 0
?
推广为y?b?
?
k?0
?
是中心O'(a，b)
xx?a
b
?
4ac?b
2
?
（3）二次函 数y?ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?
x?
?< br>?图象为抛物线

??
2a4a
2
2
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?
b4ac?b
2
?
b

顶点坐标为
?
?，
?
，对称轴x??

4a
?
2a
?
2a

开口方向：a?0，向上，函数y
min
4ac?b
2
?

4a

a?0，向下，y
max
4ac?b
2
?

4a
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二
次方程
ax
2
?bx?c?0，??0时，两根x
1
、x
2
为二次函数y?a x
2
?bx?c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax
2
?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
?
??0
?
?
b
2

如：二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k?
?
??k

?
2a
?
?
f(k)?0
y


(a>0)


O k x
1
x
2
x


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一根大于k，一根小于k?f(k)?0


（4）指数函数：y?a
x
?
a?0，a?1
?

（5）对数函数y?log
a
x
?
a?0，a?1
?

由图象记性质！ （注意底数的限定！）
y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1

O 1 x

(0

（6）“对勾函数”y?x?
k
?
k?0
?

x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
y



?k


O
k


x




20. 你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a
0
?1(a?0)，a
?p
?

a
m
n
1
(a?0)

p
a
?a
n
m
(a?0)，a
?
m
n
?
1
n
a
m
(a?0)

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对数运算：log
a
M·N?l og
a
M?log
a
N
?
M?0，N?0
?


log
a
M1
?log
a
M?log
a
N，log
a
n
M?log
a
M

Nn

对数恒等式：a
log
a
x
?x


对数换底公式：log
a
b?
log
c
b
n
?l og
a
m
b
n
?log
a
b

log
c
am
21. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）

如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x) ?f(y)，证明f(x)为奇函数。


（先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，……）


（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。


（先令x?y??t?f
?
(?t)(?t)
?
? f(t·t)


∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)


∴f(?t)?f(t)……）


（3）证明单调 性：f(x
2
)?f
?
x
2
?x
1
??x
2
?……

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，
利用函数单调 性法，导数法等。）
如求下列函数的最值：

（1）y?2x?3?13?4x

??
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（2）y?
2x?4

x?3
2x
2

（3）x?3，y?

x?3

（4）y?x?4?9?x< br>2
设x?3cos?，??
?
0，?
?


（5）y?4x?
??
9
，x?(0，1]

x
23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形
面积公式吗？

（l??·R，S
扇
?
11
l·R??·R
2
）< br>
22


R


1弧度
O R

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sin??MP，cos??OM，tan??AT

y
T
B S

P


α

O





M
A x




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如：若?
?
???0，则sin ?，cos?，tan?的大小顺序是
8

?
?
?

又如：求函数y?1?2cos
?
?x
?
的定义域和值域。

?
2
?
?
?
?

（∵1?2cos
?
?x
?
）?1?2sinx?0

?
2
?

∴sinx?
2
，如图：

2


∴2k??
5??
?x?2k??
?
k?Z
?
，0?y?1?2

44
25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区
间、对称点、对称轴吗？


sinx?1，cosx?1


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y
y?tgx




x
?
?


?


O
?

2
2




?
?
?

对称点为
?
k，0
?
，k?Z

?
2
?

??
??

y?sinx 的增区间为
?
2k??，2k??
?
?
k?Z
?

22
??
?3?
??

减区间 为
?
2k??，2k??
?
?
k?Z
?

22
??

图象的对称点为
?
k?，0
?
，对称轴为x?k??

y?cosx的增区间为
?
2k?，2k???
?
?
k?Z
?


减区间为
?
2k??? ，2k??2?
?
?
k?Z
?

?
?
k?Z
?

2
?
??

图象的对称点为
?
k??，0
?
，对称轴为x?k?
?k?Z
?

??
2
??
??

y?tanx的增区间为
?
k??，k??
?
k?Z

?
22
?

26. 正弦型函数y=Asin
?
?x+?
?
的图象和性质要熟记。
?
或y?Acos
?
?x ??
?
?


（1）振幅|A|，周期T?
2?

|?|

若f< br>?
x
0
?
??A，则x?x
0
为对称轴。

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若f
?
x
0
?
?0，则
?
x
0
，0
?
为对称点，反之也对。


（2）五点作图：令?x??依次为0，
（x，y）作图象。
?3?
，?，，2?，求出x与y，依点

22

（3）根据图象求解析式。（求A、?、?值）


?
?(x
1
)???0
?

如图列出
?
?

?(x)???
2
?
2
?

解条件组求?、?值


?正切型函数y?Atan
?
?x??
?
，T?
?

|?|
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数
值，再判定角的范围。
?
?
23?
???

如：cos
?
x?
?
??，x?
?
?，
?
，求x值。

?
6
?
22
??

