高中数学知识点课本回归

高中数学课本回归（1）
第一章、集合
一、基础知识（理解去记）
定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；< br>集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素
x
在集合A中，称
x属于A，记为
x?A
，否
则称
x
不属于A，记作
x?A
。
例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有 理数集，不含
任何元素的集合称为空集，用
?
来表示。集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合 的方法，
如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理 数}，
{xx?0}
分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合 A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做
B的子集，记为
A?B< br>，例如
N?Z
。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A
的子 集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
便于理解：
A?B
包含两个意思：①A与B相等 、②A是B的真子集
定义3 交集，
A?B?{xx?A且x?B}.

定义4 并集，
A?B?{xx?A或x?B}.

定义5 补集，若
A?I,则C
1
A?{xx?I,且x?A}
称为A在I中的补集。
定义6 集合
{xa?x?b,x?R,a?b}
记作开区间
(a,b)
，集合 {xa?x?b,x?R,a?b}
记作闭区间
[a,b]
，R记作
(? ?,??).

定义7 空集?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
补充知识点 对集合中元素三大性质的理解
（1）确定性
集合中的元素，必 须是确定的．对于集合
A
和元素
a
，要么
a?A
，要么a?A
，二者必居其一．比
如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确 定的．而“较大的整数”就不能构成一个
集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高 的人”等都不能构成集合．
（2）互异性
对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不 同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只能
算作这个集合中的一个元素．如：由
a
，
a
2
组成一个集合，则
a
的取值不能是
0
或1 ．
（3）无序性
集合中的元素的次序无先后之分．如：由
1，2，3
组成一个集合，也可以写成
1，3，2
组成一个集合，
它们都表示同一个集合．
帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题
（1）注意
a
与
?< br>a
?
的区别．
a
是集合
?
a
?
的一 个元素，而
?
a
?
是含有一个元素
a
的集合，二者的关系< br>是
a?
?
a
?
．
（2）注意
?
与
?
0
?
的区别．
?
是不含任何元素的集合，而
?< br>0
?
是含有元素
0
的集合．
（3）在用列举法表示集合时， 一定不能犯用｛实数集｝或
?
R
?
来表示实数集
R
这一类错 误，因为这
里“大括号”已包含了“所有”的意思．
用特征性质描述法表示集合时，要特 别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，
从而准确地理解集合的意义．例如：
集合
?
(x，y)y?x
?
中的元素是
(x，y)，这个集合表示二元方程
y?x
的解集，或者理解为曲
线
y?x
上的点组成的点集；
集合
?
xy?x
?
中的元素是
x
，这个集合表示函数
y?x
中自变量
x
的取值范围；
集合
?
yy?x
?
中的元素是
y
，这个集合表示函数
y?x
中函数值
y
的取值范围；
集合
?
y?x?
中的元素只有一个（方程
y?x
），它是用列举法表示的单元素集合．
（4）常见题型方法：当集合中有n个元素时，有2n个子集，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子< br>集。
集合穿针 转化引线（最新）
一、集合与常用逻辑用语
3.若
p:3x
2
?8x?4?0，q:(x?1)(x?2)?0
，则
?
p
是
?
q
的（ ）．
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件
x
2
4. 若
k?R
，则“
k?3
?
y
2
?1
”是“方程
k?3k?3
表示双曲线”的（ ）．

（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件
二、集合与函数
5.已知集合
P?{yy??x< br>2
?2，x?R}，Q?{xy??x?2，x?R}
，那么
PQ
等于 （ ）．
（A）（0，2），（1，1） （B）｛（0，2），（1，1）｝
（C）｛1，2｝ （D）
{yy≤2}


第二章、函数
一、基础知识（理解去记）
定义1 映射，对于任意两个集合A， B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯
一一个元素与之对应，则称f: A→B为一个映射。
定义2 函数，映射f: A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若
x∈A, y∈B，且f (x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函
数 的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函
数y= 3
x
-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.
定义4 函数的性质。
（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2∈I并且x1< x2，总有f( x1)f(x2))，
则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为 单调增（减）区间。
（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集， 若对于任意的x∈D，都有
f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有 f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象
关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对 称。
（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数 时，f(x+T)=f(x)
总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存 在最小的正数T0，则这个正数
叫做函数f(x)的最小正周期。
定义5 如果实数a闭区间[a,b]，集合{x|a{x|x>a}记作开区间（a, +∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞,a].
定义6 函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的 定义域。通过画
图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0)；
（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；
（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；
（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；
（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；
（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；
（6）与函数y=f-1(x) 的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。

一、基础知识（初中知识 必会）
1．二次函数：当
a?
0时，
f (x)?ax
2
?bx?c
称为关于x的二次函数，其对称轴为直线
x??< br>b
2a
，
另外配方可得
f(x)?a(x?
b
2a< br>)
2
?
4ac?b
2
4a
。
2．二次函数 的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减
小（ 简称递减），在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a<0时，情况相反。
3．当a>0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+ bx+c<0…③与函数f(x)
的关系如下（记△=b2-4ac）。
1）当△>0时，方 程①有两个不等实根，设x1,x2(x1 或x>x2}和{x|x1?
b
2）当△=0时，方程①有两个相等的 实根x1=x2=x0=
2a
,不等式②和不等式③的解集分别是
??
b{x|x
2a
}和空集
?
，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。 3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和
?
.f(x)图象与 x轴无公共点。
当a<0时，请读者自己分析。
4ac?b
2
?
b
4．二次函数的最值：若a>0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=
4a
,若a<0，则当x=x0=
2a
时，
4ac?b
2
f(x)取最 大值f(x0)=
4a
.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c( a>0)，当x0∈[m, n]时，
f(x)在[m, n]上的最小值为f(x0); 当x0n时，f(x)在[m, n]
上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。
定义1 能判断真假的 语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、
“且”、“非”的 命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。
一定注意： “p或q”复合命 题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只
有当p，q同时为真命题时为 真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。
定义2 原命题：若p则q（p为条件， q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命
题：若非q则非p。
一定注意： 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。
一定注意： 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。
定义3 如果命题“若p则q ”为真，则记为p
?
?
q否则记作p
?
q.在命题“若p则q”中， 如果已知
p
?
q,则p是q的充分条件；如果qp，则称p是q的必要条件；如果p< br>?
q但q不
?
p，则称p是
q的充分非必要条件；如果p不
?
q但p
?
q，则p称为q的必要非充分条件；若p
?
q且q
?
p，则
p是q的充要条件。

15．常用结论。
定理2 若a,b∈R, 则a2+b2≥2ab；若x,y∈R+,则x+y≥
2xy.


第三章、基本初等函数
一、基础知识（必会）
1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0, a
?
1)的函数叫做指数函数，其 定义域为R，值域为（0，+∞），
当01时，y=ax为增函 数，它的图象恒过定点（0，1）。
1m
a
n
?
n
a,a
n
?
n
a
m
,a
?n
?
1
,
?
m
n
2．分数指数幂：
a
n
a?
1
n
a
m
。
3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0, a
?
1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为
R，图象过定点（1 ，0）。当01时，y=logax为增函数。
4．对数的性质（M>0, N>0）；
1）
a
x
?M

?
x=logaM(a>0, a
?
1)；
2）loga(MN)= loga M+ loga N；
M
3）loga（
N
）= loga M- loga N； 4）
log
n
a
M?nlog
a
M

1
log
c
b
5）loga
n
M
=
n
loga M；6）
a
log
a
M
?M
; 7) loga b=
log
c
a
(a,b,c>0, a, c
?
1).
5. 函数
y?x?
a
(a?0)
的单调递增区间是
???,?a
x
?
和
?
a,??
?
，单调递减区 间为
?
?a,0
?
和
?
0,a
?
。（请同 学自己用定义证明）
6．连续函数的性质：若a根。

高中数学课本回归（2）
第一章 立体几何初步
一、基础知识（理解去记）
（一）空间几何体的结构特征
（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.
围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的 公
共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形 成的封闭几何体。其中，这条定
直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征
1.棱柱
1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个 四边形的公共边都互相平行，
由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
E'

D '
F'
侧面
C'
1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱 ）
A'
B'
l
的关系：
①
底面
侧棱
?
ED
FC
棱柱
?
斜棱柱
?
底面是正多形
?
?????
棱垂直于底面
?直棱柱
?
?
?正棱柱

