高中数学函数知识点总结(全)

高中数学函数知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
2

如：集合A?x|x?2x?3?0，B?
?
x|ax?1
?

??

若B?A，则实数a的值构成的集合为
3. 注意下列性质：

（1）集合
?
a
1
，a
2
，??，a< br>n
?
的所有子集的个数是2
n
；

要知道它的来历 ：若B为A的子集，则对于元素a
1
来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2
, a
3
,??
a
n
,都有2种选择，所以，总共有
2
种选择， 即集合A有
2
个子集。
当然，我们也要注意到，这< br>2
种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为
2?1，
非空真子集个数为
2?2

n
nn
nn
（2）若A?B?A?B?A，A?B?B；

（3）德摩根定律：
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
，
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U< br>A
?
?
?
C
U
B
?

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式
ax?5
?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a

x
2
?a
的取值范围。



7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应
能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
注意映射个数的求法 。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有n
m
个。
如：若
A?{1,2,3,4}
，
B?{a,b,c}
；问：
A到
B
的映射有 个，
B
到
A
的映射有 个；
A
到
B
的函数
有 个，若
A?{1,2,3}
，则
A
到
B
的一一映射有 个。
函数
y?
?
(x)
的图象与直线
x?a
交点 的个数为 个。



8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数y?
x
?
4?x
?
lg
?
x?3
?
2
的定义域是

函数定义域求法：
? 分式中的分母不为零；
? 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定
义域是_____________。
例 若函数
y?f(x)
的定义域为
?
,2
?
，则 的定义域为 。
2

11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=
??
?
1
?
??
1
的值域
x
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y =
x
2
-2x+5，x
?
[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型 有时也可以用其他方法进行化简，不
必拘泥在判别式上面
b
型：直接用不等式性质
2
k+x
bx
b. y?
2
型,先化简，再用均值不等式
x?mx?n
x11
例： y???
1
2
1+x
2
x+
x
x
2
?m
?
x?n
?
c.. y?
2
型 通常用判别式
x?mx?n
x
2
?mx?n
d. y?型
x?n
法一：用判别式
a. y?
法二：用换元法，把分母替换掉
2
x
2
?x?1（x+1）?（x+1）+1 1
例：y???（x+1）??1?2?1?1
x?1x?1x?1





5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学 过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三
角函数的单调性。

6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容



7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用。
例 求函数y=x+
x?1
的值域。

8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例：求函数y=






倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例 求函数y=



12. 求一个函数的解析式时，注明函数的定义域了吗？
切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，
与到手的满分失之交臂

如：f
(x?2)
2
+
(x?8)
2
的值域。
x?2
的值域
x?3
?
x?1?e
x
?x，求f(x).

?



15 . 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
(1)定义法：
根据定义，设任意得x
1
,x
2
，找出f(x
1
),f(x
2
)之间的大小 关系
可以变形为求
f(x
1
)?f(x
2
)f(x
1
)
的正负号或者与1的关系
x
1
?x
2
f(x
2
)

(2)参照图象：
①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点( a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：
奇函数）
②若函数f(x)的图象关于直 线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：

< br>偶函数）
(3)利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c 是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。
③如果函数f1(x) ，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）
④如果正值函 数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与 f2(x)同
向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）
⑤函数f(x)与
1
f(x)
在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ (α)]同向变化，则在[α，
β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x [α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u
∈[φ(β)，φ(α)]反向变化 ，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）
－1
⑦若函数y＝ f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。

f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x)

都是正

数

增 增 增 增 增

增 减 减

减 增 减

减 减 增 减 减



17. 函数f(x)具有奇偶性的条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称


若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶 函数；一个偶函数与奇函数的乘积
是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。

（3）f（x）是定义域在（-6,0），（0，6）上的奇函数，若x＞0时f（x）= 求x＜0时f（x）
判断函数奇偶性的方法
一、 定义域法
一个函数是奇（偶） 函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于
原点对称 ，则函数为非奇非偶函数.
二、 奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提 下，计算
f(?x)
，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
这种方法可以做如下变形
f(x)+f(-x) =0 奇函数
f(x)-f(-x)=0 偶函数

f(x)
?1 偶函数
f(-x)
f(x)
??1 奇函数
f(-x)
三、 复合函数奇偶性

f(g)
奇
奇
偶
偶
g(x)
奇
偶
奇
偶
f[g(x)]
奇
偶
偶
偶
f(x)+g(x)
奇
非奇非
偶
非奇非
偶
偶
f(x)*g(x)
偶
奇
奇
偶








18.
（若存在 实数T（T?0），在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x)，则f(x)为 周期
函数，T是一个周期。）

如：若f
?
x?a
?
??f(x)，则


我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时 说这个函数周期2t. 推
f(x)?f(x?t)?0
?
导：
f(x?t) ?f(x?2t)?0
?
??f(x)?f(x?2t)
，
?
同时 可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一 个意思：函数f(x)关于直线对称，
对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f( x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a
对称。

又如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b
即f(a?x)?f(a?x) ，f(b?x)?f(b?x)
?
f(x)?f(2a?x)
?
??
??
??f(2a?x)?f(2b?x)
?
f(x)?f(2b?x)
?< br>令t?2a?x,则2b?x?t?2b?2a,f(t)?f(t?2b?2a)
即f(x)? f(x?2b?2a)
所以,函数f(x)以2|b?a|为周期(因不知道a,b的大小关系,
为保守起见,我加了一个绝对值
如：











19. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称
联想点（x,y）,(-x,y)

f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称
联想点（x,y）,(x,-y)

f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称
联想点（x,y）,(-x,-y)

f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称
联想点（x,y）,(y,x)

f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称
联想点（x,y）,(2a-x,y)

f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称
联想点（x,y）,(2a-x,0)

将y?f(x)图象??????????< br>左移a(a?0)个单位
右移a(a?0)个单位
y?f(x?a)
y?f(x ?a)

上移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b

??????????
下移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b
注意如下“翻折”变换：
f(x)???|f(x把)|轴下方的图像翻到上面x

f(x)??

?f(|x把|)轴右方的图像翻到上面y

19.
(k<0) y

(k>0)


y=b
O’(a,b)

O x

x=a

（1）一次函数：y?kx?b
?
k?0
?


（2）反比例函数：y?
的双曲线。

(k为斜率，b为直线与y轴的交点)
kk
?
k?0
?
推 广为y?b?
?
k?0
?
是中心O'(a，b)

xx?a
2
b
?
4ac?b
2
?

（3）二次函数y?ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?x?图象为抛物线

?
?
?
2a
?
4a
2
?
b4ac?b
2
?
b

顶点坐标为
?
?，
?
，对称轴x??

4a
?
2a
?
2a

开口方向：a?0，向上，函数y
min
4ac?b
2
?

4a

a?0，向下，y
max
4ac?b
2
?

4a
根的关系：x?
?b?
?
2a

bc
?
x
1
?x
2
??,x
1
?x
2
?,|x
1
?x
2
|?
aa|a|