（∵??x?
3 ?7??5??5?13
，∴?x??，∴x??，∴x??）

26636412
28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了
吗？
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如：函数y?sinx?sin|x|的值域是


（x?0时，y? 2sinx?
?
?2，2
?
，x?0时，y?0，∴y?
?
?2，2
?
）

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
?
?
x'?x?h
a?(h，k)

（1）点P（x，y）?????

??P'（x'，y'），则
?
y'?y?k
平移至
?

（2）曲线f(x，y)?0沿向量a?(h，k)平移后的方程为f(x?h，y?k)?0

?
??

如：函数y?2sin
?
2x?
?
?1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的

?
4
?
?
图象？
?
?
?
?1
?
?
?
?
2倍

（y?2sin?
2x?
?
?1?
横坐标伸长到原来的
??????????y ?2sin
?
2
?
x
?
?
?
?1

?
4
?
?
?
2
?
4
?
?
?
??
1个单位
4
?2sin
?
x?
?< br>?1????????y?2sinx?1?
上平移
???????y?2sinx
?
4
?
左平移个单位
1
2
?y?sinx）

??????????
纵坐标缩短到原来的倍
30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1?sin
2
? ?cos
2
??sec
2
??tan
2
??tan?·co t??cos?·sec??tan
?sin
?

4
?
?cos0?……称为1的代换。

2
?

“k·??”化为?的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，

2
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“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

如：cos
9?
?7?
?
?tan
?
?
?
?sin
?
2 1?
?
?
?
6
?
4


C. 非负值 D. 正值

又如：函数y?
A. 正值或负值
sin??tan?
，则y的值为
cos??cot?
B. 负值 sin?
sin
2
?
?
cos??1
?
cos ?

（y???0，∵??0）

cos?
cos
2
?
?
sin??1
?
cos??
sin?
sin? ?
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
令???
??sin2??2sin?cos?
< br>sin
?
???
?
?sin?cos??cos?sin????令???
cos
?
???
?
?cos?cos??sin?si n??????cos2??cos
2
??sin
2
?

t an
?
???
?
?
tan??tan?
22

?2cos??1?1?2sin??

1?tan?·tan?
1?cos2?
2

1?cos2?
sin
2
??
2
cos
2
??tan2??
2tan?

1?tan
2
?



asin??bcos??a
2
?b
2
sin
?
???
?
，tan??
?

sin??cos??2sin
?
??
?
?
?
?

4
?
b

a
?
??

sin??3cos??2sin
?
??
?

?
3
?
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应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、 函数种类最
少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）
具体方法：

（1）角的变换：如??
?
???
?
??，
（2）名的变换：化弦或化切
（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
???
?
?
???
?
?
?
??
?
?
?
??
?
……

??
22
??
2
sin?cos?2
?1，tan
?
???
?
??，求tan
?
??2??
的值。

1?cos2?3
sin?cos?cos?1

（由已知得：

??1，∴tan??
2sin?2
2sin
2
?
2

又tan
?
???
?
?

3
21
?
tan
?
???
?
?tan?
32
?
1
）

∴tan
?
??2?
?
?tan?
?
???
?
??
?
??
1?tan
?
???
?
·tan?
1?
2
·
1
832

如：已知
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解
斜三角形？
b
2
?c
2
?a
2

余弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA?

2bc
222
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
?
a?2RsinA
abc
?
???2R?
?
b?2Rs inB

正弦定理：
sinAsinBsinC
?
c?2R sinC
?
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S
?
?
1
a·bsinC

2

∵A?B?C??，∴A?B???C


∴sin
?
A?B
?
?sinC，sin

如?ABC中，2sin
2

（1）求角C；

c
2

（2）若a?b?，求cos2A?cos2B的值。

2
22
A?BC
?cos

22
A?B
?cos2C?1

2

（（1 ）由已知式得：1?cos
?
A?B
?
?2cos
2
C?1 ?1


又A?B???C，∴2cos
2
C?cosC?1?0

1
或cosC??1（舍）

2
?

又0?C??，∴C?

3
1

（2）由正弦定理及 a
2
?b
2
?c
2
得：

2
?3

2sin
2
A?2sin
2
B?sin
2
C?sin
2
?

34
3

1?cos2A?1?cos2B?

4
3

∴cos2A?cos2B??）

4

∴cosC?
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
?
??
?

反正弦：arcsinx?
?
? ，
?
，x?
?
?1，1
?

2
??
2

反余弦：arccosx?
?
0 ，?
?
，x?
?
?1，1
?

?
??
?

反正切：arctanx?
?
? ，
?
，
?
x?R
?

