高中数学选修所有知识点归纳(最全)

选修数学知识点
第一部分 简单逻辑用语
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.
2、“若
p
，则q
”形式的命题中的
p
称为命题的条件，
q
称为命题的结论.
3、原命题：“若
p
，则
q
” 逆命题： “若
q
，则
p
”
否命题：“若
?p
，则
?q
” 逆否命题：“若
?q
，则
?p
”
4、四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
5、若
p?q，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必 要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分 必要条件）．
利用集合间的包含关系： 例如：若
A?B
，则A是B的充分条件或B 是A的必要条件；若A=B，则A是
B的充要条件；
6、逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式
p?q
；⑵或（or）：命题形式
p?q
；
⑶非（not）：命题形式
?p
.
p?q

p

p?q

?p

q

真
真
假
假
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
真
假
假
假
真
真
7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“
?
”表示；
全称命题p：
?x?M,p(x)
； 全称命题p的否定
?
p：
?x?M,?p(x)
。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“
?
”表示；
特称命题p：
?x?M,p(x)
； 特称命题p的否定
?
p：
?x?M,?p(x)
；

第二部分 圆锥曲线
1、平面内与两个定点
F
1
，
F2
的距离之和等于常数（大于
F
1
F
2
）的点的轨迹称 为椭圆．
即：
|MF
1
|?|MF
2
|?2a,(2a? |F
1
F
2
|)
。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程

x
2
y
2
?
2< br>?1
?
a?b?0
?

2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab

范围
?a?x?a
且
?b?y?b

?
1
?
? a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
0 ,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

顶点
?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、< br>F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2< br>?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?
< br>aa
3、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距 离之差的绝对值等于常数（小于
F
）的点的轨迹称为双曲线．即：
1
F
2
||MF
1
|?|MF
2
||?2a,(2a?|F
1
F
2
|)
。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
4、双曲线的几何性质：
焦点在
y
轴上
焦点的位置 焦点在
x
轴上
图形

标准方程

x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
x??a
或
x?a
，
y?R

y??a
或
y?a
，
x?R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1< br>F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
y??
b
x

a
y??
a
x

b
渐近线方程

5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
6、平面内与一个 定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点
F< br>称为抛物线的焦点，定直
线
l
称为抛物线的准线．
7、抛物线的几何性质：
y
2
?2px

标准方程
y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

图形

顶点
对称轴
焦点
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?




?
0,0
?

x
轴
y
轴
p
??
F
?
0,
?

2
??
p
??
F
?
0,?
?
< br>2
??
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
准线方程
离心率
范围
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
e?1

x?0

x?0

y?0

y?0

8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、
?
两点的线段
??
，称为抛物线的“通径”，即
???2p
．
9、焦半径公式：
p
；
2
p
2
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物 线
x?2py
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?y
0
?
；
2
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y?2px
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?x
0
?
2

第三部分 导数及其应用
1、函数
f
?
x
?
从< br>x
1
到
x
2
的平均变化率：
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?

x
2
?x
1
x?x
0
2、导数定义：
f
?
x
?
在点
x
0
处的导数记作
y
?
?f?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x )?f(x
0
)
；．
?x
3、函数
y?f
?x
?
在点
x
0
处的导数的几何意义是曲线
4、常见函数 的导数公式：
'
①
C
?0
；②
(x)?nx
x' x
y?f
?
x
?
在点
?
?
x
0< br>,f
?
x
0
?
?
处的切线的斜率．
n'n?1'
； ③
(sinx)?cosx
；④
(cosx)??sinx
；
'< br>x'x
'
⑤
(a)?alna
；⑥
(e)?e
； ⑦
(log
a
x)?
11
'
；⑧
(lnx)?
xlnax
5、导数运算法则：

?
?
1
?

?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f< br>?
?
x
?
?g
?
?
x
?
；
?
?
2
?

