高中数学必修三最全知识点汇总-高中数学必修三知识点

的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
分析：（略）
3、辗转相除法与更相减损术的区别：
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以 除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转
相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别 较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则 得到，而更相减损术则以减数与差相
等而得到
1.3.2秦九韶算法与排序
1、秦九韶算法概念：
f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+….+a
1
x+a
0
求值问题
f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+….+a
1
x+a
0
=( a
n
x
n- 1
+a
n-1
x
n-2
+….+a
1
)x+a0
=(( a
n
x
n-2
+a
n-1
xn-3
+….+a
2
)x+a
1
)x+a
0

=......=(...( a
n
x+a
n-1
)x+a
n-2
)x+...+a
1
)x+a
0

求多项式的值时， 首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v
1
=a
n
x+a
n-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v
2
=v
1
x+a
n-2
v
3
=v
2
x+a
n-3
......

v
n
=v
n-1
x+a
0
这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序
1、直接插入排序
基本思想：插入排 序的思想就是读一个，排一个。将第１个数放入数组的第１个元素中，以后读入的数与
已存入数组的数进 行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置．将该位置以及以后的元素向后推移一
个位置，将读入的 新数填入空出的位置中．（由于算法简单，可以举例说明）
2、冒泡排序
基本思想：依次比 较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1个数和第2个数,大数放前,
小数放后. 然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重
复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数...... 由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡
上升,所以叫冒泡排序.
1.3.3进位制
1、概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的 数值。可使用数字符号的个数称
为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进 制，通常使用10个阿拉伯数字0-9

进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进 位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，
也可以用八进制表示为71、用十 六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：
a
na
n?1
...a
1
a
0(k)
(0?a
n< br>?k,0?a
n?1
,...,a
1
,a
0
?k)< br>，
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001
(2)
表示二进制数,34
(5)
表示5进制数







第二章 统计
2.1.1简单随机抽样
1．总体和样本
在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．
把每个研究对象叫做个体．
把总体中个体的总数叫做总体容量．
为了研究总体的有 关性质，一般从总体中随机抽取一部分：
研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．
2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随
机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独
立 ，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之
间 差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
3．简单随机抽样常用的方法：
（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容 量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证
， ， ，

程度。
4．抽签法:
（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；
（2）准备抽签的工具，实施抽签
（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查
例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。
5．随机数表法：
例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。
2.1.2系统抽样
1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：
把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按 照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采
用简单随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）=N（总体规模）n（样本规模）
前提条件：总体中个体的排列对于研究的变 量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规
则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样 本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说
明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这 种循环和抽样距离重合。
2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样 框的要求较低，实施也比较简
单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体 单元按辅助变量的大小顺序排
队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。
2.1.3分层抽样
1．分层抽样（类型抽样）：
先将总体中的所有单位按照某种 特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个
类型或层次中采用简单随机抽样或系 用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体
的样本。
两种方法：
1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
2．先以 分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的
方法抽取样 本。
2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样 本分别代
表该子总体，所有的样本进而代表总体。

分层标准：
（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。
（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
3．分层的比例问题：
（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。
（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法， 主要
是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要先 对各
层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
1、本均值：
x?
x1
?x
2
?
?
?x
n

n
2
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?
?
?(x
n
?x)
2
2、．样本标准差：
s? s?

n
3．用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的 信息，但从样本得到的信息会
有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。
虽然我们用样 本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估
计，但这种估 计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。
4．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变
（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍
（3） 一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间
(x?3s,x?3s)
的应用；
“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理
2.3.2两个变量的线性相关
1、概念:
（1）回归直线方程（2）回归系数
2．最小二乘法
3．直线回归方程的应用
（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进
行估 计，即可得到个体Y值的容许区间。

（3）利用回归方程进行统计控制规 定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如已
经得到了空气中NO
2
的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO
2
的浓度。
4．应用直线回归的注意事项
（1）做回归分析要有实际意义；
（2）回归分析前,最好先作出散点图；
（3）回归直线不要外延。






第三章 概 率
3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义
1、基本概念：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（ 5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出
现 的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例
n
A
fn(A)=
n< br>为事件A出现的概率：对于给定的随机
事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），
称为事件A的概率。
（6）频率与概率 的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n
n
A
的比值
n
，它
具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种 摆动幅度越来越小。我们
把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的 大小。频率在大量重复试
验的前提下可以近似地作为这个事件的概率

3.1.3 概率的基本性质
1、基本概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B
为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
2、概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；
4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是 指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体
包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B 不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A
与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事
件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不 发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
A包含的基本事件数
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
总的基本事件个数

3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
1、基本概念：
（1）几何 概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称
这样的概率 模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
构成事件A的区域长度（面积或体积）
的区域长度（面积或体积）
P（A）=
试验的全部结果所构成
；
（2） 几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件 出现
的可能性相等．