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第一章 集合与函数概念
一、集合
1、集合的含义与表示
一般 地，我们把研究对象统称为元素。把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。通
常用大写字母A，B ，C，D，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示元素。
2.集合中元素的特征
⑴确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何
一个元素在不在这 个集合中就确定了。如，“中国的直辖市”构成一个集合，北京、上海、天
津、重庆在这个集合中，杭州 、南京、广州……不在这个集合中。“身材较高的人”不能构成
集合；因为组成它的元素是不确定的。
⑵互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的(或说是互异的)，即，集合中的元素是
不重复 出现的。相同元素、重复元素，不论多少，只能算作该集合的一个元素。
⑶无序性：不考虑元素之间的顺序只要元素完全相同，就认为是同一个集合。
3、集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
4、元素与集合的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，
就说a 不属于集合A，记作a
?
A。
5、常见的数集及记法
全体非负整数组成的 集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；所有正整数组成的集
合称为正整数集（在自然数集中排除 0的集合），记N
*
或N
+
；全体整数组成的集合称为整数
集，记Z ；全体有理数组成的集合称为有理数集，记Q；全体实数组成的集合称为实数集，
记R。

1

拓展与提示：⑴无序性常常作为计算时验证的重要依据。 ⑵注意N与N
*
的区别。N
*
为正整数集，而N为非负整数集，即0∈N 但0
?
N
*
。


⑶集合的分类 按元素个数
?
?有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集

无限集：含有无 限个元素的集合叫做无限集
?
按元素的特征可分为：数集，点集，形集等等。
特别地，至少有一个元素的集合叫做非空集合；不含有任何元素的集合叫做空集（
?
），只 含有

一个元素的集合叫做单元素集。


,求x,y的值

例 已知
P
?
?
x,y,1?
,Q
?
?
x
2
,xy,x
?
,且P
?
Q　
?
y?xy,
?
y?x
2
,
解析
由
?
①
或
?
2
②
?
xy?1,
?
x?1,
解①得x=y=1这与集合中元素的互异性相矛盾。
解②得x= -1或1(舍去)
这时y=0
∴x= -1，y=0
6、集合的表示方法
⑴列举法：把集 合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“
??
”括起来表示集合的方
法叫做列举法 。适用条件：有限集或有规律的无限集，形式：
?
a
1
,a
2
,a
3
,?，a
n
?

⑵描述法：用集合所含元素的共同 特征表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在花
括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值( 或变化)范围；再画一条竖线，在竖线后
写出这个集合中元素所具有的共同特征。适用条件：一般适合于 无限集，有时也可以是有限
集。形式：
?
x?Dp(x)
?
，其中x 为元素，p(x)表示特征。

拓展与提示：如果集合中的元素的范围已经很明确，那么x∈ D可以省略，只写其元素x，如
?
x?Rx?10
?


2

(3)韦恩图法：把集合中的元素写在一条封闭曲线(圆、椭圆、矩形等)内。
例 用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集：
⑴由所有非负奇数组成的集合；
⑵平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；
⑶方程x
2
+x+1=0的实数根组成的集合。
解：⑴由所有非负奇数组成 的集合可表示为：
A?
?
xx?2n?1,n?N
?
，无限集。 < br>⑵平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合为：
C?
?
(x,y)x?0 且y?0
?
，无限集。
⑶方程x
2
+x+1=0的判别式的Δ<0 ，故无实数，方程x
2
+x+1=0的实根组成的集合是空
集
?
。
7、集合的基本关系
⑴子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个无素都是 集合B中的元
素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作
A?B(或 B?A)
，读
作“A含于B”(或“B包含A”)。可简述为：若
x?A?x?B，则集合A是集合B的子集。
⑵集合相等：如果集合A是集合B的子集
(A?B )
，且集合B是集合A的子集
(B?A)
，
此时，集合A与集合B中的元素是 一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B。
数学表述法可描述为：对于集合A、B，若
A?B
，且
B?A
，则集合A、B相等。
⑶真子集：如果集合
A ?B
，但存在元素
x?B
，且
x?A
，我们称集合A是集合B的真< br>子集，记作
A?
(???)
或说：若集合
A?B
，且A≠B， 则集合A是集合B的真子集。
⑷空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为
?
，并规 定：空集是任何集合的子集，是
任何非空集合的真子集。

拓展与提示：(1)

?
?A,A?A
。(2)
?

?
B(其中B为非空集合)(3)对于集合A，B，C，若



A?B,B?C,则A?C
。(4)对于集合A，B，C，若
A 豣?
，
??
C则
A豣
C
(5)对于集合A，B，
若
A?B且B?A,则A?B
。(6)含n元素的集合的全部子集个数为2
n
个 ，真子集有2
n
-1个，非空子
3
a?A
不同，前者为包含关系，后者为属于关系。
集有2
n
-1个 ，非空真子集有2
n
-2个。
(7)
?
a
?
?A与

8、集合间的基本运算
⑴并集：一般地，由 所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的
?
x
?

B?B?A
;
??
A
x
?
?
?
A
A
,或x?B
并集，记作A
、
并B”
(1)
)， 即
AUB
(读作“
A拓展与提示：对于任意集合B，有
A?
AA?
B
A,?;
(2)
A?
⑵交集：一般地，由属于集合A且属 于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的
(3)
A?(A?B),B?(A?B)< br>;(4)
A?B?A?A?B
。
?
。
A?B
A?
,
?
x
?
x?,且x
(2)
?B
交 集，记作B”)，即
A?B
(读作“A
拓展与提示：对于任意集合A
交
、B，有(1)
A?A?A
?
A
?
?
;

A?

