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高考数学专项突破—高中数学基础知识汇总(知识点归纳)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 06:59
tags:高中数学知识点

高等数学用来解高中数学题-高中数学函数画图软件



高中数学知识归纳汇总
————冲刺背诵篇
第一部分 集合
1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自 变量的取值?
.....
还是应变量的取值?还是曲线上的点?… ;
2.数形结合 是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或
....
韦恩图等工具, 将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合
的思想方法解决;
3.(1) 含n个元素的集合的子集数为2
n
,真子集数为2
n
-1;非空真子集的数为 2
n
-2;
(2)
A?B?A?B?A?A?B?B;
注意:讨论的时候不要遗忘了
A?
?
的情
况。
(3)
C< br>I
(A?B)?(C
I
A)?(C
I
B);C
I(A?B)?(C
I
A)?(C
I
B);

4.
?
是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
第二部分 函数与导数
1.映射:注意 ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。
2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;
⑤换元法 ;⑥利用均值不等式
a?b
ab??
2
a
2
?b
2
; ⑦利用 数形结合或几何
2
x
意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(a

sinx

cosx
等);
⑨导数法
3.复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法:
① 若f(x)的定义域为 [a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b
解出;
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值
域。
(2)复合函数单调性的判定:
①首先将原函数
y?f[g(x)]
分解为 基本函数:内函数
u?g(x)
与外函数
y?f(u)

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;
1



③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意:外函数
y?f(u)
的定义域是内函数
u?g(x)
的值域。
4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。
5.函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;
. ...

f(x)
是奇函数
?
f(?x)??f(x)?f(?x) ?f(x)?0?
f(?x)
??1

f(x)

f(x )
是偶函数
?f(?x)?f(x)?f(?x)?f(x)?0?
f(?x)
?1

f(x)
⑷奇函数
f(x)
在原点有定义,则
f(0)?0
;(扬州二模填空题第五题再去想一想)
⑸在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;
(6)若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性;
6.函数的单调性
⑴单调性的定义:

f(x)
在区间
M
上是增函数
??x
1
,x
2
?M,

x
1
?x2
时有
f(x
1
)?f(x
2
)?0?(x
1
?x
2
)?[f(x
1
)?f(x
2
)]?0?
f(x
1
)?f(x
2
)
?0

x
1
?x
2

f(x)
在区间
M
上是减函 数
??x
1
,x
2
?M,

x
1
?x
2
时有
f(x
1
)?f(x
2
)?0?(x< br>1
?x
2
)?[f(x
1
)?f(x
2
)] ?0
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?0

x
1
?x
2
⑵单调性的判定
① 定义法:一般要将式子< br>f(x
1
)?f(x
2
)
化为几个因式作积或作商的形式,以 利于
判断符号;
② 导数法(见导数部分);
③ 复合函数法(见2 (2));
④ 图像法。
注:证明单调性主要用定义法和导数法。
7.函数的周期性
(1)周期性的定义:
对定义域内的任意
x
,若有
f(x?T)?f(x)
(其中
T
为非零常数),则称函数
f(x)
为周期函数,
T
为它的一个周 期。
2



所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指
最小正周期。
(2)三角函数的周期

y?sinx:T?2
?
;②
y?cosx:T?2
?
;③
y?tanx:T?
?


y?Asin(
?
x?
?
),y?Acos(
?
x?
?
):T?
?
2
?
;⑤
y?tan
?
x:T?

|
?
|
|
?
|
⑶ 函数周期的判定
①定义法(试值) ②图像法 ③公式法(利用(2)中结论)
⑷ 与周期有关的结论 < br>①
f(x?a)?f(x?a)

f(x?2a)?f(x)(a?0)

?
f(x)
的周期为
2a


y?f(x)
的图象关于点
(a,0),(b,0)
中心对称
?
f(x)
周期为2
a?b


y?f(x)
的图象关于直线
x?a ,x?b
轴对称
?
f(x)
周期为2
a?b


y?f(x)
的图象关于点
(a,0)
中心对称,直线
x?b
轴对称
?
f(x)
周期为
4
a?b

8.基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数:
y?x

?
?R)
;⑵指数函数:
y?a(a?0,a?1)

