高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学学案
高中数学必修五知识点汇总
第一章 解三角形
一、知识点总结
正弦定理:
abc
1．正弦定理:
???2R
(
R
为三角形外接圆的半径).
sinAsinBsinC
步骤1.
证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA
ab
得到 同理，在△ABC
?
siansibn
cb
中，
?
sincsinb
步骤2.
abc
证明：
???2R

sinAsinBsinC
如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠
DAB=90°
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
c
所以
sinD??sinC

2R
abc
故
???2R

sinAsinBsinC
2.正弦定理的一些变式： c
ab
?
i
?
a?b?c?sinA?sinB?sinC；
?
ii
?
sinA?,sinB?,sinC
?
；
2R
2R2R
a?b?c
?2R
（4）
?
iii
?
a?2RsinA,b?2RsinB,b?2RsinC
；
sinA?s inB?sinC
3．两类正弦定理解三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）
4.在
?ABC
中，已知a,b及A时，解得情况：
解法一：利用正弦定理计算
解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b和角A，则由余弦定理得
即可得出关于c的方程：
c
2
?2bcosAc?b
2
?a
2
?0

分析该方程的解的情况即三角形解的情况
①△=0,则三角形有一解
②△>0则三角形有两解
③△<0则三角形无解
余弦定理:
第 1 页

共 24 页

高中数学学案
?
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
?
2
1．余弦定理：
?
b?a
2
?c
2
?2accosB

?
c
2
?b
2
?a
2
?2bacosC
?
?
b
2
?c
2
?a
2
?
cosA ?
2bc
?
a
2
?c
2
?b
2
?
2.推论：
?
cosB?
.
2ac
?
?
b
2
?a
2
?c
2
?
cosC?
2ab
?
设
a
、
b
、
c
是
???C的角
?
、
?
、
C
的对边，则：
①若
a
2
?b
2
?c
2
，则
C?90
； ②若
a
2
?b
2
?c
2
，则
C?90
；
③若
a
2
?b
2
?c
2
，则
C?90
．
3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.
（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
面积公式:
已知三角形的三边为a,b,c,
1.
S?
1
ah
a< br>?
1
absinC?
1
r(a?b?c)
（其中
r< br>为三角形内切圆半径）
222
2.设
p?
1
(a?b?c)
,
S?
2
p(p?a)(p?b)(p?c)
(海伦公式)
1
例：已知三角形的三边为
a、b、c，
设
p?(a?b?c)
， 求证：
2
（1）三角形的面积
S?p(p?a)(p?b)(p?c)
；
（2）
r
为三角形的内切圆半径，则
r?
(p?a)(p?b)(p ?c)

p
2
a
p(p?a)(p?b)(p?c)
（3 ）把边BC、CA、AB上的高分别记为
h
a
、h
b
、h
c
，
则
h
a
?
2
p(p?a)(p?b)(p?c)

b
2

h
c
?p(p?a)(p?b)(p?c)

c

h
b
?
a
2
?b
2
?c
2
证明：（1）根据余弦定理的推论：
cosC?

2ab
a
2?b
2
?c
2
2
)
由同角三角函数之间的关系，
sinC?1?cosC?1?(
2ab
2
第 2 页

共 24 页

高中数学学案
代入
S?absinC
，得
1a
2
?b
2
?c
2
2
)

S?ab1?(
22ab
1
2
1
(2ab)
2?(a
2
?b
2
?c
2
)
2

4
1

?(2ab?a
2
? b
2
?c
2
)(2ab?a
2
?b
2
?c
2
)

4
1

?(a?b?c)(a?b?c)(c?a?b)(c?a?b)

4
111 1
记
p?(a?b?c)
，则可得到
(b?c?a)?p?a
，(c?a?b)?p?b
，
(a?b?c)?p?c

2222

?
代入可证得公式
（2）三角形的面积
S
与三角形内切圆半 径
r
之间有关系式
S??2p?r?pr

其中p?(a?b?c)
，所以
r?
1
2
S(p?a)(p?b)( p?c)
?

pp
1
2
注：连接圆心和三角形三个顶点，构 成三个小三角形，则大三角形的面积就是三个小三角
111
形面积的和 故得：
S?ar?br?cr?pr

222
（3）根据三角形面积公式
S??a?h
a

2S22
?p(p?a )(p?a)(p?a)
，即
h
a
?p(p?a)(p?a)(p?a)
aaa
22
同理
h
b
?p(p?a)( p?a)(p?a)
，
h
c
?p(p?a)(p?a)(p?a)

bc
1
2
所以，
h
a
?
【三角形中的常见结论】
（1）
A?B?C?
?
(2)
sin(A?B)?sinC,co s(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC,

sin
A?BCA? BC
?cos
,
cos?sin
;
sin2A?2sinA?cos A
,
2222
（3）若
A?B?C?
a?b?c
?
sinA?sinB?sinC

若
sinA?sinB?sinC
?a?b?c
?
A?B?C

（大边对大角，小边对小角）
（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
（5）三角形中最大角大于等于< br>60
?
，最小角小于等于
60
?

