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高中数学必修4知识点
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角
?
零角:不作任
何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合,角的始边与
x
轴的非负半轴重合,终边落在第几象
限,则称
?
为第几象限角.
??第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?
第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?<
br>?k?360?270,k??
?
第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?
终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?
终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?18
0?90,k??
?
终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?
3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?<
br>?
,k??
?
第一象限角的集合为
?
k?360<
br>?
?
?
?k?360
?
?90
?
,k??<
br>
????
????
????
?
??
?
?<
br>4、已知
?
是第几象限角,确定
?
?
n??
?
所在象限的方法:先把各象限均分
n
等
n
*
份,再从
x<
br>轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则
?
原来
?
是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域.
n
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度.
l
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
.
r
?
180?
7、弧度制与角度制的换算公式:
2
?
?360
,
1
?
,
1?
?
?57.3
?
.
?
180<
br>?
?
?
?
?
?
?
8、若扇形的圆心角为?
?
?
为弧度制
?
,半径为
r
,弧长为
l
,周长为
C
,面积为
S
,
11
则
l?
r
?
,C?2r?l,
S?lr?
?
r
2
. 22
9、设
?
是一个任意大小的角,
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
,它与原点
的距离是
rr
?x
2
?y
2
?0
,则
sin
?
?
?
?
yxy
,
cos
?
?
,
tan?
?
?
x?0
?
.
rrx
1
0、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限
正切为正,第四象限余弦
为正.
11、三角函数线:
sin
?
???
,
cos?
???
,
tan
?
???
.
12、同角三
角函数的基本关系:
?
1
?
sin
?
?cos
?<
br>?1
22
y
?
sin
2
?
?1?
cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?
;
?
2
?
sin
?
?tan
?
cos
?
P
T
OM
A
x
si
n
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?<
br>,cos
?
?
??
.
tan
?
??
13、三角函数的诱导公式:
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
2k
?
?
?
?
?
cos
?
,
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
.
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?<
br>,
tan
?
?
?
?
?
?tan
?<
br>.
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
?
?
?co
s
?
,
tan
?
?
?
?
??tan
?
.
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
.
口诀:函数名称不变,符号看象限.
?
5
?
sin
?
?
?
?
?
?<
br>?
?
?
?cos
?
,
cos
?
?<
br>?
?
?sin
?
.
?
2
?
?2
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
,
cos
?
?
?
?
??sin
?.
?
2
??
2
?
?
?
6
?
sin
?
?
?
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.
14
、函数
y?sinx
的图象上所有点向左(右)平移
?
个单位长度,得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?si
n
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长(缩
短)到原来
的
1
?
倍(纵坐标不变),得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
?
倍(横坐标不
变),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
得到函数
y?sin
?
x
的图象;再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左(右)平移
1
?
倍(纵坐标不变),
?
个单
?
位长度,得到函数
y?sin
?
?
x?
?<
br>?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所
有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
?
倍(横坐
标不变),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的
图象.
函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?
的性质:
①
振幅:
?
;
②
周期:
??
2
?
?
;
③
频
率:
f?
1
?
?
;
④
相位:
?
x
?
?
;
⑤
初相:
?2
?
?
.
函
数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
,当<
br>x?x
1
时,取得最小值为
y
min
;当
x?x<
br>2
时,取得
11?
?
y
max
?y
min<
br>?
,
??
?
y
max
?y
min
?
,
?x
2
?x
1
?
x
1
?x2
?
.
222
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函
y?cosx
y?tanx
数
y?sinx
性
最大值为
y
max
,则
??
质
图
象
定
义
域
值
域
R
R
?
?
?
xx?k
?
?,k??
??
2
??
R
?
?1,1
?
当
x?2k
?
?
?
?1,1
?
?
k??
?
当
x?2k
?
?
k??
?时,
?
2
最
值
时,
y
max<
br>?1
;当
x?2k
?
?
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?
?
2
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
2
?
既无最大值也无最小
值
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
2
?
周
期
性
奇奇函数
偶
性
单
??
