高中数学常考知识点总结

高中数学常考知识点总结

集合函数常见结论 < br>熟悉解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳
径，总结解题方法，防止解题易误点的产生，
对提升高考数学成绩将会起到立竿见影的效
果。
一、集合与简易逻辑：(一)常考常用知识点：
nnnn
1． 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、
真子集、非空子集、非空真子集的个数依次
为2，2?1，2?1，2?2.

2．
若A?B?A?A?B
,
若A?B?A?B?A

3． 反演律：
C(A?B)?CA?CB
，
C(A?B)?CA?CB
。
4． “p且q”的否定是“非p或非q”；“p或
q”的否定是“非p且非q”。
5． 或（∨）、且（∧）、非（
?
）命题的真假 ：
p?q
命题 同真才真；
p?q
命题 一假即假,
?p
与原命题相反
6． 四种命题的真假关系： （互为逆否关
系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否
命题同真同假。
IIIIII
(二)易错点
1、研究集合必须注意集合元素的特征即三性
(确定,互异,无序); 已知集合
A= {x,xy,lg(xy)},集合
B?{0,|x|，y}
且
B?A
则x?y?

2、研究集合必须弄清代表元素,才能理解集合
的实质。 如
A?{y|y?x}

2
2 11

B?{x|y?x
2
}
，
C?{(x,y )|y?x}
，
D?{y?x}
这四个集合
22
一样吗？
3、当
A?B??
时，你是否注意到“极端”情况：
A??
或
B??
；
当
A?B
时，是否忘记A=
?
的情况.
二、 函数与导数：（一）常考常用知识点：对称性与周期性
1. 如果函数
y?f
?
x
?
对于一切
x?R
，都有
f
?
a?x
?
?f
?
b?x
?
b
成立，那么
y?f
?
x
?
的图像关于直线
x?
a?
2
(b?x)
（
x?
(a?x)?
）对称.
2
a
2. 函数
y?f
?
a?x
?
，y?f
?
b?x
?
的图像关于直线
x?
b?
2
（
a?x?b?x
）对称.
3. 若
f(x?a)??f(x)(a?0)
，则
T?2a
.
k
(ak?0)
，则
T?2a
.
若f(x?a)??(ak?0)
， 4.
若f(x?a)?
f
k
(x)f(x)
则
T?2a< br>.
奇偶性和单调性
1、 具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义
域必须关于原点对称！
2、若奇函数定义域中有0， 则有
f(0)?0
.
f(0)?0
是
f(x)
为奇函数的必 要非充分条件.
3、 对于偶函数而言有：
f(?x)?f(x)?f(|x|)
.
4、
奇函数在对称区间上单调性相同：偶函数在
对称区间上单调性相反.
3 11

5、多项式函数的奇偶性
P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次项的系数全为零.
P(x)
是偶函数
?
P(x)
的奇次项的系数全为零.
6 、既奇又偶函数有无穷多个（但解析式只有一
个是
f(x)?0
，定义域是关于原点对 称的
任意一个数集）
7、增函数＋增函数＝增函数 减函数＋减
P(x)?a
n
x
n
?a
n?1
x
n?1
?L?a0
函数＝减函数
增函数－减函数＝增函数 减函数－
增函数＝减函数
8、 若y=f(x)是增函数，则
y?cf(x)
，
当

9、复合函数的单调性特点是：“同性得增，增
必同性；异性得减，减必异性”.
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇
同外”.
10、设
x?x?
?
a,b
?
,x?x
那么 f(x)?f(x)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是
(x?x)
?
f(x)?f(x)
?
?0
?
x?x
1212
12
1212
12
增函数；
4 11

(x
1
?x
2
)
?
f( x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
f(x
1< br>)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
x
1
?x
2
上是
减函数.
11、你知道函数
y ?x?
a
x
（该
?
a?0
?
的单调区间吗？
函数在
?
??,?a
?
和
?
a,??
?
上单调递增；在
?
?a,0
?
和
?
0,a
?
上单调递减）这可是一个应用广泛的函
数！
图像变换

1、函数
y?f
?
x
?
与
y?f
?
?x
?
的图像关于y轴 对称；
2、函数
y?f
?
x
?
与y??f
?
x
?
的图像关于x轴 对称；
3、函数
y?f
?
x
?
与
y??f
?
?x
?
的图像关于原点对称；
4、
5 11

5、
f(x)????????????|f(x)|

保留x轴上方不变 ，将x轴下方对称翻上去
??f(|x（偶函数）|)
6、
f(x)???????? ???????????

ax?b
(c?0,ad?bc)
的图像是双曲线 ，其两7、形如
y?
cx?d
保留y轴上方不变，擦去y轴左方图像，然后做出y轴右 方关于x轴对称的图像
渐近线分别直线
x??
d

c
(由分 母为零确定)和直线
y?
a
(由分子、分
c
,
a
)
。母中
x
的系数确定)，对称中心是点
(?
d

cc
8、分段函数的问题 分段 解决。
导函数
y
?lim
1、 导数的定义：
f?
?
x
?
?y??lim
?
?x
?x?0
?x?0
f
?
x ??x
?
?f
?
x
?
?x

2、 导数的 几何意义：
f
?
?
x
?
是曲线
y?f(x)
在点
P
?
xf
?
x
?
?
处的切线的斜率
3、导数的应用：
应用一：求切线方程： 注意区分“在点”处，
还是“过点”处；
应用二：求单调性： 注意“正用”还是“逆
0
0,0
6 11