B?B?A
；
(3)
(A?B)?A,(A?B) ?B
；(4)
A?B?A?A?B
；(5)
(A?B)?(A?B)
。


⑶全集与补集
①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题 中所涉及的所有元素，那么就称这
个集合为全集，通常记作U。
②补集：对于一个集合A，由 全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A
相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记 作
?uA?
?
xx?U,且x?A
?
。
例 设集合A?
?
x
2
,2
x?
1,
?
4
?
,
B?
?
x?
5,1
?x
,9
?，若A∩B=
?
9
?
，求A∪B。
解析 由A∩B=
?
9
?
得，9∈A。
∴x
2
=9或2x-1=9
①由x
2
=9得，x=±3。 当x=3时，
A?
?
9,5,?4
?
,B?
?
?2 ,?2,9
?
，与元素的互异性矛盾。
当x=-3时，
A?
?9,?7,?4
?
,B?
?
?8,4,9
?
，此时，< br>A?B?
?
?8,?7,?4,4,9
?
.

②由2x-1=9得x=5.
当x=5时，
A?
?
25,9,?4
?
,B?
?
0,?4,9
?
，此时，
A?B??
?4,9
?
，与题设矛盾。
综上所述，
A?B?
?
?8,?7,?4,4,9
?
.


4

⑷集合中元素的个数：
在研究集合时，经常遇到有关集合元素的个数问题，我 们把含有限个元素的集合A叫做
有限集，用card来表示有限集合A中元素的个数。例如：
A ?
?
a,b,c
?
,则card(A)?3
.
一般地，对 任意两个有限集A，B，有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
当时仅当A∩B=
?
时，card(A∪B)=card(A)+card(B).
解与集合中元素个数有关的问题时，常用venn图。
例 学校先举办了一次田径运动会，某 班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这
个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人， 两次运动会中，这个班共有多少名同
学参赛？
田径运动会参赛的学生
?
，< br>B?
?
球类运动会参赛的学生
?
，那么 解：设
A?
?
A?B?
?
两次运动会都参赛学生
?
，A?B?
?
所有参赛的学生
?
，
Card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
=8+12-3=17
答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛
二、函数及其表示
1、函数的概念： 一般地，我们说：
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数
x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为集合A到集合B的一
个函数，记作
y?f(x),x?A

其中，x叫 做自变量，x的取值范围A叫函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函
数值，函数值的集合
?
f(x)x?A
?
叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集。
2、函数的三要素
⑴函数的三要素是指定义域、对应关系和值域。

5

⑵由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对< br>应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。
提示：⑴函数符号y=f(x)是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的。

(2)注意区别f(a)和f(x)，f(x)是指函数解析式，f(a)是指自变量为a时的函数值。

3、区间：
设a，b是两个实数，而且a⑴满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a,b］；
⑵满足不等式a⑶满足不等式a≤ x?
a,b
?
,
?
a,b
?
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
定义 名称
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
符号
［a，b］
(a，b)
数轴表示




?
x|a?x?b
?

?
x|a?x?b
?

?
x|a?x?b
?

?
x|a?x?b
?

?
a,b
?

?
a,b
?

实数集常用区间表示为
?
??，“∞”读作“无穷大”。“
??
”读作“负无穷大”，“+
??
?
，
∞”读作“正无穷大”
集合 符号 数轴表示




?
x|x?a
?

?
x|x?a
?

?
?
a,??
?

?
a,??
?

(??,b)

?
x|x?b
?

?
x|x?b
?



?
??，b
?

6

拓展与提示：(1)在数轴上，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表

示不包括在区间内的端点。
(2)求函数定义域，主要通过下列途径实现。

①若f(x)是整式，则定义域为R；
②若f(x)为分式，则定义域为使分母不为零的全体实数；

③若f(x)为偶次根式，则定义域为使被开方数为非负数的全体实数；
④若f(x)的定义域为［a,b］，则f［g(x)］的定义域是a≤g(x)≤b的解集；

⑤若f［g(x)］的定义域为［a，b］，则f(x)的定义域是g(x)在
x?
?
a,b
?
下的值域。




例1 求下列函数的定义域
y?x?1?
解：要使
y?x?1?
1

2?x
1
有意义，则必须
2?x
?
x?1?0
?
x??1
?
?
，即x≥-1且x≠2，
?
2?x?0x? 2
??
故所求函数的定义域为
?
x|x??1且x?2
?

例2 ⑴已知函数f(x)的定义域是［-1，3］，求f(x+1)和f(x
2
)的定义域
⑵已知函数f(2x+3)的定义域为
?
?1,2
?
，求f(x-1)的定 义域
解： ⑴∵f(x)的定义域为［-1，3］，
∴f(x+1)的定义域由-1≤x+1≤3确定，即-2≤x≤2，
∴f(x+1)的定义域为［-2，2］.
f(x
2
)的定义域由-1≤x
2
≤3确定，即
?3?x?3

∴f(x
2
)的定义域为[
?3，3
]
⑵∵函数f(2x+3)的定义域为
?
?1,2
?
，
∴2x+3中的x满足-1∴1<2x+3≤7.

7

令t=2x+3，则f(t)的定义域为
?
1,7
?
.
又1∴f(x-1)的定义域为
?
2,8
?

