高中数学知识点精讲——极限和导数

第十二章 极限和导数
第十四章 极限与导数

一、基础知识
1．极限定义：（1）若数列{u
n
}满足，对任意给定的正 数ε，总存在正数m，当n>m且n∈N时，恒有
|u
n
-A|<ε成立（A为常数） ，则称A为数列u
n
当n趋向于无穷大时的极限，记为
limf(x),limf(x )
，
x???x???
另外
lim
?
f(x)
=A 表示x大于x
0
且趋向于x
0
时f(x)极限为A，称右极限。类似地
lim
?
f(x)
表示x小
x?x
0
x?x
0< br>于x
0
且趋向于x
0
时f(x)的左极限。
2 极限的四则运算：如果
lim
f(x)=a,
lim
g(x)=b，那么
lim
[f(x)±g(x)]=a±b, x?x
0
x?x
0
x?x
0
x?x
0
lim
[f(x)?g(x)]=ab,
lim
x?x
0
f(x)a
?(b?0).

g( x)b
x?x
0
x?x
0
3.连续：如果函数f(x)在x=x0
处有定义，且
lim
f(x)存在，并且
lim
f(x)=f (x
0
)，则称f(x)在x=x
0
处连续。
4．最大值最小值定 理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最
小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x
0
处取得一个增量Δx 时（Δx充分小），因

1

变量y也随之取得增量Δy( Δy=f(x
0
+Δx)-f(x
0
)).若
lim
?y< br>存在，则称f(x)在x
0
处可导，此极限
?x?0
?x
dy
dx
，即
x
0
值称为f(x)在点x
0
处的导数（ 或变化率），记作
f'
(x
0
)或
y'x?x
0
或
f'(x
0
)?lim
x?x
0
f(x)?f(x
0
)
。由定义知f(x)在点x
0
连续是f(x)在x
0
可 导的必要条件。若f(x)在
x?x
0
区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此 敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x
0
处导
数
f'
(x
0
)等于曲线y=f(x)在点P(x
0
,f(x
0
))处 切线的斜率。
a?1
6．几个常用函数的导数：（1）
(c)'
=0（c为 常数）；（2）
(x
a
)'?ax
（a为任意常数）；（3）
(si nx)'?cosx;
(4)
(cosx)'??sinx
;(5)
(ax
)'?a
x
lna
;(6)
(e
x
)'?e
x
;（7）
(log
a
x)'
?
（8）
( lnx)'?
1
log
a
x
；
x
1
.
x
7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则 （1）（2）（3）
[u(x)?v(x)]'?u'(x)?v'(x)
；
[u (x)v(x)]'?u'(x)v(x)?u(x)v'(x)
；
[cu(x)]'?c?u '(x)
（c为常数）；（4）
[
1?u'(x)u(x)u(x)v'(x)?u' (x)v(x)
]'?
]'?
2
；（5）
[
。
2
u(x)
u(x)
u(x)
u(x)
8．复合函数求导法：设函数y =f(u),u=
?
(x)，已知
?
(x)在x处可导，f(u)在对应的点 u(u=
?
(x))
处可导，则复合函数y=f[
?
(x)]在点x 处可导，且（f[
?
(x)]
)'
=
f'[
?
(x )]
?
'(x)
.
9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I上可 导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x∈(a,b)
有
f'(x)?0
，则f (x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x∈(a,b)有
f'(x)?0
，则f(x) 在(a,b)单
调递减。
10．极值的必要条件：若函数f(x)在x
0
处 可导，且在x
0
处取得极值，则
f'(x
0
)?0.
11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x
0
邻域(x
0
-δ,x
0
+δ)内可导，（1）若当x∈(x-
δ,x
0
)时< br>f'(x)?0
，当x∈(x
0
,x
0
+δ)时
f' (x)?0
，则f(x)在x
0
处取得极小值；（2）若当x∈(x
0
-
δ，x
0
)时
f'(x)?0
，当x∈(x
0
,x
0
+δ)时
f'(x)?0
，则f(x)在x
0
处取得 极大值。
12．极值的第二充分条件：设f(x)在x
0
的某领域(x
0< br>-δ,x
0
+δ)内一阶可导，在x=x
0
处二阶可导，且
f '(x
0
)?0,f''(x
0
)?0
。（1）若
f''( x
0
)?0
，则f(x)在x
0
处取得极小值；（2）若
f ''(x
0
)?0
，
则f(x)在x
0
处取得极大值。 < br>13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b) ，则存在ξ∈(a,b)，
使
f'(
?
)?0.