AB
?
?
?????
?
?
其他棱柱
②四棱 柱
底面为平行四边形
平行六面体
侧棱垂直于底面
直平行六面体
底面为矩形

长方体
底面为正方形
正四棱柱
侧棱与底面边长相等
正方体
1.3棱柱的性质：
①侧棱都相等，侧面是平行四边形；
②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；
④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
补充知识点 长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；
D1
C1
【如图】
AC
2
?AB
222
1
?AD?AA
1

A1
D
B1
1.4侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成 的
C
以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.
AB
S?h
1.5面积、 体积公式：
直棱柱侧
?c
S
直棱柱全
?c?h?2S
底，V
棱柱
?S
底
?h
（其
中c为底面周长，h为棱柱的 高）
2.圆柱
2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形
O'
A'
C'
B'
轴
成的曲面所围成的几何体叫圆柱.
母线
轴截面
2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截
面 （轴截面）是全等的矩形.
A
2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为 邻边的
O
C
侧面
B
矩形.
底面
2.4面积、体积公式：

S
圆柱侧
=
2
?
rh
；S
圆柱全
=
2
?
rh?2?
r
，V
圆柱
=S
底
h=
?
rh（其中r为底面半径，h为圆柱高）
3.棱锥
3.1棱锥——有一个面是多边形，其余 各面是有
S
一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何
侧面
顶点
高
体叫做棱锥。
侧棱
正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边
形， 并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样
的棱锥叫做正棱锥。
底面
3.2棱锥的性质：
斜高
D
C
①平行于底面的截面是 与底面相似的正多边形，
O
H
A
B
相似比等于顶点到截面的距离与顶 点到底面
的距离之比；
②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
③正棱 锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，
构成四个 直角三角形。）（如上图：
SOB,SOH,SBH,OBH
为直角三角形）
3.3侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。
3.4面积、体积公式：S
正棱锥侧
=
22
③ 如右图：四边形
O`MNO,O`B`BO
都是直角梯形
④棱台经常补成棱锥研究. 如右图：
SO`M与SON,S`O`B`与SOB相似
，注意考虑相似比.
5.3 棱台的表面积、体积公式：
S
全
＝S
上底
＋S
下底
＋S
侧
，
V
棱台
＝（S＋SS`?S`)h
，（其中
S,S`
是上，下
底面面积，h为棱台的高）
6.圆台
6.1圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间
的部分叫做圆台.
6.2圆台的性质：
①圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；
②圆台的轴截面是等腰梯形；
③圆台经常补成圆锥来研究。如右图：
SO`A与SOB相似
，注意相似比的应用.
6.3圆台的侧面展开图是一个扇环；
6.4圆台的表面积、体积公式：
S
全
＝
?
r
2< br>?
?
R
2
?
?
(R?r)l
，
V
圆台
＝（S＋SS`?S`)h＝（
?
r
2
?
?< br>rR?
?
R
2
)h
，（其中r，R为上下底面半径，h为高）
7.球
7.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周
形成的旋转体叫做球体，简称球.
或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球
面所围成的几何体叫做球体，简称球；
7.2球的性质：
①球心与截面圆心的连线垂直于截面；
②
r?
S
1
3
Ar
O'
轴
母线
l
B
R< br>h
轴截面
O
上底面
D
侧面
C
下底面
111
ch
?
，S
正棱锥全
=
ch
?
?S
底
，V
棱锥
=
S
底
?h
.（其中c为底面 周长，
h
?
223
1
3
1
3
侧面斜高，h 棱锥的高）
4.圆锥
4.1圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各 边旋转而形成的曲面所围成的几何
体叫圆锥。
4.2圆锥的性质：
S
①平 行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到
顶点
截面的距离与顶点到底面的距 离之比；
②轴截面是等腰三角形；如右图：
SAB

母线
轴
③如右图：
l?h?r
.
4.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线
长为半径的扇形。
4.4面积、体积公式：
222
球面
球心
轴
半径
O
R
A
r
R?d
（其中，球心到截面的距离为d、球的半
2 2
d
O1
B
l
A
r
h
轴截面
O< br>侧面
径为R、截面的半径为r）

注：球的有关问题转化为圆的问题解决.
7.4球面积、体积公式：
S
球
?4
?
R,V
球< br>?
2
B
底面
4
3
?
R
（其中R为球 的半径）
3
1
2
S
圆锥侧
=
?
rl，S
圆锥全
=
?
r(r?l)
，V
圆锥
=?
rh
（其中
3
r为底面半径，h为圆锥的高，l为母线长）
5.棱台
5.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面
与底面之间的部分称为棱台.
5.2正棱台的性质：
①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形；
S
上底面
高
A'
下底面
D
D'
O'
B'
C'
M
侧棱
侧面
斜高
C
N

（二）空间几何体的三视图与直观图
1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；
正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；
侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；
正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；
注：（1）俯视图画在正视图 的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与
正视图相等，“宽度”与俯视图 。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.
顶点
O
A
B

（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。
3.直观图：
3.1直 观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下
画出的空间 图形。
3.2斜二测法：
step1：在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，（即取
?xoy?90?
）；
step2：画直观图时，把它画成对应的轴
o'x',o'y'
，取
?x'o'y'?45?(or135?)
，它们确定的平面表示
水平平面；
ste p3：在坐标系
x'o'y'
中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平 行于x轴（或
在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。
结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的
2
4
倍.
解决两种常见的题型时应注意：
（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.
（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。
二 点、直线、平面之间的位置关系
（一） 平面的基本性质
1.平面——无限延展，无边界
1.1三个定理与三个推论
公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
用途：常用于证明直线在平面内.
图形语言： 符号语言：

公理2：不共线
．．．
的三点确定一个平面. 图形语言：
推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言：
推论2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言：
推论3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言：
用途：用于确定平面。
公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共 点，这些公共点的集合是一条直线（两个平
面的交线）.
用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.
图形语言： 符号语言：
形语言，文字语言，符号语言的转化：



（二）空间图形的位置关系
1.空间直线的位置关系：
?
?
共面: ab=A,ab
?
异面:a与b异面

平行线的传递公理：平行于同一条直线 的两条直线互相平行。符号表述：
ab,bc?ac

等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；
（2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面
直线。

P
a
P?
?
?
图形语言：
?
A
符号语言：
A?
?
?
?
a?
?
??PA与a异面

?
A?a
?
?
?
l?
?
2.直线与平面的位置关系：
?
?
?
l?
?
?
?
?
l
?
?A

?
l
?
图形语言：

?
平行：
?
3.平面与平面的位置关系：
?
?
?
?
斜交：
??
=a

?
相交
?
?
?
垂直：
?
?
?
（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）
1.线面平行：
①定义：直线与平面无公共点.
ab
?
②判定定理：
a?
?
?
?
?a
?
（线线平行
?
线面平行）【如图】
b?
?
?
?
a
?
?
③性质定理：
a?
?
?
?
?ab
（线面平行
?
线线平行）【如图 】
??
?b
?
?
④判定或证明线面平行的依据：（i）定义法（反 证）：
l
?
???l
?
（用于判断）；（ii）判定定理：
ab
?
a?
?
?
?
?a
?
“线线平行?
面面平行”（用于证明）；（iii）
?

?
?
??
?a
?
“面面平行
?
b?
?
?
a?
?
线面
?
b?a
?
平行”（用于证明）；（4）
b ?
?
?
?
?a
?
（用于判断）；
a?
?
?
?
2.线面斜交：
l
?
?A

①直线与 平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线
P
与该斜线在平面内射影的夹 角。【如图】
PO?
?
于O，则AO是PA在
平面
?
内的射影， 则
?PAO
就是直线PA与平面
?
所成的角。
范围：
?< br>?
?
0?,90?
?
，注：若
l?
?
或l< br>?
，则直线
l
与平面
?
所成的
A
?
?
O
角为
0?
；若
l?
?
，则直线
l与平面
?
所成的角为
90?
。
3.面面平行：
①定义：
??
???
?

?
；
②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；
符号表述：
a,b?
?
,ab?O,a
?
,b
?
?
?

?
【如下图①】
O
a
?
b< br>O
a
?
b
O
a'
?
?
b'

图① 图②
推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行
符号表述：
a,b?
?
,ab?O,a',b'?
?
,aa',b b'?
?

