高中数学知识总结大全

2010届考生高考前回归课本自查自问扫描表
不带疑问进考场，不留遗憾出考场！
有同学说，数学考的是平时的基础，临近高考就不用复习了——这是一种误区。现阶段，同学们一定
不能放松对数学的复习，懈怠了就会生疏。每们同学要根据自己的情况，每天给数学保留一定的复习时间 。
在高考前30多天的时间里，数学复习应侧重于整理数学考卷，把一年来做过的试卷重新拿出来，每天 做
一套试题，保持做题的感觉。若以前留有数学笔记的话，最好也拿出来，结合老师讲的试题再认真做一 遍。
这样，有助于发现自己的弱项、常错的题型。查漏补缺，加深记忆。
重新演练书中例题
万变不离其宗。教材永远是考试所依据的源泉，掌握教材所确定的知识方向至关 重要。对于数学科目，
许多考生往往一看就懂，一做就错。因此数学复习必须要动手做题。
书上的典型例题尤其是章节总结中的“例题”特别值得考生注意。每年的高考数学试题中都有相当数量
的 题目是将课本上的题目直接选用或稍作修改，合理整合而得来的。所以，建议同学们认真演练课本上的
典 型例题、习题，并真正领悟其中的知识和方法。切实抓好基础知识和基本训练，理解概念和公式，构建
好 高中数学基础知识网络，加强系统记忆。
小提醒：在这临近高考的日子，应注重通性通法，不能一 味钻研偏、怪、难的题目，否则就会产生否
定自我的想法，影响自信心。因此，回归课本，立足基础尤其 重要。这样不仅能夯实基础，还能鼓舞自己
的士气。
重点记忆课本习题
除 例题之外，在这段时间的复习中，考生可把课本上的习题再过一遍，尤其是立体几何。许多同学不
愿意看 课本，觉得课本简单，其实不然。能够记住课本例题、习题中的一些重要结论（二级结论，课本中
有很多 很多，请归纳），能在高考中起到很大的作用。如果遇到小题就可以直接运用，如果遇到大题，则
可将此 结论作为解决问题的“驿站”，给予我们解题的方向，将之论证后继续下面的解题步骤。
小提醒 ：立体几何中每道习题的结论都十分重要，在高考考题中，或许改变条件或许改变结论，原
来课本上的习 题就摇身变成了高考的辨析问题。对这些结论，考生可根据自身能力酌情记忆。
做旧题效果好于做新题
在翻看笔记时，同学们不妨动笔做一做老师在一、二轮复习中选出的典型例 题；还应重新翻看自己的
错题本，把错过的题再做一遍，在现阶段的复习中，做旧题的效果好于做新题。 许多同学认为自己错题是
因为马虎，其实这个归因太简单，往往并不准确。错题暴露出的是知识上的漏洞 、是思维上的缺陷。因此，
每次练习后，必须要反思。
同学们一定要从较高的角度去思考 题目考查的知识点与方法，归纳题型，多问自己几个问题，如：本
题考查了哪些知识点，怎样审题？怎样 打开解题思路？主要运用了那些方法和技巧？解答错误是知识上
的、逻辑上的、方法上、还是心理上或策 略上的原因？从多角度去联想类比，保证知识之间形成系统网络，
以便在以后的练习与考试中有效避免类 似的错误，真正做到有题及类，触类旁通。
小提醒：在同一处跌倒两次是愚蠢的，尤其是马上要上 考场的时候，更不能屡屡犯同样的错。所以，
同学们找到自己的易错点是什么，自己的漏洞在哪里之后， 不妨举一反三，再做几道类似的题。
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如果是因为没有做题切入点，那就再把错题看两遍，以期印象深刻。
先把基础题分全拿下
考试是在规定的时间内完成规定题目的竞争，谁的速度快且正确率高，谁就是胜者。因此要取得好成
绩，首先要有良好的心态，坚实的基础，熟练的技能和在长年累月的刻苦钻研中培养起来的数学能力，同
时也取决于应试技巧与方法。
在高考中，基础题占整份试卷的80%左右，是试题的主体 ，是考生得分的主要来源，因此要立足中等
难度的题目，把握审题要慢，做题要快，先易后难的原则，杜 绝“会而不对，对而不全”的现象；注意解选
择题、填空题的特殊方法。先将基础题的分数拿下，才能在 全卷作答中站稳脚跟，从而逐个突破难题。
解题速度和解题时间分配的合理性也是影响高考得分的 重要因素。提醒同学们还应适当做些套题，定
时训练。另外，再做做近三年的高考真题，研究标准答案和 评分标准，进一步规范解题过程。哪些步骤是
踩分点，必须有，哪些步骤可有可无，要心知肚明。
同学们应在现阶段的复习中逐步做到：“慢做会做的求全对；稳做中档题，一分不浪费；难题偏题不
理会，舍去全不会。”
小提醒：这段时期，中等水平的考生要按高考模拟卷试题类型把基 础的东西梳理一遍。基础不好的同
学更不要把精力花费在做新题、难题上，要多练一些选择、填空题和前 三个大题，尽量做到不丢基础分。
在最后30天里，求助老师给讲解一些固定的数学规律、做题的固定模 式，对于数学成绩不理想的考生来
说也不失一个好办法。
做题练习不能间断
此时，考生的知识水平、能力水平已基本固定，大幅提升的可能性不大，因此，这段时间的重要任务
是保 证状态稳定，不退步、不手生，让自己的真实水平在高考中得以正常发挥。知识要掌握，题目要会做，
还 要提高得分率。所以在这段时间内考生必须要不间断地做题。
现阶段的复习，无论是进行专项练习 ，还是做套题，都要计时、限时，以便对“熟练程度”和“准确率”
进行训练。
如果目标 瞄准一本、二本，就必须要答好的是试卷上的“选择题、填空题、解答题的前3~4道题和后
两道解答题 的第一问。”
小提醒：对数学成绩较好的考生来说，答题时应做一道题过一道题，不要反复检查， 因为高考时根本
没有回头检查的时间。对于成绩不是太好的同学来说，要敢于放弃。单选12道题争取拿 到50分以上，难
题不要花太长时间琢磨，不要抠难题。一般情况下，后面的6道大题中前三道题比较简 单，要争取拿满分，
后三道题要争取拿步骤分。另外，最后一个题并不一定是最难的，尤其是成绩不太理 想的同学，要给自己
制定一个目标，选2?3个自己最熟的大题，保证做完做对。
自查自问扫描表
（因时间仓促，笔误难免，请自行修改！）

内
容
要求与提示
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1、 你会敏感地判断 出所给集合的类型(点集还是数集)吗？你能确保不忘记空集这个特殊情形吗？
你会用韦恩图求解吗？集 合有何性质？(3性)
2、 对一个命题怎样进行正确地否定？否定的实质是什么？(求补集)，请你理解并记住：
关键词
集


