2020上海教材高中数学知识点总结打印版最全版本

2020
上
海

市

高

考

数

学

知

识

点

总

结

大

全





状


元

强



烈

推



荐












第 1 页 共 17 页

目 录

一、集合与常用逻辑
二、不等式
三、函数概念与性质
四、基本初等函数
五、函数图像与方程
六、三角函数
七、数 列
八、平面向量
九、复数与推理证明
十、直线与圆
十一、曲线方程
十二、矩阵、行列式、算法初步
十三、立体几何
十四、计数原理
十五、概率与统计


一、集合与常用逻辑
1．集合概念 元素：互异性、无序性
2．集合运算 全集U：如U=R
交集：
A?B?{xx?A且x?B}

并集：
A?B?{xx?A或x?B}

补集：
C
U
A?{xx?U且x?A}

3．集合关系 空集
?
?A

子集
A?B
:任意
x?A?x?B

A?B?A?A?BA?B?B?A?B

注：数形结合---文氏图、数轴
4．四种命题
原命题：若p
则
q 逆命题：若q
则
p
否命题：若
?p
则
?q
逆否命题：若
?q
则
?p

原命题
?
逆否命题 否命题
?
逆命题
5．充分必要条件
p是q的充分条件：
P?q

p是q的必要条件：
P?q

第 2 页 共 17 页

p是q的充要条件：p?q
6．复合命题的真值
①q真（假）?“
?q
”假（真）
②p、q同真?“p∧q”真
③p、q都假?“p∨q”假
7.全称命题、存在性命题的否定
??M, p(x）否定为: ??M,
?p(X)

??M, p(x）否定为: ??M,
?p(X)





二、不等式
1．一元二次不等式解法 若
a?0
，
ax
2
?bx?c?0
有两实根
?
,
?
(
?
?
?
)
，则
ax
2
?bx?c?0
解集
(
?
,
?
)
< br>ax
2
?bx?c?0
解集
(??,
?
)?(
?
,??)

注：若
a?0
，转化为
a?0
情况
2．其它不等式解法—转化
x?a??a?x?a
?
x
2
?a
2

x ?a?
x?a
或
x??a
?
x
2
?a
2< br>


f(x)
g(x)
?0
?
f(x)g(x)?0

a
f(x)
?a
g(x)
?
f(x)?g(x)
（
a?1
）
log
?
?
f(x)?0
a
f(x) ?log
a
g(x)?
?
?
f(x)?g(x)
（
0?a?1
）
?
3．基本不等式
①
a
2
?b
2
?2ab

②若
a,b?R
?
，则
a?b
2
?ab

注：用均值不等式
a?b?2ab
、
ab?(
a?b
22
)

求最值条件是“一正二定三相等”


三、函数概念与性质
1．奇偶性
f(x)偶函数
?
f(?x)? f(x)
?
f(x)图象关于
y
轴对称
f(x)奇函数
?
f(?x)??f(x)
?
f(x)图象关于原点对称
注：①f(x)有奇偶性
?
定义域关于原点对称
②f(x)奇函数,在x=0有定义
?
f(0)=0
③“奇+奇=奇”（公共定义域内）
2．单调性
f(x)增函数：x
1< br>＜x
2
?
f(x
1
)＜f(x
2
)
第 3 页 共 17 页

或x
1
＞x
2
?
f(x
1
) ＞f(x
2
)
或
f( x
1
)?f(x
2
)
x
?0

1
?x
2
f(x)减函数：？

注：①判断单调性必须考虑定义域
②f(x)单调性判断
定义法、图象法、性质法“增+增=增”
③奇函数在对称区间上单调性相同
偶函数在对称区间上单调性相反
3．周期性
T
是
f(x)
周期
?
f(x?T)?f(x)
恒成立（常数
T?0
）




