高中数学知识点总结及典型例题

一、函数
1、函数概念与基本初等函数
一、知识导学

1.映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则

，对于集合A中的任 何
一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合

B
的映射，记作f：A→B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)
2.函数：

设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则
f
，对于集合A 中每一个元
素
x
，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都的原象， 这样的对应叫做
从集合A到集合

B的一个函数，记作

y?f(x)
.
其中所有的输入值
x
组成的集合A称为函数
y?f(x)
定义域.
对于A中的每一个
x
，都有一个输出值
y
与之对应，我们将所有输出 值
y
组成的集合称
为函数的值域.
3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，
用y把x表示出来，得到x=f
-1
(y). 若对于y在C中的任何一个值 ，通过x在A中都有唯
一的值和它对应，那么x=f
-1
(y)就表示y是自变量，x 是自变量y的函数，这样的函数
叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f
-1
(y). 我们一般用x表示自变量，用y 表示函
数，为此我们常常对调函数x=f
-1
(y) 中的字母x,y，把它改写成y=f
-1
(x) 反函数y=f
-1
(x)
的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
二、疑难知
识导析
1.对映射概念的认识
(1)

与

是不同的，即

与

上有序的.或者说：映射是有方向的，
(2) 输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可 能有元素在集合A中找不到对应的输入值.
集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值. 或者说：允许集合B中有剩留
元素；允许多对一，不允许一对多.
(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.

2.对函数概念的认识
（1）
对函数符号

f(x)
的理解知道

y=
f(x)
与

f(x)
的含义是一样的，它们都表示

是

的
函数，其中

是自变量，
f(x)
是函数值，连接的纽带是法则

.是单值对应.

(2)注意定义中的集合 A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；
（3）
函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.

3.对反函数概念的认识
（1）函数
y=
f(x)
只有满足是从 定义域到值域上一一映射，才有反函数；

（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域 和定义域，因此反函数的定义域一般不
能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.
（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x对称.
三、经典例题导讲

[例1]设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；
（2）从M到N的映射满足
f
(a)>
f
(b)≥f(c),试确定这样的 映射
f
的种数.
解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有
a?0a ?2
?
a?2
?
a?2
??
一共有27个映射
? ???
（2）符合条件的映射共有4个
,
?
b??2,
?
b ??2,
?
b?0,
?
b?0,

f
2
( x
?
?
[例2]已知函数
f(x)
的定义域为[0，1]，求函数的 定义域
?
c??2
?
c??c
1)
??2
?c?0
????
正解：由于函数
f(x)
的定义域为[0，1]，即0?x?1
∴
f(x?1)
满足
?0?x?1?1

?1?x?0
，∴
f(x?1)
的定义域是[－1，0]
[例3] 已知：
x?N,
f(x)?
?
*
?
x?5
?
f(x?2)
(x?6)
(x?6)
1 35
，求
f(3)
.

正解：∵
f(x)?
?
?
x?5
?
f(x?2)
(x?6)
(x?6)
，
∴
f(3)
＝
f(3?2)?f(5)
＝
f(5?2)?f (7)
＝7-5＝2
?1?1
[例4]已知
f(x)
的反函数是
f(x)
，如果
f(x)
与
f(x)
的图像有交点，那么交 点必在直
线
y?x
上，判断此命题是否正确？
错解：正确
错因：对互为反函数的图像关于直线
y?x
对称这一性质理解不深，比如函数
1
1111
y?()
x
与y?log
1
x
的图像 的交点中，点
(,),
不在直线
y?x
上，由此可以
（，）
16
2442
16
说明“两互为反函数图像的交点必在直线
y?x
上 ”是不正确的.
2
[例5]求函数
y?f(x)?x?4x?6
，
x?[1,5)
的值域.
解：配方，得
y?f(x)?x?4x?6?(x?2)?2

∵
x ?[1,5)
，对称轴是
x?2
∴当
x?2
时，函数取最小值为f(2)?
2，
f(x)?f(5)?11

?f(x)
的值域是
?
211，
?

[例6]根据条件求下列各函数的解析式：
（1）已知
f(x)
是二次函数 ，若
f(0)?0,f(x?1)?f(x)?x?1
，求
f(x)
.
（2）已知
f(x?1)?x?2x
，求
f(x)

（3） 若
f(x)
满足
f(x)?2f()?ax,
求
f(x)

1
2
1
x
解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解
x?x
2
(a?0)
由于
f(0)?0
得
f(x< br>2
)?ax
2
2
?bx
， 设
f(x)
＝< br>ax?bx?c
又由
f(x?1)?f(x)?x?1
，∴
a(x?1 )?b(x?1)?ax?bx?x?1

即
ax?(2a?b)x?a?b?ax?(b?1)x?1

22
22
1
22
?
2a?b?b?1
?
?
?
a?0
?
a?b?1
?
?a?b?
1
因此：
f(x)
＝
2
(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解
设
u?x?1( x?0),?x?u?1(u?1)
?f(u)?(u?1)
2
?2(u?1)?u< br>2
?1(u?1)

2
∴
f(x)
＝
x?1
（
x?1
）
（3）由于
f(x)
为抽象函数，可以用消参法求解
1
11
代
x
可得：
f()?2f(x)?a,

x
xx
1
与
f(x)?2f()?ax

x
1
2aax
?
. 联列可消去
f()
得：f(x)
＝
x
3x3
点评：求函数解析式（1）若已知函数
f( x)
的类型，常采用待定系数法；（2）若已知
f[g(x)]
用
表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.
2222
[例7] 已知
3x?2y?6x
，试求
x?y
的最大值.
2 35

分析：要求
x?y
的最大值，由已知条件很快将
x?y
变 为一元二次函数
2222
19
f(x)??(x?3)
2
?,
然后求极值点的
x
值，联系到
y
2
?0
，这一条件，既快 又准地求
22
出最大值.
解 由
3x
2
?2y
2
?6x
得
3
y
2
??x
2
?3x.
2

3
?y
2
?0,??x
2
?3x?0,?0?x?2.
23
2
19
x?3x??(x?3)
2
?,

2 22
19
?
当
x?2
时，
x
2
?y
2
有最大值，最大值为
?(2?3)
2
??4.

22< br>又
x?y?x?
222
点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性 .大部分学生的作法如下：
3
2
x?3x,

2
319< br>?x
2
?y
2
?x
2
?x
2
?3x ??(x?3)
2
?,

222
9
?
当
x ?3
时，
x
2
?y
2
取最大值，最大值为
22
这种解法由于忽略了
y?0
这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审 题，不仅能
2
由
3x?2y?6x
得
y??
22
从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，
又要注意 次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题..
2、函数的性质
1.函数的单调性：
（1）增函数：一般地，设函数
y?f(x)
的定义 域为I，如果定义域I内某个区间上任意
两个自变量的值x
1
,x
2
,当x
1
＜x
2
时，都有f(x
1
)2< br>),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.
（2）减函数：一般地，设函数
y? f(x)
的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意
两个自变量的值x
1
,x
2
,当x
1
＜x
2
时,都有f(x
1
)＞f(x
2
),那么就说f(x)在这个区间上是减函
数.
（3）单调 性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)
在这区间上具有 单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.
2.函数的奇偶性：
（1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =－f(x)，
那么函数f(x)就叫做奇函数.
（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =f(x)，那么函
数f(x)就叫做偶函数.
（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.
3.函数的图像：将 自变量的一个值x
0
作为横坐标，相应的函数值f(x
0
)作为纵坐标，就< br>得到平面内的一个点（x
0
,f(x
0
)），当自变量取遍函数定义域 内的每一个值时，就得到一系列
这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f(x) 的图像.
二、疑难知识导析
1. 对函数单调性的理解， 函数的单调性一般在函数的 定义域内的某个子区间上来讨
论，函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值 的变化趋势，是函数
3 35

在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义 域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间
而言的，所以要受到区间的限制.
2.对函数奇 偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，
要明确 对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于
原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图像关于直线x=a
对称 的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图
像 的特殊的对称性的反映.
这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关 知识，选
择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.
3. 用列表描点法总能作 出函数的图像，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数
图像的特点，如二次函数图像是抛物线，如 果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲
目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的.
三、经典例题导讲
[例1]判断函数
y?()
的单调性.
正解： 令
t??x
，则该函数在R上是减函数，又
Q0?
∴
y?()
是增函数
1
3
?x
11

?1 ,?y?()
t
在R上是减函数，
33
1
3
?x
[ 例2]判断函数
f(x)?(1?x)
1?x
的奇偶性.
1?x
正 解：
f(x)?(1?x)
1?x
1?x
有意义时必须满足
?0?? 1?x?1

1?x
1?x
即函数的定义域是｛
x
｜
?1?x?1
｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇
函数也不是偶函数
2
[例3] 判断
f(x)?log
2
(x?x?1)
的奇偶性.
22
正解：方法一：∵
f(?x)?log
2
(?x?(?x)?1)?log
2
(?x?x?1)

＝
log
2
1
x?x
2
?1
＝
?log
2
(x?x
2
?1)
＝ －
f(x)

∴
f(x)
是奇函数
方法二：∵
f(x)?f(?x)?log
2
(x?x
2
?1)?log
2< br>(?x?
＝
log
2
[(x?x
2
?1)?(?x? x
2
?1)?log
2
1?0

x
2
?1)

f(?x)??f(x)
∴
f(x)
是奇函数
[例5] 已知奇函数
f
(
x
)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式
f
(
x
－3)+
f
(
x
－3)<0,
求
x
的取值范围.
2?
?3?x?3?3
?
0?x?6
正解：由
?
,故0<
x
<
6
,
得
?
2
?
?3?x? 3?3
?
?6?x?6
又∵
f
(
x
)是奇函数，∴
f
(
x
－3)<－
f
(
x
－3)=
f
(3－
x
),又
f
(
x
)在(－3，3)上是 减函数，
22
∴
x
－3>3－
x
,即
x
+
x
－6>0,解得
x
>2或
x
<－3,综上得2<
x
<
6
,即
A
={
x
|2<
x
<
6
},
22
3、基本初等函数
一、知识导学
1. 二次函数的概念、图像和性质.
2
（1）注意解题中灵活运用二次函数的一般式
f( x)?ax?bx?c
2
(a?0)
和 二次函数的顶点式
f(x)?a(x?m)?n
(a?0)
二次函数的坐标式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)
4 35
(a?0)

（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次 三项式的恒正恒负、二次方程根
的范围等）要充分利用好两种方法：配方、图像，很多二次函数都用数形 结合的思想去解.
2
(a?0)
，当
??b
2
?4ac? 0
时图像与x轴有两个交点. ①
f(x)?ax?bx?c
M（x
1
,0）N(x
2
,0),|MN|=| x
1
- x
2
|=
?
.
|a|
② 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点
处取得.

x
2.指数函数
y?a
(a?0,a?1)
和对数函数
y? log
a
x
(a?0,a?1)
的概念和性质.
（1）有理指数幂的意义、幂的运算法则：
mnmnnnn
mnm?n
①< br>a?a?a
；②
(a)?a
；③
(ab)?ab
（这时m,n 是有理数）
对数的概念及其运算性质、换底公式.
log
a
(M?N) ?log
a
M?log
a
N;
log
a
M
n
?nlog
a
M;
log
a
M
?log
a
M?log
a
N

N
log
a
n
M?
log
c
b
1

log
a
M
；
log
a
b?
log
c
a
n
（2）指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点.
①指数函数图像永远在 x轴上方，当a＞1时，图像越接近y轴，底数a越大；当0时，图像越接近y轴，底数a越小 .
②对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约，注意对底数a的讨论.
③当a>1时，图像越接近x轴，底数a越大; 当0
?
3.幂函数
y?x
的概念、图像和性质.
结合函数
y=x,y=x,y=x,y=
y?x,y?x
2 3
?1?2
,y=
x
的图像，了解它们的变化情况.
1
2
①
?
＞0时，图像都过（0,0）、（1,1）点，在区间（0，+∞）上是增函数；
注意
?
＞1与0<
?
＜1的图像与性质的区别.
②
?
＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0，+∞）上是减函数；在第一象限内，图
像向 上无限接近y轴，向右无限接近x轴.
③当x>1时，指数大的图像在上方.
二、疑难知识导析
1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图 像.二次函数的对称
轴与区间的位置通常有三种情况：（1）定义域区间在对称轴的右侧；（2）定义域 区间在对称
轴的左侧；（3）对称轴的位置在定义域区间内
2.幂的运算性质、对数的运算 性质的运用，要注意公式正确使用.会用语言准确叙述这些
运算性质防止出现下列错误：
（1）式子
a
n
＝
a
，
n
log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N
（2）
log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N;
3.利用指数函数的性质解题，一定要注意底数的取值.
f(x)f(x)
4.函数< br>y?a
的研究方法一般是先研究
f(x)
的性质，再由
a
的情 况讨论
y?a
的
性质.
x
5.对数函数
y?loga
x
(a?0,a?1)
与指数函数
y?a
(a?0,a?1)
互为反函数，会将
指数式与对数式相互转化.
?
6.幂函数
y?x
的性质，要注意
?
的取值变化对函数性质的影响.
（1）当
?
?
奇偶奇
时，幂函数是奇函数；（2）当
?
?
时，幂函数是偶函数；（3）当
?
?
奇奇偶
时，定义域不关于原点对 称，幂函数为非奇非偶函数.

