高中数学学业水平测试总复习-必修三高中数学对高考
高中数学函数知识点总结
1.
对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
2
进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
2
如：集合A?x|x?2x?3?0，B?
?
x|ax?1
?
??
若B?A，则实数a的值构成的集合为
3. 注意下列性质：
（1）集合
?
a
1
，a
2
，??，a<
br>n
?
的所有子集的个数是2
n
；
要知道它的来历
：若B为A的子集，则对于元素a
1
来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2
, a
3
,??
a
n
,都有2种选择，所以，总共有
2
种选择， 即集合A有
2
个子集。
当然，我们也要注意到，这<
br>2
种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为
2?1，
非空真子集个数为
2?2
n
nn
nn
（2）若A?B?A?B?A，A?B?B；
（3）德摩根定律：
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
，
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U<
br>A
?
?
?
C
U
B
?
有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂
4.
你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
如：已知关于x的不等式
ax?5
?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a
x
2
?a
的取值范围。
7.
对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应
能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
注意映射个数的求法
。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有n
m
个。
如：若
A?{1,2,3,4}
，
B?{a,b,c}
；问：
A到
B
的映射有 个，
B
到
A
的映射有
个；
A
到
B
的函数
有
个，若
A?{1,2,3}
，则
A
到
B
的一一映射有
个。
函数
y?
?
(x)
的图象与直线
x?a
交点
的个数为 个。
8.
函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
例：函数y?
x
?
4?x
?
lg
?
x?3
?
2
的定义域是
函数定义域求法：
? 分式中的分母不为零；
?
偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
10. 如何求复合函数的定义域？
如：函数f(x)的定义域是a，b，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定
义域是_____________。
例
若函数
y?f(x)
的定义域为
?
,2
?
，则
的定义域为 。
2
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例
求函数y=
??
?
1
?
??
1
的值域
x
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y
=
x
2
-2x+5，x
?
[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型
有时也可以用其他方法进行化简，不
必拘泥在判别式上面
b
型：直接用不等式性质
2
k+x
bx
b.
y?
2
型,先化简，再用均值不等式
x?mx?n
x11
例：
y???
1
2
1+x
2
x+
x
x
2
?m
?
x?n
?
c.. y?
2
型
通常用判别式
x?mx?n
x
2
?mx?n
d. y?型
x?n
法一：用判别式
a. y?
法二：用换元法，把分母替换掉
2
x
2
?x?1（x+1）?（x+1）+1
1
例：y???（x+1）??1?2?1?1
x?1x?1x?1
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学
过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三
角函数的单调性。
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用。
例 求函数y=x+
x?1
的值域。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例：求函数y=
倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例
求函数y=
12. 求一个函数的解析式时，注明函数的定义域了吗？
切记：做题，特别是做大题时，
一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，
与到手的满分失之交臂
如：f
(x?2)
2
+
(x?8)
2
的值域。
x?2
的值域
x?3
?
x?1?e
x
?x，求f(x).
?
15 .
如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
(1)定义法：
根据定义，设任意得x
1
,x
2
，找出f(x
1
),f(x
2
)之间的大小
关系
可以变形为求
f(x
1
)?f(x
2
)f(x
1
)
的正负号或者与1的关系
x
1
?x
2
f(x
2
)
(2)参照图象：
①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(
a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：
奇函数）
②若函数f(x)的图象关于直
线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：
<
br>偶函数）
(3)利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c
是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。
③如果函数f1(x)
，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）
④如果正值函
数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与
f2(x)同
向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）
⑤函数f(x)与
1
f(x)
在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ
(α)]同向变化，则在[α，
β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x
[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u
∈[φ(β)，φ(α)]反向变化
，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）
－1
⑦若函数y＝
f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x)
都是正
数
增 增 增 增 增
增 减
减
减 增 减
减 减 增 减 减
17. 函数f(x)具有奇偶性的条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）
若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称
若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶
函数；一个偶函数与奇函数的乘积
是奇函数。
（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。
（3）f（x）是定义域在（-6,0），（0，6）上的奇函数，若x＞0时f（x）=
求x＜0时f（x）
判断函数奇偶性的方法
一、 定义域法
一个函数是奇（偶）
函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于
原点对称
，则函数为非奇非偶函数.
二、 奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提
下，计算
f(?x)
，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
这种方法可以做如下变形
f(x)+f(-x) =0
奇函数
f(x)-f(-x)=0 偶函数
f(x)
?1
偶函数
f(-x)
f(x)
??1
奇函数
f(-x)
三、 复合函数奇偶性
f(g)
奇
奇
偶
偶
g(x)
奇
偶
奇
偶
f[g(x)]
奇
偶
偶
偶
f(x)+g(x)
奇
非奇非
偶
非奇非
偶
偶
f(x)*g(x)
偶
奇
奇
偶
18.
