高中数学题库免费下载-高中数学期望方差知识点
简易逻辑
1、命题：可以判断真假的语句叫做命题。（全称命题
特称命题）——陈述句
⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“
?
”表示；
★★★全称命题 p：
?x ? M , p(x)
；
全称命题 p 的否定
?
p：
?x ? M , ?p(x)
。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“
?
”表示；
★★★特称命题 p：
?x ? M , p(x)
； 特称命题 p 的否定
?
p：
?x ? M , ?p(x)
；
2、“或”、
“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单
命题；由简单命
题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成
复合命题的形式：p 或
q；p 且 q；非 p(记作┑q) 。
3、“或”、“且”、“非”的真值判断：
互为逆命题
非 p 与 p 真假相反；“p
且 q”：同真才真，
原命题
逆命题
一假即假；“p 或
q”：同假才假，一真即真
若p,则q
若q,则
互
p
互
4、命题的四种形式与相互关系：
为
为
原命题：若
P 则 q；逆命题：若 q 则 p； 否
否
否
互为逆否命题
命
命题：若┑P 则┑q；逆否命题：若┑q 则┑p
命
题
题
原命题与逆否命题互为逆否命题，同真假；
逆命题与否命题互为逆否命题，同真假；
否命题 互为逆命题
逆否命题
若非p,则非q
5、从逻辑推理关系上看：
若非q,则非p
p 的必要条件，即“前者为后者的充分，
若 p ? q ，则 p 是 q
的充分条件，q 是
后者为前者的必要”。
若 p ? q ，则 p 是 q
的充分必要条件，简称 p 是 q 的充要条件。
若 p ? q ，且
q p
，那么称 p 是 q 的充分不必要条件。
若 p q， 且 q ? p，那么称 p
是 q 的必要不充分条件。
若 p q， 且 q p，那么称 p 是 q
的既不充分又不必要条件。
从集合与集合之间的关系上看：
条件 p、q 对应集合分别为
A、B，则
若
A ? B
，则 p 是 q 的充分条件，若
A ?
B
，则 p 是 q 的充分非必要条件
若
A ? B
，则 p 是 q 的必要条件，若
A ? B
，则 p 是 q
的必要非充分条件
若 A=B，则 p 是 q 的充要条件，若
A ? B且B ? A
，则 p 是 q 的非充分必要条件 7、
★★★
真值表
p
真
真
假
假
非 p
q
真
假
真
假
非 q P 或 q p 且 q
8、注意否命题与命题否定的区别：
否命题——条件与结论都否定；命题的否定——只否定结论。
函数（1）
一、函数的定义
设 A、B
是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合 A 中
的任意一个数 x，在数集 B
中都有唯一确定的f和它对应，那么就称f:A→B 为
从 集合 A 到集合 B
的一个函数记作y=f(x)．x∈A．x叫自变量，每一个自变
量x的 构成的集合 A
叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值
（也叫因变
量），每一个函数值（因变量）构成的集合叫做函数的值域。
定义域与值域都用区间表示：[]、[）、（]、（）
二、函数的三要素：定义域、值域、对应关系
定 义
域：每一个自变量x的构成的集合——x
值 域：每一个函数值（因变量）构成的集合——f(x)
对应关系：f
函数符号 y=f(x)的说明：
1、“y=f(x)”即为“y
是 x 的函数”的符号表示；
2、y=f(x)不一定能用解析式表示；
3、f(x)与
f(a)是不同的，通常，f(a)表示函数 f(x)当 x=a 时的函数值；
4、在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号 f(x)外，
还常用 g(x)、F(x)、φ(x)等符号来表示。
定义域是函数的重要组成部分:如
f(x)=x(x∈R)与 g(x)=x(x≥0)是不同的两个函数。
三、求函数定义域、值域方法和典型题归纳
定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：
1、自变量
放在一起构成的集合，成为定义域。
2、数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列
举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。
值域：是由定义域
和对应关系（f）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一
定注意求的是定义
域范围内的函数值的范围。
1、明白值域是在定义域 A
内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x∈A}。
2、明白定义中集合 B
是包括值域，但是值域不一定为集合 B。
四、求函数定义域的情形和方法总结
1
已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。
（1）常见要是满足有意义的情况简总：
①表达式中出现分式时：分母一定满足不为 0；
②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下
满足大于或等于 0（非负数）。
③表达式中出现指数时：当指数为 0
时，底数一定不能为 0.
④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于 0.
注：（1）出现任何情
形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式 子解集的交集。
2
（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形如：
f ( x )
?
?
x
)
x
五、抽象函数（没有解析式的函数）
解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路
解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为：
1、给出了定义域就是给出了
所给式子中 x 的取值范围；
2、在同一个题中 x
不是同一个 x；
3、只要对应关系 f 不变，括号的取值范围不变。
4、求抽象函数的定义域个关键在于求 f(x)的取值范围，及括号的取值范围。
六、复合函数定义域
复合函数形如：
y ? f (g(x))
,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成
的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。
七、求函数值域
求函数值域方法和情形总结 1.
直接观察法（利用函数图象）
一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出 y 值的取值范围。 2.配
方法
图像法 适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的
位置，在定义
域范围内（以 a<0 为例），此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端
点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点：（1）含参
数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论 a；（2）a 不为 0
时，讨论开口方向；（3）
注意区间，即讨论对称轴。
3.分式型
分离常量法：应用于分式型的函数，并且是自变量 x 的次数为 1，或是可以看作整体为
1 的函数。具体操作：先将分母搬到分子，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为
y ? a ??
d
bx ? c
。
4.换元法
通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数
解析式中含
有根号形式，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是让我们明
白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，
应该多加平时练习。注：换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。
八、函数相等问题
两个函数相等——定义域相同、值域相同、对应法则相同
总结：求函数值域的重要方法——画图象
函数（2）函数的性质
一、函数奇偶性的定义
1、奇函数：如果函数
f
(
x
)<
br>在定义域内，对于任意的
x ∈ D
，都有
? x ∈ D
，
且 满足
f
(
? x
)
=-
f
(
x
)
，则称函数
f
(
x
)
为定义域内
的奇函数。
2、偶函数：如果函数
f
(
x
)
在定义域内，
对于任意的
x ∈ D
，都有
? x ∈ D
，且
满足
f
(
? x
)
=
f
(
x<
br>)
，则称函数
f
(
x
)
为定义域内的偶函数。
二、函数奇偶性的特点
1、奇函数和偶函数的定义域都关于原点对称
2、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y
轴对称
3、奇函数如果在
x
=0
处有定义，则：
f
(
O
)
=0
三、函数单调性的定义
1、增函数：如果函数
f
(
x
)<
br>在定义域内，对于任意的
x
1
、x
2
∈ D
，且有
x
1
< x
2
，
都有
f
(
x
1
)
< f
(
x<
br>2
)
，则称函数
f
(
x
)
为定义域内的增函
数。
2、减函数：如果函数
f
(
x
)
在定义域内，对于任
意的
x
1
、x
2
∈ D
，且有
x
1
< x
2
，
都有
f
(
x
1
)
> f
(
x<
br>2
)
，则称函数
f
(
x
)
为定义域内的减函
数。
四、单调性的局部性
如果函数
f
(
x
)
在
某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数
f
(
x
)
在这个区间上
具有单调性，这个区间叫做函数
f
(
x
)
的单调区间。
五、常见基本初等
函数单调性
1、一次函数；2、二次函数；3、反比例函数
六、函数单调性的证明
1、取值：设
x
1
、x
2
是定义域D
内的任意两个值，且假设
x
1
< x
2
2、做差：通过因式分解、配方、有理化等方法将等式变形。
做差如果不能比较正负，可以做商与“1”比较。
(
x
)
?