三、经典例题导讲
5 35

[例1]已知
log
18
9?a,18?5,
求
log
36
45

b
正解：∵
18?5,
∴
log
18
5?b

∴
log
36
45?
b
log
18
45 log
18
5?log
18
9
??
log
1836log
18
4?log
18
9
2
b?ab?ab? a
??

18
2
18
2?a
log
18< br>()?a2log
18
()?a
99
[例2]分析方程
f(x )?ax?bx?c?0
（
a?0
）的两个根都大于1的充要条件.
?f(1)?0
?
b
?
正解：充要条件是
?
?

?1
?
2a
2
?
?
??b?4ac?0
[ 例3]求函数
y?36?12?6?5
的单调区间.
xx
正解：令
6?t
，则
t?6
为增函数，
y? 36
x
?12?6
x
?5
＝
t
2
?12? t?5
＝
(t?6)
2
?41

∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，
当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数 xx
∴函数
y?36?12?6?5
的单调递减区间是
(??,1]，单调递增区间为
[1,??)

[例4]已知
y?log
a< br>(2?ax)
在[0，1]上是
x
的减函数，则
a
的取值范围 是
正解：∵
y?log
a
(2?ax)
是由
y ?log
a
u
，
u?2?ax
复合而成，又
a
＞0
∴
u?2?ax
在[0，1]上是
x
的减函数，由复合函数关系知
y?log
a
u
应为增函数，∴
a
＞1
又由于
x
在[0，1]上时
y?log
a
(2?ax)
有意义，
u?2?ax
又是减函数，∴
x
＝1时，
u?2? ax
取最小值是
u
min
?2?a
＞0即可， ∴
a
＜2
综上可知所求的取值范围是1＜
a
＜2
[例5]已知函数
f(x)?log
a
(3?ax)
.
（ 1）当
x?[0,2]
时
f(x)
恒有意义，求实数
a
的取 值范围.
（2）是否存在这样的实数
a
使得函数
f(x)
在区间[ 1，2]上为减函数，并且最大值为1，如
果存在，试求出
a
的值；如果不存在，请说 明理由.
分析：函数
f(x)
为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分 析找到正确的解题
思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.
解：（1）由假 设，
3?ax
＞0，对一切
x?[0,2]
恒成立，
a?0,a?1

显然，函数g(x)=
3?ax
在[0，2]上为减函数，从而g(2) ＝
3?2a
＞0得到
a
＜
xx
3

2
3
）
2
(2)假设存在这样的实数
a
，由题设 知
f(1)?1
，即
f(1)?log
a
(3?a)
＝1
3
3
∴
a
＝此时
f(x)?log
a
(3 ?x)

2
2
当
x?2
时，
f(x)
没有 意义，故这样的实数不存在.
∴
a
的取值范围是（0，1）∪（1，
点评： 本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处
理方法是先假设存在 ，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.
即不存在，反之没有矛盾，则问题 解决.
4、函数与方程
一、知识导学
1.函数的零点与方程的根的关系：
一般地，对于函数
y?f(x)
（
x?D
）我们称方程
f (x)?0
的实数根
x
也叫做函数的
零点，即函数的零点就是使函数值为零的 自变量的值. 求综合方程
f
(
x
)=
g
(
x)的根或根的个
数就是求函数
y?f(x)?g(x)
的零点.
2.函数的图像与方程的根的关系：
6 35

一般地，函数
y?f(x)
（
x?D
）的图像与
x
轴交点的横坐标就是< br>f(x)?0
的根.综合
方程
f
(
x
)=
g
(
x
)的根，就是求函数
y
＝
f
(
x)与
y
=
g
(
x
)的图像的交点或交点个数，或求方程
y?f(x)?g(x)
的图像与
x
轴交点的横坐标.
3.判断一个函数是否有零点的方法：
如果函数
y?f(x)
在区间[a,b] 上图像是连续不断的曲线，并且有
f(a)?f(b)?0
，那
么，函数
y? f(x)
在区间（a,b）上至少有一个零点，即至少存在一个数
c?(a,b)
使得
f(c)?0
，这个c也就是方程
f(x)?0
的一个根.对于我们学习的简 单函数，可以借助
或者把
f(x)
写成
g(x)?h(x)
，然后借 助
y?g(x)
、
y?h(x)y?f(x)
图像判断解的个数，
的 图像的交点去判断函数
f(x)
的零点情况.
4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：
2
2
二次函数
y ?ax?bx?c
的零点，就是二次方程
ax?bx?c?0
的根，也是二次函数y?ax
2
?bx?c
的图像与x轴交点的横坐标.
5. 二分法：
对于区间[a,b]上的连续不断，且
f(a)?f(b)?0
的函数
y ?f(x)
，通过不断地把函数
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法
叫做二分法.
二、疑难知识导析
1.关于函数
y?f(x)?g(x)
的零点，就是方程
f(x)?g(x)
的实数根，也就是y?f(x)
与
函数
y?g(x)
图像的交点的横坐标. 要深刻理解，解题中灵活运用.
2
2.如果二次函数
y?f(x)?ax?bx?c
，在闭区间[m,n]上满足
f(m)?f(n)?0
，那么方
2
程
ax?bx?c?0
在区间（m,n）上有唯一解，即存在唯一的
x
1
?(m,n)
，使
f(x
1
)?0
，
2
?
0
c?0
另一解
x
2
?(??,m)?(n,??)
. 方程
ax?
??
?
bx
2
?bx?c?0
的根在某 一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方3. 二次方程
?
ax
2
b
?c?0
的根都在区间
(m,n)
时
ax?bx
程f(x)
＝
?
m???n
?
应满足：
?

2a
4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是
?
f(m)?0
（1）取一个区间（
a,b
）使
f(a)?f(b)?0

?
a?b

2
（3）计算
f(x
0
)，①若
f(x
0
)?0
，则
x
0
就是
f(x)?0
的解，计算终止；②若
f(a)?f(x
0
)?0
，则 解位于区间（
a,x
0
）中，令
a
1
?a,b
1< br>?x
0
；若
f(x
0
)?f(b)?0
则解
位于区间（
x
0
,b
）令
a
1
?x
0,b
1
?b

a?b
（4）取区间是（
a
1< br>,b
1
）的中点，
x
1
?
11
重服第二步、 第三骤直到第n步，方程的解
2
（2）取区间的中点，
x
0
?
总位于区间（
a
n
,b
n
）内
（5）当
an
,b
n
精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解.
三、经典例题导讲
2
[例1]已知函数
f(x)?x?ax?3?a
若
x?[?2,2]
时，
f(x)
≥0恒成立，求
a
的取 值范围.
正解：设
f(x)
的最小值为
g(a)

（1） 当
?
?
?
f(n)?0
7
a
??2
即a
＞4时，
g(a)
＝
f(?2)
＝7－3
a
≥0，得
a?
故此时
a
不存在；
3
2
a
2
a
(2) 当
??[?2,2]
即－4≤
a
≤4时，
g(a)
＝3－
a
－≥0，得－6≤< br>a
≤2
4
2
又－4≤
a
≤4，故－4≤
a
≤2；
（3）
?
故－7≤
a
＜－4
综上，得－7≤
a
≤2
2
[例2]已知
mx?x?1?0
有且只有一根在区间（0,1）内，求
m
的取值范围.
2
解：设< br>f(x)?mx?x?1
，（1）当
m
＝0时方程的根为－1，不满足条件.
7 35
a
?2
即
a
＜－4时，
g(a)＝
f(2)
＝7＋
a
≥0，得
a
≥－7，又
a
＜－4
2

（2）当
m
≠0∵
mx?x?1 ?0
有且只有一根在区间（0,1）内
又
f(0)
＝1＞0
∴有两种可能情形①
f(1)?0
得
m
＜－2
或者②
f(1)?0且02
综上所得，
m
＜－2 [例3]已知一次函数
y?kx?b
与二次函数
y?ax
2
图像 如图，其中
，B（0，2）；与二次函数
y?ax
2
的
y?kx? b
的交点与
x
轴、
y
轴的交点分别为A（2，0）
交点为P 、Q，P、Q两点的纵坐标之比为1︰4.（1）求这两个函数的解析式.（2）解方程：
ax
2
?kx?b

2
正解：（1）抛物线方程为
y?x

22
（2）方法一：由（1）得方程
ax?kx?b
即为
x??x?2

解得
x
1
＝－2，
x
2
＝1.
2
方法二：方程
ax?kx?b
的根即为二次函数
y?ax2
与一
次函数
y?kx?b
的交点的横坐标.由（1）知它们交点的坐标 分
别为P（1， 1），Q（－2， 4），
2
∴方程
ax?kx?b< br>的解为
x
1
＝－2，
x
2
＝1.