?
22
?
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34. 不等式的性质有哪些？

（1）a?b，
c?0?ac?bc
c?0?ac?bc


（2）a?b，c?d?a?c?b?d


（3）a?b?0，c?d?0?ac?bd


（4）a?b?0?
1111
?，a?b?0??

abab

（5）a?b?0?a
n
?b
n
，
n
a?
n
b


（6）|x|?a
?
a?0
?
??a?x?a，|x|?a?x??a或x?a


如：若
11
??0，则下列结论不正确的是（
ab
?b
2< br>
）


A.a
2
?b
2

C.|a|?|b|?|a?b|
答案：C
35. 利用均值不等式：

D.
ab
??2

ba
?
a?b
?
a
2
?b
2
?2aba，b?R
?
；a ?b?2ab；ab?
??
求最值时，你是否注

?
2
?< br>??
2
意到“a，b?R
?
”且“等号成立”时的条件，积(ab)或 和(a?b)其中之一为定

值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：
a
2
?b
2
a?b2ab

??ab?a，b?R
?

22a?b
??
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当且仅当a?b时等号成立。


a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca
?
a，b?R
?


当且仅当a?b?c时取等号。


a?b?0，m?0，n?0，则

bb?ma?na
??1??

aa?mb?nb
4

如：若x?0，2?3x?的最大值为
x

?

（设y?2?
?
3x?
?
4
?
?
?2?212? 2?43

x
?


当且仅当3x?
423
，又x?0，∴x?时，y
max
?2?43）

x3

又如：x?2y?1，则2
x
?4
y
的最小值为


（∵2
x
?2
2y
?22
x?2y
?22
1
，∴最小值为22）

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。

如：证明1?

（1?
111
??…??2

222
23n
111111
??……??1???……?

1?22?3n?1n
2
2
3
2
n
2
??
?1?1?

11111
???……??
223n?1n
1< br>?2??2）
n

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37.解分式不等式
f(x)
?a< br>?
a?0
?
的一般步骤是什么？

g(x)
（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始


如：
?
x?1
??
x?1
??
x?2
?
? 0

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a?1或0?a?1讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

例如：解不等式|x?3|?x?1?1

1
??

（解集为
?
x|x?
?
）

2
??
23

41.会用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|证明较简单的不等问题


如：设f(x)?x
2
?x?13，实数a满足|x?a|?1


求证：f(x)?f(a)?2(|a|?1)

证明：
|f(x) ?f(a)|?|(x
2
?x?13)?(a
2
?a?13)|

?|(x?a)(x?a?1)|(?|x?a|?1)

?|x?a||x?a?1|?|x?a?1|

?|x|?|a|?1
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又|x|?|a|?|x?a|?1，∴|x|?|a|?1


∴f(x)?f(a)?2|a|?2?2
?
|a|?1
?

（按不等号方向放缩）
42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或
“△”问题）

如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值


a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值


a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值


例如：对于一切实数x，若x?3?x?2?a恒成立，则a的取值范围是


（设u?x?3?x?2，它表示数轴上到两定点?2和3距离之和


u
min
?3?
?
?2
?
?5，∴5?a，即a?5

或者：x?3?x?2?
?
x?3
?
??
x?2
?
?5，∴a?5）

43. 等差数列的定义与性质

定义：a
n?1
?a
n
?d(d为常数)，a
n
?a
1
?
?
n?1
?d


等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y


前n项和S
n
?
?
a
1
?an
?
n
?na
2
1
?
n
?
n ?1
?
2
d


性质：
?
a
n
?
是等差数列

< br>（1）若m?n?p?q，则a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；

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（2）数列
?
a
2n? 1
?
，
?
a
2n
?
，
?
kan
?b
?
仍为等差数列；


S
n，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
… …仍为等差数列；


（3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d；


（4） 若a
n
，b
n
是等差数列S
n
，T
n
为前 n项和，则
a
m
S
2m?1
?；

b
m
T
2m?1

（5）
?
an
?
为等差数列?S
n
?an
2
?bn（a，b为常数 ，是关于n的常数项为

0的二次函数）

S
n
的 最值可求二次函数S
n
?an
2
?bn的最值；或者求出
?
a
n
?
中的正、负分界

项，即：
?
a
n
?0

当a
1
?0，d?0 ，解不等式组
?
可得S
n
达到最大值时的n值。

a?0
?
n?1
?
a?0

当a
1
?0，d?0，由
?
n
可得S
n
达到最小值时的n值。
a?0
?
n?1

如：等差数列
?
a
n
?
，S
n
?18，a
n
?a
n?1?a
n?2
?3，S
3
?1，则n?

（由a< br>n
?a
n?1
?a
n?2
?3?3a
n?1
?3，∴a
n?1
?1


又S
3
?