4．二次函数
解析式： f(x)=ax
2
+bx+c，f(x)=a(x-h)
2
+k
f(x)=a(x-x
1
)(x-x
2
)
对称轴：
x?
?b
b4
2a
顶点：
(?
2a
,
ac?b
2
4a
)
< br>单调性：a>0，
(??,?
b
2a
]
递减，
[?< br>b
2a
,??)
递增
?
?b
4ac?b
2< br>当
x
2a
，f(x)
min
?
4a


奇偶性：f(x)=ax
2
+bx+c是偶函数
?
b=0
闭区间上最值：
配方法、图象法、讨论法---
注意对称轴与区间的位置关系
注：一次函数f(x)=ax+b奇函数
?
b=0

四、基本初等函数
n
1．指数式
a
0
?1(a?0)

a
?n
?
1
m
n
a
n

a
m
?a
2．对数式
log
b
a
N?b
?a?N
（a>0,a≠1）
log
a
MN?log
a
M?log
a
N

log
M
a
N
?log
a
M?log
a< br>N

log
a
M
n
?nlog
a
M
< br>log
log
m
b
lgb
a
b?
log?
lga

m
a

log
n
1
a
b?log
a
n
b
?
loga
< br>b
注：性质
log
log
a
N
a
1?0
log
a
a?1

a?N

常用对数
lgN?log
10
N
，
lg2?lg5?1

自然对数
lnN?log
e
N
，
lne?1

3．指数与对数函数 y=a
x
与y=log
a
x

第 4 页 共 17 页

定义域、值域、过定点、单调性？
注：y=a
x
与y=log
a
x图象关于y=x对称（互为反函数）
1
4．幂函数
y?x
2
,y?x
3
,y? x
2
,y?x
?1

y?x
?
在第一象限图象如下：





















?
?1

0?
?
?1

?
?0


、函
数图

像与
方程
1．描点法
函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调）
取特殊点如零点、最值点等
2．图象变换
平移：“左加右减，上正下负”
y?f(x)?y?f(x?h)

伸缩：
y?f(x)?
每一点的 横坐标变为原
??????
来的
?
?
?
倍
?y?f (
1
?
x)

对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”
第 5 页 共 17 页

y?f(x)?
x
? ?
轴
y??f(x)
y?f(x)???
y轴
y?f(?x)

y?f(x)???
原点
?y??f(?x)
注：
y?f(x)
直线
?
x?a
y?f(2a?x)

翻折：
y?f(x)?y?|f(x)|
保留
x
轴上方部分，
并将下方部分沿
x
轴翻折到上方
y
y=f(x)
y
y=|f(x)|
a
o
b
c
x
a
o

b
c
x
y?f(x)?y?f(|x|)
保留
y
轴 右边部分，
并将右边部分沿
y
轴翻折到左边
y
y=f(x)y
y=f(|x|)
a
o
b
c
x
a
o

b
c
x

3．零点定理
若
f(a)f(b)?0
，则
y?f(x)
在
(a,b)
内有零点
（条件：
f(x)
在
[a,b]
上图象连续不间断）
注：①
f(x)
零点：
f(x)?0
的实根
②在
[a,b]
上连续的单调函数
f(x)
，
f(a)f(b)?0

则
f(x)
在
(a,b)
上有且仅有一个零点








③二分法判断函数零点---
f(a)f(b)?0
？
六、三角函数
1．概念 第二象限角
(2k
?
?
?
2
,2k< br>?
?
?
)
(
k?Z
)
2．弧长
l?
?
?r
扇形面积
S?
1
2
lr

3．定义
sin
?
?
y
r

cos
?
?
x
r

tan
?
?
y
x

其中
P(x,y)
是
?
终边上一点，
PO?r

4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦”
5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”
如
Sin(2
?
?< br>?
)??sin
?
，
cos(
?
2?
?)??sin
?

6．特殊角的三角函数值
?

0
??
?
?
?
3
?
6

4

3

2


2

sin
?
0
1
23
2

2

2

1 0
?1

cos
?
1
32
2

1
?1
2
2

0

0
第 6 页 共 17 页

tg
?

7．基本公式
0
3

3
1
3

0
3sin
?
?cos
?
?2sin(
?
?)