[例4]是否存在这样的实数k，使得关于x的方程
x2
+（2k－3）
x
－（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？ 如果有，试确定
k的取值范围；如果没有，试说明理由.
2
解：令
f(x)?x?(2k?3)x?(3k?1)
那么由条件得到
1
<1
得
m
不存在
2m
?
4k
2
?5?0
?
??(2k?3)?4(3k?1)?0
?
?
?
k?
1
f(0)?1?3k?0
?
?
?
3
即此不等式无解
?
f(2)?4?2(2k?3)?(3k?1)?0
即
?
?
?
k?1
?
0?
2k?3
?2
?37
?
?
?k?
?2
?22
2
即不存在满足条 件的k值.
2
[例5]已知二次函数
f(x)?ax?bx?c
对于
x
1
、
x
2
?
R，且
x
1
＜< br>x
2
时
1
f(x
1
)?f(x
2
)
，求证：方程
f(x)
＝
[f(x
1
)?f(x
2
)]
有不等实根，且必有一根属于区间
2
（
x
1
，
x
2
）.
1
解：设F（
x
）＝
f(x )
－
[f(x
1
)?f(x
2
)]
，
2
1
则方程
f(x)
＝
[f(x
1
)?f(x
2
)]
①
2
与方程 F（
x
）＝0 ② 等价 < br>11
∵F（
x
1
）＝
f(x
1
)
－
[f(x
1
)?f(x
2
)]
＝
[f(x
1
)?f(x
2
)]

22
11
F（
x< br>2
）＝
f(x
2
)
－
[f(x
1
) ?f(x
2
)]
＝
[?f(x
1
)?f(x
2)]

22
1
2
∴ F（
x
1
）·F （
x
2
）＝－
[f(x
1
)?f(x
2
) ]
，又
f(x
1
)?f(x
2
)

4
∴F（
x
1
）·F（
x
2
）＜0
8 35

故方程②必有一根在区间（
x
1
，x
2
）内.由于抛物线y＝F（
x
）在
x
轴上、下方均 有分布，
所以此抛物线与
x
轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从 而方程①有两
个不等的实根，且必有一根属于区间（
x
1
，
x
2
）.
点评：本题由于方程是
f(x)
＝
[f(x
1< br>)?f(x
2
)]
，其中因为有
f(x)
表达式，所以解题中
有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明
f(x)
的图像与
x
轴相交于两个不
同的点，从而证题中着眼于证
f(x
1
)f(x2
)
＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F
（
x
）＝
f(x)
－
[f(x
1
)?f(x
2
)]
的图像与
x
轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.
函数的综合运用(因今年高考对此不作要求，故略）

1
2
1
2

二、三角函数

1任意角三角函数

一、知识导学
1．角：角可以看成由一条射线绕着端 点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.
角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小 ，按旋转的方向分类有正角、负角、零
角.
l
2．弧度制：任一已知角
?< br>的弧度数的绝对值
?
?
，其中
l
是以
?
作为 圆心角时所对圆弧
r
的长，
r
为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角 的弧度数为负数，零角的弧度数为
零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.
?180
?
?
3．弧度与角度的换算：
360?2
?
ra d
；1
rad?
?
1??0.1745rad
；
?
?57.30
.
180
?
?
?
?
?
??
用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度
4．弧长公式、扇形面 积公式：
l?
??
不可省略.
?
?
r,
S
扇形
＝lr?
1
2
1
|
?
|r
2
,其中
l
为弧长，
r
为圆的半
2
径.圆的周长、面积公式 是弧长公式和扇形面积公式中当
?
?2
?
时的情形.
5．任意角的 三角函数定义：设
?
是一个任意大小的角，角
?
终边上任意一点P的坐标是< br>?
x,y
?
，它与原点的距离是
r(r?0)
，那么角
?
的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分
别是
sin
?
?yxyxrr
,cos
?
?,tan
?
?,cot
?< br>?,sec
?
?,csc
?
?
.这六个函数统称
rr xyxy
为三角函数.
6．三角函数的定义域
三角函数
9 35
定义域

y?sinx
R
R
y?cosx

y?tanx

y?cotx

??
?
xx?k
?
?,k?Z
??

2
??
?
xx?k
?
,k?Z
?

??
?
xx?k
?
?,k?Z
??

2
??
?
xx?k
?
,k?Z
?

y?secx

y?cscx

7．三角函数值的符号：各三角函数 值在第个象限的符号如图所
示（各象限注明的函数为正，其余为负值）
可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.
二、疑难知识导析
1．在直角坐标系内讨论角
（1）角的顶点在原点，始边在
x
轴的正半轴上 ，角的终边在第
几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.
它的前提是“ 角的顶点为原点，角的始边为
x
轴的非负半轴.否
则不能如此判断某角为第几象限.若 角的终边落在坐标轴上，就
说这个角不属于任何象限.
（2）与
?
角终边相同的角的集合表示.
??
?k?360
?
?
?
,k?Z
，其中
?
为任意角.终边相同的角不一定 相等，相等的角终边一
?
定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差
360
整数倍.
2．值得注意的几种范围角的表示法
???
?
“0～
9 0
间的角”指
0?
?
?90
；“第一象限角”可表示为
?< br>“小于90的角”可表示为
??
?90
?
.
?
k? 360
?
?
?
?k?
l
360
?
?90< br>?
,k?Z
；
3．在弧度的定义中与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关.
r
4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴
上时点P坐标中必有一个为0.
5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只 与这个角的终边位置有关，即角
?
?
与
?
?k?360(k?Z)< br>的同名三角函数值相等；（2）
x?r,y?r
，故有
cos
?
?1,sin
?
?1
，这是三角函数中最基本的一组不等关系.
6．在计 算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况
进行讨论.因此，在解 答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数
值是正还是负？（3）与此相关 的定义、性质或公式有哪些？
三、经典例题导讲
??
??
??
[例1] 若A、B、C是
?ABC
的三个内 角，且
A?B?C(C?)
，则下列结论中正确的个数
是（ ）
①.
sinA?sinC
②.
cotA?cotC
③.
tanA?tanC
④.
cosA?cosC

A．1 B.2 C.3 D.4
正解：法1
?A?C< br>在
?ABC
中，在大角对大边，
?c?a,?sinC?sinA

法2 考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选A .
[例2]已知
?
,
?
角的终边关于
y
轴对称，则
?
与< br>?
的关系为 .
正解：∵
?
,
?
角的终边关于
y
轴对称
∴
?
2
?
?
?
2
?
?
2
?k
?
,(k?Z)
即
?
?
?
?
?
?2k
?
,(k?z)

说明：（1）若
?
,
?
角的终边关于
x
轴对称，则
?
与
?
的关 系为
?
?
?
?2k
?
,(k?Z)

（2 ）若
?
,
?
角的终边关于原点轴对称，则
?
与
?< br>的关系为
?
?
?
?(2k?1)
?
,(k?Z)
（3）若
?
,
?
角的终边在同一条直线上，则
?与
?
的关系为
?
?
?
?k
?
,(k? Z)

10 35

3
?
4
?,cos??
，试确定
?
的象限.
2525
?
3
?
4
?
正解：∵
sin??0,cos???0
，∴是第二象限角，
2
2525
[例3] 已知
sin
又由
sin
?< br>?
2
?
323
?
3
??
??sin
知
2k
?
???2k
?
?
?
,k?z
< br>524
42
3
?
?
?
?4k
?
?2
?
,k?z
，故
?
是第四象限角.
2
[例4] 已知角
?
的终边经过
P(?4a,3a)(a?0)
，求
sin?
,cos
?
,tan
?
,cot
?
的值.
4k
?
?

正解：若
a?0
，则
r?5a
，且角
?
在第二象限
3a3?4a43a3?4a4
?,cos
?
???,tan
????,cot
?
???

5a55a5?4a43a3
若a?0
，则
r??5a
，且角
?
在第四象限
3a3? 4a43a3?4a4
?sin
?
???,cos
?
??,tan< br>?
???,cot
?
???

?5a5?5a5?4a43a 3
?sin
?
?
说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函 数值常用定义求解；
（2）本题由于所给字母
a
的符号不确定，故要对
a< br>的正负进行讨论.
[例5]一扇形的周长为20
cm
，当扇形的圆心角
?
等于多少时，这个扇形的面积最大？最大
面积是多少？
解：设扇形的半径为1
rcm
，则扇形的弧长
2
l?(20?2r)cm

扇形的面积
S?(20?2r)?r??(r?
l
5)?25
2
2
所以当
r?5cm
时，即
l?10cm,
?
??2
时
S
max
?25cm
.
r
点评：涉及 到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最
值的条件及相应的最值.
[例6]已知
?
是第三象限角，化简
1?sin
?
1?si n
?
?
。
1?sin
?
1?sin
?
( 1?sin
?
)
2
(1?sin
?
)
2
1 ?sin
?
?1?sin
?
2sin
?
?
解：原式 ＝＝
?
cos
?
cos
?
1?sin
2
?
1?sin
2
?
又
?
是第三象限角，
?cos< br>?
?0

所以，原式＝
?
2sin
?
??2tan
?
。 < br>cos
?
点评：三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母；（2）尽可能不含根 式；（3）尽可能
使三角函数名称最少；（4）尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基 本关系式
脱去根式，进行化简.
一、知识导学
1．同角三角函数的基本关系式
2、三角函数基本关系式与诱导公式

sin
?
；倒数关系：tan
?
?cot
?
?1

cos
?
sin
平方关系：
2
?
?cos
2
?
?1
；商数关系：
tan
?
?
同角三角函数的基本关系式可用图表示
（1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方；
（2）对角为倒数关系；
（3）每个三角函数为相邻两函数的积.
2．诱导公式(
k?z
)
角 函数 正弦 余弦
11 35
记忆口诀

2k
?
?
?

?
?
?

?
?

?
?
?

2
?
?
?

?
?
?

2
sin
?

－
sin
?

－
sin
?

sin
?

－
sin
?

cos
?


cos
?

－
cos
?

cos
?

－
cos
?

cos
?

sin
?



函数名不变
符号看象限



函数名不变
符号看象限
?
2
?
?

cos
?

－
cos
?

－
cos
?

sin
?

－
sin
?

3
?
?
?

2
3
?
?
?

2
sin
?


诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”.
3．诱导公式解决常见题型
（1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；
（2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母.
二、疑难知识导析
1．三角变换的常见技巧
“1”的代换；
si n
?
?cos
?
，
sin
?
?cos
?< br>，
sin
?
?cos
?
三个式子，据方程思想
22< br>知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式
sin
?
?cos
?
?1
）；
2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选 用公式，
一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；
3．已知角
?
的某个三角函数值，求角
?
的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.
在利用 同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进
行讨论.解决此类问 题时，要细心求证角的范围.
三、典型例题导讲
[例1]已知
sin
?
?cos
?
?
正解： sin
?
?cos
?
?
1
，
?
?（0 ，
?
），则cot
?
?
__________
5
1

，
?
?（0，
?
），
5
121
两边同时平方，有
sin
?
?cos
?
??

?0 与sin
?
?cos
?
?联立，
255
43
3 求出
sin
?
?，
∴
cot
?
??
cos
?
??，
4
55
[例2]若sinA=asinB,co sA=bcosB,A、B为锐角且a＞1,0＜b＜1，求tanA的值
?
sinA?asinB　　①
正解：由
?
①
2
+②
2
得a
2
sin
2
B+b
2
cos
2
B=1
?
cosA?bcosB　　②
222
a?11 ?b1?b
∴cos
2
B=
2
∴sin
2
B=
2
∴tan 2B=
2

2
a?1
a?ba?b
2
1?b
2
∵B为锐角 ∴tan B=
a
2
?1
12 35

①
a
a1?b
2
得tan A=tan B= 2
②
b
b
a?1
[例3]（高考重庆卷）若函数
f(x )?
1?cos2x
4sin(?x)
2
?
xx
?asin cos(
?
?)
的最大值为2，试确
22
定常数a的值.
2cos
2
xxx
解:f(x)??asincos
4cosx22
1a
?cosx?sinx
22
1a
2
1
??sin(x?
?
),其中角
?
满足sin
?
?

244
1?a
1a
2
由已知有??4.
44
解之得,a? ?15.
点评：本试题将三角函数“
?
2
?
?
,
?
?
?
”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基
础知识的掌握程度，这就 要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础.
[例5]化简：
sin(
4n?14n ?1
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)
44
(n?z)

正解：原式
?sin[n
?
?(
?
4
（1）当
n?2k?1(k?z)
，时
原式
?si n[2k
?
?
?
?(
?
?
)]?cos[n
?
?(
?
4
?
?
)]

?
4< br>?
?
)]
+
cos[2k
?
?
?
? (
?
4
?
?
)]

?sin(?
?
)?cos(?
?
)?cos(?
?
)?cos(?
?
)
=0
4444
（2）当
n?2k(k?z)
，时
原式< br>?sin[2k
?
?(
?
?
?
?
?
4
?
?
)]
+
cos[2k
?
?(
?4
?
?
)]

??sin(
?
?
?< br>)]
+
cos(?
?
)
=0
4
4
2
?
?16?x?sinx
[例9] 求函数
y
的定义域.
解：由题意有
2k
?
?x?2k
??
?
?

