江苏省高中数学知识点大全

数学必修一知识点大全
一．集合
1．集合的表示：描述法、列举法
理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量
的取值？ 还是曲线上的点？… ；
如：
①已知集合
A?{x|lgx?1},B?{y|y ?3?2x?x
2
}
，则
A?B
= ；
② 设集合
A?{x?N|3?x?7},B?{x|x?5},
则
A?B
= ；

2．子、交、并、补运算：
数形结合是解集合问题常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、韦恩图等工具
如：
③集合
A?{x|x?2x?3?0},B?{x|x?2mx?m?4?0}

（1）若
A?B?[0,3]
，求实数
m
的值；
（2）若
A?C
R
B
，求实数
m
的取值范围。






3．含
n
个元素的 集合的子集数为
2
,真子集数为
2?1


4．
A?B?A?B?A?A?B?B

注意：讨论的时候不要遗忘了
A??
的情况。
如：
④设P?{x|2x?3x?2?0},Q?{x|ax?1}
，若
Q?P
，则实数< br>a
为： ；

2
222
nn

二．
函数概念及基本初等函数：

1．函数概念－函数图象－函数性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性）
①求定义域:
使函数解析式有意义(如:分母
?0
; 偶次根式被开方数非负;
对数真数
?0
,底数
?0
且
?1
； 零指数幂的底数
?0
；实际问题有意义；
如:（2009江西卷文）函数
y?

②求值域常用方法: （求值域一定要注意函数定义域）
（1）利用基本初等函数的值域：如函数
y?




（2）二次函数配方法：如
y?3?2x?x
2
的值域是______________.







（3）利用函数单调性：如函数
y?x?





?x
2
?3x?4
的定义域为:
x
1
的值域是：
x
3?1< br>1
在
[1,2]
上的值域是_______________
x

y?x?





（4）部分分式法：如
y?






（5）数形结合:函数
y?0.25





③求函数解析式的常用方法：
x
2
?2x
4
,x?[1,4]
的值域为＿＿＿＿。
x
2x?1
的值域是______________.
x?3

①换元法（ 注意新元的取值范围）。
如:已知
f(x?1)?x?1
，则函数
f(x)
的解析式为：



②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）
如：已知f(x)为二次函数，且
f(x?2)?f(?x?2)
，且f(0)=1 ,图象在x轴上截得的线段长为2
2
,
则f(x)的解析式为：





③整体代换（配凑法）。如若
f(x?)?x?



< br>1
x
2
1
，则函数
f(x?1)
=________ _.
2
x

④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）
如若 函数
f(x)
满足关系式
f(x)?2f()?3x
，则
f(x)< br>的表达式为________.





⑤已知函数
f(x)
为奇函数，且
x?0
时，
f(x)?x?x
，求
x?0
时，
f(x)
的解析式。





2．函数的奇偶性：
①对于函数
f(x)
，其定义域关于原点对称：如果_________，那么函数
f(x)
为奇函数；
．．．．．．．．．
如果_____________________________ _________，那么函数
f(x)
为偶函数.
②奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称；
③
f(x)
为奇函数，且在
x?0
有定义，则
f(0)?0
；
④
f(x)
为偶函数，则
f(?x)?f(x)?f(|x|)

⑤奇函数+奇函数=奇函数 偶函数+偶函数=偶函数
⑥若证明
f(x)
是奇、偶函数，必须用定义，而要说明一个函数没有奇偶性，则应用特殊值；
⑦常见函数的奇偶性：
3
1
x
11
,y?x?,y?sinx,y?tanx,

xx
x?1
2

y?lg(1?x?x),y?lg,?

x?1
2
偶函数：
y?C
（
C
为常数），
y?x,y?|x|,y?cosx,
< br>奇函数：
y?x,y?x,y?x?
3
特别的，
f(x)?x?|x? a|?1
，
a?0
时，函数为偶函数，
a?0
时，无奇偶性。
如：
ⅰ.如果定义在区间
[3?a,5]
上的函数
f(x)
为奇函数，则
a
=_____；


2
1?x
2
ⅱ.函数
f(x)?
的奇偶性是： ；
|x?2|?2

ⅲ .若函数
f(x)
是定义在R上的奇函数，且当
x?(0,??)
时，
f(x)?x(1?
3
x)
，那么当
x?(??,0)
时，
f(x)
=_______