6
a
asin< br>?
?bcos
?
?a
2
?b
2
sin(?
?
?
)

(tan
?
?)

?
同角
sin
2
?
?cos
2
?
?1< br>
sin
?
cos
?
?tan
?
< br>和差
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

cos< br>?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?< br>?sin
?
sin
?

tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?

倍角
sin2
?
?2sin
?
cos
?

co s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?

tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?

降幂cos
2
α=
1?cos2
?
2
1?cos2
?
2
sinα=
2

叠加
sin?
?cos
?
?2sin(
?
?
?
4
)

y=sinx y=cosx y=tanx
图
象




















8．三角函数的图象性质
单调性：
(?
?
,
?
22
)
增
注：
k?Z

b
(0,
?
)
减
(?
?
,
?
22
)
增
第 7 页 共 17 页

9．解三角形
基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC
tan(A+B)=-tanC
sin
A?BC
2
?cos
2

sinx cosx tanx
值域 [-1，1] [-1，1] 无
奇偶 奇函数 偶函数 奇函数
周期 2π 2π π
对称轴
x?k
?
?
?
2

x?k
?

无
中心
?
k
?
,0
?

?
?
2?k
?
,0
?

?
k
?
2,0
?

正弦定理：
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC

a?2RsinA

a:b:c?sinA:sinB:sinC

余弦定理：a
2
=b
2
+c
2
－2bccosA（求边）

cosA=
b
2
?c
2
?a
2
2bc
（求角）
面积公式：S
1
△
＝
2
absinC
注：
?ABC
中，A+B+C=？
A?B?sinA?sinB

a
2
＞b
2
+c
2
? ∠A＞
?
2


七、数 列
1、等差数列
定义：
a
n?1
?a
n
?d

通项：
a
n
?a
1
?(n?1)d

求和 ：
S
n(a
1
?a
n
)
n
?
2< br>
?na
1
1
?
2
n(n?1)d

中项：
b?
a?c
2
（
a,b,c
成等差） 性质：若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

2、等比数列
定义：
a
n?1
a
?q(q?0)
n

通项：
a
n?1
n
?a
1
q

?
na
1
(q
求和：
S?
?
?1)
?
a
n
n
1
(1?q)
?
?
1?q
(q? 1)

中项：
b
2
?ac
（
a,b,c
成等比）

第 8 页 共 17 页

性质：若
m?n?p?q
则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

3、数列通项与前
n
项和的关系
a
?
s
1
?a
1
(n?1)
n
?
?
?
s
n
?s
n?1
(n?2)

4、数列求和常用方法
公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法

八、平面向量
1．向量加减 三角形法则，平行四边形法则
AB?BC?
AC
首尾相 接，
OB?OC
=
CB
共始点
中点公式：
AB?AC?2A D?
D
是
BC
中点
2． 向量数量积
a?b
=
a?b?cos
?
=
x
1
x
2
?y< br>1
y
2

注：①
a,b
夹角：0
0
≤θ≤180
0
②
a,b
同向：
a?b?a?b

3．基本定理
a
?
?
?
????
1
e< br>1
?
?
2
e
2
（
e
1
,e
2
不共线--基底）
平行：
ab?
a?
?
b?
x
1
y
2
?x
2
y
1
（< br>b?0
）
垂直：
a?b?a?b?0
?x
1
x2
?y
1
y
2
?0

模：
a
?
＝
x
2
?y
2
?b
2

a?(a?b)
2
??


