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很好用的高中数学知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 06:53
tags:高中数学知识点

高中数学笔记需要多厚-上海高中数学教材是什么版的


高中数学基础知识总结
第一章 集合与简易逻辑
1、集合的概念
(1)集合:某些指定的对象集在一起就形成一个集合。
(2)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素。
2、常用数集及其表示方法
(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合。记作N
*
(2)正整数集:非负整数集内排除0的集。记作N或N
+

(3)整数集:全体整数的集合。记作Z
(4)有理数集:全体有理数的集合。记作Q
(5)实数集:全体实数的集合。记作R
注意:(1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数0。
*
(2)非负整数集内排除0的集。记作N或N
+
。Q、Z、R等其它数集 内排除0的集,也是这样
*
表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z
3、元素对于集合的隶属关系
(1)属于:如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A
(2)不属于:如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作
a?A

4、集合中元素的特性
(1)确定性:设
A
是一个给定的集合,
x
是某一个具体对象,则或者是
A
的元素,或者不是
A
的元素,两种情 况必有一种且只有一种成立;
(2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个 体(对象),因此,同
一集合中不应重复出现同一元素;
(3)无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关。
注意:1、集合通常用大写的拉丁字母表示,如A、B、C、P、Q……
元素通常用小写的拉丁字母表示,如a、b、c、p、q……
2、“∈”的开口方向,不能把a∈A颠倒过来写。
5、集合的表示方法
1、列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法。
2、描述法:用 确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内表示集
合的方法。
格式:{x∈A| P(x)},含义:在集合A中满足条件P(x)的x的集合。
3、文氏图:用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
6、有限集与无限集
1、有限集:含有有限个元素的集合。
2、无限集:含有无限个元素的集合。
3、 空集:不含任何元素的集合。记作
?
,如:
{x?R|x?1?0}

7、集合的包含关系:
⑴集合
A
的任何一个元素都是集合
B
的元素,则称
A

B
的子集(或
B
包含
A
),记作
A
?
B
(或

A?B

集合 相等:构成两个集合的元素完全一样。若
A
?
B

B
?A
,则称
A
等于
B
,记作
A
=
B;若
A
?
B

A

B
,则称
A

B
的真子集,记作
A
?
B

2


⑵简单性质:1)
A
?
A

2)
?
?
A

3)若
A
?
B< br>,
B
?
C
,则
A
?
C

4)若集合
A
是n个元素的集合,则集合
A
有2个子集(其中2-1个真子集 );
所有非空真子集的个数是
2
n
?2

8、全集与补集:
(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U;
(2)若S是一 个集合,
A
?
S,则,
C
S
=
{x|x?S且x? A}
称S中子集
A
的补集;
(3)简单性质:1)
C
S< br>(
C
S
A
)=
A
;2)
C
S
S=
?

C
S
?
=S。
9、交集与并集: < br>⑴交集:一般地,由属于集合
A
且属于集合
B
的元素所组成的集合,叫 做集合
A

B
的交集。
交集
A?B?{x|x?A且x?B }

nn

⑵并集:一般地,由所有属于集合
A
或属 于集合
B
的元素所组成的集合,称为集合
A

B
的并
集。
并集A?B?{x|x?A或x?B}

⑶补集:若
A?I,则C< br>1
A?{xx?I,且x?A}
称为
A

I
中的补集 。
⑷差集:
AB?{xx?A,且x?B}

⑸集合
{xa?x?b,x?R,a?b}
记作开区间
(a,b)

集合
{xa?x?b,x?R,a?b}
记作闭区间
[a,b]
,R 记作
(??,??).

⑹用文氏图表示交集、并集、补集有关关系,如果A
?
U,B
?
U,利用文氏图表示下面关系:
C
U
(A∩B)=(C
U
A)∪(C
U
B)

C
U
(A∪B)=(C
U
A)∩(C
U
B)


注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区 分交集与并集的关键
是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示 、挖掘题
设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。
10、集合的简单性质:
(1)
A?A?A,A????,A?B?B?A;

(2)
A???A,A?B?B?A;

(3)
(A?B)?(A?B);

(4)
A?B?A?B?A;A?B?A?B?B

(5)
CS

A

B
)=(
C
S
A

?

C
S
B
),
C
S

A

B
)=(
C
S
A

?
C
S
B
)。
定理1 集合的性质:对任意集合
A

B

C
,有:
(1)
A?(B?C)?(A?B)?(A?C);
(2)
A?(B?C)?(A?B)?(A?C)

(3)
C
U< br>A?C
U
B?C
U
(A?B);
(4)C
U
A?C
U
B?C
U
(A?B).

定理2 加法原理:做一件事有
n
类办法,第一类办法中有
m
1< br>种不同的方法,第二类办法中有
m
2

不同的方法,…,第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法,那么完成这件事一共有
N?m
1
?m
2
???m
n
种不同的方法。
定理3 乘法原 理:做一件事分
n
个步骤,第一步有
m
1
种不同的方法,第二步有< br>m
2
种不同的方
法,…,第
n
步有
m
n种不同的方法,那么完成这件事一共有
N?m
1
?m
2
???m
n
种不同
的方法。
定理4 容斥原理;用
A
表示集合< br>A
的元素个数,则
A?B?A?B?A?B,

需要xy
此结 论可以
A?B?C?A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C

推广到n
个集合的情况,即
?
?
A
i?1
n
i?
?
A
i
?
?
A
i
?A
j< br>?
i?1i?j
n
1?i?j?k?n
?
A
i
?A
j
?A
k
???(?1)
n?1
?
n
A
i
.

i?1
定义8 集合的划分:若
A
1
?A
2
???A
n
?I
,且
A
i
?A
j
??(1?i,j?n,i?j)
,则这些子集
的全集叫
I< br>的一个
n
-划分。
定理5 最小数原理:自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理6 抽屉原理:将
mn?1
个元素放入
n(n?1)
个抽屉,必有一个抽屉放有不少于
m?1
个元素,
也必有一个抽屉放有不多于
m
个元素;将无穷多个元素放入
n
个抽屉 必有一个抽屉放有无


穷多个元素。
11、含有绝对值不等式的解法:

x?a(a?0)
的解集为
?a?x?a


x?a(a?0)
的解集为
x?a或x??a


ax?b?c(c?0)
化为
?
x|?c?ax?b?c
?
来解;
ax?b?c(c?0)
化为
?
x|ax?b?c或ax?b??c
?
来解
⑷本节的重点是对|ax+b|0)转化成-cc (c>0)转化成ax+b>c
或ax+ b<-c的理解.若c∈R,则对c要进行讨论.若用不等式两边平方方法化解含绝对值的符
号,则既要 讨论实数c的取值情况,又要对取值范围进行检验.在应用集合的概念解这类不等
式的过程中,要注意不 等式组的解集中,对不等式端点值的取舍情况.
⑸解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值 符号,使不等式变为不含绝对值符号的
一般不等式,而后,其解法就与解一般不等式或不等式组相同.
⑹解含有绝对值符号的不等式的基本方法如下:
若数x
1
,x
2< br>,……,x
n
分别使含有|x-x
1
|、|x-x
2
|……,|x-x
n
|的代数式中相应的一
个绝对值为零,则称x
1
,x
2
,……,x
n
为相应绝对值的零点,零点x
1
,x< br>2
……,x
n
将数轴分成n+1
段,利用绝对值定义去绝对值符号,从 而得到代数式的各段上的简化式,这种“零点分段法”
化去绝对值符号的方法,是解决有关问题的简捷而 有效的方法.
解这类绝对值符号里是一次式的不等式,其一般步骤是:
(1)令每个绝对值符号里的一次式为零,并求出相应的根;
(2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间;
(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出它们的解集;
(4)取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集.
12、逻辑联结词:“或”、“且”、“非”
不含逻辑“联”结词的命题,叫做简单命题。
由简单命题与逻辑联结词构成的命题,叫做复合命题.
一般地,用逻辑联结词“且”把命题< br>p
和命题
q
联结起来,就得到一个新命题,记作
p?q
读作“
p

q
”.规定:当
p

q
都 是真命题时,
p?q
是真命题;当
p

q
两个命题中有一个 是假
命题时,
p?q
是假命题.全真为真,有假即假.
一般地,用逻辑联结 词“或”把命题
p
和命题
q
联结起来,就得到一个新命题,记作:
p ?q

读作:
p

q
.规定:当
p
q
两个命题中有一个是真命题时,
p?q
是真命题;当
p
q
都是假
命题时,
p?q
是假命题.全假为假,有真即真.
一 般地,对一个命题
p
全盘否定,就得到一个新命题,记作:
?
p
,读 作“非
p
”或“
p

否定”.若
p
是真命题,则< br>?p
必是假命题;若
p
是假命题,则
?p
必是真命题.
复合命题形式
q或p
p且q
非p
正面词语
否定
表示含义
q与p中至少有一个发生
q与p同时发生
否定p
与集合运算的联系
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
C
U
P={x|x
?
P,x∈U}
任意的 所有的 至多有n个
某个 某些 至少有n+1个
任意两个
某两个
“非”命题最常见的几个正面词语的否定:
至多有一个 至少有一个
至少有两个 一个也没有


正面词语 等于
否定
p




q




不等于
非p




大于(>)
不大于(≤)








小于(<=
不小于(≥)

不是
都是
不都是
q或p p且q
13、四种命题及其形式:
原命题:若p则q; 逆命题:若q则p;
否命题:若﹁p则﹁q; 逆否命题:若﹁q则﹁p.
四种命题的真假关系
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:
①原命题为真,它的逆命题不一定为真
②原命题为真,它的否命题不一定为真
③原命题为真,它的逆否命题一定为真

原命题
逆命题
否命题
逆否命题
















反证法:要证明某一结论A是正确的,但不直接证明,而是先去 证明A的反面(非A)是错误
的,从而断定A是正确的 即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来 达到肯定命
题的结论,完成命题的论证的一种数学证明方法
反证法的步骤:
(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立
(2)从这个假设出发,通过推理论证,得出矛盾
(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确
注意:可能出现矛盾四种情况:①与题设矛盾;②与反设矛盾;③与公理、定理矛盾 ④在证明
过程中,推出自相矛盾的结论
14、充分必要条件:
对于命题“若p则q”,即p是条件,q为结论.
(1)如果已知p
?
q,我们就说p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)如果既有p
?
q,又有q
?
p,就记作p
?
q.这时,p既是q的 充分条件,又是q的必
要条件,我们就说p是q的充分必要条件,简称充要条件.
15、一元二次不等式解法


一元二次不等式
ax?bx?c?0( 或ax?bx?c?0)(a?0)
的代数解法:
设一元二次不等式
ax?bx?c ?0(a?0)
相应的方程
ax?bx?c?0(a?0)
的两根为
2222
x
1
、x
2
且x
1
?x
2
,则
ax
2
?bx?c?0?a(x?x
1
)(x?x
2
)?0

①若
a?0,则得
?
?
x?x
1
?0,
?
x?x
1
?0,
?
x?x
1< br>,
?
x?x
1
,


?
?
?

?
?
x?x
2
?0,
?
x?x
2
?0.
?
x?x
2
,
?
x?x
2.

x
1
?x
2
时,得
x?x
1
x?x
2
;当
x
1
?x
2
时,得< br>x?R,且x?x
1
.
②若
a?0,则得
?
?x?x
1
?0,
?
x?x
1
?0,
?
x?x
1
,
?
x?x
1
,


?
?
?

?
?
x?x
2
?0,
?< br>x?x
2
?0.
?
x?x
2
,
?
x ?x
2
.

x
1
?x
2
时,得
x
1
?x?x
2
;当
x
1
?x
2
时 ,得
x??
.
列表法,解题步骤是:
①将不等式化为(x-x
1
)(x-x
2
)…(x-x
n
)>0(<0)形式(各项x的符号化 “+”),令(x-x
1
)(x-x
2
)…
(x-x
n)=0,求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点把(实数)数轴分成两部分,n个分
界点把数轴 分成n+1部分……;
②按各根把实数分成的n+1部分,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列( 由对应较小根的
因式开始依次自上而下排列);
③计算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号;
④看下面积的符号写出不等式的解集.
根轴法:可大致画出函数图形求解,称之为根轴法(零点分段法)
①将不等式化为(x-x< br>1
)(x-x
2
)…(x-x
n
)>0(<0)形式,并将各 因式x的系数化“+”;(为了统一方
便)
②求根,并在数轴上表示出来;
③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?);
④若不等式(x的系数化“+”后 )是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,
则找“线”在x轴下方的区间.

注意:奇过偶不过
分式不等式的解法:解法是:移项,通分,右边化为0,左边化为
f(x)
的形式. 也可以直
g(x)
接用根轴法(零点分段法)求解
由不等式的性质易知:不等式两边 同乘以正数,不等号方向不变;不等式两边同乘以负数,
不等号方向要变;分母中有未知数x,不等式两 边同乘以一个含x的式子,它的正负不知,不
等号方向无法确定,无从解起,若讨论分母的正负,再解也 可以,但太复杂.因此,解分式不
等式,切忌去分母.


第二章 函数
1.映射:一般地,设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则
f
,对于集合 A中的任何一个元素,
在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到 B的对
应法则
f
)叫做集合A到集合B的映射,记作
f
:A→B。
集合A到集合B的映射有两种形式:(1)一一对应;(2)多对一;“注意一对多则不是映射。”
给 定一个集合A到B的映射,且a∈A,b∈B,如果元素a和元素b对应,那么,我们把
元素b叫做元素 a的象,元素a叫做元素b的原象。
一一映射:一般地,设A、B是两个集合,
f
: A→B是集合A到集合B的映射,如果在这个映射
下,对于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象 ,而且B中每一个元素都有原象,
那么这个映射叫做A到B上的一一映射。
2、函数:如果A 、B都是非空数集,那么A到B的映射
f
:A→B就叫做A到B的函数。记作
y?f< br>?
x
?

其中x∈A,y∈B。原象的集合A叫做函数
y?f
?
x
?
的定义域,象的集合C(C
函数
y?f
?< br>x
?
的值域。
函数的表示方法有三种:(1)解析法;(2)列表法;(3)图象法。
闭区间[a,b],开区间(a,b),半开闭区间(a,b]、[a,b)的含义。
3.反函数
B)叫做
?y
,函数⑴定义:只有满足
x???
唯一
y?f(x)
的反函数记为
x?f
⑵.求反函数的步骤:
?1
y?f(x)
才有反函数. 例如:
y?x
2
无反函数 .函数
(y)
,习惯上记为
y?f
?1
(x)
.
①将
y?f(x)
看成关于
x
的方程,解出
x?
②将x,y
互换,得
y?f
?1
f
?1
(y)
,若 有两解,要注意解的选择;
(x)

③写出反函数的定义域(即
y?f(x)
的值域)。
⑶.在同一坐标系,函 数
y?f(x)
与它的反函数
y?f
?1
(x)
的图象关于
y?x
对称.
?1
⑷一般地,如果函数
y?f(x)
有反 函数,且
f(a)?b
,那么
f
在函数
(b)?a
. 这就 是说点(
a,b

y?f(x)
图象上,那么点(
b,a
) 在函数
y?f
?1
(x)
的图象上.
-1
注:1、函数< br>f
(
x
)的反函数
f
(
x
)的性质与
f
(
x
)性质紧密相连,如定义域、值域互换,具有相
-1
同的单 调性等,把反函数
f
(
x
)的问题化归为函数
f
(
x
)的问题是处理反函数问题的重要
思想。
-1-1
2、设函数
f
(
x
)定义域为A,值域为C,则①
f
[
f
(
x
)]=
x
,(
xA)②
f
[
f
(
x
)]=
x
,(x
C)


4、函数的单调性:如果函数
y?f
?
x
?
在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数
y?f
?
x
?
在这
一区间具有单调性,这一区间叫做
y?f
?
x
?< br>的单调区间。
增函数:如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
,当
x
1
?x
2
时,< br>都有
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
,那么就说
f
?
x
?
在这个区间上是增函数。
减函数:如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值
x
1
,x< br>2
,当
x
1
?x
2
时,都有
f
?< br>x
1
?
?f
?
x
2
?
,那么就说< br>f
?
x
?
在这个区间上是减函数。
判断函数单调性的方法:
①定义法(作差比较和作商比较);
②图象法;
③单调性的运算性质(实质上是不等式性质);
④复合函数单调性判断法则;
⑤导数法(适用于多项式函数)
5、奇偶性:条件:定义域一定要关于原点对称。如果对于函 数
f
?
x
?
的定义域内任意一个x都有
f
?
?x
?
?f
?
x
?
,那么函数
f
?x
?
就叫做偶函数。如果对于函数
f
?
x
?
的 定义域内任意一个x
都有
f
?
?x
?
??f
?x
?
,那么函数
f
?
x
?
就叫做奇函数。 < br>如果函数
f
?
x
?
是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f
?
x
?
具有奇偶性。
奇函数关于原点对称,偶函数关于y轴对称。
⑴偶函数:
f(?x)?f(x).设(
a,b
)为偶函数上一点,则(
?a,b
)也是图象上一点. < br>⑵奇函数:
f(?x)??f(x)
.设(
a,b
)为奇函数上一点, 则(
?a,?b
)也是图象上一点.
注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性 的必要条件,在利用定义判断时,应在化简解析
式后进行,同时灵活运用定义域的变形,如
6、 对称性:
⑴两个函数的图象对称性
1、
y?f(x)

y??f(x)
关于
x
轴对称。
换种说法:
y?f(x)

y?g(x)
若满足
f(x)??g(x )
,即它们关于
y?0
对称。
2、
y?f(x)

y?f(?x)
关于Y轴对称。
换种说法:
y?f(x)

y?g(x)
若满足
f(x)?g(?x)
,即它 们关于
x?0
对称。
3、
y?f(x)

y?f(2a?x)
关于直线
x?a
对称。
换种说法:
y?f(x)

y?g(x)
若满足
f(x)? g(2a?x)
,即它们关于
x?a
对称。
4、
y?f(x)

y?2a?f(x)
关于直线
y?a
对称。
f(?x)?f(x)?0

f
?
?x
?
??1< br>?
f
?
x
?
?0
?

f
?
x
?