[证明] 若当x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x∈(a,b)，
f'(x)?0
.若当 x∈(a,b)时，f(x)≠

2

f(a)，因为f( x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，
不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m，则c∈(a,b)，且f(c)为最大值，故
f'(c)? 0
，综上得证。
14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a ,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使
f'(
?
)?
f(b)?f(a)
.

b?a
f(b)?f(a)
在(a,b)上可导，且F(a)= F(b)，
(x?a)
,则F(x)在[a,b]上连续，
b?a
f(b)? f(a)
所以由13知存在ξ∈(a,b)使
F'(
?
)
=0，即< br>f'(
?
)?.

b?a
[证明] 令F(x)=f(x) -
15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I,
f''(x)?0
,
则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I,
f''(x)?0
,则y=f(x)在I内是上凸的。通
常称上凸函数为凸函数，下凸 函数为凹函数。
+
16．琴生不等式：设α
1
,α
2
,… ,α
n
∈R，α
1
+α
2
+…+α
n
=1 。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函数，则
x
1
,x
2
,…, x
n
∈[a,b]有f(a
1
x
1
+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
)≤a
1
f(x1
)+a
2
f(x
2
)+…+a
n
f(xn
).

二、极限
1、数列极限：
1 ? 0 q?
1
?
n
（1）公式：
limC?C
（C为常 数）；
lim
p
?0
（p>0）；.
m i l 1 q 1 ?q?
?
n??
n
n??
n??
?
不存在 1q?或1q??
?
（2）运算法则：
若数列
?
a
n?
和
?
b
n
?
的极限都存在，则
?
a
n
?
和
?
b
n
?
的和、差、积、商的极限 等于
?
a
n
?
和
?
b
n
?
的
极限的和、差、积、商.
*
例题：① 将直线
l
1
: x?y?1?0
、
l
2
:nx?y?n?0
、
l
3
:x?ny?n?0
（
n?N
，
n?2
）
围成的三 角形面积记为
S
n
，则
limS
n
?
.
n??
?
1
?
?
1?
?
?1
?
n
?
② 已知
p
和
q
是两个不相等的正整数，且
q≥2
，则
lim?
．
q
n→?
?
1
?
?
1?
?
?1
?
n
?< br>习题：①
lim
p
1?3?5??(2n?1)
?
.
n??
n(2n?1)
4b
n
② 设0lim
n
=_ ____.
n??
a?b
n

3

③ 若
lim
④
lim
n??
(1?a)n?1
?2
，则
a=
．
n→?
n?a
1
2n(n?1?n?1)
22
等于 ．
⑤ 数列
?
?
1
?
S
n
＝________.
?
的前n项和为S
n
，则
lim
2
n??
4n? 1
??
a
n
= .
n??
S
n
⑥ 已知数列
?
a
n
?
的首项
a
1
?0
，其前
n
项的和为
S
n
，且
S
n?1
?2S
n
?a
1
，则
lim