(6) 锐角三角 形
?
三内角都是锐角
?
三内角的余弦值为正值
?
任两角和都 是钝角
?
任
意两边的平方和大于第三边的平方.
钝角三角形
?
最大角是钝角
?
最大角的余弦值为负值
（7 ）
?ABC
中，A,B,C成等差数列的充要条件是
B?60
?
.
第 3 页

共 24 页

高中数学学案
(8)
?ABC
为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列.
二、题型汇总:
题型1:判定三角形形状
判断三角形的类型
（1）利用 三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现
边角转化，统一成边的 形式或角的形式.
a
2
?
b
2
?
c
2< br>?
A
是直角??ABC是直角三角形
（2）在
?ABC
中，由 余弦定理可知:
a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是钝角??ABC是钝角三角形

a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是锐角??ABC是锐角三角形 （注意：
A
是锐角??ABC是锐角三角形
）
(3) 若
sin2A?sin2B
，则A=B或
A?B?
?
2
.
例1.在
?ABC
中，
c?2bcosA
，且
(a ?b?c)(a?b?c)?3ab
，试判断
?ABC
形状.




题型2:解三角形及求面积
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它 们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几
个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 例2.在
?ABC
中，
a?1
，
b?3
，
?A ?30
0
，求的值



例3.在
?ABC中，内角
A,B,C
对边的边长分别是
a,b,c
，已知
c?2
，
C?
（Ⅰ）若
?ABC
的面积等于
3
，求a，b
（Ⅱ）若
si nC?sin(B?A)?2sin2A
，求
?ABC
的面积．








题型3:证明等式成立
证 明等式成立的方法：（1）左
?
右，（2）右
?
左，（3）左右互相推.
第 4 页

共 24 页
?
3
．

高中数学学案
例4.已知
?ABC
中，角
A,B, C
的对边分别为
a,b,c
，求证：
a?bcosC?ccosB
.




题型4:解三角形在实际中的应用
考察：（仰角、俯角、方向角、方位角、视角）
例5．如图所示，货轮在海上以40kmh的 速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标
方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位 ，船在
B
点观测灯塔
A
的方位角为
110°，航行半小时到达
C
点观测灯塔
A
的方位角是65°，则货轮到达
C
点时，与灯塔< br>A
的
距离是多少？









三、解三角形的应用
1.坡角和坡度：
坡面与水 平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度
h
和水平宽度
l
的比叫做坡度，用
i
表
示，根据定义可知：坡度是坡角的正切，即
i?tan
?
.
α

2.俯角和仰角：
h
l

如图所示， 在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线
的上方时叫做仰角，目标视线 在水平视线的下方时叫做俯角.
第 5 页

共 24 页

高中数学学案

3. 方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为
?
.
注：仰 角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言
的，而方位角是相对于正 北方向而言的。
4. 方向角：
相对于某一正方向的水平角.

5.视角：











第 6 页

共 24 页

高中数学学案
第二章 数列
一、数列的概念
1、数列的概念：
一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数 列的项，数
列的一般形式可以写成
a
1
,a
2
,a
3
,,a
n
,
，简记为数列
?
a
n
?，其中第一项
a
1
也成为首项；
a
n
是
数列的 第
n
项，也叫做数列的通项.
数列可看作是定义域为正整数集
N
?
（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，
该函数对应的一列函数值就是这个数列.
2、数列的分类：
按数列中项的多数分为：
（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；
（2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.
3、通项公式：
如果数列
?
a
n
?
的第
n
项
a
n
与项数
n
之间的函数关系可以用一个式子表示成
a
n
?f
?
n
?
，那
么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
4、数列的函数特征：
一般地，一个数列
?
a
n
?
，
如果从第二项起， 每一项都大于它前面的一项，即
a
n?1
?a
n
，那么这个数列叫做 递增数列;
如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即
a
n?1
?a
n
，那么这个数列叫做递减数列;
如果数列
?
a
n
?
的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.
5、递推公式：
某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．
二、等差数列
1、等差数列的概念：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的 差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数
列，这个常数叫做等差数列的公差.
即
a
n?1
?a
n
?d
（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等 差数列的依据.

第 7 页

共 24 页

高中数学学案
2、等差数列的通项公式：
设等差数列
?< br>a
n
?
的首项为
a
1
，公差为
d
， 则通项公式为：
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d?a
m
?
?
n?m
?
d,
?
n、m?N
?
?
.
3、等差中项：
（1）若
a、A、b
成等差数列，则
A
叫做
a
与
b
的等差中项，且A=
a?b
;
2
（2）若数列
?
a
n
?
为等差数列，则
a
n
,a
n?1
,a
n?2< br>成等差数列，即
a
n?1
是
a
n
与
a
n?2
的等差中项，且
a
n?1
=
a
n
?an?2
a?a
n?2
；反之若数列
?
a
n
?< br>满足
a
n?1
=
n
，则数列
?
a
n
?
是等差数列.
22
4、等差数列的性质：
（1）等差数列?
a
n
?
中，若
m?n?p?q
?
m、n、p 、q?N
?
?
,
则
a
m
?a
n
? a
p
?a
q
，若
m?n?2p，
则
a
m< br>?a
n
?2a
p
；
（2）若数列
?
an
?
和
?
b
n
?
均为等差数列，则数列
?
a
n
?b
n
?
也为等差数列；
（3）等差数列
?
a
n
?
的公差为
d
，则
d?0?
?
a
n
?
为递增数列，
d?0?
?
a
n
?
为递减数列，
d?0?
?
a
n< br>?
为常数列.
5、等差数列的前n项和
S
n
：
（ 1）数列
?
a
n
?
的前n项和
S
n
=a
1
?a
2
?a
3
??a
n?1
?a
n
,
?
n?N
?
?
；
?
S
1
,n?1
.
（2）数列
?
an
?
的通项与前n项和
S
n
的关系：
a
n?
?
?
S
n
?S
n?1
,n?2
（3 ）设等差数列
?
a
n
?
的首项为
a
1
,< br>公差为
d
，则前n项和
S
n
=
6、等差数列前n和的 性质：
（1）等差数列
?
a
n
?
中，连续m项的和仍组成 等差数列，即
a
1
?a
2
?
a
2m?1
? a
2m?2
??a
3m
,仍为等差数列（即
S
m
, S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
,
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
?na
1
?d.