f
(
? x
)
的符号
3、定号：确定
f
4、下结论：根据定义得出结论。
注意：下结论时不要忘记说明区间范围
指数函数
★一、指数（乘方）
正整数的指数幂：α
n
= α* α*…*α（n个α相乘）（n ∈ N
＋
），α
n
叫做α的n
次
幂，α叫做底数，n叫做指数，这样的幂叫做正整数指数幂。
这里底数α可以在任意取值，n只能取正整数。
★★二、根式（开方）
1、n次方根：如果存在实数x使得x
n
=α（α ∈ R , n > 1，n
∈ N
＋
），x叫做α的
n次 方根。
2、开方运算：求α的n次方根的过程叫做α的开n次方运算，称作开方运算。
★★★注意：负数不可开偶次方根。
★★三、根式恒等式
n为奇数时，
√
α
n
= α；
α， α ≥
O
n
★★★当n为偶数时，
√
α
n
= |α|=
。
? α，α < 0
（
√
α） =
α；对于
√
n
n
n
n
α
，当
n
★四、分数指数幂
1、正分数指数幂：α
n
=（
√
α）
为质数——不能约分）
m
n
m
m
=
√
α
（α > O, m ∈ N
＋
，n ∈ N
＋
，且
n
m 与n 互
－
n
=
1
（α > O, m ∈ N
2、负分数指数幂：α
m
＋
，n ∈ N
＋
α
n
m
，且m 与n互为质数——
不
能约分）
★五、有理指数幂的运算性质：
1、α
m
α
n
=α
m ＋ n
（α > 0，m ∈ Q , n ∈ Q ）
2、（α） =α
m
m
n
mn
=（α）
（α > 0，m ∈ Q , n ∈ Q ）
n
m
3、（αb）
=α
b
（α > 0，b > O, m ∈ Q ）
六、无理指数幂（略，高中不学，但是存在的）
m m
★七、指数函数
函数 y=α
x
(α为常数且以α>0，α≠1)叫做指数函数。
注意：1、α
x
的系数只能是 1，否则不是指数函数；
2、底数α只能是不等于 1 的正数；
3、自变量只能在指数的位置，否则不是指数函数。
★★八、指数函数的图象
y
y
1
0
1
< α
x
1
0
0 < α < 1
x
★★★九、指数函数的性质
图象特征 函数性质
a
＞1 0＜
a
＜1
向
x
轴正负方向无限延伸
图象关于原点和
y
轴不对称
函数图象都在
x
轴上方
函数图象都过定点（0，1）
自左向右， 自左向右，
图象逐渐上升 图象逐渐下降
在第一象限内的图
象纵坐标都大于 1
在第二象限内图
象纵坐标都小于 1
a
＞1
0＜
a
＜1
函数的定义域为 R
函数的值域为（0，+∞
）
过定点（0，1）
增函数
减函数
在第一象限内的图
象纵坐标都小于 1
在第二象限内图象纵
坐标都大于 1
x
＞0，
a
＞1
x
＜0，0＜
a
x
＜1
x
x
＞0，0＜
a
x
＜1
x
＜0，
a
x
＞1
对数函数
★一、对数运算
一般地，如果α
x
= y（α >
O且α ≠ 1）,那么x叫做以α为底y的对数，记
作：
x =
log
α
y，其中α叫做对数的底数，y叫做真数。
★二、对数恒等式
α
log
α
y
= y
图：指数函数与对数函数的关系
log
α
α
y
= y
★三、对数log
α
N （α >
O且α ≠ 1）的性质
1、零和负数没有对数；2、对于任何底，1 的对数为 0；3、底数与真数相同的
对数为
1。
★四、常用对数与自然对数
★五、对数的运算性质
如果α >
O且α ≠ 1，M > O，N > O，那么：
log MN =log M
+log N ；log
=log M -log N ；log M
N
=N log
α
M
α α α α α α α
N
M
★六、换底公式
log c=
b
log
α
c
（α，b，c > 0 且α，b ≠
1）（注意：所换底必须为同一个底）
log
α
b
★七、对数函数的图形与性质：y = log
α
x
y
y
0
1 < α
1
x
0
0 < α < 1
1
x
图象特征 函数性质
a
＞1 0＜
a
＜1
函数图象都在y轴右侧方
图象关于原点和
y
轴不对称
向
y
轴正负方向无限延伸
函数图象都过定点（1，0）
a
＞1
0＜
a
＜1
函数的定义域为（0，+∞ ）
函数的值域为
R
过定点（1，0）
自左向右，
图象逐渐上升
在第一象限内的图
象横坐标都大于 1
在第四象限内图
象横坐标都小于 1
自左向右，
图象逐渐下降
在第一象限内的图
象横坐标都小于 1
在第四象限内图
象横坐标都大于 1
增函数 减函数
log
α
x
＞0，
x
＞1
log
α
x
＜0，0＜
x
＜1
log
α
x
＞0，0＜
x
＜1
log
α
x
＜0，
x
＞1
幂函数
★一、幂函数定义
一般地，如果y = x
α
（α ∈ R ）的函数称
为幂函数，其中α为常数。
★★二、幂函数的图象与性质
1、函数在（0，+ ∞
）上恒有定义；
2、函数一定过第一象限,一定不过第四象限。
3、当α＞0
时，幂函数在(0，+ ∞ )上都是
增 函数；当α＜0 时，幂函数在(0，+ ∞
)上
都是 减函数．
4、在第一象限内，直线x＝1 的右侧，图
象
由上到下，相应的指数由大变小． 5、
当
α
为偶数，
y =
x
α
是偶函数；当
α
为奇数，
y =
x
α
是奇函数。
★★★
三
、
两类基本函数的归纳比较：
1、 定义
2、性质
★
四、
规律总结
1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形
式再去进行讨论；
2．对于幂函数
y
＝
x
，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象
的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即
?
＜0，0＜
?
＜1 和
?
＞1
三种情况下曲线的
基本形状，还要注意
?
＝0，±1
三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况
可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即
?
＞0（
?
≠1）时图象是抛物线型；
?
＜0
时图象是双曲线型；
?
＞1
时图象是竖直抛物线型；0＜
?
＜1 时图象是横卧抛物线型．
3.比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：
（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；
（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比
较大小．
?
任意角的三角函数
一、
角的概念
1
．
定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．其中顶点，始
边，终边称为角的三要素．
2
． 范围： R
3
．
正角、负角、零角
①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；
②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；
③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．
4．
终边相同的角：设
?
表示任意角，所有与
?
终边相同的角，包括
?
本 身构
成一个集合，这个集合可记为
S ?
?
?
?
?
?
? k ?
360? ，k ? Z
?
．集合
S
的每
一个
元素都与
?
的终边相同，当
k ? 0
时，对应元素为
?
．
5
． 象限角与轴线角
x
轴正半轴，终边在第几象限就是第几象限角 象限角：定点在原点，始边在
y
P(x,y)
r
o
α
M
x
?
?
?
?
如 ： 终 边 落
在
第 一 象 限 的 角 ：
?
?
|
2k
?
?
?
? 2k
?
??
, k ? Z
??
或
??
2
?
{
?
| k 口360? ?
?
? 90?
? k 口360?, k ? Z }
?
?
|
?
? k
?
?
?
, k
? Z
?
??
180?, k ? Z}
． 终边落在
y
轴上的角：
?
或
{
?
|
?
? 90? ? k 口
2
? ??
轴上角：如果角
的终边在坐标轴上则说这个角不在任何象限，而称之为
“
轴上角
”
．
二、 弧度制
1
．
定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做
1
弧度的角．
?
180?
?
2
．
1rad ? ? 57．30?=57?18'
弧度与角度的换算： 180? ?
?
rad ，
?
?
??
? ??
3． 弧长与扇形面积公式：①弧长公式：l
?
?
r
?
②扇形面积公式：
S ?
lr ?
?
r
2
2 2
1 1
三、 三角函数定义
1． 定义：在直角坐标系中，设
?
是一个任意角，
?
终边上任意一点 P （除了原点）的
坐标为 (x , y)
，它与原点的距离为 r(r ??
| x |
2
? | y
|
2
?
x
2
? y
2
? 0) ，那么
sin
?
?
；
sin
?
，即
（
1
）比值
叫做
?
的正弦，记作
y y
r
x
?
cos
?
cos
?
?
叫做的余弦，记作 ，即 ；
（
2
）比值
r r
y
y
tan
?
?
；
（
3
）比值
叫做
?
的正切，记作
tan
?
，即
x x
r
x
y
P(x,y)
r
o
α
M
x
2
．
符号：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
y ? 0 , r ?
0
），对于第三、四象限为负
（
1
）
正弦值
对于第一、二象限为正（
r
y
y ? 0 , r ? 0
）；
（
x ? 0 , r ? 0
），对于第二、三象限为负
（
2
）
余弦值
对于第一、四象限为正（
r
x
x ? 0 , r ? 0
）；
（
y
x , y
同号），对于第二、四象限为负（
x , y
（
3
）
正切值 对于第一、三象限为正（
x
异号）．
3
． 特殊角的三角函数：
角
?
?
0
0
π
6
1
2
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
1
2
π
3π
2
2π
0
sin
?
?
cos
?
?
2
2
2
2
3
2
1
2
1
3
2
1
?
2
2
2
2
?
2
?1
0
?1
0
1
3
2
3
3
0
3
?
2
3
?
3
．
?1
0
1
tan
?
?
0
1
3
不存在
? 3
不存在
0
4．
三角函数同角公式： sin
2
x ? cos
2
x ? 1；
tan x ?
sin x
cos x
小贴士：
sin
?
cos
?
