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(完整版)高中数学竞赛知识点

作者:高考题库网
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2020-09-15 07:13
tags:高中数学知识点

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数学
均值不等式
被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数,几 何
平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数,简记为“调几算方”。
其中:,被称为调和平均数。
,被称为几何平均数。
,被称为算术平均数。
,被称为平方平均数。
一般形式
设函数
时),有时,。
(当 r不等于0时);(当r=0
可以注意到,Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形,即
特例
⑴对实数a,b,有
当a=-b时取“=”号)
⑵对非负 实数a,b,有
⑶对非负实数a,b,有
⑷对实数a,b,有
⑸对非负实数a,b,有
⑹对实数a,b,有



,即


(当 且仅当a=b时取“=”号),(当且仅


⑺对实数a,b,c,有
⑻对非负数a ,b,有
⑼对非负数a,b,c,有


在几个特例中,最著名的当属算术—几何均值不等式(AM-GM不等式):

当n=2时,上式即:

当且仅当时,等号成立。
根据均值不等式的简化,有一个简单结论,即。
排序不等式
基本形式:
排序不等式的证明
要证
只需证
根据基本不等式
只需证
∴原结论正确




棣莫弗定理
设两个复数(用三角形式表示)

复数乘方公式:.
,则:
圆排列
定义

从n个不同元素 中不重复地取出m(1≤m≤n)个元素在一个圆周上,叫做这n个不同
元素的圆排列。如果一个m- 圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列,则认为这两个圆排列相
同。
计算公式

n个不同元素的m- 圆排列个数N为:
特别地,当m=n时,n个不同元素作成的圆排列总数N为:


费马小定理
费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数,且
(a,p)=1,那么 a(p-1)≡1(mod p)。即:假如a是整数,p是质数,且a,p互质(即两者只
有一个公约 数1),那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
组合恒等式
组合数C(k,n)的定义:从n个不同元素中选取k个进行组合的个数。
基本的组合恒等式
nC(k,n)=kC(k-1,n-1)
C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)
∑C(i,n)=2^n
∑[(-1)^i]*C(i,n)=0
C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)(这个性质叫组合的【聚合性】)
C( k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n) C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C( p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)=
C(p,m+n)
韦达定理
逆定理
如果两数α和β满足如下关系:α+β=
的根。
通过韦达定理的逆定理,可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。[5]
,α·β=,那么这两个数α和β是方程
推广定理
韦达定理不仅可以说明一元二次 方程根与系数的关系,还可以推广说明一元n次方程
根与系数的关系。
定理:
设(i=1、2、3、……n)是方程:
的n个根,记k为整数),则有:

。[
实系数方程虚根成对定理:
实系数一元n次方程的虚根成对出现,即若z=a +bi(b≠0)是方程的一个根,则=a-bi也
是一个根。
无穷递降法
无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为:
假设方程有解,并设X为最小的解。
从X推出一个更小的解Y。


从而与X的最小性相矛盾。所以,方程无解。
孙子定理
又称中国剩余定理,中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组:

有解的判定条件,并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
中国剩余定理说明:假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质,则对任意的整数:a1,a2, ... ,an,
方程组有解,并且通解可以用如下方式构造得到:
设是整数m1,m2, ... ,mn的乘积,并设
是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。
设为模的数论倒数:方程组的通解
形式:
在模的意义下,方程组只有一个解:
同余
同余公式也有许多我们常见的定律,比如相等律,结合律,交换律,传递律….如下面的表
示:
1)a≡a(mod d)
2)a≡b(mod d)→b≡a(mod d)
3)(a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)
如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则
4)a+b≡x+m (mod d)
其中 a≡x (mod d),b≡m(mod d)
5)a-b≡x-m (mod d)
其中 a≡x (mod d),b≡m (mod d)
6)a*b≡x*m (mod d )
其中a≡x (mod d),b≡m (mod d)
7)a≡b(mod d)则a-b整除d
欧拉函数


φ函数的值 通式:φ(x)=x(1-1p1)(1-1p2)(1-1p3)(1-1p4)…..(1- 1pn),其中p1,
p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。φ(1)=1(唯一和1 互质的数(小于等于
1)就是1本身)。 (注意:每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ( 12)=12*(1-12)
*(1-13)=4
若n是质数p的k次幂,φ(n)=p^k -p^(k-1)=(p-1)p^(k-1),因为除了p的倍数外,其他
数都跟n互质。
设n为正整数,以 φ(n)表示不超过n且与n互
素的正整数的个数,称为n的欧拉函数值,这里函数
φ:N→N,n→φ(n)称为欧拉函数。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φ(mn)=φ(m)φ(n)。
特殊性质:当n为奇数时,φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。
若n为质数则φ(n)=n-1。