4、反函数 式子y=f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C，我们从式子y=f(x)
中解出x得到x=g(y)，如果对于y在C中的任何一个值通过式子x=g(y),x在A中都有唯一
确定的值和它对应，那么式子x=g(y)表示y是自变量x的函数，这样的函数x=g(y)叫做y=f(x )
的反函数，记作
x?f
?1
(
y
)
，一般写成< br>y?f
?1
(x)
.
拓展与提示：(1)函数y=f(x)的定义域和值域分别是它的反函数的值域和定义域；

(2)函数y=f(x)的图象和它的反函数
y?f
?1
(x)
的图 象关于直线y=x对称。


5、函数的三种表示法
解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。
列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

(1)函数用列表法表示 时，其定义域是表中自变量所取值的全体，其值域是表中对应函数
值的全体。

(2 )函数用图象法表示时，其定义域是图象投射到x轴上的区域范围，其值域是图象投射
到y轴上的区域范 围。


6、分段函数
若函数在定义域的不同子集上对应关系不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函

8

?
f
1
(x) x?D
1
?
f(x) x?D
?
2
数叫分段函数，它 是一类重要函数，形式是：
f(x)?
?
2

?
? ?
?
?
f
n
(x) x?D
n
分段函数是一 个函数，而不是几个函数，对于分段函数必须分段处理，其定义域为D
1
∪D
2
∪…∪D
n
.

拓展与提示：分段函数中，分段函数的定义域的交集为空集。

例 中国移动通信 已于2006年3月21日开始在所属18个省、市移动公司陆续推出“全
球通”移动电话资费“套餐” ，这个套餐的最大特点是针对不同用户采用了不同的收费方法，
具体方案如下：
方案代
号
1
2
3
4
5
免费时间(分
钟)
48
170
330
600
1000
超过免费时间话费(元分
钟)
0.60
0.60
0.50
0.45
0.40
基本月租(元)
30
98
168
268
388
请问：“套餐”中第3种收费方式 的月话费y与月通话量t(月通话量是指一个月内每次通
话用时之和)的函数关系式。
解：“套餐”中第3种收费函数为
?
168,0?t?330,

y
1
?
?
?
?
?
168?0.5(t?330), t?330.
7、复合函数
若y是u的函数，u又是x的函数，即y=f(u),u=g(x ),x∈(a,b),u∈(m,n)，那么y关于x

9

的函数y =f［g(x)］，x∈(a,b)叫做f和g的复合函数，u叫做中间变量，u的取值范围是g(x)
的值域。
8、映射
设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集 合A中的任何一
个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集 合A
到集合B的一个映射。

拓展与提示：(1)映射包括集合A、B以及从A到B 的对应法则f，三者缺一不可，且A、B
必须非空。

中的元素在B中都能找到唯一 的元素和它对应，(2)A而B中的元素却不一定在A中找到对
应元素，即使有，也不一定只有一个。


9、函数解析式的求法
⑴待定系数法。若已知函数类型，可设出所求函 数的解析式，然后利用已知条件列方程
或方程组，再求系数。
⑵换元法。若已知函数
y?f
?
?
(x)
?
的解析式，可令
t?
?
(x)
，并由此求出x=g(t)，然后代
入解析式求得y=f(t)的解析式，要注意t的 取值范围为所求函数的定义域。
⑶赋值法：可令解析式中的自变量等于某些特殊值求解。
⑷ 列方程(组)法求解。若所给式子中含有f(x)，
f
?
?
或f(x),f( -x)等形式，可考虑构造另
一个方程，通过解方程组获解。
⑸配凑法
例 解答下列各题：
⑴已知f(x)=x
2
-4x+3，求f(x+1)；
⑵已知f(x+1)=x
2
-2x，求f(x)；
?
1
?
?
x
?

10

< br>⑶已知二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5，图象过原点，求g(x)。
解： ⑴f(x+1)=(x+1)
2
-4(x+1)+3=x
2
-2x
⑵方法一：(配凑法)
f(x+1)=(x+1)
2
-2x-1-2x=( x+1)
2
-4x-1=(x+1)
2
-4(x+1)+3，
∴f(x)=x
2
-4x+3
方法二：(换元法)令x+1=t，则x=t-1，
f(t)=(t-1)
2
-2(t-1)=t
2
-4t+3，
∴f(x)=x
2
-4x+3.
⑶由题意设g(x)=ax
2
+bx+c，a≠0.
∵g(1)=1,g(-1)=4，且图象过原点，
?
a?3,
?
a?b?c?1,
?
?
∴
?
a?b?c?5,


解得

?
b??2,

?
c?0.
?
c?0.
?
?

∴g(x)=3x
2
-2x.
三、函数的基本性质
1、函数的单调性
⑴一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内 某个区间D上的任意两个自变量的值x
1
,x
2
，当x
1
< x
2
时，都有
f(x
1
)2
)，那么就说 函数f(x)在区间D上是增函数，如图⑴所示。
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
的值x
1
,x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)>f(x
2
)，那么就说函数
f(x)在区间D 上是减函数，如图⑵所示。

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说 函数y=f(x)在这一区间上具有
(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

11

拓展与提示：⑴定义中的x
1
, x
2
具有任意性，不能用特殊值代替。
⑵若f(x)在区间D
1
， D
2
上都是增(减)函数，但f(x)在D
1
∪D
2
上不一 定是增(减)函数。
⑶由于定义域都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且
f( x
1
)?f(x
2
)?x
1
?x
2
(x< br>1
?x
2
)
，这说明