合
、



函


数
、


不

等

式
、


导

数
、

极

限
是
都是
大于
小于
对所有
x
，成立
否定词
不是
不都是
不大于
不小于
存在某
x
，不成立






关键词
至少有一个
至多有一个
至少有
n
个
至多有
n
个
p
或
q

否定词
一个也没有
至少有两个
至多有（
n?1
）个
至少有（
n?1
）个
?p
且
?q

?p
或
?q

p
且
q


对任何
x
，不成立 存在某
x
，成立
3、 知道命题的真值表吗?4种命题的关系呢？充要条件会判断吗？(互推)
4、 映射概念清楚吗？原文 是怎样的？可以一对多吗？多对一呢？为何说函数是特殊的映射？若f：
A→B，则B中的元素在中A中 必定有原象吗？(No！)你知道从哪三个方面去理解映射的概念吗？
5、 y
2
= 2px是函数吗？x
2
=2py呢？它只是什么呢？函数与方程有什么联系与区别？什么是函数 ？定
义原文呢？函数三要素是什么？其核心是什么？函数一定有解析式吗？函数一定有对应关系
吗？(当然),函数有哪些表示形式？(解析式、图象、表格)
6、 我们都学过哪些基本初等函数( 5种：一次、二次、反比例、指数、对数)？后来还补充了哪四个
重要函数？(
y?x
，
y?x
3
，
y?|x|
，双勾函数
y?x?
b< br>1
特别是
y?ax?(a?b?0)
)对它们的
xx
表达式、 图象、三性二域(单调性、奇偶性、对称性和定义域、值域)、抽象形式、它们的导数，
你都了然于胸吗 ？请你用一张大白纸画出它们的一览表。
7、 求定义域从哪几个方面考虑？你会自动地写出定义域吗？记得“换元必换域” 吗？“函数在某区
间递增”与“函数的递增区间”是一码事吗？(No！)
8、 求值域有哪 些方法？你能够说出6种以上吗？(直接法，反函数法，配方法，换元法，均值不等
式法，判别式法，单 调性法，导数法)。分段函数怎么求值域？(分段求再综合)。分段函数怎么写
表达式？(分段写，分别 注明定义域，用大括号括起来)；
9、 求函数解析式有哪些类型?分别用什么方法？
1类
2类
3类
4类
实际问题
已知函数特征、种类
已知f〔h(x)〕=g(x)
已知有关奇偶性、周期性、对称性条件
引入适当变量,找等量关系
待定系数法(比较系数法)
换元法
综合三性,用代入法
10、你有“定义域优先”的好习惯吗?比如研究单调性和判断奇偶性时 ，先做什么？定义域关于原点对
称的函数就一定有奇偶性吗？
11、会求反函数吗？有哪几步 ？分段函数怎么求反函数？求反函数最易犯什么错误？(忘写定义域),会用
反函数的定义解题吗？反函 数的单调性与原函数的单调性有何关系？原、反函数的图象有何关系(特别
重要)？单调函数一定有反函 数吗？(yes)；有反函数的函数一定是单调函数吗？( No！)
12、当书写单调区间时，可以用并集符号“U”或者“或”字连接几个区间吗？(No！)
13、求不等式的解集时，你记得最后结果要写成什么形式吗？
14、有哪些方法确定函数的 单调性？(定义法，导数法，性质法——增函数加增函数得到增函数，复
合函数有同增异减的性质，等) ；基本方法是什么？分几步？关键是什么？
15、单调性与奇偶性有哪些应用？(比较大小、解不等式、求参数范围)
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16、你会解抽象函数的题目吗? 抽象函数抽象在什么地方？(无解析式 )；什么地方不抽象？(规则不
抽象)；要点是什么？(三个字——套规则，赋值法(或说特值法)就是 用规则的体现之一，比如，根据
条件f(x+T)=?f(x)你就可以推出f(x+T)=f(x?T )来。要注意逆用已知条件，例如已知f(5)=2，则有时你
得把2换成f(5)，以便通过单调性脱 去对应法则符号f)
17、比如要你求f(2010)的值，一般意味着什么？(周期性或者裂项相消)
18、导 数有哪些应用？(求斜率，判断单调性与求单调区间，求极值与最值，证明不等式)，导数的几
何意义是 什么？物理意义呢？
19、极值就是最值吗？极大值一定大于极小值吗？ 你记得极值的定义原文吗？ 使f(x)=0的x的值就
是极值点吗？求最值的根本方法是什么(单调性法)？求最值的口诀你记得吗 ？(不在极点处，便在端
点处)；对三次函数f(x)=ax
3
+bx
2+cx+d(a≠0)的图象你熟练掌握了吗？其导函数f

(x)的大致图象是怎
样的？怎样快速判断f(x)是否有极值？(由二次函数f

(x)的
?
的符号 决定)
20、求导数的规则、公式你都记得吗？一共有多少个公式？有两个容易记错！导函数相同的两 个原
函数一定也相同吗？请举例说明。
21、不等式性质你记得吗？(7条)；你会解不等式 吗？你学习过的不等式有哪些类型？(一次不等式，
一元二次不等式，高次不等式，分式不等式，绝对值 不等式等，以及不等式组)，解不等式f(x) g(x)
＞1的专业方法是去分母还是把1移项？解绝 对值不等式︱f(x)︱≥g(x)有必要分类吗？你知道解集的
端点值与相应方程的解有何关系吗？
22、不等式变形最关键的是什么（恒等，特别要注意两边同乘或除以一项时的条件！）？你会证明不< br>等式吗?主要有哪些方法？(比较法，分析法，综合法)，其次有哪些方法？(单调性法，判别式法，数< br>学归纳法，放缩法等等)
23、你会用分离参数法解决恒成立问题吗？你会“把参数当成主元” 的方法吗？请举例说明；这体现
了什么数学思想？你会分离常数法对函数式变形吗？恒成立问题与存在性 问题的区别与解题方法你
很很熟悉了吗？
24、你熟悉对数的定义与运算性质吗？你会“指对 互换”吗？你会换底公式吗？你知道y=lnx
2
=2lnx对
不对？记得对数恒等式 是怎样的吗？
25、你知道f(x)满足f(x?a)=f(x?b)，f(a?x)=f(b+x) ，分别意味着什么吗？你知道谁是“对称”谁是“周期”
吗？
26、必要时你会自动地在等式 两边同取对数吗？遇到对数函数y=log
a
f(x)或y=lnf(x)时，你会自动顺手写出定义域吗？
27、若f(x)既有奇偶性又有其它对称性(比如还知道对称中心或对称轴) 意味着什么吗？(周期函
数！)y=f(︱x︱)是偶函数吗？y=︱f(x)︱呢？奇函数f(x)在 原点有定义时必定有什么重要结论？有关
周期的结论你都记住了吗？
30、你知道f(x)=
x?a
1

的图象吗（对称中心呢）？（它 一定是由
y?
变换而得，你知道怎么变吗？）
x?b
x
1
的 最值一定是2吗？有哪两种意外情况？(未指明x
x

31、“一正二定三取等”是何意 思？函数
y?x?
＞0，或即使指明了x＞0，但x不在定义域内)，这时怎么办呢？(双勾函 数，利用其图象及单调性)；
使用均值不等式求最值时，如果连续使用两次，则必须注意什么？(两次取 等于号的条件要相同)；
32、解决一元二次方程根的分布问题，一般从那些方面考虑它的充要条件？填表：
根的分布情形 充要条件