ⅳ.定 义在
[?1，1]
上的函数
y?f(x)
是减函数，且是奇函数，
若
f(a?a?1)?f(4a?5)?0
，则实数
a
的范围是： ；



ⅴ.若
f(x)?
2
1
?a< br>是奇函数，则
a?
．
2
x
?1

3．)函数的单调性
①对于给定区间D上的函数
f(x)
，如果________ ，
则称
f(x)
是区间D上的增（减）函数.
②判断函数单调性的常用方法：
（1）定义法： （2）利用复合函数的单调性： (3)图象法
③关于函数单调性还有以下一些常见结论：
ⅰ.两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差__；
ⅱ.奇函数在对称两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；
④求函数的单调区间应注意：
ⅰ.单调区间是定义域的一部分；
ⅱ.复合函数单调区间遵循同增异减原则；
ⅲ.单调区间不可以写成并集。
⑤用定义证明函数的单调性，必须化成积的形式；
如:
①若
f(x)??x?2ax
与
g(x)?








②已知
f(x)
是定义在R上 的偶函数，且在
[0,??)
上为增函数，
f()?0
，
则不等式
f(log
1
x)?0
的解集为：
8
2
a
在区间[1,2]上都是减函数，则
a
的范围是：
x?1
1
3

③已知偶函数
f(x)
在区间
?
0,??)
单调增加，则满足
f(2x?1)
＜
f()< br>的
x
取值范围是









④已知
f(x)?log
a
(2?ax)
在[0, 1]上是减函数，则实数
a
的取值范围是＿＿＿＿。







1
3
x
2
?lnx
的单调增区间: ; ⑤
f(x)??
2









?
x
2
?4x,
⑥已知函数
f(x)?
?
2
?
4x?x,




范围是

x?0
x?0
若f(2?a)?f(a),
则实数
a
的
2

4．函数的周期性 ①对于函数
f(x)
，如果存在一个非零常数T，使得当
x
取定义域内的 每一个值时，都有
f(x?T)?f(x)
，则
f(x)
为周期函数，T为这 个函数的周期.
若
f(x?T)??f(x)
,则
f(x)
的周期为
2T

1
,则
f(x)
的周期为
2T

f(x)
②
y?sinx,y?cosx,y?tanx
都是周期函数。
若
f(x?T)?

y?Asin(
?
x?
?
)?b,y?Acos(
?
x?
?
)?b
的最小正周期：
T?

y?Atan(
?
x?
?
)?b的最小正周期：
T?
2
?
|
?
|

?

|
?
|
如：设
f(x)
是
( ??,??)
上的奇函数，
f(x?2)??f(x)
，当
0?x?1
时，
f(x)?x
，则
f(47.5)
= 。


5．.函数的对称性
a?b
对称;
2
a? b
②若
f(a?x)??f(b?x)
,则函数图象关于点
(,0)
对称;
2
b?a
③函数
y?f(a?x)
与函数
y?f( b?x)
的图象关于
x?
对称
2
6．
幂函数
< br>①若
f(a?x)?f(b?x)
,则函数图象关于
x?
一般地，函数
y?x
叫做幂函数，其中
x
是自变量，
a
是常数。
我们只研究
a?1,2,3,,?1
时的情形。
如:
①设
?
?
?
?1,1,
a
1
2
?
?
1
?

,3
?
，则使函数
y?x
?
的定义域为R且为奇函数的所有
?
的值为 ；
2,
?




②函数
y?






2?x
的对称中心是: .
x?1

7．指数函数
函数
y?a(a?0且a?1)
称为指数函数.
Ⅰ.定义域:R; Ⅱ.值域:
(0,??)
;
Ⅲ.图象恒过点(0,1);
Ⅳ.
a?
1时为增函数,
0?a?1
时为减函数;
如:
x
1
1
3
?
2
0?2
2
(1)
(2)?(?9.6)?(3)
3
?(1.5)

48



(2)函数
y?16?4
x
的值域是 ;



8．
对数函数

①对数式及对数函数
Ⅰ.
log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N;log
a
Ⅱ.对数换底公式
log
a
N?
lo g
b
N
log
b
a
M
N
?log
a
M?log
a
N;log
a
M
n
?nloga
M

(a?0,a?1,b?0,b?1)

Ⅲ.对数恒等式
a
log
a
N
?N(a?0,a?1,N?0)
；
log
a
a?1

log
a
1?0

(a?0,a?1)

②对数函数:函数
y?log
a
x( a?0且a?1)
称为对数函数,它与
y?a(a?0且a?1)
互为
反函数 ,它们的图象关于
y?x
对称.
Ⅰ.定义域:
(0,??);