?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x?
g
?
?
x
?
；
?
f
?< br>x
?
?
?
f
?
?
x
?
g< br>?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
?
g
?
x
?
?0
?
??
?
2
gx
?
?
3
?
?
??< br>?
?
g
?
x
?
?
?
．
6 、在某个区间
?
a,b
?
内，若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个区间 内单调递增；
若
f
?
?
x
?
?0
，则函 数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递减．
7、求函数y?f
?
x
?
的极值的方法是：解方程
f
?
?
x
?
?0
．当
f
?
?
x
0
?
?0
时：
?
1
?
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f< br>?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极大值；
?
2
?
如果在
x
0< br>附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x< br>0
?
是极小值．
8、求函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤是：
?
1
?
求函数
y?f
?
x
?
在
?
a ,b
?
内的极值；
?
2
?
将函数
y?f
?
x
?
的各极值与端点处的函数值
f
?
a
?
，
f
?
b
?
比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是
最小值．
9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。



第四部分 复数
1．概念：
(1) z=a+bi
∈
R
?
b=0 (a,b
∈
R)
?
z=
z
?
z
2
≥0；
(2) z=a+bi是虚数
?
b≠0(a,b
∈
R)；
(3) z=a+ bi是纯虚数
?
a=0且b≠0(a,b
∈
R)
?
z＋z
＝0（z≠0）
?
z
2
<0；
(4) a+bi=c+di
?
a=c且c=d(a,b,c,d
∈
R)；
2．复数的代数形式及其运算：
设z
1
= a + bi , z
2
= c + di (a,b,c,d
∈
R)，则：
(1) z
1
±z
2
= (a + b)± (c + d)i；
(2) z
1
.z
2
= (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；
(3) z
1
÷z
2
=
(a?bi)(c?di)
?bdbc?ad
(z≠0)
?

ac
2
?i
2
(c?di)(c?di)c?d
2
c
2
?d
2
3．几个重要的结论：
(1)
(1?i)
2
??2i
；⑷
1?i
?i;
1?i
??i;

1?i1?i
(2)
i
性质： T=4；
i
4n
?1,i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i
4n?3
??i
；
i
4n
?i
4n? 1
?i
4?2
?i
4n?3
?0;

(3)
z?1?zz?1?z?
4．运算律：（1）
z?z ?z
mn
1
。
z
m?n
;(2)(z
m
)
n
?z
mn
;(3)(z
1
?z
2
)< br>m
?z
1
z
2
(m,n?N);

z
1
z
)?
1
；⑷
z?z
。
z
2
z
2
z
1
|z|
|?
1
； ⑷
|z
n
|?|z|
n
；
z
2
|z2
|
mm
5．共轭的性质：⑴
(z
1
?z
2< br>)?z
1
?z
2
；⑵
z
1
z
2
?z
1
?z
2
； ⑶
(
6．模的性质：⑴
||z
1
|?|z
2
||? |z
1
?z
2
|?|z
1
|?|z
2
|< br>；⑵
|z
1
z
2
|?|z
1
||z
2
|
；⑶
|

第五部分 统计案例
1．线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：
y?bx?a
（最小二乘法）
n
?
x< br>i
y
i
?nxy
?
?
i?1
?
?< br>b?
n
2
注意：线性回归直线经过定点
(x,y)
。
2
?
x?nx
?
i
?
i?1
?
?
?
a?y?bx
?2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
r?
?
(x
i?1
n
i
?x)(y
i
?y)
n
?
(x
i?1
n

i
?x)
2
?
(y
i
?y)
2
i?1
注：⑴
r
>0时，变量
x,y
正相关；< br>r
<0时，变量
x,y
负相关；
⑵①
|r|
越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②
|r|
接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相
关关系。
3．回归分析中回归效果的判定： < br>⑴总偏差平方和：
?
(y
i?1
n
i
?y)
⑵残差：
e
i
?y
i
?y
i
；⑶残差平方和：?
(yi?yi)
2
；⑷回归平方和：
2
i?1
??
n
?
?
(y
i?1
n
i
?y)
－
?
(yi?yi)
2
；⑸相关指数
R
2
?1?2
i?1
n
?
?
(y
?
(y
i?1< br>i?1
n
n
i
?y
i
)
2
。 < br>?
i
?y
i
)
2
注：①
R
得知越大 ，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；
②
R
越接近于1，，则回归效果越好。
4．独立性检验（分类变量关系）：