?
?4?x?4
?
(*)

2?x??
当
k?
时，
?
；
?1
?x?
?
当
k?0
时，
0
；
?
??x3
?
当
k?
时，
2

1

?
函数的定义域是
[

?4，?]?[0，]
??
??
13 35

点评：有部分同学可能会认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原
因是没有正确理 解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数.
3、三角函数的恒等变换
一、知识导学
1.两角和、差、倍、半公式
（1） 两角和与差的三角函数公式

sin(
?
?
?
)?si n
?
?sin
?
?cos
?
sin
?


cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?


tan(< br>?
?
?
)?
tan
?
?tan
?

1?tan
?
tan
?
（2） 二倍角公式

sin2
?
?2sin
?
cos
?

2222

cos2
?
?cos
?
? sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?

tan2
?
?
2
2tan
?

2
1?tan
?
（3） 半角公式
1?cos
?
1?cos
?
1?cos
?
2
?
2
?
，
cos
，
tan

??
222221?cos?
?
sin
?
1?cos
?

tan?

?
21?cos
?
sin
?

sin
?
?
2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见 于化简求值和恒等式证明.恒等
式证明就是利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相 等，常用方法为：
（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一 个式子
（或数值）.
二、疑难知识导析
1．两角和与差的三角函数公式的内涵是揭 示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解
决求值、化简和证明题.
2．倍角公式的内涵 是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如
“
?
是任意角，
2< br>?
是
?
的2倍角”，精髓体现在角的“倍
sin2
?
?2sin
?
cos
?
成立的条件是
数”关系上.
3． 公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用
和变形使用，也要 注意公式成立的条件.例
tan
?
?tan
?
?tan(
?
?
?
)(1?tan
?
tan
?
)
、1?cos2
?
1?cos2
?
2
、
cos
?
?
等.
22
4． 三角公式由角的拆、凑很灵活.如
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)< br>、
?
?(
?
?
?
)?
?
、
?
?
??
?
?
?
?
???
，
?
???(
?
?)?(?
?
)
等，注意到倍角的相对性.
22222
sin
2
?
?
5．化为三角函数式，常见的思 路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与
特殊角的三角函数互化等.
6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式
(1)无条件恒等式证明,要认真分析等 式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异
寻找突破口.
(2)有条件的等式证明, 常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变
形.采用消去法或基本量法等求证.

三、典型例题导讲
[例1] 在?ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=
3
，则?C的大小应为( )
5
????
2
?
A． B． C．或
?
D．或
6
63633
14 35

正解：A
nn
[例2] 若
s
，则对任意实数
n
的取值为（ ）
in?cos?1
，sin
?
?cos
?
??
A. 1 B. 区间（0，1） C.
1
2
n?1
D. 不能确定
错解：C
错因：此题极易认为答案A最不可能，怎么能会与
n
无 关呢？其实这是我们忽略了一个隐
22
含条件
s
，导致了错选为C或D.
in
?
?cos
?
?1
正解：解法一 设点
(sin
?
，cos
?
)
，则此点满足
si n
?
?0
?
sin
?
?1
?
x?y?1< br>?
x?0
?
x?1
?
nn

?
2
解得或即
?sin
?
?cos
?
?1
或
??
??
2
y?1y?0
cos
?
?1cos
?
?0
??
??
?
x?y?1

?
选A
nn
解法二：用赋值法，令
s
同样有
sin
?
?cos
?
?1
in
?
?0，cos?
?1
?
选A
[例3]
化简sin
2
??sin
2
?
?cos
2
?
?cos
2
?
?cos2
?
?cos2
?

分析：对三角函数式化简的目标是：
（1）次数尽可能低；
（2）角尽可能少；
（3）三角函数名称尽可能统一；
（4）项数尽可能少.
观察欲化简的式子发现：
（1）次数为2（有降次的可能）；
（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）；
（3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；
（4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种.
解法一：（复角→单角，从“角”入手）
原式
?sin
1
2




1
2
2222
1
2222

?sin?sin?c os?cos?(4cos?cos?2cos?2cos?1)
2
222222
1< br>
?sins?in?cos?cos?cos?cos?
2
1
222 22

?sin?sin?cossin?cos?
2
1
?2
?sin
?
?cos
?
?

2
11
?1??

22
2
?
?sin2
?
?cos
2
?
?cos
2
?
?? (2cos
2
?
?1)(2cos
2
?
?1)

????????
??????
?????
解法二： （从“名”入手，异名化同名）
2222
1
原式?sin?sin(s?1?in) ?cos?cos2?cos2

2
1
2222
cos?sin(c os?sin)?cos2?cos2

?

2
1
22
cos?sin?cos2?cos2?cos2

?

2
1
22
cos
?
?cos2
?
?(sin
?
?cos2
?
)

?

2
??????
??
??
????
???
15 35

?
1?cos2
?
2
1
2
?

? cos2sin?(1?2sin)
??
22
??
?
???

?
1?cos2
?
11
?cos2
?
?

222
解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
1?cos21?cos21?cos21?cos21

原式?????cos22?cos
22222
11

?(1?co s2?cos222?cosc??os)(1?cos2?cos222?cosc?os)
441

??cos2
?
?cos2
?

2
111

???

442
解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
2
????????
????
??

原

式?(sin?sin?cos?cos)s?2in?sin?cos?cos?cos2?cos2

?

cos(?)?sin2?sin2?cos2?cos2

?

cos(?)??cos(2?2)
2
2
?????? ????
1
2
2
11
??????
22
??
1
2
??
2

?

cos(??)?2cos(??)1

?
1
??
2
?
??
?
1

2
点评：在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三< br>角问题时经常要用的变形手法.
4、三角函数的图像与性质
一、知识导学
1.三角函数线.设角
?
的终边与单位圆交于点
P
，过点
P
做
PM?x
轴于
M
，过点
A(1,0)
做单位圆的切线，与 角
?
的终边或终边的反向延长线相交于点
T
，则有向线段
MP,OM ,AP
分别叫做角
?
的正弦线，余弦线，正切线.
2.三角函数的图像
（1）
y?sinx,y?cosx,y?tanx,y?cotx
四种图像
（2）函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图像
①“五点作图法”
②图像变化规律
3.三角函数的定义域、值域及周期
4.三角函数的奇偶性和单调性
二、疑难知识导析
1.
y?Asin(< br>?
x?
?
)
+
B(A?0,
?
?0)
中，
A,B,
?
及
?
，对正弦函数
y?sinx
图像的
影响，应记住图像变换是对自变量而言.
如：
y?sin2x
向右 平移
?
?
?
个单位，应得
y?sin2(x?)
，而不是< br>y?sin(2x?)

6
66
16 35

2.用“五点法”作
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0)
图时，将
?
x?
?
看作整体，取
0,< br>?
2
，
3
?
,2
?
来求相应的
x< br>值及对应的
y
值，再描点作图.
2
3.
y?sinx,y? cosx,y?Asin(
?
x?
?
)
的图像既是中心对称图形，又 是轴对称图形.
而
y?tanx
图像只是中心对称图形，掌握对称中心和对称轴的求法 及位置特征，充分
利用特征求出中
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0)
的各个参数.
?
,
4.三角函数的 定义域是研究其它一切性质的前提.求定义域实质上是解简单的三角不等
式（组）.要考虑到分母不为零 ，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底数
大于零且不等于1，同时还要考虑到函数本身的 定义域.可用三角函数图像或三角函数线
解不等式（组）.
5.求三角函数的值域是常见题型 .一类是
y?asinx?bcosx
型，这要变形成
y?a
2
?b
2
sin(x?
?
)
；二是含有三角函数复合函数，可利用换元、配 方等方法转换
成一元二次函数在定区间上的值域.
6.
y?Asin(
?< br>x?
?
)(A?0,
?
?0)
单调性的确定，基本方法是将< br>?
x?
?
看作整体，
如求增区间可由
2k
?
?
?
2
?
?
x?
?
?
2k
??
?
2
(k?z)
解出
x
的范围.若
x
的系数为负
数，通常先通过诱导公式处理.
7.利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区
间上的两个同名函数.

三、典型例题导讲
[例1] 为了得到函数
y?sin?
2x?
?
?
?
?
?
的图像，可以将函数y?cos2x
的图像（ ）
6
?
A 向右平移
????
B 向右平移 C 向左平移 D向左平移
6363
??
),其中以点(,0)为中心对
44
D．4 [例3]下列四个函数y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+
称的 三角函数有（ ）个.
A．1 B．2 C．3
错解：B
错因：对三角函数图像的对称性和平移变换未能熟练掌握.
正解：D
[例8]已 知定义在区间
[?
?
,
?
]
上的函数
y?f(x)
的图像关于直线
2
3
6
其图像如图所示.
x??
?
对称，当
x?[?
?
2
??
函数
f(x)?A sin(
?
x?
?
)(A?0,
y

,
?
]
时，
?
?0,??
?
?)
，
6322
（1）求函数
y?f(x)
在
[?
?
,?
]
的表达式；
? ?
x
?
o
2
?
2

?π

6
3

（2）求方程
f(x)?
的解.
2
x??
?
6
?
2
?
?
?
?
)
解：（1）当
x?[?6
,
3
?
]
时，函数
f(x)?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0,?
?
22
， 观察

?
?
图像易得：
A?1,
?
?1,
?
?
3
，即时，函数
f(x)?sin(x?
3
)
，
2
3

?
1
?
?
x??
y?f(x)
由函数的图像关于直线
6
对称得，
x?[?
?
,?
6
]
时，
17 35

?
?
?
sin(x?
3
)
函数
f(x)??sinx
. ∴
f(x)?
?
?sinx
?
?
2
?
]x? [?
?
,
63
x?[?
?
,?
?
)
.
6
2
?
?
2
（2）当
x?[?
6
,
3
?
]
时，由
sin(x?
3
)?2
得，
?
或
3
?
?x??
?
或x?
5
?
x?
?
?
3441212
；
?当
x?[?
?
,?
6
]
时，由
?sinx?< br>2
x
2
得，
?
或x??
?
??
3< br>44
.
∴方程
f(x)?
2
{
2
的解集为
?
,?
?
,?
?
,
5
?
}?3
441212

5、解三角形及三角函数的应用
一、知识导学
1.解三角形的的常用定理:
(1) 内角和定理:
A?B?C?
?
结合诱导公式可减少角的个数.
abc
???2R
（
R
指△ABC外接圆的半径）
sinAsinBsinC
111

(S?absinC?bcsinA?acsinB)

222
22
(3) 余弦定理:
a?b?2abcosC?c
2
及其变形.
(2) 正弦定理:
(4) 勾股定理:
Rt?ABC中a?b?c

2.解三角形是指已知三角形中的部分元素运用边角的关系求得其他的边角的问题.
三角函数 的应用是指用三角函数的理论解答生产、科研和日常生活中的实际应用问题.
他的显著特点是（1）意义 反映在三角形的边、角关系上，有直角三角形，也有斜三角形.
（2）函数模型多种多样，有三角函数， 有代数函数，有时一个问题中三角函数与代数函数
并存.解三角函数应用题一般首先审题，三角函数应用 题多以“文字语言，图形语言”并用
的方式，要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三 角形联系起来，确定以
什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思 路；其次，
寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号< br>语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到
的是数 学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.
二、疑难知识导析
1.对各类定 理的应用要注意使用其变形逆用.同时充分利用方程的思想知道其中的部分量可
求出其他量.
2.三角函数的应用主要是图像和性质的应用.
3.三角形中元素关系的应用与实际问题中的应用关键是如何建立数模结构.
三、经典例题导讲
[例1]已知方程
x
2
?4ax?3a?1?0
（a为大于1的常数）的两根为
tan
?
，
tan
?
，
且
?
、
?
?
?
?
222
?
?
?
?
?
?
?
,
?
，则
tan
的值是_________________.
2
?
2
2< br>?
[例6]如图,在平面有点A、B、P、Q，其中
AB?3
，
AP? PQ?QB?1,
设△APB与
△PQB面积为S、T，求S
2
+T
2
的取值范围.
л
解：设∠BAP=α α∈[0,]
2
∠BQP=β,在△PAB,△PBQ中
由余弦定理cosβ=cosα-1
18 35

