高中数学知识点总结(集合,不等式,函数))

上海教材高中数学知识点总结

一、集合与常用逻辑
1．集合概念 元素：互异性、无序性
2．集合运算 全集U：如U=R
交集：
A?B?{xx?A且x?B}

并集：
A?B?{xx?A或x?B}

补集：
C
U
A?{xx?U且x?A}

3．集合关系 空集
?
?A

子集
A?B
:任意
x?A?x?B

A?B?A?A?BA?B?B?A?B

注：数形结合---文氏图、数轴
4．四种命题
原命题：若p
则
q 逆命题：若q
则
p
否命题：若
?p
则
?q
逆否命题：若
?q
则
?p

原命题
?
逆否命题 否命题
?
逆命题
5．充分必要条件
p是q的充分条件：
P?q

p是q的必要条件：
P?q

p是q的充要条件：p?q
6．复合命题的真值
①q真（假）?“
?q
”假（真）
②p、q同真?“p∧q”真
③p、q都假?“p∨q”假
7.全称命题、存在性命题的否定
??M, p(x）否定为: ??M,
?p(X)

??M, p(x）否定为: ??M,
?p(X)


二、不等式
1．一元二次不等式解法

1

若
a?0，
ax
2
?bx?c?0
有两实根
?
,
?(
?
?
?
)
，则
ax
2
?bx?c ?0
解集
(
?
,
?
)

ax
2< br>?bx?c?0
解集
(??,
?
)?(
?
,??)< br>
注：若
a?0
，转化为
a?0
情况
2．其它不等式解法—转化
x?a??a?x?a
?
x
2
?a
2

x ?a?
x?a
或
x??a
?
x
2
?a
2< br>
f(x)
g(x)
?0
?
f(x)g(x)?0

a
f(x)
?a
g(x)
?
f(x)?g(x)
（
a?1
）
logg(x)?
?
?
f(x)?0
a
f(x)?log
a
?
?
（
0?a?1
）
?
f(x)?g(x)
3．基本不等式
①
a
2
?b
2
?2ab

②若
a,b?R
?
，则
a?b
2
?ab

注：用均值不等式
a?b?2ab
、
ab?(
a?b
22
)

求最值条件是“一正二定三相等”


三、函数概念与性质
1．奇偶性
f(x)偶函数
?
f(?x)? f(x)
?
f(x)图象关于
y
轴对称
f(x)奇函数
?
f(?x)??f(x)
?
f(x)图象关于原点对称
注：①f(x)有奇偶性
?
定义域关于原点对称
②f(x)奇函数,在x=0有定义
?
f(0)=0
③“奇+奇=奇”（公共定义域内）
2．单调性
f(x)增函数：x
1< br>＜x
2
?
f(x
1
)＜f(x
2
)
或x
1
＞x
2
?
f(x
1
) ＞f(x
2
)
或
f(x
1
)?f(x
2
)
x
?0

1
?x
2

2

f(x)减函数：？

注：①判断单调性必须考虑定义域
②f(x)单调性判断
定义法、图象法、性质法“增+增=增”
③奇函数在对称区间上单调性相同
偶函数在对称区间上单调性相反
3．周期性 < br>T
是
f(x)
周期
?
f(x?T)?f(x)
恒成立 （常数
T?0
）
4．二次函数
解析式： f(x)=ax
2
+bx+c，f(x)=a(x-h)
2
+k
f(x)=a(x-x
1
)(x-x
2
)
对称轴：
x?
?b
b4ac?b
2
2a
顶点：
(?
2a
,
4a
)

单调性：a>0，(??,?
b
2a
]
递减，
[?
b
2a
,??)
递增
当
x?
?b
2a
，f(x)
4a c?b
2
min
?
4a

奇偶性：f(x)=ax
2
+bx+c是偶函数
?
b=0
闭区间上最值：
配方法、图象法、讨论法---
注意对称轴与区间的位置关系
注：一次函数f(x)=ax+b奇函数
?
b=0