2、函数极限：
（1）公式：
limC?C
（C为常数）；
lim
1
；
?0
（p>0）
x??
n
p
x??
?0 a?1?0 a?1
??
；
lima
x
?
?
1 a?1
.
lima
x
?
?
1 a?1
x???x???
?
不存在 a?1或a??1
?
不存在 a?1或a??1
??
（2）运算法则：
若函数
f(x)
和
g(x)
的极限都存在，则函数
f(x)
和
g(x)
的和、差、积 、商的极限等于
f(x)
和
g(x)
的极限的和、差、积、商.
习题：①
lim
x?1
x?141
；
?______lim(?)?
.
x??2
4?x
2
x
2
?3x?42?x
ax
2
?bx?c
ax
2
?cx
bx?c
?7
，
lim
?
. ② 已知
lim
?5
，且< br>bc?0
，则
lim
2
x??
cx?ax?b
x??
bx
2
?c
x??
cx?a
③
lim(
x?
?
2
sinx
?tan
2
x)?
.
2
cosx
3、函数的连续性：
函数
f(x)
在x?x
0
处连续的充要条件是
limf(x)?f(x
0
).
x?x
0
习题：① 已知函数
f(x)?
?
?
2x?3 ( x?0 )
在x=0处连续，则
a?
.
a (x?0 )
?
② 已知
f(x)?
?
?
2x?3 , x?1
，下面结论正确的是 （ ）
?
2 , x?1
（A）
f(x)
在
x=1
处连续 （B）
f(1)=5


4

（C）
limf(x)?2
（D）
lim

f(x)?2

?
x? 1x? 1
③ 若
lim(
x?1
ab
?)?1
，则常数
a ,b
的值分别为 .
1?x1?x
2



三、导数
1、导数的概念：
f(x
0
??x)?f(x
0
)
.
?x?0?x

（2）导数的几何意义：曲线
y?f(x)
上点
(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率为
f(x
0
)
.因此曲线

（1）导数的定义：函数
y?f(x)
在
x=x
0
处的导数
f(x
0
)?lim
y?f(x)
在点 （
x
0
,f(x
0
)
）处的切线方程为
y?f(x
0
)?f

(x
0
)(x?x
0
)
.
（3）导数的物理意义：
若质点运动的位移函数为S=s(t),则
t=t0
时质点运动的瞬时速度是
s'(t
0
)
.
例题：① 若
lim
② 若曲线
y?x
?x?0
f(x
0
?2 ?x)?f(x
0
)
?1
，则
f'(x
0
)
等于 .
3?x
1
2
?
在点
(a,a< br>?
1
2
)
处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
a?
.
③ 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面 ，记t时刻五角星露出水
面部分的图形面积为
S
?
t
?
S< br>?
0
?
?0
，则导函数
y?S
?
?
t
?
的图像大致为




④ 已知曲线
f(x)?
??
1
3
4
x?
.
33
(1) 求曲线在点
P(2,4)
处的切线方程； (2) 求曲线过点
P(2,4)
的切线方程.
⑤ 求抛物线
y??x
上的点到直线
4x?3y?8?0
距离的最小值.
2
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?1
，则f'(x
0
)
等于 .
?x?0
?x
t?1
2
② 运动曲线方程为
S?
2
?2t
，则t=3时的速度是 .
t
习题：① 若
lim
③ 已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是
2x
在点（1，1）处的切线方程是 .
2
x?1
4
⑤ 已知点P在曲线y=
x
上，
?为曲线在点P处的切线的倾斜角，则
?
的取值范围
e+1
④ 曲线
y?
是 .

5

2、导数的运算：
（1）常见函数的导数： < br>C'?0
；
(x
n
)'?nx
n?1
；
(s inx)'?cosx
；
(cosx)'??sinx
.
(lnx)'?< br>11
xxxx
；
(log
a
x)'?log
a
e
；
(e)'?e
；
(a)'?alna
.
xx
'''
（2）导数的四则运算法则：

[u(x)?v(x)]?u(x)?v(x)
；
[u(x)v(x)]
?
?u'(x)v(x)?u(x)v'(x)
,
[C?u(x)]
?
?C?u'(x)
；
?
u(x)?
u'(x)v(x)?u(x)v'(x)
?
v(x)
?
?< br>v
2
(x)
??
'
(v(x)?0)
.
（3）复合函数的求导法则：首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；
然后将已知函数对中间变量求导
(y'
?
)
，中间变量对自变量求导
(
?
'
x
)
；最后求
y'
?
?< br>?
'
x
，并将中间
变量代回为自变量的函数
习题：① 若< br>f(x)=ax+bx+c
满足
f
?
(1)?2
，则
f
?
(?1)?
.