Ⅱ.值域:R;
Ⅲ.图象恒过点(1,0);
Ⅳ.
a?
1时为增函数,
0?a?1
时为减函数;
记住: 对数式
log
a
x(a?0且a?1)
:当底数与真数都大于1或都在(0, 1),
则
log
a
x?0
; 否则
log
a
x?0
;
如：
①
2log
5
10?log
5
0.25?
；





②
lg5?lg2lg50?2

2
1
1?log
2
5
2
x

③若
1?m ?2
，则
a?2,b?log
1
m,c?0.2
则这三个数从大到小 的顺序是 ．
2
mm








2
④已知函数
f(x)?ln[(5?k )x?6x?k?5]
,若
f(x)
的定义域为R,求实数k的取值范围





9．函数与方程
函数零点存在的判定定理:

如果函数
y?f(x)
在区间
[a,b]
上的图象是一条连续不断的曲线，
且有
f(a)?f(b)?0
，那么函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内有零点，
注：Ⅰ.上述定理中在
(a,b)
内的零点不唯一;
Ⅱ.若函数是单调的,则零点唯一;
Ⅲ.定理的逆定理不成立;
Ⅳ.对于
f(a)?f(b)?0
,无法判定
y?f(x)
在
(a,b)内是否有零点.
如：
①函数
f(x)?lgx?
9
的零点所在的大致区间一定是:( )
x
A.(6,7) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10)






②关于
x
的方程
x
2
?(2m?8)x?m
2
?16?0
的两个实根
满足
x
1
?

x
、
x

1
2
3
?x
2
，则实数m的取值范围 ；
2

(x?1)
?
4x?4
③ 设函数
f(x)?
?
2
,

g(x)?log
2
x,

x?4x?3(x?1)
?则函数
h(x)?f(x)?g(x)
的零点有________个.







三．三角函数及三角恒等变换

1．任意角的概念：
(1)正角、负角、零角： (2)象限角： (3)终边相同的角：
与
?
终边相同角连同
?
在内构成集合
S?
?
??
?
?
?k?360?,k?Z
?


2．弧度制：
(1)角度与弧度的互化公式：
180
?
?

rad

（）
?57.3??57?18'
；
1??

1rad?
?
180
(2)扇形的弧长公式：
l?

?
r
扇形的面积公式：
S
?
2
11
lr?
?
r
2

22
如：设扇形的面积为
4cm
，则扇形的圆心角弧度数为 时，周长最小？

3．任意角的三角函数的定义：
在角
?
的终边 上任取点
P(x,y)
，设
OP?r(r?0)

则
sin
?
?
x
yy
；
cos
?
?
；
tan
?
?

r
rx
三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.
三角函数的定义域：

y?sinx
的定义域： ；
y?cosx
的定义域： ；

y?tanx
的定义域： ；
如：
Q
①若
?
y
x
0
π
?
?
?0
，则点
Q(cos
?
,sin
?
)
位于第 象限。
2
②如图，角
?
的顶点原点O，始边在y轴的正半轴、终边经过
点
P(?3,?4)
.角
?
的顶点在原点O，始边在x轴的正半轴，
终边OQ落在第二象限，且
tan
?
??2
，则
cos?P OQ
的值为 ；
P
③若
?
是第二象限的角，且
|cos
?
2
|??cos
?
2
，则
?< br>是第 象限角。
2
= ；

sin(
④已知
tan
?
?2
，求值（1）
?
?
2
2
?
?
)?cos(
?
?
?
)
?
?
)?sin(
?
?
?
)sin(
（2）
sin
2
?
?sin
?
?cos
?
= ；
1
，且
0?
?
?
?
．则
tan
?
= ；
5
⑤已知
sin
?
?cos
?
?

4．诱导公式:
可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；
如：
2
?
2
?
,cos)
，则角
?
的最小正角是 ；
33
3
?
sin(
?
?
?
)cos( 2
?
?
?
)tan(?
?
?)
2
，
f(?
31
?
)
= 。 ②已知
f(
?< br>)?
cos(?
?
?
?
)
3
?
12
?
③已知
sin(?
?
)?,则cos(?2
?
)
的值是 ；
633
7．三角函数的图象与性质:
Ⅰ.y?sinx(x?R)
、
y?cosx(x?R)
、
y?tanx的图象和性质：

y?tanx


y?sinx(x?R)y?cosx(x?R)


