高中文科数学知识点总结

高中数学知识点总结（文科）
第一章——集合与简易逻辑 集合——知识点归纳 定义：一组对象的
全体形成一个集合特征：表示法：列举法{1,2,3,?}、描述法{x|P} < br>分类：有限集、无限集数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实
数集R、正整数集N*、空 集φ关系：属于∈、不属于、包含于或、真
包含于、集合相等＝运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x ∈B}；
并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};
补运算CUA＝且x∈U}，U为全集
性质：； ； 若，，则C；
A∩A＝A∪A＝A； A∩φ＝φ；A∪φ＝A；
A∩B＝∪B＝；
A∩CUA＝φ； A∪CUA＝I；CU( CUA)＝A；
＝(CUA)∩(CU方法：韦恩示意图, 数轴分析注意：① 区别
∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② 时，A 有两
种情况：A＝φ与A≠φ③若集合A中有个元素，则集合A的所有不同的
子集个数为2n， 所有真子集的个数是2-1, 所有非空真子集的个数是
④区分集合中元素的形式：如；
；；；
；
；
⑤空集是指不含任何元素的集合{0}、和的区别；0与三者间的
关系空集是任何集










- 1 -

⑥符号是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与
直线（面）的关系 ；符号是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的
体现 面与直线(面)的关系 绝对值不等式——知识点归纳 1绝对值不等式
与型不等式与型不等式的解法与解集：
不等式的解集是不等式的解集是或
不等式的解集为 不等式
的解集为 或解一元一次不等
式ax
①

②
3韦达定理：
方程

（）的二实根为x1、x2， 2
则且
①两个正根，则需满足，

②两个负根，则需满足，

③一正根和一负根，则需满足

4 - 2 -

对于一元二次不等式
的一元二次方程22
0或
的两根为x1、x2且，，设相应
，则
不等式的解的各种情况如下表：





方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情
况解决注意：含参数的不 等式ax2＋bx＋c>0恒成立问题含参不等式ax2＋
bx＋c>0的解集是R；其解 答分a＝0(验证bx＋c>0是否恒成立)、a≠0（a<0
且△<0）两种情况 简易逻辑——知识点归纳命题可以判断真假的语句；
逻辑联结词或、且、非；
简单命题 不含逻辑联结词的命题；
复合命题由简单命题与逻辑联结词构成的命题
三种形式p或q、p且q、非p
真假判断 p或q，同假为假，否则为真；
p且q，同真为真, 否则为假；
非p，真假相反
原命题若p则q；逆命题 若q则p；若则；若则；
- 3 -

反证法步骤充要条件 条件p成立结论q成立，则称条件p是结论q
的充分条件，
结论q成立条件p成立，则称条件p是结论q的必要条件，
条件p成立结论q成立，则称条件p是结论q的充要条件，
第二章——函数 函数定义——知识点归纳 1函数的定义：设A、B是
非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对 于集合A中的任意一个数x，
在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为从 集合A到
集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量的取值范围A叫
做 函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x
∈A}叫做函数的值 域2两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、

值域C和对应 法则f数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的
值域也就随之确定域和对应法则为函数 的两个基本条件，当且仅当两个函数的定
义域和对应法则都分别相同3映射的定义：一般地，设A、B是 两个集合，如果
按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元
素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应
关系f）叫做集合A到集 合B的映射，记作f:A→由映射和函数的定义可知，函
数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为 数集4映射的概念中象、原象的
理解：(1) A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都 有原象，不一定只
一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一1函数的三种表示法
（1）解析 法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个
等式叫做函数的解析表达式，简称解析式（2 ）列表法：就是列出表格来表示两
个变量的函数关系
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系 2求函数解析
式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
- 4 -

（2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外 还有其他未知量，需构造另
个等式解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等题型讲解例1（1）
已知
x1，求f(x)； 3x
（2）已知，求f(x)；
（3）已知f(x)是一次函数，且满足，求f(x)；
2x
1
x
111313解：（1）∵， xxxx（4）已知f(x)
满足，求f(x)∴（或）3
2， （）x
222则，∴，∴（2）令
（3）设，
则
，
∴，，∴（4）①， 1
x113，得②， xxx
3①②得，∴把①中的x换成
注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函
数，可用待定系数法； 第（4）题用方程组法定义域和值域——知识点归纳 - 5 -

由给定函数解析式求其定 义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有
意义的x的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技 能的熟练1求函数解

析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外 还有其他未知量，需构造另
个等式：解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 2求函数定义域一
般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的
取值集合；
（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应
考虑使实际问题有意义；
（3）已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域或已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域： ①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三
角函数）的定义域； ②若已知f(x)的定义域，其复合函数的定
义域应由解出 3求函数值域的各种方法 函数的值域是由 其对应法则
和定义域共同决定的(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值
域；(3)求由常见函数作某些“运①直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数的定义域为R，值域为R； 反比例函数
的定义域为，值域为； x
二次函数的定义域为R，
； 当a>0时，值域为
b)}当a<0时，值域为
- 6 -

②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型
如：的形式； ③分式转化法（或改为“分离常数法”）
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：
转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式
法：转化成型如：利用平均值不等式公式来求值域； ，x
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域 ⑧数形结
合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域 ⑨逆求法（反求法）：
通过 反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范
围；常用来解，型如：
单调性——知识点归纳
1函数单调性的定义： 2 证明函数单调性的一般方法:
①定义法：设且；作差（一般结果要分解
为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出 ）；判断正负号
②用导数证明： 若f(x)在某个区间A内有导数，则，（

’
3 求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法 4复合函数
在公共定义域上的单调性：





①若f与g的单调性相同，则为增函数；
注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集 5
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：
- 7 -

增函数增函数g(x)是增函数；
减函数减函数g(x)是减函数；
增函数减函数g(x)是增函数；















奇偶性——知识点归纳
（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y轴对称，奇函数
的图象关于原点对称； 3f(x)为偶函数的定义域包含0，则
使定义域不受影响；
6 7判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ，

8设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 1形式：
；
2 30， 则f(0)=0,因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非
必 要条件； 4y轴对称，因此根据图象的对称性可以判 - 8 -