② 等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2
，
a
8< br>?4
，
f
?
x
?
?x(x?a
1
) (x?a
2
)
③ 求下列函数的导数：
42
(x?a
8< br>)
，则
f
?
?
0
?
?
.
x?1
x
4
（1）
y?ln

(x>1)
（2）
y?ln
.
2
x?1
x?1
3、导数的应用：
（1）求函数的单调性：用导数求函数单调区间的一般步骤为：求
f
?
(x)
；
f
?
(x)
>0的解集与定
义域的交 集的对应区间为增区间；
f
?
(x)
<0的解集与定义域的交集的对应区间为 减区间.
例题：① 函数
f(x)?xe
的单调递增区间为 .
② 已知函数
f(x)?ln(1?x)?x?
③ 若函数
f(x)?< br>2?x
k
2
x(k?0)
，求
f
(
x
)的单调区间.
2
1
3
1
2
x?ax?(a?1)x? 1
在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上
32
42
为增函数， 试求实数a的取值范围.
④已知函数
f(x)?3ax?2(3a?1)x?4x
在
?
?1,1
?
上是增函数，求
a
的取值范围.
习题：① 函数
f(x)?x
3
?15x
2
?33x?6< br>的单调减区间为 .
② 若
f(x)?ax?x
恰有三个单调区间，则
a
的取值范围是 .
③ 已知a>0，函数f（x）=x
3
－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是 .
3
1
3
1
x?(1?a)x
2
?ax?b（
a,b?R
）的单调性.
32
2
3
1
242
⑤ 是否存在这样的k值，使函数
f(x)?kx?x?kx?2x?
在（1，2）上递减，在（2，
32
④ 求函数
f(x)?
+∞）上递增


6

（2）求函数的极值：求导数
f
?
(x)
；求方程
f
?
(x)
=0的根；用函数的导数为0的点，顺次将函
数的定义区间分成若干小开区 间，并列成表格，检查
f
?
(x)
在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么
f(x)
在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么
f(x)
在这个根处取得极小值；如果左
右不改变符号即都为正或都为负，则
f(x)
在这个根 处无极值.
例题：① 已知函数f（x）=ax
3
+bx
2
－3x 在x=±1处取得极值，求f（x）的极大值和极小值.
② 函数f（x）=x
3
－6bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围为 .
③ 已知函数
f(x)?
1
3
ax?bx
2
? (2?b)x?1
在
x=x
1
处取得极大值，在
x=x
2< br>处取得极小
3
值，且
01
<12
< 2
．（1）证明
a>0
；（2）若z=a+2b,求z的取值范围.
习题：① 已知函数
f(x)
=x
3
+ax
2
+b x+a
2
在x=1处有极值为10，则
f(2)
=______
② 设
a
为实数，函数
f(x)?x?x?x?a
，求
f(x)
的极值.
③ 设函数
f
?
x
?
?sinx?cosx? x?1
，
0?x?

（3）求函数的最值：利用导数求函数的最值步骤:求< br>f(x)
在
(a,b)
内的极值；将
f(x)
的各极值
与
f(a)
、
f(b)
比较得出函数
f(x)
在
[
a,b
]
上的最值.
例题：① 函数
f(x)?x?3x?2< br>在区间
?
?1,1
?
上的最大值是 .
32
32
?
2
，求函数
f(x)
的极值.
1
2
x
上与点
A(6,0)
距离最近的点.
2
1
32
③ 设函数
f(x)?x?(1?a)x?4ax?24a
，其中常数
a>1
.
3
（1）讨论
f(x)
的单调性；（2）若当
x?0
时，< br>f(x)>0
恒成立，求
a
的取值范围.
② 求抛物线
y?



7