换种说法:
y?f(x)

y?g( x)
若满足
f(x)?g(x)?2a
,即它们关于
y?a
对称。
5、
y?f(x)与y?2b?f(2a?x)
关于点
(a,b)
对称。
换种说法:
y?f(x)

y?g(x)
若满足
f(x)?g(2 a?x)?2b
,即它们关于点
(a,b)

称。
6、
y?f(a?x)

y?(x?b)
关于直线
x?
⑵单个函数的对称 性
a?b
对称。
2
a?b
对称。
2
a?b< br>c
性质2:函数
y?f(x)
满足
f(a?x)?f(b?x)?c< br>时,函数
y?f(x)
的图象关于点(,)
2
2
对称。 b?a
性质3:函数
y?f(a?x)
的图象与
y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
对称。
2
7、周期性
1、一般地,对于函 数
f(x)
,如果存在一个非零常数T,使得当
x
取定义域内的每一个值时, 都
性质1:函数
y?f(x)
满足
f(a?x)?f(b?x)
时, 函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?

f
?
x? T
?
?f
?
x
?
,那么函数
f(x)
就叫 做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。
说明:周期函数定义域必是无界的。
推广: 若
f(x?a)?f(x?b)
,则
f(x)
是周期函数,
b?a< br>是它的一个周期
2、若
T
是周期,则
kT(k?0,k?Z)
也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所
说的周期是指函数的最小正周期。
说明:周期函数并非都有最小正周期。如常函数
f(x)?C

3、对于非 零常数
A
,若函数
y?f(x)
满足
f
?
x?A< br>?
??f
?
x
?
,则函数
y?f(x)
必有 一个周期

2A

4、对于非零常数
A
,函数
y ?f(x)
满足
f(x?A)?
1
,则函数
y?f(x)
的 一个周期为
2A

f(x)
1
,则函数
y?f(x)的一个周期为
2A

f(x)
5、对于非零常数
A
, 函数
y?f(x)
满足
f(x?A)??
6、对于非零常数
A
,函数
y?f(x)
满足
f(x?
A1?f(x)A1?f(x)
)?

f(x?)?
则函数
21?f(x)21?f(x)
y?f( x)
的一个周期为
2A

7、已知函数
f(x)
的定义域 为
N
,且对任意正整数
x
都有
f(x)?f(x?a)?f(x?a )(a?0)

函数的一个周期为
6a

8、对称性和周期性之间的联系
性质1:函数
y?f(x)
满足
f (a?x)?f(a?x)

f(b?x)?f(b?x)
(a?b)
,则函 数
y?f(x)


周期函数。
性质2:函数
y? f(x)
满足
f(a?x)?f(a?x)?c

f(b?x)?f(b?x )?c
(a?b)
时,函数
cc
)、(
b
,)时,函数22
y?f(x)
是周期函数,且对称中心距离的两倍,是函数的一个周期)
性 质3:函数
y?f(x)
有一个对称中心(
a

c
)和一个 对称轴
x?b

a

b
)时,该函数也是周
期函数 ,且一个周期是
4(b?a)

推论:若定义在
R
上的函数
f(x)
的图象关于直线
x?a
和点
(b,0)(a?b)
对称, 则
f(x)
是周
期函数,
4(b?a)
是它的一个周期
( 函数
y?f(x)
图象有两个对称中心(
a

y?f(x)
是周期函数。
性质4:若函数
f(x)
对定义域内的任意
x
满足:< br>f(x?a)?f(x?a)
,则
2a
为函数
f(x)
的周< br>期。(若
f(x)
满足
f
?
x?a
?
?f< br>?
a?x
?

f(x)
的图象以
x?a
为图 象的对称轴,应注意
二者的区别)
性质5:已知函数
y?f
?
x< br>?
对任意实数
x
,都有
f
?
a?x
?
?f
?
x
?
?b
,则
y?f
?
x
?
是以
2a

周期的函数
9、指数与指数函数:
指数运算法则:
⑴同底数幂乘法法则:同底数的幂相乘,底数不变,指数相加,即
a?a?a
⑵幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘,即
a
m
mnm?n

??
n
?a
mn

n
nn
⑶积的 乘方法则:.积的乘方等于积的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即
?
ab
?< br>?ab

⑷同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即
a
m
?a
n
?a
m?n
a?1

n
?
a
?
a
⑸商的乘方法则:.商的乘方等于除数与被除数分别乘方,再把所 得的幂相除,
??
?
n

?
b
?
b?
0
?
指数函数:一般的,函数
y?a

a?0
,且
a?1
)叫做指数函数,其中
x
是自变量,函数的
定义域为< br>R
.

x
y?a
x

a?1

y?a
x

0?a?1








Y
Y
(0,1)
X

定义域为R;值域为
(0,??)

(0,1)
X


在R上为增函数 在R上为减函数

,当
x?0
时,
y?1
;过定点(0,1),当
x?0
时,
0?y?1


过定点(0,1)


x?0
时,
0?y?1

x?0
时,
y?1

说明:一般地,当
a?0
时 ,将函数
y?f(x)
的图象向左平移
a
个单位得到
y?f(x?a )
的图
象;当
a?0
时,将函数
y?f(x)
的图象向右平 移
|a|
个单位,得到
y?f(x?a)
的图象。
图象特征 函数性质
a
>1 0<
a
<1

x
轴正负方向无限延伸
图象关于原点和
y
轴不对称
函数图象都在
x
轴上方
函数图象都过定点(0,1)
自左向右,
图象逐渐上升
在第一象限内的图
象纵坐标都大于1
在第二象限内的图
象纵坐标都小于1
自左向右,
图象逐渐下降
在第一象限内的图
象纵坐标都小于1
a
>1 0<
a
<1
函数的定义域为R
非奇非偶函数
函数的值域为R
+
a
0
=1
增函数 减函数
x
>0,
a
x
>1
x
>0,
a
x
<1
x
<0,
a
x
>1
在第二象限内的图
x
<0,
a
x
<1
象纵坐标都大于1
利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在
[a,b]上,f(x)=a< br>(
a
>0且
a
≠1)值域是
[f(a),f(b)]或[f( b),f(a)];

(2)若
x?0,则f(x)?1;f(x)取遍所有正数当且仅当x?R;

(3)对于指数函数
f(x)?a

a
>0且
a
≠1), 总有
f
?
0
?
?1

f(1)?a;
< br>x
x
(4)当
a
>1时,若
x
1

x
2
,则
f(x
1
)

f(x
2
)

10、对数与对数函数:


对数的运算性质:如果
a
> 0,
a
1,
M
> 0,
N
> 0 ,则
(1)
log
a
(MN)?loga
M?log
a
N

M
(2)
log
a
?log
a
M?log
a
N

N
(3)
log
a
M
n
?nlog
a
M(n?R)

① 对数的换底公式
log
a
N?
log
b
N1
; ② 对数的倒数公式
log
a
b?
.
log
b
alog
b
a
③ 对数恒等式:
log< br>a
n
N
n
?log
a
N

log< br>a
m
N
n
?
对数的性质:
图象的特征
(1)图象都在
y
轴的右边
(2)函数图象都经过(1,0)点
(3)从左往右看,当
a
>1时,图象逐
渐上升,当0<
a
<1时, 图象逐渐下
降 .
n
log
b
cglog
c
a?1
.
lo g
a
N

log
a
bg
m
函数的性质
(1)定义域是(0,+∞)
(2)1的对数是0
(3)当
a
>1时,
y?log
a
是增函数,
x
y?log
a
x
是减函数. 当0<
a
<1时,
(4)当
a
>1时,
x
>1,则
log
a
x
>0;
(4)当
a
>1时,函数图象在(1,0)
点右边的纵坐 标都大于0,在(1,0)
0<
x
<1,
log
a
x
<0
点左边的纵坐标都小于0. 当0<
a
<1
时,图象正好相反,在(1,0) 点右边
当0<
a
<1时,
x
>1,则
log
ax
<0;
的纵坐标都小于0,在(1,0)点左边
的纵坐标都大于0 .
0<
x
<1,
log
a
x
<0

指数函数与对数函数对照表

一般形式
定义域
值域







指数函数 对数函数
y?a
x
(a?0
,且
a?1)

y?log
a
x
(a?0
,且
a?1)

(??,??)

(0,??)


a?1
时, 当
a?1
时,
(0,??)

(??,??)

?
a
x
?1,x?0,
?
x
?
a?1,x?0,< br>
?
a
x
?1,x?0.
?

0?a?1< br>时,
?
log
a
x?0,x?1,
?
?
l og
a
x?0,x?1,

?
logx?0,x?1.
?
a

0?a?1
时,


?
a
x
?1,x?0,
?
x
?a?1,x?0,

?
a
x
?1,x?0.
?
?
log
a
x?0,x?1,
?
?
log
a
x?0,x?1,

?
logx?0,x?1.
?
a
a? 1
时,
y?a
x
是增函数;
单调性
a?1
时,
y?log
a
x
是增函数;
0?a?1
时,
y?log
a
x
是减函数
0?a?1
时,
y?a
x
是减函数
图象
x函数
y?a
的图象与函数
y?log
a
x
的图象关于直 线
y?x
对称.
11、凸函数与凹函数
在给定区间内,若函数
f (x)
的图象向上凸出,则函数
f(x)
在该区间上为凸函数,结合图象
x? xf(x
1
)?f(x
2
)
易得到
f(
12
)?

22
在给定区间内,若函数
f(x)
的图象向下凹进,则 函数
f(x)
在该区间上为凹函数,结合图象
易得到
f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)

)?
22


第三章 数列:
1、等差数列: (1)等差数列定义:一般地,如果一个数列从第
2
项起,每一项与它的前一项的差等于同 一个
常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母
d
示。用递推公式表示为
a
n
?a
n?1
?d(n?2 )

a
n?1
?a
n
?d(n?1)

(2)等差数列的通项公式:
a
n
?a
1
?(n?1)d

说明:等差数列(通常可称为
AP
数列)的单调性:
d?0
为递增数 列,
d?0
为常数列,
d?0
为递减数列。
(3)等差中项的概念:
定义:如果
a

A

b
成等差数列,那么
A
叫做
a

b
的等差中项。其中
A?
a?b

a

2
A

b成等差数列
?
A?
a?b

2
n(a
1?a
n
)
n(n?1)
?na
1
?d
22
(4)等差数列的前
n
和的求和公式:
S
n
?(5)等差数列的知识要点:
(1)等差数列定义
a
n
+1

a
n

d
(常数)(
n

?
N) ,这是证明一个数列是等差数列的依据,
要防止仅由前若干项,如
a
3
a
2

a
2

a
1

d(常数)就说{
a
n
}是等差数列这样的错
误,判断一个数列是否是等差 数列。还可由
a
n

a
n
+2
=2
a
n
+1

a
n
+2

an
+1

a
n
+1

a
n

判断。
(2)等差数列的通项为
a
n

a
1< br>+(
n
-1)
d
.可整理成
a
n

a
n
+(
a
1

d
),当
d
≠0 时,
a
n


关于
n
的一次式,它的图象是一条直线上,那么
n
为自然数的点的集合。
(3)对于
A

a

b
的等差中项,可以表示成2
A

a

b

(4)等差数列的前
n
项和公式
S
n

a
1
?a
n
n(n?1)
·
n

na
1< br>+
d
,可以整理成
22
S
n

d
2
d
n

(a
1
?)n
。当
d
≠ 0时是
n
的一个常数项为0的二次式。
2
2
(6)等差数列的判定方法:
①定义法:对于数列
?
a
n
?
,若
a
n?1
?a
n
?d
(常数),则数列
?
a
n
?
是等差数列;
②等差中项:对 于数列
?
a
n
?
,若
2a
n?1
?an
?a
n?2
,则数列
?
a
n
?
是等 差数列。
(7)等差数列的性质:
(1)在等差数列
?
a
n?
中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;
(2)在等差数列
?a
n
?
中,相隔等距离的项组成的数列是
AP
, 如:
a
1

a
3

a
5

a
7
,……;
a
3

a
8

a
1 3

a
18
,……;
(3)在等差数列
?
an
?
中,对任意
m

n?N
?

a< br>n
?a
m
?(n?m)d

d?
a
n
?a
m

(m?n)

n?m
(4)在等差数列
?
a
n
?
中,若
m

n

p
q?N
?

m?n?p?q
,则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

说明:设数列
{a
n
}
是等差数列,且公差为
d

(Ⅰ)若项数为偶数,设共有
2n
项,则①
S

?
S

?nd
;②
S

a
?
n

S

a
n?1
S

n

?S

n?1
(Ⅱ)若项数为奇数,设共有
2n?1
项,则①S

?
S

?a
n
?a

; ②
(8)(1)
a
1
?0

d?0
时,
S
n
有最大值;
a
1
?0

d?0
时,S
n
有最小值;
(2)
S
n
最值的求法:①若已知< br>S
n
,可用二次函数最值的求法(
n?N
?
);②若已知a
n


S
n
最值时
n
的值(
n?N
?
)可如下确定
?
?
a
n
?0
?
a
n
?0

?

?
a
n?1< br>?0
?
a
n?1
?0
2、等比数列:
1.等比数列 定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常
.....
数 ,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母
q
表示

(q?0)
,即:
a
n?1

a
n
? q(q?0)
数列对于数列(1)(2)(3)都是等比数列,它们的公比
依次是2,5,?
1
。(注意:“从第二项起”、“常数”
q
、等比数列的公比和项都不 为零)
2


n?1
2.等比数列通项公式为:
a
n< br>?a
1
?q(a
1
?q?0)

说明:(1)由等 比数列的通项公式可以知道:当公比
d?1
时该数列既是等比数列也是等差数列;
(2 )等比数列的通项公式知:若
{a
n
}
为等比数列,则
a
m
?q
m?n

a
n
3.等比中项:如果在
a与b
中间插入一个数
G
,使
a,G,b
成等比数列,那么
G叫做
a与b
的等
比中项(两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项)。
4.等比数列前n项和公式
一般地,设等比数列
a
1
,a
2
,a
3
,L,a
n
,L
的前n项和是
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
?L?a
n
,当
a
1
(1?q
n
)
a?a
n
q
S
n
?
1
;当q=1时,
S
n
? na
1
(错位相减法)。
q?1
时,
S
n
?< br>1?q
1?q
说明:(1)
a
1
,q,n,S
n
a
1
,a
n
,q,S
n
各已知三个可求第四 个;
(2)注意求和公式中是
q
,通项公式中是
q
nn?1
不要混淆;
(3)应用求和公式时
q?1
,必要时应讨论
q?1
的情况。
5、等比数列的判定方法
①定义法:对于数列
?
a
n
?< br>,若
a
n?1
?q(q?0)
,则数列
?
a
n
?
是等比数列;
a
n
2
②等比中项:对于数列
?
a
n
?
,若
a
n
a
n?2
?a
n?1
,则数列
?
a
n
?
是等比数列。
6.等比数列的性质
①等比数列任意两项间的关系:如果
a
n
是等 比数列的第
n
项,
a
m
是等差数列的第
m
项,且< br>m?n
,公比为
q
,则有
a
n
?a
m
q
n?m

②对于等比数列
?
a
n
?
,若
n?m?u?v
,则
a
n
?a
m
?a
u
?a
v
,也就是:
a
1
?a
n
?a2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
1
?a
n
?????
a
??????
a,a,a,?,a
n?2
,a
n?1
,a
n
。 ,如图所示:
1?
2
?
3
???????
a
2
?a
n ?1
③若数列
?
a
n
?
是等比数列,
S
n
是其前n项的和,
k?N
*
,那么
S
k

S
2k
?S
k

S
3k
?S
2k
成等
????????????
S
?
3k
????????????
a?a?a???a?a
1
???a
2k
?a
2k?1???a
3k
比数列。如图所示:
?
1
??
2
??
3
????
k
?
k?
?????????????< br>S
k
S
2k
?S
k
S
3k
?S2k
数列归纳:
1、通项与前n项和的关系:
S
n
?a
n
?
?
a
1
,(n?1)

S?S,(n?2)
n?1
?
n
?
若a
n
?a
n?1
?f(n),(n?2)
,2、迭加累加法:
则a
2
?a
1
?f(2)

a
3
?a
2
?f(3)
,………,
a
n
?a
n?1
?f(n)

?a
n
?a
1
?f(2)?f(3)??f(n)


3、迭乘累乘法:

a
n
aa
a
?g( n)


2
?g(2)

3
?g(3)
, ………,
n
?g(n)

a
n?1
a
1
a
2
a
n?1
?
a
n
?g(2)?g(n)

a
1
4、裂项相消法:
a
n
?
1111
? (?)