?
a
1
?a
3
?
·3?3a
2
2
?1，∴a
2
?
1

3
?
1
?
?
?1
?
n
a
1
?a
n
?
n
?
a
2
?a
n?1
?
·n
?
3
?
?
???18

∴S
n
?
222

?n?27）

44. 等比数列的定义与性质
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定义：
a
n?1
?q（ q为常数，q?0），a
n
?a
1
q
n?1

a
n

等比中项：x、G、y成等比数列?G
2
?xy，或G??xy

?
na
1
(q?1)

前n项和：S
?n
?
?
a
?
1
?
1?q
n
?
（要注意!）
?
1?q
(q?1)


性质：
?
a
n
?
是等比数列

< br>（1）若m?n?p?q，则a
m
·a
n
?a
p
·a
q


（2）S
n
，S
2n
?S< br>n
，S
3n
?S
2n
……仍为等比数列


45.由S
n
求a
n
时应注意什么？

< br>（n?1时，a
1
?S
1
，n?2时，a
n
?Sn
?S
n?1
）

46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法

如：
?
a
?
满足
1
2
a
11
n 1
?
2
2
a
2
?……?
2
n
a< br>n
?2n?5
解：
n?1时，
1
2
a
1
?2?1?5，∴a
1
?14


n?2时，< br>1
2
a
11
1
?
2
2
a
2
?……?
2
n?1
a
n?1
?2n?1?5

?1???2?得：
1
2
n
a
n
?2


∴a
n?1
n
?2


∴ a
?
14(n?1)
n
?
?
?
2
n?1< br>(n?2)

［练习］
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?1?

?2?

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5

数列
?
a
n
?
满足S
n
?S
n? 1
?a
n?1
，a
1
?4，求a
n

3

（注意到a
n?1
?S
n?1
?Sn
代入得：
S
n?1
?4

S
n

又S
1
?4，∴
?
S
n
?
是等比数列，S
n
?4
n


n?2时，a
n
?S
n
?S
n?1
?……?3·4
n?1

（2）叠乘法

例如：数列
?
a
n
?
中， a
1
?3，
a
n?1
n
?，求a
n

a
n
n?1
解：
a
2
aaa
12 n?11
·
3
……
n
?·……，∴
n
?

a
1
a
2
a
n?1
23na
1
n

又a
1
?3，∴a
n
?
3

n
（3）等差型递推公式

由a
n
?a< br>n?1
?f(n)，a
1
?a
0
，求a
n
， 用迭加法

n?2时，a
2
?a
1
?f(2)
?< br>?
a
3
?a
2
?f(3)
?

?
两边相加，得：

…………
?
a
n
?a
n?1
?f(n)
?
?

a
n
?a
1
?f(2)?f(3)?……?f(n)


∴a
n
?a
0
?f(2)?f(3)?……?f(n)

［练习］

数列
?
a
n
?
，a< br>1
?1，a
n
?3
n?1
?a
n?1
?n?2
?
，求a
n


（a
n
?
1
n
3?1）

2
??
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（4）等比型递推公式

a
n
?ca
n? 1
?dc、d为常数，c?0，c?1，d?0


可转化为等比数列 ，设a
n
?x?c
?
a
n?1
?x
?


?a
n
?ca
n?1
?
?
c?1
?
x


令(c?1)x?d，∴x?
??
d

c?1
d
?
d
?
，c为公比的等比数列

∴
?
a
n
?
?
是首项为a
1
?< br>c?1
?
c?1
?

∴a
n
?
dd
??
n?1
?
?
a
1
?
?
·c

c?1
?
c?1
?
d
?
n?1d
?

∴a
n
?
?
a
1
?

?
c?
?
c?1
?
c?1
［练习］

数列
?
a
n
?
满足a
1
?9，3a
n?1
?a
n
?4，求a
n

?
4
?

（a
n
?8
?
?
?
?
3
?
（5）倒数法
n?1
?1）


例如：a
1
?1，an?1
?
1
a
n?1
2a
n
，求a
n

a
n
?2

由已知得：
1
an?1
?
a
n
?2
11
??

2a
n
2a
n

∴?
11
?

a
n
2
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?
?
?
1
?< br>a
?
为等差数列，
11
?
n
?
a
? 1，公差为

1
2

?
1
a
?1?
?
n?1
?
·
1
?
1
?
n?1< br>?

n
22

∴a
2
n
?
n?1

47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为
相反数的项。
n

如：
?
a
n
?
是公差为d的等 差数列，求
?
1

k?1
a
k
a
k?1
解：
由
1< br>a·a
?
1
?
1
?
?
1
?
1
?
?
?
d?0
?

kk?1
a
k
?
a
k
?d
?
d
?
a
k
a
k?1
?
n

∴
?
1
n
?
k?1
a
k
a
k?1
?
1
?
?
1
?
1
?
?

k?1
d
?a
k
a
k?1
?
?
1
?
?
1 1
??
11
??
11
?