格点
定义
数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点(lattice point)或整点。
性质
1、格点多边形的面积必为整数或半整数(奇数的一半)。
2、格点关于格点的对称点为格点。
3、格点多边形面积公式(坐标平面内顶点为格点的三角 形称为格点三角形,类似地也
有格点多边形的概念。)设某格点多边形内部有格点a个,格点多边形的边 上有格点b个,
该格点多边形面积为S,
则根据皮克公式有S=a+b2-1。
4,格点正多边形只能是正方形。
5,格点三角形边界上无其他格点,内部有一个格点,则该点为此三角形的重心。
三面角
定义

三面角:由三个面构成的多面角称为三面角,如图中三面角可记作∠O-ABC。
特别地,三个面角都是直角的三面角称为直三面角。
三面角的补三面角:由三条自已知三面角 定点发出的垂直于已知三面角的三个平面的射
线组成的三面角叫做已知三面角的补三面角。

性质

1、三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。
2、三面角的三个二面角的和大于180°,小于540°。
设三面角∠O-ABC的三个面 角∠AOB、∠BOC、∠AOC所对的二面角依次为∠OC,
∠OA,∠OB。
三面角相关定理


1、三面角正弦定理:
sin∠OAsin∠BOC=sin∠OBsin∠AOC=sin∠OCsin∠AOB。
2、三面角第一余弦定理:
cos∠BOC=cos∠OA×sin∠AOB×sin∠AO C+cos∠AOB×cos∠AOC。
3、三面角第二余弦定理:
cos∠OA=cos∠BOC×sin∠OB×sin∠OC-cos∠OB×cos∠OC。
直线方程
一般有以下八种描述方式:点斜式,斜截式,两点式,截距式,一般式,法线式,法 向
式,点向式。
点斜式
已知直线一点(x1,y1,)并且存在直线的斜率k, 则直线可表示为:y-y1=k(x-x1)。适用范
围:斜率K存在的直线。
斜截式 < br>已知与Y轴的交点(0,b),斜率为K,则直线可表示为:y=kx+b。适用范围:斜率
存在 的直线。
两点式
两点式是解析几何直线理论的重要概念。当已知两点(X1,Y1),( X2,Y2)时,将
直线的斜率公式k=(y2-y1)(x2-x1)代入点斜式时,得到两点式(y-y1)(y2-y1)=(x-x1)(x2-x1) 。适用范围:不平行于(或者说不垂直于)坐标轴的的直线。
截距式
已知与坐标轴的交点 (a,0),(0,b)时,截距式的一般形式:xa+yb=1(a≠0且
b≠0)。适用范围:不平 行于(或者说不垂直于)坐标轴的直线,不过原点的直线。
一般式
ax+by+c=0 (A、B不同时为0)。斜率:-AB截距:-CB。两直线平行时:
A1A2=B1B2≠C1C2, 则无解。两直线相交时:A1A2≠B1B2;两直线垂直时:A1A2+B1B2=0
A1B1×A 2B2=-1,都只有一个交点。两直线重合时:A1A2=B1B2=C1C2,则有无数解。
适用范 围:所有直线均可适用。
法线式
过原点向直线做一条的垂线段,该垂线段所在直线的倾斜 角为α,p是该线段的长度。
x·cos α+y sin α-p=0。
法向式
知道直线上一点(x0,y0)和与之垂直的向量(a,b),则a(x-x0)+b(y-y0)=0,法向量n=(a,b)方向向量d=(b,-a)k=ab。
点向式
知道直线上一点(x0,y0)和方向向量(u,v ),(x-x0)u=(y-y0)v (u≠0,v≠0)。
极坐标系


极坐标系(polar coo rdinates)是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平
面上取定一点O,称为极点。 从O出发引一条射线Ox,称为极轴。再取定一个长度单位,
通常规定角度取逆时针方向为正。这样,平 面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ
以及从Ox到OP的角度θ来确定,有序数对(ρ,θ) 就称为P点的极坐标,记为P(ρ,
θ);ρ称为P点的极径,θ称为P点的极角。
极坐标方程
于极点(90°270°)对称,如果r(θ-α) = r(θ),则曲线相当于从极点顺时针方向旋转α°。

方程为r(θ) = 1的圆。
在极坐标系中,圆心在(r0, φ) 半径为 a 的圆的方程为r^2-2rr0cos(θ-φ)+r0^2=a^2
该方程可简化为不同的方法,以 符合不同的特定情况,比如方程r(θ)=a表示一个以极
点为中心半径为a的圆。
直线
经过极点的射线由如下方程表示θ=φ
,其中φ为射线的倾斜角度,若 k为直角坐标系的射线的斜率,则有φ = arctan k。 任
何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。 这些在点(r0, φ)处的直线与射线θ = φ 垂直,
其方程为
r(θ)=r0sec(θ-φ)
圆幂

点到圆的幂:设P为⊙O所在平面上任意一点,PO=d,⊙O的半径为r,则d^2-r^2
就是点P 对于⊙O的幂.过P任作一直线与⊙O交于点A、B,则PA·PB= |d2-r2|.
“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线,如果此二圆相交,则该
轨迹是此二圆的公 共弦所在直线”这个结论.这条直线称为两圆的“根轴”.
三个圆两两的根轴如果不互相平行,则它们交于一点,这一点称为三圆的“根心”.
三个圆的根心对于三个圆等幂.
当三个圆两两相交时,三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点.

