抛物线知识点

抛物线
知识点
1、掌握的定义 :平面内与一定点F和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线
l
上)。定点F叫做抛物线的 焦点，定直线
l
叫做抛物线的准线
2、方程、图形、性质
标准方程
y
2
?2px

(p?0)
y


l



o


F




y
2
??2px

(p?0)
y


x

x
2
?2py

(p?0)
y

x

l

x
2
??2py
(p?0)

l

图形
F

o

F


o

x


统一方程
焦点坐标
准线方程
范围
对称性
顶点
离心率
焦半径

p
(,0)

2
p
x??

2
x?0

x
轴
(0,0)

(?
p
,0)

2
p
x?

2
x?0

x
轴
(0,0)

p
(0,)

2
p
y??

2
y?0

y
轴
(0,0)

p
(0,?)

2
p
y?

2
y?0

y
轴
(0,0)

e?1


e?1


e?1


e?1


3、 通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长为 ；
4、 抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；
5、 注意强调
p
的几何意义： 。
方程及性质
2
1、抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是
x
轴,抛物 线过点(
?5
,2
5
),则抛物线的标准方程是( )A.
y
=-2
x
B.
y
=2
x
C.
y
=-4
x
D.
y
=-6
x

2、抛物线
y?8x
的焦点到准线的距离是（ ）(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8
3、抛物线
y?8x
的焦点坐标是_______
4、抛物线
y?2x
2
的准线方程是_____________;
5、设抛物线
y?2px(p?0)
的焦点为
F
，点
A(0,2)
.若线段
FA
的中点
B
在抛物线上，则
B
到该抛物 线准
线的距离为_____________。
6、过点
P(2,2)
的抛物线的标准方程是____________.
7、对于抛物线
y?4x
上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值 范围是
A．
(??,0)
B．
(??,2]
C．[0，2] D．（0，2）
2
8、设O为坐标原点，F为抛物线
y?4x
的焦点，A是 抛物线上一点，若
OA?AF??4
，则点A的坐标是（ ）
2
2
2
2
222
第 1 页 共 6 页

A．
(2,22),(2,?22)
B．（1，2），（1，－2） C．（1，2）D．
(2,22)

9、在同一坐标系中，方程
ax?bx? 1与ax?by?0(a?b?0)
的曲大致是( )








A． B． C． D．
22222

x
2
y
2
x
2
y
2
10、已知椭圆
2
?
2
?1
(
a
＞
b
＞0)，双曲线
2
?< br>2
?1
和抛物线
y
2
?2px
(
p
＞0 )的离心率分别为
e
1
、
e
2
、
ab
ab
e
3
，则（ ） A.
e
1
e
2
＜
e
3
B.
e
1
e
2
＝
e
3
C.
e
1
e
2
＞
e
3
D.
e
1
e
2
≥
e
3

抛物线曲线几何意义
11、动点
P
到点
F(2,0)
的距 离与它到直线
x?2?0
的距离相等,则
P
的轨迹方程为____.
12、已知抛物线
y?2px(p?0)
的准线与圆
x?y?6x?7?0
相切,则p的值为
(A)
222
1
(B) 1 (C)2 (D)4
2
2
13、以抛物线
y?4x
的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )
A.
x+y+2x=0
B.
x+y+x=0
C.
x+y-x=0
D.
x+y-2x=0

22222222
1
的距离都相等，如果这样的 点恰好只有一个，那么
a
的值
2
11
3
1
1
3
是( ) A． B． C．或 D．
?
或
2
22
2
2
2
14、点
P
到点
A(,0)
，
B(a,2)
及到直线
x??
15、点
M
与点
F
?
4,0
?
的距离比它到直线
x?5?0
的距离小1,求点
M
的轨迹方程。
16、已知点F(1 ,0),直线
l:x??1,
点B是
l
上的动点,若过B且垂直于y轴的直线 与线段BF的垂直平分线交
于点M,则点M的轨迹是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线
17、以抛物线
y?8x
上的 点M与定点
A(6,0)
为端点的线段
MA
的中点为
P
，求
P
点的轨迹方程．
18、已知圆的方程为
x
2
?y
2
?4
，若抛物线过点
A(?1
, 0)，
B
(1, 0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨
迹方程为( )
x
2
y2
x
2
y
2
x
2
y
2
x2
y
2
A．
??1(y?0)
B．
??1(y?0)
C．
??1(x?0)
D．
??1(x?0)

3443
4334
2
1
2
19、过抛物线
y?2px(p?0)
的顶点
O
作两条互相垂直的弦
OA,OB
，再以
OA,OB
为邻边作矩形
AOBM
，求点
M
的轨迹方程。
20、在直角坐标系中，到点(1，1)和直线x+2y=3距离相等的点的轨迹是（ ）
A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线
第 2 页 共 6 页 < br>2