d
?
?
?
?
a
?
?
?
?
?
?
?……?
?
?
?
?
?
1a
2
??
a
2
a
3
??
a
n
a
n?1
?
?
?
1
?
d
?
1
?
a
?
1
?
?
1
a
n?1< br>?
［练习］

求和：1?
111
1?2
?< br>1?2?3
?……?
1?2?3?……?n


（a< br>n
?……?……，S
1
n
?2?
n?1
）

（2）错位相减法：
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若
?
a
n
?< br>为等差数列，
?
b
n
?
为等比数列，求数列
?
a
n
b
n
?
（差比数列）前n项

和，可由S< br>n
?qS
n
求S
n
，其中q为
?
b
n
?
的公比。


如：S
n
?1?2x?3 x
2
?4x
3
?……?nx
n?1
?1?

?2?

x·S
n
?x?2x
2
?3x
3
?4x
4
?……?
?
n?1
?
x
n?1
?nx
n

?1???2?：
?
1 ?x
?
S
n
?1?x?x
2
?……?x
n?1?nx
n


x?1时，S
n
1?x
?
nx
?
??
n
n
?
1?x
?
2< br>1?x

n
?
n?1
?
2

x?1时，S
n
?1?2?3?……?n?

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S
n
?a
1
?a
2
?……?a
n?1
?a
n
?
?
?
相加

S
n
?a
n
?a
n?1
?……?a
2
?a
1
?
?

2S
n
?
?
a
1
?a
n
?
?
?
a
2
?a
n?1
?
?……?
?a
1
?a
n
?
……

［练习］
x< br>2
?
1
??
1
??
1
?
，则f(1 )?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f

已知f(x)?
????? ?
?
2
?????
4
?
23
1?x

x
?
1
?
?

（由f(x)?f
? ?
?
?
x
?
1?x
2
2
x
21
???1

222
1?x1?x
?
1
?1?
??
?
x
?
?
1
?
??
?
x
?
2
?
?
1
?
??
?
1
?
??
?
1
?
?

∴原式?f (1)?
?
f(2)?f
??
?
?
?
f(3)?f
??
?
?
?
f(4)?f
??
?

?
2
?
??
?
3
?
??
?
4< br>?
??

?
11
?1?1?1?3）

22
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48. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：
n
?
n?1
?
??

S
n
?p
?
1?r
?
?p
?
1?2r
?
?…… ?p
?
1?nr
?
?p
?
n?r
?
……等 差问题

2
??
△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计 算模型（按揭贷款—
—分期等额归还本息的借款种类）
若贷款（向银行借款）p元， 采用分期等额还款方式，从借款日算起，一
期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如 果每期利率为r
（按复利），那么每期应还x元，满足

p(1?r)
n
?x
?
1?r
?
n?1
?x
?
1?r
?
n?2
?……?x
?
1?r
?
?x
< br>n
?
1?
?
1?r
?
n
?
1?r< br>?
?1
?

?x
?

?
?x
1?1?rr
??
??
??

∴x?
pr
?
1?r
?
n
?
1?r
?< br>n
?1

p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组
合。

（1）分类计数原理：N?m
1
?m
2
?……?m
n


（m
i
为各类办法中的方法数）


分步计数原理：N?m
1
·m
2
……m
n

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（m
i
为各步骤中的方法数）

（2）排列：从n个不同元 素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺
序排成一
列，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列，所有排列的个数记为A
m
n
.


A
m
n
?n
?
n?1
??
n?2
?
……
?
n?m?1
?
?

规定：0!?1

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做
从n个不< br>同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为C
m
n
.

n!
?
m?n
?

n?m!
??
n
?
n?1
?
……
?
n?m?1
?
A
m< br>n!
??

C?
n

m
m!m!?
n?m
?
!
A
m
m
n

规定：C
0
n
?1


（4）组合数性质：

n?mm?101nn
，C
m
?C
m

C< br>m
n
?C
nn
?C
nn?1
，C
n
?C
n
?……?C
n
?2

50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问 题分类
法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐
一排出结果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
x
i
?89， 90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且满足x
1
?x
2
?x< br>3
?x
4
，

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??