断函数的奇偶性5T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域 则f(x)叫做
周期函数，T叫做这个函数的一个周期反函数——知识点归纳1反函数存在的条
件：从定义域到 值域上的一一映射确定的函数才有反函数； 2定义域、值域：
反函数的定义域、值域上分别是原函数 的值域、定义域，若(x)与
互为反函数，函数的定义域为A、值域为B，则
； ，
3单调性、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图
象关于对4求反函数的一般方法 ：
（1）由解出，（2）将中的x,y互换位置，
得





二次函数——知识点归纳二次函数是高中最重要的函数，它与不等式、
解 析几何、数列、复数等有着广泛的联系
1二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程
是，2a

顶点坐标是
用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法
)有三种形式，即（一般式），
（零点式）和

3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实
根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c (a>0)
- 9 -

;α,x2<α ,则
(2)x1>α,x2>α,则

则
则
(5）若f(x)=0在区间的符号；③对称轴与区间的相对位置5二次
函数、一元二次方程及一元 二次不等式之间的关系：
①的图像与x轴无交点无实根
的解集为或者是R;
②的图像与x轴相切有两个相等
的实根的解集为或者是R;
③的图像与x轴有两个不同的交点
有两个不等的实根的解集为或者是

指数对数函数——知识点归纳1根式的运算性质：
①当n为任意正整数时，(a)n=a②当n为奇数时，a=a；当n为偶数时，

?根式的基本性质：
数指数幂的运算性质：
- 10 -



且





x
4指数式与对数式的互化：重要公式： loga1，
对数恒等式对数的运算法则
如果有



7对数换底公式：
，
8两个常用的推论:
①， ② （ a,
b > 0且均不为1m
9对数函数的性质：
- 11 -

与对数函数互为反函数 x
11指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（定义法）
（转化法）
取对数法)
af(x)=logag(x)logab(换底法)
函数图象变换— —知识点归纳1作图方法：描点法和利用基本函数图象
变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义 域；②化简函数的解析式；③
讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描 点连
线，画出函数的图象
2三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；
3识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面4平移变换：
（1）水平平移：函数的图像可以 把函数的图像沿x轴方向向
左或向右平移|a|个单位即可得到；
，（）2分

- 12 -






（2）竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿x
轴方向向 上或向下平移|a|个单位即可得到
① ②
③④





左移h右移h上移h下移h
到；
（2）函数的图像可以将函数的图像关于x轴对称即可
得到；
（3）函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即
可得到；





①
轴y轴②直线
③④y=f(x) 直线
原点
⑤





翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留的x轴上
方部分即可得到；
（2）函数的图像可以将函数

x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代





















1）函数的图像可以将函数
13 -
的图像中的每一点横 -

坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的a倍得到；
（2）函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵
坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的
倍得到 a①②
数列定义——知识点归纳
（1）一般形式：
(2)通项公式：
(3)前n项和：及数列的通项an 与前n项和Sn 的关
系：

等差数列——知识点归纳
1等差数列的定义:
①如果一个数列从第2项 起，每一项与它的前一项的差等于同一个常
数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差，公差通常用
字母d表示 2等差数列的判定方法:
②定义法：对于数列，若常数)，则 数列③
等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列
3等差数列的通项公式:

④如果等差数列的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为
该公 式整理后是关于n的一次函数4等差数列的前n项和: ⑤
⑥
对于公式2整理后是关于n5等差中项:
⑥如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项即：
或
- 14 -

在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）
都是它的前一 项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的
前后两项的等差中项5等差数列的性质 : 如果an是等差数列的第n项，am是等
差数列的第m项，且，公差为d，则有
⑧ 对于等差数列，若，则也就是：

Sn是其前n项的和，⑨若数列是等差数列，那么Sk，，
N，*



6奇数项和与偶数项和的关系：
⑩设数列是等差数列，S奇是奇数项的和，
项的和，则有如下性质：
前n项的和SnS偶是偶数项项的和，Sn是前奇偶
nd，其中d为公差； 2
22当n为偶数时，S偶奇当中，奇
偶中，奇为奇数时，则中，偶
S奇偶（其中a是等差数列的中间一项），中
奇偶S奇偶S奇S偶
7前n项和与通项的关系：
⑾若等差数列的前项的和为，等差数列的
前项的和为
，则等比数列——知识点归纳
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个 常数，
那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母
q表示（ ） - 15 -

2等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列 ，
那么G叫做a与b也就是，如果是的等比中项，那么
3等比数列的判定方法： ，即
①定义法：对于数列，若，则数列是等比
数列 an
②等比中项：对于数列，若，则数列是等

比数列 2
4等 比数列的通项公式：如果等比数列
则等比数列的通项为或着
的首项是a1，公比是q，
等比数列的前n项和：

3当时，
当时，前n项和必须具备形式Sn
6等比数列的性质： 如果ann项，am是等差数列的
第m项，且，则有
② ，若，则
也就是：
如图所示：
③若数列是等比数列，Sn是其前n项的和，
，成等比数列如下图所示：
，那么Sk，


1等差数列的前n项和公式：
- 16 -

当d≠0
时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；
当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式2等比数列的前n项和
公式：
当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；
当q≠1时，
3拆项法求数列的和，如an=2n+3n 4错位相减法求和，如an=(2n-1)2n
（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式） 5分裂项法求和，如

（分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式） 6
反序相加法求和，如an=nC100 n
7求数列{an}的最大、最小项的方法：
①an+1-如an= -2n2+29n-

如②
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=数列的综合应用——知识点
归纳 1通项与前n项和的关系：

2迭加累加法：
若，
则， ，???， - 17 -

迭乘累乘法：

若
4裂项相消法：
位相减法：
列
，则

，，???，
错
则
所以有通项分解法：
等差与等比的互变关系：
成等差数列成等比数列 n
成等差数列成等差数列 成等比数列
成等差数列 成等比数列成等比数列
成等差数列成等比数
列无穷递缩等比数列的所有项和：
成等比数列第四章三角函数
- 18 -

1角和终边相同：几种终边在特殊位置时
对应角的集合为：











3弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角





角度制与弧度制的互化：

180 1弧度弧长公式：（是圆心角的
弧度数） 5 扇形面积公式：
任意角的三角函数、诱导公式——知识点归纳
1 三角函数的定义:以角的顶点为坐标原点， 始边为x轴正半轴建立
直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点P(x,y)，点P到原点的距 离
记为，那么
是公差d≠0等差数列，