?
【如上图②】
判定2：垂直于同一条直线的两个平面 互相平行.符号表述：
a?
?
,a?
?
?
?

?
.【如右图】
?
③判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定理
a
及推论
（常用）（3）判定2
?

?
?
④面面平行的性质：（1）
?
a?
?
?
?a
?
（面 面平行
?
线面平行）；
?
?

?
?
（2）< br>??
?a
?
?
?ab
；（面面平行
?
线线平 行）（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。【如
??
?b
?
?
图】

（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）
1.线面垂直
①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
符号表述： 若任意
a?
?
,
都有
l?a
，且
l?
?< br>，则
l?
?
.

a,b?
?
?
ab?O
?
?
②判定定理：
l?
?
?
?
?l?
?
（线线垂直
?
线面垂直）
l?a
?
l? b
?
?
?
③性质：（1）
l?
?
,a?
?
?l?a
（线面垂直
?
线线垂直）；（2）
a?
?
,b?
?
?ab
；
④证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（ 2）判定定理（常用）；（3）
ab
?
a?
?
?
?
?b?
?
（较
?
?
?
?
；（4）
?

?
?
a
?
?b
?
常用）
?
a?
?
?
?a?
?
；（5）
?
?
?
? a?
?
（面面垂直
?
线面垂直）常用；
?
a
?
a?b
?
?
3.3面面垂直
（1 ）定义：
（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平


面互相垂直.
?
a?
?
a
?
B
a??
?
?
?
?
?
?
（线面垂直
?
面面垂直）
?
（3）性质：①若
?
?
?
，二面角的一个 平面角为
?MON
，则
?MON?90?
；
A
?
?
?
?
?
②
a
?
?AB
?
?a?
?
?
?a?
?
（面面垂直
?
线面垂直）；
?
a
B
a?AB
?
?
?
A
??
?
?
A
?
A?
?
?
?
a< br>③
A?a
?
?a?
?
.
?
a?
?
?
?
?


④
?
?
?
?
?

a?
?
?
?a?
?
或a
?
二、基础题型（必懂）
1、概念辨析题：
（1）此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可采用排除法，筛选法等。
（2）对于 判断线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前
提下，利用长 方体，正方体，实物等为模型来进行判断。你认为正确的命题需要证明它，你认为
错误的命题必须找出反 例。
2、证明题。证明平行关系，垂直关系等方面的问题。
（1）基础知识网络：
平行与垂直关系可互相转化
平行关系 垂直关系
1.
a?
?
,b?
?
?ab

平面几何知识
2.
a?
?
,ab?b?
?
3.
a?
?
,a?
?
?
?

?

平面几何知识
4.
?

?
,a?
?
?a?
?
< br>5.
?

?
,
?
?
?
?
?< br>?
?

线线平行

线线垂直
判定
性质 性质
判定推论 判定
性质 面面垂直定义
判定 判定
线面平行
面面平行
线面垂直
面面垂直

高中数学课本回归（3）直线和圆的方程

一、基础知识（理解去记）
1、 直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于180
0
的正角，叫做它的倾斜 角。
规定平行于x轴的直线的倾斜角为0
0
，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该 直线的斜率。根据直
线上一点及斜率可求直线方程。
2．直线方程的几种形式：【必会】【必考】
（1）一般式：Ax+By+C=0；
（2）点斜式：y-y
0
=k(x-x
0
)；
（3）斜截式：y=kx+b；
（4）截距式：
xy
a
?
b
?1
；
（5 ）两点式：
x?x
1
y?y
1
x?x
?
；
21
y
2
?y
1
3．平行与垂直：若直线l
1
与 l
2
的斜率分别为k
1
, k
2
。且两者不重合，则l1
l
2
的充要条件是k
1
=k
2
；l
1
?
l
2
的充要条件是k
1
k
2
=-1。

4．两点P
1
(x
1
, y
1
)与P
2
(x
2
, y
2
)间的距离 公式：|P
1
P
2
|=
(x
2
1
?x2
)?(y
1
?y
2
2
)
。
5．点P(x
0
, y
0
)到直线l: Ax+By+C=0的距离 公式：
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A
2
?B
2
。
6．直线系的方程：若已知两直线的方程是l
1
：A
1
x+B
1
y+C
1
=0与l
2
：A
2
x+B
2
y+C
2
=0，则过l
1
, l
2
交点的
直线方程为A
1
x+B
1
y+C
1
+λ(A
2
x+B
2
y+C
2
=0；由l1
与l
2
组成的二次曲线方程为（A
1
x+B
1
y+C
1
）
（A
2
x+B
2
y+C
2< br>）=0；与l
2
平行的直线方程为A
1
x+B
1
y+ C=0(
C?C
1
).
7．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l方程为Ax+By+C=0. 若B>0，则Ax+By +C>0表示的区
域为l上方的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l下方的部分。
8． 解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x和y表示；（2）写出线性约束条件
和 线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。
9．圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，
10．圆的一般方程：x
2< br>+y
2
+Dx+Ey+F=0(D
2
+E
2
-4F> 0)。其圆心为
?
?
?
?
D
2
,?
E?
2
?
?
，半径为
1
2
D
2
?E
2
?4F
。若点P(x
0
, y
0
)为圆上一点，则过点P的切线方程为
x
?
0
x?y
0
y?D
?
x
?
0
?x
?
??
y
?
?E
?
?
0
?y
?
?
?
?F?0.
①
?
2
??
2

?
11.点与圆的位置关系
点
P(x
2
0
,y< br>0
)
与圆
(x?a)?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种
若
d?(a?x
0
)
2
?(b?y0
)
2
，则
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
13.直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a )
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交? ??0
.其中
d?
Aa?Bb?C
A
2
?B
2.
14.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O< br>2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
15.圆的切线方程
(1)已知圆
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
．
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切线只有 一条，其方程是
当
(x,y
D(x
0
?x)E
00
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y?
2
?< br>(y
0
?y)
2
?F?0
表示过两个切点的切点弦方程． < br>②过圆外一点的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)< br>，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，
注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆
x
2
?y
2
?r
2
． ①过圆上的
P
点的切线方程为
x
2
0
(x
0< br>,y
0
)
0
x?y
0
y?r
;
②斜率为
k
的圆的切线方程为
y?kx?r1?k
2
.
16.直线的方程及其位置关系
（1）直线的倾斜角
?
的取值范围是 。
（2）两条直线的夹角
?
的取值范围是 。
（3）两个平面的夹角
?
的取值范围是 。
(4) 两个平面的所成的角
?
的取值范围是 。
（5）直线与平面所成的角
?
的取值范围是 。
（6）两个向量的夹角
?
的取值范围是 。
(7)两异面直线所成的
?
的取值范围是 .

四．基本方法和数学思想
1.设三角形的三个顶点是A（x
1
,y
1
）、B(x
2
,y
2
)、C（x
3
,y
3
）,则⊿ABC的重心G为（
x
1
?x
2
?x
3
3
,
y
1
?y
2
?y
3< br>3
）；
2.直线l
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
=0与l
2
: A
2
x+B
2
y+C
2
=0垂直的充要条件是A
1
A
2
+B
1< br>B
2
=0；
3.两条平行线Ax+By+C
1
=0与 Ax +By+C
2
=0的距离是
d?
C
1
?C
2
；
A
2
?B
2

2
+Bxy+Cy
2< br>+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 ：A=C≠0且B=0且D
2
+E
2
－4AF>0；
5.过圆x< br>2
+y
2
=r
2
上的点M(x
0
,y
0
)的切线方程为：x
0
x+y
0
y=r
2
;
6.以A(x
1
，y
2
)、B(x
2
,y
2
)为直径的圆的方程是(x－x
1
)(x－x
2
)+(y－y1
)(y－y
2
)=0;

回归课本(4)三角函数
一．考试内容：
角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.
同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.
两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.
函数
y?sin(
?
x?
?
)
的图像.正切函数的图像和性质.
已知三角函数值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.
二．考试要求：
(1)理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.
(2)掌握任意角 的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数的基本关
系式.掌握正弦 、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义.
(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
(4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
(5)
理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，
会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和
函数y=Asin(鵻+)的简图，理解A,,的物理意义.
(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x、arccos x、arctanx表示.
(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角
【注意】近年的高考题中，三角函数主要考查基础知识、基本技能、基本方 法，一般都在选择题与填
空题中考查，多为容易或中等难度的题目.其中，同角三角函数的 基本公式和诱导公式，三角函数的图
像和性质，求三角函数式的值等为考查热点.
三．基础知识:
?
正角：按逆时针方向旋转形成的角
1.任意角
?
?
负角：按顺时针方向旋转形成的角