??
在
2k
?
?,2k
?
?
调
??
22
??
性
?
偶函数
奇函数
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上是增函数;在
??
??
在
?
k
?
?,k
?
?
?
22
??
?
k??
?
上是增函数;在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
?
3
?
??
2k
?
?,2k
?
?
??
22
??
?
k??
?
上是增函数.
?
k??
?
上是减函数.
?
k??
?
上是减函数.
对称中心对称中心
对称中心对
?
k
?
,0
??
k??
?
称
对称
性
?
x?k
?
?
?
k??
?
2<
br>轴
?
??
k
?
?,0
?
?
k??<
br>?
?
2
??
对称轴
x?k
?
?<
br>k??
?
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?
?
?
2
?
无对称轴
16、向量:既有大小,又有方向的量.
数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为
0
的向量.
单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
?
?
?
?
?
?
⑶三角形不等
式:
a?b?a?b?a?b
.
?
?
??
?
?<
br>?
??
?
⑷运算性质:①交换律:
a?b?b?a
;②结合律
:
a?b?c?a?b?c
;③
????
?
??
??
a?0?0?a?a
.
C
?
?
?
?<
br>⑸坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a
?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
?
a
?
b
?
?
?
?
?
?
⑵坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y1
?y
2
?
.
????
设
?
、?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,则
????
?
x
1
x
2
y,
1
?y
2
?
.
?????
?
?
???????
a?b??C??
???C
19、向量数乘运算:
?
?
⑴实数
?与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a
.
①
?
a?
?
a
;
??
②
当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同
;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相
反;当
?
?
?
?
?
?
?
?0
时,
?
a?0
.
?
?
?
?
?????
⑵运算律:①
?
?
?
a
?
?
?
???
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
;③
?
a?b?
?
a?
?
b
.
??
⑶坐标运算:设
a?
?
x,y
?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
.
??
??
?
?
?
?
20、向量共线定理:向量
aa?0
与
b
共
线,当且仅当有唯一一个实数
?
,使
b?
?
a
.
??
?
?
?
?
??
?
?
bb?0
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,其中
b
?0
,则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y1
?0
时,向量
a
、
b?
?
x
2,y
2
?
,
??
共线.
?????
21、平
面向量基本定理:如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共
线向量,那么对于这一平面
??????????
?
?
内的任意向量
a
,有且只有一对实数
?
1
、
?
2
,使
a
?
?
1
e
1
?
?
(不共线的向量
e
1
、
e
2
作
2
e
2
.
为这一平
面内所有向量的一组基底)
22、分点坐标公式:设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点,
?
1
、
?
2
的
坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,
????????
?
x?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
当
?
1
??
?
??
2
时,点
?<
br>的坐标是
?
1
,
?
.
1?
?
1?
?
??
23、平面向量的数量积:
?
?
?
?
?
?
?
?
??
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
.零向量与
任一向量的数量积为
0
.
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a?b?ab
;⑵性质:设
a
和
b
都是非零向量,则①
a?b?a?b?0
.②当
a
与
b
同向时,
???
2
?
2<
br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?<
br>???
当
a
与
b
反向时,
a?b??ab
;
a?a?a?a
或
a?a?a
.③
a?b?ab
.
?
?
?
?
?
??
?
???
?
?
?
??
?
⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
??
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
;
③
a?b?c?a?c?b?c
.
??????
?
?
?<
br>?
⑷坐标运算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,y1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
.
22
若
a?
?
x,y
?
,则
a?x?y
,或
a?
?
?
2
?
x
2?y
2
.
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?<
br>,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
设
a
、
b
都是非零向量,
a?<
br>?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,
?
是
a
与
b
的夹角,则
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
cos
?
?
?
?
?
.
2222
ab
x
1
?y
1
x
2
?y
2
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;
⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;
⑶
sin
??
?
?
?
?sin
?
cos
?
?co
s
?
sin
?
;
⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?<
br>sin
?
;
⑸
tan
?
?
?
?<
br>?
?
tan
?
?tan
?