(An?B)(An?C)C?BAn?BAn?C
5、错位相减法:
a
n
?b
n
?c
n
,
?
b
n
?
是公差d≠0等差数列,
?
c
n
?
是公比q≠ 1等比数列
S
n
?b
1
c
1
?b
2c
2
???b
n?1
c
n?1
?b
n
c
n

则qS
n
?b
1
c
2
?? ??b
n?1
c
n
?b
n
c
n?1
所以有
(1?q)S
n
?b
1
c
1
?(c2
?c
3
???c
n
)d?b
n
c
n ?1

6、通项分解法:
a
n
?b
n
?c
n

7、等差与等比的互变关系:
?
a
n
?
成等差数列??
b
a
?
(b>0,b?1)成等比数列

n
?
a
n
?
成等差数列?
?
ca
n
?d?
(c?0)成等差数列

?
a
n
?
成等比数 列
?
?
log
b
a
n
?
成等差数列

a
n
?0
?
a
n
?
成等比数列??
a
n
k
?
成等比数列

8、等比、等差数列和的形式:
?
a
n
?
成等差数列?a
n
?An?B?S
n
?An
2
?Bn

?
a
n
?
(q?1)成等比数列?S
n
?A(q
n
? 1)(A?0)

9、无穷递缩等比数列的所有项和:
S
n
??
a
n
?
(|q|<1)成等比数列?S?lim
n??
a
1

1?q
10、一些数列的求和公式:
⑴.①直接转化为等差数列或等比数列求和问题;
②运用等差数列与等比数列求和公式推导时所用的方法是:倒序相加法和错位相减法;
③对通项进行分解或组合,将原数列化成若干个容易求和的数列。
⑵.掌握一些常见的前n
项和公式,如
1?2?3???n?
公式,如
2222
1n
?
n?1
??
2n?1
?
,常用的裂项
6< br>1111
???k?1?k

n
?
n?1
?
nn?1
k?1?k


⑶.
1?2?3???n?
1
n
?
n?1
?

2
1
1
2
?2
2
?3
2
???n
2
?n
?
n?1
??
2n?1
?

6
1
2
1
3
?2
3
?3
3
???n
3
?n
2
?
n?1
?

4
012nnnnnnn?1
⑷.
C
n
?C
n
?C
n
???C
n
?2

C
n
?C
n?1
?C
n?2
???C
n?k?C
n?k?1

⑸.
1111n
??????
, < br>1?22?33?4n?
?
n?1
?
n?1
111122??????3??

1?32?43?5n?
?
n?2
?n?1n?2
1111
?
1
?
⑹.数列
1,3,5,7 ,?

n
项和
S
n
?n
2
?1?
??

24816
?
2
?
1、倒数数列为等差数列 :
n
11
??d
;即:
a
n
?a
n?1< br>?da
n
a
n?1
?0

a
n
a
n?1
2、线型数列:
a
n
?aa
n?1
?b
n?2
)(a,b为常数)
3、差数列为等差或等比:
a
n
?a
n?1
?an?b

a,b
为常数)或
a< br>n
?a
n?1
?ab
n

a,b
为非零常数 )
4、利用
a
n
?
?
S
1
,n?1(注意有时“到用”先求
S
n

?
S
n
?S
n?1
,n?2
?


第四章 三角函数:
1、任意角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线
由原来的位置
OA
,绕着它的端点< br>O
按逆时针方向旋转到终止位置
OB
,就形成角
?
。旋转开< br>始时的射线
OA
叫做角的始边,
OB
叫终边,射线的端点
O< br>叫做叫
?
的顶点。
为了区别起见,我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫 正角,按顺时针方向旋转所形成
的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2、终边相同的角、区间角与象限角
角的顶点与原点重合,角的始边与
x
轴 的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外)在
第几象限,我们就说这个角是第几象限角。要特别注意 :如果角的终边在坐标轴上,就认为这个
角不属于任何一个象限,称为非象限角。

终边相同的角是指与某个角
?
具有同终边的所有角,它们彼此相差
2k
?
?
k?Z
?
,即

?
?
?
??< br>?2k
?
?
?
,k?Z
?
,根据三角函数的定义,终 边相同的角的各种三角函数值都相等。
区间角是介于两个角之间的所有角,如
?
??
?
?
?
5
?
?
?
?
5?
?
?
?
?
?
?
?
,
?
6
?
?
66
?
?
6
3、弧度制: 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角,记作1
rad
,或1弧度,或1(单
距位可以省略不写)。角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如
?
?
,?2
?

等,一般地, 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角 的弧度数是0,角
的正负主要由角的旋转方向来决定。

?
的弧度数的绝对 值是:
?
?
l
,其中,l是圆心角所对的弧长,
r
是半径。
r
?
角度制与弧度制的换算主要抓住
180?
?
rad
弧度与角度互换公式:1
rad

180?
?
?5 7.30??57?18
?
,1°=
?
180
≈0.01745(< br>rad
)。
弧长公式:
l?|
?
|r

?
是圆心角的弧度数),
扇形面积公式:
S?
11
lr?|
?
|r
2

22
4、三角函数定义:利用单位圆定义任意角的三角 函数,设
?
是一个任意角,它的终边与单位圆
交于点
P(x,y)
, 那么:
(1)
y
叫做
?
的正弦,记做
sin
?< br>,即
sin
?
?y

(2)
x
叫做
?
的余弦,记做
cos
?
,即
cos
?
?x
(3)
y
y
叫做
?
的正切,记做
tan< br>?
,即
tan
?
?(x?0)

x
x
5.三角函数线
把这三条与单位圆有关的有向线段
MP、OM 、AT
,分别叫做角
?
的正弦线、余弦线、
正切线,统称为三角函数线。
6.同角三角函数关系式
⑴平方关系:
sin
?
?cos
?
?1

sec
?
?tan
?
?1

csc
?
?cot
?
?1

222222sin
?
sec
?
cos
?
csc
?
?tan
?
??cot
?
?

cos
?
csc
?
sin
?
sec
?
⑶倒数关系:
tan
?
?cot
?
?1

sin
?
?c sc
?
?1

cos
?
?sec
?
?1< br>
⑵商数关系:
7.诱导公式:可用十个字概括为“奇变偶不变,符号看象限”。
诱导公式一:
sin(
?
?2k
?
)?sin
?

co s(
?
?2k
?
)?cos
?
,其中
k?Z

oo
诱导公式二:
sin(180?
?
)?
?sin
?

cos(180?
?
)??
cos
?

诱导公式三:
sin(?
?
)??sin
?

cos(?
?
)?cos
?


诱导公式四:
sin(180?
?
)?sin
?

cos(180?
?
)??cos
?

oo
诱导公式五:
sin(360?
?
)??sin
?

cos(360?
?
)?cos
?

oo
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
? sin
?

cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?

tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?

?2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin< br>?

cos
?
?
?
?
?
??cos
?

tan
?
?
?
?
?
?tan
?

?
3
?
sin
?
?
??
??sin
?

cos
?
?
?
?< br>?cos
?

tan
?
?
?
?
?? tan
?

?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?

cos
?
?
?
?
?
??cos
?

tan
?
?
?
?
?
??tan
?

?
5
?
sin
?
?
??
?
?
?
?
?
? cos
?

cos
?
?
?
?
?sin?

?
2
??
2
?
?
?
6
?
sin
?
?

??
?
?
??
?
?cos
?

cos
?
?
??
??sin
?

?
2
??
2
?

?


sin
?

?
?
?
?

sin
?


cos
?

?
?
?


sin
?


cos
?

2
?
?
?


sin
?

2k
?
?
?
?
k?Z
?

?
sin

cos

cos
?

cos
?

sin
?

cos
?

?
?

2
cos
?

sin
?

tan

?tan
?

?tan
?

o
tan
?

?tan
?

tan
?

cot
?

(1)要化的角的形式为
k?180?
?

k
为常整数);
(2)记忆方法:“函数名不变,符号看象限”;
(3)
sin
?
k
?
?
?
?
?
?
?1
?
sin< br>?

cos
?
k
?
?
?
?
?
?
?1
?
cos
?
?
k?Z
?

kk
(4)
sin
?
x?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
????
?
?
? cos?x?cosx?cosx??sin?x

?????????

4
?
4444
????????
8、两角和与差的三角函数. (1)
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

(2)
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
c os
?
?cos
?
sin
?

(3)
t an
?
?
?
?
?
?
tan
?
?t an
?

1?tan
?
tan
?
9、二倍角公式.
(1)
sin2
?
?2sin
?
cos
?

(2)
cos2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?

2222


(3)
tan2
?
?
2tan
?

2
1 ?tan
?
1?cos2
?
1?cos2
?
2
10 、降幂公式:
sin
?
?

,cos
2
?
?
22
11、半角公式.
(1)< br>sin
?
2
??
1?cos
?
?
1?cos
?
?
1?cos
?
, (2)
cos??
, (3)
tan??

22221?cos
?
12、三角函数的和差化积公式与和差化积公式:
1
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?

2
1
cos
?
sin
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
< br>2
1
cos
?
cos
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
??
?
?

2
1
sin
?
sin
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?c os
?
?
?
?
?
?

2
?
?
??
?
?
和差化积公式:
sin
?
?sin< br>?
?2sin

cos
22
?
?
??
?
?

s in
?
?sin
?
?2cossin
22
?
???
?
?

cos
?
?cos
?
?2 coscos
22
?
?
??
?
?

co s
?
?cos
?
?2sinsin
22
积化和差公式:sin
?
cos
?
?
2tan
万能公式:
s in
?
?
?
2

cos
?
?
1? tan
2
1?tan
2
?
?
2

tan< br>?
?
2
2tan
?
2

1?tan
2
13、正弦定理与余弦定理:
?
2
1?ta n
2
?
2
b
ac
???2R

R

?ABC
的外接圆半径
sinA
sinB
sinC

a?2RsinA

b?2RsinB

c?2RsinC

2S
a
b2Sc2S

sinA??
?

sinB??
?

sinC??
?

2 Rbc2Rac2Rab
正弦定理:
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
余弦定理:
cosA?

cosB?
cosC?

2bc2ac2ab
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA

b
2
?a
2
?c
2
?2accosB

c
2
?a
2< br>?b
2
?2abcosC

射影定理:
acosB?bcos A?c

acosC?ccosA?b

ccosB?bcosC?a

面积公式:
S
?ABC
?
111
abc
abs inC?acsinB?bcsinA?

2224R



S
?ABC
?
P(P-a)(P-b)(P-c)
?
P?a ?b?c
?
?
1
?
a?b?c
?
r
2
S
?ABC
?
1
?
a?b?c
?
r

r

?ABC
的内接圆半径
2
14、正弦、余弦、正切函数的图像和性质

定义域
值域
周期性
奇偶性
y?sinx

R
[?1,?1]

y?cosx

R
[?1,?1]

y?tanx

?
xx?R

x?k
?
?
?
}

2
R
2k
?

奇函数
2k
?

偶函数
k
?

奇函数
[?
单调性
?
2
?2k
?
,
?
2
?2k
?
]< br>上
[
?
2k?1
?
?
,2k
?
]< br>上为
增函数; 为增函数;
[
?
3
?
?2k
?
]

22
为减函数(
k?Z

?2k
?
,
y
[2k
?
,
?
2k?1
?
?
]
上为
减函数(
k?Z

?
?
?< br>?
??k
?
,?k
?
?
上为
?
2< br>?
2
?
增函数(
k?Z

y=sinx
- 4
?
-7
?
-3
?
2
-5
?
2< br>-2
?
-3
?
-
?
2
-
?
2
1
-1
y
o
3
?
2
?
2
?
2
?
5
?
2
3
?
7
?
2
4
?
x

y=cosx
-3
?
-4< br>?
-7
?
2
-5
?
2
-
?
-2
?
-3
?
2
-
?
2
1
-1< br>o
?
2
?
3
?
2
2
?5
?
2
3
?
7
?
2
4
?
x

y
y=tanx
-
3
?
2
-
?
-
?
2
o
?
2
?
3
?
2
x

15、反三角函数:
名称 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数
?< br>??
?
y?sinx

x?
?
?,
?

?
22
?
定义
反函数,叫做反正弦函数,记

x?arcsiny

y?cosx
?
x?
?
0,
?
?
?
的反
函数, 叫做反余弦函数,记

x?arccosy

?
??
?y?tanx

x?
?
?,
?

?
2 2
?
反函数,叫做反正切函数,记

x?arctany


理解
?
??
?
arcsinx
表示属于< br>?
?,
?
?
22
?
且正弦值等于
x
的角
arccosx
表示属于
?
0,
?
?
余弦值等于x的角
?
??
?
arctanx
表示属于
?
?,
?
?
22
?
且正切值等于x的角
图像

定义域
值域
单调性
奇偶性
周期性
[-1,1] [-1,1]

(-∞,+∞)

?
??
?
?,
?

?
?
22
?
在[-1,1]上是增函数
?
0,
?
?

在[-1,1]上是减函数
?
??
?
?
?,
?

?
22
?
在(-∞,+∞)上是增函数
arcsin
?
?x
?
??arcsinx

arccos
?
?x
?
??arccosx

都不是同期函数
arctan
?
?x
?
??arctanx

si n
?
arcsinx
?
?x,x?
?
?1,1
?< br>
恒等式
cos
?
arccosx
?
?x,x?< br>?
?1,1
?
tan
?
arctanx
?
? x,x?R
arcsin
?
sinx
?
?x,
?
? ?
?
x?
?
?,
?

?
22
?< br>arccos
?
cosx
?
?x,

x?
?
0,
?
?

arctan
?
tanx
?
?x,
?
??
?
x?
?
?,
?

?
22
?

互余恒
等式
a rcsinx
?arccosx?
?
2

x?
?
? 1,1
?

16、三角函数的平移:
函数
y?sinx
的 图象上所有点向左(右)平移
?
个单位长度,得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
x?
?< br>?
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)
到原来的
1
倍(纵坐标不变) ,得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;再将 函数
?

y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
?
倍(横坐标不变)
得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
函数y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1
倍(纵坐标不变) ,
?
得到函数
y?sin
?
x
的图象;再将函数
y ?sin
?
x
的图象上所有点向左(右)平移
?

?


单位长度,得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?< br>的图象上所有
点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
?
倍(横坐标不变),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?

图象. < br>17、函数
y??sin
?
?
x?
?
??
? ?0,
?
?0
?
的性质:
①振幅:
?
;②周期:
??
2
?
?
;③频率:
f?
1
?
;④相位:
?
x?
?
;⑤初相:
?

?
?2
?
函数
y??sin
?
?
x?
?
?< br>??
,当
x?x
1
时,取得最小值为
y
min
;当
x?x
2
时,取得最
大值为
y
max
,则
??
11?
?
y
max
?y
min
?
??
?
y
max
?y
min
?
,< br>?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?

222


第五章 平面向量
1、向量概念:
⑴向量:既有方向,又有大小的量叫做向量;注意向量与数量的区别。
⑵零向量:长度为零的向量叫零向量;记作
0
;注意零向量的方向是任意的。
⑶单位向量:长度等于1的向量叫单位向量。
?

j
为两个互相垂直的单位 向量。
⑷相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量,若向量
a
b
相等,记作
a?b

2、共线向量:共线向量(也称平行向量),应 注意两个向量共线但不一定相等,而两个向量相
等则一定共线。
3、向量的加法:若
AB?a

BC?b
,则
AC?a?b
;其几何意义如下表示:
a

a


b

a?b

a

b

b

b

a

a

b
同向时
a

b
反向时






a

b
不共线时 < br>注意:1、
若a=(x
1
,y
1
),b?(x
2,y
2
),则a?b=(x
1
?x
2
,y
1< br>?y
2
)
;
2、
AC?AB?BC
;
4、向量的减法:若
OA?a

OB?b
,则
BA?a?b
;其几何意义如下表示:
a

a

b


b

a

b

a

b
同向时
a

b
反向时
a

b
不共线时




b



注意:1、
若a=(x
1,y
1
),b?(x
2
,y
2
),则a?b=(x1
?x
2
,y
1
?y
2
)


a

2、
OA??AO,a???a
; 3、
AB?OB?OA
;
5、向量加减法的运算律:
1、交换率:
a?b?b?a

2、结合律:
a?b?c?(a?b)?c?a?(b?c)

a?b?c?(a?b)?c?a?(b?c)

6、向量加减法的平行四边形法则 :若
AB?a

AD?b
,则
AC?a?b

DB ?a?b
,;其
几何意义如下表示:
??