?
?
零角：不做任何 旋转的角
2.与角
?
终边相同的角的集合
?
??
?
?
?k?360
?
?
,k?Z

弧长公式
l??
r?
n
?
r
11
2
n
?
1 80
；扇形面积公式
S?
2
lr?
2
?
r?
r
2
3.
360
（其中
?
为圆心角的弧度数，
n
为圆
心角的度数）
4、弧度与角度换算：1度＝π180 弧度 ( ≈0.017453弧度 )； 1弧度＝180°π （≈57.3°）
1．1.任意角的三角函数
设α是一个任意角，α的终边上任意一点P（x，y）与原点的距离是r（r=
x
2< br>?y
2
＞0），
则sinα=
yy
r
，cosα=
x
r
，tanα=
x
.
上述三个比值不随点P在终边上的位置改变而改变.
2.同角三角函数关系式
sin
2
α+cos
2
α=1（平方关系）；
sin
?
cos
?
=tanα（商数关系）；
tanαcotα=1（倒数关系）.
3.正弦、余弦的诱导公式
n
sin(
n
?
?
(n为偶数)
2
?< br>?
)?
?
?
(?1)
2
sin
?
,
?
n?1


?
(?1)
2
cos
?
,
(n为奇数)

cos(
n
?
?
n
?
?
)?
?< br>?
(?1)
2
cos
?
,
(n为偶数)
2
?
n?1

?
(?1)
2
sin
?
,

4.和角与差角公式
(n为奇数)

sin(
?
??
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin< br>?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
sin
?
sin
?
;
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1tan
?
tan
?
.
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin
2
?
?sin
2
?
(平方正弦公式);
cos(
?
?
?
)c os(
?
?
?
)?cos
2
?
?sin
2
?
.
asin
?
?bcos
?
=
a2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决定,
tan
?
?
b
a
).
5.二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
co s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
tan2< br>?
?
2tan
?
1?tan
2
?
.
7.三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?< br>)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)
的周期
T?
2< br>?
?
；函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?
?
2
,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周
期
T?
?
?
.
2．三角函数定义域与值域
函 数 定 义 域 值 域
y?sin
?

R

[?1,1]

y?cos
?

R

[?1,1]

y?tan
?

{
?
|
?
?
?< br>2
?k
?
,k?Z}

R

3．特殊三角函数值
?

0
????
3
?
6

4

3

2

?

2

sin
?

0
1
2
3
2

2

2

1 0
?1

cos
?

1
3
2
1
2

2

2

0
?1

0
tan
?

0
3
3

1
3

无
0
无
三．三角函数的基本性质
1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
y=sin x
y
-5
?
7
?
2
-
?
2
1
3
?
2
-4
?
-7
?
-3
?
-2
?
-3
?
-
?
2
?
5
?3
?
4
?
x
2
2
-1
o
2< br>?
?
2
2

y=cosx
y
3
?< br>7
?
-3
-5
?
?
2
-
?
-
?
2
1
?
2
3
?
2
-4
?
-7
?
-2
?
-3
?
4
?
x
2
2
-1
o
?2
?5
?
2
2
y
y=tanx
-
3
?
2
-
?-
?
2
o
?
?
3
?
x
22

2．三角函数的单调区间
y?sinx
的递增区间是
?< br>?
??
??
?
3
?
?
?
2k
?
?
2
，2k
?
?
2
?
?
(k ?Z)
，递减区间是
?
?
2k
?
?
2
，2 k
?
?
2
?
?
(k?Z)
；
y?cosx
的递增区间是
?
2k
?
?
?
，2k
??
(k?Z)
，递减区间是
?
2k
?
，2k
?
?
?
?
(k?Z)
，
y?tanx
的递增区间是
?
?
?
k
?
?
?
2
，k
?
?
?
?
2
?
?
(k?Z)
，
3.函数
y?Asin(
?
x?
?
)?B
（其中A?0，< br>?
?0）

最大值是
A?B
，最小值是
B?A
，
A
叫振幅，周期是
T?
2
?
?
，频率是
f?
?
2
?
，相位是
?
x?
?
，
初相是
?
；其图象的对称轴是直线
?
x?
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)
，凡是该图象与直线
y?B
的 交点都是该
图象的对称中心。


8.正弦定理
a
s inA
?
b
sinB
?
c
sinC
?2R
.
9.余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
10.面积定理
（1）
S?
1
2
ah
11
a
?
2
bh
b
?
2
ch
c
（< br>h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的高）.
（2）
S?
1
2
absinC?
1
2
bc sinA?
1
2
casinB
.
(3)
S
1?OAB
?
2
(|OA|?|OB|)
2
?(OA?OB)2
.
11.三角形内角和定理
在△ABC中，有
A?B?C?< br>?
?C?
?
?(A?B)

?
C
?
2
?
2
?
A?B
2
?2C?2
?
?2(A ?B)
.

12.三角形中的诱导公式
在△ABC 中
sin(A?B)?sinC,cos(A?B) ?-cosC,tan(A?B) ?-tanC

sin
A?B
2
?cos
C
2

cos
A?B
2
?sin
CA?BC
2

tan
2
?co
2
t

tanA?tanB?tanC?tanA?tanB?tanC


四．基本方法和数学思想
1.三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦；
2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；
3.记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图像、性质；
4.熟知正弦、 余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角
和等于1800
，一般用正余弦定理实施边角互化；
5.正弦型函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的对称轴为
k
?
?
?
x?
2
?
?
k
?
?
?
(k?Z)
；对称中心
(
?
,0)(k?Z)
；
?
类似可得余弦函数型 的对称轴和对称中心；
6.（1）正弦平方差公式：sin
2
A－sin
2
B=sin(A+B)sin(A－B);（2）三角形的内切圆半径r=
2S
?AB C
；
a?b?c

（3）三角形的外接圆直径2R=
a
sinA
?
b
sinB
?
c
sinC
;

高中数学课本回归（5）复 数
1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即
i
2
??1
.
⑵复数及其相关概念：
① 复数—形如a + bi的数（其中
a，b?R
）；
② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；
③ 虚数—当
b?0
时的复数a + bi；
④ 纯虚数—当a = 0且
b?0
时的复数a + bi，即bi.
⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）
⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.
⑶两个复数相等的定义：
a?bi?c? di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特别地a?bi?0?a?b?0
.
⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
注：①若
z
1
, z
2
为复数，则
1
?
若
z
1
?z
2
?
0
，则
z
1
??z
2
.（×）[z
1
,z
2
为复数，而不是实数]
2
?
若< br>z
1
?z
2
，则
z
1
?z
2
?
0
.（√）
②若
a,b,c?C
，则
(a?b)2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
?0
是
a? b?c
的必要不充分条件.（当
(a?b)
2
?i
2
，
(b?c)
2
?1,(c?a)
2
?0
时，上式成立）
2. ⑴复平面内的两点间距离公式：
d?z
1
?z
2
.
其中
z
1
，z
2
是复平面内的两点
z
1< br>和z
2
所对应的复数，
d表示z
1
和z
2
间 的距离.
4 ⑴①复数的乘方：
z
n
?
?
z
?< br>?z
?
?z
?
...
?
z(n?N
?
)

n
②对任何
z
，
z
1
,z
2
?C
及
m,n?N
?
有
③
z
m
?z
n
?z
m?n
,(z
m
)
n
?z< br>m?n
,(z
1
?z
2
)
n
?z
n
1
?z
n
2