∴S+T＝(
22
3
1
22
sinα)+(sinβ)
2
2

＝－
1
2
73
(cos
?
－)+
28< br>23
22
∴当cosα=1时，S+T有最小值
23?3

4
当cosα=
1
23
时，S+T有最大值
22
7

8
[例7]已知函数f(x)=sin(?x+?)，x?R，(其中?>0)的图像与x轴在原点右侧 的第一个交点为N
（6,0）,又f(2+x)=f(2－x),f(0)<0,求这个函数的解析式.
解：
?
f(2+x)=f(2-x)
?
f(x)关于x=2对称，又x轴在原点右侧的第一个交点为N（6,0）
[例8] 已知△ABC的周长为6，
BC,CA,AB
成等比数列，求
（1）△ABC的面积S的最大值；
BA
（2）
u
.
uur
?BC
uuur
的取值范围
uuur

解

设
BC,CA,AB
依次为a，b，c，则a+b+c=6，b?=ac，
T2?
?
=6-2=4，即
T
=16，
?
?
?=.
4
T
8
3
?
?
将N（6,0）代入f( x)=sin(x+?)得：sin(+?)=0，
4
8
5
?< br>?
得：?=2k
?
+或?=2k
?
+(k?Z),
4
4
5
?
5
?
?
f(0)<0,
? ?=2k
?
+(k?Z),满足条件的最小正数?=,
44
5
?
?
?
所求解析式f(x)=sin(x+).
8
4
uuuruuuruuur
?

a
2
?c
2
?b
2
a
2
?c
2
?ac2ac? ac1
???
, 由余弦定理得
cosB?
2ac2ac2ac2
a ?c6?b
?,
从而
0?b?2

322
111
?
（1）所以
S?acsinB?b
2< br>sinB??2
2
?sin?3
，即
S
max
?3< br>
2223
故有
0?B?
，又
b?
?
ac ?
a
2
?c
2
?b
2
(a?c)
2
?2ac?b
2
?
（2）所以
BA?BC?accosB?

22
(6?b)
2
?3b
2
??(b?3)
2?27

?
2

?0?b?2,?2?BA?BC?18
，

19 35

三、数列

1、数列的概念与简单表示法
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果 组成两个数列的数相同而排列次序
不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1
项（或首项），第2项，…，第n 项，….
例如，上述例子均 是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这
个数列中的第6项.
⒊数列的一般形式：
a
1
,a
2
,a
3
,?,a< br>n
,?
，或简记为
?
a
n
?
，其中
a
n
是数列的第n项
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一 个数列，它的首项是“1”，“
1
”
3
是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关
系可否用一个公式 表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）
对于上面的数列②，第一项与 这一项的序号有这样的对应关系：
1111
项
1

2345
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：
a
n< br>?
1
来表示其对应关系
n
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系
⒋ 数列的通项公式：如果数列
?
a
n
?
的第n项
a
n
与n之间的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是 不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式
1?(?1)
n?1
n ?1
可以是
a
n
?
，也可以是
a
n
?|c os
?
|
.
2
2
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意 一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第

项，又是这个数列中所有各项的
一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了 数列的通项公式，这个数列
便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．
5.数列与函数的关系
*
数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1，2，3 ，…，n}）为定义域的函数
a
n
?f(n)
，
当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数
y=f(x)
,如果
f(i )
（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数
列
f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…

6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
20 35

常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2)
2
4
6810
, , , , , ……；
3
15
356399
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
2n
1?(?1)
n
解：(1)
a
n
＝2n＋1； (2)
a
n
＝； (3)
a
n
＝；
(2n?1)(2n?1)
2
(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,
1?(?1)
n
∴
a
n
＝n＋；
2
(5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……，
∴
a
n
＝(－1)
n?1
n(n＋1)
数列的表示方法
1、 通项公式法
如果数列
?
a
n?
的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式
就叫做这个数列的通项 公式。
如数列

的通项公式为



；

的通项公式为

；

的通项公式为

；

2、 图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数

为横坐标，相应的
项

为纵坐标，即以

为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列

为例，做出一个数列的图象） ，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐
标为正整数，所以这些点都在

轴的右 侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以
直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势
．

3、 递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1
?
4＝1+3
第2层钢管数为5；即：2
?
5＝2+3
第3层钢管数为6；即：3
?
6＝3+3
第4层钢管数为7；即：4
?
7＝4+3
21 35

第5层钢管数为8；即：5
?
8＝5+3
第6层钢管数为9；即：6
?
9＝6+3
第7层钢管数为10；即：7
?
10＝7+3
若用
a
n
表 示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且
a
n
?n?3(1≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即< br>a
1
?4
；
a
2
?5?4?1?a
1
?1
；
a
3
?6?5?1?a
2
?1

依此类推：
a
n
?a
n?1
?1
（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
定义：
递推公式：如果已知数列
?
a
n
?
的第1项（或前几项）， 且任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前
n项） 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
a
1
?3,a
2
?5,a
n
?a
n?1
?a
n?2
(3?n?8)

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表 示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：
列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数， 数列有这样的表示法：用

示第一项，用

4、列表法
．简记为

．
表
表示第一项，……，用

表示第

项，依次写出成为
练习题：
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1)
a
1
＝0,
a
n?1
＝
a
n
＋(2n－1) (n∈N)；
(2)
a
1
＝1,
a
n?1
＝
2a
n
(n∈N)；
a
n
?2
(3)
a
1
＝3,
a
n?1
＝3
a
n
－2 (n∈N).
2
解：(1)
a
1
＝0,
a
2
＝1,
a
3
＝4,
a
4
＝9,
a
5
＝16, ∴
a
n
＝(n－1);
(2)
a
1
＝1,
a
2
＝
1212
222
,
a
3
＝
?
,
a
4
＝,
a
5
＝
?
, ∴
a
n
＝;
35
n?1
2436
012
(3)
a
1
＝3＝1+2
?3
,
a
2
＝7＝1+2
?3
,
a
3
＝19＝1+2
?3
,
a
4
＝55＝1+2
?3
3
,
a
5
＝163＝1+2
?3
4
, ∴
a
n
＝1＋2·3
n?1
;
2、等差数列
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，
这个数 列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
?
⑵．对于数列{
a
n
},若
a
n
－
a
n?1
=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列
是等差数列，d 为公差。
思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
2．等差数列的通项 公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
【或
a
n
?
a
m
?(n?m)d
】
等差数列定义是由一数列相邻 两项之间关系而得若一等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公
差是d，则据其定义可得：
a
2
?a
1
?d
即：
a
2
?a
1
?d

a
3
?a
2
?d
即：
a
3
?a
2
?d ?a
1
?2d

22 35

……
由此 归纳等差数列的通项公式可得：
a
n
?a
1
?(n?1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项
a
1
和公差d，便可求得其通项< br>a
n
。
由上述关系还可得：
a
m
?a
1
?(m?1)d

即：
a
1
?a
m
?(m?1)d

则：< br>a
n
?
a
1
?(n?1)d
=
a
m
?(m?1)d?(n?1)d?a
m
?(n?m)d

即等差数列的第二通项公式
a
n
?
a
m
?(n?m)d
∴ d=
a
4
?a
3
?d
即：
a
4
?a
3
?d?a
1
?3d

a
m
?a
n

m?n
例3 已知数列{
a
n
}的通项公式
a
n
?pn?q
，其中
p
、
q
是常数，那么这个数列是否一定
是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定
?
a
n
?
是不是等 差数列，只要看
a
n
?a
n?1
（n≥2）是不
是一个与n 无关的常数。
解：当n≥2时, （取数列
?
a
n
?
中的 任意相邻两项
a
n?1
与
a
n
（n≥2））
a< br>n
?a
n?1
?(pn?q)?[p(n?1)?q]
?pn?q?( pn?p?q)?p
为常数
∴{
a
n
}是等差数列，首项
a
1
?p?q
，公差为p。
注：①若p=0，则{
a
n< br>}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0, 则{
a
n
}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数
y=px+q的图象上,一 次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
③数列{
a
n
}为等差数列 的充要条件是其通项
a
n
=pn+q (p、q是常数)，称其为第3
通项公式。
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
练习：
1、1 00是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理
由.
分 析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n
值，使得
a< br>n
等于这一数.
解：根据题意可得：
a
1
=2,d=9－2=7. ∴此数列通项公式为：
a
n
=2+（n－1）×7=7n
－5.
令7n－5=100,解得：n=15, ∴100是这个数列的第15项.
1
2、－20是不是等差数列0，－3，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，
2
说 明理由.
177
∴此数列的通项公式为：
a
n
=－n+,
222
7777
47
令－n+=－20,解得n= 因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这
2222
7
个数列的项. 解：由题意可知：
a
1
=0,d=－3
通过本节学习，首先要理解与掌握 等差数列的定义及数学表达式：
a
n
－
a
n?1
=d ，（ n≥
?
2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：
a
n
? a
1
?(n?1)d
，并掌握其基本应用.
最后，还要注意一重要关系式：< br>a
n
?
a
m
?(n?m)d
和
a
n
=pn+q (p、q是常数)的理解与应
用.
如果在
a
与
b
中间插入一个数A，使
a
，A，
b
成等差数列数列，那么A应满 足什么条件？
23 35

由定义得A-
a
=
b
-A ，即：
A ?
由此可可得：
A?
a?ba?b
。反之，若
A?
，则A-
a
=
b
-A
22
已知数列{
a
n
}是等差数列
（1）
2a< br>5
?a
3
?a
7
是否成立？
2a
5
?a
1
?a
9
呢？为什么？
（2）
2a
n
?a
n?1
?a
n?1
(n?1)
是否成立？据此你能得到什么结 论？
（3）
2a
n
?a
n?k
?a
n?k
(n?k?0)
是否成立？？你又能得到什么结论？
结论：（性质）在等差数列中，若m+ n=p+q，则，
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

即 m+n=p+q
?
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
(m, n, p, q ∈N )
但通常 ①由
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
推不出m+n=p+q ，②
a
m
?a
n
?a
m?n

a?b
?a,b,
成等差数列
2
3、等差数列的前n项和

1．等差数列的前
n
项和公式1：
S
n
?
n(a< br>1
?a
n
)

2
证明：
S
n< br>?a
1
?a
2
?a
3
???a
n?1
?a
n
①

S
n
?a
n< br>?a
n?1
?a
n?2
???a
2
?a
1< br> ②
①+②：
2S
n
?(a
1
?a
n< br>)?(a
2
?a
n?1
)?(a
3
?a
n? 2
)???(a
n
?a
n
)

∵a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a< br>3
?a
n?2
???