是公比q≠1等比数

； ；
xrr； ； （
- 19 -

2 三角函数的符号：
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①
正弦值
y
对于第r
一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；
②余弦值
x
对r
于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；
③正切值二、四象限为负（x,yy
对于第一、三象限为正（x,y同号），对于第x
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。 3特殊角的
三角函数值：










4三角函数的定义域、值域：





5诱导公式：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
诱导公式一：，，其中
- 20 -

诱导公式二： ；
诱导公式三： ；
诱导公式四：；
诱导公式五：；


； rrx

（1）要化的角的形式为（k为常整数）；
（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”。
1倒数关系：，，商
数关系：，平方关系：，
，两角和与差的正弦、余弦、正切——< br>知识点归纳 1和、差角公式
；
二倍角公式
；
降幂公式
；；

4半角公式
sin

2


；
cos

2








；
tan

2
万能公式
2tan

tan

2；
；

- 21 -
；

；


222
6积化和差公式
11
；
2211

22
7和差化积公式




；

sin

；
8三倍角公式：





辅助角公式：





33






；
；
；

其中


1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像






- 22 -












2三角函数的单调区间：

， 的递增区间是，
递减区间是


2
，

；
， 的递增区间是，
， 递减区间是，

的递增区间是，，

的递减区间是，（其中

最大值是，最小值是，周期是




，）3
函数

，频率是

，相位是
，初相是；其图象的对称轴是直线
直线的交点都是该图象的对称中心
2
，凡是该图象与
4由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋的图象一般有两个途径，只
有区别开这两
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常
出现变形，请切记每一个 变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大
变化，而不是

- 23 -






“角变化”多少途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左＞ 0)或向右＜0)平移｜｜个单位，再将
图象上各点的横坐标变为原来的1
倍(ω＞0)，便 得y＝sin(ωx＋途径二：先周期变换(伸缩变换)先将y
＝sinx的图象上各点的横坐标变为原 来的
或向右＜0＝平移1倍(ω＞0),再沿x轴向左＞

5 由y＝Asin(ωx＋的图象求其函数式： 个单位，便得y＝sin(ωx＋
给出图象确定解析式y =Asin（）的题型，有时从寻找“五点”中的第一
零点（－0）作为突破口，要从图象的升降情况找 准第一个零点的位置．．，
6对称轴与对称中心：
的对称轴为
2，对称中心为；
的对称轴为，对称中心为
,0)；
对于和来说，对称中心与零点相联
系，对称轴与最值点联系7 求三角函数的单调区间：一般先 将函数式化为基本
三角函数的标准式，要特别注意A、的正负,并且在同一单调区间； 8 求三角
函数的周期的常用方法：
经过恒等变形化成、的形式，在
利用周期公式，另外 还有图像法和定义法y=Asin（）的简图：
五点取法是设，由x取0、
描点作图π3π、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再22
三角函数的最值及综合应用——知识点归纳 1=asinx+bcosx型函数最

值的求法：常转化为y





= （） 2=asin2x+bsinx+c型常通过换元法转化为y=at2+bt+c型：
- 24 -

型
（1）当时，将分母与y乘转化变形为sin（）＝f(y)型
（2）转化为直线的斜率求解R时，必须这样作）
4．同角的正弦余弦的和差与积的转换：
同一问题中出现，求它们的范围，一
般是令
或，转化或

为关于t5．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值：
如已知，求
22的值2式 子的分母1用代换，然后分子分母同时除以cosx
化为关于tanx的表达6．几个重要的三角变换：
sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式；
可化为，再用升次公式；
或
（其中
掌握． b）这一公式应用广泛，熟练a
7单位圆中的三角函数线:三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三
角函数y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的图象都是“平移”单位圆中的三
角函数线得到的． 8三角函数的图象的掌握体现：把握图象的主要 特征（顶点、
零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基
本原理以及快速、准确地作图． 9三角函数的奇偶性
① 函数y = sin (x＋φ)是奇函数．
- 25 -

② 函数y = sin (x＋φ)是偶函数
③ 函数y =cos (x＋φ)是奇函数
④ 函数y = cos (x＋φ)是偶函数
． ． ． 正切函数f (x) = tan x，

，在每一个区间
，
增函数． 上都是增函数，但不能说f (x) = tan x在其定义域上
是
第五章平面向量 平面向量的基本运算——知识点归纳 1向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c??来表示，或用
有向线段的起点与终
点的大写字母表示，如： AB，a；坐标表示法
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的
大小，记作｜a 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
与任意向量平行a＝｜②零向量：长度为0的向量，记 为
0，其方向是任意的，｜＝由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何
向量，故在有关向量 平行（共线）
的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）
③单位向量：模为1向量a0为单位向量｜a0｜＝
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量线上a∥b(即
自由向量)
数 学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任
意选取，现在必须区分清楚共线向量 中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要
理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一 样的．
- 26 -

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移 后总可
以重合，记为小相等，方向相同
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
设，则

（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向 量是要共始点的，和向量是始
点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是 从减
向量指向被减向量
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向 最后
一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向
被减向量的 终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾
连接时，用三角形法则．向量加法的 三角形法则可推广至多个向量相加：
，但这时必须“首尾相连”． 3向量的减法
① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做记作
零向量的相反向量仍是零向量
关于相反向量有： （i）； (ii)
；
若a、b是互为相反向量，则
②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，
记作：
③作图法：可以表 示为从b的终点指向a的终点的
向量（a、b有共同起点）4实数与向量的积： ①实数λ与向量a的积是一个向
量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）；
- 27 -

（Ⅱ）当时，λa的方向与a的方向相同；当时，λa的方向
与a的方向相
反；当时，，方向是任意的②数乘向量满足交换律、
结合律与分配律5两个向量共线定理：
向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得
平面向量的基本定理：
如果e1, e2是一个平面平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i ,j
作为基底该平面内的任一向量a可表示成，由于a与
数对(x,y)是一一对应的，因此 把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，
其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上 的坐标
(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量
(2)向量的坐标与表示 该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，
只与其相对位2平面向量的坐标运算：
若，则

