高中数学几个重要知识点

高中数学几个重要知识点


1.方程的曲线
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与
一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲
线叫 做方程的曲线.
点与曲线的关系 若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P
0
(x
0
,y
0
)在曲线C上
?
f(x
0
, y
0
)=0；
点P
0
(x
0
,y
0< br>)不在曲线C上
?
f(x
0
,y
0
)≠0
两条曲线的交点 若曲线C
1
，C
2
的方程分别为f
1< br>(x,y)=0,f
2
(x,y)=0,则
f
1
(x
0
,y
0
)=0
点P
0
(x
0
,y
0
)是C
1
，C
2
的交点< br>?

f
2
(x
0
,y
0
) =0
方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线
就没有 交点.
2.圆
圆的定义
点集：｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.
圆的方程
(1)标准方程
222
圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)+(y-b)=r
222
圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x+y=r
(2)一般方程
2222
当D+E-4F＞0时，一元二次方程x+y+Dx+Ey+F=0
DE< br>叫做圆的一般方程，圆心为(-,-，半径是
2
2
D
2
E2
D
2
?E
2
-4F
x+y+Dx+Ey+F=0化为 (x+)+(y+)=
2
2
4
22
D
2
?E2
-4F
.配方，将方程
2
当D+E-4F=0时，方程表示一个点(-
22
22
DE
,-);
2
2
当D+E-4F＜0时，方程不表示任何图形.
点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x
0
,y
0
)，则
｜MC｜＜r
?
点M在圆C内，
｜MC｜=r
?
点M在圆C上，
｜MC｜＞r
?
点M在圆C内，
其中｜MC｜=
(x
0
-a)?(y
0
-b)
.
22

(3)直线和圆的位置关系
①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系
直线与圆相交
?
有两个公共点
直线与圆相切
?
有一个公共点
直线与圆相离
?
没有公共点
②直线和圆的位置关系的判定(i)判别式法(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0 的距
离d=
Aa?Bb?C
A?B
22
与半径r的大小关系来判定.
4.圆锥曲线的统一定义
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通 过这个定点的一条定直线l的
距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.
其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.
当0＜e＜1时，轨迹为椭圆当e=1时，轨迹为抛物线当e＞1时，轨迹为双曲线
5.坐标变换
坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)
叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改
变点 的坐标与曲线的方程.
坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变
换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.
函数值域的应用
(1)函数值域的常用求法 配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式
法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域
(2)运用函数的值域解决实际问题，此类 问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而
利用所学知识去解决，此类题要求考生具有较强的分析能力 和数学建模能力
x
2
?2x?a
1
例2：已知函数
f(
x
)=,
x
∈［1,+∞
)
，(1)当
a< br>=时，求函数
f
(
x
)的最小
x
2
值
(2)若对任意
x
∈［1,+∞
)
,
f
(
x
)>0恒成立，试求实数
a
的取值范围
思路分析 解法一运用转化 思想把
f
(
x
)>0转化为关于
x
的二次不等式；解法二运 用分类
讨论思想解得
11
时，
f
(
x
)=< br>x
++2∵
f
(
x
)在区间［1，+∞
)
上 为增函数，∴
f
(
x
)在区
2
2x
7
间［ 1，+∞
)
上的最小值为
f
(1)=
2
x
2
?2x?a
2
(2)解法一 在区间［1，+∞
)
上，
f
(
x
)= >0恒成立
?
x
+2
x
+
a
>0恒成立 x
222
设
y
=
x
+2
x
+
a
,
x
∈［1,+∞
)
，∵
y
=
x
+2
x
+
a
=(
x
+1)+
a
－1递增 ，
∴当
x
=1时，
y
min
=3+
a
, 当且仅当
y
min
=3+
a
>0时，函数
f
(x
)>0恒成立，故
a
>－3
a
解法二
f< br>(
x
)=
x
++2,
x
∈［1,+∞
)当
a
≥0时，函数
f
(
x
)的值恒为正；当
a
<0时，函
x
数
f
(
x
)递增，故当
x< br>=1时，
f
(
x
)
min
=3+
a
,当且仅当
f
(
x
)
min
=3+
a
>0 时，函数
f
(
x
)>0恒成立，
故
a
>－3
(1)解 当
a
=
点评 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及