四、基本初等函数
n
1．指数式
a
0
?1(a?0)

a
?n
?
1
a
n

a
m
?
m
a
n

2．对数式
log
a
N?b
?a
b
?N
（a>0,a≠1）
log
a
MN?log
a
M?log
a
N

log
M
a
N
?log
a
M?log
a< br>N

log
n
a
M?nlog
a
M

log?
log
m
b
lgb
a
b
log< br>?
lga

m
a

log
na
b?log
a
n
b
?
1
log

b
a

3

注：性质
log
a
N
a
1?0

log
a
a?1

a
log
?N
常用对数
lgN?log
10
N
，
lg2?lg5?1

自然对数
lnN?log
e
N
，
lne?1

3．指数与对数函数 y=a
x
与y=log
a
x

定义域、值域、过定点、单调性？
注：y=a
x
与y=log
a
x图象关于y=x对称（互为反函数）
1
4．幂函数
y?x
2
,y?x
3
,y? x
2
,y?x
?1

y?x
?
在第一象限图象如下：



五、函数图像与方程
1．描点法
函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调）
取特殊点如零点、最值点等
2．图象变换
平移：“左加右减，上正下负”
y?f(x)?y?f(x?h)

伸缩：
y?f(x)?
每一点的 横坐标变为原
??????
来的
?
?
?
倍
?y?f (
1
?
x)

对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”
y?f(x)?
x
??
轴
y??f(x)
y?f(x)?
y
??
轴
y?f(?x)

y?f(x)?
原点
???y??f(?x)
?
?1

0?
?
?1

?
?0




注：
4

y?f(x)
直线
?
x?a
y?f(2a?x)

翻折：
y?f(x)?y?|f(x)|
保留
x
轴上方部分，
并将下方部分沿
x
轴翻折到上方
y
y=f(x)
y
y=|f(x)|
a
o
b
c
x
a
ox

b
c

y?f(x)?y?f(|x|)
保留
y
轴右边部分，
并将右边部分沿
y
轴翻折到左边
y
y=f(x)
y
y=f(|x|)
a
o
b
c
x
a
ox

b
c

3．零点定理
若
f(a)f(b)?0
， 则
y?f(x)
在
(a,b)
内有零点
（条件：
f(x)
在
[a,b]
上图象连续不间断）
注：①
f(x)
零点：
f(x)?0
的实根
②在
[a,b]
上连续的单调函数
f(x)
，
f(a)f(b)?0

则
f(x)
在
(a,b)
上有且仅有一个零点
③二分法判断函数零点---
f(a)f(b)?0
？
六、三角函数
1．概念 第二象限角
(2k
?
?
?
2
,2k< br>?
?
?
)
(
k?Z
)
2．弧长
l?
?
?r
扇形面积
S?
1
2
lr

3．定义
sin
?
?
y
r

cos
?
?
xy
r

tan
?
?
x

其中
P(x,y)
是
?
终边上一点，
PO?r

4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦”
5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”

5

如
Sin(2
?
?
?
)??sin
?
，
cos(
?2?
?
)??sin
?

6．特殊角的三角函数值
?

0
????
6

4

3

2

?

3
?
2

sin
?
0
1
23
2

2

2

1 0
?1

cos
?
1
32
2

1
2
2

0
?1

0
tg
?
0
3
3

1
3

0
7．基本公式
同角
sin2
?
?cos
2
?
?1

sin
?
cos
?
?tan
?

和差sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

tan
?
?
?
?< br>?
?
tan
?
?tan
?
1
?
ta n
?
tan
?

倍角
sin2
?
?2sin
?
cos
?

co s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?

tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?

降幂cos
2
α=
1?cos2
?
1?
2
sin
2
α=
cos2
?
2

叠加
si n
?
?cos
?
?2sin(
?
?
?
4< br>)

3sin
?
?cos
?
?2sin(
?
?
?
6
)

asin
?
?bcos
?
?a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)

(tan
?
?
a
b
)

8．三角函数的图象性质
y=sinx y=cosx y=tanx
图
象


6

单调性：
(?
?
,
?
)
增
(0,
?
)
减
(?
?
,
?
2222
)
增
sinx cosx tanx


值域 [-1，1] [-1，1] 无

奇偶 奇函数 偶函数 奇函数


周期 2π 2π π

对称轴
x?k
?
?
?
2

x?k
?

无


中心
?
k
?
,0
?

?
?
2?k
?
,0
?

?
k
?
2,0
?




注：
k?Z

9．解三角形
基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC
tan(A+B)=-tanC
sin
A?B
2
?cos
C
2

正弦定理 ：
a
bc
sinA
=
sinB
=
sinC

a?2RsinA

a:b:c?sinA:sinB:sinC

余弦定理：a
2
=b
2
+c
2
－2bccosA（求边）
cosA=
b
2

?c
2
?a
2
2bc
（求角）
面积公式：S
△
＝
1
2
absinC
注：
?ABC
中，A+B+C=？
A?B?sinA?sinB

a
2
＞b
2
+c
2
? ∠A＞
?
2



7