用”。正用不带等号，逆用带等号。
“正用”步骤：（1）求定义域： （2）求
f
?
(x)
；
（3） 解不等式
f(x)?0
、或
f(x)?0
；
（4）下结论。
应用三：求最值和极值：
极值步骤：（1）求定义域：（2）求
导数
f
?
(x)
；
（3）求方程
f
?
(x)?0
的根
x
；
（4）列表：（检查
f
?
(x)
在
方程
f
?
(x)?0
的根
x
的左
右两侧的符号：“左正
右负”
?< br>
f(x)
在
x
处取
极大值；“左负右正”
?
f(x)

在
x
处
取极小值。）
'
'
0
0
0
0
(二)易错点
1、研究函数问题时一定要先考虑定义域：
2、若函数
y?f(x)
在区间 （
a,b
）上单调递增，则
f
?
(x)?0
；
若函数
y?f(x)
在区间（
a,b
）上单调递减，则
7 11

，注意等号。
3、
x
是极值点 的充要条件是在
x
点两侧导数异
号，而不仅仅是
f?
?
x< br>?
＝0。
4、解对数函数问题时，你注意到真数与底数的
限制条件了吗？（真 数大于零，底数大于零
且不等于1）字母底数还需讨论呀.
5、对数的换底公式及它的变形， 你掌握了吗？
logb
n
,logb?logb
） （
logb?< br>logam
f
?
(x)?0
00
0
c
na
a
m
a
c
6、你还记得对数恒等式吗？（
a

对应练习：
log
a
b
?b
）
1、若
A?{1,2,3,4}
，
B?{a,b,c}
，
a,b,c?R
， 则
A
到
B
的映射
有 个，
B
到
A
的映射有 个，
A
到
B
的函
数有 个（答：81,64,81）； 2、设
f(x)
是
(??,??)
上的奇函数，当
0?x?1< br>f(x?2)??f(x)
，
时，
f(x)?x
，则
f(47 .5)
等于_____(答：
?0.5
)；
?
(x?1).(x? 1)
3、设函数
f(x)?
?
，则使得
f(x)?1
的自变 量
?
2
?
?
4?x?1.(x?1)
的取值范围是____ ______（答：；
(??,?2]U[0,10]
）
(x?0)
?1　　
4、已知
f(x)?
?
?1　　
，则不等式
x? (x?2)f(x?2)?5
的
(x?0)
x
?
解集是______ __
（答：
(??,
3
]
）
2
8 11

定义在
R
上的偶函数
f(x)
满足
f(x?2)?f(x)
，且在
若
?
,
?
是 锐角三角形的两个
[?3,?2]
上是减函数，
内角，则
f(sin
?
),f(cos
?
)
的大小关系为_________
(答：
f(sin
?
)?f(cos
?
)
)；
6、
已知
f(x)
是偶函数，且
f(1)
=993，g(x)
=
f(x?1)
是奇
函数，求
f(2005)
的值
(答：993)；
7、设
f
?
x
?
是定义 域为R的函数，且
又
f
?
2
?
?2?2
， 则
f
?
2006
?
=
f
?
x?2
?
?
?
1?f
?
x
?
?
?
?1?f
?
x
?
，
(答：
2
2
?2
)
5、
8、若函数
f(x)?2sin(3x?
?
)
，x?[2
?
?5
?
,3
?
]
为奇函数，其中
?
?(0,2
?
)
，则
?
?
? 的值是 （答：0）；
·2?a?2
a
＝____9、若
f(x) ?
a
为奇函数，则实数（答：
2?1
x
x
1）.
10、若定义在R上的偶函数
f(x)
在
(??,0)
上是减函
数， 且
f(
1
)
=2，则不等式
f(logx)?2
的解集为< br>3
1
8
______.（答：
(0,0.5)U(2,??)
）
11、已知定义域为
R
的函数
f(x)
满足
f(?x) ??f(x?4)
，
且当
x?2
时，
f(x)
单调递增。如 果
x?x?4
，且
(x?2)(x?2)?0
，则
f(x)?f(x )
的值的符号是____
（答：负数）
12
1212
9 11

12、作出函数
y?|log(x?1)|
及< br>y?log
22
|x?1|
的图象；
13、若函数
f(x)
是定义在R上的奇函数，则函数
F(x)?f(x)?f(x)
的图象关于____对 称 （答：
y
的单调递增区间是
轴）
14、函数
y?log?
?x
1
2
2
?2x
?
________(答 ：（1,2）)。
15、若函数
f(x)?log(x?ax?3)
在区间
(??,
a
]
上为减函
2
2
a
数，求
a< br>的取值范围
（答：
(1,23)
）
16、 已知奇函数
f (x)
是定义在
(?2,2)
上的减函数,
若
f(m?1)?f(2 m?1)?0
，求实数
m
的取值范围。
2
（答：
?
1
?m?
）
23
17、设
a?0
函数
f(x)?x?ax
在
[1,??)
上单调函数，则实
数
a
的取值范围______
（答：
0?a?3
）；
18、设函数
f(x)?ax?bx?cx
在
x??1,1
处有极值，且
（答：递增区间
f(?2)?2
，求
f(x)
的单调区间。
（－1,1），递减区间
?
??,?1
?
,(1,??)
）
19、函数
y?(x?1)?1
的极值点是 A、极大值点
x??1

B、极大值点
x?0
C、极小值点
x?0
D、极
3
32
23
10 11

小值点
x?1
（答：C）；
20、已 知函数
f(x)?x?ax?(a?6)x?1
有极大值和极小
值，则实数
a
的取值范围是_____（答：
a?6
或
a??3
）；
2 1、函数
f
?
x
?
?x?ax?bx?a在x?1
处有极小 值10，则
32
322
a+b的值为____（答：－7）；




11 11