D
C
b

A
a

B
7、实数与向量的积:实数
?
与向量
a
的积是一个向量 ,记做
?
a
;它的长度和方向规定如下:
1、长度(模):
?
a?
?
a

2、当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反;当?
?0
时,
?
a?0

8、实数与向量积的运算律:
1、结合律:
?
?
?
a< br>?
?
?
??
?
a

??
2、分配 律:
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?< br>a

?
a?b?
?
a?
?
b
;(以 上
?
,
?
?R
);
9、向量共线定理:
定理:
a?
?
b且b?0
?
a

b

推广:
a

b
?
存在实数
?
1
,
?
2
,使
?
1
a?
?
2
b

10、平面向量的基本定理:
定理:如果
e
1
,e
2是同一个平面内的两个不共线的向量,那么对这一平面内的任一向量
a
,有且
只有 一对实数
?
1
,
?
2
,使得
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
成立;这时我们称不 共线向量
e
1
,e
2
为这一平
利用这些知识可以解决
点共线或者线共点的问题


面内所有向量的一组基底。
注意:在一个平面内基底不唯一,但当基底确定后每一向量都被这个基底唯一表示;
11、向量的两种表示:

a=xi?yj
(基底表示),那么
a ?
?
x,y
?
(坐标表示)
注:
?

j
为两个互相垂直的单位向量。
12、向量的坐标运算:
1、
若a=(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
),则a?b=(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
;
2、
若a=( x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
),则 a?b=(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)< br>;
3、
若a?
?
x,y
?
,则?
a=
?
?
x,
?
y
?

?
?R

4、
若A(x
1
,y
1< br>),B(x
2
,y
2
),则AB=(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
;
13、平行向量的坐标表 示:
a

b

b?0
?
x
1
y< br>2
?x
2
y
1
?0

14、线段的定比分点
1、设P分
P
1
P
2
的比 为
?
,则
?
?
P
1
P
PP
2,其中
?
叫做P分
P

1
P
2
的比, P为
P
1
P
2
的定比分点;
2、当
?
?0
时,P在
P
1
P
2
的线段上;此时P为
P
1
P
2
的内分点;

?1?
?< br>?0
时,P在
P
2
P
1
的延长线上;此时P为
P
1
P
2
的左外分点;

?< br>??1
时,P在
P
1
P
2
的延长线上;此时P为P
1
P
2
的右外分点;
15、定比分点的坐标公式
?
?
x?

P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
),P(x,y)
,因为
P
1
P?
?
PP
2
,所以:
?
?
y?
?
x
1
?
?
x
2
1?
?

y
1
?
?
y
2
1?
?
注意:根据这个公式可以在
P

1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
),P(x,y)
三个量中,知道两个求第三个;
16、中点坐标公式和三角形重心坐 标公式:
1、中点坐标公式:
x
1
?x
2
?
x?
?
2

(x,y),P(x,y),P(x,y)

P
,且P为的中点:则
P
?
111222
1
P
2
y?y
2
?y?
1
?
2
2、三角形重心坐标公式:

?ABC< br>的三个顶点坐标为:
A(x
1
,y
1
),B(x
2< br>,y
2
),C(x
3
,y
3
)

P
?
x,y
?

?ABC
的重


x1
?x
2
?x
3
?
x?
?
3
心:则
?

y
1
?y
2
?y
3
?
y?
3
?
注意:重心分
?ABC
的中线为2:1的性质;
17、平面向量的数量积:
1、向量
a

b
的夹角为
?
,夹角的取值范围是
0?
?
?
?

注:两个向量的夹角要共起点。
2、向量
a

b
的数量积为(也称为点乘):
a?b?abcos
?

注意:1、两个向量的数量积为一个实数;2、零向量与任一向量的数量积为0;
3、向量数量积的几 何意义;注:
bcos
?
表示
b
在上的投影;
acos?
表示
a

b
上的
a
投影;
18、平面向量数量积的性质:
1、
a?e?e?a?acos
?

2、
若a?0,b?0,那么a?b?0?a?b
;(用于判断两向量垂直);
3、
a

b
?a?b?ab

注 :1)、
a

b
同向
?a?b?ab

a

b
反向
?a?b??ab

2)、若
a?b?0

a

b
的夹角为钝角;若
a ?b?0

a

b
的夹角为锐角;
4、
cos
?
?
a?b
ab
; 5、
a?b?ab

19、平面向量数量积的运算律:
1、交换律:
a?b?b?a?abcos
?

?
?
a< br>?
?b?
?
?
a?b
?
?a?
?
?
b
?

3、分配律:
?
a?b
?
?c?a?c?b?c
; (注:平面向量没有结合律);
2、数乘结合律:
20、平面向量数量积的坐标表示:若< br>a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2< br>),则a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

21、向量的长度和两点间距离公式:
1、向量的长度(模):
a?(x, y)
,则
a?
2
2
x?y

a?a?x
2
?y
2

22
22
2、若
A(x
1< br>,y
1
),B(x
2
,y
2
),则AB=(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)

注:重要结论:1)、
a?b?
a?b?x
1
x
2?y
1
y
2
?0
; 2)、
a?|a|
2

2


22、平移和平移公式:
1、平移的概念;
2、点的平移公式:设
P(x,y)
是旧点,它按
a?
?
h,k
?
平移后的新点是
P'(x' ,y')
,则它们
的坐标有如下关系:
?
?
x'?x?h

?
y'?y?k
注:应用这个公式可以对新旧点和平移向量三个量中,解决知二求一的问题;
23、图形的平移:
1、知道新旧两个图象的表达式,可以通过新旧图象上的两个对应点的平移求解平移向量;
2、知道新旧两个图象的表达式,可以运用待定系数法求解平移向量;
24、正弦定理:
abc
???2R

sinAsinBsinC
abc
形 式二:
sinA=

sinB=

sinC=
;(角到边的 转换)
2R2R2R
形式三:
a?2R?sinA

b?2R?s inB

c?2R?sinC
;(边到角的转换)
111
形式四:
S?absinC?bcsinA?acsinB
;(求三角形的面积)
222
形式一:
解决以下两类问题:
1)、已知两角和任一边,求其他两边和一角;(唯一解)
2)、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)。
若给出
a,b,A
那么解的个数为:无解(
a?bsinA
);一解

a?bsinA或者a?bsinA
);两解(
bsinA?a?b
);
25、余弦定理:
形式一:
a
2
?b
2
?c2
?2bc?cosA

b
2
?a
2
?c2
?2ac?cosB

c
2
?a
2
?b2
?2ab?cosC

b
2
?c
2
?a2
a
2
?b
2
?c
2
a
2
? c
2
?b
2
形式二:
cosA?

cosB?
cosC?

2bc
2ab
2ac
解决以下两类问题:
1)、已知三边,求三个角;(唯一解)
2)、已知两边和它们得夹角,求第三边和其他两个角;(唯一解)
26、角平分线定理:
ABAD
?
;其中BD为角B的角平分线。
BCDC
27、正弦定理、余弦定理在解实际问题中的应用;
了解实际问题中的一些专用名词: 仰角、视角,俯角,方位角等等
动手画出示意图,利用几何图形的性质,将已知和未知集中到一个三角形中解决。

第六章 不等式:


1.不等式的基本公式:比较两实数大小的方法——求差比较法
a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

2.不等式的性质:
定理1(对称性):若
a?b
,则
b?a
;若
b?a
,则
a?b
.即< br>a?b
?
b?a

说明:把不等式的左边和右边交换,所得不等式与原不等式异向,称为不等式的对称性。
定理 2(传递性):若
a?b
,且
b?c
,则
a?c

说明:此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数;定理2称不
等式的传递性 。
定理3(可加性):若
a?b
,则
a?c?b?c

说明:(1)不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向;
(2)定理3的 证明相当于比较
a?c

b?c
的大小,采用的是求差比较法;
(3)定理3的逆命题也成立;
(4)不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边。
定理3推论:若
a?b,且c?d,则a?c?b?d

说明:(1)推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出;
(2)这一推论可以推广到 任意有限个同向不等式两边分别相加,即:两个或者更多
个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不 等式同向;
(3)同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;异向不等式:两个不等号方向相
反的不等式。
定理4.如果
a?b

c?0
,那么
ac ?bc
;如果
a?b

c?0
,那么
ac?bc

推论1:如果
a?b?0

c?d?0
,那么
ac?bd< br>。
说明:(1)不等式两端乘以同一个正数,不等号方向不变;乘以同一个负数,不等号方向< br>改变;
(2)两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向; (3)推论
1
可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说,两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不
等式同向。
推论2:如果
a?b?0
, 那么
a?b

(n?N且n?1)

定理5:如果
a?b?0
,那么
n
a?
n
nn
b

(n?N且n?1)

22
同向不等式:两个不等号方向相同的不等式,例如:
a?2?a?1,3a?2a
是同向不等式.
异向不等式:两个不等号方向相反的不等式.例如:
a?3?2a,a?a? 5
是异向不等式.
3.不等式的解法
解不等式是求定义域、值域、参数的 取值范围时的重要手段,与“等式变形”并列的“不
等式的变形”,是研究数学的基本手段之一。
高考试题中,对解不等式有较高的要求,近两年不等式知识占相当大的比例。
(1)同解不等 式((1)
f(x)?g(x)

f(x)?F(x)?g(x)?F(x)
同解;
22


(2)
m?0,f(x)?g(x)

mf(x)?mg(x)
同解,
m?0,f(x)?g(x)

mf(x)?mg(x)
同解;
( 3)
f(x)
?0

f(x)?g(x)?0(g(x)?0
同解) ;
g(x)
4.一元一次不等式
解一元一次不等式(组)及一元二次不等式(组) 是解其他各类不等式的基础,必须熟练
掌握,灵活应用。
?
(1)a?0
?
ax?b?分
?
(2)a?0
情况分别解之。
?
?
(3)a?0
5.一元二次不等式
ax
2
? bx?c?0(a?0)

ax
2
?bx?c?0(a?0)?
分< br>a?0

a?0
情况分别解之,
还要注意
??b?4ac的三种情况,即
??0

??0

??0
,最好联系二 次函数的图象。
6.分式不等式
分式不等式的等价变形:
2
?
f (x)?g(x)?0
f(x)
f(x)
?0
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?0
,≥0
?
?

g(x)
g(x)
?
g(x)?0
7.简单的绝对值不等式
绝对值不等式适用范围较广,向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。
高考试题 中,对绝对值不等式从多方面考查。
解绝对值不等式的常用方法:
①讨论法:讨论绝对值中的式于大于零还是小于零,然后去掉绝对值符号,转化为一般不等式;
②等价变形:解绝对值不等式常用以下等价变形:

x?a?x
2
?a
2
??a?x?a
?
a?0
?

x?a?x< br>2
?a
2
?x?a

x??a
?
a?0?

一般地有:
f
?
x
?
?g
?x
?
??g
?
x
?
?f
?
x
?
?g
?
x
?


f
?
x
?
?g
?
x
?
?f
?
x
?
?g
?
x
?

f
?
x
???g
?
x
?

8.指数不等式
< br>a
f(x)
?a
g(x)
?
(1)当a?1时,f(x)?g (x)

(2)当0?a?1时,f(x)?g(x)

n1
log
a
b,log
a
b?

mlog
b
a
9.对数不等式

a
b
?N?b?log
a
N
(a?0,b?0,log
a
m< br>b
n
)?
??
?
g(x)?0
?
f(x)? 0

log
a
f(x)?log
a
g(x)?
(1)当
a?1
时,;(2)当
0?a?1
时,。
??
??
?
f(x)?g(x)
?
f(x)?g(x)


1 0.线性规划
(1)平面区域
一般地,二元一次不等式
Ax?By?C?0
在平面直角坐标系中表示
Ax?By?C?0
某一
侧所有点组成的平面区域。我们把 直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系
中画不等式
Ax?By?C?0所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把直线画成实线。
说明:由于直线
Ax ?By?C?0
同侧的所有点的坐标
(x,y)
代入
Ax?By?C
,得到实数
符号都相同,所以只需在直线某一侧取一个特殊点
(x
0
,y0
)
,从
Ax
0
?By
0
?C
的正负 即可判断

Ax?By?C?0
表示直线哪一侧的平面区域。特别地,当
C? 0
时,通常把原点作为此特殊点。
(2)有关概念
在上述引例中,不等式组是一组对 变量
x,y
的约束条件,这组约束条件都是关于
x,y
的一
次不等式 ,所以又称为线性约束条件。
z?2x?y
是要求最大值或最小值所涉及的变量
x,y

解析式,叫目标函数。又由于
z?2x?y

x,y
的一次解析式,所以又叫线性目标函数。
一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值 的问题,统称为线性规划问
题。满足线性约束条件的解
(x,y)
叫做可行解,由所有 可行解组成的集合叫做可行域。在上述
问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)

(1,1)
分别使目标函数取
得最大值和最小值,它们都叫 做这个问题的最优解。
2.基本不等式
定理1:如果
a,b?R
,那么< br>a?b?2ab
(当且仅当
a?b
时取“
?
”)。
说明:(1)指出定理适用范围:
a,b?R
;(2)强调取“
?
”的条件< br>a?b

定理2:如果
a,b
是正数,那么
22
a?b

?ab
(当且仅当
a?b
时取“=”
2
?
说明:(1)这个 定理适用的范围:
a,b?R

(2)我们称
a?b
为a,b的算术平均数,称
ab为a,b
的几何平均数。即:两个正数
2
的算术平 均数不小于它们的几何平均数。
3.常用的证明不等式的方法
1.不等式证明常用的方法有:比较法、综合法和分析法,它们是证明不等式的最基本的方法。
(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,
判断 过程必须详细叙述:如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则
考虑用判别式法证;
(2)综合法是由因导果,而分析法是执果索因,两法相互转换,互相渗透,互为前提,充分
运 用这一辩证关系,可以增加解题思路,开扩视野。


2.不等式证明还有一些常用的方法 :换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数
形结合法等。换元法主要有三角代换,均值代 换两种,在应用换元法时,要注意代换的等价
性。放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩要 有的放矢,目标可以从要证的结
论中考查。有些不等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑反证法 凡是含有“至少”、
“惟一”或含有其他否定词的命题,适宜用反证法。
证明不等式时,要依 据题设、题目的特点和内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各
种证法中的推理思维,并掌握相应的步 骤、技巧和语言特点。
3.几个重要不等式
(1)
若a?R,则|a|?0,a
2
?0

(2)
若a、b?R,则a?b?2ab(或a?b?2|ab|?2ab)
(当仅当
a?b
时取等号)
(3)如果
a,b
都是正数,那么
ab?
最值定理 :若
x,y?R
?
2222
a?b
.
(当仅当
a< br>=
b
时取等号)
2
,x?y?S,xy?P,
则:
①如果P是定值
,
那么当
x?y
时,S的值最小;
2如果S是定值, 那么当
x?y
时,P的值最大;

1
前提: 注意:○“一正、二定、三相等”,如果没有满足前提,则应根据 题目创设情境;还要注
2
“和定 积最大,积定 和最小”
3
均值不等式具意 选择恰当的公式;○,可用来求最值;○
有放缩功能,如果有多处用到,请注意每处取等的条件是否一致 。
(4)若a、b、c?R
?
,则
a?b?c
3

?abc
(当仅当
a?b?c
时取等号)
3
ba

(5)若ab?0,则??2
(当仅当
a?b
时取等号)
ab
4.不等式的一些基本定理:

x,y?
?
0,??
?
,且
xy?P
(定值),那么当
x?y
时,
x?y
有最小值
2P

S
2

x,y?
?0,??
?
,且
x?y?S
(定值),那么当
x?y
时 ,
xy
有最大值;
4

x?
k
?2k< br>?
k?0,x?0
?
,当且仅当
x?k
时取等号;
x
b
x
时取等号;
a

aybx
??2ab
?
a?0,b?0,xy?0
?
,当且仅当
y?
xy
22
⑤掌握均值不等式:
a?b?2ab

a?b?2ab< br>(a?0,b?0)
,当且仅当
a?b
时等号成
a?b
?a b??
立;
11
2
?
ab
2a
2
?b2
?
a?0,b?0
?