22
?a
m
,a
m?1
?a
m?2
??a
2m
,

成等差数列）；
（2）等差数列
?
a
n
?
的前n 项和
S
n
=na
1
?
于n的二次函数，且不含常数项； < br>n
?
n?1
?
dd
??
d=n
2
?
?
a
1
?
?
n,
当
d?0
时，< br>S
n
可看作关
222
??
第 8 页

共 24 页

高中数学学案
（3）若等差数列
?
a
n
?
共有2n+1（奇数）项，则
S
奇
?S
偶
=a< br>n?1
?
中间项
?
且
若等差数列
?
a
n
?
共有2n（偶数）项，则
S
偶
?S
奇=nd且
S
奇
n?1
=,

S
偶
n
S
偶
a
n?1
=.
S
奇
a
n
a
1
?an
21n?1
(a
2
?
1
a
n?
)
aS
22
（4） 等差数列
{a
n
}{b
n
}
的前n项和为
S
n
,T
n
(n为奇数），则
n
???
2n?1

n(b
1
?b
2n?1
)
T
2n?1
b< br>n
b
1
?b
2n?1
22
n?m
（5）在等 差数列
{a
n
}
中.
S
n
=a，
S
m
?b
，则
S
n?m
?(a?b)
，
n?m
特别地，当
S
n
?S
m
时，S
n?m
?0
，当
S
n
=m，
S
m< br>=n时
S
n?m
??(n?m)

（6）若
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前n项和，则数列
{
7 、等差数列前n项和
S
n
的最值问题：
设等差数列
?
a< br>n
?
的首项为
a
1
,
公差为
d
，则
（1）
a
1
?0且d?0
（即首正递减）时，
S
n
有最大值且
S
n
的最大值为所有非负数项之和；
（2）
a
1
?0且d?0
（即首负递增）时，
S
n
有最小值且
S
n
的最小值为所有非正数项之和.
三、等比数列
1、等比数列的概念：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数 ，那么这个数列
就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母
q
表 示（
q?0
）.
即
a
n?1
?q
?
q为 非零常数
?
，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.
a
n
S
n
}
也为等差数列.
n
2、等比数列的通项公式：
设等比数列
?
a
n
?
的首项为
a
1
，公比为
q
，则通项公式为：
a< br>n
?a
1
q
n?1
?a
m
q
n?m
,
?
n?m,n、m?N
?
?
.
3、等比中项：
（1）若
a、A、b
成等比数列，则
A
叫做
a
与< br>b
的等比中项，且
A
2
=ab
;
（2）若数列?
a
n
?
为等比数列，则
a
n
,a
n ?1
,a
n?2
成等比数列，即
a
n?1
是
an
与
a
n?2
的等比中项，且
22
a
n?1< br>=a
n
?a
n?2
；反之若数列
?
a
n?
满足
a
n?1
=a
n
?a
n?2
， 则数列
?
a
n
?
是等比数列.
第 9 页

共 24 页

高中数学学案
4、等比数列的性质：
a< br>1
（1）若数列
{a
n
}
，
{b
n
}
为等比数列，则数列
{}
，
{ka
n
}
，
{a
n
2
}
，
{a
2n?1
}
，
{a
n
b
n
}
{
n
}
(k
a
n
b
n
为非零常数) 均为等比数列.
（2）等比 数列
?
a
n
?
中，若
m?n?p?q
?
m 、n、p、q?N
?
?
,
则
a
m
?a
n< br>?a
p
?a
q
，若
m?n?2p，
则
am
?a
n
?a
2
p
；
（3）若数列
?
a
n
?
和
?
b
n
?
均为等比数 列，则数列
?
a
n
?b
n
?
也为等比数列； （4）等比数列
?
a
n
?
的首项为
a
1
，公比为
q
，则
?
a
1
?0
?
a1
?0
?
a
1
?0
?
a
1
? 0
或
?
?
?
a
n
?
为递增数列，
?
或
?
?
?
a
n
?
为递减数列，
?
q?10?q?10?q?1q?1
????
q?1?
?
an
?
为常数列.
5、等比数列的前n项和：
（1）数列
?< br>a
n
?
的前n项和
S
n
=
a
1?a
2
?a
3
??a
n?1
?a
n
,
?
n?N
?
?
；
?
S
1
,n?1
.
（2）数列
?
an
?
的通项与前n项和
S
n
的关系：
a
n?
?
?
S
n
?S
n?1
,n?2
?< br>na
1
,q?1
?
（3）设等比数列
?
a
n
?
的首项为
a
1
，公比为
q
?
q?0?
，则
S
n
?
?
a
1
?
1? q
n
?
.