单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。


⑵函数单调性的判断方法
①定义法。用定义法判断函数单调性的步骤为
第一步：取 值。设x
1
、x
2
是该区间内的任意两个值，且x
1
2
。
第二步：作差、变形。准确作出差值，并通过因式分解、配方、分子(分母)有理 化等方
法，向有利于判断差的符号的方向变形。
第三步：判断f(x
1
)- f(x
2
)［或f(x
2
)-f(x
1
)］的符号。
第四步：根据定义作出结论。
简记为“取值—作差—变形—定号—结论”。
②直接法。运用已知的结论，直接得到函数的单调性，常见结论有：
ⅰ函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反；
ⅱ当函数f(x)恒为正或恒为负 时，函数
y?
1
与y=f(x)的单调性相反；
f(x)
ⅲ在公共区间内，增函数+增函数，其和为增函数，增函数- 减函数，其差为增函数等。
③图象法：按照作图的方法，准确作出函数的图象，观察判断函数的单调性。
④若当x∈(a ,b)时，f′(x)>0，则f(x)在(a,b)上递增；若当x∈(a,b)时，f′(x)<0，则f( x)在(a,b)
上递减。

拓展与提示：定义有如下等价形式：设x
1< br>,x
2
∈［a,b］，那么

①
f(x
1
)?f(x
2
)f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f (x)在
?
a,b
?
上是增函数，
?0?f(x)在
?a,b
?
上是减函数；
x
1
?x
2
x
1
?x
2
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?f(x)
在［a,b］上是增函数，
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?f(x)
上是
12

②
(x
1
减函数。

例 讨论函数
f(x)?
ax?11
(a?
)
在(-2，+∞)上的单调性。
x?22
ax?2a?1?2a1?2a
解：设-21
2
，则
f(x)??a?
.

x?2x?2
∴f(x
2
)-f(x
1
)=
(a?
x
1
?x
2
1?2a1?2a11
.
)?(a?
).
=
(1?2a)(?)
.=
(1?2a)?
x
2
?2x?2x
2
?2x
1
?2(x
2
?2)(x
1
?2)
x
1
?x
2
?
0.
< br>(x
2
?2)(x
1
?2)
又∵-21
2
，∴
∴当1-2a>0，即
a?
时，上式<0，即f(x2
)1
)；
1
2
1ax?1
∴当< br>a?
时，
f(x)?
在(-2，+∞)上为减函数
2x?2
1ax?1
当
a?
时，
f(x)?
在(-2，+∞)上为增函数 < br>2x?2
1
2
当1-2a<0时，即
a?
时，上式>0，即f (x
2
)>f(x
1
)。
⑶复合函数的单调性
对于复合 函数y=f［g(x)］，若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数，则y=f(t)在区间(g(a), g(b))
或(g(b),g(a))上是单调函数；若t=g(x)与y=f(t)单调性相同(同时 为增或减)，则y=f［g(x)］
为增函数，若t=g(x)与g=f(x)单调性相反，则y=f［ g(x)］为减函数，简单地说成“同增异
减”。
y=f(t)
t=g(x)
Y=f［g(x)］
2函数的最大(小)值

13
增
增
增
减
减
增
增
减
减
减
增
减

⑴定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域 为I，如果存在实数M满足⑴对于任意的x∈I，
都有f(x)≤M；⑵存在x
0
∈I ，使得f(x
0
)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。
同样地：如 果存在实数M满足：⑴对于任意x∈I，都有f(x)≥M；⑵存在x
0
∈I，使得f(x0
)=M.
那么我们称M是函数的最小值。

⑴函数的最大(小)值是 函数的图象的最高点(最低点)对应的纵坐标。⑵一个连续不断的函数在闭区间
［a,b］上一定有最大 值和最小值。⑶求函数最值的常见方法为①构造二次函数；②单调性法；③导数法。


⑵二次函数在闭区间上的最值
二次函数f(x)=ax
2
+bx+c，当a >0时，在闭区间［m,n］上的最值可分如下讨论：
b
?
m
时，则最大值为f(n)，最小值为f(m)；
2a
b
②若
??
n
时，则最大值为f(m)，最小值为f(n)；
2 a
bb
③若
m??
n
时，则最大值为f(m)或f(n)，最小值为
f(?
)
.
2a2a
1
例 已知
?a?
1
，若f(x)=ax
2
-2x+1，在［1，3］上最大值为M(a)，最小值为 N(a)，
3
①若
?
令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的函数表 达式。
1
?
1
?
解：
f(x)?a
?
x ?
?
?1?
.
a
?
a
?
2
∵< br>?a?
1
，∴
1?
1
3
1
?3
.
a
又∵
x
∈［1，3］.
∴当
x?
时
，
f(x)
min
=N(a)=
1?
当
1?
1

a
1
a
11
?
2
，即
?a?
1
时，
a2
f(x)
max
=M(a)=f(3)=9a-5.
当
2?
111
?3,即?a?
时，
a32
14

f(x)
max
=M(a)=f(1)=a-1
11
?
9a??6,?a?1,
?
?
a2
∴
g(a )?M(a)?N(a)?
?