2
⑥绝对值不等式:
a?b?a?b?a?b
,当且仅当
a?b
时等号成立




第七章 直线与圆的方程:
1、直线方程.
1. 直线的倾斜角: 一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,
其中直线与
x
轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是
0??
?
?180?
.
注:①当
?
?90
?

x
2
?x1
时,直线
l
垂直于
x
轴,它的斜率不存在.
②每一 条直线都存在惟一的倾斜角,除与
x
轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一
条直线都有 惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定.
2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式.
特别地,当直线经过两点
?
a,0
?
,
?
0,b
?
,即直线在
x
轴 ,
y
轴上的截距分别为
a,b(a?0,b?0)
时,直线方程是:
x
y
??1
.
ab
注:若
y??
2
2< br>x?2
是一直线的方程,则这条直线的方程是
y??x?2
,但若
3< br>3
y??
2
x?2(x?0)
则不是这条线.
3
附 :直线系:对于直线的斜截式方程
y?kx?b
,当
k,b
均为确定的数值时 ,它表示一条确
定的直线,如果
k,b
变化时,对应的直线也会变化.①当
b
为定植,
k
变化时,它们表
示过定点
?
0,b
?< br>的直线束.②当
k
为定值,
b
变化时,它们表示一组平行直线.
3. ⑴两条直线平行:
l
1

l
2
?k
1
?k
2
两条直线平行的条件是:①
l
1

l2
是两条不重合的直线.
②在
l
1

l
2
的斜率都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个
“前提”都会导致结论的错误.
(一般的结论是: 对于两条直线
l
1
,l
2
,它们在
y
轴上的纵截距 是
b
1
,b
2
,则
l
1

l2
?k
1
?k
2


b
1
? b
2

l
1
,l
2
的斜率均不存在,即
A
1
B
2
?B
1
A
2
是平行的必要不充分条 件,且
C
1
?C
2

推论:如果两条直线
l1
,l
2
的倾斜角为
?
1
,
?
2
l
1

l
2
?
?
1
??
2
.
⑵两条直线垂直:两条直线 垂直的条件:①设两条直线
l
1

l
2
的斜率分别为
k
1

k
2
,则有
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
这里的前提是
l
1,l
2
的斜率都存在. ②
l
1
?l
2
?k< br>1
?0
,且
l
2
的斜率不存
在或
k
2
?0
,且
l
1
的斜率不存在. (即
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
是垂直的充要条件)


4. 直线的交角:
⑴直线
l
1

l2
的角(方向角);直线
l
1

l
2
的角,是 指直线
l
1
绕交点依逆时针方向旋转到与
l
2
重合时所转动 的角
?
,它的范围是
(0,
?
)
,当
?
? 90
?
时,
tan
?
?
k
2
?k
1
.
1?k
1
k
2
⑵两条相交直线
l
1

l
2
的夹角:两条相交直线
l
1

l< br>2
的夹角,是指由
l
1

l
2
相交所成的四
?
?
?
个角中最小的正角
?
,又称为
l
1

l
2
所成的角,它的取值范围是
?
?
0,
2
?
,当
?
?90
?
,则
?
?

tan
?
?
k
2
?k
1
.
1 ?k
1
k
2
?
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
5. 过两直线
?
的交点的直线系 方程
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0(
?
l: Ax?By?C?0
22
?
22
为参数,
A
2
x? B
2
y?C
2
?0
不包括在内)
6. 点到直线的距离:
⑴点到直线的距离公式:设点
P(x
0
,y
0
)
, 直线
l:Ax?By?C?0,P

l
的距离为
d
,则有< br>d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
.
22
注:1、两点P
1
(x
1
,y
1
)、P
2
(x
2
,y
2
)的距离公式:
|P点P(x,y)
1
P
2
|?(x
2
?x
1)?(y
2
?y
1
)
.特例:
到原点O的距离:
|OP|?x
2
?y
2

uuuruuur
2 、定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段
PP
,其中
12
所成的比 为
?
即PP
1
?
?
PP
2
P
1< br>(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
).则
x?
x
1
?
?
x
2y?
?
y
2
,y?
1
特例,中点坐标公式;重要结论,
1?
?
1?
?

三角形重心坐标公式。
3、直线 的倾斜角(0°≤
?
<180°)、斜率:
k?tan
?

4、过两点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2< br>(x
2
,y
2
)的直线的斜率公式:k?

x
1

⑵两条平行线间的距离公式:
设两条平行直线
l
1
:Ax?By?C
1
?0,l
2
:Ax?By?C
2
?0( C
1
?C
2
)
,它们之间的距离为
d

y
2
?y
1
.
(x
1
?x
2
)

x
2
?x1
?x
2
,y
1
?y
2
(即直线和
x
轴垂直)时,直线的倾斜角
?

90?
,没有斜率


则有
d?
C
1
?C
2
A?B
22
.
注;直线系方程
1. 与直线:
Ax?By?C?0
平行的直线系方程 是:
Ax?By?m?0
?
m?R,m?C
?

2. 与 直线:
Ax?By?C?0
垂直的直线系方程是:
Bx?Ay?m?0
?m?R
?

3. 过定点
?
x
0
,y
0
?
的直线系方程是:
A
?
x?x
0
?
?B
?
y?y
0
?
?0
,(
A,B
不全为 0)
4. 过直线
l
1
,l
2
交点的直线系方程:
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?
? 0
?
?R

注:该直线系不含
l
2
.
7. 关于点对称和关于某直线对称:
⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等.
⑵关于某直线对称 的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称
直线距离相等。若两条直线不平 行,则对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直
线夹角的角平分线.
⑶点关于某一条 直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程①),过两对称
点的直线方程与对称直线方 程垂直(方程②)①②可解得所求对称点.
注:①曲线、直线关于一直线(
y??x?b)对称的解法:
y

x

x

y.
例:曲线
f
(
x
,
y
)=0
关于直线
y
=
x
–2对称曲线方程是
f
(
y
+2 ,
x
–2)=0.
②曲线C:
f
(
x
,
y
)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是
f
(a –
x
, 2b –
y
)=0.
8.圆的方程
1. ⑴曲线与方程:在直角坐标系中,如果某曲线
C
上的 与一个二元方程
f(x,y)?0
的实数建立
了如下关系:
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形).
⑵曲线和方程的关系,实质 上是曲线上任一点
M(x,y)
其坐标与方程
f(x,y)?0
的一种关系,
曲线上任一点
(x,y)
是方程
f(x,y)?0
的解;反过来,满 足方程
f(x,y)?0
的解所对应的点
是曲线上的点.
注:如果曲线C的 方程是
f
?
x,y
?
?0
,那么点
P
?< br>x
0
,y
0
?
线C上的充要条件是
f
?x
0
,y
0
?
?0

222
2. 圆的标准方程:以点
C(a,b)
为圆心,
r
为半径的圆的标准方程是
(x?a)?(y?b)?r
.
222
特例:圆心在坐标原点,半径为
r
的圆的方程是:
x?y?r
.
222
注:特殊圆的方程:①与轴相 切的圆方程
(x?a)?(y?b)?b

[r?b,圆心(a,b)或(a,?b) ]

222
②与
y
轴相切的圆方程
(x?a)?(y?b) ?a

[r?a,圆心(a,b)或(?a,b)]

③与轴
y轴都相切的圆方程
(x?a)
2
?(y?a)
2
?a
2

[r?a,圆心(?a,?a)]


3. 圆的一般方程:
x?y?Dx?Ey?F?0
.
22
?
DE?
222

D?E?F?0
时,方程表示一个圆,其中圆心
C< br>?
?,?
?
,半径
2
??
2
r?
D
2
?E
2
?4F
.
2
?
DE
?

D?E?4F?0
时,方程表示一个点
?
?,?
?
.
2
??
2
22

D?E?F?0
时,方程无 图形(称虚圆).
222
?
x?a?rcos
?
注:①圆的参数方 程:
?

?
为参数).
?
y?b?rsin
?< br>②方程
Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0
表示圆的充要条件是:
B?0

22
A?C?0

D
2
?E
2
?4AF?0
.
③圆的直径或方程:已知
A(x
1
,y
1
)B(x
2
,y
2
)?(x?x
1
)(x?x2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
(用向量可征) .
4. 点和圆的位置关系:给定点
M(x
0
,y
0
)< br>及圆
C:(x?a)?(y?b)?r
.
222

M
在圆
C

?(x
0
?a)?(y
0
?b)?r< br>
222
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2

M
在圆
C

?
222

M
在圆
C

?(x
0
?a)?(y
0
?b)?r

5. 直线和圆的位置关系:
22
设圆圆
C

(x?a)?(y?b)?r(r?0)
; 直线
l

Ax?By?C?0(A?B?0)

222
圆心
C(a,b)
到直线
l
的距离
d?

d
Aa?Bb?C
A?B
22
.
?r
时,
l

C
相切;
22
?
?
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
?
相减为公切线方程. 附:若两圆相切,则
?
22
?
?
x? y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0

d?r
时,
l

C
相交;附:公共弦方程:设
C
1< br>:x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y? F
1
?0
C
2
:x?y?D
2
x?E
2< br>y?F
2
?0
22


有两个交点,则其公共弦 方程为
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?(F
1
?F
2
)?0
.

d?r
时,
l

C
相离.
22?
?
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
?
相减为圆心
O
1
O
2
的连线的中与线方程. 附:若两圆相离,则
?
22
?
?
x?y?D
2
x? E
2
y?F
2
?0
?
?
(x?a)
2?(y?b)
2
?r
2
由代数特征判断:方程组?
用代入法,得关于
x
(或
y
)的一元二次
?
Ax?Bx?C?0
?
方程,其判别式为
?
,则:
??0?l

C
相切;
??0?l

C
相交;
??0?l

C
相离.
注:若两圆为同心圆则
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0

x?y?D< br>2
x?E
2
y?F
2
?0
相减,
不表示直线 .
6. 圆的切线方程:圆
x?y?r
222
22
22
的 斜率为
k
的切线方程是
A
22
y?kx?1?k
2
r
过圆
x?y?Dx?Ey?F?0
上一点
P(x
0
,y< br>0
)

切线方程为:
x
0
x?y
0
y?D
x?x
0
y?y
0
?E?F?0
.
22< br>2
B
C
D
(a,b)
①一般方程若点(
x
0
,
y
0
)在圆上,则(
x
– a)(
x
0
– a)+(
y
– b)(
y
0
– b)=
R
.
222
特别地,过 圆
x?y?r
上一点
P(x
0
,y
0
)
的 切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
2
.
?
y
1
?y
0
?k(x
1
?x
0
)
?
②若点(
x
0
,
y
0
)不在圆上,圆 心为(a,b)则
?
R?
b?y
1
?k(a?x
1
)
,联立求出
k?
切线方程.
?
R
2
?1
?
7. 求切点弦方程:方法是构造图,则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图:
ABCD
四类共
圆. 已知⊙
O
的方程
x?y?Dx?Ey?F?0
…① 又以
ABCD< br>为圆为方程为
22
(x?x
A
)(x?a)?(y?y
A)(x?b)?k
2
…②
22
(x?a)?(y?b)
A< br>R
2
?
A
…③,所以BC的方程即③代②,①②相切即为所求.
4
8、曲线和方程
1.曲线与方程:在直角坐标系中,如果曲线
C
和方程
f
?
x,y
?
?0
的实数解建立了如下的关系:
1) 曲线
C
上的点的坐标都是方程
f
?
x,y
?
?0
的解(纯粹性);


2) 方程
f
?
x ,y
?
?0
的解为坐标的点都在曲线
C
上(完备性)。则称方程f
?
x,y
?
?0
为曲
线
C
的方程, 曲线
C
叫做方程
f
?
x,y
?
?0
的曲线 。
2.求曲线方程的方法:.
1)直接法:建系设点,列式表标,简化检验; 2)参数法; 3)定义法,4)待定系数法.



第八章 圆锥曲线
1.椭圆
(1)椭圆概念
平面内与两个定点
F
1
F
2
的距离的和等于常数(大于
|F
1
F
2
|
)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。 若
M
为椭圆上任意一点,则有
|MF
1
|?|MF
2
|?2a

x
2
y
2
y
2
x
2
椭圆的标准方程为:
2
?
2
?1

a?b?0< br>)(焦点在x轴上)或
2
?
2
?1

ab
ab

a?b?0
)(焦点在y轴上)。
注:①以上 方程中
a,b
的大小
a?b?0
,其中
c?a?b
222
x
2
y
2
y
2
x
2
② 在
2
?
2
?1

2
?
2
?1两个方程中都有
a?b?0
的条件,要分清焦点的位置,只
abab
x< br>2
y
2
??1

m?0

n?0

m?n
)当
m?n
要看
x

y
的分母的大 小。例如椭圆
mn
2
2
时表示焦点在
x
轴上的椭圆;当m?n
时表示焦点在
y
轴上的椭圆。
(2)椭圆的性质
x< br>2
y
2
①范围:由标准方程
2
?
2
?1
|x|?a

|y|?b
,说明椭圆位于直线
x??a

y??b

ab
所围成的矩形里;
②对称性:在曲线方程里, 若以
?y
代替
y
方程不变,所以若点
(x,y)
在曲线上时 ,点
(x,?y)

也在曲线上,所以曲线关于
x
轴对称,同理,以
?x
代替
x
方程不变,则曲线关于
y
轴对
称。若同 时以
?x
代替
x

?y
代替
y
方程也不变 ,则曲线关于原点对称。
所以,椭圆关于
x
轴、
y
轴和原点对称。 这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对


称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与
x
轴、
y
轴的交 点坐标。在椭圆
的标准方程中,令
x?0
,得
y??b
,则
B
1
(0,?b)

B
2
(0,b)
是椭圆与y
轴的两个交点。
同理令
y?0

x??a
,即
A
1
(?a,0)

A
2
(a,0)
是椭圆与< br>x
轴的两个交点。
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时,线段
A
1
A
2

B
1
B< br>2
分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为
2a

2b

a


b
分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的 对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为
a
;在
Rt?OB
2
F< br>2
中,
|OB
2
|?b

|OF
2|?c

|B
2
F
2
|?a
,且
|O F
2
|
2
?|B
2
F
2
|
2?|OB
2
|
2
,即
c
2
?a
2?c
2

④离心率:椭圆的焦距与长轴的比
e?
c
叫 椭圆的离心率。∵
a?c?0
,∴
0?e?1
,且
e
a
越接近
1

c
就越接近
a
,从而
b
就越小,对应的椭圆越扁;反之,
e
越接近于
0

c

越接近于
0
,从而
b
越接近于
a
,这时椭圆越 接近于圆。当且仅当
a?b
时,
c?0
,两
焦点重合,图形变为圆, 方程为
x?y?a

222
2.双曲线
(1)双曲线的概念 < br>平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(
||PF
1
| ?|PF
2
||?2a
)。
注意:①(*)式中是差的绝对值,在
0?2a?|F
1
F
2
|
条件下;
|PF
1
|?|PF
2
|?2a
时为双曲线
的一支(含
F
2
的一支);
|PF
2
|?|PF
1
|?2a
时为双曲线的 另一支(含
F
1
的一支);
②当
2a?|F
1
F
2
|
时,
||PF
1
|?|PF
2
||? 2a
表示两条射线;
③当
2a?|F
1
F
2
|< br>时,
||PF
1
|?|PF
2
||?2a
不表示任何 图形;
④两定点
F
1
,F
2
叫做双曲线的焦点,
|F
1
F
2
|
叫做焦距。
椭圆和双曲线比较:

定义
方程
焦点
椭 圆 双 曲 线
|PF
1
|?|PF
2
|?2a(2a?|F
1
F
2|)

x
2
y
2
??1

a
2
b
2
x
2
y
2
??1

b2
a
2
||PF
1
|?|PF
2
||?2a( 2a?|F
1
F
2
|)

x
2
y
2
??1

a
2
b
2
y
2
x
2
??1

a
2
b
2
F(?c,0)

F(0,?c)

F(?c,0)

F(0,?c)

注意:如何有方程确定焦点的位置!
(2)双曲线的性质


x
2
y
2
①范围:从标准方程
2
?
2
?1
,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线
x??a

ab
外侧。即< br>x?a

x?a
即双曲线在两条直线
x??a
的外侧。 22
x
2
y
2
②对称性:双曲线
2
?
2
?1
关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的
ab
x< br>2
y
2
对称轴,原点是双曲线
2
?
2
?1< br>的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
ab
x
2
y2
③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线
2
?
2< br>?1
的方程里,对称轴
ab

x,y
轴,所以令
y? 0

x??a
,因此双曲线和
x
轴有两个交点
A(?a,0 )A
2
(a,0)
,他们
x
2
y
2
是双曲 线
2
?
2
?1
的顶点。
ab

x?0
,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点。
1)注意 :双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分
别是实轴的两个端点 。
2)实轴:线段
AA
2
叫做双曲线的实轴,它的长等于
2a,a
叫做双曲线的实半轴长。虚轴:
线段
BB
2
叫做双曲线的虚轴,它的 长等于
2b,b
叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩 形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的
x
2
y
2
渐近线。 从图上看,双曲线
2
?
2
?1
的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐 接近。
ab
⑤等轴双曲线:
1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式:
a?b

2)等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:
y??x
;(2)渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线
为等轴双曲 线,同时其他几个亦成立。
3)注意到等轴双曲线的特征
a?b
,则等轴双曲线可以 设为:
x?y?
?
(
?
?0)
,当
?
?0

时交点在
x
轴,当
?
?0< br>时焦点在
y
轴上。
22
x
2
y
2
y
2
x
2
??1

??1
的区别:三个量
a,b,c

a,b
不同(互换)
c
相同,还有焦⑥注意
1 69916
点所在的坐标轴也变了。
3.抛物线


(1)抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹 叫做抛物线(定点F不在定直线l
上)。定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。方程< br>y?2px
抛物线的标准方程。
注意:它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点 坐标是F(

x??
2
?
p?0
?
叫做
p
,0),它的准线方程
2
p

2
(2)抛物线的性质
一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线
的标准 方程还有其他几种形式:
y??2px

x?2py

x??2py
.这四种抛物线的图形、
标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:
标准方程
222
y
2
?2px
l

图形
(p?0)
y



o

F






y
2
??2px
(p?0)

x
2
?2py
(p?0)
y


x
2
??2py
(p?0)

y


x

l

x

F

o

l

F

o


x


焦点坐标
准线方程
范围
对称性
顶点
离心率
p
(,0)

2
p
x??

