高中数学b尖-高中数学解题方法的书推荐
高中数学知识点整理汇总
第一章
计数原理
第二章 随机变量及其分布
第三章 统计案例
高中数学知识点整理汇总
第三章 计数原理
知识点:
1、分类加法计数原理:做一件事情,完成它有N类办
法,在第一类
办法中有M
1
种不同的方法,在第二类办法中有M
2
种
不同的方法,……,
在第N类办法中有M
N
种不同的方法,那么完成这件事情共有M
1
+M
2
+……+M
N
种不同的方法。
2、分步乘法计数原理:做一件事,完成它需要分成N个步骤,做第
一 步有m1种不同的方法
,做第二步有M
2
不同的方法,……,做第N
步有M
N
不同的方法.
那么完成这件事共有 N=M
1
M
2
...M
N
种不同的方
法。
3、排列:从
n
个不同的元素中任取
m(m
≤
n
)个元素,按照一定顺序排
......
成一列,叫做从
n<
br>个不同元素中取出
m
个元素的一个排列
m
4、排列数:
A?n(n?1)?(n?m?1)?
n!
(m?n,n,m?N)
(n?m)!
5、组合:从
n
个不同的元素中任取
m
(
m
≤n
)个元素并成一组,叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个
组合。
m
A
n
n
(n1
1
)??
?
m?
?
1)
n!
A
n
m
(n
?
?)?
(n
(nm1)
m
m
n!
n
6、
组合数:
C?
?
C
C
?
?
m
m
C
n
?
?
n
m!
!
!(?
?
m)!
A
mm!
n
(nm)!
A
m
m
m
m
m
n
n
n?m
C
m
n
?C
n
;
1m
C
m?
n
?C
m
n
?C
n?
1
7、二项式定理:
n0n1n?12n?2
2rn?rrnn
(a?b)?Ca?Cab?Cab?…?Cab?…?Cb
nnnnn
rn?rr
8、二项式通项公式
展开式的通项公式:T?Cab(r?0,1……n)
r?1n
第二章
随机变量及其分布
知识点:
1、随机变量:如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X
来表
示,并且X是随着试验的结果的不同而变化,那么这样的变量叫做随
机变量.
随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等表示。
2、离散型随机变量:在上面的射击、产
品检验等例子中,对于随机
变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量
叫做离散型随机变量.
3、离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x
1
,x
2
,..... ,x
i
,......,x
n
X取每一个值 x
i
(i=1,2,..
....)的概率P(ξ=x
i
)=P
i
,则称表为
离散型随机变量
X 的概率分布,简称分布列
4、分布列性质① p
i
≥0,
i =1,2, … ;② p
1
+ p
2
+…+p
n
= 1.
5、二点分布:如果随机变量X的分布列为:
其中0
分布
6、超几何分布:一般地, 设总数为N件的两类物品,其中一类有M
件,从所有物品中任取n
(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是
一个离散型随机变量,
kn?k
C<
br>M
C
N?M
则它取值为k时的概率为
P(X?k)?(k?0,1,2
,L,m)
,
n
C
N
其中
m?min
?
M,n
?
,且
n≤N,M≤N,n,M,N?N
*
E(
?<
br>)?
nM
(必记忆)
N
7、条件概率:对任意事件A和事件B,在已
知事件A发生的条件下
事件B发生的概率,叫做条件概率.记作P(B|A),读作A发生的条
件下B的概率
8、公式:
P(B|A)?
P(AB)
,P(A)?0.
P(A)
9
、相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率
没有影响,这样的两个事件叫做
相互独立事件。
P(A?B)?P(A)?P(B)
10、n次独立重复事件:在同等条件下进行的,各次之间相互独立的
一种试验
11、二项分布: 设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数,
A发生次数ξ是一个随机
变量.如果在一次试验中某事件发生的概
率是p,事件A不发生的概率为q=1-p,那么在n次独立重
复试验中
kkn?k
P(
?