(
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??1?tan
?
tan
?
?
);
1?tan
?
tan
?
⑹
tan
?
?
?
?
?<
br>?
tan
?
?tan
?
(
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?t
an
?
tan
?
?
).
1?tan
?
tan
?
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
.
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2<
br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
1?cos2
?
).
2
(
cos
2
?
?
cos2
?
?1
2
,
sin
2
?
?
⑶
tan2
?
?
2tan
?
.
1?t
an
2
?
?
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
,其中
tan
?
?
26、
?sin
?
??cos
?
?
?
.
?
高中数学必修5知识点
1、正弦定理:在
???C
中,
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、<
br>C
的对边,
R
为
???C
的外接
abc
??
?2R
.
sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形公式:①
a?2R
sin?
,
b?2Rsin?
,
c?2RsinC
;
ab
c
②
sin??
,
sin??
,
sinC?
;
2R2R2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
;
a?b?cabc
???
④.
sin??sin??sinCsin?si
n?sinC
111
3、三角形面积公式:
S
???C
?bcsin
??absinC?acsin?
.
222
圆的半径,则有
4、余弦定理:
在
???C
中,有
a?b?c?2bccos?
,
b?a?c?2a
ccos?
,
222222
c
2
?a
2
?b2
?2abcosC
.
b
2
?c
2
?a2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?
b
2
?c
2
5、余弦定理的推论:
cos??
,
c
os??
,
cosC?
.
2bc2ab
2ac
6、设
a
、
b
、
c
是
???C
的角<
br>?
、
?
、
C
的对边,则:①若
a?b?c
,
则
C?90
;
②若
a?b?c
,则
C?90
;③
若
a?b?c
,则
C?90
.
7、数列:按照一定顺序排列着的一列数.
8、数列的项:数列中的每一个数.
9、有穷数列:项数有限的数列.
10、无穷数列:项数无限的数列.
11、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列.
12、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.
13、常数列:各项相等的数列.
14、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
15
、数列的通项公式:表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与
序号
n
之间的关系的公式.
16、数列的递推公式:表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
(或前几项)间的关系的公式.
17、如
果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为
等差数列,这个常数
称为等差数列的公差.
18、由三个数
a
,
?
,
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则
?
称为
a
与
b的
等差中项.若
b?
19、若等差数列
222
222
?
?
222
?
a?c
,则称
b
为
a
与
c
的等差中项.
2
1
?
a
n
?
的首项是
a
,公差是
d
,则
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
.
20、通项公式的变形:①<
br>a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
;②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d
;③
d?
a
n
?a
1
n?1
;
a
n
?a
m
a
n
?a
1
?1
;
⑤
d?
④
n?
n?m
d
.
*
21、若<
br>?
a
n
?
是等差数列,且
m?n?p?q
(
m
、
n
、
p
、
q??
),则
a
m
?a
n
*
若
?
a
n
?
是等差数列
,且
2n?p?q
(
n
、
p
、
q??
),
则
2a
n
?a
p
?a
q
;
?a
p
?a
q
.
n
?
a
1
?a
n?
n
?
n?1
?
S?
d
. 22、等差数列的
前
n
项和的公式:①
n
;②
S
n
?na
1
?
2
2
*
23、等差数列的前
n
项和的性质:①若
项数为
2nn??
,则
S
2n
??
?n
?
a
n
?a
n?1
?
,且
S
偶
?S
奇
?nd
,
S
奇
a
?
n
S
偶a
n?1
.
*
②若项数为
2n?1n??,则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
,且
S
奇
?S
偶
?a
n
,
??<
br>S
奇
n
(其中
?
S
偶
n?1
. <
br>S
奇
?na
n
,
S
偶
?
?
n?1
?
a
n
)
24、如果一个数列从第
2
项起,
每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为
等比数列,这个常数称为等比数列的公比.
25、在
a
与
b
中间插入一个数
G
,使
a
,
G
,
b
成等比数列,则
G
称为
a
与
b
的等比中项.若
G
2
?ab
,则称
G
为
a
与
b
的等比中项.