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则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）
A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
解析：可分成两类：

（1）中间两个分数不相等，


4
?5（种）

有C
5

（2）中间两个分数相等

x
1
?x
2
?x
3
?x
4

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3
种，∴有10种。
∴共有5＋10＝15（种）情况
51. 二项式定理
n1n?1n ?22n?rrn
b?C
2
b?…?C
r
b?…?C
n
(a?b)
n
?C
0
n
a?C
na
n
a
n
a
n
b


二项展开式的通项公式：T
r?1
?C
r
n
a
n?r
b
r
(r?0，1……n)


C
r
n
为二项式系数（区别于该项的系数）

性质：
n?r

（1）对称性：C
r
?Cr?0，1，2，……，n

nn
1nn

（2）系数和：C
0
n
?C< br>n
?…?C
n
?2

35024n?1

C
1

n
?C
n
?C
n
?…?C
n
?C
n
?C
n
?…?2
??
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（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
?
n
?
2
；n为奇数时，(n?1)为偶数，中间两项的二项式
?
?1
?< br>项，二项式系数为C
n
?
2
?

n?1n?1
系数最大即第项及第?1项，其二项式系数为C
n
2
?C
n
2
22
n?1n?1
n

如：在二项式
?
x?1
?
的展开式中，系数最小的项系数为
表示）

（∵n＝11


∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第
11
（用数字

12
?6或第7项

2
r
x
11?r
(? 1)
r
，∴取r?5即第6项系数为负值为最小：

由C
11
65
??C
11
??426

?C
11

又如：
?
1?2x
?
2 004
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
?……?a
2004
x
2004
?
x?R
?
，则

（用数字作答）
?
a
0
?a
1
?
?
?
a
0
?a
2
?
?
?
a0
?a
3
?
?……?
?
a
0
?a2004
?
?


（令x?0，得：a
0
?1


令x?1，得：a< br>0
?a
2
?……?a
2004
?1


∴原式?2003a
0
?a
0
?a
1
?……?a< br>2004
?2003?1?1?2004）

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0


（2）包含关系：A?B，“A发生必导致B发生”称B包含A。

??
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A B




（3）事件的和（并）：A?B或A?B“A与B至少有一个发生”叫做A与B

的和（并）。


（4）事件的积（交）：A·B或A?B“A与B同时发生”叫做A与B的积。


（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互
斥。

A·B??


（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A


A?A??，A?A??

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（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫
做相互独立事件。

A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

53. 对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

P(A)?
A包含的等可能结果m
?

一次试验的等可能结果的总数
n

（2）若A、B互斥，则P
?
A?B
?
?P(A)?P(B)


（3）若A、 B相互独立，则PA·B?P
?
A
?
·P
?
B
?< br>

（4）P(A)?1?P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A
恰好发生
k
k次的概率：P
n
(k)?C
k
p
?
1?p
?< br>n
n?k
??

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取2件都是次品；
?
C
2
2
?

?
P
1
?
2
4
?
?

C
10
15
??
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（2）从中任取5件恰有2件次品；
3
?
C
2
10
?
4
C
6

?
P
2
?
5
?
?

21
?
C
10
?
（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10
3

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
213

∴m?C
2
3
·46?4

23
C
2
44
3
·4·6?4
?

∴P
3
?

125
10
3
（4）从中依次取5件恰有2件次品。
解析：∵一件一件抽取（有顺序）
523
，m?C
2
AA

∴n?A
10456

23
C
2
10
4< br>A
5
A
6

∴P
4
?

?
5
21
A
10
分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复
排列问题。
54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体
个数较少时，它的特征是 从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较
多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一 个；分层抽样，主要
特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每
个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
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55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率， 用样本的期望
（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：

（1）算数据极差
?
x
m ax
?x
min
?
；

（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。

其中，频率?小长方形的面积?组距×

样本平均值：x?
频率

组距
1
x
1
?x
2
?……?x
n

n
1
222

样本方差：S
2
?
?
x
1
?x
?
?
?
x
2
?x
?
?……?
?
x
n
?x
?

n
??
??
如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如 果按性别分层随机
抽样，则组成此参赛队的概率为____________。
42
C
10
C
5

（
6
）

C
15
56. 你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。

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（2）向量的模——有向线段的长度，|a|

?
?

（3）单位向量|a
0
|?1，a
0
?

（4）零向量0，|0|?0

??
??
a
|a|
?

?
长度相等
??

（5）相等的向量?
?
a?b

?
方向相同
在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b?0)?存在唯一实数?，使b??a

（7）向量的加、减法如图：
??????

???

OA?OB?OC

???

OA?OB?BA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e
1
，e
2
是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

? ??
实数对?
1
、?
2
，使得a??
1
e
1
??
2
e
2
，e
1
、e
2
叫做 表示这一平面内所有向量

的一组基底。
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?????

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（9）向量的坐标表示


i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得
?
??
a?xi?yj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：a?
?
x ，y
?
，即为向量的坐标
????

表示。
设a?
?
x
1
，y
1
?
，b?
?x
2
，y
2
?


则a?b?
?
x
1
，y
1
?
?
?
y
1
，y
2
?
?
?
x
1
?y
1
，x
2
?y
2
?


?a??
?< br>x
1
，y
1
?
?
?
?x
1
，?y
1
?


若A
?
x
1
，y
1
?
，B
?
x
2
，y
2
?

?

则AB?
?
x
2
?x
1
，y
2
?y
1
?