?k)
?C
n
pq<
br>(其中 k=0,1, ……,n,q=1-p )
于是可得随机变量ξ的概率分布如下:
这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B(n,p) ,其中n,p为
参数
12、数学期望:一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称
Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…
为ξ的数学期望或平均数、
均值,数学期望又简称为期望.是离散型随机变量。
13、方差:
D(ξ)=(x
1
-Eξ)
2
·P
1
+(x
2-Eξ)
2
·P
2
+......+(x
n
-E
ξ)
2
·P
n
叫随机变量ξ的均方差,简称方差。
14、集中分布的期望与方差一览:
两点分布
二项分布,ξ
~ B
Eξ=np Dξ=qEξ=npq,(q=1-p)
(n,p)
15、正态分布:
若概率密度曲线就是或近似地是函数
期望
Eξ=p
方差
Dξ=pq,q=1-p
f(x)?
1e
2
??
?
(x?
?
)
2
2
?
2
,x?(??,??)
(
?
?0)
是参
数,分别表示总体的平的图像,其中解析式中的实数
?
、
?
均数与标准差.
则其分布叫正态分布
记作:N(
?
,
?
)
,f(
x )的图象称为正态曲线。
16、基本性质:
①曲线在x轴的上方,与x轴不相交.
②曲线关于直线x=
?
对称,且在x=
?
时位于最高点.
③当时
x?
?
,曲线上升;当时
x?
?
,曲线下降.并且当
曲线向左、右
两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.
④当
?
一定时,曲线的形状由
?
确定.
?
越大,曲线越“矮胖”,表示<
br>?
越小,总体的分布越分散;曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于1.
17、 3
?
原则:
从上表看到,正态总体在
(
?<
br>?2
?
,
?
?2
?
)
以外取值的概率
只有
4.6%,在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很
小,通常称这些情况发
生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况
在一次试验中几乎是不可能发生的.
1.某项
考试按科目
A
、科目
B
依次进行,只有当科目
A
成绩合格时
,
才可以继续参加科目
B
的考试。每个科目只允许有一次补考机会,
两个科
目成绩均合格方可获得该项合格证书,现在某同学将要参加这
项考试,已知他每次考科目
A成绩合格的概率均为,每次考科目
B
成绩合格的概率均为。假设他在这项考试中不放弃所有
的考试机会,
且每次的考试成绩互不影响,记他参加考试的次数为
X
。
(1)求
X
的分布列和均值;
(2)求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。
1
2
2
3
2.济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园
博园4个旅游景点,一位客
人浏览这四个景点的概率分别是0.3,0.4,0.5,0.6,且客人是
否游
览哪个景点互不影响,设
?
表示客人离开该城市时游览的景点数与没
有游
览的景点数之差的绝对值。
(1)求
?
=0对应的事件的概率;
(2)求
?
的分布列及数学期
望。
3.
袋子中装有8个黑球,2个红球,这些球只有颜色上的区别。
(1)随机从中取出2个球,
?
表示其中红球的个数,求
?
的分布
列及均值。
(2)现在规定一种
有奖摸球游戏如下:每次取球一个,取后不放
回,取到黑球有奖,第一个奖100元,第二个奖200元
,…,第
k
个
奖
k?100
元,取到红球则要罚去前期所有奖金并结
束取球,按照这种
规则,取球多少次比较适宜?说明理由。
第三章
统计案例
知识点:
1、独立性检验
假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分另为{x
1
,
x
2
}和{y
1
,
y
2
},
其样本频数列联表为:
x
1
y
1
a
y
2
b
总计
a+b
x
2
c d c+d
总计 a+c
b+d a+b+c+
d
若要推断的论述为H
1
:“X与Y有关系”,可
以利用独立性检验来
考察两个变量是否有关系,并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。
具体
的做法是,由表中的数据算出随机变量K^2的值(即K的平方)
K
2
= n
(ad - bc)
2
[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)],其中n=a+
b+c+d为
样本容量,K
2
的值越大,说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。
K
2
≤3.841时,X与Y无关; K
2
>3.841时,X
与Y有95%可能性有
关;K
2
>6.635时X与Y有99%可能性有关
2、回归分析
?
?a?bx
回归直线方程
y
1
x
?
y
?
n
其中b??
1
22
?
x?
n
(
?
x)?
xy?
SP
?
(x?x)(y?y)
,
a?y?bx
?
SS
?
(x?x)
2
x
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