若，则
- 28 -

(3) 若a=(x,y)，则


(4) 若，则
(5) 若a，则

若，则
和性质





- 29 -

平面向量的数量积——知识点归纳 1两个向量的数量积：
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·︱b︱︱
a︱·
叫做a与b规定向量的投影：︱b
︱∈R，称为向量b在a方向上的投影数量积的几何意义：
a·b等于a的长度与b在a4向量的模与平方的关系：
5乘法公式成立：

；
6平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：
②对实数的结合律成立：

③分配律成立：

特别注意：（1）结合律不成立：；

（2）消去律不成立不能
（3）不能或b=0
7两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量，则a·
- 30 -






向量的夹角：已知两个非零向量a与b，
作OA=a, OB=b,则∠
（）叫做向量a与b的夹角






当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=0，当
且仅当a与b反方向时θ=180，同时0
与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题垂直：如
果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记 作a⊥b：
⊥＝
1线段的定比分点定义：设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同
于P1,P2的任意一点，
，叫做点P分有向线段P1P2
所成的比P在线段则存在一个实数，使PP1
上时， ；当点P在线段
P1P2或P1P2的延长线上时，定比分点的向量表达式：点P
分有向线段P 1P2所成的比是，
（O为平面内任意点） 则

其中

中点坐标公式: 当
线段12的中点，即有


时，分点P为

的重心坐标公式：
定比分点的坐标形式
6图形平移 的定义:设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照
同一方向移动同样长度，得到图形F’，我 们把这一过程叫做图形的平移
平移公式: 设点P(x,y)按向量
平移后得到点P(x,y)，则OP＝OP+a或
- 31 -

，曲线按向量平移后所得的曲线的函数
解析式为：

这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每一点在平移后的新坐
标与原坐标间的关系 解三角形及应用举例——知识点归纳 1正弦定理：在一个
三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径即
（其中R表示三角形的外接圆半径） sinAsinBsinC
利用正弦定理，可以解决以 下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和
任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的 对角，求另一边的对角
（从而进一步求出其他的边和角） 2余弦定理：三角形任何一边的平方等于其
他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
第一形式，，第二形式，cosB= 2ac222
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三 角形的问题：（1）已知三边，
求三个角；（2）3三角形的面积：△ABC的面积用S表示，外接圆半 径用R表
示，内切圆半径用r表示，半周长用p表示则 ；②；
22
abc2③；④； 4R①
⑤；⑥（其中） 2
4三角形内切圆的半径：斜，特别地，r直
5三角学中的射影定理：在△ABC 中，，? 6两
内角与其正弦值：在△ABC 中，，? 7三内角与三角函数值
的关系：在△ABC 中
--tanC
- 32 -


解三角形问题可能出现一解、两 解或无解的情况，这时应结合“三角形
中大边对大角定理及几何作图来帮助理
解”第六章不等式 不等式的概念与性质——知识点归纳

1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：

2．不等式的性质：
（1）， （反对称性）
（2），（传递性）
（3），故（移项法则）
推论：（同向不等式相加）
（4），
推论1：
推论2：
推论3：
1．常用的基本不等式和重要的不等式
（1）当且仅当取
（2）则
（3），则
（4）22
2最值定理:设x,y.0,由
（1）如积定值），则积y有最小值2P
- 33 -

2（2）如积定值），则积xy S
2
即:积定和最小，和定积最大运用最值定理求最值的三要素：一正二定
三相等3 均值不等式
三个正数的均值不等是：两个正数的均值不等式：
n个正数的均值不等式：
4四种 均值的关系：两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术
平均数、均方根之间的关系是

不等式的证明——知识点归纳
不等式的证明方法
（1）比较法：作差比较：作差比较的步骤： ①作差：
对要比较大小的两个数（或式）作差② 变形：对差进行因式分解或配方成几个数
（或式）的完全平方和③判断差的符号：结合变形的结果及题设 条件判断差的符
号 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小
（2）综合法：由因导果（3）分析法：执果索因 ①“分析法”证题的理
论依据：寻找结论成 立的充分条件或者是充要条件②“分析法”证题是一个非常好
的方法，但是书写不是太方便，所以我们可 以利用分析法寻找证题的途径，然后
用“综合法”进行表达（4）反证法：正难则反
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的
放缩法的方法有：
- 34 -

2①添加或舍去一些项，如：；； ②将分子或分母放

大（或缩小） ③利用基本不等式， 如：
2

Ⅰ、

2k； Ⅱ、11111111

；
； （程度大）
111111； （程度小） Ⅲ、
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使 问题化难为易，
化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元
已知，可设；
已知，可设； 22222
x2y2
已知，可设； ab
x2y2
已知，可设； ab
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等
式；
证明不等 式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法
仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设 、题断的结构特点、内在联系，选择
适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤 ，技巧和语
言特点．
（8）数学归纳法法 解不等式——知识点归纳
1．解不等式问题的分类
(1)解一元一次不等式．
- 35 -

(2)解一元二次不等式．
(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式． ①解一元高次不等
式；
②解分式不等式；
③解无理不等式；
④解指数不等式；
⑤解对数不等式；
⑥解带绝对值的不等式；
⑦解不等式组．
2．解不等式时应特别注意下列几点：
(1)正确应用不等式的基本性质．
(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．
(3)注意代数式中未知数的取值范围．
3．不等式的同解性
＞＜0(1)f(x)?g(x)＞0与 或同解．
＞＜0
＞＜0(2)f(x)?g(x)＜0与或同解．g(x)＜0g(x)＞

＞
＜0
＞
＞
＜0f(x)＞0与
＜0f(x)(4)＜0与
或
或
同解．＞同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＜0g(x)
(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x )＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)
(6)|f(x)|＞g(x) 与
①f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)；②g(x)＜0同解
＞＞g(x)与 ≥0或同解．g(x)＜

＜[g(x)]2
(8)f(x)＜g(x)与同解．
- 36 -

(9)当a＞1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＞g(x)同解，
当0＜a＜1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＜g(x)同解．
＞g(x)(10)当a＞1时，logaf(x)＞logag(x)与同解．f(x)＞
＜当0＜a＜1时，logaf(x)＞logag(x)与＞0同解．
＞0 4 零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法
步骤：①形式：移项，通分（不轻易去 Q(x)
②首项系数符号>0——标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系
数的符号，化负为
1．解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对
值，常采用的方法是讨论 符号和平方2．注意利用三角不等式证明含有绝对值的
问题
并指出等号条件
3．<g(x);
或f(x)<─g(x)g(x)是 否为正）（3）含绝对
值的不等式性质（双向不等式）
左边在时取得等号，右边在时取得等号
第七章直线和圆的方程 直线方程——知识点归纳1数轴上两点间距离
公式：直角坐标平面- 37 -