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的 形式，否则会得到荒谬的结果，如
i
2
??1,i
4
?1
若 由
11
i
2
?(i
4
)
2
?1
2
?1
就会得到
?1?1
的错误结论.
②在实数集成立的
|x|?x
2
. 当
x
为虚数时，
|x|?x
2
，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.
⑵常用的结论： i
2
??1,i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i
4n?3
??i,i
4n
?1

i
n?i
n?1
?i
n?2
?i
n?3
?0,(n?Z)< br>
(1?i)
2
??2i,
1?i
1?i
?i,1?i
1?i
??i

5. ⑴复数
z
是实数及纯虚数的充要条件：
①
z?R?z?z
.
②若
z?0
，
z
是纯虚数
?z?z?0
.
⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特
例：零向量的方向是任意的，其模为零.
注：
|z|?|z|
.
回归课本(6)导数
一．基础知识:
1.
f(x)
在
x
0
处的导数（或变化率或微商）
f
?
(xy
?
?y
f(x
0
??x)?f(x< br>0
)
0
)?
x?x
0
?
?
lim< br>x?0
?x
?
?
lim
x?0
?x
.
2.瞬时速度
?
?s
?
(t)?lim
?ss(t??t?0
?t
?lim
?t)?s(t)
?t?0
?t
.
3.瞬时加速度
a?v
?
(t)?lim
?vv(t??t) ?v(t
?t?0
?t
?lim
)
?t?0
?t
.
4.
f(x)
在
(a,b)
的导数
f
?
(x)?y
?
?
dydf?yf(x??x)?f(x)
dx
?dx
?
?
lim
x?0
?x
?
?
li m
x?0
?x
.
5. 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
函数y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
，相应的
切线方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
6.几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
（C为常数）. (2)
(x
n
)
'
?nx
n?1
(n?Q)
. (3)
(sinx)
?
?cosx
.
(4)
(cosx)
?
??sinx
.
(5)
(l nx)
?
?
1
x
；
(loga
x
)
?
?
1
x
log
e
x
?
?e
x
;
(a
x
)
?
?a
x
a
. (6)
(e)lna
.
7.导数的运算法则
（1）
(u?v)
'
?u
'
?v
'
.（2）
(uv)
'?u
'
v?uv
'
.
（3）
(
u
'
u
'
v?uv
'
v
)?
v
2
(v ?0)
.

8.复合函数的求导法则
设函数
u?
?
(x)
在点
x
处有导数
u
'
x
??
'
(x)
，函数
y?f(u)
在点
x
处的对 应点U处有导数
y
'
)
，则复合函数
y?f(
?
( x))
在点
x
处有导数，且
y
'''
u
?f
'
(u
x
?y
u
?u
x
，或写作
f'
x
(
?
(x))?f
'
(u)
?
'
(x)
.
10.判别
f(x
0
)
是极大（小）值 的方法当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，
（1）如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极大值；
（2）如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
， 右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极 小值.
二．基本方法和数学思想
1.导数的定义：f(x)在点x
0
处的 导数记作
y
?
x?x
0
?f
?
(x
0)?
f(x
0
??x)?f(x
0
)
；
?< br>lim
x?0
?x
2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的 增量
（2）
?y?f(x??x)?f(x);
(2)求平均变化率
?yf (x??x)?f(x)
?x
?
?x
;
（3）取极 限,得导数
f
?
(x)?lim
?y
?x?0
?x
;
3.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x
0
处可导，那么函数y=f (x)在点x
0
处连续；但是y=f(x)在
点x
0
处连续却不一定 可导；
4.导数的几何意义：曲线y＝f（x）在点P（x
0
,f(x
0< br>)）处的切线的斜率是
f
?
(x
0
).
相应地，切线 方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
);

5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f（x）在 某个区间内可导，如果
f
?
(x)?0,
那么f(x)为增函数；如果
f
?
(x)?0,
那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有
f
?
(x)?0,
那么f(x)为
常数；
（2）求可导函数极值的步骤：① 求导数
f
?
(x)
；②求方程
f
?
(x)?0的根；③检验
f
?
(x)
在方程
f
?
(x)? 0
根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；
（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y =f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值
与f（a）、f（b）比较，其 中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值
6导数与函数的单调性的关系
㈠
f
?
(x)?0
与
f(x)
为增函数的关系。
f
?
(x)?0
能推出
f(x)
为增函数，但反之不一定。 如函数
f(x)?x
3
在
(??,??)
上单调递增，但
f
?
(x)?0
，∴
f
?
(x)?0
是
f( x)
为增函数的充分不必要条件。
㈡
f
?
(x)?0
时，
f
?
(x)?0
与
f(x)
为增函数的关系。
若 将
f
?
(x)?0
的根作为分界点，因为规定
f
?
(x)?0
，即抠去了分界点，此时
f(x)
为增函数，
就一定有
f
?
(x)?0
。∴当
f
?
(x)?0
时，
f
?
(x)?0
是
f(x)
为增函数的充分必要条件。
㈢
f
?
(x)?0
与
f(x)
为增函数的关系。
f(x)
为增函数，一定可以推出
f
?
(x)?0
，但反之 不一定，因为
f
?
(x)?0
，即为
f
?
(x)? 0
或
f
?
(x)?0
。当函数在某个区间内恒有
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为常数，函数不具有单调性。∴
f
?
(x)?0
是
f(x)
为增函数的必要不充分条件。
函数的单 调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，
用导数判断好函 数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，
避免讨论以上问题 ，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。
高中数学课本回归（7）
不等式

?
?
?
a2
?b
2
?2ab
?
?
?
a
2
?b?
1
(a?b)
2
?
?
?
2
22
?
?
1、基
?
整式形式
?
?
a b?
?
?
a?b
?
?
?
?
?
2< br>?
2
本不
?
?
ab?
a?b
2
?< br>?
2
等式
?
?
定理
?
?
?
?
?
a?b
?
?
根式形式
?
ab
??
?
?
2
?
a?b?2(a
2
?b
2
)
?
?
?
?
?
分式形式
ba
?2 (a,
?
a
?
b
b同号）
?
?
?
a?0?a?
1
?
倒数形式
?
2
?
?
a< br>?
?
?
1
?
a?0?a?
a
??2

2.解不等式
?
b
(1)一元一次不等式
ax?b
?< br>x?
a
(a?0)
(a?0)
?
?
b
?x?
a
(a?0)

(2)一元二次不等式：
(3)解分式不等式：
?
?
f(x)
?
?
g(x )
?0?f(x)?g(x)?0

?
f(x)
?
f(x)?g(
(4)解含参数的不等式：
?
?0?
?
g(x)
?
x)?0
?
g(x)?0
注:解形如
ax
2
+bx+c>
0的不等式时分类讨 论的标准有：
1、 讨论
a
与0的大小；2、讨论⊿与0的大小；3、讨论两根的大小；
(5)一元二次方程根的分布问题：
方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、 对称轴、区间端点的函数值四个角度列出不
等式组
(6)解线性规划问题的一般步骤：
第一步：在平面直角坐标系中作出可行域（注意直线的虚实）；
第二步：找到目标函数的几何意义（截距、斜率、圆的半径）
第三步：在可行域内找到最优解所对应的点；
第四步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。
高中数学课本回归（8）
数列

1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一 列数。数列中的每一个数都叫做这个数列的
项。数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1 ,2，3，…，n｝）的特殊函数，如果数列
?
a
n
?
的第n项a
n
与n之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。数列 的
通项公式也就是相应函数的解析式。.
递推关系式：已知数列
?
a
n
?
的第一项（或前几项），且任何一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（前n项）间的
关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关 系式。
数列的分类：①按项数多少，分为有穷数列、无穷数列；
②按项的增减，分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。
③按项有无界限，分为有界数列、无界数列。
数列的前n项和：
s
n?
a
1
?
a
2
?
a
3
?...
?
a
n
.
?
=
?
s
,(n?1)
已知
s
?
1
n
求
a
n
的方法（只有一种）：即利用公式
a
n
?
n
?
s
注意：一定不要忘记对n取值
?
s
n?1
,(n?2)
的讨论！最 后，还应检验当n=1的情况是否符合当n
?
2的关系式，从而决定能否将其合并。
2.等差数列的有关概念：
1、 等差数列的定义：如果数列
?
a
n
?
从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个
数列叫做等差数列 ，这个常数叫等差数列的公差。即
a
n
?
a
n?1
?d(n ?
N
*
,且n?2)
.(或
a
n?1
?
a
n
?d(n?
N
*
)
).
（1） 等差数列的判 断方法：①定义法：
a
n?1
?
a
n
?d(常数)
?
?
a
n
?
为等差数列。
② 中项法：
2a< br>n?1
?
a
n
?
a
n?2
?
?a
n
?
为等差数列。③通项公式法：
a
n
?an?b< br>（a,b为常数）
?
?
a
n
?
为等差数列。④前n项 和公式法：
s
n
?An
2
?Bn
（A,B为常数）
?
?
a
n
?
为等差数列。
如设
{a
n< br>}
是等差数列，求证：以b
a
n
=
1
?a
2
???a
n
n

n?N*
为通项公式的数列
{b
n
}
为等差数列。
（2）等差数列的通项：
a
n
?a
1
?(n?1)d
或< br>a
n
?a
m
?(n?m)d
。
公式变形为:
a
n
?an?b
. 其中
a=d, b=
a
1
－
d.