，
同角三角函数基本关系式：一方面直接考查定义，另一方面考查
tan
?
与
sin
?
? 2 cos
?
1
之类的关系，这种题型的解题思路是写成分数的形式，
，
2
5
cos
?
? sin
?
2sin
?
cos
?
?
cos
?
?
再分子分母同除以
cos
?
或
cos
?
2
即可；还有一类题型是考查
sin
?
cos
?
，
sin
?
? cos
?
，
sin
?
? cos
?
，之间的关系．
四、 诱导公式
?
终边的关系 1． 各角与角
2． 诱导公式
?
与
?
? k ? 2π(k ? Z)
的三角函数间的关系；
（
1
）角
sin(
?
? 2kπ) ?
sin
?
，
cos(
?
? 2kπ) ?
cos
?
，
tan(
?
? 2kπ) =
tan
?
?
与
?
?
的三角函数间的关系； （
2
）角
sin(?
?
) ? ?sin
?
，
cos(?
?
)
? cos
?
，
tan(?
?
) ? ?
tan
?
?
与
?
? (2k
? 1)π(k ? Z)
的三角函数间的关系；
（
3
）角
sin
?
?
? (2k ? 1)π
?
?
?sin
?
?
，
cos
?
?
?
(2k ? 1)π
?
? ?cos
?
，
tan
?
?
? (2k ? 1)π
?
?
tan
?
;
?
?
与
?
?
的三角函数间的关系． （
4
）角
2
πππ
sin(
?
? ) ? cos
?
,
cos(
?
? ) ? ?sin
?
，
tan(
?
? ) ? ? cot
?
．
2 2
2
小贴士：
“
奇变偶不变，
符号看象限
”
：奇偶是指的奇数倍和偶数倍，符号看象限是令
?
为第一象
限的角，考查变化后角所在的象限以及对应三角函数的符号．
三角函数——图象性质与公式结合、三角函数图象变换
1、三角函数的图象与性质：
函数
y＝sin x
图象
定义域
值域
奇偶性
周期性
y＝cos x
最小正周期：
在
单调递增；
在
在
在
上 在
单调递减
时，y
max
＝1； 在
时，y
min
＝－1 在
y＝tan x
_
_
_
最小正周期：
上 在
单调递增；
上
单调递减
时，y
max
＝1；
_时，y
min
＝－1
上
单调性
最值
图象
定义域
值域
周期
奇偶性
最小正周期为
在开区间
单调性
递增
内
2、图象变换：函数 y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)的图象可由函数 y＝sin x 的图
象作如下变换得到：
（1）相位变换：y＝sin x→y＝sin(x＋φ)，把 y＝sin x 图象上所有的点向
(φ>0)
或向 (φ<0)平行移动 个单位．
（2）周期变换：y＝sin
(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把 y＝sin(x＋φ)图象上各点
的横坐标
(0<ω<1)或 (ω>1)到原来的_ 倍(纵坐标不不变)．
（3）振幅变换：y＝sin
(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把 y＝sin(ωx＋φ)图象
上各点的纵坐标
(A>1)或 (0
叫做振幅，T＝ 叫做周期，f＝ 叫做频率，_ 叫做相
位， 叫做初相．
函数 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 ．y＝Atan(ωx＋φ)的最小
正周期为
．
两角和与差及二倍角公式
1．两角和与差的三角函数
sin(
?
?
?
) ?
cos(
?
?
?
) ?
tan(
?
?
?
) ?
；
sin(
?
?
?
) ?
；
cos(
?
?
?
) ?
；
tan(
?
?
?
) ?
；
；
；
2．二倍角公式：在
sin(
?
?
?
),
cos(
?
?
?
), tan(
?
?
?
)
中令
?
?
?
，可得相应的二倍角
公式。
sin 2
?
?
cos 2
?
?
tan
2
?
?
3．降幂公式
sin
2
?
?
；
=
。
；
= 。
cos
2
?
?
。
注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用
4．辅助角公式
y ? a sin x ? b cos x ?
a
2
?
b
2
sin(x ?
?
)
，（其中
a, b
不能同时为 0）
证明：
y ? sin x ? cos x
??
a? b
(
2 2
a
a? b
2
2
sin x ??
b
a? b
2 2
cos x)
?
a
2
? b
2
(cos
?
sin x ? sin
?
cos x)
?
a
2
? b
2
sin(x ?
?
)
其中，
cos
?
?
a
2 2
，
sin
?
?
a? b
，
tan
?
?
且角
?
终边过点
(a, b)
2 2
a
a? b
b
b
在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想
如：
sin
?
? cos
?
?
；
sin
?
? cos
?
?
。
5.公式的使用技巧
（1）连续应用：
sin(
?
?
?
?
?
) ? sin[(
?
?
?
) ?
?
] ?
sin(
?
?
?
) cos
?
? cos(
?
?
?
) sin
?
?
（2）“1”的代换：
sin
2
?
?
?
? cos
2
?
? 1
，
sin ? 1, tan ? 1
2
2
2
4
（3）收缩代换：
y ? sin x ? cos
x ??
a? b
sin(x ?
?
)
，（其中
a, b
不能同时为 0）
（4）公式的变形：
?
tan
?
? tan
?
?
?
tan(
?
?
?
) ? tan
?
? tan
?
? tan(
?
?
?
) tan
?
tan
?
?
tan(
?
?
?
)
??
1 ? tan
?
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
? tan
?
?
? tan(
?
?
?
) ? tan
?
? tan
?
? tan(
?
?
?
) tan
?
tan
?
?
tan(
?
?
?
)
??
1 ? tan
?
tan
?
?
?
如：
tan 95? tan 35?
3
tan 95tan 35?
。
。
tan 70
? tan 50
?
3
tan 70
tan 50
?
（5）角的变换（拆角与配角技巧）
?
?
? 2 ?
，
?
? (
?
?
?
) ?
?
，
?
?
?
? (
?
?
?
)
，
?
?
1
[(
?
?
?
) ? (
?
?
?
)]
，
2
?
?
1
?
?
?
) ?
，
?
?
(
?
??
?
??
[(
?
?
?
) ? (
?
?
?
)]
，
?
?
? ? (
?
?
)
，
2
4 4
4 2 4
（6）二倍角公式的逆用及常见变形
二倍角的正用、逆用、变形应用是公式的三种主要使用
方法，特别是二倍角的余弦公
式，它在求值、化简、证明中有广泛的应用，解题时应根据不同的需要，灵活选取。
①
sin
?
? 2 sin
?
2
cos
；②
cos
?
? cos
2
? sin
2
?
? 1 ? 2 sin
2
?
? 2 cos
2
?1
2 2 2 2 2 2
?
?
2 tan
2
；
2
tan
?
?
③ ④
1? sin
2
?
? (sin
?
?cos
?
)
；⑤
(sin
?
?cos
?
)
2
?(sin
?
?cos
?
)
2
? 2
1? tan
2
?
2
?
?
?
???
?
6．三角函数式的化简
（1）化简方法：①直接应用公式进行降次、消项；②化切为弦，异名化同名，异角化同角；
③ 三角公式的逆用等。④降幂或升幂
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；
④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
7．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三
角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键
在于“变角”，如
?
? (
?
?
?
) ?
?
,2
?
?
(
?
?
?
) ? (
?
?
?
)
等，把所求角
用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，关键也在于“变角”，把所求角用含已知
角的式子表示，由所得的函数值结合所求角的范围或函数的单调性求得角。
8．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证明
根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一、
转换命题等方法，
使等式两端化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的证明
通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系。若从结论开始，
通过变形，将已知表达
式代入得出结论，采用代入法；若从条件开始，化简条件，将其代入要证表达式中，通过约
分抵消等消去某些项，从而得出结论，采用消参法；若这两种方法都证不出来，可采用分析
法进行证明。
第一讲——解三角形
2018
年高考要求（见考纲）
自检自查必考点
五、 正弦定理
1． 正弦定理：
a
sin A
?
sin B
?
sin C
b c
? 2R
；（ R
为三角形外接圆半径）
2． 正弦定理变形式：
（1）
sin A =
a
2R
；
sin B =
b
2R
：
sin C =
c
（2）
a : b : c = sin A :
sin B : sin C
2R
3． 正弦定理的应用
（1）已知两角和任意一边，求另一角和其它的两条边
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和其中的对角
六、 余弦定理
余 弦
定 理 ：
a
2
? b
2
? c
2
?
2bc cos A
； b
2
= c
2
+
a
2
-
2ac cos B
1．
c
2
= a
2
+ b
2
-
2ab cos C ；
；
2． 余弦定理变形式：
2 2
2 2 2
2 2 2
aa
b
? c ? a
cos B =
+ c - b
cos C =
+ b - c
cos A ?