夹角：
cos
?
?
a?b
|a||b|

注：①
?
0
∥
a
②
a?
?
b ?c
?
?
?
a?b
?
?c
（结合律）不成立
③
a?b?a?c
?b?c
（消去律）不成立

九、复数与推理证明
1．复数概念
复数：
z?a?bi
(a,b
?R)
，实部a、虚部b
分类：实数（
b?0
），虚数（
b?0
），复数集C
注：
z
是纯虚数
?a?0
，
b?0

相等：实、虚部分别相等
共轭：
z?a?bi

模：
z?a
2
?b
2

z?z?z
2

复平面：复数z对应的点
(a,b)

2．复数运算
加减：（a+bi）±(c+di)=？
乘法：（a+bi）（c+di）=？
除法：
a?bi
c?di
=
(a?bi)(c?di)
(c?di)(c?di)
==…
乘方：i
2
??1
，
i
n
?i
4k?r
?i
r

3．合情推理
类比：特殊推出特殊
归纳：特殊推出一般

第 9 页 共 17 页

演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论）
4．直接与间接证明
综合法：由因导果
比较法：作差—变形—判断—结论
反证法：反设—推理—矛盾—结论
分析法：执果索因

分析法书写格式：
要证A为真，只要证B为真，即证……，
这只要证C为真，而已知C为真，故A必为真
注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程
5．数学归纳法：
(1)验证当n=1时命题成立,
(2)假设当n=k(k?N* ，k?1)时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立
由(1)(2)知这命题对所有正整数n都成立
注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用
十、直线与圆
1、倾斜角 范围
?
0,
?
?

斜率
k?tan
?
?
y
2
?y
1
xx

2
?
1
注：直线向上方向与
x
轴正方向所成的最小正角
倾斜角为
90?
时，斜率不存在
2、直线方程
点斜式
y ?y
0
?k(x?x
0
)
，斜截式
y?kx?b



两点式
y?y
1
y
?
x?x
1
， 截距式
x
?
y
?1

2
?y
1
x
2
?x
1
ab
一般式
Ax?By?C?0

注意适用范围：①不含直线
x?x
0

②不含垂直
x
轴的直线
③不含垂直坐标轴和过原点的直线
3、位置关系（注意条件）
平行
?
k
1
?k
2
且
b
1
?b
2

垂直
?
k
1
k
2
??1
垂直< br>?
A
1
A
2
?B
1
B
2
? 0

4、距离公式
两点间距离：|AB|=
(x
2
1?x
2
)?(y
1
?y
2
2
)
点到直线距离：
d?
Ax
0
?By
0
?C
A< br>2
?B
2

5、圆标准方程：
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2

圆心
(a,b)
，半径
r

圆一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
（条件是？）
圆心
?< br>?
?
D
,?
E
?
?
半径
r
D
2
?E
2
?4F
?
22
?
?
2



6、
位置关系 相切 相交 相离
直
几何特征
d?r

线
d?r

d?r

与
代数特征
△?0

△?0

△?0

圆
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位置关系
注：点与圆位置关系
(x?a)
2
?( y
2
r
2
00
?b)??
点
P
?
x
0
,y
0
?
在圆外
7、直线截圆所得弦长
AB?2r
2
?d
2



十一、圆锥曲线
一、定义
椭圆： |PF
1
|+|PF
2
|=2a(2a>|F
1
F
2
|)
双曲线：|PF< br>1
|-|PF
2
|=±2a(0<2a<|F
1
F
2
|)
抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹
二、标准方程与几何性质（如焦点在x轴）
x
2
y
2
椭圆
a
2
?
b
2
?1
( a>b>0)
x< br>2
y
2
双曲线
a
2
?
b
2
?1
(a>0,b>0)
中心原点 对称轴？ 焦点F
1
(c,0)、F
2
(-c,0)
顶点: 椭圆(±a,0),(0, ±b)，双曲线(±a,0)
范围: 椭圆-a?x?a,-b?y?b
双曲线|x| ? a，y?R
焦距：椭圆2c（c=
a
2
?b
2
）


