高中数学知识点方法总结一

象山二中20XX届理科数学基础知识、基本方法总结（一）
1． 集合

（1）一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：集合A?
?
x|y?lgx
?
，B?
?
y|y?lg x
?
，C?
?
(x,y)|y?lgx
?
，

A,B,C
中元素各表示什么？
??
xy
x
2
y
2
??
B?
?
(x,y)??1,x,y?R
?
，例1：已知集合
A?
?
(x,y)

??1, x,y?R
?
，
32
94
??
??
则
A? B
中元素个数为

（2）理解集合之间包含与相等的含义
例2：集合
?
(1,1),(2,3)
?
的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个
（3） 能用自然语言、图形语言（数轴、韦恩图、函数图像等）、集合 语言（列举法、描述
法、区间）表示集合。
例3：设常数
a?R
， 集合
A?
?
x(x?1)(x?a)?0
?
,B?
?
xx?a?1
?
，若
A?B?R

则
a
的取值范围为 （ ）
A.(??,2)

B.(??,2]

C.(2,??)

D.[2,??)



（4）理解两个集合的并集与交集的含义，理解在给定集合中一个子集的补集的含义
例 4：已知全集
U?
?
1,2,3,4
?
，集合
A?
?
1,2
?
,B?
?
2,3
?
，则
CU
(A?B)?

2． 常用逻辑
（1）会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系
（原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。）
（2）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义
例5：已知
m,n?R
， 下列四个条件中，使
m?n
成立的必要而不充分条件是( )

A.m?n

B.2?2

C.m?n?1

D.m?n?1

3．函数的概念
（1）函数、映射的概念
（2）函数最值（或值域）常用的求法有哪些？
例6：已知正数
x,y
满足
8x?2y?xy
，求
x?y< br>的最小值（用多种方法求）


mn

4．函数的单调性
（1） 用定义证明函数的单调性的步骤？
（2） 如何利用导数判断函数的单调性？
在区间
(a,b)
内，若总有 ，且在
(a,b)
的任意一个子区间上导函
数不恒等于0，则
f(x)
为增函数；反之也对。
在区间
(a,b)
内，若总有 ，且 在
(a,b)
的任意一个子区间上导函
数不恒等于0，则
f(x)
为 减函数；反之也对。

（3）有关单调性的性质
函数 单调性
递增
递增






递增
递减



递减
递增
递减
递减



f(x)

g(x)

f[g(x)]

f(x)?g(x)

f(x)?g(x)


5．函数的奇偶性
（1）判断函数奇偶性的第一步是：
（2）

f(x)
为奇函数
?

?
f(x)
的图象
f(x)
为偶函数
?

?
f(x)
的图象
f(x)
为奇函数，且在
x?0
处有定义，则
f(0)?
（3）若函数
?
x
2
?2x,(x?0)
例7：若函数
f( x)?
?
，则
f(g(?1))?

?
g(x),(x?0)
6．函数的周期

（若存在实数T （T?0），在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x)，则f(x)为周期< br>
函数，T是一个周期。）
例8：已知定义在
R
上的奇函数
f(x)
和偶函数
g(x)
满足
f(x?1)?g(x)(x?R)
，则
f(2014)?

7． 常用函数的图象和性质

（1）一次函数：y?kx?b
?
k?0
?

如何画一次函数的图象？
（2）反比例函数：y?
①
k
?
k?0
?

x
k
讨论函数
y?
?
k?0
?
的单调性
x
?
x
的单调区间和图象的对称中心
x?3
② 求函数
y


（3）二次函数
①若图象与
x
轴有两个不同的交点，则二次函数的表达式有三种形式
一般式 ：
y?ax
2
?bx?c
?
a?0
?

顶点式：
零点式： （其中
x
1
,x
2
为函数的零点）
② “三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系
当
?
22
二次方 程
ax?bx?c?0的两根x
1
、x
2
为
二次函数
y?ax?bx?c
?0
时，
的图象 ，也叫二次函数
2
y?ax
2
?bx?c
的 ，也是
二次不等式ax?bx?c?0(?0)解集的

（4）
指数函数：y?a
x
?
a?0，a?1
?

① 指数函数的定义域是 ，值域是

②讨论指数函数的单调性
③指数函数图象过定点
④指数运算公式

a

0
(a?0)?

a
?p
(a?0)?

m
?
n
a(a?0)?

a
m
m
n
(a?0)?


a?a
n
(a?0)?

a
m
?a
n
(a?0)?

(a
m
)
n
(a?0)?

（5）
对数函数y?log
a
x
?
a?0，a?1
?

① 对数函数的定义域是 ，值域是
②讨论对数函数的单调性
③对数函数图象过定点
④对数运算公式
< br>log
a
M·N?log
a
M?log
a
N
?
M?0，N?0
?


log
M
a
N
?log?
1
a
M?log
a
N，log< br>n
a
M
n
log
a
M


对数恒等式：a
log
a
x
?x


对数换底公式：logb?
log
c
b
n
n
aloga
?log
a
m
b?
m
log
a
b

c
例9：已知
x，y
为正实数，则

A.2
lgx?lgy
?2
lgx
?2
lgy

B.2
lg(x?y)
?2
lgx?lgy


C.2
lgx?lgy
?2
lgx
?2
lgy

D.2
lg(xy)
?2
lgx?lgy

例10： 设
a?log
3
6,b?log
5
10,c?log
714
，则
Ac.?b?a

B.b?c?a

C.a?c?b

D.a?b?c


例11：若
2
a
?5< br>b
?m,
且
1
a
?
1
b
?2
，则
m?


1
（6）幂函数的概念及幂 函数
y?x
3
,y?x
2
的图像

（7）对勾函数
y?x?
k
x
(k为大于0的常数）
的图像和性质



例12：求函数
y?
x
x
2
?2
的值域







（ ）
）

（