①已知角
?
的终边上一点坐标为
(sin


图 象
定义域

y
0
x

y
0

x
y
0
x

值域：
最大值： ，此时x=
最小值： ，此时x=

值域：
最大值： ，此时
x=
最小值： ，此时


值域：

值 域

x=


周期性

y?sin(
?
x?
?
)
的

y?cos(
?
x?
?
)
的周期：


y?tan
?
x

的周期：


周期：


对称轴：
对称性
对称中心： 对称中心：

对称轴：

对称中心：



单调性 增区间：
减区间：

增区间：
增区间：
减区间：




③三角函数的单调区 间问题的通法是：直接观察基本三角函数
y?sinx
、
y?cosx
、y?tanx
的
单调区间，从而得到三角复合函数的单调区间；如果
x
系 数为负，应先化为正的。
④求函数
f(x)?Asin（
?
x?
?
)
在某个给定的区域内的最值问题通用的方法是：根据自变量限定的区域，
求出
?
x?
?
的整体的取值范围，从而把问题转化成求
y?Asin
?
的值域问题。
Ⅲ.函数
y?Asin(
?
x?
?
)
图象的画法：
(1)五点法”――设
X?
?
x?
?
，令
X
＝0，
?
2
,
?
,
3
?
,2
?
求出相应的
x
值，计算得出五点的坐标，
2
描点后得出图象；
(2)图象变换法：将
y=sinx
图象上点沿
x
轴向
(φ>0)
或向
(φ<0)
平移 个单位，
得到函数 的图象，再将横坐标伸长（或缩短）到原来的 倍，到函数 图
象，最后将纵坐标伸长（或缩短）到原来的 倍，得到
y=Asin(ωx+φ)
简图.
如:
①
f
?
x
?
?cos
?
?
x?
②函数
f(x)?
?
?
?
?
6
?
?
的最小正周期为
?
，其中
?
?0
，则
?
= ．
5
2sin(?x?
?
4
)
，
x?[0,2
?
]
的减区间为： ；
③将函数
y?sin(2x?
?
3
)
的图象先向左平移
?
，然后将所得图象上所有点的横坐标变为 原来的
2
6
倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为： ；
④已知函数
f(x)?log
1
(sinx?cosx)
,则< br>f(x)
的定义域： 。
2

⑤已知 函数
f(x)?Asin(
?
x?
?
),x?R
（其中A?0,
?
?0,0?
?
?
相邻两个交点之间的距离为
?
2
）的图象与x轴的交点中，
2
?
?
,?2)
. ，且图象上一个最低点为
M(
3
2

(Ⅰ)求
f(x)
的解析式；（Ⅱ）当
x?[,]
，求
f(x)
的值域.
122
??
十一.平面向量
1.与向量概念有关的问题：
①向量： ；②共线向量（平行向量）： ；
③单位向量： ；
与
a
共线的单位向量为： ；与
a
同向的单位向量为： ；
?
如：与
d?(12,5)
平行的单位向量为___ ___
④零向量： ； ⑤相等向量： ；
⑥向量的模（向量的长度）： 。

2.向量的运算：
①向量的加法：
两个法则：三角形法则，首尾相连； 平行四边形法则，共起点。
②向量的减法：
三角形法则：共起点，指向被减数。
③向量的数乘：
ⅰ：实数
?
与向量
a
的积是一个向量；
ⅱ：︱
?
a
︱=︱
?
︱·︱
a
︱；
当
?
＞0时，
?
a
与
a
方向相同；
当< br>?
＜0时，
?
a
与
a
方向相反；当
?
=0时，
?
a
=
0

ⅲ：若
a
=（x
1
,y
1
），则
?
·
a
=（
?
x
1
,
?
y
1
）．
ⅳ：若e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的
uuu ruuuruuuruuur
uuur
AB?cAC?bBD?2DC
如：①在
△ABC
中，，．若点
D
满足，则
AD?

②在平行四边形
ABCD
中，
AC
与
BD
交于点
O ，E
是线段
OD
的中点，
AE
的延长线与
uuuruuur
uuur


CD
交于点
F
．若< br>AC?a
，
BD?b
，则
AF?