?

|AB|?
?
??
??
?
x
2
?x
1< br>?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
，A、B两点间距离公式

57. 平面向量的数量积

（1）a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a与b的数量积（或内积）。


?为向量a与b的夹角，??
?
0，?
?

??
??????
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B
?

b

O
?

?
a

D A

数量积的几何意义：

?a·
?
b等于|
?
a|与
?
b在
?
a 的方向上的射影|b|cos?的乘积。
（2）数量积的运算法则

①
?
a·
?
b?
?
b·
?
a


②(
?
a?
?
b)
?
c?
?
a·
?
c?
?
b·
?
c


③
?
a·
?
b?
?
x
1
，y1
?
·
?
x
2
，y
2
?
?x
1
x
2
?y
1
y
2

注意：数量积不满足结合律(
?
a·
?
b)·
?
c?< br>?
a·(
?
b·
?
c)


（3）重要性质：设
?
a?
?
x
?
1
，y
1
?
，b?
?
x
2
，y
2
?


①
?
a⊥
?
b?
?
a·
?
b?0?x
1
·x
2
?y
1
·y
2?0


②
?
a∥
?
b?
?< br>a·
?
b?|
?
a|·|
?
b|或
?
a·
?
b??|
?
a|·|
?
b|


?
?
a??
?
b（
?
b?0，?惟一确定）


?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0


③
?
2
a ?|
?
a|
2
?x
2
?y
2
，|
????
11
a·b|?|a|·|b|

??

④ cos??
a·b
1
x
2
?y
1
y
2|
?
?
x
a|·|
?
b|
x
2
?y
222

11
·x
2
?y
2
［练习］

（ 1）已知正方形ABCD，边长为1，AB
?
?
?
a，BC
?
?
?
b，
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AC
?
?
?
c，则

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|a?b?c|?
???

答案：
22


（2）若向量a?
?
x，1
?
，b?
?
4，x
?
，当x?
答案：2

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?3b|?
答案：
13

58. 线段的定比分点

设P
1
?
x
1
，y
1
?
，P
2
?x
2
，y
2
?
，分点P
?
x，y
?< br>，设P
1
、P
2
是直线l上两点，P点在

??
o
??
??
时a与b共线且方向相同

??

??
l上且不同于P
1
、P
2
，若 存在一实数?，使P
1
P??PP
2
，则?叫做P分有向线段
?
P
1
P
2
所成的比（??0，P在线段P
1
P
2
内，??0，P在P
1
P
2
外），且

x
1
??x
2
x
1
?x
2
?
?
x?
x?
?
?
??
1??
2
，P为P1
P
2
中点时，
?

?

y? ?yy?y
22
?
y?
1
?
y?
1
??
1??2
?
?

如：?ABC，A
?
x
1
，y
1
?
，B
?
x
2
，y< br>2
?
，C
?
x
3
，y
3
?

y?y
2
?y
3
??
x?x
2
?x
3
，
1

则?ABC重心G的坐标是
?
1
?

??
33
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
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线∥线???线∥面???面∥面
判定性质

????线⊥线???线⊥面???面⊥面????

线∥线???线⊥面???面∥面
线面平行的判定：

a∥b，b?面?，a???a∥面?

a

b
??


线面平行的性质：

?∥面?，??面?，????b?a∥b

三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面?，AO为PO在?内射影，a?面?，则


a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO






P
??
O
a

线面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?

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a


O
α b c

面面垂直：

a⊥面?，a?面???⊥?


面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?


α a


l


β


a⊥面?，b⊥面??a∥b


面?⊥a，面?⊥a??∥?

a b



??

60. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

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（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

?＝0
o
时，b∥?或b??



（3）二面角：二面角??l??的平面角?，0
o
???180
o



（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连
AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
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AO，则

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（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直
线。

证明：cos??cos?·cos?

A



θ
O
β


B
????????????????????????C?
D
α


（?为线面成角，∠AOC=?，∠BOC=?）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1< br>D
1
中对角线BD
1
＝8，BD
1
与侧面
B
1
BCC
1
所成的为30°。
①求BD
1
和底面ABCD所成的角；
②求异面直线BD
1
和AD所成的角；
③求二面角C
1
—BD
1
—B
1
的大小。
D
1
C
1


A
1
B
1
H

G
D C

A B

36
）

（①arcsin；②60
o
；③arc sin
43
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（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求
面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。
P F



D C


A E B

（∵A B∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面
PCD与面PAB的交线…… ）
61. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离， 构造三角形，解三角形求线段的长（如：
三垂线定理法，或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，棱长为a，则：
（1）点C到面AB
1
C
1
的距离为___________；
（2）点B到面ACB
1
的距离为____________；
（3）直线 A
1
D
1
到面AB
1
C
1
的距离为___ _________；
（4）面AB
1
C与面A
1
DC< br>1
的距离为____________；
（5）点B到直线A
1
C
1
的距离为_____________。
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D C

