统计-高中数学知识点总结

统计
一、三种抽样方法
1．三种抽样方法的比较
类别 共同点 各自特点 相互联系
适用
范围
总体
简单随
机抽样
从总体中逐个抽取 —
中的
个数
较少
是不放回
抽样，抽
系统抽样 样过程
中，每个
个体被抽
到的机会
(概率)相
等
分层抽样
将总体分成几层，分层
进行抽取
各层抽样
将总体均分成几部分，
按事先确定的规则，在
各部分抽取
在起始部
分抽样时，
采用简单
随机抽样
总体
中的
个数
比较
多
总体
由差
时，采用简异明
单随机抽
样或者系
统抽样
显的
几部
分组
成
2．抽样方法的选取方法
(1)若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样．
(2)若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样或系统抽样．
当总体容量较小时 宜用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机
数表法；当总体容量较大，样本容量也较大时宜 用系统抽样．
特别提醒
利用系统抽样的两个关键步骤：
(1)分组，当总体 个数
N
能被样本容量
n
整除时，分为
n
个组，分段间隔k
＝

N
；
n
(2)获取样本用简单随机抽样在 第一组抽取起始数
s
，通常把起始数
s
加上间
隔
k
得到第2个个体编号(
s
＋
k
)，再加上
k
得第3个个体编 号(
s
＋2
k
)，依次进
行下去，直到获取样本．
二、用样本估计总体
1．数字特征
（1）众数、中位数、平均数
数字特
征
众数
定义 与频率分布直方图的关系
最高的小长方形中的某个（些）点
的横坐标
中位数左边和右边的小长方形的
面积和是相等的
每个小矩形的面积乘以小矩形底
边中点的横坐标之和
出现次数最多的数据
将数据按大小依次排列，处在最中
中位数 间位置的一个数据(或最中间两个
数据的平均数)
平均数 样本数据的算术平均数
（2）极差、方差和标准差
极差：即一组数据中最大值与最小值的差．
1
方差：
s
2
?[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?
n
?(x
n
?x)
2
]
.
?(x
n
?x)
2
]
. 标准差：
s?
（3）性质
①若
x
1
,x
2
,
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?
n
,x
n
的平均数为
x
，那么
mx
1
?a,mx
2
?a,,mx
n
?a
的平均 数为
mx?a
.
②数据
x
1
,x
2
,, x
n
与数据
x
1
??x
1
?a,x
2??x
2
?a,,x
n
??x
n
?a
的方差相 等，
即数据经过平移后方差不变．
③若
x
1
,x
2
,,x
n
的方差为
s
2
，那么
ax
1
? b,ax
2
?b,,ax
n
?b
的方差为
a
2s
2
.

2．统计表
（1）频率分布的估计：频率分布 是指各个小组数据在样本中所占比例的大
小，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布，频率分布表是 反映样本的
频率分布的表格．通过频率分布直方图和频率分布表可以看到样本的频率分
布． < br>（2）尽管有些总体密度曲线是客观存在的，但是在实际应用中我们并不知道
它的具体表达形式， 需要用样本来估计．由于样本是随机的，不同的样本得
到的频率分布折线图不同；即使对于同一个样本， 不同的分组情况得到的频
率分布折线图也不同．频率分布折线图是随样本容量和分组情况的变化而变化的，因此不能用样本的频率分布折线图得到准确的总体密度曲线．
（3）估计总体分布的步骤是：
①选择适当的抽样方法从总体中抽取样本，即收集数据．
②利用样本数据画出统计图或计算数字特征．
③结合统计图分析样本取值的分布规律． ④用样本取值的分布规律估计总体分布，由于是用科学抽样抽取的样本，那
么样本与总体取值的分布 规律近似，有时也可看成相同.
⑤利用总体分布解决有关问题．
（4）各种统计表的优点与不足

频率分布
表
频率分布
直方图
频率分布
折线图
优点
表示数据较确切
不足
分析数据分布的总体态势不
方便
原有的具体数据信息被抹掉
了
不能显示原有数据
表示数据分布情况非常直观
能反映数据的变化趋势
一是所有的信息都可以从这个茎叶图
茎叶图 中得到；二是茎叶图便于记录和表示，
能够展示数据的分布情况
特别提醒
样本数据较多或数据位数较
多时，不方便表示数据

频率分 布表、频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线都是描述样
本数据分布情况，估计总体频率分布 规律的，其联系如下：

三、变量间的相关关系
1．相关关系
当自变量 取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这两个变量之间
的关系叫做相关关系．即相关关系是一 种非确定性关系．
当一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，则这两个变量正
相关；
当一个变量的值由小变大时，而另一个变量的值由大变小，则这两个变量负
相关.
2．散点图
将样本中的
n
个数据点
(x
i
,y< br>i
)(i?1,2,,n)
描在平面直角坐标系中，所得图形
叫做散点图．