2
2

随机变量
K
2
越 大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

第六部分 推理与证明
一．推理：
⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联 想，在进行归纳、类比，然后
提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
①归纳推理：由某 类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个
别事实概括 出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推 理，称
为类比推理，简称类比。
注：类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提 ---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；
⑶结 论 ---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
二．证明
⒈直接证明
⑴综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最 后推导出所要证明的结论成
立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
⑵分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明 的结论归结为判定一个明显
成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。 分析法又叫逆推证法或执果索因法。
2．间接证明------反证法
一般地，假设原命题 不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种
证明方法叫反 证法。

选修4-4数学知识点
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：
1．坐标系：
① 理解坐标系的作用.
② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行
极坐标和直角坐标的互化.
④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极 点的圆）的方程.通过比较这些图形在
极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时 选择适当坐标系的意义.
2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.
② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
二、知识归纳总结：
?
x
?
?
?
?x,(
?
?0),
1．伸缩变换：设点< br>P(x,y)
是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
?
:
?
的作用下，点
P(x,y)
?
y?
?
?y,(
?
? 0).
?
对应到点
P
?
(x
?
,y
?)
，称
?
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极 坐标系的概念：在平面内取一个定点
O
，叫做极点；自极点
O
引一条射线Ox
叫做极轴；再选定一个长度单
位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆 时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点
M< br>的极坐标：设
M
是平面内一点，极点
O
与点
M
的距离
|OM|
叫做点
M
的极径，记为
?
；以极轴
Ox< br>为始边，射线
OM
为终边的
?xOM
叫做点
M
的极角 ，记为
?
。有序数对
(
?
,
?
)
叫做点< br>M
的极坐标，记为
M(
?
,
?
)
. 极坐标
(
?
,
?
)
与
(
?
,
?
?2k
?
)(k?Z)
表示同一个点。极点
O
的 坐标为
(0,
?
)(
?
?R)
.
4.若
?
?0
,则
?
?
?0
,规定点
(?
?,
?
)
与点
(
?
,
?
)
关于 极点对称，即
(?
?
,
?
)
与
(
?
,
?
?
?
)
表示同一点。
如果规定
?
?0,0?
?
?2
?
，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标
(
?
,
?
)
表示；同时，极坐标
(
?
,< br>?
)
表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化：
?
2
?x
2
?y
2
,x?
?
co s
?
,


y

y?
?
sin
?
,tan
?
?(x?0)

x

6。圆的极坐标方程：
在极坐标系中，以极点为圆心，
r
为半径的圆的极坐标方程是
?
?r
；
在极坐标系中，以
C(a,0)(a?0)
为圆心，
a
为半径的圆的极坐标方程是
?
?2acos
?
；
在极坐标系中，以
C(a,
?
2
7.在极坐标系中，
?
?
?
(
?
? 0)
表示以极点为起点的一条射线；
?
?
?
(
?
? R)
表示过极点的一条直线.
在极坐标系中，过点
A(a,0)(a?0)
，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是
?
cos
?
?a
.

)
(a?0)
为圆心，
a
为半径的圆的极坐标方程是?
?2asin
?
；
?
x?f(t),
8．参数方程 的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
x,y
都是某个变数
t的函数
?
并
y?g(t),
?
且对于
t
的每 一个允许值，由这个方程所确定的点
M(x,y)
都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲 线的
参数方程，联系变数
x,y
的变数
t
叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
?
x?a?rcos
?
,
(
?
为参数)
.
?
y?b?rsin
?
.
?
x?acos
?
,
x
2
y
2
椭圆
2
?
2
?1
(a?b?0)
的参数方程可表示为
?
(
?
为参数)< br>.
ab
y?bsin
?
.
?
?
x?2px
2
,
2
(t为参数)
. 抛物线
y?2px
的参数方程可表示为
?
?
y?2pt.
9．圆
(x?a)?(y?b )?r
的参数方程可表示为
?
222
?
x?x
o
? tcos
?
,
经过点
M
O
(x
o
,y
o
)
，倾斜角为
?
的直线
l
的参数方程可表示为< br>?
（
t
为参数）.
y?y?tsin
?
.
o
?
10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的 互化中，必须使
x,y
的
取值范围保持一致.