（若存在
实数T（T?0），在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x)，则f(x)为
周期
函数，T是一个周期。）
如：若f
?
x?a
?
??f(x)，则
我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时
说这个函数周期2t. 推
f(x)?f(x?t)?0
?
导：
f(x?t)
?f(x?2t)?0
?
??f(x)?f(x?2t)
，
?
同时
可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一
个意思：函数f(x)关于直线对称，
对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(
x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a
对称。
又如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b
即f(a?x)?f(a?x)
，f(b?x)?f(b?x)
?
f(x)?f(2a?x)
?
??
??
??f(2a?x)?f(2b?x)
?
f(x)?f(2b?x)
?<
br>令t?2a?x,则2b?x?t?2b?2a,f(t)?f(t?2b?2a)
即f(x)?
f(x?2b?2a)
所以,函数f(x)以2|b?a|为周期(因不知道a,b的大小关系,
为保守起见,我加了一个绝对值
如：
19.
你掌握常用的图象变换了吗？
f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称
联想点（x,y）,(-x,y)
f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称
联想点（x,y）,(x,-y)
f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称
联想点（x,y）,(-x,-y)
f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称
联想点（x,y）,(y,x)
f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称
联想点（x,y）,(2a-x,y)
f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称
联想点（x,y）,(2a-x,0)
将y?f(x)图象??????????<
br>左移a(a?0)个单位
右移a(a?0)个单位
y?f(x?a)
y?f(x
?a)
上移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b
??????????
下移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b
注意如下“翻折”变换：
f(x)???|f(x把)|轴下方的图像翻到上面x
f(x)??
?f(|x把|)轴右方的图像翻到上面y
19.
(k<0) y
(k>0)
y=b
O’(a,b)
O x
x=a
（1）一次函数：y?kx?b
?
k?0
?
（2）反比例函数：y?
的双曲线。
(k为斜率，b为直线与y轴的交点)
kk
?
k?0
?
推
广为y?b?
?
k?0
?
是中心O'(a，b)
xx?a
2
b
?
4ac?b
2
?
（3）二次函数y?ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?x?图象为抛物线
?
?
?
2a
?
4a
2
?
b4ac?b
2
?
b
顶点坐标为
?
?，
?
，对称轴x??
4a
?
2a
?
2a
开口方向：a?0，向上，函数y
min
4ac?b
2
?
4a
a?0，向下，y
max
4ac?b
2
?
4a
根的关系：x?
?b?
?
2a
bc
?
x
1
?x
2
??,x
1
?x
2
?,|x
1
?x
2
|?
aa|a|
二次函数的几种表达形式：
f(x)?ax
2
?bx?c(一般式)<
br>f(x)?a(x?m)
2
?n(顶点式，（m，n）为顶点
f(x)?a(x
?x
1
)(x?x
2
)(x
1
,x
2
是方
程的2个根）
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)?h(函数经
过点（x
1
,h)(x
2
,h)
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax<
br>2
?bx?c?0，??0时，两根x
1
、x
2
为二次函数y
?ax
2
?bx?c的图象与x轴
的两个交点，也是二次不等式ax
2
?bx?c?0(?0)解集的端点值。
②求闭区间［m，n］上的最值。
b
）
fmax?f(m),fm?infn()
2a
b
区间在对称轴右边（m??）
fmax?f(n),fm?infm()
2a
b
?m）
区间在对称轴2边 （n??
2a
4
a
c?b
2
fmin?f,ma?xmfamx(
f(n),())
4a
也可以比较m,n和对称轴的关系，距离越远，值越大
区间在对称轴左边（n??
(只讨论a?0的情况）
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
?
??0
?
?
b
2
如：二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k?
?
??k
2a
?
?
?
f(k)?0
y
(a>0)
O k x
1
x
2
x
一根大于k，一根小于k?f(k)?0
?
??0
?
b
?
?n
?
m??
在区间（m，n）内有2根?
?
2a
x
（4）指数函数：y?a
?
a?0，a?1
?
?
f(m)?0
?
?
?
f(n)?0
在区间（m，n）内有1根?f(
m)f(n)?0
（6）“对勾函数”y?x?
k
?
k?0
?
x
利用它的单调性求最值
y
?k
O
k
x
21. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)
?f(y)，证明f(x)为奇函数。
（先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??）
（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。
（先令x?y??t?f
?