,q?1
?
1?q
?
由等比数列的通项公式及前n项和公式可知，已知
a
1
,q,n,a
n
,S
n
中任意三个，便可建立方程组
求出另外两个.
6、等比数列的前n项和性质：
设等比数列
?
a
n
?中，首项为
a
1
，公比为
q
?
q?0
?
，则
（1）连续m项的和仍组成等比数列，即
a
1
?a
2
?
a
2m?1
?a
2m?2
?
?a
m
, a
m?1
?a
m?2
??a
2m
,

?a
3m
,仍为等比数列（即
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
,
成等差数列）；
（2） 当
q?1
时，
S
n
?
设
a
1
?< br>1?q
n
?
1?q
?
a
1
aaaa
?
?
1?q
n
?
?
1
?
1
?q< br>n
?
1
?q
n
?
1
，
1?q1? q1?qq?1q?1
a
1
?t
，则
S
n
?tq< br>n
?t
.
q?1
第 10 页

共 24 页

高中数学学案
四、递推数列求通项的方法总结
1、递推数列的概念：
一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关 系的式子叫做递
推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.
2、两个恒等式：
对于任意的数列
?
a
n
?
恒有：
（1）
a
n
?a
1
?
?
a
2
?a
1?
?
?
a
3
?a
2
?
?
?< br>a
4
?a
3
?
?
（2）
a
n
?a
1
?
a
2
a
3
a
4
???
a
1
a
2
a
3
?
?
?
a
n
?a
n?1
?

a
n
,
?a
n
?0,n?N
?
?

a
n?1
3、递推数列的类型以及求通项方法总结：
类型一（公式法）：已 知
S
n
（即
a
1
?a
2
??a
n
?f(n)
）求
a
n
，用作差法：
a
n
?
?
S
1
,(n?1)

S
n
?S
n?1
,(n?2)
类型二（累加法）：已知：数列
?
a
n
?
的首项
a
1
,且
a
n?1
?a
n
?f
?
n
?
,
?
n?N
?
?
， 求
通项a
n
.
给递推公式
a
n?1
?a
n
?f
?
n
?
,
?
n?N
?
?< br>中的n依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：
a
2
? a
1
?f
?
1
?
,a
3
?a
2< br>?f
?
2
?
,a
4
?a
3
?f?
3
?
,,a
n
?a
n?1
?f
?< br>n?1
?
.

利用公式
a
n
?a
1
?
?
a
2
?a
1
?
?
?
a
3
?a
2
?
?
?
a
4
?a3
?
??
?
a
n
?a
n?1
?
可得：
a
n
?a
1
?f
?
1
?
?f
?
2
?
?f
?
3
?
??f
?
n?1
?
.

a
n?1
?f
?
n
?
,
?
n?N
?
?
，求
通项a
n
.
a
n
类型三（累乘法）：已知：数列
?
a
n
?
的首项
a
1
,且
给递推公式
a
n?1< br>?f
?
n
?
,
?
n?N
?
?
中的n一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：
a
n
a2
aa
?f
?
1
?
,
3
?f
?
2
?
,
4
?f
?
3
?
,
a
1
a
2
a
3
,
a
n
?f?
n?1
?
.

a
n?1
利用公式
a
n
?a
1
?
a
2
a
3
a
4
???
a
1
a
2
a
3
?
an
,
?
a
n
?0,n?N
?
?
可得：
a
n?1
a
n
?a
1
?f
?
1< br>?
?f
?
2
?
?f
?
3
?
??f
?
n?1
?
.

类型四（构造法）：形如
a
n?1
?pa
n
?q
、
a
n?1
?pa< br>n
?q
n
（
k,b,p,q
为常数）的递推数列都可以
第 11 页

共 24 页

高中数学学案
用待定系数法转化为公比为
k
的等比数列后，再求
a
n
。
①
a
n?1
?pa
n
?q
解法：把原递推公式转化 为：
a
n?1
?t?p(a
n
?t)
，其中
t?< br>用换元法转化为等比数列求解。
②
a
n?1
?pa
n
?q
n
解法：该类型较要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除
以
q
n?1
，得：
a
n?1
p
a
n
1
a
n
p1
???b?
b?b?
引入辅助数列（其中），得：
??
b
n
n?1n
n
q
n?1
q
qn
q
q
n
qq
q
，再利
1?p
再应用
a
n?1
?pa
n
?q
的方法解决。
类型五（倒 数法）：已知：数列
?
a
n
?
的首项
a
1
,且
a
n?1
?
pa
n
,
?
r?0,n? N
?
?
，求
通项a
n
.
qa
n
?r
a
n?1
?
pa
n
1qa?r1rq1r1q
??
n
???????

qa
n
?ra
n?1pa
n
a
n?1
pa
n
pa
n?1
p a
n
p
11
rq
,则b
n?1
?.
?b< br>n?1
??b
n
?
，
a
n
a
n? 1
pp
设
b
n
?
若
r?p,
则
b
n?1
?b
n
?
q
qq
?b
n?1
?b
n
=
，即数列
?
b
n
?
是以为公差 的等差数列.
p
pp
若
r?p,
则
b
n?1?
rq
b
n
?
（转换成类型四①）.
pp
五、数列常用求和方法
第一类：公式法
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
1、等差数列的前
n
项和公式
S
n
?
n(a1
?a
n
)
n(n?1)d
?na
1
?