2ac 2ab
2bc
；
．
；
2
3．
余弦定理的应用
（
1
）已知三边，求各角
（
2
）已知两边和它们的夹角，求第三个边和其它的两个角
（
3
）已知两边和其中一边的对角，求其它的角和边．
七、 面积公式
1 1
1
h
a
、
h
b
、
h
c
分别表示
（
1
）
S
△
＝
ah ＝ bh ＝
ch (
a
、
b
、
c
上的高)；
2
1
a
2
b
1
2
c
1
（2）
S
△
＝ absin C ＝ bc sin A ＝ acsin
B ；
2 2 2
1 abc
（3）
S
?
?
? absin C ?
；
r
为三角形内切圆半径）．
S
?
?
? r(a ? b ? c)
（
（
4
）
小贴士
：
?ABC 中
易 得 ： ① A ? B ? C ?
?
， ②
sin A ?
sin(B ? C)
，
cos A ? ?cos(B ? C)
，
2
2
1
4R
A ? B ?
，
tan
A ? ? tan(B ? C)
． ③ a ? b ? A ? B ? sin A ?
sin B ④ 锐 角 ?ABC
中 ，
2
?
sin
A ? cos B,cos A ? cos B
，
a? b?
c
，类比得钝角 ?ABC 结论．
2 2 2
《计数原理与概率及其分布列》
【计数原理 知识梳理】
一、分类计数原理和分步计数原理：
分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种
方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。
分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤
中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接 ，只有依次完成所有各
步，才能
达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。
区别：如果任何一
类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类
与类之间是相互独
立的，即“分类完成”；如果只有当
n
个步骤都做完，这件事才能
完成，则选用分步计数原
理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。
二、排列与组合： 1．
排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中
取出
n
个元素的问题；
区别：前者有顺序，后者无顺序。
?
m
2．
排列数的公式：
A
n
? n(n ? 1)(n ?
2)
(n ? m ? 1) ??
n!
(m ? n)
(n
? m)!
注意：全排列：
A? n!
；
n
n
组合数的公式：
C?
n
m
n!
n(n
?1)(n ? 2)(n ? m ? 1) ?
?
m!(n ? m)!
(m
? n)
A
?
m!
m
m
m
A
n
组合数的性质：
m n?m
①
C
n
? C
n
②
C ? C
n
m
n?1
m
m?1
? C
n?1
3．
排列、组合的应用：
解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还
是需要分步
切记 ：排组分清(有序排列、无序组合)，分类分步明确
解排列组合的应用题，通常有以下途径：
①以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素——特殊元素优先法
②以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置——特殊位置优先法
③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减不合要求的排列数或组合 数——
间接法
4．
对解组合问题，应注意以下三点：
①对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法。
②是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”。
③命题设计“分组方案”是解组合题的关键所在。
5．
解排列、组合题的基本策略与方法：
①整体排除法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
②分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。
这是解排列组合问题的基本策略之。注意的是：分类不重复不遗漏。即：每
两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。
③分步处理：与
分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分
步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原
则是先分类，后分步。
④插入法（插空法）：某些元素不能相邻采用插入法。即先安排好没有限制条件的元素，
然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。
⑤“捆绑”法：要求某些元素相邻，把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素，然
后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置
上全排列，即是“捆绑法”。
【概率 知识梳理】
一、随机事件的概率
1、事件
(1)．在条件 S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件 S 的必然事件．
(2)．在
条件 S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件 S 的不可能事件．
(3)．在条件
S 下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件 S 的随机事件．
2、概率和频率
(1)．用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据．
(2)．在
相同条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件
A
n
A
出现的次数 n 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 f
(A)
＝
为事件 A 出现的频率．
A n
n
(3)．对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率
f
n
(A)随着试验次数的增加稳定于
概率 P(A)，因此可以用频率
f
n
(A)来估计概率 P(A)．
3、事件的关系与运算
文字表示
如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件
包含关系
B 包含事件
A(或称事件 A 包含于事件 B)
相等关系
若 B?A，且 A?B，那么称事件 A
与事件 B 相等
并事件(和事 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，
件) 则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)
交事件(积事
若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，
则称此事件为事件 A 与事件 B
的交事件(或积事件)
件)
符号表示
B?A(或 A?B)
A＝B
A∪B(或 A＋B)
A∩B(或 AB)
A∩B＝?
互斥事件
对立事件
若 A∩B 为不可能事件，则事件 A 与事件 B 互斥
若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，那么称
事件 A 与事件 B
互为对立事件
4、概率的几个基本性质
(1)．概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)．必然事件的概率 P(E)＝1.
(3)．不可能事件的概率 P(F)＝0.
(4)．概率的加法公式：如果事件 A 与事件 B 互斥，则
P(A∪B)＝P(A)＋
P(B)． (5)．对立事件的概率：
若事件 A 与事件 B
互为对立事件，则 A∪B 为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．
二、古典概型
1、基本事件的特点
（1）．任何两个基本事件是互斥的．
（2）．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2、古典概型的两个特点
（1）．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
（2）．每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性．
[提示]
确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：有限性和等可能性．
A包含的基本事件的个数
3、
古典概型的概率公式
:P(A)＝
.
基本事件的总数
三、几何概型
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的
概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
2．几何概型的概率公式
?
P(A)＝
试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?
.
?
构成事件A的区域长度?面积或体积?
【离散型随机变量的概率分布 知识梳理】
1．离散型随机变量的相关概念
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变
量随机变量常用字母
X
、
Y
、
?
、
?
等表示；
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机
变量叫做离散型随机变量。若
?
是随机变量，
?
? a
?
? b
（
a
、
b
是常数），则
?
也是随机
变量。
（3）离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量
X
可能取的值为
x
1
、x
2
??? x
i
???
，
X
取
x
i
?
i ? 1,
2,???
?
每一个值 的概率为
P
?
X ? x
i
?
? p
i
，则称表
?
?
P
x
1
p
1
x
2
p
2
…
…
x
i
p
i
…
…
为随机变量
X
的概率分布，简称
X
的分布列。
（4）离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
(2) P
1
? P
2
?? 1
0 1
2．两点分布：
若随机变量 X 的分布列为:
X
P 1 ? P P
则称随机变量
X
服从两点分布. 而称 p ?
P
?
X ? 1
?
为成功概率.
3．超几何分布
：
一般地，在含有
M
件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有
X
件次品，则
k n?k
C
M
C
?M
P( X ? k ) ?
n
N
, k
? 0,1,???m, m ? min{M , n}, 其中, n ? N , M ? N.
C
N
即
m
X
0 1
L
P
0
M
?0
N ?M
C
C
n
N
C
n
(1) p
i
? 0，i ? 1, 2,??? ；
1
C
η－
1
C
M N
L
C
η－
L
－ M－ M
C
M N
1 L
C
N
C
N
m n?m
?M
C
M
C
N
N
C
n
若随机变量
X
的分布列如上表，则称随机变量
X
服从超几何分布.
4．条件概率：对任意事件
A
和事件
B
，在已知事件
A
发生的条件下事件
B
发生的概率，叫做条件概率。
记作
PB A
，读作
A
发生的条件下
B
发生的概率。
n
?
AB
?
P
?
AB
?
条件概率计算公式
PB A? ?
?
??
??
性质：（1）
0 ? PB A? 1
（2）若
B
与
C
为互斥事件，则
P B U C
A? P B A? P C A
5．相互独立事件
定义：事件
A
(或
B
)是否发生对事件
B
(或
A
)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件
??
n
?
A
?
P
?
A
??
? ?
? ? ??
?
注：（1）互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件
的发生与否
对另一事件发生的概率没影响.
（2）如果
A
、
B
是相互独立事件，则
A
与
B
、
A
与
B
、
A
与
B
也都相互独立.
（3）两个相互独立事件
A
、
B
同时发生的概率
P
?
AB
?
?
P
?
A
?
P
?
B
??
(此公式可推广到多
个相互独立事件)
6．独立重复试验及二项分布
定义：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在
n
次独立重复试验中这个事件发
生的次数
X
是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是
p
，那么在
n
次独立
重 复 试 验 中 这 个 事 件 恰 好 发 生
k
次
的 概 率 是
P( X ? k ) ? C
k k n?k
n
pq
，
(k ? 0,1, 2,L , q ? 1 ? p)
于是得到随机变量
X
的概率分布如下：
X
0
1
…
k
…
n
P
C
0
n
p
0
q
n
C
1
p
1
q
n?1
n
…
C
k k
n?k
n
pq
…
C
n
n
p
n
q
0
由于
k k n?k
n 0 0
n
1 1 n?1 k k n?k n n 0
C
n
p q
恰好是二项式展开式：
(p?q) ?C
n
p q
?C
n
pq ?L ?C
n
p q ?L ?C
n
p q
中
的各项的值，所以称这样的随机变量
X
服从二项分布，记作X～B（n,p）.