当 直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°可见，直线
倾斜角的取值范围是0°≤α＜18 0°4直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的
倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示， 即k=tanα（α≠90°）
倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率， 其取
值范围是（－∞，+∞）5直线的方向向量：设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量F1F2=（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量向量
（1，2 ）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率
x轴的直线的一个方向向量为a＝
6求直线斜率的方法
①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα ②公式法：
已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k21③ 方向向量
法：若a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率对于直线上任意两点

< br>
P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α= 90°；
当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k≥0时，α=arctank；k＜0时，
α=π+arctan7直线方程的五种形式
点斜式：， 斜截式：
两点式：， 截距式：
一般式：．特殊情况下的两直线平行与垂直．
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
- 38 -

(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平
行；
( 2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线
的倾斜角为0°，两直线互相 垂直2．斜率存在时两直线的平行与垂直：
两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率 相等；反之，
如果它们的斜率相等，则它们平行，即l1且已知直线l1、
l2的方程为l1： ，
l2：
l1∥l2的充要条件是?两条直线垂直的情形：如
果两条直线的斜率分 别是k1和k2，则这两条直线垂直的充要条件是．
已知直线l1和l2的一般式方程为l1：，
l2：，则． 3直线l1到l2
的角的定义及公式：
直线l1按逆时针方向旋转到 与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角l1
到l2的角：0°＜＜180°， 如果即则
2.如果，
．直线l1与l2的夹角定义及公式:
l1到l2的角是到l1的角是π-当l1与l2相交但不垂直时
和π-仅有一个角是锐角,我 们把其中的锐角叫两条直线的夹角l1⊥l2时,直线
l1与l2的夹角是：0°＜如果即则
2.如果，- 39 -

5．两条直线是否相交的判断
两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：
是否有惟一解．点到直线
距离公式：
点P(x0,y0)到直线的距离为：


7．两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：，
l2：，则l1与l2的距离为 < br>直线系方程:若两条直线l1：，l2：
有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为
＋ 或为常数)

简单的线性规划及实际应用——知识点归纳 1二元一次不等式表示平面区域:
在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，
y0） B＞0时，①Ax0+By0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；②
Ax0+By0+ C＜0，则点P（x0，y0）在直线的下方对于任意的二元一次不等式
Ax+By+C＞0（或＜0） ，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形
为正数当B＞0时，①Ax+By+C＞0表示 直线Ax+By+C=0上方的区域；②
Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=02线性规划: 求线性目标函数在线性约束条件
下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解 （x，y）
叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目
标函 数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解 - 40 -

线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
（1）根据题意，设出变量x、y；
（2）找出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数z=f（x，y）；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；
（5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；
（6）观察图形，找 到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的
位置，以确定最优解，给出答案1．平面解析几 何研究的主要问题：根据已知条
件求出表示平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质 2．“曲线的方程”、
“方程的曲线”的定义：
在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实
数解建立了如下关系：
( 1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）(2)以这个方程的解
为坐标的点都是曲线上的点 ．（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条
曲线叫做方程的曲线
3．定义的理解：
设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x，y)|f(x，y)=0}，
若设点M的坐标为(x，y)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为： 00
(1)M∈，y0)∈Q，即；
(2)(x0，y0)∈∈P，即．
以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：
(1)(x0，；
，．
显然，当且仅当且，即P=Q时，才能称方程f(x，y)=0
为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)．
- 41 -

在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方
程”和“方程的 曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具
备充分性．只有符合关系(1) 、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几
何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形” 的思想是解析几何的基本思想和
基本方法 4求简单的曲线方程的一般步骤：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合；
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程
（4）化方程为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 上述方法简
称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方
程的解集与原始 方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求
得的最简方程就是所求曲线的方程． 5由方程画曲线(图形)的步骤：
①讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)；
②求截距：
，方程组的解是曲线与x轴交点的坐标；
，方程组的解是曲线与y轴交点的坐标；
③讨论曲线的范围；
④列表、描点、画线．
6．交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．
7．曲线系方程：过两曲线f(x，y)=0和f(x，y)=0的交点的曲线系方程
是f(x ，y)＋λ121
f(x，y)=0(λ∈R)． 2
求轨迹有直接法、定义法和参数法， 最常使用的就是参数法一个点的运
动是受某些因素影响的瓜，从中找出影响动点的因素的关系，列出方程 - 42 -

1．圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆． 2圆的标准方程
圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为
方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆3圆的
一般方程
二次方程x2+y2+Dx+Ey+F*）配方得
D2E222（x+）+（y+）22
把方程
其中，半径是，圆心坐标是，叫做圆
的一般方程（1）圆的一般方程体现了圆 方程的代数特点：x2、y2项系
数相等且不为零没有xy项（2）当D2+E2－4F=0时，方程（ *）表示点（－DE，
－）； 22当D2+E2－4F＜0时，方程（*）不表示任何图形
（3）根据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般
方程4圆的参数方程
①圆心在O（0，0），半径为r的圆的参数方程是：
是参数)
②圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程是：
是参数)
在①中消去θ得 x2+y2=r2，在②中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2，
把这两个方程相5二元二次方 程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件
若二元二次方程Ax2+Bxy+ Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆，则有A=C≠0，B=0，
这仅是二元二次方程表示圆的必要条件 ，不充分 - 43 -

在A=C≠0，B=0时，二元二次方程化为x2+y2+
仅当D2+E2－4AF＞0DEFx+y+=0， AAA
故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：
①A=C≠0，②B=0，③D2+E2－4AF＞6 线段AB为直径的圆的方程： 若
A( x1,y1)，B(x2,y2)，则以线段AB为直径的圆的方程是
经过两个圆交点的圆系方程：经过
，22
的交点的圆系方程是：
在过两圆公
共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程 8 经过直线与
圆交点的圆系方程： 经过直线l：与圆
的交点的圆系方程是：
确定圆需三个独立的条件
（1）标准方程： ， 圆心，半径 222
（2）一般方程：，（
圆心
对称问题——知识点归纳
1点关于点成中心 对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因
此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题
设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P′（2a
－x0，2 b－y0） 2点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对
称点连线的“垂直平分线” “平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标
- 44 -

