[高中数学知识点总结(最全版)] 高一数学知识点总结全

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数学知识点总结第 - 1 - 页 共 105 页引言1.课程
内容：必修课程由 5 个模块组成：必修 1：集合、函数概念与基本
初等函数（指、对、幂函数）必修 2：立体几何初步、平面解析几何
初步。必修 3：算法初步、统计、概率。必修 4：基本初等函数（三
角函数） 、平面向量、三角恒等变换。必修 5：解三角形、数列、
不 等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中
阶段传统的数学基础知识和基本技能的 主要部分，其中包括集合、函
数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发
展过程和实际应用，而不在技巧 与难度上做过高的要求。此外，基础
内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有 4 个系
列：系列 1：由 2 个模块组成。选修 1—1：常用逻辑用语、圆锥曲
线与方程、导数及其应用。选修 1—2：统计案例、推理与证明、数
系的扩充与复数、框图系列 2：由 3 个模块组成。选修 2—1：常用
逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修 2—2：导
数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修 2—3：计数原理、
随机变量及其分布列，统计案例。系列 3：由 6 个专题组成。选修 3
—1：数学史选讲。选修 3—2：信息安全与密码。选修 3—3：球面
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上的几何。选修 3—4：对称与群。选修 3—5：欧拉公式与闭曲面分
类。选修 3—6：三等分角与数域扩充。系列 4：由 10 个专题组成。
选修 4—1：几何证明选讲。选修 4—2：矩阵与变换。选修 4—3：
数列与差分。选修 4—4：坐标系与参数方程。选修 4—5：不等式选
讲。选修 4—6：初等数论初步。选修 4—7：优选法与试验设计初步。
选修 4—8：统筹法与图论初步。选修 4—9：风险与决策。选修 4
—10：开关电路与布尔代数。2． 重难点及考点：重点：函数，数列，
三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数第 - 2 - 页 共 105
页难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易逻辑:集合的
概念与运 算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式
与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、 函数图象、指数与指数
函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等
差数 列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、
同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公 式、求值、化简、证明、三
角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等
运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等
式、不等式的证明、不等式的解法、 绝对值不等式、不等式的应用⑺
直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线
与圆锥曲线的位置关系、轨迹问 题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、
简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球 、
空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其
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应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿
导数 ：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算高
中数学 必修 1 知识点 第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合
【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有 确定
性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法表示自然数集， 或 表
示正整数集， 表示整数集， 表示有理数集， 表示实数集.NNZQR
（3）集合与元素间的关系对象 与集合 的关系是 ，或者 ，两者必
居其一 .aMaaM（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在
大括号内表示集合.③描述法： { | 具有的性质}，其中 为集合的代
表元素 .xx第 - 3 - 页 共 105 页④图示 法：用数轴或韦恩图来表
示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含
有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集
( ).
【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称 记
号 意义 性质 示意图子集BA
B(1)A A
（或 )A 中的任一元素都属于
A(B)或B A(2)(3)若 且 ，则BCA
（或B A）
(4)若 且 ，则 B
真子集A B，且 B 中至少有一元素不属于 A
B A集合相等
(2)B
（1） （A 为非空子集）(2)若 且 ，则BC
A 中的任一元素都属于 B，B 中的任一元素都属于 A(1)A B
AA(B)（7）已知集合 有 个元素，则它有 个子集，它有 个真子集，
它有 个非空子集，它有(1)n