7．期望与方差
数学期望:
一般地，若离散型随机变量
X
的概率分布为
X
x
1
x
2
…
x
n
…
P
p
1
p
2
…
p
n
…
则称
E
?
X
?
?
x
1
p
1
? x
2
p
2
?
…
? x
n
p
n
?
… 为
X
的数学期望，简称期望
n
2
称
D
?
X
?
?
?
?
x
i
? E
?
x
?
?
?
p
i
为
X
的方差；
i?1
意义：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平；
了
x
i
相对于均值
E
?
x
?
的偏离程度
注．（1）若
Y ? aX ? b
，则
E
?
Y
?
? aE
?
X
?
? b
（2）若
X
服从两点分布，则
E
?
X
?
? p
，
D
?
X
?
? p
?
1? p
??
（3）若
X 口
B
?
n, p
?
，则
E
?
X
?
? np
，
D
?
X
?
?
np
?
1? p
??
方差描述
平面向量
1、概念
（1）向量：既有大小，又有方向的量．
（2）单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,
但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有零向量)
④三点 A、B、C 共线
数量：只有大小，没有方向的
量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
AB、AC
共线（或
AB ?
?
AC
）
（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量．
（5）相反向量：长度相等方向相反的向量。a
的相反向量是
-a
（6）向量表示：几何表示法a 表示；坐标表示：a＝
ｘｉ
＋
ｙ
j
＝（
ｘ
，
ｙ
）.
AB
；字母
（7）向量的模：设
OA ? a
，则有向线段
OA
的长度叫做向量
a
的长度或模，记作：
| a|
.
2
2 2 2
2 2
（
| a |??
x? y
, a ?| a | ? x ? y
。）
（8）零向量：长度为
0
的向量。a＝O
?
｜a｜＝O.
2、向量加法运算：
（1）三角形法则的特点：首尾相连．
（2）平行四边形法则的特点：共起点．
C
a
b
?
??
??
（3）三角形不等式：
a? b
? a
? b
? a
?
b
．
（4）运算性质：①交换律：
a ? b ? b ? a
；②结合律：
a ? b ? c ? a ? b ? c
；
③
a ? 0 ? 0 ? a ? a
．
（5）坐标运算：设
a ?
?
x
1
, y
1
?
，
b ?
?
x
2
, y
2
?
，则
a ? b ?
?
x
1
? x
2
, y
1
?
y
2
?
．
a ? b ? ?C ? ?? ? ?C
?? ??
3、向量减法运算：
（1）三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
（2）坐标运算：设
a ?
?
x
1
, y
1
?
，
b ?
?
x
2
, y
2
?
，则
a ? b ?
?
x
1
?
x
2
, y
1
? y
2
?
．
设
?
两点的坐标分别为
?? ?
?
x
1
? x
2
, y
1
? y
2
?
．
?
、
?
x
1
,
y
1
?
，
?
x
2
, y
2
?
，则
平面向量的数量积
4、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
?
a?
?
a
；
②当
?
? 0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；
当
?
? 0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；当
?
? 0
时，
?
a ? 0
．
?
?
?
a?
??
a
⑵运算律：①
?
a ? b ?
?
a ?
?
b
．
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
；③
? ??
；②
a?
?
x, y
?
，则
?
a?
?
?
x, y
?
?
?
?
x,
?
y
?
．
⑶坐标运算：设
5、向量共线定理：向量
aa ? 0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b ?
?
a
．设
2
a ?
?
x
1
, y
1
?
，
b ?
?
x
2
, y
2
?
，（
b ? 0
）
? (a ? b)
2
? (| a || b |)
。
a ?
b ? a ? b ? 0 ?| a ? b |?| a ? b |
? x
1
x
2
? y
1
y
2
? 0 .
6、向量垂直：
7、平面向量的数量积：
⑴
a ? b ? a b
cos
?
a ? 0, b ? 0, 0?
?
?
180
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a ? b ? a ?b ?
0
．②当
a
与
b
同向时，
a ? b ? a
b
；
2
2
当
a
与
b
反向时，
a ? b
?
? a b
；
a? a? a ? a
或
a??
a
? a
．③
? b
a
? a b
．
⑶运算律：①
a ?b ? b ? a
；②
?
?
a
?
? b ?
?
a ? b
? a ?
?
b
；③
a ? b ? c ? a ? c ? b ? c
．
⑷坐标运算：设两个非零向量
a ? x, y
，
b ?
x
2
, y
2
?
，则
a ?b ? x
1
x
2
? y
1
y
2
．
2
2 2
?
1
1
?
2
?
2
a?
?
x, y
?
，则
a? x?
y
，或
a?
?
x? y
．
若
设
a ?
?
x
1
, y
1
?
，
b ?
?
x
2
, y
2
?
，则 a⊥b
?
a·b＝0
?
x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝0.
则 a∥b
?
a＝
λ
b(b
≠
0)
?
x
1
y
2
＝
x
2
y
1
.
??
??
??
?? ?? ??
设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x ,
y
?
，
b ?
?
x , y
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则
1 1 2 2
xx? yy
cos
?
??
a ?b
（注
| a ? b |?| a || b |
）
?
?
2
12
2
1
2
2
2
；
x
1
? y
1
x
2
? y
2
a
b
一轮复习——立体几何
第一讲：空间几何体的基本元素
★一、构成几何体的基本元素：点、线、面
1、棱和棱的公共点叫做顶点。
2、相邻两个面的公共边叫做的棱；。
3、围成几何体的各个几何图形所在平面叫做面；
4、从集合的角度解释点、线、面、体之间的相互关系。
点是元素，直线是点的
集合，平面是点的集合，直线是平面的子集。
注意：线有直线（段）和曲线
（段）之分，面有平面（部分）和曲面（部
分）之分。
★★二、平面
1、定义：平面是一个只描述而不定义的最基本的概念,它是从日常见到的具体的
平面抽象出来的理想化的模型.
2、平面的表示方法：
①图示法：用平行四边形或三角形表示平面
②符号法：用希腊字母α、卢、y…
来命名，还可以用平行四边形的顶点或对角线
的
字母来命名。
如：平面
α
，平面
卢
，平面
ABCD，平面 AC，平面 ABC 等。
4、点、直线、平面的特征及表示方法
点
直线
平面
特征 画法
只有位置，无大小
A
无粗细，直，无限延伸 A
A
处处平直、无厚度、无
限延展
D
α
表示
点 A
直线 AB 或直线
平面 ABCD 或平面
AC 或平面α
B
5、空间几何体的基本元素之间的关系：点构成线，线构成面
6、试从集合的角度分析空间中点、直线、平面的关系
位置关系 符号表示
点 P
在直线 AB 上
P∈AB
点 C 不在直线 AB 上
C?AB
点
M 在平面 AC 内
M∈平面 AC
点 A
1
不在平面 AC
内
A
1
?平面 AC
直线 AB 与 BC
交于——点 B AB∩BC=B
直线 AB 在平面 AC 内
AB? 平面 AC
直线 AA
1
不在平面 AC 内
AA
1
? 平面 AC
★★三、长方体中空间几何体基本元素之间的位置关系
1、点与直线位置关系
点在直线上
点在直线外
平行
2、直线与
直线位置关系
相交
（含垂直）
异面
平行
3、直线与平面位置关系
相交（含垂直）
在平面内
平行 相交（含垂直）
4、平面与平面位置关系
棱台、棱柱、棱锥的结构特征
★一、
多面体的相关概念
1、定义：由若干个
平面多边形
所围成的几何体.
2、相关概念：棱、面、顶点
3、多面体的分类：按围成多面体的面的个数分为
四面体、五面体、六面体等.
★二、
旋转体
1、定义：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体.
轴
顶点
面
2、轴：这条定直线.
★★三、棱柱、棱锥、棱台的结构特征
锥体、柱体、台体的表面积与体积
★一、柱体、锥体、台体的表面积
1、类比正方体、长方体的表面积——各个面的面积之和。
2、将柱体、锥体、台体各面展开，表面积也是各个面的面积之和。
正棱柱的侧面展开图 正棱锥的侧面展开图
正棱台的侧面展开图
多面体表面积：
侧面面积和＋底面面积之和
圆柱的侧面展开图是矩形 圆锥的侧面展开图是扇形 圆台的侧面展开图是扇环
2
2
3、旋转体的表面积——
圆台的表面积：
S
圆台表面
?