设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x′，y′），则有
y，可求出x′、y′

特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P ′（2a－x0，y0）；
点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P′（x0，2b－y0）3 曲线关于点、曲线
关于直线的中心或轴对称问题：一般是转化为点的中心对称或轴对
（1）曲 线f（x，y）=0关于已知点A（a，b）的对称曲线的方程是f
（2a－x，2b－y）=0（2） 曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法：
设曲线f（x，y）=0上任意一点 为P（x0，y0），P点关于直线y=kx+b
的对称点为P′（y，x），则由（2）知，P与P′ 的坐标满足
从中解出x0、y0，

代入已知曲线f（x，y）=0，应有f（x 0，y0）=0f（x，y）=0关于直线
y=kx+b的对称曲线方程4两点关于点对称、两点关于直 线对称的常见结论：
（1）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y）；
（2）点（x，y）关于y轴的对称点为（－x，y）；
（3）点（x，y）关于原点的对称点为（－x，－y）；
（4）点（x，y）关于直线x－y=0的对称点为（y，x）；
（5）点（x，y）关于直 线x+y=0的对称点为（－y，－x直线与圆、圆
与圆的位置关系——知识点归纳1研究圆与直线的位 置关系最常用的方法：①判

别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。
直线与圆的位置关系有三种，若222

，则相离- 45 -

相切相交两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
①外离条公切线
②外切条公切线 ③相交条公
切线 ④内切条公切线 ⑤内含无公切线


























3直线和圆相切：
这类问题主要是求圆的切线 方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率
k或已知直线上一点①过圆上一点的切线方程：圆的以P(x0 ,y0)为切点
的切线方程是222
。
当点P(x0,y0)在圆外时，表示切点弦的方程。
一般地，曲线的以点P(x0，y0)为切点的切线
方程是：222

。 22
当点P(x0,y0)在圆外时，表
示切点弦的方22
- 46 -

程。
这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切
线方程的常规过程去做。
②过圆外一点的切线方程：
4直线和圆相交：
这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题5经过两个圆交点的圆系方
程：经过，22
的交点的圆系方程是：
。
在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线
方程
6 经过直线与圆交点的圆系方程： 经过直线l：与圆
的交点的圆系方程是：

7几何法: 比较圆心到直线的距离与圆半径的大小8代数法: 讨论圆的
方程与直线方程的实数解的组数第八章圆锥曲线
椭圆——知识点归纳
1. 定义：①平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大
于|F1F2|，即，这个动点 的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．
②点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e
（0<e<1），则P点的轨迹是椭圆2.椭圆参数的几何意义，如下图所示：
|PF1||PF2|2a2
（1）|PF1|+|PF2|=2a，|PM2|+|PM1|=，==e； |PM1||PM2|c
（2）；
（3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；







b2
（4）|F1K1|=|F2K2|=p=，

c
标准方程：椭圆标准方程的两种形式
x2y2y2x2
和
x2y2a2
椭圆的焦点坐标是，，离心率0)，准线方程是

2b2b2c是，焦参数（通径长的 caa一半），
，长轴长=2a，短轴长=2b，焦距＝2c ， a2a2
焦半径：，
中经常利用余弦定理、三角形面积公
式．．．．．．．．．．．将有关线段2
PF1、PF2、2c，有关角1BF2)结合起来，建立
PF1+PF2、等关系.
椭圆上的点有时常用到三角换元：；
双曲线——知识点归纳 1 双曲线定义：
①到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点
的轨迹（（a为常数））
②动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞
1)时，这个动点的轨 迹是双曲线l叫做双曲线的准线2双曲线图像中线段的几何
特征：
?实轴长，虚轴长2b,焦距?顶点到焦点的距离：





- 48 -

，
?顶点到准线的距离：
a2a2
；
?焦点到准线的距离：
a2a2
或
2a2
?两准线间的距离
?中结合定义与余弦定理，将有关
线段PF1、PF2、F1F2和角结合起来，

∈（1，+∞） ?离心率：
?焦点到渐近线的距离：虚半轴长b2b2b2b2
?通径的长是，焦准距，焦参数aca
其中





双曲线标准方程的两种形式： y2x2
①2－2=1，，焦点是F1（－c，0），F2（c，0） ab
x2
②2－2=1，，焦点是F1（0，－c）、F2（0，caby2y2x2
4双曲线的性质：2－2=1（a＞0，b＞0） ab?范围：|x|≥a，y∈R
?对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称 ?顶点：轴端点
A1（－a，0），A2（a，0）
?渐近线：





- 49 -

x2y2x2y2b
①若双曲线方程为渐近线方程
ababaxyxyb
②若渐近线方程为双曲线可设为
ababa
x2y2x2y2
③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点
在x轴上，
abab
2
2
，焦点在y轴上）
④特别地当时离心率
2
2
两渐近线互相垂直，分别为，此时双曲线
bb
x，y=－x aa
2

为等轴双曲线，可设为；y=
aa2a2
?准线：l1：x=－，l2：x=，两准线之距为
ccca2
?焦半径：，（点P在双曲线的右支上）；
c
a2
（点P在双曲线的右支上）； ，
c
当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略）x2y2x2y2
?与双曲线共渐近线的双曲线系方程是
x2y2x2y2
?与双曲线共焦点的双曲线系方程是2

抛物线——知识点归纳
1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点
的轨迹叫做抛物线，
定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 2抛物线的图
形和性质：
①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ②焦准距：
③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p。 ④顶点平分焦点到准线的垂线
段：

- 50 -
p。





2

⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心 、FP为半径的圆必与准线相切。所
有这样的圆过定点F、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的
直线相切。所有这样的 圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这
样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式：
，，，。4抛物线的图像
和性质：
2