26、若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
,公比是
q
,则
a
n
?a
1
q
n?1
.
?
?
n?1
?
n?m
a?aq
a?aq
27、通项公式的变形:①
n
;②
1
;③
q
n?1
m
n
?
a
n
;④
a
1
q
n?m
?
a
n<
br>a
m
.
28、若
?
a
n
?
是等比
数列,且
m?n?p?q
(
m
、
n
、
p
、
q??
*
),则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
;
若
?
a
n
?
是等比数
列,且
2n?p?q
(
n
、
p
、
q??
*
),则
a
n
2
?a
p
?a
q
.
?
na
1
?
q?1
?
?
29、等比数列<
br>?
a
n
?
的前
n
项和的公式:
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
.
1n
?
?
q?1
?
?
1?q
?
1?q
30、等比数列的前
n
项和的性质:①若项数为
2nn??
②
S
n?m
?
*
?
,则
S
S偶
奇
?q
.
?S
n
?q
n
?S
m
.
③
S<
br>n
,
S
2n
?S
n
,
S
3n
?S
2n
成等比数列.
31、
a?b?0?a?b
;
a
?b?0?a?b
;
a?b?0?a?b
.
32、不等式的性质: ①a?b?b?a
;②
a?b,b?c?a?c
;③
a?b?a?c?b?
c
;
④
a?b,c?0?ac?bc
,
a?b,c?0?ac?b
c
;⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
;
nn
⑥
a?b
?0,c?d?0?ac?bd
;⑦
a?b?0?a?b
?
n??,n?1<
br>?
;
⑧
a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
.
33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是
2
的不等式.
34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式
??b?4ac
2
??0
??0
??0
二次函数
y?ax
2
?bx?c
?
a?0
?
的图象
有两个相异实数根
一元二次方程
ax?bx?c?0
2
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
一元二次
不等式的
解集
?b??
x
1,2?
2a
有两个相等实数根
x
1
?x
2
???
x
1
?x
2
?
b
2a
没有实数根
?
xx?x或x?x
?
12
?
a?0
?
ax
2
?bx?c?0
?b?
?
xx??
?
2a
??
R
?
a?0
?
?
xx
1
?x?x
2
?
?
?
35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是
1
的不等式.
36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
37、二元一次不等式(
组)的解集:满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?
x,y
?
,所有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的
集合.
38、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
,坐标平面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
.
①若??0
,
?x
0
??y
0
?C?0
,则点?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y
?C?0
的上方.
②若
??0
,
?x
0
??y<
br>0
?C?0
,则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方.
39、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
.
??yC?<
br>①若
??0
,则
?x?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区域;
?x??y?C?0
表
示直线
?x??y?C?0
下
方的区域.
??yC?
②若
??0
,则
?x?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域;
?x??y?C?0
表
示直线?x??y?C?0
上方的区域.
40、线性约束条件:由
x<
br>,
y
的不等式(或方程)组成的不等式组,是
x
,
y
的线性约束条
件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
,
y
的解析式.
线性目标函数:目标函数为
x
,
y
的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解
?
x,y
?
.
可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
41、设
a
、
b
是两个正数,则
几何平均数.
42、均值不等式定理: 若
a?0
,
b?0
,则
a?b?
2ab
,即
22
a?b
称为正数
a
、
b
的
算术平均数,
ab
称为正数
a
、
b
的
2
a
?b
?ab
.
2
a
2
?b
2
43、常用
的基本不等式:①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
;②
ab
?
?
a,b?R
?
;
2
a
2
?b
2
?
a?b
??
a?b
?
③
ab?
?<
br>?
??
?
a?0,b?0
?
;④
?
?
a,b?R
?
.
222
????
44、极值定理:设
x
、
y
都为正数,则有
22
s
2
⑴若
x?
y?s
(和为定值),则当
x?y
时,积
xy
取得最大值.
4
⑵若
xy?p
(积为定值),则当
x?y
时,和
x?y
取得最小值
2p
.
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