双曲线2c（c=
a
2
?b
2
）
2a、2b:椭圆长轴、短轴长，
双曲线实轴、虚轴长
离心率：e=ca 椭圆01

x
2
注：双曲线
y
2< br>b
a
2
?
b
2
?1
渐近线
y??< br>a
x

方程
mx
2
?ny
2
?1< br>表示椭圆
?m?0,n?0.m?n

方程
mx
2
? ny
2
?1
表示双曲线
?mn?0

抛物线y
2
=2px(p>0)
顶点（原点） 对称轴（x轴）
开口（向右） 范围x?0 离心率e=1
焦点
F(< br>p
2
,0)
准线
x??
p

2

十二、矩阵、行列式、算法初步
1. 矩阵是记录和管理批量数据的一 种方法从具体问题人手，通过构造矩阵，利用矩阵的运算
解决问题．由
m?n
个数排成 的
m
行
n
列的矩形表
?
?
a
11
a
12
...a
1n
?
?
aa
?
?2122
...a
2n
?
............
?
称为一个
m
行
n
列的矩阵，简称
m?n
矩阵，用
A
m?n
表示，简
?
?
?
a
?
m1
a
m2
...a
mn
?
?
记为
A?(a
i j
)
m?n
或
A?(a
ij
)(i?1,2,...m;j ?1,2,...n)
，数
a
ij
称为矩阵
A
的元素。
第 11 页 共 17 页

矩阵的一行叫做矩阵的行向量，如
(1 ,?2)
；一列叫做矩阵的列向量，如
?
?
1
?
3
?
．
??
矩阵相等：若
A
m?n
?(a
ij
)
、
B
m?n
?(b
ij
)
是两个行 数与行数相等，列数与列数相等
的矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，即
a
ij
?b
ij
(i?1,2,L,m;j?1,2,L,n)
，称两矩阵相等 ，记作
A?B
．即
A?B
?a
ij
?b
ij

方阵：行数与列数相等的矩阵称为方矩阵，简称方阵．
单位矩阵：主对角线元素为1，其 余元素均为0的矩阵叫做
n
阶方阵，称为
n
阶单位阵．如
?
?
10
?
?
01
?
．
?
行矩阵：行数为1的矩阵．
列矩阵：列数为1的矩阵．
零矩阵：元素全为零的矩阵．
2. 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵
?
?
a
11
x
1
?a
12
x
2
?. ..?a
1n
x
n
?b
1
设线性方程组：
?
?
a
21
x
1
?a
22
x
2
? ...?a
2n
x
n
?b
2
；
?
...
?
?
a
m1
x
1
?a
m2
x2
?...?a
mn
x
n
?b
m
?
?
a
11
a
12
...a
1n
?
则矩阵A?
?
aa...a
?
?
21222n
?
?< br>............
?
称为线性方程组的系数矩阵；
?
?a
m1
a
m2
...a
?
mn
?
?< br>

?
?
a
11
a
12
...a< br>1n
b
1
?
则矩阵
A
=
?
aa?
2122
...a
?
2n
b
2
?
?
...............
?
称为线性方程组的增广矩阵；
?
?
a
m1
a
m2
...a
?
mn
bm
?
?
?
?
a
1j
?
?
其中
?
a
i1
a
i2
...a
?
a
?
in
?
，
?
2j
?
分别称为系数矩阵的行向量和列 向量；
?
...
?
?
?
amj
?
?
3. 矩阵的运算
（1）矩阵的加（减）法：
设矩阵
A?(a
ij
)< br>m?n
，
B?(b
ij
)
m?n
，
??
a
11
?b
11
a
12
?b
12< br>...a
1n
?b
1n
?
则
A?B?(ab
?
a
21
?b
21
a
22
?b
22
...a
?
2n
?b
2n
?
ij
?
ij
)?
?
?
............
?
，
??
a
m1
?b
m1
a
m2
?b
m2< br>...a
?
mn
?b
mn
?
?
?
?
a
11
?b
11
a
12
?b
12
...a
1n
?b
1n
?
A?B?(a
?
aa.. .a?b
?
?
21
?b
2122
?b
222n2n
?
ij
?b
ij
)?
?
............
?
，分别称为矩阵
A
?
?
a
m1
?bm1
a
m2
?b
m2
...ab
?
mn
?
mn
?
?
和
B
的和与差；
(2)矩阵的数乘：
设矩阵
A?(a
ij
)
m?n
，
k
为实数，
第 12 页 共 17 页