（3）等差数列的前
n
和：
S
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
n?
2
，
S
n
?na
1
?
2
d
。
公式变形为：
s
n
?An
2
?Bn
，< br>d
其中A=
2
，B=
a
d
1
?
.< br>注意：已知n,d,
a
1
,
a
n
2
,
s
n
中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求
二”。
（4）等差 中项：若
a,A,b
成等差数列，则A叫做
a
与
b
的等差中 项，且
A?
a?b
2
。
提醒：（1）等差数列的通项公式及前n
和公式中，涉及到5个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，其
中
a
1
、
d
称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知 3求2。（2）
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
a?2d, a?d,a,a?d,a?2d
…
（公差为
d
）；偶数个数成等差，可设为… ，
a?3d,a?d,a?d,a?3d
,…（公差为2
d
）
3.等差数列的性质：
（1）当公差
d?0
时，等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d
是 关于
n
的一次函数，
且斜率为公差
d
；前
n
和S
n(n?1)
2
n
?na
1
?
2
d ?
d
2
n?(a
d
1
?
2
)n
是 关于
n
的二次函数且常数项为0.

（2）若公差
d?0，则为递增等差数列，若公差
d?0
，则为递减等差数列，若公差
d?0
，则
为常数列。
（3）对称性：若
?
a
n
?
是有 穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当
m?n?p?q
时,则有a
m
?a
n
?a
p
?a
q
，特别地， 当
m?n?2p
时，则有
a
m
?a
n
?2a
p
.
(4) 项数成等差,则相应的项也成等差数列.即
a
k
,
a
k?m
,
a
k?2m
,...(k,m?N
*
)
成等差.若
{a
n
}
、
{b
n
}
是等差数列，则
{ka
n
}
、
{ka
n
?pb
n
}
(
k
、
p
是非零常数)、
{ a
p?nq
}(p,q?N
*
)
、
S
n
, S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
，…也成等差数列，
（6）单调性：设d为等差数列
?
a
n
?
的公差，则
d>0
?
?
a
n
?
是递增数列；d<0?
?
a
n
?
是递减数列；d=0
?
?
a
n
?
是常数数列
(8) 8、已知
?
a
n< br>?
成等差数列，求
s
n
的最值问题：
① 若
a0,
1
?0
,d<0且满足
?
?
a
n
?
?
,则
s
a
1
?0
,d>0且满足
?< br>?
?
a
n
?0,
?
?
a
n?1?0
n
最大； ②若,则
?
s
?
a
n
最小.
n?1
?0
“首正”的递减等差数列中，前
n
项和的最大值是所有 非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前
n
项和的最小值是所有非正项之和。
( 9)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数
列的公 差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研
究
a
n
?b
m
.
4.等比数列的有关概念：如果数列
?< br>a
n
?
从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这
个 数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即
a
n
?q(n?
*
,n?2)
（或
a
n?1
?q(n?
N
*
a< br>N
)

n?1
a
n
（1）等比数列的判断方法：定义 法
a
n?1
a
?q(q
为常数
）
，其中
q ?0,a
aa
n
?0
或
n?1
?
n

n
a
n
a
n?1
(n?2)
。
（2）等 比数列的通项：
a
n?1
n
?a
1
q
或
a
n
?a
m
q
n?m
。
（3）等比数列的前
n
和：当
q?1
时，
S
a
1
(1?q
n
)
n
?na
1
；当
q?1
时，
S
n
?
1?q
?
a
1
?a
n
q
1? q
。
特别提醒：等比数列前
n
项和公式有两种形式，为此在求等比数列前< br>n
项和时，首先要判断公比
q
是否为1，再由
q
的情况选择求 和公式的形式，当不能判断公比
q
是否为1时，要对
q
分
q?1和
q?1
两种情形讨论求解。
（4）等比中项：如果a、G、b三个数成等比数 列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=
?ab
.提醒：
不是任何两数都有等比中项 ，只有同号两数才存在等比中项，且有两个
?ab
。如已知两个正数
a,b(a?b)
的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）
提醒： （1）等比数列的通项公式及前
n
项和公式中，涉及到5个元素：
a
1
、
q
、
n
、
a
n
及
S
n
，
其中
a
1
、
q
称作为基本元素。只要已知这5个元素中 的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成 等比，可设为…，
aa
2
q
2
,
q
,a,aq,a q
…（公比
为
q
）；但偶数个数成等比时，不能设为…
a
q
3
,
a
q
,aq,aq
3
，…，因公比不一定为正 数，只有公比为正
时才可如此设，且公比为
q
2
。如有四个数，其中前三个数 成等差数列，后三个成等比数列，且第一个
数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12， 求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
5.等比数列的性质：
（1 ）对称性：若
?
a
n
?
是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积 都等于首末两项之积.即当
m?n?p?q
时，则有
a
2
m
.a
n
?a
p
.a
q
，特别地，当
m?n?2p< br>时，则有
a
m
.a
n
?a
p
.
(2) 若
{a
*
n
}
是等比数列，则
{|an
|}
、
{a
p?nq
}(p,q?N)
、
{ ka
n
}
成等比数列；若
{a
n
}、{b
n
}
成等比数
列，则
{a
n
b
a
n
n}
、
{
b
}
成等比数列； 若
{a
n
}
是等比数列，且公比
q??1
，则数列
n
S
n
, S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
，…也 是等比数列。当
q??1
，且
n
为偶数时，数列
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
，…
是常数数列0，它不是等比数列. 若
?
a
n
?
是等比 数列，且各项均为正数，则
?
log
a
a
n
?
成等 差数列。 如
(3) 单调性：若
a
1
?0,q?1
，或
a
1
?0,0?q?1
则
{a
n
}
为递增数列；若
a
1
?0,q?1
,或
a
1
?0,0?q?1 则
{a
n
}
为递减数列；若
q?0
，则
{a
n
}
为摆动数列；若
q?1
，则
{a
n
}
为常数列.

(4) 当
q?1
时，
S
?a
1
n
1?q
?
a
1
n
?q
1?q
?aq
n
?b
，这里
a?b?0
，但
a?0,b? 0
，这是等比数
列前
n
项和公式的一个特征，据此很容易根据
Sn
，判断数列
{a
n
}
是否为等比数列。如若
{an
}
是等比数
列，且
S
n
n
?3?r
，则
r
＝ （答：－1）
(7)如果数列
{a
n}
既成等差数列又成等比数列，那么数列
{a
n
}
是非零常数数 列，故常数数列
{a
n
}
仅
是此数列既成等差数列又成等比数列的必 要非充分条件。如设数列
?
a
n
?
的前
n
项和为< br>S
n
（
n?N
）， 关
于数列
?
a
n
?
有下列三个命题：①若
a
n
?a
n?1
(n? N)
，则
?
a
n
?
既是等差数列又是等比数列；②若
Sn
2
?bn
?
a、b?R
?
，则
?
a
n
n
?a
n
?
是等差数列；③若
S
n?1?
?
?1
?
，则
?
a
n
?
是等比数列。这些命题
中，真命题的序号是 （答：②③）
6.数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。⑵已知S
n
（即
a
1
?a
2
??a
n
?f(n)
）
求
a
差法：
a
?
S,(n?1)< br>n
，用作
n
?
S
1
n
?S
n?1< br>,(n?2)
。⑶已知
a
1
a
2
a
n
?f(n)
求
a
n
，用作商法：
a
?
?
f(1)
n
?
?
f(n
,
)
n(?1)
。 如数列
{a
n
}
中，
a
1
?1,
对所有的
n?2
都有
a
1
a
2
a
3
?a< br>2
?
?
f(n?1)
,(n?2)
n
?n
， 则
a
61
3
?a
5
?
______（答：
16
）
⑷若
a
n?1
?a
n
?f(n)
求
a
n
用累加法：
a
n
?(a
n
?an?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)??(a
2
?a
1
)