1
2
x
1
＞0，x
2
＞0

x
1
＞1，x
2
＞1
最后归纳为两类，即“同居”与“分居”
同居：指两根位于同一区间内，如两根均为正、两根均在（1，2）之间
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3
4
x
1
＞1，x
2
＜1
在(1，2)内仅有一根
等情形，一定要考虑三方面（端点函数值、判别式和对称轴）；
分居：指两根位于不同区间， 如两根异号、一根在（1，2）之间而另一
根在（3，4）之间等，只需考虑端点函数值即可
1＜x
1
＜x
2
＜2
5
33、二次函数的三种表达式你都记得吗？怎样快速配凑顶点式？零点式有什么妙用？
34、 对方程ax
2
＋bx＋c＝0使用判别式和韦达定理最容易犯什么错误？（一定要分
a ?0
与
a?0
两种
情况讨论）
35、你有根据导数与极值画出函数的大致图象的习惯吗？(重要习惯与能力！)
36、用数 学归纳法证明命题时,你把归纳假设当作一个条件了吗?(否则错误。应将假设
n?k
成立当作
证明
n?k?1
的一个条件，一定要这样的。为什么？)
37、值域就是最大值与最小值之间的部分吗？你举个反例看。
38、“三个二次”的关系你都熟悉了吗？（即二次方程、二次函数和二次不等式的关系）
50、你知道
lnx?x?1
吗？（构造函数学用）






























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???集合、函数与不等式的有关结论：
1.元素与集合的关系：x?A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
2.德摩根公式（反演律）：
C
U
(A?B)?C
U
A?C
U
B;C
U
(A?B)?C
U
A?C
U
B
.
3.集合的包含关系：
A?B?A?A?B?B
?A?B?C
U
B?C
U
A?A?C
U
B??
?
?
C< br>U
A
?
?B?R

4.容斥原理（集合中元素的个数计算，见课本第一册上P.23阅读材料）
card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)

5．集合{a
1
,a
2
,?,a
n
}
子集共有
2
n
个；真子集有
2
n
－1个；非空子集有
2
n
－1个；非空的真子集有
n
2
－2个.
6.二次函数的解析式的三 种形式：(1)一般式
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
； < br>(2)顶点式
f(x)?a(x?h)
2
?k(a?0)
；(3)两根 式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
7.解连不等式
N?f(x)?M
常有以下转化形式：
N?f(x)?M?
[f(x)?M][f(x)?N]?0
；
8.方程
f(x)?0< br>在
(k
1
,k
2
)
上有且只有一个实根,与
f(k
1
)f(k
2
)?0
不等价,前者是后者的一个必要而
不是充分条件.
9.闭区间上的二次函数的最值问题：二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
在闭区间
?
p,q
?
上的最值只能< br>在
x??
b
处及区间的两端点处取得，具体呢？
2a
10. 一元二次方程的实根分布问题：简单地说分两大类：即“同居”和“分居”。其中：“同居”要考
虑三个 条件，即端点函数值、
?
和对称轴；“分居”只要考虑端点函数值一个条件就行了。
11.函数单调性思路：
设任意x
1
,x
2
?
?
a ,b
?
,且x
1
?x
2
，
比较f(x
1< br>)与f(x
2
)的大小
，
一般用作差法
。

(1)设
x
1
,x
2
?
?
a,b
?
,且x
1
?x
2
那么
(x
1
?x
2< br>)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
? 0
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在< br>?
a,b
?
上是增函数；
x
1
?x
2(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f( x
2
)
?
?0?
f(x
1
)?f(x
2< br>)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
x< br>1
?x
2
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；如果
f< br>?
(x)?0
，则
f(x)
为减函数.反之，如果
f(x)< br>为增函数，则
f
?
(x)?0
；如果
f(x)
为减函 数，则
f
?
(x)?0.

12．多项式函数
P(x)?a
n
x?a
n?1
x
nn?1
???a
0
的 奇偶性
多项式函数
P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次项 (即奇数项)的系数全为零.
多项式函数
P(x)
是偶函数
?
P( x)
的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
13.若将函数
y?f(x)
的 图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y?f(x?a)?b
的图象；
若将曲线
f(x,y)?0
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到曲线
f(x?a,y?b)?0
的图象.
14.几个常见的函数模型
(1)正比例函数
f(x)?cx
,具 有性质：
f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c
.
(2)指数函数f(x)?a
,具有性质：
f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0
.
(3)对数函数
f(x)?log
a
x
,具有性质：
f (xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1)
.
(4)幂函数
f(x)?x
,具有性质：
f(xy)?f(x)f(y),f(1)?
?
.
15.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期
T?a
；
（2）
f(x?a)??f (x)
或
f(x?a)?
1
1
(f(x)?0)
,则
f(x)
的周
(f(x)?0)
或
f(x?a)??
f(x)f(x)
?
'
x
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期
T?2a
；
(3)
f(x?a)?
1< br>1?f(x)
,(f(x)?1)
，则
f(x)
的周期
T?3 a
；
(4)
f(x?x)?
f(x
1
)?f(x
2
)
且
f(a)?1(f(x
1
)?f(x
2
)? 1,0?|x
1
?x
2
|?2a)
，则
f(x)
的 周期
12
1?f(x
1
)f(x
2
)
T?4a；
(5)
f(x?a)?f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期
T?6a
.
16.设函数
f(x)?log
m
( ax
2
?bx?c)(a?0)
，记
??b
2
?4ac.
①若
f(x)
的定义域为
R
,则
a?0
， 且
??0
；
②若
f(x)
的值域为
R
（极易错！
,则
a?0
，且
??0
.【对于
a?0
的情形，需 要单独检验.】（真
）
数要能取得到大于零的一切实数，并非真数大于零恒成立）
1、 你知道数列的本质是什么吗？(函数)，对于数列可以直接求导数吗？（NO！只能对函数求导）
你知道等差数列的定义、图象与性质吗？除了课本上的性质以外，你还知道哪些性质？(8条以上)。你
知道有哪些通项公式吗？求和公式呢？你会把通项公式与求和公式写成函数形式吗？你会多少变式？
2、 你知道等比数列的定义、图象与性质吗？除了课本性质以外，你还知道哪些补充性质？(8条以< br>上)。你知道有那些通项公式吗？求和公式呢？你会把通项公式与求和公式写成函数形式吗？你会已
知S
n
求a
n
吗？(a
n
=S
n
?S< br>n?1
，n≥2，a
1
=S
1
单列)
3、 你会用函数观点处理数列问题吗？例如，把等差数列的通项公式以及求和公式写成函数形式是怎
数


列
样的？这有什么好处？
4、 （非常重要）你有抓基本量的意识吗？（等差化首项和公差，等比化首项和公比）
5、 你知道从递推公式求数列的通项公式有哪些方法吗？（写出5个以上）
6、 你知道数列求和有哪些常见的方法吗？（写出4个）
7、 你知道解数列题目容易犯的几个错误吗？( 1、忽视n=1的情形；2、忽视公比q=1的情形；3)请
自己写一个
8、 （非常重要）利用等差或等比数列的求和公式是一定要清楚三个量，否则马上就错了！你知道吗？
（首项是多少、公差（比）是多少、项数是多少）
10、 1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
=？1
3
+2
3< br>+3
3
+…+n
3
=？其它的常见数列的和你记住了吗？写写看！


1、 你知道三角函数的知识体系吗？(三角函数分为三大块，第一块是任意角的 三角函数，包括三角
函数的定义，诱导公式，同角三角函数的关系，和差角的公式，倍角公式，一共是5 组，都要分
类记牢。第二块是三角函数的图象和性质，这才是真正意义上的三角函数，包括正弦函数、余 弦
函数以及正切函数的图象和性质，其性质当然也是从三性二域方面去研究。第三块是三角形，包
括三角形的各种性质，尤其是正弦定理、余弦定理、射影定理、正弦面积公式、四心及其性质)
2、 你有“看角看名看结构”的习惯吗？你知道升幂公式与降幂公式吗？三角不等式或三角方程的解
集你记得 注明K∈Z吗？
3、 你会用配角法求三角函数值吗？请举例说明常见的配角形式。（特别理解：知道 一个角的三角函
数值就相当于知道了这个角，求一个角就要求这个角的某个三角函数值）
4、 你知道“求角先求函数值，总要优先定范围”这句口诀吗？
5、 你知道有时需要利用三角函数的值来限定角的范围吗？
第 7 页 (共 19 页)
三