2n21n
3
21n非空真子集.2n

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【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称 记号 意义 性
质 示意图交集 AB
BA并集 AB
集 UA?{|,}xA
共 105 页
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝
对值的不等式的解法不等式 解集|(0)xa
-,|(0)axbcc
{|}xa|或|
|xa型不等式
0
且{|,xA}（1） A（2） （3） B
BA补或{|,xA}（1） A
?2
（2） （3） B
A()()UU且1 ()UA?第 - 4 - 页
把 看成一个整体，化成 ，axb
来求解|(0)（2）一元二次不等式的解法判别式 24bac
0
20()axbca
二次函数 2(0)yx
的根21,24bacx
{|x}2
的图象O =OL O一元二次方程
（其中 12)x
R20()axbca
12bxa
的解集无 实根2()的解集或1{|x2}
12|x〖1.2〗函数及其表示
【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设 、 是两个非空的数集，
如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个数 ，在集合 中都有
ABfAxB唯一确定的数 和它对应，那么这样的对应（包括集合 ， 以
及 到 的对应法则 ）叫做集合()fx Bf到 的一个函数，记作 ．:fAB
②函数的三要素:定义域、 值域和对应法则．③只有定义域相同，
且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及 表示
法①设 是两个实数，且 ，满足 的实数 的集合叫做闭区间，记做 ；
满足,ababxbx[,]ab第 - 5 - 页 共 105 页的实数 的集合叫
做开区间，记做 ；
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满足 ，或 的实数 的集合叫做半开axb
闭区间，分别记做 ， ；
满足 的实数 的集合分别记做[,)ab(,],x
x(,)abxbaxbx半
． [,)(,]注
意：对于集合 与区间 ，前者 可以大于或等于 ，而后者必须{|}x
(,)abb， （前者可以不成立，为空集；
而后者必须成立） ．ab（3）求函数的定义域时，一般遵循以下
原则：① 是整式时，定义域是全体实数．()fx② 是分式函数时，定
义域是使分母不为零的一切实数．③ 是偶次根式时，定义域是使被
开方式为 非负值时的实数的集合．()fx④对数函数的真数大于零，当
对数或指数函数的底数中含变量时，底数 须大于零且不等于 1．⑤
中， ．tany()2kZ⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦
若 是由有限个基本初等函数的四则运算而 合成的函数时，则其定义
域一般是各基本初等函数的定义()fx域的交集．⑧对于求复合函数
定义域问题，一般步骤是：若已知 的定义域为 ，其复合函数 的定
义()fx[,]ab[()]fgx域应由不等式 解出．()agxb⑨对于含字母参
数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨
论．⑩由实际问题确定的函数，其定 义域除使函数有意义外，还要符
合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法< br>和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中
存在一个最小（大）数，这个 数就是函数的最小（大）值．因此求函
数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数 值
域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通
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过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变
量的 平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或
最值．③判别式法：若函数 可以化成一个系数含有 的关于 的二次
方程 ，()yfxyx2()()0ayxbcy则在 时，由于 为实数，故必
, 2()4()0bac须有 ，从而确定函数的值域或最值．()0ay< br>④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：
通过变量代换达到化繁为简、化 难为易的目的，三角代换可将代数函
数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和
它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数
形结合法：利用函数图象或 几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数
的单调性法．第 - 6 - 页 共 105 页
【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用
的有解析法、列表法、图象法 三种．解析法：就是用数学表达式表示
两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量 之
间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关
系．（6）映射的概念①设 、 是两个集合，如果按照某种对应法则 ，
对于集合 中任何一个元素，在集合 中都有唯一的ABfAB元素和它对
应，那么这样的对应（包括集合 ， 以及 到 的对应法则 ）叫做集
合 到 的映射，ABfA记作 ．:f②给定一个集合 到集合 的映射，
abb且 ．如果元素 和元素 对应，那么我们把元素 叫做元AB,ab
素 的象，元素 叫做元素 的原象．ab〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方
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法函数的性 质 定义 图象 判定方法如果对于属于定义域 I内某个
区间上的任意两个自变量的值 x1、x 2,当x1f(x2)，那么就说 f(x)
在这个区间上是减函数．y=f(X)yxo x x2f(x ) f(x )1（1）利用 定
义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象
下降为减）（4）利用 复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是
增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函 数为增函数，
减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数 ，令 ，若 为增，
为增，则 为增；
若[()]yfgx
增；
若 为增， 为减，则()yfu[]ff()u为减；
()ugx()yfu()gx[()]yfgx为减， 为减，则 为
若 为减， 为增，则 为减．[]gx()yf()x[()]yx第 - 7 - 页 共 105
页（2）打“√”函数 的图象与性质()(0)afx
为增函数，分别在()fx,]
分别在 、 上
[,、 上为减函数．[,0a(（3）最大（小）
I满值定义①一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数()yfx
足：（1）对于任意的 ，都有 ；
M()fxM（2）存在 ，使得 ．那么，我们称 是0 xI0()fx函数 的
②一般地，设函数 的定义域为 ，如果存
；
最大值，记作 ．()fma
在实数 满足：（1）对于任意的 ，都有()yfxImxI
（ 2）存在 ，使得 ．那么，我们称 是函数 的最小值，记作()fxm
0I0()fx()f．a
【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性 质 定
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义 图象 判定方法如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有
f(－x)=－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数．（1）利用定义（要先判
断定义域是否关于 原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）函
数的奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(－
x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数．（1）利 用定义（要先判断定义
域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）②若函
数 为奇函数，且在 处有定义，则 ．()fx0 x(0)f③奇函数在 轴
两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 轴两侧相对称的区间增减
性相反．y y④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或
差）仍是偶函数（或奇函数） ，两个偶函数（ 或奇函数）的积（或
商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补
充知 识〗函数的图象yxo第 - 8 - 页 共 105 页（1）作图利用描点
法作图：①确定函数的定义域；