?
?
ka
11
ka
12
...ka
1n
?
?
则
kA?(ka
?
ka
21
ka
22
.. .ka
?
2n
?
?
ij
)?
?
?
............
?
，称为数
k
与矩阵
A
的乘积矩 阵；
?
?
ka
m1
ka
m2
...ka?
?
mn
?
?
(3)矩阵的乘法：
设矩阵
A?
?
a
ik
?
m?s
,B?
?
b
kj
?
s?n
,C?
?
c
ij
?
m?n
，s
c
ij
?a
i1
b
1j
?a
i2< br>b
2j
?a
i3
b
3j
?...?a
is< br>b
sj
?
?
a
ik
b
kj
，则称矩 阵
C
为矩阵
A
和
B
k?1
的乘积，记作
C ?AB
；

2.行列式的概念
二阶行列式定义：
a
1< br>b
1
a
b
1
b
1
2
?a
2
b
1
；
a
b
1
叫做
2
b
?a
1
2
a
2
b
叫做二阶行列式，
a
1< br>b
2
?a
2
2
行列式
a
1
b
1
a
的展开式，
a
1
b
2
?a
2
b
1
的计算结果叫做行列式的值，
a
1
,a
2
, b
1
,b
2
都叫做
2
b
2
行列式的元素；
三阶行列式定义：
a
1
b
1
c
1
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
?a
1
b
2
c
3
?a
2
b< br>3
c
1
?a
3
b
1
c
2
? a
3
b
2
c
1
?a
2
b
1
c
3
?a
1
b
3
c
2
；
a2
b
2
c
2
a
3
b
3
c3
a
3
b
3
c
3
叫做三阶行列式，
a
1
b
2
c
3
?a
2
b
3
c
1
?a
3
b
1
c
2
?a
3b
2
c
1
?a
2
b
1
c
3< br>?a
1
b
3
c
2
叫做三阶行列式
的展开式，
a
i
,b
i
,c
i
(i?1,2,3)
都 叫做三阶行列式的元素；


一般地，把三阶行列式中某个元素
a
ij
所在的行和列划去，将剩下的元素按原来的位置关系
组成的二阶行列式叫做该元素的余子式 ，在余子式前添上
(?1)
i?j
叫做元素
a
ij
的代数余 子
式，记作
A
ij
．
2. 三阶行列式的展开方法：
对角线法：【三阶行列式的两种展开方法：
1°按对角线展开

2°按一行（或一列）展开
可以按其任意一行（或一列）展开成该行（或该列）元素与其对应 的代数余子式的乘积
a
1
b
1
c
1
之和．例如：< br>a
2
b
2
c
2
按第一列展开
?a
1
A
1
?a
2
A
2
?a
3
A
3
，其中
A
1
?
b
2
c
2
ab
b
3
c
，
3
33
c
3
A
c
1
2
??
b
1
b
，
A
b
1
c
1
3
?
3
c
3
b
2
c
，它们分别是元素
a
1
,a
2
,a
3
的代数余子式．】
2
3. 二阶行列式与二元一次方程组
设二元一次方程组
?
?
a
1
x?b
1
y?c
1
，它的系数 行列式为
a
1
b
1
?
ab
D?