①焦点坐标是：，，

②准线方程是：
p。 2
2
点，则该
③焦半径公式：若点P(x0,y0)是抛物线上 一点到抛物线的焦点
的距离（称为焦半径）是：④焦点弦长公式：过焦点弦长
2
p， 2
pp

y2
或P(2pt,2pt)或
2p
2
⑤抛物线上的动点可设为其中一般情
况归纳：





2





直线与圆锥曲线的位置关系——知识点归纳
1直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：
- 51 -

可 以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，
往往通过消元后最终转化为讨论一元 二次方程的解的问题或一元二次函数的最
值问题，讨论时特别要注意转化的等价性，即解决直线与圆锥曲 线的相交问题要
用好化归思想和等价转化思想
需要注意的是当直线平行于抛物线的对称轴或双 曲线的渐近线时，直线
与抛物线或双曲2涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题：
主要有这样几个 方面：相交弦的长，有弦长公式2－x1|；弦
所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨 迹等，这可以利用“设点
代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求
出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决）3涉及到圆锥曲线焦
点弦的问题： 可以利用圆锥曲线的焦半径公式（即圆锥曲线的第二定义）4．韦
达定理的运用：

由于二次曲线和二次方程的密切关系，在解决二次曲线问题时要充分重
视韦达定理的运5 弦长公式：
若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长
为 ；
若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长
为





圆锥曲线的两个重要参数： b2
圆锥曲线的焦准距（焦点到准线的距离）， c
b2
焦参数（通径长的一半）a第九章(B)直线、平面、简单几何体
平面——知识点归纳
1．平面的概念：
- 52 -

2．平面的画法及其表示方法： 画两个平面相交时，当一个平面的
一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线
② 一般用一个希腊字母、、?来表示，还可用平行四边形的对角
顶点的字母来表示如平面AC3点、线、面 的基本位置关系如下表所示：





（平面外的直线a）表示或

- 53 -

公理1 推理模式：． 如图示： 应用：
是判定直线是否在平面
公理2揭示了两 个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提
供了确定两个平面交线的方法．
公理3 推理模式：A,B,C 不共线存在唯一的平面，使得
应用：①确定平面；②证明两个平面重合 “有且 只有一个”的含义分两部分理解，
“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只 有一个，但不
保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图
形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有
且只有一个”是同义 词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯
一性”两方面来论证．
推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面

推理模式：存在唯一的平面，使得，推论2 推理
模式：存在唯一的平面，使得推论3 推理模式：存在
唯一的平面，使得

























- 54 -

:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，
否则称为空间直线——知识点归纳 1
（1）相交——有且只有一个公共点；
（2）平行——在同一平面内，没有公共点；
（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点； ．．
2公理4 ：推理模式：． 3等 角定理：如果一个角的两边
和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相4等角定理的推论 :
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直
角)相等5 空间两条异面直线的画法

ab





AA1
6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这 个平面
内不经过此点的直线是异推理模式：与l7．异面直
线所成的角：已知两条异面直线a, b，经过空间任一点O作直线，
所成的角的大小与点O的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫
异面直线a,b所成的角（或夹角）．为了简便，点O异面直线所成的角的范围：

28．异面 直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面
直线垂直．两条异面直线a,b 垂直，记作．
9．求异面直线所成的角的方法：
- 55 -

几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平
行线；（2）找出
和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的．．．．
理解：因为两条异面直线 互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的
定义要注意“相交”的含义．
两条异面直线的公 垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，
叫做两条异面直线间的距离． 计算方法：①几何法；②向量法
1．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面如果一个平面 内有两条相交直线分别平行于另一个平
面，那么这两个平面互相平行．
推理模式：：，，，，．
- 56 -

7平行平面的判定定理推论：如果一个平面1
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面 内的任意一条直线都垂
直，我们就说这条直线和这个平面垂线，平面叫做直线的直线与平面垂直简称线< br>面垂直，记作：a⊥α 3 :
如果两条直线同垂直于一个平面,4
在平面内的一条 直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么
它也和这条斜线说明：（1）定理的实质是判定平 面内的一条直线和平面的
线的垂直关系； 一条斜

（2）推理模式：
．三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这
条斜线的射影





- 57 -

推理模式： ．

注意：?三垂线指PA，PO，AO都垂直α推理模式：，．
8．两平面垂直的性质定理：
若两个平面互相垂直， 推理模式：
向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：
①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行；
空间向量及其运算——知识点归纳
1．空间向量的概念：2．空间向量的运算
空间向量的加法、减法与数乘向量运算：

运算律：?加法交换律：
?加法结合律：
?数乘分配律：
- 58 -

3 平面向量共线定理
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都
可以平移到同一
条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b与非零向量a共
线的充要条件是有且只有
一个实数λ，使b＝λa
4
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量
叫做共线向量或
平行向量．a平行于b记作ab．
当我们说向量a、b共线（或ab）时，表示a、b的有向
线段所在的直线可能是同
一直线，也可能是平行直线．
． 共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），ab
的充要条件是存在实数λ，
使a＝λb推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的

直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式

．其中向量a叫做直线l的方向向
量6空间直线的向量参数表示式：
或


．向量与平面平行：已知平面和向量a，作，
如果直线OA平行于或在内，
那么我们说向量a平行于平面，记作：．通常我们把平行于同一
平面的向量，叫做
．共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b
共面的充要条件是存在实数
使推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必
要条件是存在有序实数对x,y，使 - 59 -

①
或对空间任一点O，有
②
或
③
上面 ①式叫做平面MAB的如果三个向量a,b,c不共面，那
么对空间任一向量p，存在一个唯
一的有序实数组x,y,z，使
若三向量a,b,c不共面，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底 ，a,b,c叫做基向量，
空
间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个推论：设O,A ,B,C是不
共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数
，使
间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在
空间任取一点O，作
，则记作
；且规定，OB叫做向量a与b的夹角，
显然有；若，则称
a与b 互相垂直，记作：．向量的模：设，
则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：．向量
的数量积：已知向量a,b，则叫做a,b的数量积，记
作，
即．
已知向量和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，
作点A在l上的射影，
作点B在l上的射影，则
叫做向量AB在轴l上或在的长度
中点公式．
，