111
?
a??2,?a?.
?
a32
?
3、函数的奇偶性
⑴偶函数：一般地，如果对于函数f(x) 的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函
数f(x)就叫做偶函数。
⑵奇 函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函
数 f(x)就叫做奇函数。
拓展与提示：①并不是所有的函数都具备奇偶性，这些既不是奇函数又不偶函 数的函数称为非奇非偶函数；

既是奇函数又是偶函数的函数只有一个，就是f(x)=0。
②判断函数奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称，否则称为非奇非偶函数。

2、函数奇偶性的性质
(1)若函数f(x)是偶函数，那么：
①对任意定义域的x,都有f(-x)=f(x)；
②函数f(x)的图象关于y轴对称；
③函数f(x)在两个半对称区间上的单调性是相反的。
⑶若函数f(x)是奇函数，那么：
①对任意定义域内的x，都有f(-x)=-f(x)；
②函数f(x)的图象关于坐标原点对称；
③函数f(x)在两个半对称区间上的单调性是相同的。
⑷函数奇偶性的判定方法
① 定义法：f(x)是奇函数
?f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0
；
f(x)是偶函数
?f(?x)?f(x)?f(?x)?f(x)?0

②利用图象的对称性：f(x)是奇函数
?f(x)
的图象关于原点对称。

15

f(x)是偶函数
?f(x)
的图象关于y轴对称。
例 设函数f(x)对任意x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时，f( x)<0，f(1)=-2。
⑴求证：f(x)为奇函数
⑵试问在-3≤x≤3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由。
解：⑴∵f(x)对于任意x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立
∴令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0
再令y=-x，得f( 0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数。
⑵设x
1
2
时，且x
1
、x
2
∈R，则f(x
2
-x
1
)=f［x
2
+(-x
1
)］=f(x< br>2
)+f(-x
1
)=f(x
2
)-f(x
1
)，
由已知x>0时，f(x)<0，∴f(x
2
-x
1
)<0 ，即f(x
2
)-f(x
1
)<0
∴f(x
2
)1
)，∴f(x)在R上为减函数
∴f(x
2
)在［-3，3］上，当x=-3时，f(x)取最大值，即f(x)
ma x
=f(-3)=-f(3)=-3f(1)=6；
当x=3时，f(x)取最小值，即f(x)
min
=f(3)=-6.
第二章 基本初等函数
一、运算公式
1、指数幂①
r
a?a< br>1
n
n
；
②
a
r
a
s
=< br>a
r?s
（a>0,r,s∈Q）；③
(a
r
)
S< br>=
a
r*s
（a>0,r,s∈Q）；④
m
rr
（a >0,b>0,r∈Q）⑤=
(ab)
ab
a
n
?
na
m
2、对数（a>0,且a≠1，
m?0
,且
m?1
，
M>0,N>0）①
log
a
(
MN
)
?
log
a
M?
log
a
N
;②
log
a
log
m
N
n
M

? log
a
M?log
a
N
;③
log
a
M ?nlog
a
M(n?R)
；④
log
a
N?
lo g
m
a
N
推论
log
a
m
b
n
?
n
log
a
b
(
a?0
,且
a ?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1
,

N?0
).
m
二、指数函数及其性质
x
1、指数函数的 概念：一般地，函数
y?a(a?0,
且
a?1)
叫做指数函数，其中x是自 变量，
函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

16

2、指数函数的图象和性质

a>1
6
06
55
44
33
22
1< br>1
1
1
-4-2
0
-1
246-4-2

定义域 R
值域y＞0
0
-1
246

定义域 R
值域y＞0
在R上单调递增
非奇非偶函数
函数图象都过定
点（0，1）
在R上单调递减
非奇非偶函数
函数图象都过定
点（0，1）
x
f(x)?a(a?0且a?1)
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，
值域是
[f(a), f(b)]
或
[f(b),f(a)]
；
（2）若
x?0
，则
f(x)?1
；
f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R
；
x
f(x)?a(a?0且a?1)
，总有
f(1)?a
； （3）对于指数函数
三、对数函数
1、对数的概念：一般地，如果
a
x?
N
(a?0,a?1)
，那么数
x
叫做以
a
为底
N
的对数，
记作：
x?log
a
N
（
a
— 底数，
N
— 真数，
log
a
N
— 对数式）
x
说明：⑴注意底数的限制
a?0
，且
a?1
； ⑵
a?N?log
a
N?x
；
2、两个重要对数：
⑴常 用对数：以10为底对数
lgN
；⑵自然对数：以无理数
e?2.71828?
为底的对数
lnN
。
3、对数函数
⑴对数函数的概念：函数
数的定义域是（0，+∞）。

17
y ?log
a
x(a?0
，且
a?1)
叫做对数函数，其中
x
是自变量，函

注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨 别。如：
y?2log
2
x
，
y?log
5
x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数。
5
②对数函数对底数的限制：
(a?0
，且
a?1)
．
⑵对数函数的性质：
a>1
3
2.5
2
03
2.5
2
1.5
1.5
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
234 5678
-1
0
1
-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5

-2.5

定义域x＞0
值域为R
在R上递增
函数图象都过
定点（1，0）
定义域x＞0
值域为R
在R上递减
函数图象都过定点
（1，0）
四、幂函数
?
1、幂函数定义：一般地，形如
y?x
(a?R)
的函数称为幂函数，其中
?
为常数。
2、幂函数性质归纳
⑴所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）。
⑵
?
?0
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是增函数。特别地，当< br>?
?1
时，
幂函数的图象下凸；当
0?
?
?1
时，幂函数的图象上凸。
⑶
?
?0
时，幂函数的图象在区间
(0 ,??)
上是减函数。在第一象限内，当
x
从右边趋向原
点时，图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于
??
时，图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴．在第一象限内,过(1,1)点 后,|α|越大,图象下落的速度越快.
a
⑷解析式
f(x)?x
，当a= 1时，一次函数；当a=2时，二次函数；当a=-1时，反比例
1
函数；当a=
2< br>时，y=
x
。幂函数只要求掌握a为某些特殊值的时候的图象即可。