②化解函数解析式；
③讨论函数的性质（奇偶性、单调性） ；

④画出函数的图象．利用基本函数图 象的变换作图：要准确记忆一次
函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换 0,|() ()hyfxyfxh




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左 移 个 单 位右 移 个 单 位
上 移 个 单

0,|() ()kyfxyfxk

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位下 移 个 单 位②伸缩变换1,()()ff
0,Ayxyx
轴 ()()yfxfx




伸缩
缩伸③对称变换()()xff
轴yyx




原 点 1
直 线() (|)yfx yfx
去 掉 轴 左 边 图 象保 留 轴 右 边 图 象 ， 并 作 其
关 于 轴 对 称 图 象|()|xy fx
保 留 轴 上 方 图 象将 轴 下 方 图 象 翻 折 上 去（2）识图对
于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下 分别范围、变化趋势、
对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象
与函 数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的
性质，为研究数量关系问题提供了“形 ”的直观性，它是探求解题途
径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第
二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果 ，且 ，那么
叫做 的 次方根．当 是奇数时， 的 次方根,,1nxaRxn
xanan用符号 表示；
当 是偶数时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符
号 表示；
an 0 的 次方根是 0；
N
负数 没有 次方根．②式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被
开方数．当 为奇数时， 为任意实数；
当 为偶nannan数时， ．③根式的性质：
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；
当 为奇数时， ；
当 为偶数时， ()nana第 - 9 - 页 共 105 页． (0)| na
（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义
是：
且 ．0 的正分数指数幂等于 0．(0,,mnanN
负分数指数幂的意义是：
且 ．0 的负分数指数 1))(,,mna )n幂没有意义． 注意口诀：
1)②正数的
底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质① ②
(0,)rsrsaR()(0,)rsrasR③ ()rrbbr
【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称 指数函数定义 函
数 且 叫做指数函数(0 xya1)101a图象定义域 R值域 (0,)
1y奇偶性 非奇非偶过定点 图象过定点 ，即当 时， ．,1x
单调性 在 上是增函数R在 上是减函数R函数值的变化情况
1(0)()xxa(0)1()xxa变化对 图象的影响a在第一象限
内， 越大图象越高；
在第二象限内， 越大图象越低．aa〖2.2〗对数函数01xy
x(,)O101xx(,)Oy


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