22
2、等比数列的前
n
项和公式
?
na
1
(q?1)
?
S
n
?
?
a
1
(1 ?q
n
)
a
1
?a
n
q

?(q?1)
?
1?q1?q
?
3、常用几个数列的求和公式 （1）、
S
n
?
?
k?1?2?3???n?
k?1< br>n
1
n(n?1)

2
第 12 页

共 24 页

高中数学学案
（2）、
S
n
?
?
k
2
?1
2
?2
2
?3
2
?? ?n
2
?
k?1
n
n
1
n(n?1)(2n?1)

6
1
（3）、
S
n
?
?
k3
?1
3
?2
3
?3
3
???n
3< br>?[n(n?1)]
2

2
k?1
第二类：乘公比错项相减（等差
?
等比）
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
a
{an
?b
n
}
或
{
n
}
的前n项和，其 中
{a
n
}
，
{b
n
}
分别是等差数列和 等比数列。
b
n
例：求数列
{nq
n?1
}(
q
为常数)的前
n
项和。
解：Ⅰ、若
q
=0， 则
S
n
=0
Ⅱ、若
q
=1，则
S
n
?1?2?3???n?
Ⅲ、若
q
≠0且
q
≠1，
则
S
n
?1? 2q?3q
2
???nq
n?1
①
qS
n
?q?2q
2
?3q
3
???nq
n
②
1
n(n?1)

2
①式—②式：
(1?q)S
n
?1?q?q
2
?q
3
???q
n?1
?nq
n

?
S
n
?
1
(1?q?q2
?q
3
???q
n?1
?nq
n
)

1?q
11?q
n
(?nq
n
)

?S
n
?
1?q1?q
1?q
n
nq
n

?
?
S
n
?
2
1?q
(1?q)
?
?
0(q?0)
?
?
1
综上所述：
S
n
?
?
n(n?1)(q?1)

?
2
?
1 ?q
n
nq
n
?(q?0且q?1)
?
2
1?q< br>(1?q)
?
第三类：裂项相消法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分 解，然后重新组合，使之能消去一些项，最
终达到求和的目的通项分解（裂项）如：
1、乘积形式，如：
第 13 页

共 24 页

高中数学学案
（1）、
a
n
?
111
??

n(n?1)nn?1
(2n)
2
111
?1?(?)
（ 2）、
a
n
?
(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
（3） 、
a
n
?
1111
?[?]

n(n?1)(n? 2)2n(n?1)(n?1)(n?2)
n?212(n?1)?n1111
?
n< br>??
n
??,则S?1?

n
n(n?1)
2
n(n?1)
2n?2
n?1
(n?1)2
n
(n?1)2
n
（4）、
a
n
?
2、根式形式，如：
a
n?
1
n?1?n
?n?1?n

例：求数列
1111
，，，…，，…的前
n
项和
S
n

n( n?2)
1?32?43?5
1
111
=
(?
）
n(n?2)
2nn?2
解：由于：
则：
S
n
?
1
?
11111
?
(1?)?(?)?????(?)
?
< br>?
2
?
324nn?2
?
1111
(1???)
22n?1n?2
311

?
?

S
n
??
42n?22n?4
第四类：倒序相加法
这是推 导等差数列的前
n
项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），
?< br>
S
n
?
再把它与原数列相加，就可以得到
n
个(a
1
?a
n
)
。
例：若函数
f(x)对任意
x?R
都有
f(x)?f(1?x)?2
。
12n?1
（1）
a
n
?f(0)?f()?f()???f(
数列
{ a
n
}
是等差数列吗？是证明你的
)?f(1)
，
nnn< br>结论；
（2）求数列
{
1
}
的的前
n
项和
T
n
。
a
n
?a
n?1
12n?1)?f(1)
（倒序相加） 解：（1）、
a
n
?f(0)?f()?f ()???f(
nnn
n?1n?21
)?f()???f()?f(0)

?
a
n
?f(1)?f(
nnn
1n?12n?2
1?0???????1

nnnn
第 14 页

共 24 页

高中数学学案
则，由条件：对任意
x?R
都有
f(x)?f(1?x)?2
。
2n?1）

?
2a
n
?2?2?2???2?（
?
a
n
?n?1
?
a
n?1
?n?2

?
a
n?1
?a
n
?1

从而：数列{a
n
}
是
a
1
?2,d?1
的等差数列。
（2）、
1111
???

a
n
?a
n? 1
(n?1)(n?2)n?1n?2
?
T
n
=
1111< br>?????

2?33?44?5（n?1）?(n?2)
11111111n

????
?
T
n
=
??????
2334n?1n?22n?22n ?4
n
故：
T
n
=
2n?4
第五类：分组求和法（等差+等比）
有一类数列，既不是等差数列，也不是 等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个
等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即 可。
例：求数列{
1
+
n?2
n?1
}的前
n< br>项和
S
n

n(n?1)
解：令
a
n
?
1

b
n
?n?2
n?1

n(n?1)
S
n
?(a
1
?b
1
)?(a
2
?b
2
)?(a
3
?b
3
)???(a
n
?b
n
)

?
S
n
?(a
1
?a
2
? a
3
???a
n
)?(b
1
?b
2
?b< br>3
???b
n
)

111111
???????)? (1?2?2?3?2
2
???n?2
n?1
)

223 3nn?1
1
)?(1?2?2?3?2
2
???n?2
n?1)

?
S
n
?(1?
n?1
?
Sn
?(1?
令
T
n
?1?2?2?3?2
2
? ??n?2
n?1
①
2T
n
?2?2?2
2?3?2
3
???n?2
n
②
①式—②式：(1?2)T
n
?1?2?2
2
?2
3
???2
n?1
?n?2
n

?
T
n
??(1?2?2< br>2
?2
3
???2
n?1
?n?2
n
)
第 15 页

共 24 页

高中数学学案
1?2
n
?n?2
n
)

?
T
n
??(
1?2
?
T
n
?(n?1)?2
n
?1

11
)?(n?1)?2
n
?1?2??(n?1)?2
n

n?1n?1
第六类：拆项求和法
在这类方法中，我们先研究通项，通项可以分解成 几个等差或等比数列的和或差的形式，
再代入公式求和。
故：
S
n
?(1?
例：求数列9，99，999，… 的前n项和
S
n

分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先 归纳出通项公式
a
n
?10
n
?1

可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。
解：由于：
a
n
?10
n
?1

则：
S
n
?9?99?99??