18

C
1
>1>C
2
>0>C
4
>C
3


第三章 函数的应用

第四章 空间几何体
一、空间几何体的结构
1、柱、锥、台、球的结构特征





⑴棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边 都互
相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点 字母，如五棱柱
ABCDE?A
'
B
'
C
'
D'
E
'
或用对角线的端点字母，如五棱柱



AD
'
。
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是 平行四边形；侧棱平
行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

19

⑵棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成< br>的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。 表示：用各顶点字母，如五棱锥
P?A
'
B
'
C
'D
'
E
'
。
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面 的截面与底面相似，其相似比等于顶
点到截面距离与高的比的平方。
⑶棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等。
表示：用各顶点 字母，如五棱台
P?A
'
B
'
C
'
D
'< br>E
'
。
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形;②侧面是梯形;③侧棱交于原棱锥的顶点。
⑷圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
几何 特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展
开图是一个矩形。
⑸圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
⑹圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分。
几何特征：①上下 底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个
弓形（扇环）。
⑺球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
二、空间几何体的三视图和直观图
1 三视图：⑴正视图：从前往后；⑵侧视图：从左往右；⑶俯视图：从上往下。
2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等。

20

3直观图：斜二测画法。4斜二测画法的步骤：
⑴在已知图形中取相互垂直的
x
轴和
y
轴，两轴相交于
O
。画直观图时，把它们画成对< br>应的
x'
轴与
y'
轴，两轴交于点
O'
，且使
?x'Oy'?45?(或135?)
，它们确定的平面表示水平面。
'
⑵已知图 形中平行于
x
轴或
y
轴的线段，在直观图中分别画成平行于
x'轴或
y'
轴的线段；
⑶已知图形中平行于
x
轴的线段，在直观 图中保持原长度不变，平行于
y
轴的线段，长
度为原来的一半。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：⑴画轴；⑵画底面⑶画侧棱⑷成图
三、空间几何体的表面积与体积
1、空间几何体的表面积与体积
体名
表面积
体积
棱柱棱锥 圆柱
各面积和
2
?
rl?2
?
r
2
圆锥 圆台 球
?
rl?
?
r
2

?
rl?
?< br>r
2
?
?
Rl?
?
R
2

4
?
R
2

S
底
h

1
S
底
h

3
1
（S
上
?S
上
S
下
?S
下
）?h

3
4
πR
3

3
第五章 点、直线、平面之间的位置关系
一、空间点、直线、平面的位置关系
公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线此平面内。
应用：判断直线是否在 平面内。用符号语言表示：
A?l,B?l,且A?
?
,B?
?
?l ?
?

公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平
面。
公理2及其推论的作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
P ?
?
且P?
?
?
?
?
?
?l且P?l 平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。公理3为：
公理3作用：①它是判定两个平面相交 的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点

21

之间的关系：交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的依据。
二、空间直线与直线之间的位置关系[
共面（平行+相交）或异面；平行或不平行（相交+异面 ）
]
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1、异面直线①定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 性质：既不平行，又不相交。
③ 判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 。
④ 异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线
所成角的范围是 （0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互
相垂直。
2 、求异面直线所成角步骤：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时
平移到某个特殊的 位置，顶点选在特殊的位置上。②证明作出的角即为所求角③利用三角形
来求角
3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。
三、空间直线与平面之间的位置关系 ：
1、三种位置关系⑴直线在平面内：
l?
?
，有无数个公共点；
⑵直线不在平面内：①相交：
l?
?
?A
，有一个公共点；②平行：
l∥
?
，无公共点。
2、直线与平面平行
⑴判定定理：平面外的一条直线 和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面
平行。
a?
?
,b?< br>?
,且a∥b?a∥
?
。
做题思路：在已知平面内“找出”一条直线 与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。
即将“空间问题”转化为“平面问题”。
⑵性质 定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面和这个平面的交线，
与该直线平行。
3、直线与平面相交：斜交和垂直。

22

⑴直线与平面所成的角，
?
?[0?，90?]

⑵直线与平面垂直
①定义：如果直线
l
和平面
?
内的任何 一条直线都垂直，则说直线
l
和平面
?

互相垂直，记作
l?
?
。
②判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
做题 思路：在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面
垂直。即将“线面垂直 ”转化为“线线垂直”
③ 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
四、平面与平面之间的位置关系
1、⑴平行：没有公共点；
?
∥
?
。⑵相交（
?
?
?
?l
）：有一条公共直线，斜交和垂直 。
2、平面与平面平行
⑴判定定理：一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
做题思路：在 一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行
问题”转化为“线面平行问题” 。
⑵性质定理：如果两平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
3、平面与平面垂直
⑴判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。
做题思路：转化①二面角为直角；②“找出”一条直线与另一平面垂直，将“面面垂直
问题”转化为“ 线面垂直问题”
⑵性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。
做题思路：解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线
五、有关概念
1、异面直线所成的角:已知两条异面直线a,b，经过空间任意一点○作直线
a
'< br>∥a
,
b
'
∥b
我

23

们把
a
'
与b
'
所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所 成的角（夹角）。（
?
?0?，90?]
）
2、直线与平面所成的角：平面 的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直
线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面， 我们说它们所成的角是直角；一条直线和平
面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角。?
?[0?，90?]