?a
1
(n?2)
。
⑸已 知
a
n?1
?f(n)
求
a
a
n
aa2
n
，用累乘法：
a
n
?
a
?
n?1
a
?
n
n?1
a
?
n?2
a
?a
1
(n?2)
。
1
7.数列求和的常用方法：
（1）公式法：
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常把数列的各项分成 多个项或把数列的项重
新组合，使其转化成等差或等比数列，然后利用公式求和。如求：
Sn
??1?3?5?7??(?1)
n
(2n?1)
（答：
(? 1)
n
?n
）
（3）倒序相加法：倒序相加法：数列特点：与首末等距离的 两项之和等于首末两项之和，则采用
此法。（联系：等差数列的前n项和推导过程以及高斯小时后巧解算 术题））. 如已知
f(x)?
x
2
1?x
2
，
则
f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(
1
)?f(
1
)? f(
17
234
)
＝______（答：
2
）
（ 4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，即数列
是一 个“差·比”数列，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前
n
和公式的推导方法）. < br>（5）裂项相消法：裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负抵消，从而前n
项化成首尾若干少数项之和。如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，
那么 常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①
n(n
1
?1)
?< br>1
n
?
n
1
?1
； ②
n(n
1< br>?k)
?
1
k
(
1
n
?
n
1
?k
)
；
③
1
k
2
?
1k
2
?1
?
1
2
(
1
k?1
?
1
k?1
)
，
1
k
?
1
k?1
?
1
(k?1)k
?
1111
k
2
?(k?1)k
?
k?1
?
k
；
④
1
(2n?1)(2n?1)
?
1
2
(
1
2n?1
?
1
2n?1
)
⑤
1
n(n?1)(n?2)
?1
2
[
1
n(n?1)
?
1
(n?1)(n? 2)
]
；
⑥
11
n?k?n
?
k
(n ?k?n)
（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再
运用分组求和法求和。 如①求数列1×4，2×5，3×6，…，
n?(n?3)
，…前
n
项和S
n
= （答：
n(n?1)(n?5)
1
3
）；②求和：
1?
11
1?2
?
1?2?3
??
1 ?2?3??n
?
（答：
2n
n?1
）

高中数学课本回归（9）
平面向量

1、向量有关概念：
（1）向 量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，
注意不能说向量 就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量
AB
按向量
a
＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：
0
，注意零向量的方向是任意的；
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与
AB
共线的单位向量是
?
AB
)；
|AB|
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量
a
、
b
叫做平行向量，记作：
a
∥
b
，
规定零向量和任何向量平行。提醒 ：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向
量平行与与两条直线平行是不同的两个 概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包
含两条直线重合；③平行向量无传递性！ （因为有
0
)；④三点
A、B、C
共线
?
AB、 AC
共线；

（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a
的相反向量是－
a
。
2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭 头的有向线段表示，如
AB
，注意起点在前，终点
在后；（2）符号表示法：用一个小 写的英文字母来表示，如
a
，
b
，
c
等；（3）坐标表示法 ：在平面
内建立直角坐标系，以与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向 量
i
，
j
为基底，则平面内的任一向量
a
可
表示为
a?xi?yj?
?
x,y
?
，称
?
x,y
?
为向量
a
的坐标，
a
＝
?
x,y
?< br>叫做向量
a
的坐标表示。如果向量
的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点 坐标相同。
3.平面向量的基本定理：如果e
1
和e
2
是同一平面 内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向
量a，有且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使a=
?
1
e
1
＋
?< br>2
e
2
。如（1）若
a?(1,1),b?

(1, ?1),c?(?1,2)
，则
c?
______（答：
13
2a?
2
b
）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的
是 A.
e
1
?(0,0),e
2
?(1,?2)
B.
e
1
?(?1,2),e
2
?(5,7)
C.
e
1
?(3,5),e
2
?(6,10)
D. < br>e
13
1
?(2,?3),e
2
?(
2
,?
4
)
（答：B）；（3）已知
AD,BE
分别是
?ABC< br>的边
BC,AC
上的中线,且
AD?a,BE?b
,则
BC< br>可用向量
a,b
表示为_____（答：
24
3
a?
3
b
）；（4）已知
?ABC
中，点
D
在
BC?????????
边上，且
CD?2DB
，
CD?r
?
AB
??
?s
?
AC
??
，则
r?s
的 值是___（答：0）
4、实数与向量的积：实数
?
与向量
a
的积 是一个向量，记作
?
a
，它的长度和方向规定如下：
?
1
?
?
a?
?
a,
?
2
?
当
?
>0时，
?
a
的方向与
a
的方向相同，当
?
<0 时，
?
a
的方向与
a
的方向相反，
当
?
＝ 0时，
?
a?0
，注意：
?
a
≠0。
5、平面向量的数量积：
（1）两个向量的夹角：对于非零向量
a
，
b
，作
OA?a,OB?b
，
?AOB?
?
?
0 ?
?
?
?
?
称为向量
a
，
b
的夹 角，当
?
＝0时，
a
，
b
同向，当
?
＝< br>?
时，
a
，
b
反向，当
?
＝
?2
时，
a
，
b
垂直。
（2）平面向量的数量积：如果 两个非零向量
a
，
b
，它们的夹角为
?
，我们把数量
|a||b|cos
?
叫做
a
与
b
的数量积（或内积或点 积），记作：
a
?
b
，即
a
?
b
＝
abcos
?
。规定：零向量与任一
向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不 再是一个向量。
（3）
b
在
a
上的投影为
|b|cos< br>?
，它是一个实数，但不一定大于0。如已知
|a
?
|?3
?
，
|b|?5
，
???
且
a?b?12
，则向量< br>a
在向量
b
?
上的投影为______（答：
12
5
）
（4）
a
?
b
的几何意义：数量积
a
?
b
等于
a
的模
|a|
与
b
在
a
上的投影的积。
（5）向量数量积的性质：设两个非零向量
a
，
b
，其夹角为
?
，则：
①
a?b?a?b?0
；
②当
a
，
b
同向时，
a
?
b
＝
a b
，特别地，
a
2
?a?a?a
2
,a?a
2；当
a
与
b
反向时，
a
?
b
＝－ab
；当
?
为锐角时，
a
?
b
＞0，且
a、 b
不同向，
a?b?0
是
?
为锐角的必要非充分条件；当< br>?
为钝角时，
a
?
b
＜0，且
a、 b
不反向，
a?b?0
是
?
为钝角的必要非充分条件；
③ 非零向量
a
，
b
夹角
?
的计算公式：
cos
?
?
a?b
ab
；④
|a?b|?|a||b|
。
6、向量的运算：
（1）几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行， 但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如
此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设
AB?a,BC?b
，那么向量
AC
叫做
a
与
b
的和，即
a?b?AB?BC?AC
；
②向量的减法：用“三角形法则”：设
AB?a,AC?b,那么a?b?AB?AC?CA
，由减向量的
终点指向被减向量的终点 。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：
①
AB?BC?CD?
_ __；②
AB?AD?DC?
____；③
(AB?CD)?(AC?BD)?
_____（答：①
AD
；
②
CB
；③
0
）；
（2）坐标运算：设
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
，则：
①向量的加减法运算：
a?b?(x
1
?x
2
，
y
1
?y
2
)
。
②实数与向量的积：
?
a?
?
?
x
1
,y
1
?
?
?
?
x
1
,
?y
1
?
。
③若
A(x
1
,y
1),B(x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
，即 一个向量的坐标等于表示这个向量的有
向线段的终点坐标减去起点坐标。
④平面向量数量积：
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
。
⑤向量的模：
|a|?x
2
?y
2
,a
2
?|a|
2
?x
2
?y
2
。如已知
a,b
均为单位向量，它们的夹角为
60
，
那么
|a?3b|
＝_____ （答：
13
）；
⑥两点间的距离：若
A
?
x
?
x
22
1
,y
1
?
,B
?
x2
,y
2
?
，则
|AB|?
2
?x
1
?
?
?
y
2
?y
1
?
。
7、向量的运算律：（1）交换律：
a?b?b?a
，
?
?
?a
?
?
?
??
?
a
，
a?b?b?a
；(2)结合律：
a?b?c?
?
a?b
?
?c,a?b? c?a?
?
b?c
?
，
?
?
a
?
?b?
?
?
a?b
?
?a?
?
?
b
?
；（3）分配律：
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a,
?
?
a?b
?
?
?< br>a?
?
b
，
?
a?b
?
?c?a?c?b? c
。如下列命题中：①
?
a?(
?
b?
?
c)?
?
a?
?
b?
?
a?
?
c
??? ??
?
?
c
??
；②
a?(b?c)?(a?b)
；③
(a?b)
2
?|
?
a|
2