?
S
n
?(10
1
?1)?(10
2
?1)?(10
3
? 1)???(10
n
?1)

?
S
n
?(101
?10
2
?10
3
???10
n
)?(1? 1?1???1)

10?10
n
?10
?n

?
S
n
?
1?10
10
n?1
?10
?n< br>
?
S
n
?
9
1111
例8：
S< br>n
=
1?2?3?????n
n

248
2
11
解：由于：
a
n
?n
n
?n?
n
< br>22
1111
则：
S
n
=
(1?2?3???n)? (???????
n
)
（等差+等比，利用公式求和）
248
2< br>11
(1?()
n
)
1
2
=
n(n?1)?
2

1
2
1?
2
11
=
n(n? 1)?1?()
n

22





第 16 页

共 24 页

高中数学学案
第三章 不等式
一．不等式的性质：
1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相 减：若
a?b,c?d
，则
a?c?b?d
（若
，但异向不等式不可 以相加；同向不等式不可以相减；
a?b,c?d
，则
a?c?b?d
）< br>2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不
ab能相乘：若
a?b?0,c?d?0
，则
ac?bd
（若
a?b ?0,0?c?d
，则
?
）；
cd
3．左右同正不等式：两边可以 同时乘方或开方：若
a?b?0
，则
a
n
?b
n
或
n
a?
n
b
；
1111
4．若
ab?0
，
a?b
，则
?
；若
ab?0
，
a?b< br>，则
?
。
abab
例（1）对于实数
a,b,c
中，给出下列命题：
①
若a?b,则ac
2
?bc
2
； ②
若ac
2
?bc
2
,则a?b
；
11
③
若a?b?0,则a
2
?ab?b
2
； ④
若a?b?0,则?
；
ab
ba
⑤
若a?b?0,则?
； ⑥若a?b?0,则a?b；
ab
ab
11
⑦
若c?a?b?0,则
； ⑧
若a?b,?
，则
a?0,b?0
。
?
ab
c?ac?b
其中正确的命题是______
（答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知
?1?x?y?1
，
1?x?y ?3
，则
3x?y
的取值范围是______
（答：
1?3x?y?7
）；
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；
3．分析法；
4．平方法；
5．分子（或分母）有理化；
6．利用函数的单调性；
7．寻找中间量或放缩法 ；
8．图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
b?mb
例（1）已知
a?b?0
，
m?0
，试比较与的大小
a?ma
b?mbab?am?ab?bmm(a?b)
???
答：
a?maa(a?m)a(a?m)

?a?b?0,m?0,?a?b?0,a?m?0

m(a?b)b?mb
?0??

?
a(a?m)a?ma
从而得到结论，糖水加糖甜更甜。
1t?1
（2）设
a?0且a?1,t?0
，比较
log< br>a
t和log
a
的大小
22
1t?11t?1
（答 ：当
a?1
时，
log
a
t?log
a
（
t?1
时取等号）；当
0?a?1
时，
log
a
t?log
a
2222
（
t?1
时取等号））；
第 17 页

共 24 页

高中数学学案
（3）设
a?2< br>，
p?a?
2
1
，
q?2
?a?4a?2
， 试比较
p,q
的大小
a?2
1
?a
2
?4a?2
（答：
p?a?2?
；
?2?2?2?4
，
q?2?4< br>,故
p?q
）
a?2
（4）比较1+
log
x
3
与
2log
x
2(x?0且x?1)
的大小
4
4
（答：当
0?x?1
或
x?
时，1+log
x
3＞2log
x
2；当
1?x?
时，1+log
x
3＜2l og
x
2；当
3
3
4
x?
时，1+
log
x
3
＝
2log
x
2
）
3
1
（5）比较与
10
的大小
3?2
1
?3?2
，
(3?2)
2
?(10)
2
?0
） （答：提示：
3?2
三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正 二定三相等，和定积最大，积定和
最小”这17字方针。
例（1）下列命题中正确的是
1
A、
y?x?
的最小值是2
x
1
B、
y?x?
的最大值是2
x
4
C、
y?2?3x?(x?0)
的最大值是
2?43

x
4
D、
y?2?3x?(x?0)
的最小值是
2?43

x
（答：C）；
（2）若
x?2y?1
，则
2
x
?4
y
的最小值是______
（答：提示：
2
1?2y
?2
2y
?22
22
）；
11
（3）正数
x,y
满足
x?2y?1
，则
?< br>的最小值为______
xy
（答：
3?22
）；
四．常用不等式有：
22
a?b
?
a?b
?ab?
2
(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （1）
221
?
1
ab
（2）
a
、
b
、
c
?
R，
a
2
?b
2
?c2
?ab?bc?ca
（当且仅当
a?b?c
时，取等号）；
bb?m
（3）若
a?b?0,m?0
，则
?
（糖水的浓度问题）。
aa?m

例 如果正数
a
、
b
满足
ab ?a?b?3
，则
ab
的取值范围是_________
（答：提示：
a?b?2ab,ab?a?b?3,ab?2ab?3
?
9,???
）
五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差 （商）后
通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).
1111111
??
2
???
常用的放缩技巧有：
?
nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n
第 18 页

共 24 页

高中数学学案
111
???k?k?1

k?1?k2kk?1?k

六、不等式的解法
1、不等式的同解原理：
原理1：不等式的两边都加上（或减去 ）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是
同解不等式；
原理2：不等式的两边都乘 以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与
原不等式是同解不等式；
原理 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改
变方向后所得不等 式与原不等式是同解不等式。
2、一元二次不等式的解法：
一元二次不等式的解集的端点值 是对应二次方程的根，是对应二次函数的图像与x轴交点的
横坐标。
k?1?k?