角

函

数

6、 当α∈R时，你能够求得直线y=sinα?x+1的倾斜角的范围吗？
7、 y=sinx、y=cosx的对称轴和对称中心有何特征，如何快速确定？
8、 你知道y=tanx的对称中心吗？(你确定？真的很容易错哎)
9、 你是否真正理解了诱导公式中的“奇变偶不变，符号看象限”的精髓？
10、 余弦定理是怎样推导出来的？你能够用向量法推导它吗？
11、 你知道哪几组基本勾股数组？(3? 4?5；5?12?13；6?8?10；8?15?17；7?24?25等)…
12、 若已知c osθ=13，你会求cos3θ的值吗？你知道sinx与cosx的齐次式与tanx的值的关系吗？怎样转化？
13、 求
y?Asin(
?
x?
?
)?B
的单调区间要特别注意什么？步骤如何？求
y?sin
?
间，可以由
2k
?
?
?
2
?
?
?
?
?2x< br>?
的递增区
?
3
?
?
3
?2x?2k
?
?
?
2
得到吗？why？
14、 你会用“五点法”作出函数y=Asin(ωx+Φ)+k的图象吗？（真的会吗？）
15、 你会正确地由y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+Φ)+k的图象吗？
16、 你会由y=Asin(ωx+Φ)+k的图象反过来求得y=Asin(ωx+Φ)+k的表达式吗？
17、 你知道“降幂增角”、“知一求二”是什么意思吗？有什么用？
18、 总之,常见的经典三角题目你过关了吗?（主要是近三年全国各省直辖市的高考真题）

???三角的有关结论：
1．常见三角不等式：（1）若
x?(0,
(2) 若
x?(0,
?
2
)
，则
sinx?x?tanx
；
?
2
)
，则
1?sinx?cosx?2
.(3)
|sinx|?|cosx|?1

2222
2.二倍角：
sin2
?
?2sin
?
cos
?
；
cos2
?< br>?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2s in
?
；
2tan
?
.
tan2
?
?
2
1?tan
?
??
3. 三倍角：
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
?4sin
?
sin(?
?
)sin(?
?
)；
33
cos3
?
?4cos
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(
3
?
3
?
?)cos(
?
3
?
?
)

k
4、同名 三角函数值相等的角的关系：
sin
?
?sin
?
?
??k
?
?(?1)
?
(k?Z)
.
cos?
?cos
?
?
?
?2k
?
?
?(k?Z)
.
tan
?
?tan
?
?
?< br>?k
?
?
?
(k?Z)
.
解



析


1、你知道解析几何是一门什么样的学问吗？
2、你知道解析几何研究的五条曲线是什么吗？从哪三个方面研究？（三“弄”：1、定义和方程，2、
要素，3、位置关系）
3、定比分点的定义式是怎样的？有何性质？求定比有些什么方法？有 哪两步？定比分点公式记得
吗？有何用？其特殊情形是什么公式？若P分有向线段AB的比λ∈(?1， 0)，则P在何处？λ＜?1
呢？λ∈(0，1)呢？有可能λ=?1吗？
４、直线的方程有哪5种形式？各有什么优劣？y+3x+6=0可以作最后结论吗？
第 8 页 (共 19 页)

几



何
５、两条直线有哪些位置关系？截距就是距离吗? 截距相等意味着什么？
６、两条直线平行的充要条件是什么？(警惕：容易错！)
７、两条直线垂直的充要条件是什么？(警惕：也容易错！)
８、点到直线的距离公式是怎样的？到角公式记得吗？夹角公式记得吗？
９、圆的定义，三种方程形式，弦长公式，你会用吗？求直线被圆所截的弦长一般用什么方法？
10、点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系分别有哪些？分别从哪两个方面研究？(从几何方面是看
d与r的大小关系，从代数方面是看判别式是否大于0)
11、直线系有哪两种？(过定点的和有相同斜率的)，你能够一眼看出来吗？
12、求已知 两圆的公切线方程会不会？过两圆交点的直线方程怎样求最好？（公共弦的方程，课本
上的习题，重要啊 ！）
13、提到圆的切线你想到了什么？过圆上一点的切线方程怎么求？过圆外一点的切线方程怎么求？
14、还记得弧度制下的扇形弧长公式和面积公式吗？
15、若已知△ABC三个顶点的坐标，你有哪些方法求出其面积呢？
(1、用向量法；2、用余弦定理结合面积公式；3、割补法有时最巧妙：平行四边形的一半)
16、若已知三点A、B、C的坐标，你有哪些方法证明它们共线呢？(3种以上)
17、你知道怎样求任意三角形和直角三角形的内切圆半径吗？
18、你知道直线的位置关系一定与斜率有关吗？想想看：平行、垂直、夹角、到角…
19、 你会自动地使用圆锥曲线的两个定义解题吗？出现焦点弦（焦半径）就意味着什么？双曲线的
虚半轴b有 什么几何意义？(请说出两个：在课本的习题和例题中都有！)
20、你知道求轨迹方程有那些方法吗？分别适用于何种情况下？
21、解析几何与函数图象 中的对称常识(设曲线C方程为f(x，y)=0，直线L的方程为Ax+By+C=0)
以下结论不是靠背出来的，应该是靠推出来的，是一种思路。
点M(x，y)关于D(a，b)对称的点N的坐标是(2a?x，2b?y)
点M(a，b)关于直线L：y=x对称的点N的坐标是(b，a)
点M(a，b)关于直线L：y= ? x对称的点N的坐标是(?b，?a)
点M(a，b)关于y轴对称的点N的坐标是(? a，b)
点M(a，b)关于x轴对称的点N的坐标是(a，? b)
点M(a，b)关于原点O对称的点N的坐标是(?a，?b)
点M(x
1
，y
1
)关于直线L对称的点N(x
2
，y
2
)的坐标满足 下列条件：
① k
AB
k
MN
=?1，

② A(x
1
+ x
2
)2+B(y
1
+y
2
)2+C=0，这样你就可以解出点N(x
2
，y
2
)来了。这 个方
法务必掌握。（还记得当直线L的斜率为
?1
时有简便方法吗？很重要也很常用！ ）
直线l
1
关于l
2
对称的方程l
3
怎样求？( 说出两种办法)
曲线C：f(x，y)=0关于点M(a，b)对称的方程是f(2 a? x，2 b ?y)=0
y=f(a+x)与y=f(b?x)的图象关于直线x=(b?a)2对称.
y=f(x)满足f(a+x)=f(b?x),则f(x)的对称轴是x=(a+b)2
y =f(x)满足f(a+x)=f(b+x),则f(x)的周期是x=|a?b|,口诀是“同周异轴”（什么 意思？）
22、你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎 么办？
(设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式△≥ 0，
以及韦达定理，代入弦长公式，设曲线上的两点A(x
1
，y
1
)、B(x
2
，y
2
)，将这两点代入曲线方程得到
①

②两个式子，然后①?