?
r
?
?
?
r ?
?
(r
?
? r)l
2
积
圆柱的表面积：S
圆柱表面积
? 圆锥的表面积：
S
圆锥表面积
?
?
?
rl
?
2
?
rl
2
?
r
?
r
★二、柱体、锥体、台体的体积
1、类比正（长）方体（棱柱）以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：
V =
S?
（S 为底面面积，h 为高）
．
2、一般棱柱体积也是：V =
S?（S为底面面积，h 为高）锥体的体积公式：
V ?
1
Sh
3、球的表面积：S= 4πγ
2
，球的体积 V=
πγ
3
2
4
3
3
3、根据台体的特点，台体的体积为两个棱锥体积之差。 同理圆台体积为两个圆
锥体积之差:
棱台体积：
V ? V
P? ABCD
?V
P?
A
?
B
?
C
?
D
?
?
1
(S
?
?
?
S
?
S
? S )h
3
1
22
圆台体积：V =
π（RH ?
γ?）(γ和R分别为上、下底面半径，? 和H分别
为
3
大小圆锥的高)
第二讲：空间中平行的判断、性质及其证明
“平行关系”常见证明方法
（一）直线与直线平行的证明
1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行
2)
利用三角形中位线性质
3) 利用空间平行线的传递性（即公理 4）：
a ∥ c
? a ∥ b
c
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
b ∥
4) 利用直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么
a
∥
?
a ?
?
?
? a ∥b
β
α
a
b
?
?
?
? b
这条直线和交线平行。
5)
利用平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
?
?
?
?
?
?
?
?
? a
??
? a b
?
?
?
?
?
b
?
??
?
6) 利用直线与平面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
a ?
?
?
b ?
?
?
a
? a ∥ b
b
?
?
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质：
在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
8)
利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点
（二）直线与平面平行的证明
1) 利用直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
a
?
?
?
b ?
?
?
a∥b
?
?a∥
?
?
?
?
a
b
2)
利用平面与平面平行的性质推论：
两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
a ?
?
?
?
∥
?
?
?
?
α
β
a
3)
利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点
（三）平面与平面平行的证明
常见证明方法：
1) 利用平面与平面平行的判定定理：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
a ?
?
?
b ?
?
?
a ∩ b ? P
a
?
?
b
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
b
a
P
2) 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等
3) 利用定义：两个平面没有公共点
第三讲：空间中垂直的判断、性质及其证明
“垂直关系”常见证明方法
（一）直线与直线垂直的证明
1)
利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。
2)
看夹角：两条共（异）面直线的夹角为 90°，则两直线互相垂直。
3)
利用直线与平面垂直的性质：
如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。
a ?
?
?
b ?
?
?
? b ?
a
α
b
a
4) 利用平面与平面垂直的性质推论：
如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两
条直线互相垂直。
?
?
?
?
?
?
?
?
l
β
? a ? b
l
α
b
a
?
?
?
b ?
?
a ? l
b ? l
a
5) 利用常用结论：
①
如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一
条直线也垂直于第三条直线。
c
a∥b
a ?c
?b?c
a
b
②
如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这
两条直线互相垂直。
a
?
?
?
b ∥
?
?
? a ? b
α
b
a
（二）直线与平面垂直的证明
1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等
2)
看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直
于此平面。
3) 利用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
a ?
?
?
b ?
?
?
a b ??
A
l ? a
l ? b
4) 利用平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
??
??
?
??
? l ?
?
?
??
??
?
l
b
?
?
A
a
?
?
?
?
?
?
?
?
l
a ?
?
?
a ? l
?
?
?
?
?
?
?
?
a
l
?
?
5) 利用常用结论：
①
一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
a ∥ b
b
?
?
?
?
? a ?
?
?
a
b
?
?
?
（三）平面与平面垂直的证明
②
两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个
?
∥
?
?
?
?
? a ?
?
?
平面。
a
a ?
?
?
?
?
1)
利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等
2)
看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是
直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。
3) 利用平面与平面垂直的判定定理
?
?
a
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
a ?
?
?
第四讲：空间
a ?
?
?
?
?
?
?
?
向量与立体几何
1.
空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：
（1）向量一般用有向线段表示
同向等长的有向线段表示同一或相等的
向量。
（2）向量具有平移不变性
2.
空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘
运算如下（如图）。
奎屯
王
新
敞
新
(a? b ) ? c? a? (b ? c)
⑵加法结合律：
?
(a ? b) ?
?
a
?
?
b
⑶数乘分配律：
运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则
3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量
a b
。 也叫做共线向量或平行向量， a平行于 b ，记作
（2）共线向量定理：空间任意两个向量 a、b （ b ≠ 0
），a b 存在实数 λ，
使 a＝λ
b
。
（3）三点共线：A、B、C 三点共线<=>
AB ?
?
AC
? a
a ?
b
??
b
运算律：⑴加法交换律：
OB ? OA ?
AB ? a ? b
;
BA ? OA?OB ? a ?b
;
OP ?
?
a(
?
? R)
x ? y ? 1)
<=>
OC
? xOA ?
yOB (其中
4. 共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
（2）共面向量定理：如果两个向量
a, b
不共线，
p
与向量
a, b
共面的条件
x, y
使
p
? xa ? yb
。
是存在实数
（3）四点共面：若 A、B、C、P 四点共面<=>
AP ? x AB
? y AC
x, y, z
，使
p ?
xa ? yb ? zc
。 存在一个唯一的有序实数组
a,b,c
不共面，
, c}
叫做空间的一个基底，
a, b , c
若三向量 我们把
{a, b
叫
a, b , c
不共面，5.
空间向量基本定理：如果三个向量 那么对空间任一向量
p
，
<=>
OP ? xOA ? yOB ? zOC
(其中x ? y ? z ? 1)
做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设
O,
A, B, C
是不共面的四点，则对空间任一点
P
，都存
x, y, z
，使 在唯一的三个有序实数
OP ? xOA ? yOB ?
zOC
。
6. 空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为
1
，这个基底叫单位正
a ? xi ? y j ? zk
=（x,y,z） 交基底，用
{i, j
,
k
}
表示。空间中任一向量
（3）空间向量的直角坐标运算律：
b ?
(b
1
,b
2
,b
3
)
，则加、减、数乘、平行、垂直
a ? (a
1
,
a
2
, a
3
)
， ①若
A(x
1
, y
1
, z
1
)
，
AB ? (x
2
? x
1
, y
2
?
y
1
, z
2
? z
1
)
。 ②若
B(x
2
, y
2
, z
2
)
，则
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐
标减去起点的坐标。
A(x
1
, y
1
,z
1
)
，
B(x
2
, y
2
, z
2
)
， ③
定比分点公式：若 AP?
?
PB，则点 P、坐标
x
?
x
?
y
?
z
2
)
1
?
2
y
1
?
2
z
1
?
x
1
? x
2
y
1
? y
2
z
1
? z
2
( , ,
P( , , )
为 。P 为 AB 中点时，
1?
?
?
1?
?
?
1?
?
?
2
2 2
2 2 2
? a ? a
| a |?
a ? a
?
a
（4）模长公式：若 a
?(a
1
,a
2
,a
3
)，b ?
(b
1
,b
2
,b
3
) ，则
1 2 3
，
a ? b
a
1
b
1
? a
2
b
2
? a
3
b
3
?
。
cos
a ? b
?
（5）夹角公式：
2 2 2 2
| a | ? | b |
a ?
a
2 2
b ? b ? b
1 2
? a
3 1 2 3
ΔABC 中① AB ? AC ? 0 <=>A 为锐角② AB ?
AC ? 0 <=>A 为钝角，钝角Δ
（6）两点间的距离公式：若
A(x
1
, y
1
, z
1
) ， B(x
2
, y
2
, z
2
) ，
2
AB
2 2 2
(x ? x )? ( y ? y
)? (z ? z )
2 1 2 1 2 1
则
|
AB |? ?
，
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量
a, b
，在空间任取一点O
，作
,b 0 ?? a??
?
，
，则?AOB叫做向量a与b 的夹角，记作
；且规定
OA ? a,OB ? b
? a, b
??
显然有
? a, b ??? b , a ?
；若
? a, b ??
?
，则称a与b 互相垂直，记作：a ? b 。
2
（2）向量的模：设 OA ? a ，则有向线段 OA 的长度叫做向量
a的长度或模，
记作：
| a|
。
| a | ? | b | ?cos ? a, b ?
叫做 （3）向量的数量积：已知向量
a, b
，则
a, b
的
数量积，记作 a ? b ，即
a ? b ?
| a | ?| b |
?cos ? a,b ?