3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角。这条直线叫做二面
角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。在二面角的棱上任取一点O，以 该点为垂足，在两
个半平面内分别作垂直于棱的两条射线OA、OB,则OA、OB构成的
?A OB
叫二面角的平面
角。
?
?(0?，180?)
。
??90?
时直二面角
4、点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的垂线，则这个点和 垂足间的距离叫做这
个点到这个平面的距离.
5、直线和平面的距离：当一条直线和一个平 面平行时，这条直线上任意一点到这个平面
的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.
6、 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平
面间的部分，叫做这 两个平行平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段都相等。公垂线段
的长度叫做两个平行平面间的距离 。
第六章 直线与方程
一、倾斜角：直线
l
向上方向与x轴正向夹角α。注意0°≤α＜180°
二、斜率：直线
l
的倾斜角的正切值。即
k
=tanα。注意倾斜角为90° 直线斜率
k
不存在。斜
率公式（
P(x,y)
、
P(x,y )
）。
111222
y
2
?y
1

k?
x
2
?x
1
三、直线关系判定及性质：（方程组的解）
1、设
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l
1
||l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
（方程组无解）
，（
l
1
与l
2
重合?k
1
?k
2
，b
1
?b
2
（方程组 无数解））

24

②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
。
2、设
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0< br>，且A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不 为零，
①
l
1
∥l
2
?
A
1
?
B
1
?
C
1
A
2
B
1
C
2
；（
l
1
与l
2
重合?
A
1< br>?
B
1
?
C
1
（方程组无数解）
）
（方程组无解）
A
2
B
1
C
2
②
l1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
。

四、直线的五种方程
1、点斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)，且斜率为
k
)。
2、斜截式：
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距)。 3、两点式：
y?y
1
x?x
1
?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
a
(
y
1< br>?y
2
)(
P
1
(x
1
,y
1)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
))。
4、截距式：
x
?
y
?1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0)。
b
5、一般式：
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0)。
五、平面两点 (A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
)间的距离公式
ruuuruuur

d
=
uuu

|AB|?A B?AB
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2< br>?y
1
)
2
A,B
六、点
P(x,y)
到直 线
l
：
Ax?By?C?0
的距离（两平行线距离：可转化为点到直线距离）
00

d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
2
2

七、四种常用直线系方程
1、定点直线系方程：经过 定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除直线
x?x
0
),
其中
k
是待定的系数; 经过定点
P
0
( x
0
,y
0
)
的直线系方程为
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
,其中
A,B
是
待定的系数．
2、共点直线系方程：经过两直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线
系方程为
(A
1
x?B
1
y?C
1
)?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
(除
l
2)，其中λ是待定的系数．
3、平行直线系方程：直线
y?kx?b
中当斜率k 一定而b变动时，表示平行直线系方
程．与直线
Ax?By?C?0
平行的直线系方程 是
Ax?By?
?
?0
(
?
?0
)，λ是参变量．

25

4、垂直直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是参变量．

第七章 圆与方程
一、圆的方程
1、标准方程
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
，圆心?
a,b
?
，半径为r；
22
点
M(x
0< br>,y
0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系：
①当
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
>
r
2
，点在圆外
②当
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)2
=
r
2
，点在圆上
③当
(x
0
? a)
2
?(y
0
?b)
2
<
r
2
，点在圆内。
2、一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F ?
0

DE
?
1
①当
D
2
?E< br>2
?
4
F?
0
时，方程表示圆，此时圆心为
?
?
?,?
?
，半径为
r?
?
22
?
2< br>D
2
?E
2
?4F

②当
D
2?E
2
?
4
F?
0
时，表示一个点；
③当< br>D
2
?E
2
?
4
F?
0
时，方程不 表示任何图形。
二、求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要 三个独立条件，若利用圆的标准方
程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
三、直线与圆的位置关系：
1、直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心C
?
a,b
?
到
l
的距离为
d?
Aa ?Bb?C
A?B
22
，则有
d?r?l与C相离
；
d?r ?l与C相切
；
d?r?l与C相交


2、过圆外一点的切线：

26

①k不存在，验证是否成立
②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程(一定两解)
3、 过圆上一点的切线方程：圆
(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为
(x
0
，y
0
)
，则过此点的切 线
方程为
(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b )= r
2

四、圆与圆的位置关系：
通过两圆半径的和（差），与圆心 距（
d
）之间的大小比较来确定。设圆
C
1
:
?
x ?a
1
?
?
?
y?b
1
?
?r
2
，
C
2
:
?
x?a
2
?
?
?
y?b
2
?
?R
2
，两圆的位置关系常通过两圆半径的
22
22
和（差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。
当
d?R?r
时，两圆外离，此时有公切线四条；
当
d?R?r
时，两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当
R?r?d?R?r
时，两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当
d?R?r
时，两圆内含；
当
d?0
时，为同心圆。
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线。圆的辅
助线一般 为连圆心与切线或者连圆心与弦中点。
第八章算法初步