②，整体消元……若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，
第 9 页 (共 19 页)

比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。建议做几个这样 的题目，熟悉此套路)；一
旦设直线为y=kx+b，就意味着什么？(意味着k存在)
23、什么情况下使用“点差法”最有效？(中点弦问题)
24、圆锥曲线的各要素的意义你都清楚了吗？
25、你知道求圆锥曲线的要素一定要将曲线方程化为标准方程吗？你会化吗？
26、你熟悉椭圆、双曲线、抛物线分别有哪些课本性质吗？(从哪些方面考虑？)
27、你熟悉椭圆、双曲线、抛物线分别有哪些补充性质吗？
28、求离心率的思路是什么？ (1、定义法，分别求出a、c或者用第二定义；2、方程法——即从a、
b、c、d、e五个量中找联 系，知二求三)
29、离心率是个什么性质的量？(决定圆锥曲线形状的唯一的量，而不能决定圆锥曲 线的大小，与圆
锥曲线的位置和是否旋转都无关，是它本身固有的性质)
30、使用圆锥曲线的第二定义时，究竟是谁与谁的比值等于定值e ？

???解析几何的有关结论：
1.两条直线的平行和垂直
(1)若
l< br>1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y ?k
2
x?b
2

①
l
1
||l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
； ②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B2
y?C
2
?0
,且A
2
、B
2
、C
2
都不为零,
①
l||l?
A
1
?
B
1
?
C
1
；②
l
1
?l
2?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
；
12
A
2
B
2
C
2
2．四种常用直线 系方程
(1)定点直线系方程：经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0)
(除直线
x?x
0
),其中
k
是待定的系数；经过定 点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为< br>A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
,其中
A,B
是
待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点 的直线系方
程为
(A
1
x?B
1
y?C
1
)?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0< br>(除
l
2
)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线< br>y?kx?b
中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直
线
Ax? By?C?0
平行的直线系方程是
Ax?By?
?
?0
(
?
?C
)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是参变量．
3. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
＞0).
?
x?a?rcos
?
（3）圆的参数方程
?
.
?
y?b?rsin
?
（4）圆的直径式方程
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
【圆的直径的端点是
A(x
1
,y
1
)
、
22
222
22
B(x
2
,y
2
)
】.
4. 圆系方程
22
(1)过直线
l
:
Ax?By?C? 0
与圆
C
:
x?y?Dx?Ey?F?0
的交点的圆系方程是
x?y?Dx?Ey?F?
?
(Ax?By?C)?0
,λ是待定的系数．
第 10 页 (共 19 页)
22

(2)过圆
C
1
:
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与圆
C
2
:
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
的交点的圆系方
程是
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0< br>,λ是待定的系数．
5.圆的切线方程
(1)已知圆
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
．
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切线只有 一条，其方程是
x
0
x?y
0
y?
D(x
0
?x)
?
E(y
0
?y)
?F?0
.
22
当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0x?y
0
y?
D(x
0
?x)
2
?
E (y
0
?y)
2
?F?0
表示过两个切点的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，
注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆
x
2
?y
2
?r
2
．过圆上 的
P
0
(x
0
,y
0
)
点的切线方程为< br>x
0
x?y
0
y?r
2
；
6. 椭圆的切线方程
(1)椭圆
x
a
2
2
?
xa
2
2
y
b
2
2
2
?1(a?b?0 )
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
y
b
2
2
2
2
x
0
x
a
2
?
y
0
y
b
2
?1
.
x
0
x
a
2
2
（2）过椭圆
（3）椭 圆
x
a
?
y
b
?1(a?b?0)
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
2222
?
2
y
0
y
b
2
?1
.
??1(a?b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
Aa ?Bb?c
.
2b
2
7. 椭圆、双曲线的通径长,双曲线的焦半径公式：
PF
1
?|a?ex
0
|
，
PF
2
?|a?ex
0
|
.
a
8.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为
x
a
2
2
?
y
b< br>2
2
?1
?
渐近线方程：
x
a
?
y
b
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?0?
y??
x
a
2
2
b
a
x< br>.
(2)若渐近线方程为
y??
(3)若双曲线与
x
2
b
a
x
?
?0
?
双曲线可设为
?
y
b
2
2
??
.
??0
，
?
2
?1
有公共渐近线，可设为
2
?
2
??
（
??0
，焦点在x轴上；
2
abab
焦点在y轴上）.
9. 双曲线的切线方程
y
2
x
2
y
2
(1)双曲线
x
a
2
2
?
x
a
2
y
b
2
2
2
2
?1(a?0,b?0)
上一点P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
y
b
2
2
2
2
x
0
x
a
2
?
y
0
y
b
2
?1
.
x
0
x< br>a
2
2
（2）过双曲线
（3）双曲线
2
??1(a? 0,b?0)
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切 线的切点弦方程是
22
?
y
0
y
b
2
2< br>?1

x
a
2
?
y
b
?1(a?0 ,b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
Aa?Bb?c
.
2
10. 抛物线
y?2px
的焦半径公式
抛物线
y ?2px(p?0)
焦半径
CF?x
0
?
11.抛物线
y< br>2
2
2
p
2
.过焦点弦长
CD?x
1
?
p
?x
2
?
p
?x
1
?x
2
?p
.
22
2
2
?2px
上的动点可设为P(
y
?
,y
?
)
或
P(2pt,2pt)或< br> P
(x
?
,y
?
)
，其中
y
?
?2px
?
.
2p
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12. 抛物线的切线方程
（1）抛物线
y
2
?2px
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切 线方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
.
（2 ）过抛物线
y
2
?2px
外一点
P(x
0
,y0
)
所引两条切线的切点弦方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
.
（3）抛物线
y
2
?2px(p?0)与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
pB
2
?2AC
.
13.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线
f
1
(x,y) ?0
,
f
2
(x,y)?0
的交点的曲线系方程是
f
1
(x,y)?
?
f
2
(x,y)?0
(
?为参数)
(2)共焦点的有对称中心的圆锥曲线系方程
x
2
2
a?k
?
y
2
2
b?k
?1
,其中
k?m ax{a,b}
；
22
当
k?min{a
2
,b
2
}
时,表示椭圆；当
min{a
2
,b
2
}?k ?max{a
2
,b
2
}
时,表示双曲线.
14.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
或
AB?
2222

(1?k)(x
2
?x
1
)?|x
1
?x
2
|1?tan
?
?|y
1?y
2
|1?cot
?
（弦端点A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，
【
?
为直线
AB
的倾斜角，
k
为直线的斜率】.
15.“四 线”一方程：对于一般的二次曲线
Ax
2
?Bxy?Cy
2
?Dx? Ey?F?0
，用
x
0
x
代
x
2
，用y
0
y
代
y
2
，用
Ax
0
x ?B?
x
0
y?xy
0
2
x
0
y?xy< br>0
2
x
0
?xy
0
?y
代
xy，用
?Cy
0
y?D?
2
x
0
?x
2
代
x
，用
?E?
2
y
0
?y
2< br>代
y
即得方程
?F?0
，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中
点方程均可由此方程得到.
1、 概括地讲，立体几何是研究什么内容的学科？(研究空间位置关系与数量关系的学科)
2、 概括地讲，立体几何需要我们解决的问题主要有哪两类？(1、确定位置关系，如共面与异面，平
行与垂直；2、确定数量关系，就是会求距离与角的大小)
3、 你知道多少经典的立体几何 图形？(正方体，长方体、三棱锥、正三棱锥、正四面体、直角四面
体、球体、三垂线结构、三余弦结构 （课本上线面角那里，常常被忽略的）等)，它们分别有哪些性
立
质？(从结构方面以及位置关系和数量关系方面看)

4、 你知道立体几何中一共有多少种角？它们的定义是怎样的？其的范围是怎样的？有多少种距

离？它们的定义是怎样的？

5、 用空间向量解立体几何题特别要注意什么？（1、建系要写理由；2、坐标轴两两垂直要证明，
体 准确求出相关点的坐标（特别是底面各点的坐标，若底面不够规则，则应将底面单独抽出来分析）

坐标求错将前功尽弃！3、会求平面法向量；4、公式记忆准确无误，正确使用；5、易错点在哪里？）

6、 你记得用向量法求各种距离的统一公式是怎样的吗？设P是平面
?
外 一个已知点，A是平面
?