二次函数
（
的图象
）


有两相异实根



有两相等实根
无实根








注意：


（1） 一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两根
x
1
,x
2
是相应的不等式
ax
2
?bx?c?0(a?0)< br>的
解集的端点的取值，是抛物线
y?ax
2
?bx?c(a?0)与
x
轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二 次项系数为负，应先利用不等式的性质
转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3） 解集分
??0,??0,??0
三种情况，得到一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0(a?0)
与
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的 解集。
3、简单的一元高次不等式的解法：
标根法：其步骤是：
（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一
第 19 页

共 24 页

高中数学学案
点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；
（3）根据曲线显现
f(x)
的符号变化规律，写出不等式的解集。
例 （1）解不等式
(x?1)(x?2)
2
?0
。
（2）解不等式
(x?1)
2
(x?1)(x?2)(x?4)?0

（3）解不等式
(x?2)(x?1)
2
(x?1)
3
(x ?2)?0

4、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通
分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后
用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为
负时可去分母。 < br>?
f
?
x
?
?g
?
x
?
? 0
f
?
x
?
f
?
x
?
?0?f< br>?
x
?
?g
?
x
?
?0;?0?
?
.
gx?0
g
?
x
?
g
?
x?
??
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?0
f
?
x
?
f
?
x
?
?0?f
?
x
?
?g
?
x
?
?0;?0?
?
.

gx?0
g
?
x?
g
?
x
?
??
?
5?x
??1（答：
(?1,1)(2,3)
）；
x
2
?2x?3

5、绝对值不等式的解法：
（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：
31
例 解不等式
|2?x|?2?|x?|
（答：
x?R
）；
42

（2）利用绝对值的定义；
例 解不等式ax?b?c （答：
?c?ax?b?c
）；
例 解不等式
（3）数形结合；
例 解不等式
|x|?|x?1|?3

（答：
(??,?1)(2,??)
）；
（4）两边平方：
例 若不等式
|3x?2|?|2x?a|
对
x?R
恒成立，则实数
a< br>的取值范围为______。
4
（答：
{}
）
3
6、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”
注意解 完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。
注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.
2
例 （1）若
log
a
?1
，则
a
的 取值范围是__________
3
2
（答：
a?1
或
0?a?
）；
3
ax
2
?x(a?R)
（2）解不等式
ax?1
11
{x|
x?0}
；
a?0
时，
{x|x?
或
x?0}
；
a?0
时，
{x|?x?0}
或
x?0 }
）（答：
a?0
时，；
aa
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；
（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点
值。

第 20 页

共 24 页

高中数学学案
7、指数、对数不等式的解法：
（1）
a
f
?
x
?
?a
g
?
x
?

?
a?1
?< br>?f
?
x
?
?g
?
x
?
;
a
f
?
x
?
?a
g
?
x
?

?
0?a?1
?
?f
?
x
?
?g?
x
?

（2）
log
a
f
?
x
?
?log
a
g
?
x
?
(a?1 )?f
?
x
?
?g
?
x
?
?0;
log
a
f
?
x
?
?log
a
g
?
x
?
(0?a?1)?0?f
?
x
?
?g< br>?
x
?

七、基本不等式
1、基本不等式：
若
a?0
，
b?0
，则
a?b
?ab
，当且仅当a?b
时，等号成立．
2
a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数，
ab
称为正数
a
、
b
的几何平 均数．
2
a?b
?
变形应用：
ab?
?
??< br>?
a?0,b?0
?
，当且仅当
a?b
时，等号成立．
?
2
?
2
2、基本不等式推广形式：
a?b
2< br>a
2
?b
2
如果
a,b?R
，则≥≥
ab< br>≥，当且仅当
a?b
时，等号成立．
11
2
2
?< br>ab
?
3、基本不等式的应用：设
x
、
y
都为正数， 则有：
s
2
⑴若
x?y?s
（和为定值），则当
x?y< br>时，积
xy
取得最大值．
4
⑵若
xy?p
（积为定 值），则当
x?y
时，和
x?y
取得最小值
2p
．
注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三相等”三个条件同时成立。
4、常用不等式：
若a、b?R,则a
2
?b
2
?2ab?2ab； 2?
a
2
?b
2
?
?
?
a?b
?

2
八、含绝对值不等式的性质：
a、b
同号或有
0< br>?
|a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b||?|a?b|
；
a、b
异号或有
0
?
|a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b||?|a?b|
.
九、不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式 恒成立问题的常规处理方式？（常应用
函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不 等式的结构特征，
利用数形结合法）
1).恒成立问题
若不等式
f
?
x
?
?A
在区间
D
上恒成立,则等价于在区间
D
上
f
?
x
?
min
?A

若不 等式
f
?
x
?
?B
在区间
D
上恒成立,则 等价于在区间
D
上
f
?
x
?
max
?B< br>
例（1）设实数
x,y
满足
x
2
?(y?1)2
?1
，当
x?y?c?0
时，
c
的取值范围是___ ___
（答：提示：设
x?sina,y?1?cosa
，
x?y?c?sina?cosa?1?c?2sin(a?45
?
)?1?c

第 21 页

共 24 页

高中数学学案
?
2?1,??
）；
?