第九章统计


第十章概率

27

第十一章 三角函数 第十二章 三角恒等变形 第十三章 解三角形

第十四章 平面向量
一、向量：
1.定义：既有大小又有方向的量。
r
uuur< br>⑴几何表示：①线段表示：
AB
；②字母表示：
a
。书写时要带箭头。
rr
⑵坐标表示：
a
=（x,y）。x（y）叫
a
在x（y）轴上的坐标。
uuur
r
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：
|AB|
或
|a|
。
r
⑴零向量：长度为0的向量。记作：
0
。
r
rrr?
|a|
==0。（
a
00
方向是任意的，且与任意向量平行， 故在有关向量平行（共线）的
问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件）。（注意与0的区别）
r
r
?
|e|?1
。 ⑵单位向量：长度为1的向量。
e< br>是单位向量
?
?
3.平行向量：方向相同或相反的非零向量。记作
a< br>∥
b
。
规定：零向量与任一向量平行。
向量是由大小、方向确定， 起点可以任意选取。任一组平行向量都可以平移到同一直线
上，因此平行向量也叫共线向量。必须区分清 楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、
的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平 行”是不一样的。
?
?
4.相等向量：长度相等且方向相同的向量。记作
a
?
b
。
uuuruuur
5.相反向量：长度相等，方向相反的向 量。
AB??BA
。
r
?
r
?
6.向量的夹角： 已知两个非零向量
a
、
b
，作
OA
=
a
，
OB
=
b
，则
?AOB?
?
(0??
?< br>?180?)
r
?
叫做向量
a
与
b
的夹角。
二、平面向量的线性运算(加、减、数乘运算)

28

1.向量加、减法运算及其几何意义
求两个向量和的运算叫做向量的加法。
r
?
rr
?
r
?
已知
a
、
b
，以同一点
O
为起点作
OA
=
a
、
O B
=
b
，则以
a
、
b
为邻边的平行四边形中
a
、
rr
???
所夹的对角线就是与的和，=
b
a
b
BA
a
-
b
。
⑴向量加法满足交换律与结合律。
⑵向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。
当两个向量的起点公共时，用平行四边 形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则，
可推广到多个向量相加。
和向量是平行四边 形法则中始点与已知向量的始点重合的那条对角线，差向量是另一条
对角线，方向是从减向量指向被减向 量。
三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向
uuuruuuruuur
线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。< br>AB?BC?AC
；
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruu ur
AB?BC?CD?DE?AE
；
AB?AC?CB
（指向被减数）
2.向量数乘运算及其几何意义
rr
⑴实数λ与向量
a
的积是一个 向量，叫做向量的数乘，记作λ
a
，它的长度与方向规定如
下：①
?
a?
?
a
。②当λ>0时，λ
a
的方向与
a
的方向 相同；当λ<0时，λ
a
的方向与
a
的方
r
向相反；当λ= 0时，λ
a
方向是任意的。
rrrr
rrrr
⑵共线定理：
a?
?
b?ab
。当
?
?0
时，
a
与< br>b
同向；当
?
?0
时，
a与b
反向。
??
rrrr
?
r
?
??
⑶①（-λ）
a
=- （λ
a
）=λ（-
a
）；②λ（
a
-
b
） =λ
a
-λ
b
；③
?
(
?
1
a?
?
2
b
)
?
??
1
a?
??2
b
)

??
rrrr
三、平面向量的坐标运算 ?
?
?
?
?
1.已知
a?
(
x
1
,
y
1
),
b?
(
x
2
,< br>y
2
)
，则⑴
a?b?
(
x
1
?x
2
,
y
1
?y
2
)
；
⑵
?
a?
(
?
1
x
,
?
y
1
)

2.
已知
A(x
1
,y
1
),B (x
2
,y
2
)
，则
AB?
(
x
2
?x
1
,
y
2
?y
1
)

四、平面向量基本定律

29

如果
e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有< br>?
一对实数
?
1
、
?
2
，使
??
?
1
e
1
?
?
2
e
2，
e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
五、平面向量共线的坐标表示
?
?
?
已知
a?
(
x
1
,
y
1
),
b?
(
x
2
,
y
2
)
，
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0?a、b(b?0)共线。

六、平面向量的数量积（内积）
?
r
?
?
?
?< br>abcos
?
1.已知两个非零向量
a?
(
x
1,
y
1
),
b?
(
x
2
,
y
2
)
，数量叫做
a
与
b
的数量积（内积），
?
?
记作
a
?
b
。
?
?
?< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
2. 公式：⑴
a?b?a?bcos
?
?x
1
x
2
?y
1
y
2
；⑵
a?b?a?b?0
；⑶
a?b?a? b
；⑷
??
?
??
?
???
2
?
?
?
?
?
?
22
?
2
a?a?a?a?x
1
?x
2
，⑸
a
?
a
?
a
；⑹
a?b?b?a
；⑺
(
?
a)?b?
?
(a ?b)?a(
?
?b)
；⑻
?
?
a?bx
1
x
2
?y
1
y
2
?
?
???
?
?
cos
?
???
(a?b)c?a?c?b?c
；
⑼
?
2222

a?b
x
1
?y
1x
2
?y
2
第十五章 不等式
第十六章 常用逻辑用语（选2-1）
第十七章 圆锥曲线与方程（选2-1）
第十八章 空间向量与立体几何（选2-1）
第十九章 导数及其应用（选2-2）
第二十章 数系的扩充与复数的引入（选2-2）
第二十一章 推理与证明（选2-2）
第二十二章 计数原理（选2-3）
第二十三章 随机变量及其分布（选2-3）
第二十四章 统计案例（选2-3）
第二十五章 坐标系（选4-4）
第二十六章 参数方程（选4-4）

30

第二十七章 不等式和绝对值不等式（选4-5）
第二十八章 证明不等式的基本方法（选4-5）

第二十九章 用数学归纳法证明不等式（选4-5）

第三十二章 直线与圆的位置关系（选4-1）
第三十三章 圆锥曲线性质的探讨（选4-1）




31