2
(?
p
,0)

2
p
x?

2
p
(0,)

2
p
y??

2
y?0

p
(0,?)

2
p
y?

2
y?0

x?0

x

x?0

x

y

(0,0)

y

(0,0)

(0,0)

(0,0)

e?1

e?1

e?1

e?1

说明:(1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径;
(2)抛物线的几何性质 的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对
称中心,没有渐近线;
(3)注意强调
p
的几何意义:是焦点到准线的距离。



第九章 直线、平面、简单几何


1、平面通常用希腊字母α、 β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边
形的四个顶点或者相对的两个顶点的 大写字母来表示,如平面AC、平面ABCD等.
2、如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被 另一个平面遮住时,应画成虚线或不画(打
出投影片)
3、公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
4、公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
5、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
6、公理2的三条推论:
①推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;
②推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面;
③推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.
公理1 公理2 公理3
图形语言

如果一条直线上的两点在
一个平面内,那么这条直线
文字语言
在此平面内.
A?l,B?l
?
?
?l?
?

A?
?
,B?
?
?
符号语言

过不在一条直线上的三点,如果两个不重合的平面
有且只有一个平面. 有一个公共点,那么它们有
且只有一条过该点的公共
直线.
?
?
I
?
?l
A,B,C不共线?
P?
?
,P?
?
?
?

?
P?l
A,B,C确定平面
?


7、两条直线的三种位置关系
(1)相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
(2)平行直线:同一平面内,没有公共点;
(3)异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点.
?
?
相交直线:同一平面内,有且只有一个公 共点;
共面直线
?
?
空间两条直线的位置关系:
?

?
平行直线:同一平面内,没有公共点;
?
?
异面直线:不同在任何一个平 面内,没有公共点.
已知两条异面直线
a,b
,经过空间任一点
O
作 直线
a
?
a,b
?
b
,把
a
?
, b
?
所成的锐角(或
直角)叫异面直线
a,b
所成的角(或夹角).
a
?
,b
?
所成的角的大小与点
O
的选择无关,为 了
简便,点
O
通常取在异面直线的一条上;异面直线所成的角的范围为
(0, 90?]
,如果两条异面
直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直,记作
a?b< br>. 求两条异面直线所成角的步骤可
以归纳为四步:选点→平移→定角→计算.
8、公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
9、等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等
10、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内 —— 有无数个公共点
(2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行 —— 没有公共点
11、两个平面之间有两种位置关系:
(1)两个平面平行 —— 没有公共点
(2)两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线
12、直线与平面平行的判定定理:平面 外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此
平面平行。简记为:线线平行,则线面平行;符号 表示为:
a?
?
,b?
?
,ab?a
?
。证明线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行,此时常用中位线定理、成比例
线段、射 影法、平行移动、补形等方法,具体用何种方法要视条件而定.


13、平面平行判定定 理:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平
a?
?
,b?
?
,a
I
b?P
?
行。用符号表示为:
?
?
?

?

a
?
,b
?
?
垂直于同一条直线的两个平面平行,平面α上有不在同一直线上的三点到平面β的距离相等,
则α与β 的位置关系是平行或相交.
14、线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线 的平面和这个平面相
a
?
?
?
交,那么这条直线和交线平行. 即:
a?
?
?
?ab

?
I
?
?b
?
?

如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.
直线和平面平行的判 定定理及性质定理在解题时往往交替使用.证线面平行往往转化为证线
线平行,而证线线平行又将转化为 证线面平行.循环往复直至证得结论为止.
15、面面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 用符
号语言表示为:
?

?
,
?
I
?
?a,< br>?
I
?
?b?ab
.
其它性质:①
?
?
,l?
?
?l
?


?

?
,l?
?
?l?
?

③夹在平行平面间的平行线段相等.
16、如果直线
l
与平面
?< br>内的任意一条直线都垂直,则直线
l
与平面
?
互相垂直,记作
l?
?
.
l

是平面
?
的垂线,
?是直线
l
的垂面,它们的唯一公共点
P
叫做垂足.
直线与平 面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直
线与该平面垂直. 符号语 言表示为:若
l

m

l

n

m

n
=B,
m
?
?

n
??
,则
l

?

斜线和平面所成的角,简称“线面角”,它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求
直线 和平面所成的角,几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后通过解直角三角形求解,
可以简述为“作 (作出线面角)→证(证所作为所求)→求(解直角三角形)”. 通常,通过
斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.
斜 线和平面所成的角的范围是
?
|0
?
?
?
?90
?

证明线线垂直,常用的方法有:同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理,三垂线定
理与它的逆定理,以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直。
17、平面与平面垂直的判定定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 这条
直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。记作二面角
?
-AB-
?. (简记
P-AB-Q

二面角的平面角:在二面角
?
-l -
?
的棱
l
上任取一点
O
,以点
O
为垂足 ,在半平面
?
,
?

内分别作垂直于棱
l
的射线< br>OA

OB
,则射线
OA

OB
构成的?AOB
叫做二面角的平面角.
定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 记

?
?
?
.
判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
二面角
?
-l-
?
的大小:
(1)二面角
?
-l-
?
的大小是用它的平面角来度量的,以点
O
为垂足,在半平面
?
,
?

内分别作垂直于棱
l
的 射线
OA

OB
,在做二面角的平面角时,一定要有“OA⊥l” ,OB⊥l;
∠AOB的大小与点O在l上位置无关.
(2)当二面角的平面角是直角时,这两个平面互相垂直.
自二面角内一点分别向两个面引垂线,它们所成的角与二两角的平面角互补.
18、线面垂直 性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行;符号语言:
a?
?
,b?
?< br>?ab

如果两个平面都和一条直线垂直,那么这两个平面平行。
??


19、面面垂直性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
用符号语言表示为:若
?
?
?

?
I
?< br>?l

a?
?

a?l
,则
a?
?
.
1.空间元素的位置关系

2.平行、垂直位置关系的转化

3.空间元素间的数量关系
(1)角
①相交直线所成的角;
②异面直线所成的角——转化为相交直线所成的角;
③直线与平面所成的角——斜线与斜线在平面内射影所成的角;
④二面角——用二面角的平面角来度量。
(2)距离
①两点之间的距离——连接两点的线段长;
②点线距离——点到垂足的距离;
③点面距离——点到垂足的距离;
④平行线间的距离——平行线上一点到另一直线的距离;
⑤异面直线间的距离——公垂线在两条异面直线间的线段长;
⑥线面距离——平行线上一点到平面的距离;
⑦面面距离——平面上一点到另一平面的距离;


⑧球面上两点距离——球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。

求角与距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归,各种具体方法如下:
(1)求空间中两点间的距离,一般转化为解直角三角形或斜三角形。
(2)求点到直线的距 离和点到平面的距离,一般转化为求直角三角形斜边上的高;或利用三棱
锥的底面与顶点的轮换性转化为 三棱锥的高,即用体积法。
(3)求异面直线所成的角,一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的 一条直线上选择“特
殊点”,作另一条直线的平行线;或过空间任一点分别作两异面直线的平行线,这样 就作
出了两异面直线所成的角θ,构造一个含θ的三角形,解三角形即可。方法二是补形法:
将 空间图形补成熟悉的、完整的几何体,这样有利于找到两条异面直线所成的角θ。
(4)求直线与平面 所成的角,一般先确定直线与平面的交点(斜足),然后在直线上取一点(除
斜足外)作平面的垂线,再 连接垂足和斜足(即得直接在平面内的射影),最后解由垂线、
斜线、射影所组成的直角三角形,求出直 线与平面所成的角。
(5)求二面角,一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角,就是作出二 面角的平面角
来解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有:①根据定义作二面角的平面角;②垂面法< br>作二面角的平面角;③利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角;无棱二面角先作出
棱后同上 进行。间接法主要是投影法:即在一个平面α上的图形面积为S,它在另一个平
面β上的投影面积为S′ ,这两个平面的夹角为θ,则S′=Scosθ。
求角和距离的基本步骤是作、证、算。此外还要特别 注意融合在运算中的推理过程,推理
是运算的基础,运算只是推理过程的延续。如求二面角,只有根据推 理过程找到二面角后,进
行简单的运算,才能求出。因此,求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系 的论证。
1、 空间基本元素:直线与平面之间位置关系的小结。如下图:
条件
线线平行 线面平行 面面平行 垂直关系
结论
如果α∥β,α∩γ如果 a⊥α,b
如果a∥b,b∥c,如果a∥α,a
?
β,
线线平行 =a,β∩γ=b,那么⊥α,那么a∥
那么a∥c β∩α=b,那么a∥b
a∥b b
如果a∥b,a
?
α,如果α∥β,a
?
α,
线面平行 —— ——
b
?
α,那么a∥α 那么α∥β
如果a
?
α,b
?
α,
如果a
?
α,b
?
α,a如果a⊥α ,a
c
?
β,d
?
β,a∥如果α∥β,β∥
面面平行 ∩b=P,a∥β,b∥β,⊥β,那么α∥
c,b∥d,a∩b=P,γ,那么α∥γ
那么α∥β β
那么α∥β
条件
结论
线线垂直
线面垂直
线线垂直
二垂线定理及逆定

如果a⊥b,a⊥c,
线面垂直
如果a⊥α,b
?
α,
那么a⊥b
——
面面垂直
如果三个平面两两
垂直,那么它们交线
两两垂直
如果α⊥β,α∩β
平行关系
如果a∥b,a⊥
c,那么b⊥c
如果a⊥α,b


b
?
α,c
?
α,b∩=b,a?
α,a⊥b,那
c=P,那么a⊥α 么a⊥β
定义(二面角等于如果a⊥α,a
?
β,
面面垂直 ——
0
90) 那么β⊥α
2、 空间元素位置关系的度量
(1)角: 异面直线所成的角,直线和平面所成的角,二面角,都化归为平
面几何中两条相交直线所成的角。异面直 线所成的角:通过平移的变
换手段化归,具体途径有:中位线、补形法等。直线和平面所成的角:
通过作直线射影的作图法得到。二面角:化归为平面角的度量,化归
途径有:定义法,三垂线定理法, 棱的垂面法及面积射影法。
(2)距离:异面直线的距离,点面距离,线面距离及面面距离。异 面直线
的距离:除求公垂线段长度外,通常化归为线面距离和面面距离。线
面距离,面面距离常 化归为点面距离。
3、 两个重要计算公式
(1)
cos
?
?c os
?
1
?cos
?
2
其中
?
1
为斜线PA与平面
?
所成角,即为∠PAO,
∥a,那么b⊥
α
——
?
2
为PA射影AO与
?
内直线AB所成的角,?
为∠PAB。
显然,
?
?
?
1

?
?
?
2

(2)异面直线上两点间距离公式: 设异面直线
a,b
所成角为
?
,则
EF
2
?m
2
? n
2
?d
2
?2mncos
?

4、棱柱 、棱锥是常见的多面体。在正棱柱中特别要运用侧面与底面垂直的性
质解题,在正棱锥中,要熟记由高P O,斜高PM,侧棱PA,底面外接圆半径
OA,底面内切圆半径OM,底面正多边形半边长OM,构成 的三棱锥,该三棱
锥四个面均为直角三角形。
5、球是由曲面围成的旋转体。研究球,主要抓球心和半径。
6、立体几何的学习,主要把握对图形的 识别及变换(分割,补形,旋转等),
因此,既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系,也要能在 复杂背景
图形中“剥出”基本图形。

第十章 排列、组合和二项式定理


排列概念
两个计数原理
组合概念
排列数公式
组合数公式
组合数性质
应用
排列
组合
概率
二项式定理
二项展开式的性质
通项公式
应用
二项式系数的性质
随机事件的概率
等可能事件的概率
应用
互斥事件的概率
相互独立事件的概率
离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的
期望与方差
概率

随机变量
连续型随机变量的概率密度
抽样方法 总体分布的估计 总体特征数的估计

1、两个原理.
(1)分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心,既可用来推导 排列数、组合数
公式,也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。
只不过利用分类计算原理时,每一种方法都可能独立完成事件;如需连续若干步才能完
成的则是 分步。利用分类计数原理,重在分“类”,类与类之间具有独立性和并列性;利
用分步计数原理,重在分 步;步与步之间具有相依性和连续性。比较复杂的问题,常先
分类再分步,分类相加,分步相乘.
(2)一个模型: 影射
f:A?B
个数
若A有年n个元素,B有m个元素,则从A到B能建立
m
个不同的影射
①n件不同物品放入m个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:
m
种)
②四人去争夺三项冠军,有多少种方法?
③从集合A={1 ,2,3}到集合B={3,4}的映射f中满足条件f(3)=3的影射个数是多少?
④求一个正整数的约数的个数
(3)含有可重元素的排列问题.
......对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S有k个不同元素a
1
,a
2
,…...a
n
其中
限重复数为n
1
、n
2
…… n
k
,且n = n
1
+n
2
+……n
k
, 则S的排列个数等于
n?
n
n

n!
.
n
1
!n
2
!...n
k
!


2.排列数
A
n

n?m?1,n、m?N
、组合数
C< br>n

n?m,n?1,m?0,n、m?N
.
(1)排列数公式 :
A
n
m
?n(n?1)(n?2)
L
(n?m?1)? (2)组合数公式:
C
m
?
n
m
m
n
n!
(m?n)

A
n
(n?m)!
?n!?n(n?1 )(n?2)L2?1

0
m
A
n
n?(n?1)?L
?(n?m?1)n!
;规定
0!?1

C
n
??(m?n)
m
A
m
m?(m?1)?
L
?2?1m!
?
n?m
?
!
?1
.
(3)排列数、组合数的性质:
m1
m
?C
n
m
?1?C
n
m
?
?
?C
n
n?m
; ②
C
n

C
n
1

kk?1
1
k
1
k?1
; ④
C
r
?C
r
?C
r
???C
r
?C
r?1
kC
n
?nC
n
C
n
?C
n?1
rr?1r?2nn?1
?1

k?1n?1

n?n!? (n?1)!?n!
; ⑥
n11
??
.
(n?1)!n!(n?1)!
(4)常用的证明组合等式方法.
从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素,因此从n个不同元素中取出 n-m
个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.(或者从n+1个编号不同的小球中,n个白球一个红球,任取m个不同小球其
1m ?1m
?C
1
不同选法,分二类,一类是含红球选法有
C
m?
n1
?C
n
一类是不含红球的选法有
C
n

根 据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时,对于某一元
素,只存在取与不 取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素,
所以有C
m?1< br>n
,如果不取这一元素,则需从剩余n个元素中取出m个元素,所以共有C
n
种 ,
m
1m
?C
m
依分类原理有
C
m?
nn
?C
n?1
.
123n1n?111
① 裂项求和法:如:
????
(利用n.n!=(n+1)!-n!
?1???

2!3!4!(n?1)!(n?1)!n!(n?1)!n!
123nn?1
② 导数法. ③ 数学归纳法. ④倒序求和法.
C
n
?2C
n
? 3C
n
???nC
n
?n2

m?1m33334
⑤ 递推法(即用
C
m
n
?C
n
?C
n?1
递推)如:
C
3
?C
4
?C
5
??C
n
?C
n?1
.
02122n
⑥ 构造二项式. 如:
(C
n
)?(C
n< br>)???(C
n
n
)?C
2n

r0r?110r r
更一般地:
C
m
C
n
?C
m
C
n
???C
m
C
n
?C
m?n

3.解排列组合问题的依据是:
分类相加(每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的 ,一次的且每次得出的是最后
的结果,只需一种方法就能完成这件事),
分步相乘(一步得出 的结果都不是最后的结果,任何一步都不能独立地完成这件事,只有各
个步骤都完成了,才能完成这件事 ,各步是关联的),有序排列,无序组合.
解排列组合问题的方法有:一般先选再排,即先组合再排列,先分再排。
弄清要完成什么样的事件是前提,解决这类问题通常有三种途径
(1)以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素
(2)以位置为主考虑,即 先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解
题原则.