运算能力 解题的关健是把求
a
的取值范围的问题转化为函数的最值问题.通过求
f
(< br>x
)的最
值问题来求
a
的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思 想
1
)
m?1
(1)证明 当
m
∈
M
时，
f
(
x
)对所有实数都有意义；反之，若
f
(
x
)对所有实数
x
都有意
义，则
m
∈
M

(2)当
m
∈
M
时，求函数
f
(< br>x
)的最小值 (3)求证 对每个
m
∈
M
,函数
f
(
x
)的最小值都
演变3：设
m
是实数，记
M
={
m
|
m
>1},
f
(
x
)=
log
3
(
x
－4
mx
+4
m
+
m
+
22
不小于1
问题3：函数的奇偶性与单调性
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.判断函数的奇偶性
与单调性方法：若 为具体函数，严格按照定义判断；若为抽象函数，用好赋值法，注意赋值
的科学性、合理性 复合函数的奇偶性、单调性 解决的关键在于 既把握复合过程，又
掌握基本函数
例 3：已知函数
f
(
x
)在(－1，1)上有定义，
f
(任意
x
、
y
∈(－1,1)都有
f
(
x
)+
f
(
y
)=
f
(
1，1)上单调递减
1
)=－1,当且仅当0<
x
<1时
f
(
x
)<0,且对
2
x?y
),试证明 (1)
f
(
x)为奇函数；(2)
f
(
x
)在(－
1?xy
思路分析 ：对于(1)，获得
f
(0)的值进而取
x
=－
y
是解题关 键；对于(2)，判定
的范围是焦点
x
2
?x
1
1?x
1
x
2
证明 (1)由
f
(
x
)+
f
(
y
)=
f
(
x?y
)可令
x
=
y
=0,得
f(0)=0,
1?xy
x?x
)=
f
(0)=0 ∴
f
(
x
)=－
f
(－
x
) ∴
f
(
x
)为奇函数
1?x
2
(2)先证< br>f
(
x
)在(0，1)上单调递减 令0<
x
1
<
x
2
<1,则
f
(
x
2
)－
f< br>(
x
1
)=
f
(
x
2
)+
f
(－
令
y
=－
x
,得
f
(
x< br>)+
f
(－
x
)=
f
(
x
1
)=
f
(
x
2
?x
1
)
1?x
1
x
2
x
2
?x
1
>0,又(
x
2
－
x
1
)－(1－
x
2
x
1
)=(
x
2
－
1?x
2
x
1
∵0<
x
1
<
x
2
<1,∴
x
2
－
x
1
>0,1－
x
1
x
2
>0，∴
1)(< br>x
1
+1)<0，
∴
x
2
－
x
1
<1－
x
2
x
1
,∴0<
x
2
? x
1
x?x
1
<1,由题意知
f
(
2
)< 0，即
f
(
x
2
)<
f
(
x
1
) ∴
f
(
x
)
1?x
2
x
1
1?x
1
x
2
在(0，1)上为减函数，又
f
(< br>x
)为奇函数且
f
(0)=0 ∴
f
(
x
)在(－1，1)上为减函数
点评 本题主要考查函 数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力，对思
维能力要求较高，如果“赋值”不够准确 ，运算技能不过关，结果很难获得
演变4：定义在R上的函数
y
=
f
(
x
)，
f
(0)≠0，当
x
>0时，
f
(
x
)>1，且对任意的
a
、
b
∈R，
有
f
(
a
+
b
)=
f
(
a
)
f
(
b
)，（1）求证：
f
(0)=1；（2）求证： 对任意的
x
∈R，恒有
f
(
x
)>0；（3）
证明 ：
f
(
x
)是R上的增函数；

点拨与提示：根据< br>f
(
a
+
b
)=
f
(
a
) ·
f
(
b
)是恒等式的特点，对
a
、
b
适 当赋值.利用单调性
的性质去掉符号“
f
”得到关于
x
的代数不等式 ，是处理抽象函数不等式的典型方法.
演变5：已知奇函数
f
(
x
)的定义域为R，且
f
(
x
)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实
数
m
,使
f
(
cos
2θ－3)+
f
( 4
m
－2
mcos
θ)>
f
(0)对所有θ∈［0,
?
2
］都成立？若存在，求出符
合条件的所有实数
m
的范围，若不 存在，说明理由
点拨与提示 本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以
及运算能力 要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函
数在给定区间上的最值问题
问题4：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的相关问题
三个“二次”是中学数学的重 要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包
含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近 一半的试题与这三个“二次”问题有关复
习时要理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的 思想和方法