1.定义从一点A作一圆周的任一割线,从A起到和圆相交为止的两段之积,称为点
A于这圆周的幂.
2.圆幂定理已知⊙(O, r) ,通过一定点P,作⊙O的任一割线交圆于A, B,则PA,
PB为P对于⊙O的幂,记为 k,则
当P在圆外时,k=PO^2-r^2;
当P在圆内时,k= r^2-PO^2;
当P在圆上时,k=0.
图Ⅰ:相 交弦定理。如图,AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P,连接AD、BC,
由于∠B与∠D同为 弧AC所对的圆周角,因此由圆周角定理知:∠B=∠D,同理∠A=∠C,
所以。所以有:,即:。


图Ⅱ:割线定理。如图,连接AD、BC。可知∠B=∠D,又因为∠P为公共角,所以 有
,同上证得。
,易


图Ⅲ:切割线定理。如图,连接AC、 AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角,
因此有∠PBC=∠D,又因为∠P为公共角,所以 有
为公共边,因此。所以PA=PC,所以
图Ⅳ:PA、PC均为切线,则∠PAO=∠PCO =90°,在直角三角形中:OC=OA=R,PO

综上可知,是普遍成立的。
根轴
定义


在 平面上任给两不同心的圆,则对两圆 圆幂相等的点的 集合是一条直线,这条线称为这
两个圆的根轴。
另一角度也可以称两不 同心圆的等幂点的轨迹为根轴,或者称作等幂轴。
根轴方程


设两圆O1,O2的方程分别为:
(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=0(1)
(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2=0(2)
由于根轴上任意点对两圆的 圆幂相等,所以根轴上任一点(x,y),有
(x-a1)^ 2+(y-b1)^2-(r1)^2=圆幂=(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2
两式相减,得根轴的方程(即x,y的方程)为
2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0
其中f1=(a1)^2+(b1)^2-(r1)^2,f2类似。
解的不同可能


(1)(2)连立的解,是两圆的公共点M(x1,y1),N(x2,y2)
如果是两组不等实数解,MN不重合且两圆相交,根轴是两圆的公共弦。
如果是相等实数解,MN重合,两圆相切,方程表示两圆的内公切线。
如果是共轭虚数解, 两圆相离,只有代数规律发挥作用,在坐标系内没有实质。称M,N是
共轭虚点。
尺规作图


相交,相切时 根轴为两圆交点的连线.



内含时,作一适当的圆与两园相交,这圆与两圆的根轴的交点在根轴上.同理
再作一点,两点所在的直线即为根轴(等幂轴)
相关定理


1,平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线;
2,若两圆相交,则两圆的根轴为公共弦所在的直线;
3,若两圆相切,则两圆的根轴为它们的内公切线;
4,若两圆外离,则两圆的根轴上的点分别引两圆的切线,则切线长相等。
5,蒙日定理( 根心定理):平面上任意三个圆,若这三个圆圆心不共线,则三条根轴相交
于一点,这个点叫它们的根心 ;若三圆圆心共线,则三条根轴互相平行;
6, 反演后的圆和反演圆和被反演的圆3个圆共根轴。
容斥原理
也可表示为:设S为有限集,则

两个集合的容斥关系公式:A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |(∩:重合的部分)
三个集合的容斥关系公式:|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|

抽屉原理

第一抽屉原理
原理1: 把多于n+k个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里的东西不少于两
件。
证明(反证 法):如果每个抽屉至多只能放进一个物体,那么物体的总数至多是n×1,
而不是题设的n+k(k≥ 1),故不可能。


原理2 :把多于mn(m乘以n)(n不为0)个的物体放到n个 抽屉里,则至少有一个
抽屉里有不少于(m+1)的物体。
证明(反证法):若每个抽屉至多 放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,
与题设不符,故不可能。
原理3 :把无穷多件物体放入n个抽屉,则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。
原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。
第二抽屉原理
把(mn-1)个物体放入n个抽屉中,其 中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体(例
如,将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中,则必定 有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2)。
极端原理解题,就是在解决相关数学问题时,重点放在所研究问题的极端情况。
极端原理

最小数原理、最大数原理
命题一 有限个实数中,必有一个最小数(也必有一个最大数)。
命题二 在有限个或无限个正整数中,必有一最小数。
命题二可用集合的语言表述为,
最小数原理: 若
最小的数
是自然数集的任一非空子集(注:有限或无限均可),则

中必有
,即对属于的任何数,均有
最短长度原理
最短长度原理1:任意给 定平面上的两点,在所有连接这两点的曲线中,以直线段的长
度为最短;(需注意此原理虽然是直观的, 但对曲线和其长度的严格定义却颇费周折。)
最短长度原理2:在连接一已知点和已知直线或已知平面 的点的所有曲线中,以垂线段
的长度为最短。

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