21、已知实数x,y满足条件
?
x?1
?
?
?
y?3
?
22
?
x?y?1
2
,则点
P
?
x,y
?
的运动轨迹是（ ）
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆
22、与圆(
x
＋1)＋
y
=1外切且与
y
轴相切的动圆的圆心轨迹方程为（ ）
222
（A）y=－4x (x<0) （B）y=0 (x>0)（C）y=－4x (x<0)和y=0 (x>0) （D）y=－2x－1 (x<－1)
焦半径
23、已知抛物线方程为
y?2px (p?0)
,过该抛物线焦点
F< br>且不与
x
轴垂直的直线
AB
交抛物线于
A,B
两点,过点
A
,点
B
分别作
AM,BN
垂直于抛物线的准 线,分别交准线于
M,N
两点,那么
?MFN
必是
A.锐角 B.直角 C.钝角 D. 以上皆有可能
24、抛 物线
y?2x
上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点到y轴的距离是____ _______。
25、已知过抛物线
y?4x
的焦点
F
的直线交 该抛物线于
A
、
B
两点,
AF?2
,则
BF?_____________ .
26、设抛物线
y
2
?8x
上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）
A. 4 B. 6
2
2
2
22
2
C. 8 D.12
2 7、若抛物线
y?x
上的点
P
到直线
x??1
的距离为2， 则点
P
到该抛物线焦点的距离为________。
28、若抛物线y=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为 ( )
2
?
A.
?
，
?
1
?
4
?
?
1
?
12
??
12
?
2
?< br>2
?
，?
B. C. D.
，，
?
???
???
???
????
4
?
4
??
8
?
44
??
84
?
2< br>29、己知等边三角形的一个顶点位于抛物线
y?x
的焦点，另外两个顶点在抛物线上， 则这个等边三角形的
边长为________．
30、从抛物线
y?4x
上 一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF
的面积为（ ） A．5 B．10 C．20 D．
15

2
31、抛物线
x
2
?4y
上一点
A
的纵坐标为4，则点
A
与抛 物线焦点的距离为( )
A.2 B.3 C.4 D. 5
2
uuuruuuruuurr
32、已知A,B,C为抛物线
y?2p x(p?0)
上不同的三点, F为抛物线的焦点,且
FA?FB?FC?0
,求uuuruuuruuur
|FA|?|FB|?|FC|?
________
33、 已知抛物线的顶点在原点,焦点在
x
轴的正半轴上,
F
为焦 点,
A,B,C
为抛物线上的三点,且满足
uuuruuuruuurr
uu uruuuruuur
FA?FB?FC?0
,
FA?FB?FC?6
,则抛 物线的方程为 .
，y
1
)，P
2
(x
2< br>，y
2
)
，
P
3
(x
3
，y
3
)
在抛物线上，且34、已知抛物线
y?2px(p?0)
的焦点为F
，点
P
1
(x
1
2x
2
?x
1
?x
3
， 则有（ ）
第 3 页 共 6 页
2

Ａ．
FP
1
?FP
2
1
?FP
2
?FP
3
Ｂ．
FP
2
22
Ｄ．
FP?FP ?FP·FP
3
Ｃ．
2FP
213

2
?FP
1
?FP
3

22
22
35、已知抛物线
y
=4
x
,过点
P
(4,0)的直线与抛 物线相交于
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y2
)
两点，则
y
1
+
y
2
的最小值< br>是 .
2
rr
uuuruuur
uuu
36、设
F
为抛物线
y?4x
的焦点，
A
，
B，
C
为抛物线上三点．
O
为坐标原点，若
FA
＋
FB
＋
FC
＝
0
．△
OFA
，
△
OFB
，△
OFC
的面积分别为S
1
，
S
2，
S
3,
则
S
1
＋
S
2
＋< br>S
3
的值为（ ）
A．9 B．6 C． 4 D． 3
37、过抛物线y=4x的焦点作直线交抛物线 于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
) ,如果x
1
+x
2
=6,那么|AB|=( )
A.8 B.10 C.6 D.4
38、设抛物线
x?4y
的焦点 为
F
,经过点
P(1,2)
的直线与抛物线交于
A
、
B
两点,又知点
P
恰好为
AB
的中
点,则
AF? BF
的值是 ( ) A.3
2
2
2
222
B.4 C.6 D.
17

8
则
?AFK
2AF
，39、 已知抛 物线
C:y?8x
的焦点为
F
，准线与
x
轴的交点为
K
，点
A
在
C
上且
AK?
的面积为( ) （Ａ）
4
（Ｂ）
8
（Ｃ）
16
（Ｄ）
32

40、 设抛物线
y?8x
的焦点为
F
,准线为
l
,
P
为抛物线上一点,
PA?l
,
A
为垂足,如果直线
AF
斜率为
2
?3
,那么
PF?
（ ）
2
(A)
43
(B) 8 (C)
83
(D) 16
41、直线
l
过抛物线
y?x
的焦点
F
，交抛物线于
A、B
两点，且点
A
在
x
轴上方，若直线
l
的倾斜角
?
≥
则|FA| 的取值范围是 （ ）
A.
?
,
π
，
4
?
2
?
2
?
22?
?
13
??
13
?
1
?
,?,1? 1?,1?
B. C. D.
?
??
???