．
13．空间向量数量积的性质：
（1）．（2）
．（3）．
14．空间向量数量积运算律：
（1）．（2）
（交换律）．
- 60 -

（3）空间向量的坐标运算——
知识点归纳 1
（1）若空间的一个基底的三个基向 量互相垂直，且长为1，这
个基底叫单位正交基底，用{,i,jk}
表示；
（2 ）在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以
点O为原点，分别以i,j,k的方
向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们
称建立了一个空间直
角坐标系，点O叫原点，向量 i,j,k都叫坐标向量．通过
每两个坐标轴的平面叫
坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；
2．空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数
组(x,y,z)，使，有序实数 组(x,y,z)叫作向量A在空
间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵 坐标，z叫
竖坐标．
3．空间向量的直角坐标运算律：
（1）若，，
则，
，
，
，
，
．
（2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则
．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点
的坐标减去起点 若，，
- 61 -

则，

．





．夹角公式：． ．两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，
B(x2,y2,z2)，










则，





或空间角——知识点归纳
1．异面直 线所成的角：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作
直线，所成的角的大小与点O的选择无关， 把所成
的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）．为了简便，点O异面直
线所成 的角的范围：
22．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（23．直线和平面所成
角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和
这个平面所成一直线平行于 平面或在平面内，所成角为角
直线和平面所成角范围： ，（2）定理：斜线和平面所成角是这
条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的

4．公式：平面的斜线a与内一 直线b相交成θ角，且a成角，
a在上的射影c与b相交成角，则有与相交平面
内的一条直线把 平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出
发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 ，这条直线叫做二面角的棱，每个半平
面叫做二面角的l，两个面分别为的二面角记为；





- 62 -











6．二面角的平面角：
（1）过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线
OA,OB，则叫做二面角 （2）一个平面垂直于二面角
的棱l，且与两半平面交线分别为OA,OB,O为垂足，则也是说
明：①二面角的平面角范围是[0,180]；
②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平
面
7．二面角的求法：?几何法；?向量法 8求二面角的射影公式：
， S
其中各个 符号的含义是：S是二面角的一个面内图形F的面积，是
图形F在二面角的另一个面内的射影，是二面角 的大小9．三种空间角的向量
法计算公式：
?异面直线a,b所成的角：；
?直线a与平面法向量n)所成的角：；
?锐二面角：，其中m,n为两个面的法向量
空间距离——知识点归纳 1点到平面的距离：已 知点P是平面
外的任意一点，过点P作，垂足为A，则PA唯一，则PA是点P到平
面即 结论 ：连结平面外一点P与内一点所得的线段中，垂线段PA异面
直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交 的直线叫做异面直线的公垂线．

3．公垂线唯一：4．两条异面直线的公垂 线段：两条异面直线的公垂线
夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；
5．公 垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线
上两点的线段中最短的一条；
6．两条异面直线的距离： - 63 -

说明：两条异面直线的距离AB即为直 线a到平面直线到与它平行
平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到 平
面的距离(转化为点面距离8．两个平行平面的公垂线、公垂线段：
（1（2（3（49． 两个平行平面的距离：10．七种距离：点与点、点到
直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、 平行于平面的直线与该平面、
两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础 ，求
其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求
?异面直线a,b之间的距离：
，其中
?直线a与平面之间的距离：
，其中是平面的法向量|n|
?两平行平面之间的距离：
，其中是平面的法向量 |n|
?点A到平面的距离：
，其中，是平面的法向量
另法：点A(x0,y0,z0),平面
则






- 64 -

?点A到直线a的距离：





，a是直线a?两平行直线a,b之间的距离：

，a是a的方向向量棱柱——知识点归纳 1 由若干个
多边形围成的空间图形叫多面体；每个 多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫
多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面 上的两个顶点的
线段叫多面体的2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都
位于这个平面的同一侧，这3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它
的面数分别叫四面体、五 面体、六面体4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其
余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫 底面（简称底）；其余各面叫
棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫 棱柱
的高5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫底面的是正多边形的直棱柱叫
柱分别叫三 棱柱、四棱柱、五棱柱??
6．棱柱的性质
（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形； 直棱柱侧面都是矩形；
正棱柱侧面都是全等的矩形；
（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的
多边形；
（37 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平
行六面体叫直平行六面 体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长
方体叫正方体．
8．平行六面体、长方体的性质
- 65 -

(1)平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线
相交于一点，且在点O处互相平分．
(2)棱锥——知识点归纳 1 有一个面是多边形，其余各面是有一个公
共顶点的三角形， 这样的多面体叫侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公
共顶点(S)，叫棱锥的顶点，顶点到底面 所在平面的垂线段(SO)，叫棱锥的高（垂
线段的长也简称高）．
2．棱锥的表示：棱锥用 顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一
条对角线端点的字母如图棱锥可表示为，或．
3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）
分别称底面是三角形，四边形，五边形??的棱锥为三棱锥，四棱锥，五
棱锥??（如图）
4．棱锥的性质：
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，< br>截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．
中截面：经过棱锥高的中点且 平行于底面的截面，叫棱锥的5．正棱锥：
底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫 正棱锥．
（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角
形底边上的高 相等（叫正棱锥的斜高）．
（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、简单的多面体与球——知识点归纳
1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正 六面体，假定它的面是用橡
胶薄膜做成的，如果过连续变形可变为球面的多面体，叫做说明：2．五种正 多
面体的顶点数、面数及棱数：

- 66 -

3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数V、面 数F及棱数E
有关系式：计算棱数E常见方法：(1)E＝V+F-2；(2)E＝各面多边形
边数和的一半；
(3)E＝顶点数与共顶点棱数积的一半4．欧拉示性数：在欧拉公式中令
， f(p)说明：（1）简单多面体的欧拉示性数（2）带一个洞
的多面体的欧拉示性数f(






例如球2．球的截面：
用一平面去截 一个球O，设是平面的垂线段，为垂足，
且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的
圆叫做7．经度、纬度：
经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及
轴确定的半平面所
- 67 -






纬度：某地 的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角8．两点的
球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是 经
圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点过两点的大
的为球心角的弧度数)9 已知半径为R的球O，球被截
面分成大小相等的两个半球，截面圆O（包含它内部的点），叫
做所得半10．球的体积公式：
①在应用球体积公式时要注意公式中给出的是球半径R，而在 实际问题
中常给出球的外②球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元
素的位 置关系和数量关第十章排列、组台、二项式定理
分类计数原理和分步计数原理——知识点归纳 做一件 事情，完成它可
以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种