(3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数 前两种方
式叫直接解法,后一种方式叫间接(剔除)解法
注:数量不大时可以逐一排出结果。
4、常见的题目类型
(1)相邻问题捆绑法( 把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普
通元素”全排列,最后再“松绑”, 将特殊元素在这些位置上全排列)。
(2)不相邻(相间)问题插空法(某些元素不能相邻或某些元素 要在某特殊位置时可采用插空
法,即先安排好没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求 插入排好的
元素之间)。
(3)多排问题单排法。
(4)多元问题分类法。
(5)有序问题组合法。
(6)选取问题先选后排法。
(7)至多至少问题间接法。
(8)相同元素分组可采用隔板法。
(9)分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成n组问题别忘除以n!。
(10)“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信
n
封信与
n
个信封全部错位的组合数为
f(n)?n![
1111
???L?(?1)
n
]
.
2!3!4!n!
推广:
n
个元素与
n
个位置,其中至少 有
m
个元素错位的不同组合总数为
1234
f(n,m)?n!?C
m
(n?1)!?C
m
(n?2)!?C
m
(n?3)!?C
m
(n?4)!
pm
?L?(?1)
p
C
m
(n ?p)!?L?(?1)
m
C
m
(n?m)!
1234pm
C
m
C
m
C
m
C
m
p
C
m
m
C
m
?n![1?
1
?
2
?
2
?
4
?L?(?1)
p
?L?(?1)
m
]
A
n
A
n
A
n
A
n
An
A
n
提醒: 在求解排列与组合应用问题时,应
(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;
(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;
(3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;
(4)列出式子计算和作答
n0n1n?1rn?rrnn
5.二项式定理:
(a?b)?C
n
a?C
n
ab?L?C
n
ab?L?C
n
b
,其中组合数
C
n
叫做第r+1项的二
r
rn?rr
项式系数;展开式共 有n+1项,其中第r+l项
T
r?1
?C
n
ab(r?0,1,2 ,
L,n)
称为二项
展开式的通项,二项展开式通项的主要用途是求指定的项(特定项 、常数项、有理项)
等有关问题。
二项式定理有两个特殊形式:在解题时经常用到,且很方便,需熟记。
1rnn
?< br>1?x
?
n
?1?C
n
x???C
n
x?? ?C
n
x

n
rn?rr
n
nn1n?1
?
a?b
?
n
?C
n
0
a
n
?C
n
ab???
?
?1
?
C
n
ab???< br>?
?1
?
C
n
b


特别提醒:
①项与项数、项的系数与二项式系数、奇数项与奇次项、偶数项与 偶次项的区别分别是不
同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数。如在
rn?rr
ab

(ax?b)
n
的展开式中,第r+1项 的二项式系数为
C
n
r
,第r+1项的系数为
C
n

(x?)
的展开式中的系数就是二项式系数;
②当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数;
③审题时要注意区分所求的是项还是第几项?求的是系数还是二项式系数?
④注意展开式的逆 用,注意展开式中的项是否去首、少尾;必须关注n是正整数,r是非
负整数(r=0的情形容易忽视) ,且
r?n

6、二项式系数的性质:
mn?m
(1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即
C
n
?C
n
; < br>1
x
n
(2)增减性与最大值:当
r?
n?1n?1
rr
时,二项式系数
C
n
的值逐渐增大,当
r?
时,
C
n


22
n
值逐渐减小,且在中间取得最大值。当n 为偶数时,中间一项(第+1项)的二项式
2
系数
C
取得最大值。当n为奇数 时,中间两项(第
n?1
2
n
n?1
2
n
n
2
n
n?1n?1
和+1项)的二项式系
22

C?C< br>相等并同时取最大值。
(3)二项式系数的和:
n
01r
0213
?L?C
n
?2
n

C
n
C
n< br>?C
n
?L?C
n
?C
n
?????C
n< br>?C
n
?
???
?2
n?1

7、赋值法:应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为
f(1)
、“奇数 (偶次)项”系数
和为
[f(1)?f(?1)]
,以及“偶数 (奇次)项”系数和为
[f(1)?f(?1)]

8、系数最大项的求法:系数若就是二项式系数,利用二项式系数的最大值性质来求,否则

T
r?1
的系数为
A
r?1
,那么
A
r? 1
为最大的必要而不充分的条件是:
1
2
1
2
A
r?1
?A
r

A
r?1
?A
r
(若比商 的话,注意
A
r?1
的正负)
9、二项式定理的应用:二项式定理的主要应 用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用
其首尾几项进行放缩证明不等式。



第十一章 概率与统计


1、离散型随机变量
?
取每一个值
x
i
?
i?1,2?
?
的概率为
P(< br>?
?x
i
)?p
i
,则
P

1
?P
2
???1

期望是反映随机变量“均值”的量,
E
?
?
x
1
p
1
?x
2
p
2
?

?x
n
p
n
?
… 为
ξ
的数学期望,
E(a
?
?b)?aE
?
?b
求离散型随机变量
ξ
的期望的基本步骤:
①理解
?
的意义,写出
?
可能取的全部值;
②求
?
取各个值的概率,写出分布列;
③根据分布列,由期望的定义求出
E
?

2、如果在一次试验中某 事件发生的概率是
P
,那么在
n
次独立重复试验中这个事件恰好发生
k
kkn?k
次的概率是
P
n
(
?
?k)?Cn
pq
,(
k
=0,1,2,…,
n

q?1 ?p
).称这样的随机变量
?
服从二项分布,记作
?

B< br>?
n,p
?
,其中
n,p
为参数;若
?
~< br>B
?
n,p
?
,则
E
?
?
np
3、随机抽样需借助于随机数表(先对总体逐一编号),分层抽样的关键是“按比例”:总体中
各层的比例等于样本中各层的比例。在所有的抽样中,每一个个体被抽到的概率相等。
4、“ 读懂”样本频率分布直方图:直方图的高
?
频率
,直方图中小矩形框的面积是频率;< br>组距
频率×样本个数=频数。
5、熟悉方差的计算公式和性质,如:样本同加(减)一 个常数,方差不变;样本同乘一个常

k
,方差变为原来的
k
倍;“ 标准差”是方差的算术平方根。样本的方差和标准差是反
映其“稳定性”的量。对于离散型随机变量?
,如果它所有可能取的值是
x
1

x
2
,… ,
x
n
,…,
2
且取这些值的概率分别是
p
1
p
2
,…,
p
n
,…,那么,
D
?

(x
1
?E
?
)?p
1

2< br>(x
2
?E
?
)
2
?p
2
+…+< br>(x
n
?E
?
)
2
?p
n
+…称为 随机变量
?
的方差,式中的
E
?
是随机变

ξ的期望.
D
?
的算术平方根
D
?
叫做随机变量
ξ
的标准差,记作
??

6、正态分布密度函数:
f
?< br>x
?
?
1
e
2
??
?
?
x ?
?
?
2
2
?
2
,(
?
>0,< br>???x???
),其中x是随机变
2
量的取值,
?
为正态分 布的均值,
?
是正态分布的标准差.正态分布一般记为
N(
?
,?
)

正态曲线的性质:
(1)曲线在
x
轴的上方,与
x
轴不相交 ,
(2)曲线关于直线
x?
?
对称 ,
(3)当
x?
?
时,曲线位于最高点


(4)当
x?
?
时,曲线上升(增函数);当
x?
?
时,曲线下降( 减函数),并且当曲线向
左、右两边无限延伸时,以
x
轴为渐近线,向它无限靠近 ,
(5)
?
一定时,曲线的形状由
?
确定.
?
越大 ,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;
?

小,曲线越“高”.总体分布越集中。当< br>?
?0,
?
?1
时,正态总体称为标准正态总体,
其相应的函 数表示式是
f
?
x
?
?
?
1

? ??x???
)。对于标准正态总体
e
2

2
??
x
2

x
0
?0
);
N(01),
?(x
0
)
表示总体取值小于
x
0
的概率, 即
?(x
0
)?P(x?x
0
)


x
0
?0
时,
?(x
0
)?1??(?x
0
)
;而当
x
0
?0
时,
?(0)
?0.5
;计算正态 总体的
概率应结合正态曲线(面积)进行。



第十二章 极限
1、数列极限的定义:
一般地,如果当项数
n
无限增大时,无穷数列
{a
n
}
的项
a
n
无限趋 近于某个常数A(即
.....
,那么就说数列
{a
n
}
的 极限是A,记作
a
n
?A
无限趋近于0)

lima
n
?A

n??
注:上式读作“当
n趋向于无穷大时,
a
n
的极限等于A”。“
n?
∞”表示“n
趋向于无穷
大”,即
n
无限增大的意思。
lima
n
?A
有时也记作当
n?
∞时,
a
n
?
A
n??
注:几个重要极限:
(1)
lim
1
?0
(2)
limC?C
(C是常数)
n??
n
n??
n
n
(3)无穷等比数列
{q}

q?1
)的极限是0,即 :
limq?0(q?1)

n??
2、当
x??
时函数的极限
一般地,当自变量
x< br>的绝对值无限增大时,如果函数
y?f(x)
的值无限趋近于一个常数
A,就说 当
x
趋向于无穷大时,函数
y?f(x)
的极限是A,记作:
lim f(x)?A
,也可以记
x??
作,当
x
??
时,
f(x)?A

特例:对于函数
f(x)?C

C
是常数) ,当自变量
x
的绝对值无限增大时,函数
f(x)?C

的值保持不 变,所以当
x
趋向于无穷大时,函数
f(x)?C
的极限就是
C,即
limC?C

x??


3、极限四则运算法则
定理1:若
limf(x)? A,limg(x)?B
,则
lim[f(x)?g(x)]
存在,且
lim[f(x)?g(x)]?A?B?limf(x)?limg(x)

定理2 :若
limf(x)?A,limg(x)?B
,则
limf(x)?g(x)
存在,且
limf(x)g(x)?AB?limf(x)?limg(x)

推论1:
lim[cf(x)]?climf(x)

c
为常数)。
推论2:
lim[f(x)]?[limf(x)]

n
为正整数) 。
定理3:设
limf(x)?A,limg(x)?B?0
,则
lim< br>nn
f(x)Alimf(x)
??

g(x)Blimg(x)< br>定理4:如果
?
(x)?
?
(x)
,且
lim
?
(x)?a,lim
?
(x)?b
,则
a?b
nn?1
推论1:设
f(x)?a
0
x?a
1
x??? ?a
n?1
x?a
n
为一多项式,当
x?x
0
l imf(x)?a
0
x
0
?a
1
x
0
nn ?1
????a
n?1
x
0
?a
n
?f(x
0
)

P(x)
P(x
0
)
?
。 < br>x?x
0
Q(x)Q(x
0
)
推论2:设
P(x), Q(x)
均为多项式,且
Q(x
0
)?0
,则
lim
4、数列的极限:定义1 设
{a
n
}
为数列,
a
为定 数.若对任给的正数
?
,总存在正整数N,使
得当,
n
>N时有|a
n
?a|?
?
则称数列
{a
n
}
收敛于
a
,定数
a
称为数列
{a
n
}
的极 限,并
记作
lima
n
?a
,或
a
n
?a (n??)
。读作“当
n
趋于无穷大时,
a
n
的极限等于< br>a

a
n

n??

a
”.若数列
{a
n
}
没有极限,则称
{a
n
}
不收敛 ,或称
{a
n
}
为发散数列.
定义1常称为数列极限的
?
—N定义.
关于数列极限的
?
—N定义,应着重注意下面几点:
1、?
的任意性:定义1中正数
?
的作用在于衡量数列通项
a
n与定数
a
的接近程度,
?
愈小,
表示接近得愈好;而正数
?
可以任意地小,说明
a
n

a
可以接近到任何程度.然 而,尽管
?
有其任意性,但一经给出,就暂时地被确定下来,以便依靠它来求出
N,又
?
既时任意小
的正数,那么

?
可用
?< br>2
,3
?

?
2
等等同样也是任意小的正数,因此定 义1中不等式
|a
n
?a|?
?

?
2
, 3
?

?
2
等来代替.同时,正由于
?
是任意小正 数,我们可限定
?
小于一个确定


的正数(如在例4的注给出的证明方法 中限定
?
<1).另外,定义1中的
|a
n
?a|<
?也可改
写成
|a
n
?a|?
?
.

2、N的相应性:一般说,N随
?
的变小而变大,由此常把N写作N(
?
), 来强调N是依赖于
?

的;但这并不意味着N是由
?
所唯一确定的, 因为对给定的
?
,比如当N=100时,能使得
n
>N时有
|an
?a|?
?
,则N=101或更大时此不等式自然也成立.这里重要的是N的存 当
?
在性,而不在于它的值的大小.另外,定义1中的,
n
>N也可改写成< br>n
?
N.
3、从几何意义上看,“当
n
>N时有
|a?a|?
?
”意味着:所有下标大于N的项
a

都落在 邻
域U(
a;
?
)内;而在U(a;
?
)之外,数列{a
n
}中的项至多只有N个(有限个).反之,任给
?
>0,
若 在U(
a;
?
)之外数列
{a
n
}
中的项只有有限 个,设这有限个项的最大下标为N,则当
n
>N
时有
a
n
? U(a,
?
)
,即当
n
>N时有
|a
n
? a|
<
?
.由此,我们可写出数列极限的一种等价定
义如下:
定义1:任给
?
>0,若在U(
a,
?
)之外数列
?
a
n
?
中的项至多只有有限个,则称数列
?
a
n
?
收敛
于极限
a

由定义1,可知,若存在某?

?0
,使得数列
{a
n
}
中有无穷多个项 落在U(
a,
?
0
)之外,则
{a
n
}
一 定不以
a
为极限.
定义2 若
lima
n
?0
,则称
{a
n
}
为无穷小数列.
n??
n
定理
2.1
数列
{a
n
}< br>收敛于
a
的充要条件是:
{a
n
?a}
为无穷小数列 .
第三节 函数极限
1
x?
+
?
时的极限
定义1 若存在常数
M
>0,函数
f(x)

x
>
M
时有定义,当自变量
x
沿x轴正方向无限远离原
点时,相应的函数 值
f(x)
无限趋近于常数
A
,则称函数
f(x)

x
趋向正无穷大时以
A
为极限,记作
lim
f(x)
= A 或
f(x)?A, x???

x???
2
x???
时的极限
定义2 若存在常数
M
>0,函数
f(x)

x
<
?M< br>时有定义,当自变量x沿x轴负方向无限远离
原点时,相应的函数值
f(x)
无 限趋近于常数
A
,则称函数
f(x)

x
趋向负无穷大时以
A
为极限,记作
limf(x)
=
A

f(x)? A, (x???)

x???


3
x??
时的极限
定义3 若存在常数
M
>0,函数
f(x)

x
>
M< br>时有定义,当自变量无限远离原点时,相应
的函数值
f(x)
无限趋近于常数< br>A
,则称函数
f(x)

x
趋向无穷大时以
A
为极限,记

limf(x)
=A或
f(x)?A, (x??)

x??
定理1
limf(x)
=
A
的充分必要条件是:
limf(x)?limf(x)?A

x??x???x???
定义
3
?
设函数
f(x)

x ?M
上有定义,如果
?
?
?0
,总存在
G?0
,当
x ?G
时,恒

f(x)?A?
?
成立。则称函数
f(x)

x??
时以A为极限,记为
limf(x)?A

x??
??
定义4 设函数
f(x )

x
0
的某一去心邻域
U(x
0
,
?< br>)
内有定义,当
x

U(x
0
,
?
)
内无限趋近
x
0
时,相应的函数值
f(x)
无限趋近于常 数
A
,则称
f(x)

x?x
0
时以A为极限,记

limf(x)?A

f(x)?A,
?
x?x
0
?

x?x
0
值得注意的是:
1)
limf(x)?A
描述的 是当自变量
x
无限接近
x
0
时,相应的函数值
f(x)无限趋近于常数
A

x?x
0
一种变化趋势,与函数
f (x)

x
0
点是否有定义无关。
2)在
x
无限 趋近
x
0
的过程中,既可以从大于
x
0
的方向趋近
x
0
,也可以从小于
x
0
的方向趋近

x
0
,整个过程没有任何方向限制。
3)当自变量
x

x
0
无限接近时,相应的函数值
f(x)
无限趋近于常数
A
的意义是:当
x
进入
x
0
的充分小的去心邻域内,
f(x)?A
可以小于任意给定的正数,即对于任意给定的
?
?0

总可以找到一个
?
?0
,当
x?x
0
<
?
时,都有
f( x)?A
<
?