④向量共线定理： 向量
b
与非零向量
a
共线的充要条件是有且仅有一个实数
λ
，使得
b?
?
?a
，即
b
∥
a
?
b
=
a
（
a?0
）
⑤一个重要结论：已知A、B、C、P 为平面内四点，若A、B、C三点共线，则存在一对实数m、n，
使PC =mPA +nPB ，且m+n=1．

3.平面向量的坐标表示：
任一向量
a
，有 且只有一对实数
?
1
，
?
2
，使得
a
=< br>?
1
e
1
+
?
2
e
2
．
→→→
rr
①若
a?(x
1
,y
1
)，
b?(x
2
,y
2
)
，
rrrr
则
a?b
=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，
a?b
=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

uuur
②若A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y< br>2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1,y
2
?y
1
?

r
r
③若
a?(x,y)
和实数
?
，则
?
a?
(
?
x,
?
y)

?
??
④
a
∥
b
(
b
?
0
)的充要条件是
x
1
y
2
?x
2
y< br>1
?0

?
?
如：若向量
a
=(-1,x)与
b
=(-x, 2)共线且方向相同，则x= ；
4.向量的数量积：

ⅰ：向量的夹角：
已知两个非零向量
a
与b，作
OA
=
a
,
OB
=b,则∠AOB=
?
（
0?
?
?180
）
叫做向量
a
与b的夹角。 共起点。范围：[0，180
0
]
如：已知
?ABC
中，
a?3,b?4,C?30
则
BC?CA
=___ _；
ⅱ ：数量积的定义：
a
·
b
=|
a
||
b
| cos<
a
,
b
>=
x
1
x
2
? y
1
y
2
??????
0
00
??
rrr r
rr
o
如：(09江苏文理2).已知向量
a
和向量
b< br>的夹角为
30
，
|a|?2,|b|?3
，则向量
a

和向量
b
的数量
rr
积
a?b
=
___________；
ⅲ：数量积的性质及运算律：
①
a
⊥b
?
a
·b=0
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
（
a
，b为非零向量）；
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
②︱
a
︱=
a?a?x
1
2
?y
1
2
； ③cos
?
==；
2222
a?b
x
1
?y
1
?x
2
?y
2

?
???
?
?
?
?
?
?
?
0
a, b,c满足a?b?c?0,且a与b的夹角为135，c与b
的夹角为
120
0，如：已知平面向量
??
c?2,则a?

易错点：
①
|a?b|?|a|?|b|
。 ②
(a?b)?c?a?(b?c).

③若
a
、
b
、
c
是非零向量且
a?c?b?c
并不能得到
a?b
< br>④故
a?0
或
b?0
是
a?b
=0的充分而不必要条 件

5.数量积的应用：
ⅰ。求长度：
a?a?a
=
|a|
.
|a|
=
a?a
=
a
=
0
2
2
2
x
2?y
2
.
如：（2009辽宁卷理）平面向量
a
与
b
的夹角为
60
，
a?(2,0)
，
b?1

则
a?2b?


ⅱ。求角度：


|a|?|b|
x?y?x?y
?
?
?
?
??
?< br>如：①已知
a?1,b?2
，且
(a?b)
与
a
垂直 ，则
a
与
b
的夹角为_______
②已知若
a ?(
?
,2),b?(?3,5),
a
和
b
夹角为钝角,则
?
的取值范围是：


ⅲ。证平行：
两个向量共线的充要条件：
(1) 向量b与非零向量
a
共线的充要条件是 有且仅有一个实数
?
，使得b=
?
a
．
(2) 若
a
=（
x
1
,y
1
）,b=（
x
2,y
2
）则
a
∥b
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
．
如：
①
a,b< br>是不共线的两个向量,已知
AB?2a?kb,BC?a?b,CD?a?2b,

若
A,B,D
三点共线,则
k
值为： ；
cosa,b?
a?b
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
2
1
2
1
2
2
2
2

，，2)b?(2，3)
，若向量
?
a?b
与向量c?(?4，?7)
共线， ②设向量
a?(1

则
?
?
；


ⅳ。证垂直：
a?b?a?b?0
?
x
1
x
2
+y
1
y
2
=0
< br>如
:
①若
a，b，c
为
△ABC
的三个内角
A，B，C
的对边，向量
m?(3，?1)，n?(cosA，sinA)
．若< br>m?n
，且
acosB?bcosA?csinC
，
则角
A，B
的大小分别为：

6.求两向量的数量积常有三种途径:
(1)利用数量积的原始定义; (2)坐标化 (3)转化为基向量
如:①在平面四边形
ABCD
中，若
AC?3,BD?2
，
D
uuuruuuruuuruuur
则
(AB?DC)?(AC?BD)?
.





A
C
B

uuur
uuur
②如图，在ΔABC中，
AD?AB
，
B C?3
BD
，
uuuruuur
uuur
AD?1
，则
AC?AD
= ；