。
（4）空间向量数量积的性质：
7. 空间向量的数量积。
2
a?e?| a| cos ? a,e?
。②
a? b ? a?b ? 0
。③
| a|? a? a
。
①
（5）空间向量数量积运算律：
(
?
a)?
b ?
?
(a ?b) ?
a?b ? b ?a
（交换律）① 。
a ?(
?
b)
。②
a ?
(b ? c) ? a ? b ? a ? c
（分配律）③ 。
④不满足乘法结合率：
(a ? b)c ? a(b? c)
二．空间向量与立体几何
1．线线平行 ? 两线的方向向量平行
1-1
线面平行 ? 线的方向向量与面的法向量垂直
1-2 面面平行 ? 两面的法向量平行
2．线线垂直（共面与异面） ? 两线的方向向量垂直
2-1 线面垂直 ?
线与面的法向量平行
2-2 面面垂直 ? 两面的法向量垂直
3．线线夹角
?
（共面与异面）[0
O
,90
O
] ? 两线的方向向量
n
1
, n
2
的夹角或夹角的
补角，
cos
?
?
cos ? n1, n2 ?
?
?
O O
3-1
线面夹角
?
[0,90]：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量 AP 与面的
法向量 n 的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，
即是线面的夹角.
sin
?
? cos ? AP, n
??
?
O O
3-2 面面夹角（二面角）
?
[0,180]
：若两面的法向量一进一出，则二面角
n
1
, n
2
的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角
等于两法向量
的补角.
cos
?
? ?cos ? n
1
, n
2
??
?
P
?
x
0
, y
0
?
到平面
?
的距离：
Q
?
x, y
?
，
4．点面距离 h ：求点 在平面
?
上去一点
得向量 ； 计算平面
?
的法向量 n .
PQ ? n
PQ
;
h ??
n
4-1
线面距离（线面平行）：转化为点面距离
4-2 面面距离（面面平行）：转化为点面距离
第六讲：空间几何体的三视图和直观图
★一、圆柱、圆锥、圆台和球体
类比上讲的棱柱，可以相似的得到各种棱锥的图
形与性质（旋转方向左右均可）
★★★三、三视图
1、光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，叫
做几何体的正视图；
2、光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图，叫做几何体的侧视图；
3、光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图，叫做几何体的俯视图；
4、几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图.
一个几何体的正视图和侧视图的高度一样，俯视图和正视图的的长度一样，侧视
图和俯视图的宽度一样．
旋转体的正侧视图一样，如图，圆柱的正视图和侧视图都是长方形，俯视图是圆。
长对正，高平齐，宽相等；正俯等长,正侧等高, 侧俯等宽.
能看见的轮廓线和
棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示（如下图）.
正四面体（正三棱锥）的三视图
★★四、直观图
空间几何体的直观图常用
(1)画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的
x
轴、
y
轴，两轴相交于点
O
，画直观图时，把它们
画成对应的
x
′轴、
y
′轴，两轴相 交于点
O′，且使∠
x′O′y
′＝
画法来画，基本步骤是：
，已知图形中平行于
x
轴、
y
轴的线段，在直观图中平行于
x
′轴、
，平行
y
′轴．已知图形中平行于
x
轴的线段，在直观图中长度
于
y
轴的线段，长度变为
(2)画几何体的高
在已知图形中过
O
点作
z
轴垂直于
xOy
平面，在直观图中对应的
z
′轴，
也垂直于
x
′
O
′
y
′平面，已知图
形中平行于
z
轴的线段，在直观图
中仍平行于
z
′轴且长度 ．
【课后小结】：1、投影；2、三视图之间的投影规律；3、画几何体的三视图；4、
画几何体的直观图
等差数列概念与性质
一、等差数列的有关概念：
★★
1 、 等 差 数
列 的 判 断 方 法 ： 定 义 法
a
n?1
? a
n
? d
(d
为常数
）
或
a
n?1
? a
n
? a
n
? a
n?1
(n ? 2)
。
★★
2、等差数列的通项：
a ? a ? (n ?1)d
或
a ? a ? (n ? m)d
。
n 1 n m
n(n ? 1)
★★★
3、等差数列的前
n
和：
S
n
?
n(a
1
? a
n
)
，
S
? na
1
? d
。
n
2
2
a ? b
★★
4、等差中项：若
a, A, b
成等差数列，则 A 叫做
a
与
b
的等差中项，且
A ?
。
2
提醒：（1）等差数列的通项公式及前
n
和公式中，涉及到 5
个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a
1
、
d
称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意
3 个，便可求出其余 2 个，
即知 3 求
2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
a ? 2d , a
? d , a, a ? d , a ? 2d
… （ 公 差 为
d
）； 偶 数 个 数 成 等 差 ， 可 设 为 … ，
a ? 3d , a ?
d , a ? d , a ? 3d
,…（公差为 2
d
）
★★★
5、等差数列的性质：
（1）当公差
d ? 0
时，等差数列的通项公式
n
的一
a
n
?
a
1
? (n ?1)d ? dn ? a
1
? d
是关于
次函数，且斜率为公差
d
；前
n
和
S
? na
n 1
?
n(n
?1)
2
函数且常数项为 0.
（2）若公差
d ? 0
，则为递增等差数列，若公差
d ? 0
，则为递减等差数列，若公差
d ? 0
，
则为常数列。
（3）当
m ? n ? p
? q
时,则有
a
m
? a
n
?
a
p
? a
q
，特别地，当
m ? n ? 2 p
时，则有
d
d
2
? )n
是关于
n
的二次
d ? n? (a
1
2 2
a
m
? a
n
? 2a
p
.
（4）若
{a
n
}
、
{b
n
}
是等差数列，则
{ka
n
}
、
{ka
n
? pb
n
}
(
k
、
p
是非零常数)、
a
{a
p?nq
}( p, q ? N
*
)
、
S
n
, S
2n
? S
n
, S
3n
? S
2n
，…也成等差数列，而
{a
n
}
成等比数列；若
{a
n
}
是等比数列，且
a
n
? 0
，则
{lg a
n
}
是等差数列.
（5）在等差数列
{a
n
}
中，当项数为偶数
2n
时，
S
偶
－S
奇
? nd
；项数为奇数
2n ?1
时，
S
奇
? S
偶
?
a
中
，
S
2n?1
? (2n ?1) ? a
中
（这里
a
中
即
a
n
）；
S
奇
：S
偶
? n :
?
n
-1
?
。
A
n
n
和分别为
※（6）若等差数列
{a
n
}
、
{b
n
}
的前
A
n
、
B
n
，且
B
??
f (n)
，则
n
?
a
n
(2n ?1)a
n
?
A
2n?1
?
?
f (2n ?1)
.
?
b
n
(2n ?1)b
n
B
2n?1
(7)“首正”的递减等差数列中，前
n
项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差
n
数列中，前
n
项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组
?
?
? 0 ?
??
a ? 0
?
?
a
n
?
或
?
确
?
? ?
?
a
n ? 1
?
0
??
?
a
n ? 1
? 0
??
?
定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前
n
项是关于
n
的二次函数，故可转化
为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性
n ? N
。上述两种方法是运用了哪种数学思
*
想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
※(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，
且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项
数不一定相同，即研究
a
n
? b
m
.
等比数列等差数列概念与性质
【知识讲解】
★★
1、等比数列的定义：
a
n
? q
?
q ? 0
?
n ? 2,且n ? N
*
?
，
q
称为公比比
?
a
n?1
★★★
2、通项公式：
a
a ? a q
n?1
?
1
q
n
? A ? B
n
?
a ? q
? 0, A ? B ? 0
?
，首项：
a
；公比：
q
n 1
q
1 1
推广：
a
? a q
n?m
? q
n?m
?
a
n
? q ?
n?m
n m
a
n
a
m
a
m
2
★★★
3、等比中项：
（1）如果
a, A, b
成等比数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项，即：
A? ab
或
A ? ??
ab
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项
互为相反数）
2
（2）数列
?
a
n
?
是等比数列
? a
n
? a
n?1
? a
n?1
★★★
4、等比数列的前
n
项和
S
n
公式：
（1）当
q ? 1
时，
S
n
? na
1
n
?
?
a ? a q
a
1
?
1? q
（2）当
q ? 1
时，
S
n
??
1 n
?
1? q
1? q
a
1
a
1
q
n
? A ? A ? B
n
? A ' B
n
? A
'
（
A, B, A ', B '
为常数）
? ?
1? q 1? q
★★★
5、等比数列的判定方法：
（1）用定义：对任意的
n
，都有
a
或
n?1
? qa
n
等比数列
（2）等比中项：
a
2
? a a
(a a
n n?1 n?1
a
n?1
? q(q为常数，a
n
? 0) ? {a
n
}
为
a
n
（3）通项公式：
a
n
? A? B
?