下面我们给出数学上严格的定义,
?
定 义
4
?
(“
?
?
?
”语言)设函数
f(x )

x
0
的某一去心邻域
U(x
0
,
?< br>)
内有定义,对
?
?
?0


总存在
?
?0
,当
0?|x?x
0
|?
?
时, 有
f(x)?A
<
?
恒成立.则称
f(x)

x ?x
0

以A为极限,记作
limf(x)?A

f(x)?A,
?
x?x
0
?

x?x
0
定义5 设函数
f(x)

x
0
的某个右半邻域
?
x
0
, x
0
?
?
?
(或左半邻域
(x
0
?
?
, x
0
)
)内有定义,


当对
?x?(x
0
, x
0
?
?
)
(或对
?x?(x
0
?
?
,x
0
)
)与
x
0
无限接近时,相应的函数值
f( x)
无限趋近于常数
A
,则称函数
f(x)

x
0
点存在右(或左)极限,记作
lim
?
f(x)?A
(或
x ?x
0
x?x
0
?
limf(x)?A
)。或记为
f
?
(x
0
), f
?
(x
0
)
。这时称A为
f(x)

x
0
的右极限(或左极
限)的值。
定理2
limf(x)?A
的充分必要条件是:
lim?
f(x)?A
并且
lim
?
f(x)?A

x?x
0
x?x
0
x?x
0
五、函数极限的性质
性质1(唯一性)若
limf(x)?A

limf(x)?B
,则
A
=
B

x?x
0
x?x
0
?
性质2(局部有界性)若
limf(x)?A
,则存在
x
0
去心邻域
U(x
0
,
?
)

M?0
,使得
x?x
0
?x?U
?
(x
0
,
?
)
,有
f(x)?M

?
性质3(保号性)若
limf( x)?A
,且
A?0(或A?0)
,则存在
?
?0
,使得< br>?x?
U(x
0
,
?
)

x?x
0

f(x)?0(或f(x)?0)

?
推论1若在
x< br>0
某个邻域
U(x
0
,
?
)
内,有
f(x)
?0(或f(x)?0)
,且
limf(x)?A
,则
A? 0

x?x
0
(或
A?0

性质4(四则运算法则)若
limf(x)?A
,
limg(x)?B

x?x
0
x?x
0
则 1)
lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)?A?B

x ?x
0
x?x
0
x?x
0
2)
lim(f(x)? g(x))?limf(x)?limg(x)?A?B

x?x
0
x?x< br>0
x?x
0
limf(x)
f(x)
x?x
0
A
3)
lim??
,(
B?0)

x?x
0g(x)limg(x)B
x?x
0

limsinx?sinx
0

limx?x
0
,则
limsinx?sinx
0< br>。
x?x
0
x?x
0
x?x
0
??
注意:1 以上性质我们只以
x?x
0
方式给出,它对任何其它方式,如:
x?x
0
, x?x
0

n
n
n
n
x??, x???, x???
都成立。
2 性质4结论成立的前提要求和数列极 限相同,函数
f(x)

g(x)
的极限必须存在;参
与运算的项数 必须有限;分母极限必须不为零等等,否则结论不成立。如
limxsin
x?0
11 1
?limx?limsin
?0
这个做法是错误的,因为在
x?0
时,函数
sin

x
x?0x?0
xx


有极 限。
推论1 若
limf(x)?A
,c为常数,则
limcf(x)?c limf(x)

x?x
0
x?x
0
x?x
0
推论2 若
l imf(x)?A

n?N
,则
lim(f(x))?(limf(x))? A

x?x
0
x?x
0
n
nnn
x?x
0
如,
limx?x
0
,则limx?x
0
。 < br>x?x
0
x?x
0
n
特别提醒:推论2不对n取极限,在这个 式子里n是常数。
定理3 设函数
f(
?
(x))
是由函数
y?f(u),u?
?
(x)
复合而成,如果
lim
?
( x)?u
0
,且在
x
0

x?x
0
一个邻 域内(除
x
0
外)
?
(x)
?
u
0
,又
limf(u)?A
,则
limf(
?
(x))?A

u?u
0
x?x
0
四、间断点
定义7 设函数
f(x)
在点
x
0
的某一去心邻域内有定义,在
x
0可有定义也可无定义,若函数
f(x)

在点
x
0
处不 连续,则称点
x
0
是函数
f(x)
一个间断点或不连续点。
由函数
f(x)
在点
x
0
连续的定义可知,函数
f(x)
在点
x
0
处不连续应至少有下列三种情
形之一:(1)
f( x)
在点
x
0
无定义;(2)
limf(x)
不存在;(3 )
limf(x)
?f(x
0
)

x?x
0
x?x
0
五、闭区间上连续函数的性质
定理6(最值性) 若函数
f(x)
在闭区间
[a,b]
上连续,则
f(x)
在闭区间
[a,b]
上可同时取得最
大值与最小值。
定理7(零点定理)若函数
f(x)
在闭区间
[a, b]
上连续,且
f(a)?f(b)?0
,则在
(a, b)

至少存在一点
?
,使得
f(
?
)?0

定理8(介值定理)若函数
f(x)
在闭区间
[a,b]
上连续,且
f(a)?f(b)

c
为介于
f(a)与f(b)

的任意数,则在
(a, b)
内至少存在一点
?
,使得
f(
?
)?c
。 < br>由定理6与定理8知,对于在闭区间
[a,b]
上连续函数
f(x)
, 可取得介于其在闭区间
[a, b]
上的最大值与最小值之间的任意一个数。
第七节 无穷小量的比较
定义1 设
lim
?
(x)?0

lim
x?x
0
x?x
0
?
(x)?0
,若
lim
x?x
0
?
(x)
=
l

l
为常数)
?
(x)
1)若
l?0
,则称?
(x)

?
(x)

x?x
0
时的 高阶无穷小,记作
?
(x)
=
?(
?
(x))
,< br>x?x
0


同时也称
?
(x)
?
(x)
的低价无穷小。
2) 若
l?0
,则称
?< br>(x)

?
(x)

x?x
0
时是同阶无穷 小量,记作
?
(x)?O(
?
(x))
,当
x?x
0

定义2 若
x?0
时,是同阶无穷小量,则称
?
(x)

x

x?0

?
(x)

x

k?0,k为常数

时的
k
阶无穷小量。
第四节 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
定义1 若
limf(x)?0
, 则称
f(x)

x?x
0
时是无穷小量(或无穷小)。
x?x
0
k
注意:1) 同一个函数,在不同的趋向下,可能是无穷小量,也可能不是无穷小量。如 对于
f(x)?x?1,在
x?1

f(x)
的极限为
0
,所以在
x ?1

f(x)
是一个无穷小
量;当
x?0

f( x)
的极限为 –1,因而当
x?0

f(x)
不是一个无穷小量。 所
以称一个函数为无穷小量,一定要明确指出其自变量的趋向。
2) 无穷小量不是一个量的 概念,不能把它看作一个很小很小的(常)量,它是一个
变化过程中的变量,最终在自变量的某一趋向下 ,函数以零为极限。
3) 特别地,零本身看作无穷小量。
4) 此定义中可以将自变量的 趋向换成其它任何一种情形(
x?x
0

x?x
0

??
x?x
0

x?
?

x?
??
x?
+
?
),结论同样成立。以后不再说明。
函数的极限与无穷小量之间具有密切的关系:

limf(x)?A
,即当
x?x
0
时,相应的函数值
f(x)
无限趋近于常数
A,也即当
x?x
0

x?x
0
时,相应的函数值
f(x)?A
无限趋近于常数
0
,即
lim(f(x)?A)
=
0
,若令
?
(
x
)=
x?x
0
f(x)?A
,则当
x?x
0
时, 相应 的函数值
?
(x)
无限趋近于常数
0
。所以有
f(x)?A ?
?
(
x
)
(当
x?x
0

?< br>(
x
)是一个无穷小量);反之,若函数
f(x)
可以表示为
f(x)?A?
?
(x)
(当
x?x
0
时,
?(x)是一个无穷小量),易知
lim(f(x)?A)?0
,当
x?x
0
时,相应的函数值
x?x
0
f(x)?A
无限趋近于常数
0
,即相应的函数值
f(x)
无限趋近于常数
A
,故有
li mf(x)?A

x?x
0
定理1
limf(x)?A
的充分必要条件是:
f(x)?A?
?
(x)
,其中,当
x?x0

?
(x)是一个
x?x
0
无穷小量。


无穷小量具有以下性质:
定理2 若
limf(x)?0,

limg(x)?0,

c
为常数, 则:
x?x
0
x?x
0
1)
limcf(x)?climf(x)?0
(常数与无穷小的乘积仍为无穷小)
x?x
0
x?x
0
2)
lim(f(x)?g(x))? limf(x)?limg(x)?0
(简称无穷小的和差仍为无穷小)
x?x
0
x?x
0
x?x
0
?
3)
limf(x)?0, h(x)

U(x
0
,
?)
内是有界函数,则
limf(x)h(x)?0
(简称无穷小量
x?x
0
x?x
0
与有界变量的乘积仍为无穷小)
4)
lim f(x)g(x)?limf(x)?limg(x)?0
(两个无穷小的乘积仍为无穷小)
x?x
0
x?x
0
x?x
0
推论1 有限个无穷小量的和(差)仍为无穷小量。
推论2 有限个无穷小量的积是无穷小量。
注意 :无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。如当
n??时

lim(
n??
12n
都是无穷小量,
,,?,
222
nnn
12nn(n ?1)1
==。
????)lim
n??
2
n
2
n
2
n
2
2n
2
0
定理3.8海涅(Heine) 定理(归结原则) 设
f

U
件是:对任何含于
U
0?
x;
?
?
内有定义.
limf
?
x
?
'
0
x?x
0
存在的充要条
?
x;
?< br>?
且以
x
'
0
0
为极限的数列
?
x
n
?
,极限
limf
?
x
n
?
都 存在且相等.
n??
注1 归结原则也可简述为:
limf(x)?A?
对任何
x
n
?x
0
(n??)有limf(x
n
) ?A

x?x
0
n??
注2 若可找到一个以
x
0
为极限的
{x
n
}
,使
limf(x
n
)
不存在,或找到两个都以
x
0
为极限的数列
n??
?< br>}

{x
n
??
}
,使
limf(x
n
?
)

limf(x
n
??
)
都存在 而不相等,则
limf(x)
不存在.
{x
n
n??n??
x?x
0
定理3.9 设函数
f
在点
x
0
的某空心右邻域
U
?
(x
0
)
有定义.
lim
?
f(x)?A.
的充要条件是:x?x
0
?
对任何以
x
0
为极限的递减数列
{ x
n
}?U
?
(x
0
)
,有
limf(x
n
)?A

..
n??
?
定理3.10 设
f
为定义在
U
?
(x
0
)
上的单调有界 函数,则右极限
lim
?
f(x)
存在.
x?x
0
?
定理3.11(柯西准则) 设函数
f

U(x
0
;
?
?
)
内有定义.
lim f(x)
存在的充要条件是:任给
?
x?x
0
?
?0
,存在正数
?
(?
?
?
)
,使得对任何
x
?
,x
??
?U
?
(x
0
;
?
)

|f(x
?
)?f(x
??
)|?
?
.



第十三章 导数
1、导数的概念 < br>导数定义:一般的,定义在区间(
a

b
)上的函数
f(x)

x
0
?(a,b)
,当
?x
无限趋近
于 0时,
?y
f(x
0
??x)?f(x
0
)
无限趋 近于一个固定的常数A,则称
f(x)

x?x
0
处可导,
?
?x?x
并称A为
f(x)

x?x
0
处的导数 ,记作
f'(x
0
)

f'(x)|
x?x
0,则称此极限值为函数
y?f(x)

x
0
点处的导数。记作:
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?f

?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
几何意义:
f(x)

x?x
0
处的导数就是
f(x)

x ?x
0
处的切线斜率。
导函数的概念涉及:
f(x)
的对于区间(
a
,
b
)上任意点处都可导,则
f(x)
在各点的导数也随x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数被称为
f(x)
的导函数,记作< br>f'(x)

公式1: 若
y?f(x)
?C
(C为常数) ,则
f
?
(x)?
y
?
?0
.
公式2: 若
y?f(x)
=
x
, 则
f
?
(x)?
y
?
?1

公式3: 若
y?f(x)
=
x
, 则
f
?
(x)?
y
?
?2x

公式4: 若
y?f(x)
= x
1
, 则
f
?
(x)?
y
?
??x


2
2
1、和(或差)的导数:两函数和的导数等于这两函数的导数的和.
2、积的导数:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数
乘以第二个函数的导数,即
(uv)'?u'v?uv'
.
3、商的导数:两个函数 的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,
?
u
?
u'v?uv'
再除以分母的平方,即
??
?(v?0)

2
v
?
v
?
2、常数和基本初等函数的求导公式:
(1)
(c)
?
?0
(2)
(x)
?
?
?
x
??
?1
'

(3)
(sinx)
?
?cosx
(4)
(cosx)
?
??sinx

(5)
(tanx)
?
?secx
(6)
(cotx)
?
??cscx

(7)
(secx)
?
?secx?tanx
(8)
(cscx)
?
??cscx?cotx

(9)
(a)
?
?alna
(10)
(e)
?
?e

xxxx
22

(11)
(log
a
x)
?
?
11
(12)
(lnx)
?
?

xlnax
(13)
( arcsinx)
?
?
1
1?x
2
(14)
(arccosx)
?
??
1
1?x
2

(15)
(arctanx)
?
?
11
?
(16)
(arccotx)??
1?x
2
1?x
2
(1 7)
(shx)
?
?chx
(18)
(chx)
?
?shx

(19)
(thx)
?
?
1

2
chx< br>x
2
?1))
?
?
1
x?1
1
x? 1
2
(20)
(arcshx)
?
?(ln(x?
2

(21)
(arcchx)
?
?(ln(x?x
2
?1 ))
?
?

(22)
(arcthx)
?
?(ln
1
2
1?x1

)
?
?
1?x
1 ?x
2
定理2(复合函数求导法则):如果
u?
?
(x)

x?x
0
点可导,且
y?f(u)

u?u
0?
?
(x
0
)
点也
可导,那么,以
y?f( u)
为外函数,以
u?
?
(x)
为内函数,所复合的复合函数
y?f(
?
(x))

x?x
0
点可导,且
dy
dx
x?x
0
?f
?
(u
0
)
?
?
(x
0
)
,或
[f(
?
(x))]?
x?x
0
?f
?
(u
0
)
?
?
(x
0
)

判断函数极值的方法。
1 、函数的四则运算的求导法则:

u?u(x),v?v(x)
,则
(i)
(u?v)
?
?u
?
?v
?
(ii)
(cu)
?
?cu
?

(iii)
(uv)
?
?u
?
v?uv
?
(iv)
()
?
?
2、复合函数的求导法则:

y?f( u),u?
?
(x)
u
v
u
?
v?uv
?

(v?0)

v
2
dydydu
或 < br>??
dxdudx
df(
?
(x))df(u)d
?
(x)
??
[f(
?
(x))]
?
?f
?
(
?
(x))?
?
?
(x)

u?< br>?
(x)
dxdudx
?y?f(
?
(x))
的导数 为:



第十四章 复数
1、复数的表示形式与运算
代数形式:
z?x?iy,x,y?R,i??1
x
称为
z
的实部,记
x?Re(z)

y
称为
z
的虚部,记

y?Im(z).

三角形式:
z?r(cos
?
?isin
?
)(r?0,
?
?R)
r
称为
z
的模,
?
称为
z
的辐角, 记辐角主值为
2
?
?argz

i
?
指数形式:
z?re(r?0,
?
?R)
,注意到
e?cos
?
?isin
?
,指数形式即三角形式。
i
?
三种表示形式之间可 以互化:
r?x
2
?y
2
,x?rcos
?
,y? rsin
?

在复平面上,用点
Z(x,y)
表示复数
z ?x?iy(x,y?R)
,每个复数z与向量
???
一一对
OZ
应 。两个复数的和与差,对应这两个向量构成的平行四边形的两条对角线;复数的乘法与除法
于对应平面向 量的伸缩与旋转。
2、复数的模与共轭复数
如果
z?x?iy,(x,y?R)< br>,则
z?x?iy
称为
z
的共轭复数,
z?
模。
共轭复数有以下运算法则和性质:
x
2
?y
2
称为复数< br>z

z
1
?z
2
?z
1
?z
2

z
1
?z
2
?z
1
?z
2

?
z
1
?
z
1
?
?
z
?
?
?
z
(z
2
?0)

z? z?z?R

?
2
?
2
Re(z)?
z?zz? z
,Im(z)?

22i
模的运算法则及其性质:
z?z? z?z

z
1
?z
2
2
2
?z
1
?z
2

z
1
z
1
?(z
2?0)

z
2
z
2
z
1
?z
2
?z
1
?z
2
?z
1
?z
2

z?max
?
Re(z),Im(z)
?

3、复数的单 位根方程
x
n
?1?0(n为自然数,且n?2)的n个根

?k
?cos
2k
?
2k
?
?isin(k?0,1,2 ,?,n?1)
称为1的
n
次单位根。由棣莫弗定理,全部
n
nn
2n?1
?
?
1
次单位根可表示为
1,
?
1

?
1

。关于单位根,有如下常用性质:


1?
?
1
?
?
1
2
???
?< br>1
n?1
?(0n?2)

任意两个单位根
?
i< br>,
?
j
的乘积仍为一个
n
次单位根,且
?
i
?
?
j
?
?
i?j
(当i?j?n时,

?
i?j
?
?
k
,其中k是i?j除以n的余数)

m
为整数,
n?1
,则
?
n
mm
1?
?
1
m
?
?
2
???
?
n
?
?
?1
?
0
(m是n的倍数),

(m不是n 的倍数)
?
?
n?1
是全部
n
次单位根,则由
x< br>n
?1?
?
x?1
??
x?
?
1
? ?
x?
?
2
?
?
?
x?
?
n?1
?
得 若
1,
?
2

x
n?1
? x
n?2
???1?
?
x?
?
1
??
x?
?
2
?
?
?
x?
?
n?1
?


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