?
2
?
22
?< br>?
42
?
?
442
?
?
4
?
22
2
xy
42、已知定点N(1, 0)，动点A、B分别在图中抛物线y=4x及椭圆 + =1的
43
实线部分上运动，且AB∥x轴，则△NAB的周长L的取值范围是
x
2
y
2
??1
和抛物线
y
2
? 4x
,斜率为0的直线AB在第一象限内分别交椭圆与抛物线于A,B两43、已知椭圆
43< br>点,点M(1,0),则
|BM|?|AM|
的最大值为 （ ） A、
2
111
B、 C、 D、
1

12 42
44、过抛物线
y?ax
（
a?0
）的焦点
F
用一直线交抛物线于
P
、
Q
两点，若线段
PF
与
F Q
的长分别是
p
、
q
，
则
1
4
1 1
?
等于（ ） A．2
a
B． C．4
a
D．
2a
a
pq
2
过焦点弦
45、过抛物线
y?x
的焦点作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和 等于3，则这样的直线
（ ）A．有且只有一条 B．有且只有两条 C．有无穷多条 D．不存在
46、过抛物线
y?ax(a?0)
的焦点< br>F
作一直线交抛物线于
A
、
B
两点，若线段
AF、
BF
的长分别为
m
、
n
，
2
第 4 页 共 6 页

则
mn
m?n
等于（ ） A.
1
2a
B.
1
4a
C.
2a
D.

a
4

uuuruuur
47、 设抛物线
y?2x
与过其焦点的直线交于
A,B
两点，则
OA?OB
的值（ ）
2
A
3
3
B
?
C
3
D
?3

4
4
48、 如图，已 知
O
是坐标原点，过点
P(5,0)
且斜率为
k
的直线l
交
抛物线
y
2
?5x
于
M(x
1
,y
1
)
、
N(x
2
,y
2
)< br>两点.
（1）求
x
1
x
2
和
y1
y
2
的值；（2）求证：
OM?ON
.
49、抛物 线
y
2
?4x的焦点为F,
准线为
l
，
l
与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x
轴上方的部分相交于点A，AB⊥l
，垂足为
B
，则四边形ABEF的面积等于（ ）
A、
33

50、过抛物线
B、
43
C、
63
D、
83

y
2
?2px(p?0 )
的焦点
F
且倾斜角为
60
o
的直线
l
交 抛物线于
A、B
两点,若
|AF|?3
, 则
22
3
x
此抛物线方程为（ ）A．
y?3x
B．
y?6x
C．
y?
2
2
2
D．
y
2
?2x

uuuruuur
51、过抛物线
y?2px(p?0)
的焦点
F
作直线
l
,交抛物线于
A ,B
两点,交其准线于
C
点.若
CB?3BF
,
则直线
l
的斜率为_________. < br>uuuruuur
52、已知以F为焦点的抛物线
y?4x
上的两点A、B满足
AF?3FB
,则弦AB的中点到准线的距离为________.
2
2< br>53、已知
F
是抛物线
C：y?4x
的焦点,过
F
且 斜率为
3
的直线交
C
于
A，B
两点.设
FA?FB
,则
FA
与
FB
的比值等于___________.
最值问题
54、已知抛物线
y?4x,
焦点为F,
A(2,2)< br>,P为抛物线上的点,则
PA?PF
的最小值为_____
2
?1)
的距离与点
P
到抛物线焦点距离之和取得最小值55、已知点
P
在抛 物线
y?4x
上，那么点
P
到点
Q(2，
时，点
P
的坐标为______________.
56、已知点P是抛物线
y?4x
上的点，设点P到抛物线准线的距离为
d
1
，到圆
(x?3)?(y?3) ?1
上一
动点Q的距离为
d
2
,则d
1
?d
2
的最小值是_______ .
x
2
57、已知点
Q
（4，0）及抛物线
y
=上一动点
P
（
x
，
y），则
y
+|
PQ
|的最小值是__
12
2222
58、抛物线
y??x
上的点到直线
4x?3y?8?0
距离 的最小值是 （ ）
2
第 5 页 共 6 页

A.
3
B.
784
C. D.
553
59、已知抛物线
y
2
?4x
上的点
P
到抛物线的准线距离为
d
1
,到直线3x?4y?9?0
的距离为
d
2
, 则
d
1
?d
2
的
最小值为
__________
.
60、已知抛 物线
y?x
上有一条长为2的动弦AB，则AB中点M到
x
轴的最短距离为_ ______________
61、若实数
x,y满足y?2x?3,且y?x,则
62、已知点
(x，y)
在抛物线
y
2
?4x
上，则x
2
?
2
2
y
的取值范围是____________ ___
x?12
1
2
y?3
的最小值是___________．
2
63、抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形,阿基米 德三角形有一些有
趣的性质,如:若抛物线的弦过焦点,则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设 抛物线
y?2px
(p
>
0)
,
弦AB过焦点,△ABQ为 其阿基米德三角形,则△ABQ的面积的最小值为（ ）
2
p
2
222
A. B.
p
C.
2p
D.
4p

2
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