（2）不等式
x?4?x?3?a
对一切实数
x
恒成立，求实数a
的取值范围_____
c?1?2?0
?
（答：
a?1
）；
2). 能成立问题
若在区间
D
上存在实数
x
使不等式
f
?
x
?
?A
成立,则等价于在区间
D
上
f
?
x
?
max
?A
；
若在区间
D
上存在实数
x
使不等式
f
?
x
?
?B
成立,则等价于在区间< br>D
上的
f
?
x
?
min
?B
.
例 已知不等式
x?4?x?3?a
在实数集
R
上的解集不是空集， 求实数
a
的取值范围____
（答：
a?1
）
3). 恰成立问题
若不等式
f
?
x
?
?A
在区间
D
上恰成立, 则等价于不等式
f
?
x
?
?A
的 解集为
D
；
若不等式
f
?
x
?
?B在区间
D
上恰成立, 则等价于不等式
f
?
x
?
?B
的解集为
D
.
十、简单的线性规划问题
1、二元一次不等式表示平面区域:
在平面直角坐标系中，已知直线
Ax< br>+
By
+
C
=0，坐标平面内的点
P
（
x< br>0
，
y
0
）
B
＞0时，①
Ax
0
+
By
0
+
C
＞0，则点
P
（
x
0
，
y
0
）在直线的上方；②
Ax
0
+< br>By
0
+
C
＜0，则点
P
（
x
0< br>，
y
0
）
在直线的下方
对于任意的二元一次不等式
Ax
+
By
+
C
＞0（或＜0），无论
B
为正值还 是负值，我们都可以
把
y
项的系数变形为正数
当
B
＞0时 ，①
Ax
+
By
+
C
＞0表示直线
Ax
+
By
+
C
=0上方的区域；②
Ax
+
By
+
C
＜0表示直线
Ax
+
By
+
C
=0下 方的区域
2、线性规划:
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题
满足线性约 束条件的解（
x
，
y
）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类
似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多问
题 都可以归结为线性规划问题
3、线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
（1）根据题意，设出变量
x
、
y
；
（2）找出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数
z
=
f
（
x
，
y
）；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；
（5）利用线性目标函数作平行直 线系
f
（
x
，
y
）=
t
（
t为参数）；
（6）观察图形，找到直线
f
（
x
，
y< br>）=
t
在可行域上使
t
取得欲求最值的位置，以确定最优解，
给出答案

第 22 页

共 24 页

高中数学学案
典型解题方法总结
1、线性目标函数问题
当目标函数是线性关系式如
z?ax?by?
（
c
b?0
）时，可把 目标函数变形为
az?c
x?
，
bb
z?c
则可看作在< br>在y轴
上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目
b
y ??
标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解，一般步骤如下：
（1）做出可行域;
（2）平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.
?
x?y≥?1，
?
【例1】设变量
x，y
满足约束条件
?
x?y≤4，则目标函数
z?2x?4y
的最大值为
?
y≥2
?
A.

10

D.

14

B.

12

C.

13

2、非线性目标函数问题的解法
当目标函数 时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数
形结合，来求其最优解。近 年来，在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些
问题主要考察的是等价转化思想和数形 结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越
来越高.常见的有以下几种：
（1）比值问题
当目标函数形如
z?
y?a
时,可把z看作是动点
P(x,y)
与定点
Q(b,a)
连线的斜率，这样
x?b
目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
?
?
x
－
y
＋2≤0，
y
【例2】已知变量
x
，
y
满足约束条件?
x
≥1，
则 的取值范围是（ ）.
x
?
x
＋
y
－7≤0，
?
99
（A）[，6] （B）（－∞，]∪[6，＋∞）
55
（C）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D）[3，6]
（2）距离问题
当目标函数形如
z?(x?a)
2?(y?b)
2
时,可把z看作是动点
P(x,y)
与定点
Q( a,b)
距离的
平方，这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值。
第 23 页

共 24 页

高中数学学案
?
?
2
x
＋
y
－2≥0，
【例3】已知
?
x
－ 2
y
＋4≥0，
求
x
2
＋
y
2
的 最大值与最小值.
?
?
3
x
－
y
－3≤0，
（3）截距问题
?
x+y?0
?
【例4】不等式组
?
x?y?0
表 示的平面区域面积为81，则
x
2
?y
的最小值为_____
?
x?a
?
（4）向量问题
?
x?4y?3?0,
OP?OA
?
【例5】已知点
P
的坐标（
x
，
y
）满足：
?
3x?5y?25,
及
A
（2，0），则的最大 值是 .
OA
?
x?1?0.
?
3、线性变换问题 < br>【例6】在平面直角坐标系
xOy
中，已知平面区域
A
＝{（
x
，
y
）|
x
＋
y
≤1，且
x
≥ 0，
y
≥0}，
则平面区域
B
＝{（
x
＋
y
，
x
－
y
）|（
x
，
y
）∈< br>A
}的面积为 .
4、线性规划的逆向问题 24
【例7】给出平面区域如图所示.若当且仅当
x
＝，
y
＝
35
时，目标函数
z
＝
ax
－
y
取最小值 ，则实数
a
的取值范
围是 .


第 24 页

共 24 页