A B




D
1
C
1


A
1
B
1


62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

R

t?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE
它们各包含哪些元素？
1
?C·h'（C——底面周长，h'为斜高）

S

正棱锥侧
2
1
?底面积×高

V

锥
3
63. 球有哪些性质？
22
1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r?R?d

（

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（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心
角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。


（4）S
球
?4?R
2
，V
球
?
4
?R< br>3

3
（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半 径R与内
切球半径r之比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面

积为（ ）

A.3?
答案：A
64. 熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角??
?
0，?
?
，k?ta n??
y
2
?y
1
?
?
?
?
?? ，x
1
?x
2
?

?
x
2
?x< br>1
?
2
?
B.4?C.33?D.6?

< br>P
1
?
x
1
，y
1
?
，P
2
?
x
2
，y
2
?
是l上两点，直线l的方向向量 a?
?
1，k
?

（2）直线方程：
< br>点斜式：y?y
0
?k
?
x?x
0
?
（k存 在）

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斜截式：y?kx?b


截距式：
xy
??1

ab

一般式：Ax?By?C?0（A、B不同时为零）

Ax
0
?By
0
?C

（3）点P
?
x
0
，y
0
?
到直线l：Ax?By?C?0的距离d?

（4）l
1
到l
2
的到角公式：tan??
k
2
?k
1
1?k

1
k
2

l
?k
1
1
与l
2
的夹角公式：tan??
k
2
1?k

1
k
2
65. 如何判断两直线平行、垂直？

A
1
B
2
?A2
B
1
?
AC
?
?l
1
∥l
2

12
?A
2
C
1
?

k
1
?k
2
?l
1
∥l
2
（反之不一定 成立）


A
1
A
2
?B
1
B
2
?0?l
1
⊥l
2


k
1
·k
2
??1?l
1
⊥l
2

66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组?关于x（或y ）的一元二次方程?“?”
??0?相交；??0?相切；??0?相离
68. 分清圆锥曲线的定义
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A
2
?B
2

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?
椭圆?PF
1
?PF
2
?2a，2a?2c?F
1F
2
?
?

第一定义
?
双曲线?PF< br>1
?PF
2
?2a，2a?2c?F
1
F
2

?
?
?
抛物线?PF?PK

第二定义：e?
PF
PK
?
c

a

0?e?1?椭圆；e?1?双曲线；e?1?抛物线

y


b

O
F
1
F
2
a x


a
2
x?

c

x
2
y
2

2
?
2
?1
?
a?b?0
?

ab

a
2
?b
2
?c
2

??

x
2
y
2

2
?
2
?1
?
a?0，b?0
?

ab


c
2
?a
2
?b
2

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??

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e>1 e=1

P
0
F
k



x
2
y
2
x
2
y
2

69.与双曲线
2
?
2
?1有相同焦点的双曲线系为
2
?< br>2
??
?
??0
?

abab
70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系
数是否为零？△≥0的限制。（求 交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问
题都在△≥0下进行。）

弦长公式 P
1
P
2
?
?
1?k
?
?
?x
2
1
?x
2
?
?4x
1
x
2

2
?
1
?
2
?

?
?
1?
2
?
?
y
1
?y
2
?
?4y
1
y
2

?
k
?
71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？
如：
y
P(x
0
,y
0
)

K


F
1
O F
2
x


l

??

x
2
y
2

2
?
2
?1

ab
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?
a
2
?

?e，PF
2
?e?
x
0
?
?
?ex
0
?a

PKc
??

PF
1
?ex
0
?a

y
A P
2



O F x

P
1
B

PF
2


y
2
?2px
?
p?0
?

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如：椭圆mx
2
?ny2
?1与直线y?1?x交于M、N两点，原点与MN中点连

线的斜率为
2m
，则的值为
2n

答案：
m2
?

n2
73. 如何求解“对称”问题？
（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A
（x，y ）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。

（由a?
x?x'y?y'
，b??x'?2a?x，y'?2b?y）

22

只要证明A'
?
2a?x，2b?y
?
也在曲线C上，即f(x')?y'

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?
AA'⊥l

（2）点A、A'关于直线l对称?
?

?
AA'中点在l上

?
?
?
k
A A'
·k
l
??1
?
AA'中点坐标满足l方程

74.圆x
2
?y
2
?r
2
的参数方程为
?
?
x?rcos?
y?rsin?
（
?
?为参数）

x
2
y
2

椭圆
?
x?acos?
a
2
?
b
2
?1的参数方程为
?
?
y?bsin?
（?为参数）

75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。
（直接法、定义法、转移法、参数法）
76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行
域内平移直 线，求出目标函数的最值。


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