?2|?
a|?|
?
b|?|
?
b|
2
????；④ 若
a?b?0
，则
a?0
或
b?0
；⑤若
a?b?c?b,
则
a?c
；⑥
a
2
?a
2；
⑦
a?b
?
b
；⑧
22
a
2
a
(a?b)
2
?a?b
；⑨
(a?b)
2
?a
2
?2a?b?b
2
。其中正确的是______（答：①⑥⑨）
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平
方、两 边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两
边不能约去 一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即
a(b?c)?(a ?b)c
，为什么？
8、向量平行(共线)的充要条件：
ab?a?
?b
?(a?b)
2
?(|a||b|)
2
?x
1
y
2
?y
1
x
2
＝0。如(1)
若向量
a?(x,1),b?(4,x)
，当
x
＝_____时
a
与
b
共线且方向相同（答：2）；（2）已知
a?(1,1),b?(4,x)
，u?a?2b
，
v?2a?b
，且
uv
，则x
＝
______（答：4）；（3）设
PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)< br>，

则k
＝
_____时，A,B,C共线（答：－2或11）
9、向量垂直的充要条件：
a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|

?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
12、向量中一些常用的结论：
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
（3）在
?AB C
中，①若
A
?
x
1
,y
1
?
, B
?
x
2
,y
2
?
,C
?
x3
,y
3
?
，则其重心的坐标为
离心
率
准线
方程
渐近
线
e?
c
?1

a

c
最大
c
e??1

a

e?1

x??
b
x

a
p

2
?
x?x?xy?y?y
3
?
G
?
12 3
,
12
?
。
33
??
②
PG?
1
(PA?PB?PC)
?
G
为
?ABC
的重心，特别地
PA?PB?PC?0?P
为
?ABC
3
的重心；
（4）向量
PA、 PB、 PC
中三终点
A、B、C
共线
?
存在实数
?
、
?
使得
PA?
?
PB?< br>?
PC
且
?
?
?
?1
.如平面直角坐标系中 ，
O
为坐标原点，已知两点
A(3,1)
,
B(?1,3)
,若点
C
满足
y??
无
a
(y??x焦点在y轴时)

b
无
当斜率为k的直线与 圆锥曲线相交于
A(x
1
,y
1
);B(x
2
,y
2
)
两点时
弦长
公式
OC?
?
1OA?
?
2
OB
,其中
?
1
,
?2
?R
且
?
1
?
?
2
?1
, 则点
C
的轨迹是_______（答：直线AB）
???
??????|AB|?1?k
2
|x
1
?x
2
|

或
|AB|?
高中数学课本回归（10）
圆锥曲线基础知识
(1? k
2
)[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]



图像
椭圆 双曲线 抛物线
x
2
y
2
双曲线
2
?
2
?1
ab
焦半
径公
式
x
2
y
2
椭圆
2
?
2
?1

(a?0,b?0)
上
ab
任一点到焦点的距离即焦半径公式
（
a?0,b?0
）
若点M在右半支上，则
|MF
1|=
a
+ex
0
；
若点M在左半支上，则
|MF1
|=－(ex
0
+
a
),
|MF
2
|=－(ex
0
－
a
)。

抛物线y
2
=2px(p>0)
|MF |=x
0
+
MF
1
?a?ex
0
MF
2
?a?ex
0


p

2

定义1：平面内到两定点
F
1
,F
2
的距

定义
离和等于常数（大于
F
1
F
2
）的点的轨迹称为椭圆
即
MF
1
?MF
2
?2a


定义1：平面内与两定点

F
1
,F
2
的距离差的绝对值等
于常数2a 的点的轨迹叫做
双曲线
即
MF
1
?MF
2
?2a

定义： 平面内与一定点
F
和一条定直线
l
的距
离相等的点
(e?1)
，的 动
点轨迹称为抛物线
标准
方程
x
2
y
2
?
2
?1

(a?0,b?0)

2
ab
x
2
y
2< br>?
2
?1

2
ab
(a?0,b?0)

(?a,0)

垂直
于长
轴的
焦点
弦长
（通
径）
设AB过焦点
F(c,0)
，且AB垂直于长半轴可得
2b
2
AB?

a
2P
y
2
?2px

(p?0)

高中数学课本回归（11）
推理与证明
1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：
?
通过观察个别情况发现某些相同的性质；
?
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；
顶点
坐标
焦点
坐标
(?a,0); (0,?b)

(0,0)

p
(,0)

2
(?c,0) a
2
?b
2
?c
2

a
最大
(?c,0) c
2
?a
2
?b
2

?
证明（视题目要求，可有可无）.
2、类比推理
由两类 对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的
推理称为类比 推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤：
?
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
?
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
?
检验猜想。
3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经 过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然
后提出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
演绎推理的一般模式———
“三段论”，
包括
⑴大前提 -----已知的一般原理；
⑵小前提-----所研究的特殊情况；
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
5、直接证明与间接证明
⑴综合法 ：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要
证明的结论成 立.要点：顺推证法；由因导果.
⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直 至最后，把要证明的结论归结为
判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
要点：逆推证法；执果索因.
⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理 ，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而
证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤：
(1)（反设）假设命题的结论不成立；
(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；
(3)（归谬）断言假设不成立；
(4)（结论）肯定原命题的结论成立.
6、（理科）数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数
n
的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤;
（1）（归纳奠基）证明当
n
取第一个值< br>n
*
?k(k?n
0
(n
0
?N)
时命题成 立；
（2）（归纳递推）假设
n
0
,k?N
*
)
时命题成立，推证当
n?k?1
时命题也成立.
只要完成了这两个步骤，就可 以断定命题对从
n
0
开始的所有正整数
n
都成立.
高中数学课本回归（12）
概率与统计
1.众数、中位数及平均数的求法。
①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数 据
的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数
就是中位数。③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。
2.系统抽样的一般步骤
用系统抽样从总体中抽取样本时，首先要做的工作是什么？将总体中的所有个体编号.
如果用 系统抽样从605件产品中抽取60件进行质量检查，由于605件产品不能均衡分成60部分，应
先从 总体中随机剔除5个个体，再均衡分成60部分.
一般地，用系统抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，其操作步骤如何？
第一步，将总体的N个个体编号.
第二步，确定分段间隔k，对编号进行分段.
第三步，在第1段用简单随机抽样确定起始个体编号l.
第四步，按照一定的规则抽取样本.
3.分层抽样的操作步骤如何？
第一步，计算样本容量与总体的个体数之比.
第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数.
第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体.
4.列出一组样本数据的频率分布表可以分哪几个步骤进行？
第一步，求极差.
第二步，决定组距与组数.
频率
组距
第三步，确定分点，将数据分组.
0.5
第四步，列频率分布表.
0.4
0.3
0.2
频率分布直方图中
小长方形的?高
频率
0.1
组距

O
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量t
如何根据样本频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数？
(1)众数：最高矩形下端中点的横坐标.
(2)中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标.
(3)平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和.
5.用样本的数字特征估计总体的数字特征
x?
x
1
?x
2
?
?
?x
n
1）、样本均值：
n

2< br>s?s
2
?
(x
1
?x)?(x
2
?x)< br>2
?
?
?(x
n
?x)
2
2）、样本标准差 ：
n
（标准差是方差的算术平方根）
6.概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；

3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1
—P(B)；
4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互 斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，
其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生 且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；
（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是 指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括
两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发 生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特
殊情形。

7、古典概型
1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
8、几何概型
1、基本概念：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（ 面积或体积）成比例，
则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）=
A包含的基本事件数

总的基本事件个数
构成事件A的区域长度（面积或体积）
；
试验的全部结果 所构成的区域长度（面积或体积）
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件） 有无限多个；
2）每个基本事件出现的可能性相等．