(?t)(?t)
?
?
f(t·t)
∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)
∴f(?t)?f(t)??）
（3）证明单调性：f(x
2
)?f
?
x
2
?x
1
?
?x
2
???
??
（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了
1、 代y=x，
2、
令x=0或1来求出f(0)或f(1)
3、
求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x
1
几类常见的抽象函数
1. 正比例函数型的抽象函数
f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）
2.
幂函数型的抽象函数
f（x）＝x
a
----------------f（xy）＝
f（x）f（y）；f（
xf(x)
）＝
yf(y)
例1已知函数f（x）
对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝
－2求f(x)
在区间[－2,1]上的值域.
例2已知函数f（
x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝
5，求不
等式 f（a
2
－2a－2）<3的解.
例
3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9
，当0≤x＜1时，
f（x）∈[0，1].
（1） 判断f（x）的奇偶性；
（2） 判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；
（3）
例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x
1
≠x
2
，使得f（x
1
）≠f（x
2
）；对任何x和y，
f（x＋y）＝
f（x）f（y）成立.求：
（1） f（0）；
（2）
对任意值x，判断f（x）值的符号.
例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）
f（b），a、b∈N；③f（2）
＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明
理由.
例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x
）＋f（y），f（3）＝1，求：
（1） f（1）；
（2）
若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.
例7设函数y＝ f（x）的反函数是
y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是
否正
确，试说明理由.
例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），
（1）
求证：f（1）＝f（－1）＝0；
（2） 求证：f（x）为偶函数；
（3） 若f（x
）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－
若a≥0且f（a＋1）≤
39
，求a的取值范围.
1
）≤0.
2
例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0
时，f（x）＞1，求
证：
（1） 当x＞0时，0＜f（x）＜1；
（2）
f（x）在x∈R上是减函数.
练习题：
1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ）
（A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1
（C）f（0）＝0或1 （D）以上都不对
2.
若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（ ）
（A）f（1）＝0 （B）f（
1
）＝
f（x）
x
（C）f（
x
）＝ f（x）－f（y）
（D）f（x
n
）＝nf（x）（n∈N）
y
3.已知函数
f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞
1，则当x＞0
时，f（x）的取值范围是（ ）
（A）（1，＋∞）
（B）（－∞，1）
（C）（0，1）
（D）（－1，＋∞）
4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x
1、x
2
都有
f（x
1
－x
2
）＝
f
(x
1
)?f(x
2
)
，则f（x）为（ ）
1?f(x
1
)f(x
2
)
（A）奇函数非偶函数
（B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）
]，则函数f（x）是（ ）
（A）奇函数非偶函数
（B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
函数
1. 函数的奇偶性
（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)
=
（2）若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则
（可用于求参数）；
（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或 （f(x)≠0）;
(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；
（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
2. 复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：若已知 的定义域为［a，b］,其
复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；若
已知f[g(x)]的定义域
为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域（即
f(x)的定义域）；研究函数的问题一定要
注意定义域优先的原则。
（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定；
3.函数图像（或方程曲线的对称性）
(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上； <
br>（2）证明图像C
1
与C
2
的对称性，即证明C
1
上
任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C
2
上，反之亦然；
（3）曲线C1
：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C
2
的方程
为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);
（4）曲线C
1
:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C
2
方程为：f(2a－x,2b－y)=
0;
（5）若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a－x)恒成立，则y=f(x)图
像关于直线x=a对称；
（6）函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=
对称；
4.函数的周期性
(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x－a)
或f(x－2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数；
（2
）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数；
（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数；
（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数；
的周期函数； （5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(
x)是周期为2
（6）y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)=
5.方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域)；
6.a≥f(x) 恒成立
a≥［f(x)］
max,
; a≤f(x) 恒成立
，则y=f(x)是周期为2
的周期函数；
a≤［f(x)］
min
;
7.（1）
(a>0,a≠1,b>0,n∈R
+
); (2) l og
a
N=
( a>0,a≠1,b>0,b≠1);
(3) l og
a
b的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a
log a N
= N (
a>0,a≠1,N>0 );
8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A中元素必须都有象
且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素
在B中可以有相同的象；
9.
能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
10.对于反函数，应掌握以下一
些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域
为非
单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性
；(5) y=f(x)
－－
与y=f
-1
(x)互为反函数，设f(x)的
定义域为A，值域为B，则有f[f
-1
(x)]=x(x∈B),f
-1
[
f(x)]=x(x∈A).
11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值
，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴
与所给区间的相对位置关系；
12.
依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题： (或
（或
）；
13.
恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解；