⑶对数函数:
y?log
a
x(a?0,a?1)
;⑷正弦函数:
y?sinx

?
x
ax?bx?c?0
;⑸余弦函数:
y?cosx
;(6)正切函数:
y?tanx
;⑺一元二次函数:
⑻其它常用函数:
① 正比例函数:
y?kx(k?0)
;②反比例函数:
y?
(其图 像就是双曲线只不过中心不在坐标原点)
② 函数
2
k
1
(k?0)
;特别的
y?

x
x
y?x?
a
(a?0)

x
9.二次函数:
⑴解析式:
2
①一般式:
f(x)? ax?bx?c
;②顶点式:
f(x)?a(x?h)?k

(h,k)为顶点;
2
③零点式:
f(x)?a(x?x
1
)(x?x< br>2
)

3



⑵二次函数问题解决需考虑的因素:
①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。
⑶二次函数问题解决方法:①数形结合;②分类讨论。
10.函数图象:
⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法
⑵图象变换:
① 平移变换:ⅰ
y?f(x)?y?f(x?a)

(a?0)
———左“+”右“-”;

y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)
———上“+”下“-”;
② 伸缩变换:

y?f(x)?y?f(
?
x)
, (
?
?0)
———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的
倍;

y?f(x)?y?Af(x)
, (
A?0)
———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的
A
倍;
③ 对称变换:ⅰ
y?f(x)
??

??
y??f(?x)
; ⅱ
y?f(x)
???
y??f(x)


y?f(x)
???
y?f(?x)

④ 翻转变换:

y?f(x)?y?f(|x|)
———右不动,右向左翻(
f(x)
在< br>y
左侧图象去掉);

y?f(x)?y?|f(x)|
———上不 动,下向上翻(|
f(x)
|在
x
下面无图象);
11.函数图象(曲线)对称性的证明
(1)证明函数
y?f(x)
图像的 对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)
的对称点仍在图像上;
(2)证明函数
y?f(x)

y?g(x)
图象的对称性,即证明
y?f(x)< br>图象上任意
点关于对称中心(对称轴)的对称点在
y?g(x)
的图象上,反之 亦然;
(注意上述两点的区别!)
注:
①曲线C
1
:f(x ,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C
2
方程为:f(2a-x,2b-y)=0; ②曲线C
1
:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C
2
方程为: f(2a-x, y)=0;
③曲线C
1
:f(x,y)=0,关于y=x+a(或 y=-x+a)的对称曲线C
2
的方程为f(y-
a,x+a)=0(或f(-y+a ,-x+a)=0);
4
x?0
(0,0)y?0
1

?



④f(a+x)=f(b-x) (x∈R)
???
y=f(x)图像关于直线x=
a?b
对称;
2
特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R)
???
y=f(x)图像关于直线x=a对称;
⑤函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=
12.函数零点的求法:
⑴直接法(求
f(x)?0
的根);⑵图象法;⑶二分法.
13.导数
⑴导数定义:f(x)在点x
0
处的导数记作
y
?
x?x< br>0
a?b
对称;
2
?f
?
(x
0
)?lim
n?1
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0< br>)

?x
'
'
⑵常见函数的导数公式: ①
C?0
;②
(x)?nx
x'x
n'
;③
(sinx)? cosx

'x'x
'

(cosx)??sinx
;⑤
(a)?alna
;⑥
(e)?e
;⑦
(log
a
x)?
1

xlna

(lnx)?
'
1

x
u
v
u
?
v?uv
?
;
v
2
⑶导数的四则运算法则:
(u?v)
?
?u
??v
?
;(uv)
?
?u
?
v?uv
?
;()
?
?
??

(理科)
复合函数的导数:
y
?
x
?y
u
?u
x
;