∴
2S
n
?n(a
1
?a
n
)
由此得 ：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)

2
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
n(n?1)d

2
用上述公式要求
S
n
必须具备三个条件：
n,a
1
,a
n

2． 等差数列的 前
n
项和公式2：
S
n
?na
1
?
但
a
n
?a
1
?(n?1)d
代入公式1即得： S
n
?na
1
?
此公式要求
S
n
必须 已知三个条件：
n,a
1
,d
（有时比较有用）
——课本P51的探究活动
n(n?1)d

2
2
结论： 一般地，如果一个数列
?
a
n
?
,
的前n项和为
S
n
?pn?qn?r
，其中p、q、r为常数，
且
p?0
， 那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
2
由
Sn
?pn?qn?r
，得
S
1
?a
1
?p?q ?r

当
n?2
时
a
n
?S
n
? S
n?1
=
(pn?qn?r)?[p(n?1)?q(n?1)?r]
=< br>2pn?(p?q)

22
?d?a
n
?a
n?1< br>?[2pn?(p?q)]?[2p(n?1)?(p?q)]
=2p
对等差数列的前
n
项和公式2：
S
n
?na
1
?
n(n? 1)d
可化成式子：
2
S
n
?
d
2
d< br>n?(a
1
?)n
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
22
24 35

2
1．前n项和为
S
n
?pn?qn?r
，其中p、q、r为常数，且
p?0
，一定是等差数列，该
数列的
首项是
a
1
?p?q?r

公差是d=2p
通项公式是
a
n
?
?
?
S
1
?a
1
?p?q?r,当n?1时
?
S
n?S
n?1
?2pn?(p?q),当n?2时

练习：
1． 设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,b
n
=
1
1
，且a
3
b
3
=，S
5
+S
3
=21,求b
n
。
S
n
2
2．已知数列{an
}为首项a
1
?
0，公差为d
?
0的等差数列，求< br>S
n
=
111
????
。
a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n?1
3．求从1到100中所有不被3及5整除的整数之和。
4．用分期付款方式购买家用电器一件，价 格为1150，购买当天先付150元，以
后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1 %，若交付150
元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交
付 多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花了多少钱？
5．已知等差数列{a
n
} ,a
1
=29,S
10
=S
20
,问这个数列的前多少项的 和最大？并求最大
值。
答案：
11
?
(a?2d)?
?
1
①
3?2d
2
3a?
?
1
1．
?
由①，得a
1
=d。由②，得8a
1
+13d=1。
2
?
5?43?2
②
d?3a
1
?d?21
?
5a
1
?
22
?
故a
1
=d=1。
n
2
?n2
,bn?
2
∴S
n
=
2
n?n
2.
1111
?(?)

a
n< br>a
n?1
da
n
a
n?1

a
n?1
?a
1
[(?)?(?)???(?)]?(?)?

da
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n?1
da
1
a
n?1
da
1
a
n?1< br>∴Sn=
=
n
。
a
1
(a
1
?n d)
3.设S表示从1到100的所有整数之和。S
1
表示从1到100中所在能被3 整除的整数的和。
S
2
表示从1到100中所有能被5整除的整数的和。
S
3
表示从1到100中所有既能被3整除，又能被5整除的整数的和。
则S=
100(1?100)
?5050
。
2
25 35

33(3?99)
?1683
。
2
20(5?100)
由100=5+(n-1) ×5,得n=20。
?S
2
??1050

2
6(15?90)
S
3
表示15，30，45，…，90之和 S
3
=
?315

2
由99=3+（n-1）×3,得n=33。
?S
1
?从1到100中所有不被3及5整除的整数之和为S-S
1
-S
2
+S< br>3
=2632。
4.购买时付了150元，欠款1000元。每月付50元，分20次 付完，设每月付款数顺次组成
数列{a
n
},则
a
1
=50+1000×0.01=60
a
2
=50+(1000-50) ×0.01=60-0.5
a
3
=50+(1000-50×2) ×0.01=60-0.5×2
类推,得
a
10
=60-0.5×9=55.5
a
n< br>=60-0.5(n-1)(1
?
n
?
20)。
∴ 付款数{a
n
}组成等差数列，公差d=-0.5,全部贷款付清后，付款总数为
S
20
+150=
20(a
1
?a
20
)
? 150?(2a
1
?19d)?10?150?1255
（元）。
2
5．由S
20
=S
10
得2a
1
+29d=0
?
d=-2,a
n
=a
1
+(n-1)d=-2n+31
S n=
n(a
1
?a
n
)
22
=-n+30n=-( n-15)+225 ∴当n=15时，S
n
最大，最大值为225。
2
4、等比数列

1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项 与它的前一项的比等于同一个
常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比 通常用字母q表
a
n
示（q≠0），即：=q（q≠0）
a
n?1
1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
a
n?1
?
｛
a
n
｝成等比数列
?
=q（
n ?N
,q≠0）
a
n
q?0
2? 隐含：任一项
an
?0且
“
a
n
≠0”是数列｛
a
n
｝成等比数列的必要非充分条件．
3? q= 1时，{a
n
}为常数。
n?1
2.等比数列的通项公式1:
a
n
?a
1
?q(a
1
?q?0)

由等比数列的定义，有：
a
2
?a
1
q
； a
3
?a
2
q?(a
1
q)q?a
1
q
2
；
a
4
?a
3
q?(a
1
q
2
)q?a
1
q
3
；
a
n
? a
n?1
q?a
1
?q
n?1
(a
1
?q ?0)

m?1
3.等比数列的通项公式2:
a
n
?a
m
?q(a
1
?q?0)

… … … … … … …
等比数列与指数函数的关系：
a
x
n?1
等比数列｛
a
n
｝的通项公式
a
n
?a< br>1
?q(a
1
?q?0)
,它的图象是分布在曲线
y?
1
q
q
（q>0）上的一些孤立的点。
当
a
1
?0
，q >1时，等比数列｛
a
n
｝是递增数列；
当
a
1
?0
，
0?q?1
，等比数列｛
a
n
｝是递增数列； 当
a
1
?0
，
0?q?1
时，等比数列｛
a< br>n
｝是递减数列；
当
a
1
?0
，q >1时，等比数列｛
a
n
｝是递减数列；
当
q?0
时，等 比数列｛
a
n
｝是摆动数列；当
q?1
时，等比数列｛
a< br>n
｝是常数列。
26 35

1．等比中项：如果在a与b 中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数
G为a与b的等比中项. 即G=±
ab
（a,b同号）
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比 数列，则
Gb
??G
2
?ab?G??ab
，

a G
反之，若G=ab,则
2
Gb
?
，即a,G,b成等比数列。∴a ,G,b成等比数列
?
G
2
=ab（a·b
aG
≠0）
[范例讲解]
课本P58例4 证明：设数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公比为
q
1
;
?
b
n
?
的首项为
b
1
，公比为
q
2
，
那么数列
?
a
n
?b
n
?
的第n项与 第n+1项分别为：
a
1
?q
1
n?1
?b
1< br>?q
2
n?1
与a
1
?q
1
?b
1
?q
2
即为a
1
b
1
(q
1
q< br>2
)
n?1
与a
1
b
1
(q
1q
2
)
n
nn
a
n?1
?b
n?1< br>a
1
b
1
(q
1
q
2
)
n
???q
1
q
2
.

a
n
?b< br>n
a
1
b
1
(q
1
q
2
)
n?1
它是一个与n无关的常数，所以
?
a
n
?b
n
?
是一个以q
1
q
2
为公比的等比数列
结论： 2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则
a
m
a
n
?a
p
a
k

在等比数列中，m+n=p+q，
a
m
, a
n
,a
p
,a
k
有什么关系呢？
m?1n?1
p?1
由定义得：
a
m
?a
1
q a
n
?a
1
q

a
p
?a
1
q a
k
?a
1
?q
k?1

a
m
?a
n
?a
1
q
m?n?2
，
a
p
?a
k
?a
1
q
p?k?2
则
a
m
a
n
?a
p
a
k

2
2
5、等比数列的前n项和

1、 等比数列的前n项和公式：
a?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
当
q?1
时，
S
n
?
① 或
S
n
?
1
②
1?q
1?q
当q=1时，
S
n
?na
1

当已知
a
1
, q, n 时用公式①；当已知
a
1
, q,
a
n
时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列
a
1
,a
2?a
3
,?a
n
?
它的前n项和是
S
n?
a
1
?a
2
?a
3
??a
n

由
?
?
S
n
?a
1
?a
2< br>?a
3
??a
n
?
a
n
?a
1q
n?1

2n?2n?1
?
?
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q??a
1
q?a
1
q
得
?

23n?1n
?
?
q S
n
?a
1
q?a
1
q?a
1
q??a< br>1
q?a
1
q
?(1?q)S
n
?a
1?a
1
q
n

a?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
∴当
q?1
时，
S
n
?
① 或
S
n
?
1
②
1?q
1?q
当q=1时，
S
n
?na
1

公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
a
a
2
a
3
????
n
?q

a
1
a
2
a
n?1
27 35

根据等比的性质，有
a
2
?a
3
???a
n
S?a
1
?
n
?q

a
1
?a
2
???a
n?1
S
n
?a
n
即
Sn
?a
1
?q
?
(1?q)S
n
?a
1
?a
n
q
（结论同上）
S
n
?a
n< br>围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：

S
n
?
a
1
?a
2
?a
3
??a
n
＝
a
1
?q(a
1
?a2
?a
3
??a
n?1
)

＝
a
1
?qS
n?1
＝
a
1
?q(S
n< br>?a
n
)

?
(1?q)S
n
?a
1
?a
n
q
（结论同上）
1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，
22
求证：
S
n
?S
2n
?S
n
(S
2n?S
3n
)

23n
2、设a为常数，求数列a，2a，3a，…，na，…的前n项和；
（1）a=0时，S
n
=0
（2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+ 3+…+n=
n-1n
1
n(n?1)

2
若a≠1，S< br>n
-aS
n
=a（1+a+…+a-na），Sn=
a
nn? 1
[1?(n?1)a?na]

2
(1?a)
练习：
1 .已知a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比数列，且公比为q,求证：（1）q
3
+ q
2
+q=1,
a
（2）q=
c
112.已知数列{a
n
}满足a
1
=1,a
2
=-,从第 二项起，{a
n
}是以为公比的等比数列，
22
{a
n
}的 前n项和为S
n，
试问：S
1
,S
2
,S
3
…,S
n
,…能否构成等比数列？为什么？
3.求S
n
=(x+
11
1
)+(x
2
+
2
)+…+(x
n< br>+
n
)(y
?0
)。
y
yy
4.某企业年 初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营，每年资金增长率为
50%，但每年年底都要扣除消费 基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过
五年，资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么 每年扣除的消费资金应是多
少万元（精确到万元）。
5.已知数列{a
n
} 满足a
1
=1,a
2
=r(r>0)，数列{b
n
}是公比 为q的等比数列
(q>0),b
n
=a
n
a
n+1
，c
n
=a
2n-1
+a
2n
,求c
n
。

答案：
a?b?cc?a?bb?c?a
???1
3．（1） q
3
+q
2
+q=
a?b?ca?b?ca?b?c
(2) q=
(c?a?b)?(a?b?c)2aa
c?a?ba?b?c
??
< br>?
由合分比定理，可得q=
(b?c?a)?(c?a?b)2cc
b?c?a c?a?b
?
1
n?1
11
n-2
1
n-1
?
4.当n
?
2时，a
n
=a
2
q=-()=- () ∴a
n
=
?
1
n?1

222
?()
n?2
?
?
2
n-2
28 35

当n=1时，S
1
=a
1
=1
当n
?
2时，S
n
=a
1
+a
2
+…+an
=1-
111111
-()
2
-…-()
n-1=1-[+()
2
+…+()
n-1
]=1-
222222< br>1
n
11
()
(1?
n?1
)
S
1
1
n-1
?
n?1
?
2
1
n?1