?
几
|PA?n|
内一个已知 点，
n
是平面
?
的一个法向量，用
d
A?
?
表示点P到平面
?
的距离，那么
d
A?
?
?
。

|n|

7、 怎样用向量法求三种角？两个半平面的法向量的夹角大小就是二面角的大小吗？

10、怎样求已知三棱锥的内切球与外接球半径？(等体积法)
何
11、不共面的任意四点能够确定一个球面吗 ？(能够)
12、你知道什么是球面距离吗？你会求吗？最关键的是求什么？（弦长，半径和弦所对的圆心角） < br>13、用向量法求角求距离容易犯哪两类错误？(1是运算错误；2是求角时可能得到的是补角而你未觉< br>察)，怎样克服？求线面角呢？（记得用sin吗？）
14、你记得球的面积和体积公式吗？你知道球面距离是怎样定义的吗？
第 12 页 (共 19 页)

15、三棱锥的顶点的射影一定在底面三角形内吗？若不在，这时你能够看出它的高吗？
16、你知道中点有一明一暗成双成队出现的特性吗？这有什么用？（见中点，想中点！）
1 7、正三棱锥的性质你都熟悉了吗？（很多，如对棱垂直等），正方体的呢？你记得正四面体的高的
结论 吗？它的内切球、外接球半径呢？
18、最后一句话，用空间向量法求关系、求角、求距离，你100%过关了吗？（一定要拿下！）

???立体几何的有关结论：
1．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面两直线无交点；（2）转化为两条直线同时与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.
2．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.
3．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定两平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.
4．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为该线与另一线的射影垂直；
（4）转化为该线与形成射影的斜线垂直.
5．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
6.共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b
?
存在实数λ使a=λb．
????????
???????? ????
P、A、B
三点共线
?
AP||AB
?
AP?tA B
?
OP?(1?t)OA?tOB
.
????
7.共面向量定理 ：向量p与两个不共线的向量a、b共面的
?
存在实数对
x,y
,使
p?xa?yb
．
????????????
推论：空间一点P位于平面MAB内的
?
存在有序实数对
x,y
,使
MP?xMA?yMB
， < br>?????????????????
或对空间任一定点O，有序实数对
x,y
，使
OP?OM?xMA?yMB
.
????????????????
8 .对空间任一点
O
和不共线的三点A、B、C，满足
OP?xOA?yOB?zOC< br>（
x?y?z?k
），则当
k?1
时，总有P、A、B、C四点共面； 当
k?1
时，若
O?
平面ABC，则P、A、B、C四点共面；
若< br>O?
平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．
????
????????
????????????
A、B、 C、D < br>四点共面
?
AD
与
AB
、
AC
共面
?
AD?xAB?yAC
?

????????????????
O D?(1?x?y)OA?xOB?yOC
（
O?
平面ABC）.（平面内三点共线的 推广）
9.空间向量基本定理:如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯 一的有序
实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推论：设O、A、B、C是不共面的 四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，
????????????????z，使
OP?xOA?yOB?zOC
.
10.三余弦定理（课本结论） 设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为
?
1< br>，AB与AC所成
的角为
?
2
，AO与AC所成的角为
?．则
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2
.
11. 长度为
l
的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为
l
1
、l
2
、l
3
，夹角分别为
?
1
、
?
2
、
?
3
,
则有
l?l
1
?l
2
?l
3
?cos
?
1
? cos
?
2
?cos
?
3
?1?sin
?
1
?sin
?
2
?sin
?
3
?2
.（类 比长
方体对角线与共顶点的三条棱的关系）
第 13 页 (共 19 页)
2222222222

12. 面积射影定理：
S?
S
'
cos
?
.
(平面多边 形及其射影的面积分别是
S
、
S
'
，它们所在平面所成锐二面角的为
?
).
13.球的组合体
(1)球与长方体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面
对角线长,
(3) 球与正四面体: 棱长为a
的正四面体的内切球的半径为
6
12
a
,外接球的半径为6
4
a

1、 若向量a=(x
1
，y
1)≠0，b=(x
2
，y
2
)，则a∥b与a⊥b的充要条件分别是什么 ？
(a∥b
?
a=λb
?
x
1
y
2
?x
2
y
1
=0，a⊥b
?
x
1
y
1
+ x
2
y
2
=0)
2、 记得三角形法则吗？平行四边形法则呢？若 向量a=(x
1
，y
1
)，b=(x
2
，y
2)，则
a±b= ，a· b= = ，a÷b=？(无定义！)，a= ， (a±b)=？
(a·b)· c=a·(b·c)对吗？(No!你知道理由吗？)a＞b对吗？(No!为什么？)
3、（重要）按照某向量a=(h，k)平移与平常的“左加右减”有什么不同？你真的过关了吗?
4、λ(a+b)= ，(a+b)·c= (a+b)·(c+d)=
??????????????????????????? ?????????????????
5、向量
AB?BC?CD?DE?EF
，
AB?BC?CD?DE?EF?FA
=
6、如果把上述内容拓展到空间里面，则相应的会有什么变化？请逐一回答！
7、你知道平面 向量基本定理吗？什么是基底？用已知向量表示未知向量的题型请参看课本例题。（最
近常考）
8、会用坐标向量法解题吗？关键是建系以后写点的坐标莫出错。
向



量
9、你知道a·b=|a||b|cosθ的几何意义吗？物理意义呢？什么是 向量b在向量a上的投影？
10、你知道向量平移时坐标是不变的这个事实吗?
????< br>????????
????????
AP
?
对吗？（NO！向量不能相 除）
11、向量
AB?BA?0
对吗？（NO！应为
0
）
A P?
?
PB?
?
?
???
PB
????
? ???
向量
AB
与
BC
的夹角是∠B吗？（NO！很重要且很容易错 ！）你知道零向量平行于任何非零向量吗？
22
你知道零向量垂直于任何非零向量吗？（零向量 方向任意）
12、
OP?
?
OA?
?
OB
中?
?
?
?1
时有什么结论？反过来呢？由
?
与
?
的符号
怎样判断A、B、P三
点的相对位置？

???平面向量的有关结论：
????????
P?
?
PP
2
，
?
是实数，
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，
P< br>1.线段的定比分点：设
P
且
P
P(x,y)
是线段
P
1
112
的分点,
????????
x
1
??
x
2
?
????????????
x?
????1
OP?
?
OP
?
12
1?
?
?(1 ?t)OP
2
（
t?
?
OP?
?
OP?tOP
则
?
1
?
1?
?
1?
?
?
y?
y
1
?
?
y
2
?
1?
?< br>?
）.
2.“按向量平移”的几个结论：
（1）点
P(x,y)< br>按向量a=
(h,k)
平移后得到点
P(x?h,y?k)
.
第 14 页 (共 19 页)
'