⑸导数的应用:
①利用导数求切线:注意:ⅰ)所给点是切点吗?ⅱ)所求的是“在”还是“过”
该点的切线?
②利用导数判断函数单调性:

f
?
(x)?0?f(x)
是增函数;ⅱ
f
?
(x)?0?f(x)
为减函数;

f
?
(x)?0?f(x)
为常数;
③利用导数求极值:ⅰ求导 数
f
?
(x)
;ⅱ求方程
f
?
(x)?0
的根;ⅲ列表得极值。
④利用导数最大值与最小值:ⅰ求的极值;ⅱ求区间端点值(如果有);ⅲ得最值。
14
.(理科)
定积分
⑴定积分的定义:
?
b
a
f(x)dx?lim
?
n??
i?1
n
b?a
f(
?
i
)

n
⑵定积分的性质:①

?
b
a
kf(x)dx?k
?
f(x)dx

k
常数);
a
b
5




?
b
a
b
[f
1
(x)?f
2(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f
2< br>(x)dx

aa
bb
?
a
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx
(其中
a?c?b)

ac
cb
⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼 兹公式):
?
b
a
f(x)dx?F(x)|
b
a
?F(b)?F(a)

b
a
⑷定积分的应用:①求曲边梯形的面积:
S?
③ 求变速直线运动的路程:
S?
?
|f(x)?g(x)|dx

b
a
?
b
a
v(t)dt
;③求变力做功:
W?< br>?
F(x)dx

?
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1.⑴角度制与弧度制的互化:
?
弧度
?180

1?
?
?
180
1
2
1
⑵弧长公式:
l?
?
R
;扇形面积公式:
S?
?
R?Rl

22
弧度,
1
弧度
?(
180
?
)
?
?57
?
18
'

2.三角函数 定义:角
?
中边上任意一点
P

(x,y)
,设
| OP|?r
则:
sin
?
?
yxy
,cos
?< br>?,tan
?
?

rrx
3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦;
4.诱导公式记忆规律:“奇变偶不变,符号看象限”;
5.⑴
y?Asin(?
x?
?
)
对称轴:
x?
k
?
??
2
?
?
?
;对称中心:
(
k
??
?
,0)(k?Z)

?
?
2
?
?

y?Acos(
?
x?
?
)
对称轴:
x?
k
?
?
?
;对称中心:
(
?
k?
?
?

,0)(k?Z)

(上述结论不需要记忆,但要知道如何得到上述的结论)
6.同角三角函数的基本关系:
sinx?cosx?1;
7. 三角函数的单调区间

y?sinx
的递增区间是
[2k
?
?
22
sinx
?tanx

cosx
?
2
,2k?
?
?
2
](k?Z)
,递减区间是
[2k
?
?
?
2
,2k
?
?
3
?
](k? Z)

2
y?cosx
的递增区间是
[2k
?
?
?
,2k
?
](k?Z)
,递减区间是
[2k
?< br>,2k
?
?
?
](k?Z)

6



y?tanx
的递增区间是
(k
?
??
2
,k
?
?
?
2
)
(k?Z)
y?cotx
的递减区间是
(k
?
,k
?
?
?
)(k?Z)

8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:①
si n(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?co s
?
sin
?
;


cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
s in
?
;

tan(
?
?
?
)?
9. 倍角公式:①
sin2
?
?2sin
?
cos
?


cos2
?
?cos
2
tan
?
?ta n
?
。.二
1?tan
?
tan
?

t an2
?
?
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

2tan
?

2
1?tan
?
10.正、余弦定理:
⑴正弦定理:
abc
???2R

2R

?ABC
外接圆直径 )
sinAsinBsinC注:①
a:b:c?sinA:sinB:sinC
;②
a?2RsinA,b? 2RsinB,c?2RsinC


abca?b?c

???
sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC
222
b
2
?c
2
?a
2
⑵余弦定理:
a?b?c?2bccosA
等三个;注:
cosA?
等三个。
2bc
11。几个公式:
⑴三 角形面积公式:
S
?ABC
?
11
ah?absinC

22
⑵内切圆半径r=
2S
?ABC
;外接圆直径2R=
s inA
a?b?c

11.已知
a,b,A
时三角形解的个数的判定:
C
b
h
A
a
a
?
bc
?;

sinBsinC
其中h=bsinA,⑴A为锐角时:①a②a= h时,一解(直角);③h一钝角);④a
?
b时,一解 (一锐角)。
⑵A为直角或钝角时:①a
?
b时,无解;②a>b时,
一解(锐角)。