2
x?
2
y?c
2
a
2
b
，
2< br>第 13 页 共 17 页

记
D
x
?< br>c
1
b
1
，
D
y
?
a
1< br>c
1
，即用常数项替换系数行列式中
x
的系数列或
y
的
当
D?0
，
D
x
,D
y
,D
z
不全为零时，方程组无解．
c
2
b
2
a
2
c
2
系数列． < br>?
x
D
x
0
?
当
D?
时，方程组有 唯一解
?
?
?
D
．
?
y?
D
y
?
?D
当
D?D
x
?D
y
?0
时 ，方程组有无穷多组解．
当
D?0
，
D
x
?0
或
D
y
?0
时，方程组无解．
4. 三阶行列式与三元一次方程组
?
a
1
x?b
1
y?c
1
z?
设 三元一次方程组
?
d
1
?
a
2
x?b
2< br>y?c
2
z?d
，它的系数行列式为
?
2
?
a
3
x?b
3
y?c
3
z?d
3
a
1
b
1
c
1
D?a
2
b
2
c< br>2
，
a
3
b
3
c
3
d
1
b
1
c
1
a
1
d
1
c
1
a
1
b
1
记
D
x
?d
2
b
2
c
2
，
D
y
?a
2
d
2
c
2
，
D
z
?a
2
b
2d
3
b
3
c
3
a
3
d
3c
3
a
3
b
3
即用常数项替换系数行列式中
x
、
y
或
z
的系数列．
当
D?0
时，方程 组有唯一解
x?
D
x
,y?
D
y
,z?
D
z
DDD
．

当
D?D
x
?D
y
?D
z
?0
时，方程组或者无解或者有无穷多组解．
注意：(1)经过往年高考试题分析代数余子式这个知识点常考，一般是
出在填空题； (2 )二元一次方程组
?
?
a
1
x?b
1
y?c
1
ax?b
（
?
）的解的判别：
?
22
y?c< br>2
（i）D≠0,方程组（
?
）有唯一解.（ii）D=0：①
D< br>x
、D
y
中至少有
一个不为零，方程组（
?
）无解； ②
D
x
?D
y
?0
，方程组（
?
）有无< br>穷多解。
算法初步
1.算法的表述：主要有三种表述方法：（1）通常语言（2）程序框图（3）
计算机程序 < br>2.算法的思想方法：主要是将接替过程数值化、程序化、机械化的方
d
1
法。
d
2
，
d
3
3.高考每年必考一道填空题，学生大部分能做对，难度不大。

十三、立体几何
第 14 页 共 17 页

1．三视图 正视图、侧视图、俯视图
2．直观图：斜二测画法
?X
'
OY
''
=45
0

平行X轴的线段，保平行和长度
平行Y轴的线段，保平行，长度变原来一半
3．体积与侧面积
V
14
3
柱
=S
底
h V
锥 =
3
S
底
h V
球=
3
πR
S
2
圆锥侧
=
?
rl
S
圆台侧
=
?
(R?r)l
S
球表
=
4
?
R

4．公理与推论 确定一个平面的条件：
①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点
③两相交直线 ④两平行直线
公理：平行于同一条直线的两条直线平行
定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
5．两直线位置关系 相交、平行、异面
异面直线——不同在任何一个平面内
6．直线和平面位置关系

a?
?

aI
?
?A

a
?

7．平行的判定与性质
线面平行：
a
∥
b
，
b?
?
,a?
?
?
a
∥?

a
∥
?
，
a?
?
,
?< br>?
?
?b?
a
∥
b

?
a
面面平行：
b

?

AB
∥
?
，
AC
∥
?
?
平面
ABC
∥
?

?
∥
?
，
a?
?
?
a
∥
?

8．垂直的判定与性质
线面垂直：
p?AB,p?AC?p?面ABC

面面垂直：
a?
?
, a?
?
?
?
?
?

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直；
若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线
的直线与另一个平面垂直
P
三垂线定理：
O
PO?
?
,AO?a?PA?a

A
PO?
?
,PA?a?AO?a

?
a
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也
和这条斜线垂直 逆定理？
9．空间角、距离的计算
异面直线所成的角 范围（0°，90°]
平移法：转化到一个三角形中，用余弦定理
直线和平面所成的角 范围[0°，90°]
定义法：找直线在平面内射影，转为解三角形
二面角 范围[0°，180°]
第 15 页 共 17 页

定义法：作出二面角的平面角，转为解三角形
点到平面的距离
体积法-- 用三棱锥体积公式
注：计算过程，“一作二证三求”，都要写出
10．立体几何中的向量解法
cos
?
?cos?n
1
, n
2
?
或
?cos?n
1
,n
2
?

ruur
即二面角大小等于
?n
1
,n
2
?< br>或
?
??n
1
,n
2
?