(2) 函数
y?f( x)
的图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C'
,则
C
'
的函数解析式为
y?f(x?h)?k
.
(3) 图象
C
'
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象< br>C
,若
C
的解析式
y?f(x)
,则
C
'< br>的函数解析式为
y?f(x?h)?k
.
(4)曲线
C
:< br>f(x,y)?0
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
'
,则
C
'
的方程为
f(x?h,y?k)?0
.
(5) 向量m=
(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到的向 量仍然为m=
(x,y)
.
3. 三角形四“心”向量形式的充要条件，设
O
为
?ABC
所在平面上一点，则
????
2
????
2
????
2
（1）
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
?????? ???????
（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB? OC?0
.
????????????????????????
（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?OC?OA
. ?????????????
（4）
O
为
?ABC
的内心
?aOA?bOB?cOC?0
.(
a,b,c
为角
A,B,C
所 对边长)
1、两个计数原理的根本异同在哪里？你会可靠地运用组合原理求出指定项吗？
2 、你知道解排列组合问题的破题诀窍是什么吗？(问自己，怎样才算完成了这件事？)；解排列组合
题的 最大的能力是什么？(不慌不忙地分类，不重不漏地计算，不折不扣地熟悉典型题型)
3、你知道排列 组合的多少种经典题型？分别怎么解决？比如，相邻问题用什么法？相离问题呢？特
殊元素或者特殊位置 问题这么办？相同元素分堆这么办？定序问题这么办？多面手问题怎么办？排
一个几位数都比某个数大怎 么办？错位问题怎么办？网格问题怎么办？涂色问题怎么办？
4、你记得排列数公式吗？组合数公式呢？组合数有哪些性质？
5、你记得(a+b)
3
=？(a?b)
3
=？a
3
+b
3
=？a3
?b
3
=？
排
列
、
组
合
、
二
项
式
定
理
6、你记得“杨辉三角形”吗？ 有什么用？你记得二项式定理吗？记得它的通项公式吗？记得它的特例
(1+x)
n
= ？(1?x)
n
=？记得二项式系数与指定项系数的不同吗？
7、你会赋值法吗？( 4x+5)
10
的展开式有多少项？它的二项式系数之和是多少？它的展开式中第几项
是4次项？它的4次项系数是多少？它的各项系数的绝对值之和呢？奇数项就是奇次项吗？

???排列组合的有关结论：
1.排列恒等式：（1）
A
n
?nA
n?1
；（2）
nA
n
?A
n?1
?A
n
；（3）
A
n?1
?A
n
?mA
n
(4)
1!?2?2!?3?3!???n?n!?(n?1)!?1
.
2.组合恒等式： （1）
C?
135
mm?1
nn?1nmmm?1
；
m< br>n
n
m
n
C
0
m?1
n?1
nr
； （2）
?
C
n
=
2
； （3）
C
r
?C
r?1
?C
r?2
???C
n
? C
n?1
；
r?0
24n?1
rrrrr?1
(4)< br>C
n
?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?C
n
???2
021222n2
； (5)
C
n
?2C
n
?3C
n
???nC
n
?n? 2
123nn?1
；
(6)
(C
n
)?(C
n< br>)?(C
n
)???(C
n
)?C
2n
；
3．“错位问题”及其推广：贝努利装错笺问题：
n
封信与
n
个信封全部错位 的组合数为
f(n)?n![
1
2!
?
1
3!
?< br>1
4!
???(?1)
n
n
]

n!
1

4．不定方程
x
1
+x
2
+?+x
n
?m
的解的个数（相同元素隔板法原理解决）
?
(1 )方程
x
1
+x
2
+?+x
n
?m
（n,m?N
）的正整数解有
C
m?1
个.
n?1
第 15 页 (共 19 页)

(2) 方程
x
1
+x
2
+?+x
n
?m
（
n,m?N
?
）的非负整数 解有
C
n?m?1
个.
1、概率学是研究在一定条件下某事件发生的可能性大小的学科
2、简单地讲，概率就是什么？(可能性的大小)
3、你知道有哪“四大概型”吗？(自己写概率的计算公式)
4、你知道分布列的作用吗？确 定分布列的关键是什么？(翻译成自己的语言，理解ξ的意义，常有ξ
的值可能对应不止一种情况的时候 )，你会从反面求概率吗？
5、你知道期望的定义吗？它还叫做什么？方差呢？标准方差呢？你记得“ 四大分布”的期望与方差的
公式吗？期望与方差有哪些性质与公式？概率呢？
6、有哪些抽样方法？分别适应于什么情况下？
7、你熟悉频率分布直方图吗？在频率分布直方图中如何求某区间的概率？
8、何为正态分布？标准正态分布?一般正态分布化为标准正态分布的公式？
9、你熟悉正态分布的图象有什么性质吗？
10、概率问题你收集了多少个经典题目? 总之,你100%过关了吗？（主要是近三年全国各省直辖市的
高考真题）

???概率统计的有关结论：
1.离散型随机变量的分布列的两个性质：（1）
P< br>（2）
P?0(i?1,2,?)
；
?P
2
???1
.
i1
2.数学期望
E
?
?x
1
P?x
2
P
2
???x
n
P
n
??

1
3.数学期望的性质：（1）
E(a
?
?b)?aE(
?
) ?b
.（2）若
?
～
B(n,p)
,则
E
?
?np
.
(3)若
?
服从几何分布,且
P(
?
?k)?g(k,p)?q
k?1
p
，则
E
?
?
2 22
n?1
概



率



与



统



计
1
p
.
4.方差
D
?
?
?
x< br>1
?E
?
?
?p
1
?
?
x
2
?E
?
?
?p
2
???
?
x
n
?E
?
?
?p
n
??

5.方差的性质： (1)
D
?
a
?
?b
?
?aD
?
；(2）若
?
～
B(n,p)
，则
D
?
?np(1 ?p)
.

q
(3) 若
?
服从几何分布,且
P(
?
?k)?g(k,p)?q
k?1
p
，则
D
?< br>?
2
.
p
2
6.方差与期望的关系
D
?< br>?E
?
?
?
E
?
?
.
2
2
7.对于
N(
?
,
?
)
，取值小于x的概率F
?
x
?
??
?
2
?
x?
?
?
?
.
?
??
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1、 虚数单位i符合两个什么样的规定？1是复数吗？（当然）
2、 在复 数范围内，x=?1的根是什么？有几个根？x+x+1=0的两根是什么？（据说这两根很有关系，
到 底有什么关系？）
3、 复数的代数形式是怎样的？什么叫做虚数？纯虚数？它们有什么关系？
4、 ∵3+4i?(1+4i)=2＞0,∴3+4i＞1+4i,对吗？（错！） 3+4i的实部是什么？虚部呢？
5、 若x、y∈R，且3+4i=x+yi，那么x=？y=？两个复数相等的充要条件是什么？
6、 复 数的几何意义是什么？点(3，?6)表示的复数是什么？复数z=?2+5i所表示的点在哪一象限？复
数z=?2i+5所表示的点呢？z=?2i呢？
7、 若复数z
1
=3+4i， z
2
=?2+5i，那么，z
1
±z
2
=？，z
1
·z
2
=？， z
1
÷z
2
=？复数运算中常考除法，你100%
会了吗？
8、 复数相等的核心是什么？你会求复数的模吗？复数的模的几何意义是什么？
9、 (1±i)
2
=？，若复数z=x+yi，并且复数zi是纯虚数，那么x=？y=？( 3+4i)( 3?4i)=？，( a+bi)( a?bi)=？
解