A? B ? 0
?
? {a
n
}
为等比数列
★★★
6、等比数列的证明方法：
n
n?1 n?1
? 0) ? {a }
为等比数列
n
依据定义：若
a
n
? q q ? 0
? ?
?
n ? 2,且n ? N
*
?
或
? qa
? {a }
为等比数列
a
n?1 n n
a
n?1
★★★
7、等比数列的性质：
（1）当
q
? 1
时
n?1
①等比数列通项公式
a
?
a q?
n 1
a
1
n
q? A ? B
n
?
A ? B ? 0
?
是关于
n
的带有系数的类
q
指数函数，底数为公比
q
；
②前
n
项和
S ??
n
a
1
?
1? q
n
1? q
?
a ? a q
n
a a
n n n
1 1 1
1
q ? A ? A? B ? A ' B ? A'
，系
? ?
1? q 1? q 1? q
n?m
数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比
q
。
（2）对任何
m, n ? N
，在等比数列
{a
中，有
a
n
}
n
? a q
m
*
，特别的，当
m ? 1
时，便得
到等比数列的通项公式。因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
（3）若
m ? n ? s ? t(m, n, s, t ? N
*
)
，则
a ? a ? a ? a
。特别的，当
m
? n ? 2k
时，得
n m s t
a
n
? a
m
? a
k
2
?
注：
a
1
? a
n
? a
2
?
a
n?1
? a
3
a
n?2
? ?
??
（4）数列
{a
n
}
，
{b
n
}
为等比数列，则数列
{ }
，
{k ? a
n
}
，
{a
n
}
，
{k ? a
n
? b
n
}
，
{
k
k
a
n
b
n
}
（
k
a
n
为非零常数）均为等比数列。
（5）数列
{a
n
}
为等比数列，每隔
k (k ?
N
*
)
项取出一项
(a
m
, a
m?k
, a
m?2k
, a
m?3k
,? ? ?)
仍为等
比数列
（6）如果
{a
n
}
是各项均为正数的等比数列，则数列
{log
a
a
n
}
是等差数列
（7）若
{a
n
}
为等比数列，则数列
S
n
，
S
2n
?
S
n
，
S
3n
? S
2n
,? ? ?
，成等比数列
（8）若
{a
n
}
为等比数列，则数列
a
1
? a
2
?? ?
?? a
n
，
a
n?1
? a
n?2
? ?
?? ? a
2n
，
a
2n?1
? a
2n?2
? ? ?? ? ?a
3n
成
等比数列
（9）①当
q ? 1
时，
a ?0，则{a }为递减数列
1 n
{
a
1
?0，则{a
n
}为递增数列
a
1
?0，则{a
n
}为递减数列
②当
0时，
a
1
?0，则{a
n
}为递增数列
{
③当
q ? 1
时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；
④当
q ? 0
时,该数列为摆动数列.
S
奇
1
)
时，
?
（10）在等比数列
{a
n
}
中，当项数为
2n(n ? N
S
偶
q
*
导数
【知识点 1】导数的定义
1． 导数的概念
?
?y
?x
设函数
y ??
f (x)
在
x ? x
0
附近有定义，如果
?x ? 0
时，
?y
与
?x
的比
的平均变化率）有极限，即
?y
?x
（也叫函数
无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数
y ? f (x)
在
x ? x
0
处的导数，记作
f '(x
0
)
或
y '
x? x
.
0
?y
f (x
0
?
?x) ? f (x
0
)
? lim
f (x) ? f
(x
0
)
即
f '(x )
=
?
lim
??
0
?
? lim
??
.
2. 导数的物理意义：瞬时速度
?
?x?0
x
?x?0
x
x? x
0
x x
0
S ? S
?
t
?
.
在 设
t ? 0
时刻一车从某点出发，在
t
时刻车走了一定的距离
t
0
~ t
1
时刻，车
走了
S (t
1
) ? S
(t
0
)
，这一段时间里车的平均速度为
S (t
1
) ? S (t
0
)
t
1
?
t
0
t
1
?t
0
，当
t
1
与
t
0
很接近时，该平
均速度近似于
t
0
时刻的瞬时速度.若令
t
1
?
t
0
，则可以认为
lim ??
是
t
0
时刻的瞬时速度.
S (t
1
) ? S (t
0
)
t
1
? t
0
，即
S '(t
0
)
就
3.
思路提示：利用导数的定义，经过合理的添项、拆项与调配系数，凑成导数的极限定义
的等价形式.
【知识点 2】求函数的导数
1. 导数的运算的法则（和、差、积、商）
设
u ? u(x)
，
v ? v(x)
均可导，则
⑴
(u ? v) ' ? u '? v '
；⑵
(uv) ' ?
u ' v ? uv '
；⑶
() ' ?
u
v
u '
v ? uv '
(v ? 0)
2
v
2. 基本导数表
⑴
C ' ? 0(C
为常数）；⑵
(x) ' ?
nx
n n?1
(n ? Q)
；⑶
(a
x
) ' ? a
x
ln a
；⑷
(e
x
) ' ? e
x
；
⑸
(log x) ' ?
a
1
x ln a
；⑹
(ln x) ' ?
；⑺
(sin x) ' ? cos x
；⑻
(cos x) '
? ?sin x
；
1
x
3.
思路提示：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基
本函数的形式，以免求导过程中出现指数或系数的失误.
【知识点
3】复合函数求导
复 合 函 数
导 数 之 间 具 有 关 系
的 导 数 与 函 数
y ??f (u)
，
y ??
f
(u)
的
y '
x
? y '
u
? u
'
x
，该关系用语言表述就是“
y
对
x
的导数等于
y
对
u
的导数与
u
对
x
的导数的
乘积”，也就是先把
g ( x)
当做一个整体，把
y ? f [g (x)]
对
g (x)
求导，再把
g (x)
对
x
求导，
这二者的乘积就是复合函数
y ? f [g (x)]
对
x
的导数
【知识点 4】导数的几何意义
x
0
处的导数
f '(x
0
)
，表示曲线
y
??
f (x)
在点
函数
y ??
f (x)
在
P
?
x
0
, f (x
0
)
?
处的切线
如图
3-1
所示，过点
P
的切线方程为
y ? y
0
f '(x
0
)(x
? x
0
)
.
PT
的斜率，即
tan
?
??
f '(x
0
)
，
??
同样可以定义曲线
y ??
f (x)
在
x ? x
0
的
P
?
x
0
,
f (x
0
)
?
与曲线
x
0
的法线为过点
y ?
?
f (x)
在
切线垂直的直线.过点
P
的法线方程为
y ? y
0
? ?
【知识点 5】导数的应用
1.函数的单调性与导数
(x ? x
0
)( f '(x
0
) ? 0).
f '(x
0
)
1
（1）设函数
y ??
f (x)
在某个区间（a，b）可导，如果
f
'
(x)
? 0
，则
f (x)
在此区间上为
增函数；如果
f
(x) ? 0
，则
f (x)
在此区间上为减函数。
（2）如果在某区间内恒有
f
(x) ? 0
，则
f (x)
为常数。 2．极
点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜
率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
3．最值：
在区间[a，b]上连续的函数 f
(x)
在[a，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内
连续函数
f（x）不一定有最大值，例如
f (x) ? x, x ?(?1,1)
。
3
'
'
求最值步骤：
①求函数?
(x)
在(a，b)内的极值；②求函数?
(x)
在区间端点的值?(a)、?(b)；
③将函数?
(x)
的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的
是 最小值。
说明：
（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整
个区间上所有函
数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。
（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极
值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间
内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成
为最值，最值只要不在端点处必定是极值。
线性规划及基本不等式
【知识梳理】
1、解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们
的公共
部分（交集），就得到不等式组的解集．
2、由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解
集的四种情况如下表．
不等式组
（其中 a
x ? a
?
x ? b
??
图示 解集
x≥b
口诀
同大取大
同小取小
?
x ? a
?
x ? b
??
x≤a
?
x ?
a
?
x ? b
??
?
x ? a
?
x ? b
??
a≤x≤b
大小、小大中间找
空集 小小、大大找不到
解一元二次不等式的步骤是：
（1）把不等式化成 a＞0 的形式。（2）判定△与 0
的关系。
（3）求出相应方程的根。（4）根据函数图象写出不等式的解集。
? ? 0
y ? ax
2
?
bx ? c
? ? 0
y ? ax
2
? bx ?
c
? ? 0
y ? ax
2
? bx ? c
二次函数
y ? ax
2
? bx ? c
的图象
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