?
2
2
?()
∴S
n
=()
1
n?1
2

?
{S
n
}可以构成等比数
S
n
1
2
2
()
1?
2
2
列。

5、当x
?
1,y
?
1时，
11
(1?)
n
n
1
1
1
x(1?x)
y
x?x
n? 1
1?y
n
y
2n
???
∴S
n
=(x+ x…+x)+(+)=
???
nn?1
1
y
n
y
y
2
1?x1?x
y?y
1?
y
x?x
n?11?y
n
?n
当x=1,y
?
1时 S
n
=n+
n
当x
?
1,y=1时 Sn=
n?1
1?x
y?y
当x=y=1时 S
n
=2n
6.设a
n
表示第n年年底扣除消费基金后的资金。
1
a
1
=1000(1+)-x
2
1111
a< br>2
=[1000(1+)-x](1+)-x=1000(1+)
2
-x(1+ )-x
2222
111111
a
3
=[1000(1+)
2
-x(1+)-x](1+)-x=1000(1+)
3
-x(1+)
2< br>-x(1+)-x
222222
类推所得
11111
a
5
=1000(1+)
5
-x(1+)
4
-x(1+)
3-x(1+)
2
-x(1+)-x
22222
3
1?()5
3333
2
?2000,
则1000（）
5
-x[ ()
4
+()
3
+…+1]=2000即1000()
5
- x·
3
2222
1?
2
7、∵b
n+1
=b
n
q, ∴a
n+1
a
n+2
=a
n
a
n+1
q ∴a
n+2
=a
n
q,即
a
n?2
?q

a
n
由a
1
=1,a
3
=q,a
5
=q
2
,……，知奇数项构成一个等比数列，故a
2n-1
=q
n -1
由a
2
=r,a
4
=rq,a
6
=rq2
,……,知偶数项也构成一个等比数列，故a
2n
=rq
n-1
∴C
n
=(1+r)q
n-1


四、直线和圆的方程

一、直线方程.
（一）、直线方程有几种表现形式？
29 35

? 点斜式：y -y
0
=k(x-x
0
)（适用于已知一点p(x
0,
y
0
)和斜率，但是倾斜角为90°的直线不能
用此式）
? 斜切式：y=kx+b （适用于已知斜率k和截距b，但是倾斜角为90°的直线不能用此式）
? 两点式：
y?y
1
=
x?x
1
（适用于已知直线上两点(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)，但是与两 坐标
y
2
?y
1
x
2
?x
1
轴平 行的直线不能用此式）
? 截距式：
x
y
+=1（适用于已知直线在x轴和 y轴的截距（a,0）、（0,b）,但是过（0，0）
a
b
及与两坐标轴平行的直线 不能用此式）
? 一般式：Ax+By+C=0 （A、B不能同时为零）
直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示
平行或重 合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。

（二）、斜率与倾斜角
? 什么是倾斜角？一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小 正角，叫做直线的
倾斜角，范围为
?
0,
?
?

? 什么事斜率？当直线的倾斜角不是90
0
时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan?
;
0
当直线的倾斜角等于90时，直线的斜率不存在。
过两点p1
(x
1
,y
1
),p
2
(x
2,y
2
)(x
1
≠x
2
)的直线的斜率公式:k=ta n
?
?
y
2
?y
1
（若x
1
＝x
2
，则直
x
2
?x
1
线p
1
p< br>2
的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90
0
）

（三）、直线与直线的关系？平行、垂直、相交（包括垂直）、重合（为同一直线）
? 平行 ：
l
1
∥
l
2
?k
1
?k
2，且
b
1
?b
2
；或
l
1
,l
2
的斜率均不存在；（求平行直线的距离？）
? 垂直：
l
1
, l
2
的斜率都存在时，
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
；有一条不存在时，
l
1
?l
2
?k
1
?0
，且
l
2
的斜率不存在；或
k
2
?0
，且
l
1
的斜率不存在.
? 相交：< br>○
1两条相交直线
l
1
与
l
2
的夹角
?
，是指由
l
1
与
l
2
相交所成的四个角中最小 的正
k
2
?k
1
?
?
，当
?
?9 0
?
，则有角
?
，又称为
l
1
和
l
2
所成的角，它的取值范围是
?
。
?
tan
?
?
?
0,
?
?
2
?
1?k
1
k2
2两条相交直线
l
1
到
l
2
的夹角
tan
?
?
○
（四）、如何求点到直线的距离？
k
2
?k
1

1?k
1
k
2Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
设点
P(x
0
,y
0
)
，直线
l:Ax?By?C?0,P到
l
的距离为
d
，则有
d?
.
22
1. 两点P
1
(x
1
,y
1
)、P
2
(x
2
,y
2
)的距离公式：
|P
。（ 常用于求圆的
1
P
2
|?(x
2
?x
1
) ?(y
2
?y
1
)
轨迹方程）
2. 定比分点坐标分式。 若点P(x,y)分有向线段
PP
,其中
12
所成的比为
?
即PP
1
?
?
PP
2
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
) .则
x?
uuuruuur
x
1
?
?
x
2
y?
?
y
2

,y?
1
1?
?
1?
?
例1.直线2
x
－y－4=0绕它与
x
轴的 交点逆时针旋转
?
所得直线方程为
4
（ ）
30 35

A．
x
－3y－2=0 B．3
x
－y+6=0 C．3
x
+y－6=0 D．
x
+y
－
2=0
例2. 点P（2，5）关于直线
x
+y=1的对称点的坐标是 （ ）
A．（－4，－1） B．（－5，－2） C．（－6，－3） D．（－4，－2）
指导 ：对求直线方程问题，常用
待定系数法
，即根据已知条件，首先确定采用直线方程的形
式

考点二 两直线位置关系
例3. 过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 ．
例4. 过点（1，0）且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程是 ．
指导：对两直线 平行问题，要掌握两直线平行的充要条件：
l
∥
m
?
k
l< br>=
k
m
且
b
l
?b
m
.对
两直线垂直问题，要掌握两直线垂直的充要条件：
k
1
k
2
=－1或 一条直线斜率为0另一条直
线斜率不存在。
二、圆的方程
（一）、圆的方程的表现形式？
? 圆的标准方程：以点
C(a,b)
为圆 心，
r
为半径的圆的标准方程是
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
。
22
?
DE
?
? 圆的一般 方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
0
，
其中圆心
C
?
?,?
?
，半径
r?
D?E?4F

2
?
2
?
2
? 圆的参数方程：
??
x?a?rcos
?
（
?
为参数）。（一般用与求最值） < br>?
y?b?rsin
?
（二）、点与圆位置关系判断？（点M到圆心距离与圆半 径作比较）给定点
M(x
0
,y
0
)
及圆
C:(x ?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
①小于半径，
M
在圆
C
内；
②等于半径，
M
在圆
C
上；
③大与半径，
M
在圆
C
外。
（三）、直线与圆的位置关系 判断？（圆心到直线的距离与半径来比较）设圆
C
：
2
(x?a)?(y?b )
2
?r
2
(r?0)
；直线
l
：
Ax? By?C?0(A
2
?B
2
?0)
；
①大于半径，
l
与圆
C
相离；
②等于半径，
l
与圆
C
相切；
③小于半径，
l
与圆
C
相交。
直线和圆相切：
这类问题主要是求圆的切线方程：主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已
知直线上一点 又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况
①过圆上一点的切线方程：圆
x
2
?y
2
?r
2
的以P(x
0
,y
0
)< br>为切点的切线方程是
x
0
x?y
0
y?r
2
。
一般地，曲线
Ax
2
?Cy
2
?Dx?Ey?F?0的 以点P(x
0
，y
0
)
为切点的切线方程是：
Ax
0
x?Cy
0
y?D?
x?x
0
y?y
0
?E??F?0

22
2
②过圆外一点的切线方程：当点
P(x0
,y
0
)
在圆外时，
x
0
x?y
0
y?r
表示切点弦的方
程。
x?x
0
y?y
0< br>当点
P(x
0
,y
0
)
在圆外时，
Ax0
x?Cy
0
y?D??E??F?0
表示切点弦的方程。
2 2
内含相交
相离
这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切 线方程的常规过程去
O
O
2
O
做。最常用的方法：①判别式法；②考 查圆心到直线的距离与半径的大小关系。
O
1
O
2
O
O< br>2
O
O
1
O
1
0
r+r
r-r12
12
（四）、圆与圆的位置关系的判断？（圆心距与
r
1
+
r
2
和
r
1
-
r
2
来比较）
外切
内切


①圆心距大于
r
1
+
r
2
，两圆相离；
②圆心距等于
r
1
+
r
2
，两圆外切；
③圆心距小于
r
1
+
r
2
，且大于|
r
1
-
r
2
|，两圆相交；
4
圆心距等于|
r
-
r
|，两圆内切；
○
2
1
5
○
圆心距小于|
r
1
-
r
2
|，且大于0，内含；
6
圆心距等于0，同心圆。
○

1
2
1
2
d
31 35

考点三 距离
（距离问题，常与直线与圆的位置关系）（1）点到直线的距离问题，（2）平行线间距离问题
例6. 若直线
y?x?b
与曲线
y?3?4x?x
2
有公 共点，则
b
的取值范围是
指导：对点到直线距离问题，要熟记点到直线的距离公式

考点四 圆的方程
（1）根据已知条件，求圆的方程，（2）已知圆的方程，确定圆心和半径或求参数范围
例7. 过点A(4,1)的圆C与直线x-y=0相切于点B（2,1），则圆C的方程为____.

指导：对求圆方程问题，常用待定系数法，根据已知条件设出圆方程，再根据条件列出关于< br>参数的方程组，解出参数，从而求出方程.在设方程时，注意若已知圆心或半径或在解题中
需要用 到圆心或半径，常把方程设成标准方程，否则设成一般方程
考点五 直线与圆位置关系
2 2
例8.直线
y?kx?3
与圆
(x?3)?(y?2)?4
相交于 M，N两点，若|MN|≥
23
，则
k
的
取值范围是
指导 ：(1)对直线与圆的位置关系问题，常用圆心到直线的距离
d
与半径
r
的关 系处理
考点六.圆与圆位置关系（重点考查圆与圆位置关系的判定、两圆的公共弦所在的直线方程、< br>两圆的交点问题）
2222
例9.圆
O
1
:
x＋y ?2x?0
和圆
O
2
:
x＋y?4y?0
的位置关系是____.
指导：（1）对两圆的位置关系问题，常 用两圆心的距离
d
与两圆半径
r
1
、
r
2
和差的关系来
处理。
1.倾斜角与斜率
例1 (2010湖南文14)若不同 两点P,Q的坐标分别为（
a
，
b
），（
3?b
，
3?a
），则线段PQ
22
的垂直平分线
l
的斜率为 . 圆
(x?2)?(y?3)?1
关于直线
l
对称的圆的方程
为 .
审题要津;先用过两点的斜率公式求出直线PQ的斜率，再由PQ与
l
垂直，求出
l
的斜率，
写出
l
方程，求出已知圆圆心关于
l
的 对称点坐标即为所求圆的圆心，半径等于已知圆，从
而求出所求圆方程.
解析：∵
k
PQ
=
斜率为
k
l
=
?
2
3?a ?b3?a?b3?b?a
=1，线段PQ的中点为（,）,PQ⊥
l
，∴直线
l
的
3?b?a22
1
=
?1
，∴
l
：
x?y?3
=0, ∴圆心(2,3)关于
l
的对称点为（0,1）， k
PQ
222
∴圆
(x?2)?(y?3)?1
关于直线
l
对称的圆的方程为：
x?(y?1)
=1.
【点评】本题考查中点公式 、直线的斜率公式、直线点斜式方程、点关于直线对称、两直线
垂直的充要条件、圆的方程，属难题.
策略指导：对直线的斜率与倾斜角问题，要理解斜率和倾斜角的关系，掌握过两点的斜率公
A< br>式，给出直线一般方程
Ax?By?C?0
（A、B不同时为0），当B≠0时，直线斜 率为
?
，
B
当B=0时，直线斜率不存在，倾斜角为
90
0
.对已知直线斜率求倾斜角问题，结合正切函数
图像求解，注意倾斜角的范围.注意：当直线的 斜向右上方向时，直线斜率为正、倾斜角为
锐角；当直线与
x
轴垂直式，直线斜率不存 在、倾斜角为
90
0
；当直线斜向左上方向时，直
线斜率为负值、倾斜角为钝 角.