7



第四部分 立体几何
1.三视图与直观图:注:原图形与直观图面积之比为
22:1

(斜二测画法如何作图你还知道吗?)
2.表(侧)面积与体积公式:
⑴柱体:① 表面积:S=S

+2S

;②侧面积:S

=
2
?
rh
;③体积:V=S

h
⑵锥体:①表面积:S= S

+S

;②侧面积:S

=
?
rl< br>;③体积:V=
'
1
S

h:
3
⑶台体: ①表面积:S=S

+S
上底
S
下底
;②侧面积:S

=
?
(r?r)l

1
(S+
SS
'
?S
'
)h;
3
4
32
⑷球体:①表面积:S=
4
?
R
;②体积:V=
?< br>R

3
③体积:V=
3.位置关系的证明(主要方法):
⑴直线与直线平行:①公理4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行
?
线面平行。
⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面
平行。
⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直:①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。
注:理科还可用向量法。
4.求角:(步骤-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角)
⑴异面直线所成角的求法:
① 平移法:平移直线,构造三角形;
② 补形法:补成正方体、平行六面体、长方体等,发现两条异面直线间的关系。
注:理科还可用向量法,转化为两直线方向向量的夹角。
⑵直线与平面所成的角:
①直接法(利用线面角定义);②先求斜线上的点到平面距离h,与斜线段长度作
比,得sin
?

注:理科还可用向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。
5.结论:
⑴ 长方体从一个顶点出发地三条棱长分别为a,b,c,则对角线长为
a
2
?b
2
?c
2

全面积为2ab+2bc+2 ca;
长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为
?
,
?
,
?
,
则:
cos
2
?
+cos
2?
+cos
2
?
=1;sin
2
?
+sin< br>2
?
+sin
2
?
=2
8



23
⑵ 正方体的棱长为a,则对角线长为
3a
, 全面积为6
a
,体积为
a

⑶ 长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长;
(4) 正四面体的性质:设棱长为
a
,则正四面体的:
① 高:
h?
62
a
;②对棱间距离:
a

32
③ 内切球半径:

66
a
;外接球半径:
a

124
第五部分 直线与圆
1.直线方程
⑴点斜式:
y?y
?
?k(x?x
?
)
;⑵斜截式:
y?kx?b
;⑶截距式:
?
⑷两点式:
x
a
y

?1

b
y?y
1
x?x
1
?
;⑸一般式:
Ax?By?C?0
,(A,B不全为0)。
y
2
? y
1
x
2
?x
1
(直线的方向向量:(
B,?A)
,法向量(
A,B)

2.求解线性规划问题的步骤是:
(1)列约束条件;(2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。
3.两条直线的位置关系:

直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注


l
1
:y?k
1
x?b
1

k1?k2,b1?b2

k
1
?k
2
??1

l
1
,l
2
有斜率

l
2
:y?k
2
x?b
2


l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0

A
1
B
2
?A
2
B
1
,

A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
不可写成


l
2
:A
2
x ?B
2
y?C
2
?0

B
1
C
2
?B
2
C
1
(验证) 分式








9



4.直线系:
直线方程
y?kx?b

Ax?By?C?0

平行直线系
y?kx?m

Ax?By?m?0

垂直直线系
y??
1
x?m

Bx?Ay?m?0

k
相交直线系
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
(A
2
x ?B
2
y?C
2
)?0


5.几个公式
⑴设A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)、C(x
3
,y
3
),⊿ABC的重心G:(
⑵点P(x
0,
y
0
)到直线Ax+By+C=0的距离:
d?
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y< br>3
);
,
33
Ax
0
?By
0
? C
A
2
?B
2

⑶两条平行线Ax+By+C
1
=0与 Ax+By+C
2
=0的距离是
d?
6.圆的方程:
C
1
?C
2
A?B
22

222
⑴标准方程:①
(x?a)?(y?b)?r
;②
x?y?r

222
⑵一般方程:
x?y?Dx?Ey?F?0

D?E?4F?0)

注:Ax
2
+Bxy+Cy
2+Dx+Ey+F=0表示圆
?
A=C≠0且B=0且D
2
+E
2
-4AF>0;
7.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法。
(圆的方程有2种,在利用待定系数法求圆的方程时2种方程选取方案如何确定)
8.圆系:

x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0,(?
??1)

注:当
?
??1
时表示两圆交线。

x?y?Dx?Ey?F?< br>?
(Ax?By?C)?0,(
?
??1)