从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关
关系称为 正相关，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关
系为负相关．
具有正相关关 系的两个变量的散点图如图1，具有负相关关系的两个变量的

散点图如图2.
3．回归分析
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，则这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
回归直线对应的方程叫做回归直线方程(简称回归方程)．
4．回归方程的求解
（1）求回归方程的方法是最小二乘法，即使得样本数据的点到回归直线的距
离的平方和最小．
若变量
x
与
y
具有线性相关关系，有
n
个样本数据
(x
i
,y
i
)(i?1,2,,n)
，则回
?< br>?
?
?a
?
?bx
?
中
b
归方程< br>y
?
(x?x)(y?y)
?
xy?nxy
iiii
i?1
nn
?
(x?x)
i
i?1
n
?
2
i?1
n
?
x
i?1
?
.
?
? y?bx
，
a
2
i
?nx
2
?y
n
x
1
?x
2
?
1
n
其中
x?
?
x
i
?
n
i?1
n
?x
n
y?y
2
?
1
n
,
y?
?
y
i
?
1
n
i?1
n
，
(x,y)
称为样
本点 的中心．
（2）线性回归模型
y?bx?a?e
，其中
e
称为随机 误差，自变量
x
称为解释变
量，因变量
y
称为预报变量．
特别提醒
?
?a
?
?bx
?
必过样本点的中心< br>(x,y)
，这个结论既是检验所求回归①回归直线
y
直线方程是否准确的依据 ，也是求参数的一个依据．
②利用回归直线方程不但可以预测在
x
取某一个值时，< br>y
的估计值，同时也
?
的变化量． 能知道
x
每增加1个单位 ，
y
?
既表示直线的斜率，又表示自变量
x
的取值每增③在回归直线 方程中，
b
加一个单位时，函数
y
的改变量．
5．相关系数
（1）样本相关系数
r
的计算公式
我们可以利用相关系数来定量地衡量两个 变量之间的线性相关关系，计算公

式为
r?
?
(x?x)(y ?y)
ii
i?1
n
?
(x?x)
?
(y?y)< br>2
ii
i?1i?1
nn
.
2
（2）样本相关系数
r
的性质
①
|r|?1
；
②当
r
>0时，表明两个变量正相关；当
r
<0时，表明两个变量负 相关；
③|
r
|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；
④|
r
|越接近于0，表明两个变量的线性相关性越弱.
6．非线性回归分析
对某些特殊的非线性关系，可以通过变量转换，把非线性回归问题转化成 线
性回归问题，然后用线性回归的方法进行研究．
在大量的实际问题中，所研究的两个变量不 一定都呈线性相关关系，当两变
量
y
与
x
不具有线性相关关系时，要 借助散点图，与已学过的函数(如指数函
数、对数函数、幂函数等)的图象相比较，找到合适的函数模型 ，利用变量
代换转化为线性函数关系，从而使问题得以解决．
特别提醒
求非线性回归方程的步骤：
①确定变量，作出散点图．
②根据散点图，选择恰当的拟合函数．
③变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出
线性回归方程．
④分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果．
⑤根据相应的变换，写出非线性回归方程．
7．刻画回归效果的方式
方式方法 计算公式
?
)
?
(
y?y
ii
n
2刻画效果
R
2

R
2
?
1?
?(y?y)
i
i?1
i?1
n

2
R
2
越接近于1，表示回归的效果越好

残差点比 较均匀地落在水平的带状区
?
i
称为相应于点
(x
i
,y< br>i
)
e
残差图
?
i

?
i
?
y
i
?y
的残差，
e
域中，说明选用的模型比较合适， 其中
这样的带状区域的宽度越窄，说明模型
拟合精确度越高.
残差平方和
四、独立性检验
1．独立性检验
?
(
y
i?1
n
i
?
i
)
2

?y
残差平方和越小，模型的拟合效果越好
2
n(ad?bc)
利 用随机变量
K
2
(也可表示为
?
)
?
(其中
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
2
n?a?b?c?
为样本容量
d
)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检
验．
2．独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据列出
2?2
列联表； (2)计算随机变量
K
2
的观测值
k
，查下表确定临界值
k
0
：
P(K
2
?k
0
)
0.50

0.40

0.25

0.15

0.1000.0500.0250.0100.0050.001


k
0

0.4550.7081.3232.0722.7063.8415 .0246.6357.87910.828

(3)如果
k?k
0
，就推断“
X
与
Y
有关系”，这种推断犯错误的概率不超 过
P
?
K
2
?k
0
?
；否则，就认为在犯 错误的概率不超过
P
?
K
2
?k
0
?
的前 提下不能
推断“
X
与
Y
有关系”．
特别提醒
( 1)通常认为
k?2.706
时，样本数据就没有充分的证据显示“
X
与Y
有关
系”．
(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立 的概率有多
大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要
注意这 点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出

错误的解释．
(3)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有
关系的判断．