2.直线方程
22
例2 (2009江苏）在平面直角坐标系< br>xoy
中，已知圆
C
1
:(x?3)?(y?1)?4
,若直 线
l
过点
A(4,0)
，且被圆
C
1
截得的弦长为
23
，求直线
l
的方程；
审题要津:本题是直线与圆的弦长问题，利用点到直线的距离公式和垂径定理处理.
解析：设 直线
l
的方程为：
y?k(x?4)
，即
kx?y?4k?0

23
2
由垂径定理，得：圆心
C
1
到直线
l< br>的距离
d?4
2
?()?1
，
结合点到直线距离公式，得：
|?3k?1?4k|
k?1
2
?1,

2
32 35

化简得：
24k?7k?0,k?0,or,k??
求直线l
的方程为：
y
2
7

24
?0
或< br>y??
7
(x?4)
，即
y?0
或
7x?24y?2 8?0

24
【点评】本题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学 运算求解能力、综
合分析问题的能力.
策略指导：对求直线方程问题，常用待定系数法，即根 据已知条件，首先确定采用直线方程
的形式，然后确定其中相关的待定常数，如斜率、截距等. 注意直线各种方程成立的条件，
最后一定要把直线方程化为一般式.

考点二 两直线位置关系
平行与垂直是两直线位置关系中的两类重要位置关系，是高考考查的重点和热点，常与 曲线
的切线、平面向量、三角函数、导数等知识，考查的题型常有三类：（1）已知两直线方程判
定位置关系；（2）已知两直线位置关系和直线方程求参数；（3）已知两直线位置关系和其中
一条直 线方程求另一直线方程.常以小题或大题的一部分形式考查.
1 垂直
例3（2010年高 考山东卷理科16）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线
l
：
y ?x?1
被圆C所截得的弦长为
22
，则过圆心且与直线
l
垂直的直 线的方程
为 ．
审题要津: 先设出圆心坐标，利用垂径定理求出圆心， 利用所求直线与
l
求出所求直线斜率，
再写出所求直线方程
解析：由题意， 设所求的直线方程为
x+y+m=0
，设圆心坐标为
(a,0)
，则由题意知 ：
(
|a-1|
2
)?2?(a-1)
2
，解得
a?3
或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以
a?3
，故圆
2
心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有
3?0?m?0
，即
m?-3
，
故所求的直线方程为
x?y-3?0
.
【点评】本题 考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直
线与圆问题的能力，属于中 档题.
策略指导：对两直线垂直问题，要掌握两直线垂直的充要条件：
k
1
k
2
=－1或一条直线斜率
为0另一条直线斜率不存在，当直线方程含参数时，注意分 斜率存在和不存在讨论.对已知
两直线垂直和其中一直线方程，求另一直线方程问题，可以用与
Ax?By?C?0
（A、B
不同时为0）垂直的直线系方程：
Bx?Ay?C
1
?0
求解，简化计算.
2.平行
例4（2010安徽文数4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是
（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0
审题要津：本题是过定点的平行直线问题，用平行直线系法.
解析：设直线方程为
x ?2y?c?0
，又经过
(1,0)
，故
c??1
，所求方程为x?2y?1?0
.
【点评】本题可用平行直线系法，也可先求出所求直线斜率，再用点 斜式写出方程，也可用
检验排除法.
策略指导：对两直线平行问题，要掌握两直线平行的充要 条件：
l
∥
m
?
k
l
=
k
m且
b
l
?b
m
或斜率都不存在且
a
l
?a
m
（
a
l
，
b
l
，
a
m
，
b
m
分别表示直线
l
与
m
在
x
轴、
y
轴上的截距），
注意直线斜率相等不是直线平行的充要条件.对含 参数的两直线位置关系问题，要分斜率存
在于不存在分类讨论.已知两直线平行和其中一直线方程求另一 直线方程，可用与
Ax?By?C?0
（A、B不同时为0）平行直线系方程：
Ax? By?C
1
?0
（C≠
C
1
）,求解.
考点三 距离
距离问题，常与直线与圆的位置关系、向量、不等式等知识分，重点考查两类问题，（1）点到直线的距离问题，（2）平行线间距离问题.点到直线距离是高考考查的重点和热点，也是
解解析 几何问题的重要工具，考查的形式，常是选择题或解答题中一部分.
例5(2010年高考数学湖北卷 理科9）若直线
y?x?b
与曲线
y?3?4x?x
2
有公共点，< br>则
b
的取值范围是
33 35

A．
?
?1,1?22
?
B.
?
1?22,1?22
?

????
C.
?
1?22,3
?
D.
?
1?2,3
?

????
审题要津：本题是直线与曲线有公共点问题，用数形结合法寻找解题思路.
解析：曲线方程可化简为
(x?2)
2
?(y?3)
2
?4(1?y ?3)
，即表示圆心为（2，3）半径为2
的半圆，依据数形结合，当直线
y?x?b
与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b
距离等于2，解得
b?1?2 2或b?1?22
，因为是下半圆故可得
b?1?22
（舍），当直线
过（0 ，3）时，解得b=3,故
1?22?b?3,
所以C正确.
【点评】对直线与半圆 由公共点问题，通常数形结合，根据直线的极限位置，运用点到直线
距离公式求解.
策略指导 ：对点到直线距离问题，要熟记点到直线的距离公式，注意点到与坐标轴平行的直
线注意简便算法；对于 平行线间的问题，转化为点线距离问题，即通常在一条直线上取一点，
求出这一点到另一直线的距离就是 两平行直线间的距离.
考点四 圆的方程
圆的方程是解析几何中的一类重要方程，经常与函 数、三角函数、向量、圆锥曲线、极坐标
与参数方程结合，重点考查的两类问题：（1）根据已知条件， 求圆的方程，（2）已知圆的方
程，确定圆心和半径或求参数范围，其中求圆的方程是高考考查的重点和 热点，考查形式常
是小题或解答题一部分.
例6(2010年全国高考宁夏卷15）（过点A (4,1)的圆C与直线x-y=0相切于点B（2,1），则圆
C的方程为____.
审题要津：本题是直线与圆相切且已知半径问题，故设圆的方程为标准形式.
?
22
(x
2
?a)
2
?(y?b)
2
?r
2< br>，则根据已知条件得
?
(4?a
解析：设圆的方程为
)?(1?b) ?r
?
a?3
?
?
?
222
,解得，
?< br>b?0
．
?
(2?a)?(1?b)?r

22
2
．所以圆C的方程为
(x?3)?y?
?

?
r
2
?2
a?b?1
?
【点评】对已知直线与圆相切求远 方程问题，通常将圆方程设成标准方程.
?
?r
2
例2010
?< br>2
年高考陕西卷理科8）已知抛物线
y?2px
?
p?0
?< br>的准线与圆
?
2
7（
2
x?
1
y?6x?7 ?0
相切，则
p
的值为 【 】
?
A
?

?
B
?
1

?
C
?
2

?
D
?
4

2
审题要津：本题是直线与圆相切问题 ，须将圆方程化为标准形式，再利用点到直线的距离公
式求解.
解析：由题设知，直线
x??
p
?
p
?
2
2
与圆
?
x ?3
?
?y?16
相切，从而
3?
?
?
?
?4?p?2
.
2
?
2
?
故选
C
.
【点评】直线与圆的位置关系问题与其它知识结合是今后的考查方向.
策略指导：对求直线方 程问题，常用待定系数法，根据已知条件设出直线方程，再根据
条件列出关于参数的方程组，解出参数， 从而求出方程.在设方程时，注意若已知圆心或半
径或在解题中需要用到圆心或半径，常把方程设成标准 方程，否则设成一般方程. 对过直线
与直线的交点或过两园的交点求圆的方程问题；常用过曲线C：< br>f
1
(x,y)?0
、D：
f
2
(x,y)?0交点的曲线系方程为
f
1
(x,y)?
?
f
2
(x,y)?0
（
?
为参数）求解，若C、D都是圆，
?
=
?1
是两圆公共弦所在的直线方程；
考点五 直线与圆位置关系
直线与圆的位置 关系是解析几何的另一个重要内容，是高考考查的重点和热点，常与三角函
数、向量、圆锥曲线、导数、 极坐标与参数方程等知识结合，重点考查判定直线与圆的位置
关系、圆的切线或切线长或与之有关的最值 问题、弦长问题、最值问题等问题，考查形式为
小题，或解答题的一部分.
22
例（ 2010年高考江西卷理科8）直线
y?kx?3
与圆
(x?3)?(y?2)?4< br>相交于M，N两
点，若|MN|≥
23
，则
k
的取值范围是
A．
[?,0]
B．
(??,?]U[0,??)
C．
[?
3
4
3
4
33
,]

33
D．
[?,0]

2
3
审题要津：.本题是圆的弦长问题，利用点到直线的距离公式和垂径定理处理.
34 35

解析：由题知圆心的坐标为（3.，2），半径为2，则圆心到 直线
y?kx?3
的距离
d
=
|3k?2?3|
k?(?1 )
22
=
|3k?1|
k?1
2
，
∴
| MN|
=
2r
2
?d
2
=
4?(
∴
k
的取值范围是
[?
|3k?1|
3
)
2
≥23
，解得
?
≤
k
≤0，
4
k
2
?1
3
,0]
；
4
【点评】本题考察了点到直线的距离，直线与圆的位置关系，本题也可通过数形结合来处理.
策略指导：（1）对直线与圆的位置关系问题，常用圆心到直线的距离
d
与半径
r
的关系处理，
即
d
＜
r
?
直线与圆相交；d
=
r
?
直线与圆相切；
d
＞
r
?< br>直线与圆相交；(2)对圆的
切线问题，先判定点与圆的位置关系，若在圆上，切点与圆心的连线 与切线垂直求出切线的
斜率，从而求出方程；由若点在圆外，切线为两条，常设成点斜式，用圆心到直线 的距离等
于半径求解，注意如求出一条切线，另一条切线斜率不存在，切线长用切点与圆心的连线与切线垂直，用勾股定理求解，（3）弦长问题，用垂径定理求解.

考点六.圆与圆位置关系
圆与圆的位置关系，常与三角、向量、极坐标与参数法等内容结合， 重点考查圆与圆位置关
系的判定、两圆的公共弦所在的直线方程、两圆的交点问题，考查形式为小题.
2222
例（2008重庆理科3)圆
O
1
:
x＋y?2x ?0
和圆
O
2
:
x＋y?4y?0
的位置关系是( )
(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切
审题要津:本题是两圆位置关系 问题，现将圆方程化为标准方程，求出圆心与半径，再利用
两圆心间距离与两圆半径和与差的关系判定.
2222
解析：化成标准方程：
O
1
:(x?1)?y?1
，
O
2
:x?(y?2)?4
，则
O
1
(1,0)
，
O
2
(0,2)

|O
1
O
2
|?(1?0)
2
?(0?2)
2
?5?R?r
，两圆相交 .
【点评】本题考查了两圆的位置关系，属容易题.
策略指导：（1）对两圆的位置关系问 题，常用两圆心的距离
d
与两圆半径
r
1
、
r
2< br>和差
的关系来处理，即
d
＞
r
1
＋
r
2

?
两圆相离；
d
=
r
1
＋
r
2

?
两圆外切；|
r
1
－
r
2
|＜
d
＜
r
1
＋
r
2

?
两圆相交；
d
=|
r
1
－
r
2
|
?
两圆内切；
d
＜|
r
1
－
r2
|
?
则两圆内含；（2）对两圆的
公共弦问题，将两圆方程相减就为 公共弦所在的直线方程.


35 35