题

策

略
考
场
内
外
得
分
法
常

见

正

常

联

想

举

例
1+2i+3i
+…+100i
=?
1. 你有“小题不放心，大题不甘心”的心理毛病吗?如果有，有何对策？(熟悉解小题的诀窍并且坚 信
之，熟悉基本解答题型的技法)
2. 你知道解小题的诀窍吗？有哪些？(1、数形结合法 ；2、特值代验法——包括特殊数值与特殊位
置；3、逻辑排除法；4、极端化思考法；5、趋势判断法 ；6、估值法；7、直觉法8、优化的直
接法)对此，你有知而不用的毛病吗?(肯定有)你知道怎样克 服这个毛病吗？
3. 你有强烈的(一般的强烈等于没有)目标意识吗？
4. 你有敏锐的 (一般的敏锐等于没有)结构眼光吗？常见有哪些结构呢？你知道解题中的常见技巧
吗？(找反例，找特 例，代数问题几何化，反证法…)
5. 你有特情单列的习惯吗？
6. 你知道“创新题”的“死穴”是什么吗？(套用规则！)
1、 防止无谓的失分。都知道急躁是解题的 大敌，不过还是建议换一种想法，提醒自己：其实出现考
场紧张与急躁在开始时都是正常的，因为你是人 而不是神。你紧张急躁的时候人家也好不到哪里
去，就让人家去犯傻算了，这也叫做把握机会。
2、 尽可能得分的策略还有哪些？(不慌不忙的心态，赏心悦目的书写，先易后难的程序，跳步得分，
训练有素的习惯，如草稿纸对折，有顺序地使用。答题卷要体现排版概念)
3、 抓基本分，不该失的分一定抓住。经典解答题以及经典小题务必过关!
1、数学问题，说到底主要就是 6求而已，哪6求呢？(求值、求范围、求证、求作图形或图象、求一
个方案、求索结论)
2 、求值的联想——一是计算化简求值，二是解方程(组)求值。方程哪里有呢？自己建立；怎么建立
呢？ 找相等关系。
3、求范围的联想——一是利用不等式的性质或者均值不等式求范围；二是解不等式得到 范围。不等
式在哪里？有则解之，无则自建；怎样建立不等式？找不等关系；一般有哪些不等关系？有下 列一
些：一是题目提供的；二是利用性质或者定义，例如①a
2
≥0;②︱a ︳≥0; ③ ︳sinα︳≤1; ④a
x
＞0(a＞
0且a≠1); ⑤△ABC中,AB+AC＞BC; ⑥椭圆中,a＞c,0＜e＜1,定比外分点的比值λ＜0;⑦倾斜角0≤α＜
π; ⑧一元二次方程有实根则△≥0; ⑨连续函数f(x)在定义域内单调递增,则f(x) ≥0;此外,排列A
m
中,
有n≥m;递增的等差数列中公差d＞0;直线在圆外,则d＜r; q
n
→0,则

︳q ︳
n
＜

1，︱a ︳+ a ≥0…（哇
噻！你晕了吧？）
4、求证的联想：一熟悉常规方法，二有强烈的目标意识，三有敏锐的结构眼光，而已
5、求 作图形或图象的联想——例如作正余弦函数的图象就用“五点法”；斜二测法作图你还记得吗？
关键是按 照规则去做（什么规则？）；在立体图形中作出它的某一截面，关键是找出有关的点与线；
用变换法作函 数图象，关键是熟悉常见变换的规律（平移、伸缩、对称和翻折），等。
第 17 页 (共 19 页)
n
23100
22
复
数

6、你知道的“一炮双响”的条件有哪些？（看似一个条件，实则两个关系）
22
1
f(x)=x+px+q与g(x)=x+4x在x∈〔1，3〕同时取到 相同最小值，求p、q
2
3
4
X∈R，且函数f(x)=x+bx +d在x=1处有极大值2，求b、d
32
????????
????????向量
AB,CD
满足
AB?2CD
（则CD可以成为AB的中位线。）
AM?
1
(AB?AC)

2
7、你有逆向思维的习惯吗？你想爽，不想郁闷，就得学会这个。举几个例子说明。
1)
你会走迷宫吗？逆向思维使你百战百胜，从出口开始向入口逆行就行。你知道跳高运动员是

怎样确定助跑的起跑点的吗？
若不等式ax+bx+cx+d＞0的解集已知，则d x+ax+bx+c＞0的解集怎么求？你就反过来想，
a、b、c、d的值了，
2)
原不等式的解集必定告诉了你原相应方程的解，你就可以列方程组求出

于是乎新不等式就可以解出来了。
所有棱长都为2的正四棱锥，用正方形的纸张包住它，纸张的最小边长为多少？你就假设该
3)
四棱锥尚未成型(摊开)，立即获解。当然，这就得到了“展”字诀。
你经常会令1=cos
2
α+sin
2
α，很好，但是如果在有关抽象函数中出现已知条件f(5) =2，那你知道
把2变成f(5)以便脱去对应法则符号f吗？又如已知正数x、y满足条件
x ?y?1
，求
2
x
4)
的最小值，你会使原式=
2x
?
3
?
23
?
再展开使用均值不等式吗？
?(x?y)
?
?
?
yy
??
x
?
3y
3232
8、你知道sinα+cosβ=?2意味着什么？f
2
(x )+g
2
(x)=0呢?
9、要化简的三角函数式中出现了诸如sin
4
α之类的结构，意味着你要做什么呢？
10、知道函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d有三根1、2 、3，则f(x)=a(x?1)(x?2)(x?3)吗？
11、解答题常一设多问，则这几问之间的关系是独立并列的还是关联递进的？你留意吗？
12、会直觉思维吗？(秘诀：从目标、几何意义、动静转化、式与形的结构方面联想)。如：

1
求
y?2sin(2x?
?
3
)?3cos(2x?< br>?
3
)
的周期，你能在3秒内选到答案吗？
，sin70°)、B(cos10°，sin10°)的距离，请瞬间得到答案！
2 求点A(cos70°
正五棱锥相邻两个侧面所成二面角的范围是什么？极端思考：踩扁它，使其高 为0，得二面角
；然后设想拉伸起来，使其高为无穷大，得到一个正五棱柱，二面角为108°，怎么样 ？
3
为180°
所求范围是(108°，180°)这也叫动静转化。
若2a?b=ab(ab≠0)，则直线
4
以ab，得
x
a
?
y
b
?1
过定点(？，？)。你由ab≠0这个条件意识到要两边都除< br>?1
a
?
2
b
?1
，与原方程比较就知道直线过定点 (?1，2)。
1、三角形的“五心”是什么？都有哪些性质？
平
几
常
识
名称
外心
内心
重心
定 义
三条中垂线的交点
三条角平分线交点
三条中线的交点
外接圆的圆心
内切圆的圆心，内角平分线定理
重心定理，重心公式
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主 要 性 质

垂心
旁心
三条高的交点
外角平分线交点
有三个四点共圆
旁切圆的圆心，内角平分线定理
2、三角形角平分线定理是什么内容？你知道角平分线定理吗？垂直平分线定理呢？
3、你知道圆幂定理的内容吗？(即切线定理，割线定理，切割线定理，相交弦定理)
4、你知道四点共圆定理以及逆定理吗? 四边形有哪些判定定理与性质定理？
5、你知道垂径分弦定理吗？哈哈，你没有问题吧？

不带疑问进考场，不留遗憾出考场！
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