9.点、直线与圆的位置关系:(主要掌握几何法)
⑴点与圆的位置关系:(
d
表示点到圆心的距离)

d?R?点在圆上;②
d?R?
点在圆内;③
d?R?
点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系:(
d
表示圆心到直线的距离)

d?R?
相切;②
d?R?
相交;(直线与圆相交所得的弦长
AB?
10
22
2222
2222
r
2
?d
2




d?R?
相离。
⑶圆与圆的位置关系:(
d
表示圆心距,
R,r
表示两圆半径,且
R?r

d?R?r?
相离;②
d?R?r?
外切;③
R?r?d?R?r?相交;

d?R?r?
内切;⑤
0?d?R?r?
内含。
10.与圆有关的结论:
⑴过圆x
2
+y
2
=r
2
上的点M(x
0
,y
0
)的切线方程为:x
0
x +y
0
y=r
2

过圆(x-a)
2
+(y-b )
2
=r
2
上的点M(x
0
,y
0
)的切 线方程为:(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)=r
2

⑵以A(x
1
,y
2
)、B(x
2
,y
2
)为直径的圆的方程:(x-x
1
)(x-x
2
)+ (y-y
1
)(y-y
2
)=0。
第六部分 圆锥曲线
(此部分重点内容为三种圆锥曲线的方程、几何性质,下面所列可能是你
会疏忽的一些内容)
1.定义:⑴椭圆:
|MF
1
|?|MF
2
|?2a,(2 a?|F
1
F
2
|)

⑵双曲线:
||MF1
|?|MF
2
||?2a,(2a?|F
1
F
2|)

⑶抛物线:
MF?d

(圆锥曲线还有种定义叫做统一定义,也叫第二定义,你知道吗?)
2.结论
⑴焦半径:①椭圆:
PF
; (左“+”右
1
?a?ex
0
,PF
2
?a?ex
0
(e为离心率)
“-”);
② 抛物线
y?2px

PF?x
0
?
22
p

p?0

2
(若抛物线的为
x
?
2py
,他的焦半径公式请你写一写: )
⑵弦长公 式:
AB?1?k
2
?x
2
?x
1
?(1?k2
)[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1< br>x
2
]

?1?
1
?y
2
?y1
?
k
2
(1?
1
2
)?[(y?y)?4y
1
y
2
]

12
k
2
注:(Ⅰ )抛物线焦点弦长:
AB
=x
1
+x
2
+p
(Ⅱ)通径(最短弦):①椭圆、双曲线:
2b
;②抛物线:2p。
a
2
⑶ 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为:
mx?ny?1

m,n
同时大于0
11
22



时表示椭圆,
mn?0
时表示双曲线);
(4) 双曲线中的结论: 22
22
yy
xx
①双曲线
?
2
?1
(a>0,b>0)的渐近线:
2
?
2
?0

2
abab
2
2
b
y
x
②共渐进线
y??x
的双曲线标准方程为;
??
?
(
?
为参数,
?
≠0)
a
a
2
b
2
③双曲线为等轴双曲线
?
e?2?
渐近线为
y??x
?
渐近线互相垂直;
3.直线与圆锥曲线问题解法:
⑴直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。
注意以下问题:
①联立的关于“
x
”还是关于“
y
”的一元二次方程?
②直线斜率不存在时考虑了吗?
③判别式验证了吗?
⑵设而不求(代点相减法或叫点差法):--------处理弦中点问题
步骤如下:①设点 A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
); ②作差得
k
AB
?
y
1
?y
2
???;③解
x
1
?x
2
决问题。
4.求轨迹的常用方法:
(1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式);(3)代入法(相关
点法或 转移法);⑷待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法。
第七部分 平面向量
⑴设 a=(x
1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
),则:
① a∥b(b≠0)
?
a=
?
b (
??R)
?
x
1
y
2
-x
2
y
1
=0;
② a⊥b(a、b≠0)
?
a·b=0
?
x< br>1
x
2
+y
1
y
2
=0 .
⑵a·b=|a||b|cos=x
2
+y
1
y
2

注:①|a|cos叫做a在b方向上的投影;|b|cos叫做b在a 方向上的投
影;
③ a·b的几何意义:a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos
的乘积。
⑶cos=
a?b

|a||b|
2
(4)< br>a?a?a?a
2
?a?a?x
2
?y
2

2
⑷三点共线的充要条件
12

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