点到面距离：
r
法向量求法：设平面ABC的法向量
n
=（x,y）
??
n?AB,n?AC

??
n?AB?0,n?AC?0
r
解方程组，得一个法向量
n

uruur
线线角：设
n
1
,n
2
是异面直线
l
1
,l
2
的方向向量，

A

?

C


B

r
若
n
是平面
?
的法向量，
AB
是平面
?
的一条斜线段，且
B?
?
，
uuu rr
AB?n
则点
A
到平面
?
的距离
d?

r
n
十四、计数原理
1. 计数原理 加法分类，乘法分步
2．排列组合 差异---排列有序而组合无序
．．．．
l
1,l
2
所成的角为
?
，则
cos
?
?cos? n
1
,n
2
?

ruur
即
l
1
,l
2
所成的角等于
?n
1
,n
2
?或
?
??n
1
,n
2
?

线面角：
r
设
n
是平面
?
的法向量，
AB
是平面< br>?
的
一条斜线，
AB
与平面
?
所成的角为
?
，
则
sin
?
?cos?n,AB??
n！

(n?m)！
n！
m
n(n?1)?(n?m?1)

C
n
==
m！?(n?m)！
1?2???m
m
公式
A
n
=
n(n?1)?(n?m?1)
=
关系：
A
n
mm
?m！?C
n

AB?n
AB?n

性质：
C
n
=
C
n
m
n?m

C
n
01
?C
n
?C
n
2
??? C
n
n
?2
n

3．排列组合应用题
原则：分类后分步，先选后排，先特殊后一般
解法：相邻问题“捆绑法”，不相邻“插空法”
复杂问题“排除法”
uruur
二面角：设
n
1
,n2
是面
?
,
?
的法向量，二面角
?
?l??
的大小为
?
，则

第 16 页 共 17 页

4．二项式定理
(a?b)
n
?C
01n?1n? 2
n
a
n
?C
n
ab?C
2
n
a b
2
???C
r
n
a
n?r
b
r
???C
n
n
b
n

特例
(1?x)
n< br>?1?C
1
C
rrn
n
x?L?
n
x?L? x

通项
T
rn?rr
r?1
?C
n
ab
(r?0，1，2?，n)

注
C
r
n
---第
r?1
项二项式系数
性质：所有二项式系数和为
2
n

中间项二项式系数最大
赋值法：取
x?0,1,?1
等代入二项式
十五、概率与统计
1 ．古典概型：
P(A)?
m
A包含的基本事件个数
n
（
总的 基本事件个数
）
求基本事件个数：列举法、图表法
2．几何概型：
P?
A
?
?
A的区域长度（面积或体积）
区域总长度（面积或体积 ）

注：试验出现的结果无限个
3．加法公式：若事件
A
和
B
互斥，则
P
?A?B
?
?P
?
A
?
?P
?
B
?

P
?
A
?
?1?P
?
A
?

互斥事件:不可能同时发生的事件
对立事件:不同时发生，但必有一个发生的事件
4．常用抽样（不放回）
简单随机抽样：逐个抽取（个数少）
系统抽样：总体均分，按规则抽取（个数多）
分层抽样：总体分成几层，各层按比例抽取（总体差异明显）


5．用样本估计总体
众数：出现次数最多的数据
中位数：按从小到大，处在中间的一个数据（或中间两个数的平均数）
：
x?
1
n
?
n
平均数
x
i
i?1

方差
S
2
?
1
n
?
n
(x
i?x)
标准差
s

i?1
6．频率分布直方图
小长方形面积=组距×
频率
组距
=频率
各小长方形面积之和为1
众数—最高矩形中点的横坐标
中位数—垂直于
x
轴且平分直方图面积的直线与
x
轴交点的横坐标
茎叶图：由茎叶图可得到所有的数据信息如
众数、中位数、平均数等

第 17 页 共 17 页